Анализ на данни с помощта на метода на най-малките квадрати. Най-малки квадрати в Excel
Метод на най-малките квадрати
В последния урок по темата ще се запознаем с най-известното приложение FNP, който намира най-широко приложение в различни области на науката и практиката. Това може да бъде физика, химия, биология, икономика, социология, психология и така нататък и така нататък. По волята на съдбата често ми се налага да се справям с икономиката и затова днес ще ви уредя билет до една невероятна страна, наречена Иконометрия=) … Как не искаш?! Там е много добре - само трябва да решите! …Но това, което вероятно определено искате, е да се научите как да решавате проблеми най-малки квадрати. И особено прилежните читатели ще се научат да ги решават не само точно, но и МНОГО БЪРЗО ;-) Но първо общо изложение на проблема+ свързан пример:
Нека в някаква предметна област се изучават показатели, които имат количествен израз. В същото време има всички основания да се смята, че индикаторът зависи от индикатора. Това предположение може да бъде както научна хипотеза, така и базирано на елементарен здрав разум. Да оставим науката настрана обаче и да разгледаме по-апетитните области – а именно хранителните магазини. Означава се с:
– търговска площ на магазин за хранителни стоки, кв.м.
- годишен оборот на магазин за хранителни стоки, милиона рубли.
Съвсем ясно е, че колкото по-голяма е площта на магазина, толкова по-голям е неговият оборот в повечето случаи.
Да предположим, че след провеждане на наблюдения / експерименти / изчисления / танци с тамбура имаме на разположение числени данни: 
С магазините за хранителни стоки мисля, че всичко е ясно: - това е площта на 1-ви магазин, - годишният му оборот, - площта на 2-ри магазин, - годишният му оборот и т.н. Между другото, изобщо не е необходимо да имате достъп до класифицирани материали - доста точна оценка на оборота може да се получи с помощта на математическа статистика. Въпреки това, не се разсейвайте, курсът на търговския шпионаж вече е платен =)
Табличните данни също могат да бъдат записани под формата на точки и изобразени по обичайния за нас начин. Декартова система .
Да отговорим на един важен въпрос: колко точки са необходими за качествено изследване?
Колкото по-голям, толкова по-добре. Минималният допустим набор се състои от 5-6 точки. Освен това, при малко количество данни, „ненормалните“ резултати не трябва да се включват в извадката. Така например малък елитен магазин може да помогне с порядъци повече от „техните колеги“, като по този начин изкриви общия модел, който трябва да се намери!
Ако е съвсем просто, трябва да изберем функция, графиккойто минава възможно най-близо до точките 
. Такава функция се нарича приближаващ
(приближение - приближение)или теоретична функция
. Най-общо казано, тук веднага се появява очевиден "претендент" - полином от висока степен, чиято графика минава през ВСИЧКИ точки. Но тази опция е сложна и често просто неправилна. (тъй като графиката ще се „вие“ през цялото време и ще отразява слабо основната тенденция).
Така желаната функция трябва да бъде достатъчно проста и в същото време да отразява адекватно зависимостта. Както може би се досещате, един от методите за намиране на такива функции се нарича най-малки квадрати. Първо, нека анализираме най-общо неговата същност. Нека някаква функция апроксимира експерименталните данни: 
Как да оценим точността на това приближение? Нека изчислим и разликите (отклоненията) между експерименталните и функционалните стойности (изучаваме чертежа). Първата мисъл, която идва на ум, е да преценим колко голяма е сумата, но проблемът е, че разликите могат да бъдат отрицателни. (например, 
)
и отклоненията в резултат на такова сумиране ще се компенсират взаимно. Следователно, като оценка на точността на приближението, се предлага да се вземе сумата модулиотклонения:
или в сгънат вид: (за тези които не знаят:
е иконата за сума и
- спомагателна променлива - "брояч", която приема стойности от 1 до
)
.
Приближавайки експерименталните точки с различни функции, ще получим различни стойности и е очевидно, че където тази сума е по-малка - тази функция е по-точна.
Такъв метод съществува и се нарича метод на най-малък модул. На практика обаче той стана много по-разпространен. метод на най-малките квадрати, при които възможните отрицателни стойности се елиминират не чрез модула, а чрез квадратиране на отклоненията:
, след което усилията се насочват към избор на такава функция, че сумата от квадратите на отклоненията 
беше възможно най-малък. Всъщност оттам идва и името на метода.
И сега се връщаме към друг важен момент: както беше отбелязано по-горе, избраната функция трябва да е доста проста - но има и много такива функции: линеен , хиперболичен , експоненциален , логаритмичен , квадратна и т.н. И, разбира се, тук веднага бих искал да „намаля сферата на дейност“. Какъв клас функции да избера за изследване? Примитивна, но ефективна техника:
- Най-лесният начин за теглене на точки върху чертежа и анализирайте местоположението им. Ако те са склонни да бъдат в права линия, тогава трябва да потърсите уравнение на права линия 
с оптимални стойности и . С други думи, задачата е да се намерят ТАКИВА коефициенти - така че сумата на квадратите на отклоненията да е най-малка.
Ако точките са разположени, например, по хипербола, тогава е ясно, че линейната функция ще даде лошо приближение. В този случай ние търсим най-"благоприятните" коефициенти за уравнението на хиперболата - тези, които дават минималната сума на квадратите 
.
Сега забележете, че и в двата случая говорим функции на две променливи, чиито аргументи са търсени опции за зависимост:
И по същество трябва да решим една стандартна задача - да намерим минимум на функция на две променливи.
Спомнете си нашия пример: да предположим, че точките "магазин" са склонни да бъдат разположени в права линия и има всички основания да се смята, че присъствието линейна зависимостоборот от търговската площ. Нека намерим ТАКИВА коефициенти "a" и "be", така че сумата от квадратите на отклоненията 
беше най-малкият. Всичко както обикновено - първо частни производни от 1-ви ред. Според правило за линейностможете да разграничите точно под иконата за сума: 
Ако искате да използвате тази информация за есе или курсова работа, ще бъда много благодарен за връзката в списъка с източници, няма да намерите толкова подробни изчисления никъде: 
Нека направим стандартна система: 
Ние намаляваме всяко уравнение с „две“ и в допълнение „разбиваме“ сумите: 
Забележка
: независимо анализирайте защо "a" и "be" могат да бъдат извадени от иконата за сума. Между другото, формално това може да стане със сумата 
Нека пренапишем системата в "приложена" форма: 
след което алгоритъмът за решаване на нашия проблем започва да се чертае:
Знаем ли координатите на точките? Ние знаем. Суми 
можем ли да намерим? Лесно. Ние съставяме най-простите система от две линейни уравнения с две неизвестни("a" и "beh"). Решаваме системата, напр. Методът на Крамер, което води до неподвижна точка. Проверка достатъчно условие за екстремум, можем да проверим, че в този момент функцията 
достига точно минимум. Проверката е свързана с допълнителни изчисления и затова ще я оставим зад кулисите. (при необходимост може да се види липсващата рамкатук
)
. Правим окончателното заключение:
функция 
по най-добрия начин (поне в сравнение с всяка друга линейна функция)сближава експерименталните точки . Грубо казано, неговата графика минава възможно най-близо до тези точки. В традицията иконометрияполучената апроксимираща функция също се нарича сдвоено уравнение на линейна регресия
.
Разглежданият проблем е от голямо практическо значение. В ситуацията с нашия пример, уравнението ви позволява да предвидите какъв оборот ("yig")ще бъде в магазина с една или друга стойност на търговската площ (едно или друго значение на "х"). Да, получената прогноза ще бъде само прогноза, но в много случаи ще се окаже доста точна.
Ще анализирам само една задача с "реални" числа, тъй като в нея няма трудности - всички изчисления са на нивото на училищната програма в 7-8 клас. В 95 процента от случаите ще бъдете помолени да намерите само линейна функция, но в самия край на статията ще покажа, че не е по-трудно да намерите уравненията за оптималната хипербола, експонента и някои други функции.
Всъщност остава да раздадете обещаните екстри - за да се научите как да решавате такива примери не само точно, но и бързо. Ние внимателно изучаваме стандарта:
Задача
В резултат на изследване на връзката между два показателя бяха получени следните двойки числа: 
Използвайки метода на най-малките квадрати, намерете линейната функция, която най-добре приближава емпиричната (опитен)данни. Направете чертеж, на който в декартова правоъгълна координатна система нанесете експериментални точки и графика на апроксимиращата функция 
. Намерете сумата от квадратите на отклоненията между емпиричните и теоретичните стойности. Разберете дали функцията е по-добра (по метода на най-малките квадрати)приблизителни експериментални точки.
Имайте предвид, че стойностите на "x" са естествени стойности и това има характерно смислено значение, за което ще говоря малко по-късно; но те, разбира се, могат да бъдат дробни. Освен това, в зависимост от съдържанието на конкретна задача, стойностите на "X" и "G" могат да бъдат напълно или частично отрицателни. Е, дадена ни е „безлична“ задача и я започваме решение:
Намираме коефициентите на оптималната функция като решение на системата: 
За целите на по-компактно записване, променливата „брояч“ може да бъде пропусната, тъй като вече е ясно, че сумирането се извършва от 1 до .
По-удобно е да се изчислят необходимите количества в таблична форма: 
Изчисленията могат да се извършват на микрокалкулатор, но е много по-добре да използвате Excel - както по-бързо, така и без грешки; вижте кратко видео:
Така получаваме следното система:
Тук можете да умножите второто уравнение по 3 и извадете 2-то от 1-вото уравнение член по член. Но това е късмет - на практика системите често не са надарени и в такива случаи спестява Методът на Крамер:
, така че системата има уникално решение.
Да направим проверка. Разбирам, че не искам, но защо пропускате грешки, когато абсолютно не можете да ги пропуснете? Заместете намереното решение в лявата част на всяко уравнение на системата:
Получават се правилните части на съответните уравнения, което означава, че системата е решена правилно.
Така желаната апроксимираща функция: – от всички линейни функцииексперименталните данни се апроксимират най-добре с него.
За разлика от прав
зависимост на оборота на магазина от неговата площ, установената зависимост е обратен
(принцип "колкото повече - толкова по-малко"), и този факт веднага се разкрива от негатива ъглов коефициент. функция 
ни информира, че при увеличение на даден показател с 1 единица стойността на зависимия показател намалява средно аритметичнос 0,65 единици. Както се казва, колкото по-висока е цената на елдата, толкова по-малко се продава.
За да начертаем апроксимиращата функция, намираме две нейни стойности:
и изпълнете чертежа: 
Построената линия се нарича тренд линия
(а именно линейна линия на тенденция, т.е. в общия случай тенденцията не е непременно права линия). Всеки е запознат с израза „да си в тенденция“ и смятам, че този термин не се нуждае от допълнителни коментари.
Изчислете сумата на квадратите на отклоненията 
между емпирични и теоретични стойности. Геометрично това е сумата от квадратите на дължините на "пурпурните" сегменти (две от които са толкова малки, че дори не можете да ги видите).
Нека обобщим изчисленията в таблица: 
Те отново могат да се извършват ръчно, за всеки случай ще дам пример за 1-ва точка: 
но е много по-ефективно да направите вече познатия начин:
Да повторим: какво е значението на резултата?от всички линейни функциифункция показателят е най-малкият, т.е. това е най-доброто приближение в своето семейство. И тук, между другото, последният въпрос на проблема не е случаен: какво ще стане, ако предложената експоненциална функция ще апроксимира по-добре експерименталните точки?
Да намерим съответната сума на квадратите на отклоненията - за да ги различим, ще ги обознача с буквата "епсилон". Техниката е абсолютно същата:
И отново за всяко изчисление на пожар за 1-ва точка: 
В Excel използваме стандартната функция EXP (Синтаксисът може да бъде намерен в помощта на Excel).
Заключение: , така че експоненциалната функция приближава експерименталните точки по-лошо от правата линия .
Но тук трябва да се отбележи, че "по-лошо" е още не означава, Какво не е наред. Сега построих графика на тази експоненциална функция - и тя също минава близо до точките 
- толкова много, че без аналитично изследване е трудно да се каже коя функция е по-точна.
Това завършва решението и се връщам към въпроса за естествените стойности на аргумента. В различни изследвания, като правило, икономически или социологически, месеци, години или други равни интервали от време се номерират с естествено "Х". Помислете например за следния проблем:
Имаме следните данни за оборота на дребно на магазина за първото полугодие:
Използвайки аналитично подравняване по права линия, намерете обема на продажбите за юли.
Да, няма проблем: номерираме месеците 1, 2, 3, 4, 5, 6 и използваме обичайния алгоритъм, в резултат на което получаваме уравнение - единственото нещо, когато става въпрос за време, обикновено е буквата „те ” (въпреки че не е критично). Полученото уравнение показва, че през първата половина на годината оборотът се е увеличил средно с 27,74 ВЕ. на месец. Вземете прогноза за юли (месец №7): ЕС.
И подобни задачи - тъмнината е тъмна. Желаещите могат да ползват допълнителна услуга, а именно моята Ексел калкулатор (демо версия), което на решава проблема почти моментално!Работната версия на програмата е налична в замянаили за символично плащане.
В края на урока, кратка информация за намирането на зависимости от някои други типове. Всъщност няма какво специално да се каже, тъй като основният подход и алгоритъмът за решение остават същите.
Да приемем, че местоположението на експерименталните точки прилича на хипербола. След това, за да намерите коефициентите на най-добрата хипербола, трябва да намерите минимума на функцията - тези, които желаят, могат да извършат подробни изчисления и да стигнат до подобна система: 
От формално техническа гледна точка се получава от "линейната" система 
(нека го отбележим със звездичка)замяна на "x" с . Ами сумите 
изчисляване, след което до оптималните коефициенти "a" и "be" под ръка.
Ако има всички основания да се смята, че точките са подредени по логаритмична крива, след което да се търсят оптималните стойности и да се намери минимумът на функцията 
. Формално в системата (*) трябва да се замени с: 
Когато изчислявате в Excel, използвайте функцията LN. Признавам, че няма да ми е трудно да създам калкулатори за всеки от разглежданите случаи, но все пак ще бъде по-добре, ако сами "програмирате" изчисленията. Видео уроци в помощ.
При експоненциалната зависимост ситуацията е малко по-сложна. За да намалим материята до линейния случай, вземаме логаритъм на функцията и използваме свойства на логаритъма:
Сега, сравнявайки получената функция с линейната функция , стигаме до извода, че в системата (*) трябва да се замени с , а - с . За удобство обозначаваме: 
Моля, имайте предвид, че системата е разрешена по отношение на и и следователно, след като намерите корените, не трябва да забравяте да намерите самия коефициент.
За приближаване на експерименталните точки оптимална парабола 
, трябва да се намери минимум функция на три променливи. След извършване на стандартни действия получаваме следното "работно" система:
Да, разбира се, тук има повече суми, но няма никакви затруднения, когато използвате любимото си приложение. И накрая, ще ви кажа как бързо да проверите с помощта на Excel и да изградите желаната линия на тренда: създайте диаграма на разсейване, изберете някоя от точките с мишката и щракнете с десния бутон изберете опция „Добавяне на тренд линия“. След това изберете типа диаграма и в раздела "Настроики"активирайте опцията „Покажи уравнението на диаграмата“. Добре
Както винаги, искам да завърша статията с красива фраза и почти написах „Бъдете в тенденция!“. Но след време промени решението си. И не защото е шаблонно. Не знам как някой, но аз изобщо не искам да следвам пропагандирания американски и особено европейски тренд =) Затова пожелавам на всеки от вас да се придържа към собствената си линия!
http://www.grandars.ru/student/vysshaya-matematika/metod-naimenshih-kvadratov.html
Методът на най-малките квадрати е един от най-разпространените и най-разработените поради своята простота и ефективност на методите за оценка на параметрите на линейни иконометрични модели. В същото време трябва да се спазва известна предпазливост при използването му, тъй като моделите, изградени с него, може да не отговарят на редица изисквания за качеството на техните параметри и в резултат на това не „добре“ отразяват моделите на развитие на процеса.
Нека разгледаме по-подробно процедурата за оценка на параметрите на линеен иконометричен модел с помощта на метода на най-малките квадрати. Такъв модел в общ вид може да бъде представен чрез уравнение (1.2):
y t = a 0 + a 1 x 1t +...+ a n x nt + ε t.
Първоначалните данни при оценяване на параметрите a 0 , a 1 ,..., a n е векторът на стойностите на зависимата променлива г= (y 1, y 2, ..., y T)" и матрицата от стойности на независими променливи
в която първата колона, състояща се от единици, съответства на коефициента на модела .
Методът на най-малките квадрати получи името си въз основа на основния принцип, че оценките на параметрите, получени на негова основа, трябва да удовлетворяват: сумата от квадратите на грешката на модела трябва да бъде минимална.
Примери за решаване на задачи по метода на най-малките квадрати
Пример 2.1.Търговското предприятие разполага с мрежа от 12 магазина, информация за дейността на които е представена в табл. 2.1.
Ръководството на компанията иска да знае как зависи размерът на годишния оборот от търговската площ на магазина.
Таблица 2.1
| Номер на магазин | Годишен оборот, милиони рубли | Търговска площ, хиляди m 2 |
| 19,76 | 0,24 | |
| 38,09 | 0,31 | |
| 40,95 | 0,55 | |
| 41,08 | 0,48 | |
| 56,29 | 0,78 | |
| 68,51 | 0,98 | |
| 75,01 | 0,94 | |
| 89,05 | 1,21 | |
| 91,13 | 1,29 | |
| 91,26 | 1,12 | |
| 99,84 | 1,29 | |
| 108,55 | 1,49 |
Решение на най-малките квадрати.Нека посочим - годишният оборот на -тия магазин, милиони рубли; - търговска площ на магазина, хиляди m 2.
Фиг.2.1. Точкова диаграма за пример 2.1
Да се определи формата на функционалната връзка между променливите и да се изгради диаграма на разсейване (фиг. 2.1).
Въз основа на диаграмата на разсейване можем да заключим, че годишният оборот зависи положително от търговската площ (т.е. y ще се увеличи с нарастването на ). Най-подходящата форма на функционална връзка е линеен.
Информация за допълнителни изчисления е представена в табл. 2.2. Използвайки метода на най-малките квадрати, ние оценяваме параметрите на линейния еднофакторен иконометричен модел
Таблица 2.2
| T | y t | х 1т | y t 2 | x1t2 | x 1t y t |
| 19,76 | 0,24 | 390,4576 | 0,0576 | 4,7424 | |
| 38,09 | 0,31 | 1450,8481 | 0,0961 | 11,8079 | |
| 40,95 | 0,55 | 1676,9025 | 0,3025 | 22,5225 | |
| 41,08 | 0,48 | 1687,5664 | 0,2304 | 19,7184 | |
| 56,29 | 0,78 | 3168,5641 | 0,6084 | 43,9062 | |
| 68,51 | 0,98 | 4693,6201 | 0,9604 | 67,1398 | |
| 75,01 | 0,94 | 5626,5001 | 0,8836 | 70,5094 | |
| 89,05 | 1,21 | 7929,9025 | 1,4641 | 107,7505 | |
| 91,13 | 1,29 | 8304,6769 | 1,6641 | 117,5577 | |
| 91,26 | 1,12 | 8328,3876 | 1,2544 | 102,2112 | |
| 99,84 | 1,29 | 9968,0256 | 1,6641 | 128,7936 | |
| 108,55 | 1,49 | 11783,1025 | 2,2201 | 161,7395 | |
| С | 819,52 | 10,68 | 65008,554 | 11,4058 | 858,3991 |
| Средно аритметично | 68,29 | 0,89 |
По този начин,
Следователно, с увеличаване на търговската площ с 1 хил. м 2, при равни други условия, средният годишен оборот се увеличава с 67,8871 милиона рубли.
Пример 2.2.Ръководството на предприятието забеляза, че годишният оборот зависи не само от търговската площ на магазина (вижте пример 2.1), но и от средния брой посетители. Съответната информация е представена в табл. 2.3.
Таблица 2.3
Решение.Означава - средният брой посетители на -тия магазин на ден, хиляди души.
Да се определи формата на функционалната връзка между променливите и да се изгради диаграма на разсейване (фиг. 2.2).
Въз основа на диаграмата на разсейване можем да заключим, че годишният оборот е положително свързан със средния брой посетители на ден (т.е. y ще се увеличи с нарастването на ). Формата на функционалната зависимост е линейна.
Ориз. 2.2. Точкова диаграма например 2.2
Таблица 2.4
| T | х 2т | x 2t 2 | yt x 2t | x 1t x 2t |
| 8,25 | 68,0625 | 163,02 | 1,98 | |
| 10,24 | 104,8575 | 390,0416 | 3,1744 | |
| 9,31 | 86,6761 | 381,2445 | 5,1205 | |
| 11,01 | 121,2201 | 452,2908 | 5,2848 | |
| 8,54 | 72,9316 | 480,7166 | 6,6612 | |
| 7,51 | 56,4001 | 514,5101 | 7,3598 | |
| 12,36 | 152,7696 | 927,1236 | 11,6184 | |
| 10,81 | 116,8561 | 962,6305 | 13,0801 | |
| 9,89 | 97,8121 | 901,2757 | 12,7581 | |
| 13,72 | 188,2384 | 1252,0872 | 15,3664 | |
| 12,27 | 150,5529 | 1225,0368 | 15,8283 | |
| 13,92 | 193,7664 | 1511,016 | 20,7408 | |
| С | 127,83 | 1410,44 | 9160,9934 | 118,9728 |
| Средно аритметично | 10,65 |
Като цяло е необходимо да се определят параметрите на двуфакторния иконометричен модел
y t \u003d a 0 + a 1 x 1t + a 2 x 2t + ε t
Информацията, необходима за по-нататъшни изчисления, е представена в табл. 2.4.
Нека оценим параметрите на линеен двуфакторен иконометричен модел, използвайки метода на най-малките квадрати.
По този начин,
Оценката на коефициента = 61,6583 показва, че при равни други условия, с увеличаване на търговската площ с 1 хил. м 2, годишният оборот ще се увеличи средно с 61,6583 милиона рубли.
Оценката на коефициента = 2,2748 показва, че при равни други условия нараства средният брой посетители на 1 хил. души. на ден, годишният оборот ще се увеличи средно с 2,2748 милиона рубли.
Пример 2.3.Използвайки информацията, представена в табл. 2.2 и 2.4, оценяват параметъра на еднофакторен иконометричен модел
където е центрираната стойност на годишния оборот на -тия магазин, милиони рубли; - центрирана стойност на средния дневен брой посетители на t-тия магазин, хиляди души. (вижте примери 2.1-2.2).
Решение.Допълнителна информация, необходима за изчисленията, е представена в табл. 2.5.
Таблица 2.5
| -48,53 | -2,40 | 5,7720 | 116,6013 | |
| -30,20 | -0,41 | 0,1702 | 12,4589 | |
| -27,34 | -1,34 | 1,8023 | 36,7084 | |
| -27,21 | 0,36 | 0,1278 | -9,7288 | |
| -12,00 | -2,11 | 4,4627 | 25,3570 | |
| 0,22 | -3,14 | 9,8753 | -0,6809 | |
| 6,72 | 1,71 | 2,9156 | 11,4687 | |
| 20,76 | 0,16 | 0,0348 | 3,2992 | |
| 22,84 | -0,76 | 0,5814 | -17,413 | |
| 22,97 | 3,07 | 9,4096 | 70,4503 | |
| 31,55 | 1,62 | 2,6163 | 51,0267 | |
| 40,26 | 3,27 | 10,6766 | 131,5387 | |
| Сума | 48,4344 | 431,0566 |
Използвайки формула (2.35), получаваме
По този начин,
http://www.cleverstudents.ru/articles/mnk.html
Пример.
Експериментални данни за стойностите на променливите хи приса дадени в таблицата. 
В резултат на тяхното подреждане функцията 
Използвайки метод на най-малките квадрати, апроксимирайте тези данни с линейна зависимост y=ax+b(намерете опции аи b). Разберете коя от двете линии по-добре (в смисъла на метода на най-малките квадрати) подравнява експерименталните данни. Направете рисунка.
Решение.
В нашия пример n=5. Попълваме таблицата за удобство при изчисляване на сумите, които са включени във формулите на необходимите коефициенти. 
Стойностите в четвъртия ред на таблицата се получават чрез умножаване на стойностите на 2-ри ред по стойностите на 3-ти ред за всяко число аз.
Стойностите в петия ред на таблицата се получават чрез повдигане на квадрат на стойностите на 2-ри ред за всяко число аз.
Стойностите на последната колона на таблицата са сумите от стойностите в редовете.
Използваме формулите на метода на най-малките квадрати, за да намерим коефициентите аи b. Заменяме в тях съответните стойности от последната колона на таблицата: 
Следователно, y=0,165x+2,184е желаната апроксимираща права линия.
Остава да разберем коя от линиите y=0,165x+2,184или по-добре приближава оригиналните данни, т.е. да направи оценка с помощта на метода на най-малките квадрати.
Доказателство.
Така че, когато се намери аи bфункция приема най-малката стойност, е необходимо в тази точка матрицата на квадратната форма на диференциала от втори ред за функцията 
беше положително категоричен. Нека го покажем.
Диференциалът от втори ред има формата: 
Това е
Следователно матрицата на квадратната форма има формата 
и стойностите на елементите не зависят от аи b.
Нека покажем, че матрицата е положително определена. Това изисква минорните ъгли да са положителни.
Ъглов минор от първи ред 
. Неравенството е строго, тъй като точките
- урок
Въведение
Аз съм компютърен програмист. Направих най-големия скок в кариерата си, когато се научих да казвам: "Не разбирам нищо!"Сега не ме е срам да кажа на светилото на науката, че ми изнася лекция, че не разбирам за какво ми говори то, светилото. И е много трудно. Да, трудно и неудобно е да признаеш, че не знаеш. Който обича да признава, че не знае основите на нещо-там. По силата на професията ми се налага да посещавам голям брой презентации и лекции, където, признавам си, в по-голямата част от случаите ми се спи, защото нищо не разбирам. И не разбирам, защото огромният проблем на настоящата ситуация в науката се крие в математиката. Предполага се, че всички ученици са запознати с абсолютно всички области на математиката (което е абсурдно). Да признаеш, че не знаеш какво е производно (че това е малко по-късно) е срамота.
Но се научих да казвам, че не знам какво е умножение. Да, не знам какво е подалгебра върху алгебра на Лъжа. Да, не знам защо са необходими квадратни уравнения в живота. Между другото, ако сте сигурни, че знаете, тогава имаме за какво да говорим! Математиката е поредица от трикове. Математиците се опитват да объркат и сплашат обществеността; където няма объркване, няма репутация, няма авторитет. Да, престижно е да се говори на възможно най-абстрактен език, което само по себе си е пълна глупост.
Знаете ли какво е производно? Най-вероятно ще ми кажете за границата на отношението на разликата. В първата година по математика в Санкт Петербургския държавен университет Виктор Петрович Хавин ме дефиниранипроизводна като коефициент на първия член от реда на Тейлър на функцията в точката (това беше отделна гимнастика да се определи редът на Тейлър без производни). Дълго се смях на това определение, докато накрая разбрах за какво става дума. Производната не е нищо повече от просто мярка за това доколко функцията, която диференцираме, е подобна на функцията y=x, y=x^2, y=x^3.
Сега имам честта да изнасям лекции на студенти, които страхматематика. Ако те е страх от математиката - ние сме на път. Щом се опитате да прочетете някакъв текст и ви се струва, че е прекалено сложен, знайте, че е лошо написан. Твърдя, че няма нито една област на математиката, за която не може да се говори "на пръсти", без да се губи точност.
Предизвикателството за близкото бъдеще: Инструктирах моите ученици да разберат какво е линейно-квадратичен контролер. Не се срамувайте, губете три минути от живота си, последвайте връзката. Ако не разбирате нищо, значи сме на път. Аз (професионален математик-програмист) също нищо не разбрах. И уверявам ви, това може да се реши "на пръсти". В момента не знам какво е, но ви уверявам, че ще успеем да го разберем.
И така, първата лекция, която ще изнеса на моите студенти, след като те дотичаха ужасени при мен с думите, че линейно-квадратичният контролер е ужасна грешка, която никога няма да овладеете в живота си, е методи на най-малките квадрати. Можете ли да решавате линейни уравнения? Ако четете този текст, най-вероятно не.
И така, при дадени две точки (x0, y0), (x1, y1), например (1,1) и (3,2), задачата е да се намери уравнението на права линия, минаваща през тези две точки:
илюстрация
Тази права линия трябва да има уравнение като следното:
Тук алфа и бета са неизвестни за нас, но две точки от тази линия са известни:
Можете да напишете това уравнение в матрична форма:
Тук трябва да направим едно лирично отклонение: какво е матрица? Матрицата не е нищо друго освен двуизмерен масив. Това е начин за съхраняване на данни, не трябва да му се дават повече стойности. От нас зависи как точно да интерпретираме дадена матрица. Периодично ще го интерпретирам като линейно картографиране, периодично като квадратна форма, а понякога просто като набор от вектори. Всичко това ще бъде изяснено в контекста.
Нека заменим конкретни матрици с тяхното символно представяне:
Тогава (алфа, бета) могат лесно да бъдат намерени:
По-конкретно за нашите предишни данни:
Което води до следното уравнение на права линия, минаваща през точките (1,1) и (3,2):
Добре, тук всичко е ясно. И нека намерим уравнението на права линия, минаваща през нея триточки: (x0,y0), (x1,y1) и (x2,y2):
О-о-о, но имаме три уравнения за две неизвестни! Стандартният математик ще каже, че няма решение. Какво ще каже програмистът? И той първо ще пренапише предишната система от уравнения в следната форма:
В нашия случай векторите i, j, b са триизмерни, следователно (в общия случай) няма решение на тази система. Всеки вектор (алфа\*i + бета\*j) лежи в равнината, обхваната от векторите (i, j). Ако b не принадлежи на тази равнина, тогава няма решение (не може да се постигне равенство в уравнението). Какво да правя? Да потърсим компромис. Нека означим с e(алфа, бета)как точно не постигнахме равенство:
И ние ще се опитаме да минимизираме тази грешка:
Защо квадрат?
Ние търсим не просто минимума на нормата, а минимума на квадрата на нормата. Защо? Самата минимална точка съвпада, а квадратът дава гладка функция (квадратична функция на аргументите (алфа,бета)), докато само дължината дава функция под формата на конус, недиференцируема в минималната точка. брр. Квадратът е по-удобен.
Очевидно грешката е сведена до минимум, когато векторът дортогонална на равнината, обхваната от векторите ази й.
Илюстрация
С други думи: търсим права, така че сумата от квадратите на дължините на разстоянията от всички точки до тази права да е минимална:
АКТУАЛИЗАЦИЯ: тук имам проблем, разстоянието до линията трябва да се измерва вертикално, а не ортографска проекция. Този коментатор е прав.
Илюстрация
С напълно различни думи (внимателно, зле формализирани, но трябва да е ясно на пръстите): вземаме всички възможни линии между всички двойки точки и търсим средната линия между всички:
Илюстрация
Друго обяснение на пръстите: прикрепяме пружина между всички точки от данни (тук имаме три) и линията, която търсим, и линията на равновесното състояние е точно това, което търсим.
Квадратична форма минимум
И така, даден вектор bи равнината, обхваната от колоните-вектори на матрицата А(в този случай (x0,x1,x2) и (1,1,1)), ние търсим вектор дс минимална квадратна дължина. Очевидно минимумът е постижим само за вектора д, ортогонална на равнината, обхваната от колоните-вектори на матрицата А:С други думи, ние търсим вектор x=(алфа, бета), така че:
Напомням ви, че този вектор x=(алфа, бета) е минимумът на квадратичната функция ||e(алфа, бета)||^2:
Тук е полезно да запомните, че матрицата може да се интерпретира, както и квадратната форма, например матрицата на идентичност ((1,0),(0,1)) може да се интерпретира като функция от x^2 + y ^2:
квадратна форма
Цялата тази гимнастика е известна като линейна регресия.
Уравнение на Лаплас с гранично условие на Дирихле
Сега най-простият реален проблем: има определена триъгълна повърхност, необходимо е да я изгладите. Например, нека заредим моя модел на лице:
Оригиналният ангажимент е наличен. За да минимизирам външните зависимости, взех кода на моя софтуерен рендер, който вече е на Habré. За решаване на линейната система използвам OpenNL, това е чудесен софтуер за решаване, но е много труден за инсталиране: трябва да копирате два файла (.h + .c) в папката на вашия проект. Цялото изглаждане се извършва от следния код:
За (int d=0; d<3; d++) {
nlNewContext();
nlSolverParameteri(NL_NB_VARIABLES, verts.size());
nlSolverParameteri(NL_LEAST_SQUARES, NL_TRUE);
nlBegin(NL_SYSTEM);
nlBegin(NL_MATRIX);
for (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) {
nlBegin(NL_ROW);
nlCoefficient(i, 1);
nlRightHandSide(verts[i][d]);
nlEnd(NL_ROW);
}
for (unsigned int i=0; i
Координатите X, Y и Z са разделими, изглаждам ги отделно. Тоест, решавам три системи от линейни уравнения, всяка със същия брой променливи като броя на върховете в моя модел. Първите n реда на матрица A имат само едно 1 на ред, а първите n реда на вектор b имат оригинални координати на модела. Това означава, че свързвам новата позиция на върха и старата позиция на върха - новите не трябва да са твърде далеч от старите.
Всички следващи редове на матрица A (faces.size()*3 = броят на ръбовете на всички триъгълници в мрежата) имат едно появяване на 1 и едно появяване на -1, докато векторът b има нулеви противоположни компоненти. Това означава, че поставям пружина на всеки ръб на нашата триъгълна мрежа: всички ръбове се опитват да получат същия връх като техните начална и крайна точка.
Още веднъж: всички върхове са променливи и не могат да се отклонят далеч от първоначалната си позиция, но в същото време се опитват да станат подобни един на друг.
Ето резултата:
Всичко би било наред, моделът наистина е изгладен, но се отдалечи от първоначалния си ръб. Нека променим малко кода:
За (int i=0; i<(int)verts.size(); i++) { float scale = border[i] ? 1000: 1; nlBegin(NL_ROW); nlCoefficient(i, scale); nlRightHandSide(scale*verts[i][d]); nlEnd(NL_ROW); }
В нашата матрица A, за върховете, които са на ръба, добавям не ред от категорията v_i = verts[i][d], а 1000*v_i = 1000*verts[i][d]. Какво променя? И това променя нашата квадратична форма на грешката. Сега едно отклонение от върха на ръба ще струва не една единица, както преди, а 1000 * 1000 единици. Тоест, окачихме по-силна пружина на крайните върхове, решението предпочита да опъне други по-силно. Ето резултата:
Нека удвоим силата на пружините между върховете:
nlКоефициент(лице[j], 2); nlКоефициент(лице[(j+1)%3], -2);
Логично е, че повърхността е станала по-гладка:
И сега дори сто пъти по-силен:
Какво е това? Представете си, че сме потопили телеен пръстен в сапунена вода. В резултат на това полученият сапунен филм ще се опита да има възможно най-малко кривина, докосвайки същата граница - нашия телеен пръстен. Точно това получихме, като фиксирахме границата и поискахме гладка повърхност отвътре. Поздравления, току-що решихме уравнението на Лаплас с гранични условия на Дирихле. Звучи яко? Но всъщност трябва да се реши само една система от линейни уравнения.
Уравнение на Поасон
Нека имаме още едно готино име.Да приемем, че имам изображение като това:
Всички са добри, но столът не ми харесва.
Нарязах снимката наполовина: 
И ще избера стол с ръцете си: 
След това ще плъзна всичко, което е бяло в маската в лявата страна на картината, като в същото време ще кажа в цялата картина, че разликата между два съседни пиксела трябва да е равна на разликата между два съседни пиксела на дясно изображение:
За (int i=0; i Ето резултата: Налични са код и снимки Метод на най-малките квадрати (OLS, англ. Ordinary Least Squares, OLS)- математически метод, използван за решаване на различни проблеми, базиран на минимизиране на сумата от квадратните отклонения на някои функции от желаните променливи. Може да се използва за "решаване" на свръхопределени системи от уравнения (когато броят на уравненията надвишава броя на неизвестните), за намиране на решение в случай на обикновени (не свръхопределени) нелинейни системи от уравнения, за приближаване на точковите стойности на някаква функция. OLS е един от основните методи за регресионен анализ за оценка на неизвестни параметри на регресионни модели от извадкови данни. 1
/
5 ✪ Метод на най-малките квадрати. Тема ✪ Митин И. В. - Обработка на резултатите от физ. експеримент - Метод на най-малките квадрати (лекция 4) ✪ Най-малки квадрати, урок 1/2. Линейна функция ✪ Иконометрия. Лекция 5. Метод на най-малките квадрати ✪ Метод на най-малките квадрати. Отговори До началото на XIX век. учените не са имали определени правила за решаване на система от уравнения, в която броят на неизвестните е по-малък от броя на уравненията; Дотогава са използвани определени методи, в зависимост от вида на уравненията и от изобретателността на калкулаторите, и следователно различните калкулатори, като се започне от едни и същи данни от наблюдения, са стигнали до различни заключения. На Гаус (1795) се приписва първото приложение на метода, а Лежандре (1805) независимо го открива и публикува под съвременното му име (фр. Methode des moindres quarres) . Лаплас свързва метода с теорията на вероятностите, а американският математик Адрейн (1808) разглежда вероятностните му приложения. Методът е широко разпространен и подобрен с по-нататъшни изследвания на Encke, Bessel, Hansen и други. Позволявам x (\displaystyle x)- комплект n (\displaystyle n)неизвестни променливи (параметри), f i (x) (\displaystyle f_(i)(x)), , m > n (\displaystyle m>n)- набор от функции от този набор от променливи. Проблемът е да се изберат такива ценности x (\displaystyle x)така че стойностите на тези функции да са възможно най-близо до някои стойности y i (\displaystyle y_(i)). По същество говорим за „решението“ на свръхопределената система от уравнения f i (x) = y i (\displaystyle f_(i)(x)=y_(i)), i = 1 , … , m (\displaystyle i=1,\ldots ,m)в посочения смисъл максималната близост на лявата и дясната част на системата. Същността на LSM е да се избере като "мярка за близост" сумата от квадратите на отклоненията на лявата и дясната част | f i (x) − y i | (\displaystyle |f_(i)(x)-y_(i)|). По този начин същността на LSM може да се изрази по следния начин: Ако системата от уравнения има решение, тогава минимумът на сумата от квадрати ще бъде равен на нула и точните решения на системата от уравнения могат да бъдат намерени аналитично или, например, чрез различни числени методи за оптимизация. Ако системата е свръхопределена, т.е., свободно казано, броят на независимите уравнения е по-голям от броя на неизвестните променливи, тогава системата няма точно решение и методът на най-малките квадрати ни позволява да намерим някакъв „оптимален“ вектор x (\displaystyle x)в смисъл на максимална близост на векторите y (\displaystyle y)и f (x) (\displaystyle f(x))или максималната близост на вектора на отклонение e (\displaystyle e)до нула (близостта се разбира в смисъл на евклидово разстояние). По-специално, методът на най-малките квадрати може да се използва за "решаване" на системата от линейни уравнения където A (\displaystyle A)матрица с правоъгълен размер m × n, m > n (\displaystyle m\times n,m>n)(т.е. броят на редовете на матрица A е по-голям от броя на необходимите променливи). Такава система от уравнения обикновено няма решение. Следователно тази система може да бъде "решена" само в смисъл на избор на такъв вектор x (\displaystyle x)за минимизиране на "разстоянието" между векторите A x (\displaystyle Ax)и b (\displaystyle b). За да направите това, можете да приложите критерия за минимизиране на сумата от квадратите на разликите на лявата и дясната част на уравненията на системата, т.е. (A x − b) T (A x − b) → min (\displaystyle (Ax-b)^(T)(Ax-b)\rightarrow \min ). Лесно е да се покаже, че решението на този проблем за минимизиране води до решението на следната система от уравнения Нека има n (\displaystyle n)стойности на някаква променлива y (\displaystyle y)(това може да са резултатите от наблюдения, експерименти и т.н.) и съответните променливи x (\displaystyle x). Предизвикателството е да се направи връзката между y (\displaystyle y)и x (\displaystyle x)приближено чрез някаква известна функция до някои неизвестни параметри b (\displaystyle b), тоест всъщност намира най-добрите стойности на параметрите b (\displaystyle b), максимално приближаващи стойностите f (x, b) (\displaystyle f(x, b))към действителните стойности y (\displaystyle y). Всъщност това се свежда до случая на "решение" на свръхопределена система от уравнения по отношение на b (\displaystyle b): F (x t , b) = y t , t = 1 , … , n (\displaystyle f(x_(t),b)=y_(t),t=1,\ldots ,n). В регресионния анализ и по-специално в иконометрията се използват вероятностни модели на връзката между променливите. Y t = f (x t, b) + ε t (\displaystyle y_(t)=f(x_(t),b)+\varepsilon _(t)), където ε t (\displaystyle \varepsilon _(t))- т.нар случайни грешкимодели. Съответно и отклоненията на наблюдаваните стойности y (\displaystyle y)от модела f (x, b) (\displaystyle f(x, b))вече се приема в самия модел. Същността на LSM (обикновена, класическа) е да намери такива параметри b (\displaystyle b), при което сумата от квадратните отклонения (грешки, за регресионните модели те често се наричат регресионни остатъци) e t (\displaystyle e_(t))ще бъде минимален: където R S S (\displaystyle RSS)- Английски. Остатъчната сума на квадратите се определя като: В общия случай този проблем може да бъде решен чрез числени методи за оптимизация (минимизация). В този случай се говори за нелинейни най-малки квадрати(NLS или NLLS - англ. Non-Linear Least Squares). В много случаи може да се получи аналитично решение. За да се реши задачата за минимизиране, е необходимо да се намерят стационарните точки на функцията R S S (b) (\displaystyle RSS(b)), диференцирайки го по отношение на неизвестни параметри b (\displaystyle b), приравняване на производните на нула и решаване на получената система от уравнения: Нека регресионната зависимост е линейна: Позволявам ге колонният вектор на наблюденията на променливата, която се обяснява, и X (\displaystyle X)- това е (n × k) (\displaystyle ((n\пъти k)))- матрица на наблюденията на факторите (редовете на матрицата - вектори на стойностите на факторите в това наблюдение, по колони - вектор на стойностите на този фактор във всички наблюдения). Матричното представяне на линейния модел има формата: Тогава векторът на оценките на обяснената променлива и векторът на регресионните остатъци ще бъдат равни на съответно сумата от квадратите на регресионните остатъци ще бъде равна на Диференциране на тази функция по отношение на вектора на параметъра b (\displaystyle b)и приравнявайки производните на нула, получаваме система от уравнения (в матрична форма): В дешифрираната матрична форма тази система от уравнения изглежда така: (∑ x t 1 2 ∑ x t 1 x t 2 ∑ x t 1 x t 3 … ∑ x t 1 x t k ∑ x t 2 x t 1 ∑ x t 2 2 ∑ x t 2 x t 3 … ∑ x t 2 x t k ∑ x t 3 x t 1 ∑ x t x t 3 2 … ∑ x t 3 x t k ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ∑ x t k x t 1 ∑ x t k x t 2 ∑ x t k x t 3 … ∑ x t k 2) (b 1 b 2 b 3 ⋮ b k) = (∑ x t 1 y x t ∑ 3 y t ⋮ ∑ стил на възпроизвеждане) x t (\y tдисплей стил), (\begin(pmatrix)\sum x_(t1)^(2)&\sum x_(t1)x_(t2)&\sum x_(t1)x_(t3)&\ldots &\sum x_(t1)x_( tk)\\sum x_(t2)x_(t1)&\sum x_(t2)^(2)&\sum x_(t2)x_(t3)&\ldots &\ сума x_(t2)x_(tk) \\\sum x_(t3)x_(t1)&\sum x_(t3)x_(t2)&\sum x_(t3)^(2)&\ldots &\sum x_ (t3)x_(tk)\\ \vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\sum x_(tk)x_(t1)&\sum x_(tk)x_(t2)&\sum x_ (tk)x_(t3)&\ ldots &\sum x_(tk)^(2)\\\end(pmatrix))(\begin(pmatrix)b_(1)\\b_(2)\\b_(3 )\\\vdots \\b_( k)\\\end(pmatrix))=(\begin(pmatrix)\sum x_(t1)y_(t)\\\sum x_(t2)y_(t)\\ \sum x_(t3)y_(t )\\\vточки \\\сума x_(tk)y_(t)\\\end(pmatrix)))където всички суми се вземат върху всички допустими стойности t (\displaystyle t). Ако в модела е включена константа (както обикновено), тогава x t 1 = 1 (\displaystyle x_(t1)=1)за всички t (\displaystyle t), следователно в горния ляв ъгъл на матрицата на системата от уравнения е броят на наблюденията n (\displaystyle n), а в останалите елементи на първия ред и първата колона - само сумата от стойностите на променливите: ∑ x t j (\displaystyle \sum x_(tj))и първият елемент от дясната страна на системата - ∑ y t (\displaystyle \sum y_(t)). Решението на тази система от уравнения дава общата формула за оценки на най-малките квадрати за линейния модел: За аналитични цели последното представяне на тази формула се оказва полезно (в системата от уравнения, когато се дели на n, вместо суми се появяват средни аритметични). Ако данните в регресионния модел центриран, тогава в това представяне първата матрица има значението на примерна ковариационна матрица на фактори, а втората е вектор на ковариации на фактори със зависима променлива. Ако в допълнение данните също са нормализиранв SKO (тоест в крайна сметка стандартизиран), тогава първата матрица има значението на извадковата корелационна матрица на факторите, вторият вектор - векторът на извадковите корелации на факторите със зависимата променлива. Важно свойство на оценките на LLS за модели с константа- линията на построената регресия минава през центъра на тежестта на извадковите данни, т.е. равенството е изпълнено: По-специално, в краен случай, когато единственият регресор е константа, откриваме, че OLS оценката на единичен параметър (самата константа) е равна на средната стойност на променливата, която се обяснява. Тоест средната аритметична стойност, известна с добрите си свойства от законите на големите числа, също е оценка на най-малките квадрати - тя удовлетворява критерия за минимална сума на квадратите на отклонения от нея. В случай на двойна линейна регресия y t = a + b x t + ε t (\displaystyle y_(t)=a+bx_(t)+\varepsilon _(t)), когато се оценява линейната зависимост на една променлива от друга, формулите за изчисление се опростяват (можете да правите без матрична алгебра). Системата от уравнения има формата: От тук е лесно да намерите оценки за коефициентите: Въпреки факта, че като цяло моделите с константа са за предпочитане, в някои случаи от теоретични съображения е известно, че константата a (\displaystyle a)трябва да е равно на нула. Например във физиката връзката между напрежение и ток има формата U = I ⋅ R (\displaystyle U=I\cdot R); измерване на напрежение и ток, е необходимо да се оцени съпротивлението. В случая говорим за модел y = b x (\displaystyle y=bx). В този случай, вместо система от уравнения, имаме едно уравнение (∑ x t 2) b = ∑ x t y t (\displaystyle \left(\sum x_(t)^(2)\right)b=\sum x_(t)y_(t)). Следователно формулата за оценка на единичен коефициент има формата B ^ = ∑ t = 1 n x t y t ∑ t = 1 n x t 2 = x y ¯ x 2 ¯ (\displaystyle (\hat (b))=(\frac (\sum _(t=1)^(n)x_(t )y_(t))(\sum _(t=1)^(n)x_(t)^(2)))=(\frac (\overline (xy))(\overline (x^(2)) ))). Ако данните са монтирани чрез полиномиална регресионна функция на една променлива f (x) = b 0 + ∑ i = 1 k b i x i (\displaystyle f(x)=b_(0)+\sum \limits _(i=1)^(k)b_(i)x^(i)), след това, възприемане на степени x i (\displaystyle x^(i))като независими фактори за всеки i (\displaystyle i)възможно е да се оценят параметрите на модела въз основа на общата формула за оценка на параметрите на линейния модел. За да направите това, достатъчно е да вземете предвид в общата формула, че с такова тълкуване x t i x t j = x t i x t j = x t i + j (\displaystyle x_(ti)x_(tj)=x_(t)^(i)x_(t)^(j)=x_(t)^(i+j))и x t j y t = x t j y t (\displaystyle x_(tj)y_(t)=x_(t)^(j)y_(t)). Следователно матричните уравнения в този случай ще приемат формата: (n ∑ n x t ... ∑ n x t k ∑ n x t ∑ n x i 2 ... ∑ m x i k + 1 ⋮ ⋱ ⋮ ∑ ∑ n x t k ∑ n x t k + 1 ... ∑ n x t 2 k) [b 0 b 1 ⋮ b k] = [∑ n y t ∑ n x t y t ⋮ n x t k y t k y t ] . (\displaystyle (\begin(pmatrix)n&\sum \limits _(n)x_(t)&\ldots &\sum \limits _(n)x_(t)^(k)\\\sum \limits _( n)x_(t)&\sum \limits _(n)x_(i)^(2)&\ldots &\sum \limits _(m)x_(i)^(k+1)\\\vdots & \vdots &\ddots &\vdots \\\sum \limits _(n)x_(t)^(k)&\sum \limits _(n)x_(t)^(k+1)&\ldots &\ сума \лимити _(n)x_(t)^(2k)\end(pmatrix))(\begin(bmatrix)b_(0)\\b_(1)\\\vdots \\b_(k)\end( bmatrix))=(\begin(bmatrix)\sum \limits _(n)y_(t)\\\sum \limits _(n)x_(t)y_(t)\\\vdots \\\sum \limits _(n)x_(t)^(k)y_(t)\end(bmatrix)).) На първо място, отбелязваме, че за линейните модели оценките на най-малките квадрати са линейни оценки, както следва от горната формула. За безпристрастността на оценките на най-малките квадрати е необходимо и достатъчно да се изпълни най-важното условие на регресионния анализ: математическото очакване на случайна грешка, зависима от факторите, трябва да бъде равно на нула. Това условие е изпълнено, по-специално, ако Основно е второто условие – състоянието на екзогенни фактори. Ако това свойство не е изпълнено, тогава можем да предположим, че почти всички оценки ще бъдат изключително незадоволителни: те дори няма да бъдат последователни (тоест дори много голямо количество данни не позволява получаването на качествени оценки в този случай). В класическия случай се прави по-силно предположение за детерминизма на факторите, за разлика от случайната грешка, което автоматично означава, че екзогенното условие е изпълнено. В общия случай за съгласуваност на оценките е достатъчно да се удовлетвори условието за екзогенност заедно с конвергенцията на матрицата V x (\displaystyle V_(x))към някаква неизродена матрица, тъй като размерът на извадката нараства до безкрайност. За да могат, в допълнение към последователността и безпристрастността, (обикновените) оценки на най-малките квадрати да бъдат също ефективни (най-добрите в класа на линейните безпристрастни оценки), трябва да бъдат изпълнени допълнителни свойства на случайна грешка: Тези допускания могат да бъдат формулирани за ковариационната матрица на вектора на случайните грешки V (ε) = σ 2 I (\displaystyle V(\varepsilon)=\sigma ^(2)I). Линеен модел, който отговаря на тези условия, се нарича класически. OLS оценките за класическа линейна регресия са безпристрастни, последователни и най-ефективни оценки в класа на всички линейни безпристрастни оценки (в англоезичната литература понякога се използва съкращението син (Най-добрият линеен безпристрастен оценител) е най-добрата линейна безпристрастна оценка; в местната литература по-често се цитира теоремата на Гаус - Марков). Както е лесно да се покаже, ковариационната матрица на вектора на оценките на коефициента ще бъде равна на: V (b ^ O L S) = σ 2 (X T X) − 1 (\displaystyle V((\hat (b))_(OLS))=\sigma ^(2)(X^(T)X)^(-1 )). Ефективността означава, че тази ковариационна матрица е „минимална“ (всяка линейна комбинация от коефициенти, и по-специално самите коефициенти, имат минимална дисперсия), тоест в класа на линейни безпристрастни оценки оценките на OLS са най-добрите. Диагоналните елементи на тази матрица - дисперсиите на оценките на коефициентите - са важни параметри за качеството на получените оценки. Не е възможно обаче да се изчисли ковариационната матрица, тъй като дисперсията на случайната грешка е неизвестна. Може да се докаже, че безпристрастната и последователна (за класическия линеен модел) оценка на дисперсията на случайните грешки е стойността: S 2 = R S S / (n − k) (\displaystyle s^(2)=RSS/(n-k)). Замествайки тази стойност във формулата за ковариационната матрица, получаваме оценка на ковариационната матрица. Получените оценки също са безпристрастни и последователни. Важно е също така, че оценката на дисперсията на грешката (и следователно дисперсиите на коефициентите) и оценките на параметрите на модела са независими случайни променливи, което прави възможно получаването на тестова статистика за тестване на хипотези за коефициентите на модела. Трябва да се отбележи, че ако класическите допускания не са изпълнени, оценките на параметрите на най-малките квадрати не са най-ефективните и, където W (\displaystyle W)е някаква симетрична матрица с положително определено тегло. Обикновените най-малки квадрати са специален случай на този подход, когато матрицата на теглото е пропорционална на матрицата на идентичността. Както е известно, за симетричните матрици (или оператори) има разлагане W = P T P (\displaystyle W=P^(T)P). Следователно този функционал може да бъде представен по следния начин e T P T P e = (P e) T P e = e ∗ T e ∗ (\displaystyle e^(T)P^(T)Pe=(Pe)^(T)Pe=e_(*)^(T)e_( *)), тоест този функционал може да бъде представен като сбор от квадратите на някои трансформирани "остатъци". По този начин можем да разграничим клас от методи на най-малките квадрати - LS-методи (Least Squares). Доказано е (теорема на Ейткен), че за обобщен линеен регресионен модел (в който не се налагат ограничения върху ковариационната матрица на случайните грешки), най-ефективни (в класа на линейните непредубедени оценки) са оценките на т.нар. обобщени OLS (OMNK, GLS - обобщени най-малки квадрати)- LS-метод с тегловна матрица, равна на обратната ковариационна матрица на случайните грешки: W = V ε − 1 (\displaystyle W=V_(\varepsilon )^(-1)). Може да се покаже, че формулата за GLS-оценките на параметрите на линейния модел има формата B ^ G L S = (X T V − 1 X) − 1 X T V − 1 y (\displaystyle (\hat (b))_(GLS)=(X^(T)V^(-1)X)^(-1) X^(T)V^(-1)y). Ковариационната матрица на тези оценки съответно ще бъде равна на V (b ^ G L S) = (X T V − 1 X) − 1 (\displaystyle V((\hat (b))_(GLS))=(X^(T)V^(-1)X)^(- един)). Всъщност същността на OLS се състои в определена (линейна) трансформация (P) на оригиналните данни и прилагането на обичайните най-малки квадрати към трансформираните данни. Целта на тази трансформация е, че за трансформираните данни случайните грешки вече отговарят на класическите допускания. В случай на диагонална матрица на теглото (и оттам ковариационната матрица на случайните грешки) имаме така наречените претеглени най-малки квадрати (WLS - Weighted Least Squares). В този случай претеглената сума от квадрати на остатъците на модела е сведена до минимум, т.е. всяко наблюдение получава „тегло“, което е обратно пропорционално на дисперсията на случайната грешка в това наблюдение: e T W e = ∑ t = 1 n e t 2 σ t 2 (\displaystyle e^(T)We=\sum _(t=1)^(n)(\frac (e_(t)^(2))(\ сигма _(t)^(2)))). Всъщност данните се трансформират чрез претегляне на наблюденията (разделяне на количество, пропорционално на приетото стандартно отклонение на случайните грешки), а нормалните най-малки квадрати се прилагат към претеглените данни. ISBN 978-5-7749-0473-0. Ние апроксимираме функцията с полином от 2-ра степен. За да направим това, изчисляваме коефициентите на нормалната система от уравнения: , Нека съставим нормална система от най-малки квадрати, която има формата: Решението на системата е лесно за намиране:, , . Така се намира полиномът от 2-ра степен: . Теоретична подготовка Назад към страницата<Введение в вычислительную математику. Примеры> Пример 2. Намиране на оптималната степен на полином. Назад към страницата<Введение в вычислительную математику. Примеры> Пример 3. Извеждане на нормална система от уравнения за намиране на параметрите на емпирична зависимост. Нека изведем система от уравнения за определяне на коефициентите и функциите Тогава нормалната система ще приеме формата: Получихме линейна система от уравнения за неизвестни параметри и, която лесно се решава. Теоретична подготовка Назад към страницата<Введение в вычислительную математику. Примеры> Пример. Експериментални данни за стойностите на променливите хи приса дадени в таблицата. В резултат на тяхното подреждане функцията Използвайки метод на най-малките квадрати, апроксимирайте тези данни с линейна зависимост y=ax+b(намерете опции аи b). Разберете коя от двете линии по-добре (в смисъла на метода на най-малките квадрати) подравнява експерименталните данни. Направете рисунка. Проблемът е да се намерят коефициентите на линейна зависимост, за които функцията на две променливи аи b Така решението на примера се свежда до намиране на екстремума на функция на две променливи. Съставя се и се решава система от две уравнения с две неизвестни. Намиране на частни производни на функции Решаваме получената система от уравнения по произволен метод (напр метод на заместванеили метод на Крамър) и да получите формули за намиране на коефициенти с помощта на метода на най-малките квадрати (LSM). С данни аи bфункция Това е целият метод на най-малките квадрати. Формула за намиране на параметъра асъдържа сумите , , , и параметъра не количеството експериментални данни. Стойностите на тези суми се препоръчват да се изчисляват отделно. Коефициент bнамерени след изчисление а. Време е да си припомним оригиналния пример. Решение. В нашия пример n=5. Попълваме таблицата за удобство при изчисляване на сумите, които са включени във формулите на необходимите коефициенти. Стойностите в четвъртия ред на таблицата се получават чрез умножаване на стойностите на 2-ри ред по стойностите на 3-ти ред за всяко число аз. Стойностите в петия ред на таблицата се получават чрез повдигане на квадрат на стойностите на 2-ри ред за всяко число аз. Стойностите на последната колона на таблицата са сумите от стойностите в редовете. Използваме формулите на метода на най-малките квадрати, за да намерим коефициентите аи b. Заменяме в тях съответните стойности от последната колона на таблицата: Следователно, y=0,165x+2,184е желаната апроксимираща права линия. Остава да разберем коя от линиите y=0,165x+2,184или За да направите това, трябва да изчислите сумите на квадратите на отклоненията на оригиналните данни от тези редове Тъй като , тогава линията y=0,165x+2,184приближава по-добре оригиналните данни. Всичко изглежда страхотно в класациите. Червената линия е намерената линия y=0,165x+2,184, синята линия е За какво е, за какво са всички тези приближения? Аз лично използвам за решаване на проблеми с изглаждане на данни, проблеми с интерполация и екстраполация (в оригиналния пример може да бъдете помолени да намерите стойността на наблюдаваната стойност гпри х=3или кога х=6по метода MNC). Но ще говорим повече за това по-късно в друг раздел на сайта. Най-горе на страницата Доказателство. Така че, когато се намери аи bфункция приема най-малката стойност, е необходимо в тази точка матрицата на квадратната форма на диференциала от втори ред за функцията Диференциалът от втори ред има формата: Това е Следователно матрицата на квадратната форма има формата Нека покажем, че матрицата е положително определена. Това изисква минорните ъгли да са положителни. Ъглов минор от първи ред Ъглов минор от втори ред Нека докажем това Заключение: намерени стойности аи bотговарят на най-малката стойност на функцията Някога разбираш ли? Най-горе на страницата Екстраполация
— това е метод на научно изследване, който се основава на разпространението на минали и настоящи тенденции, модели, връзки с бъдещото развитие на обекта на прогнозиране. Екстраполационните методи включват
метод на пълзяща средна, метод на експоненциално изглаждане, метод на най-малките квадрати. Същност метод на най-малките квадрати
се състои в минимизиране на сумата от квадратните отклонения между наблюдаваните и изчислените стойности. Изчислените стойности се намират според избраното уравнение - регресионното уравнение. Колкото по-малко е разстоянието между действителните стойности и изчислените, толкова по-точна е прогнозата въз основа на регресионното уравнение. Теоретичният анализ на същността на изследваното явление, чиято промяна се показва чрез времеви редове, служи като основа за избор на крива. Понякога се вземат предвид съображения за естеството на растежа на нивата на серията. Така че, ако нарастването на продукцията се очаква в аритметична прогресия, тогава изглаждането се извършва по права линия. Ако се окаже, че растежът е експоненциален, тогава изглаждането трябва да се направи по експоненциалната функция. Работната формула на метода на най-малките квадрати
: Y t+1 = a*X + b, където t + 1 е прогнозният период; Уt+1 – прогнозен показател; a и b са коефициенти; X е символ на времето. Коефициентите a и b се изчисляват по следните формули: където Uf - действителните стойности на серията от динамика; n е броят на нивата в динамичния ред; Изглаждането на динамичните редове по метода на най-малките квадрати служи за отразяване на моделите на развитие на изследваното явление. При аналитичното изразяване на тенденция времето се разглежда като независима променлива и нивата на серията действат като функция на тази независима променлива. Развитието на едно явление не зависи от това колко години са изминали от началото, а от това какви фактори са повлияли на неговото развитие, в каква посока и с каква интензивност. От това става ясно, че развитието на едно явление във времето се появява в резултат на действието на тези фактори. Правилното задаване на вида на кривата, вида на аналитичната зависимост от времето е една от най-трудните задачи на предсказуемия анализ.
. Изборът на типа функция, която описва тенденцията, чиито параметри се определят по метода на най-малките квадрати, в повечето случаи е емпиричен, чрез конструиране на редица функции и тяхното сравняване помежду си по отношение на стойността на корена -средноквадратична грешка, изчислена по формулата: където Uf - действителните стойности на серията от динамика; Ur – изчислени (изгладени) стойности на динамичния ред; n е броят на нивата в динамичния ред; p е броят на параметрите, определени във формулите, описващи тенденцията (тенденцията на развитие). Недостатъци на метода на най-малките квадрати
: Задача
. Има данни, характеризиращи нивото на безработицата в региона, % Решение на най-малките квадрати
За решението ще съставим таблица, в която ще направим необходимите изчисления: ε = 28,63/10 = 2,86% точност на прогнозатаВисоко. Заключение
: Сравняване на резултатите, получени при изчисленията метод на пълзяща средна
, експоненциално изглаждане
и метода на най-малките квадрати, можем да кажем, че средната относителна грешка при изчисленията по метода на експоненциалното изглаждане е в рамките на 20-50%. Това означава, че точността на прогнозата в този случай е само задоволителна. В първия и третия случай точността на прогнозата е висока, тъй като средната относителна грешка е по-малка от 10%. Но методът на подвижната средна даде възможност да се получат по-надеждни резултати (прогноза за ноември - 1,52%, прогноза за декември - 1,53%, прогноза за януари - 1,49%), тъй като средната относителна грешка при използване на този метод е най-малката - 1 ,13%. Списък на използваните източници аз- номер на опитната точка; Кликнете върху графиката В полето за данни въведете на всеки отделен ред стойностите на `x` и `y` в една експериментална точка. Стойностите трябва да бъдат разделени с интервал (интервал или раздел). Третата стойност може да бъде точковото тегло на „w“. Ако теглото на точката не е посочено, тогава то е равно на единица. В по-голямата част от случаите теглата на експерименталните точки са неизвестни или не са изчислени; всички експериментални данни се считат за еквивалентни. Понякога теглата в изследвания диапазон от стойности определено не са еквивалентни и дори могат да бъдат изчислени теоретично. Например в спектрофотометрията теглата могат да се изчислят с помощта на прости формули, въпреки че по принцип всички пренебрегват това, за да намалят разходите за труд. Данните могат да бъдат поставени през клипборда от офис електронна таблица като Excel от Microsoft Office или Calc от Open Office. За да направите това, изберете диапазона от данни, които да бъдат копирани в електронната таблица, копирайте го в клипборда и поставете данните в полето за данни на тази страница. За изчисляване по метода на най-малките квадрати са необходими поне две точки за определяне на два коефициента `b` - тангенса на ъгъла на наклона на правата линия и `a` - стойността, отсечена от правата линия върху `y ` ос. За да се оцени грешката на изчислените коефициенти на регресия, е необходимо да се зададе броят на експерименталните точки на повече от две. Колкото по-голям е броят на експерименталните точки, толкова по-точна е статистическата оценка на коефициентите (поради намаляването на коефициента на Стюдънт) и толкова по-близо е оценката до оценката на общата извадка. Получаването на стойности във всяка експериментална точка често е свързано със значителни разходи за труд, поради което често се провеждат компромисен брой експерименти, което дава лесно смилаема оценка и не води до прекомерни разходи за труд. По правило броят на експерименталните точки за линейна зависимост на най-малките квадрати с два коефициента се избира в рамките на 5-7 точки. Да предположим, че имаме набор от експериментални данни под формата на двойки стойности [`y_i`, `x_i`], където `i` е номерът на едно експериментално измерване от 1 до `n`; `y_i` - стойността на измерената стойност в точка `i`; `x_i` - стойността на параметъра, който задаваме в точката `i`. Пример е действието на закона на Ом. Чрез промяна на напрежението (потенциалната разлика) между секциите на електрическата верига измерваме количеството ток, преминаващ през тази секция. Физиката ни дава експериментално установената зависимост: „I=U/R“, В този случай `y_i` е измерената стойност на тока, а `x_i` е стойността на напрежението. Като друг пример, помислете за абсорбцията на светлина от разтвор на вещество в разтвор. Химията ни дава формулата: `A = εl C`, В този случай `y_i` е измерената оптична плътност `A`, а `x_i` е концентрацията на веществото, която задаваме. Ще разгледаме случая, когато относителната грешка при задаване на `x_i` е много по-малка от относителната грешка при измерване на `y_i`. Ще приемем също, че всички измерени стойности на `y_i` са произволни и нормално разпределени, т.е. се подчиняват на нормалния закон за разпределение. В случай на линейна зависимост на `y` от `x`, можем да запишем теоретичната зависимост: От геометрична гледна точка коефициентът `b` означава тангентата на наклона на линията към оста `x`, а коефициентът `a` - стойността на `y` в точката на пресичане на правата с ` оста y` (с `x = 0`). При експеримент измерените стойности на `y_i` не могат да лежат точно на теоретичната линия поради грешки в измерването, които винаги са присъщи на реалния живот. Следователно линейното уравнение трябва да бъде представено чрез система от уравнения: Зависимостта (1) се нарича още регресия, т.е. зависимостта на двете величини една от друга със статистическа значимост. Задачата за възстановяване на зависимостта е да се намерят коефициентите `a` и `b` от експерименталните точки [`y_i`, `x_i`]. За намиране на коефициентите `a` и `b` обикновено се използват метод на най-малките квадрати(MNK). Това е специален случай на принципа на максималната вероятност. Нека пренапишем (1) като `ε_i = y_i - a - b x_i`. Тогава сумата от квадратите на грешките ще бъде Принципът на метода на най-малките квадрати е да се минимизира сумата (2) по отношение на параметрите `a` и `b`. Минимумът се достига, когато частните производни на сумата (2) по отношение на коефициентите `a` и `b` са равни на нула: Разширявайки производните, получаваме система от две уравнения с две неизвестни: Отваряме скобите и прехвърляме сумите, независими от желаните коефициенти, към другата половина, получаваме система от линейни уравнения: Решавайки получената система, намираме формули за коефициентите `a` и `b`: `a = frac(sum_(i=1)^(n) y_i sum_(i=1)^(n) x_i^2 - sum_(i=1)^(n) x_i sum_(i=1)^(n ) x_iy_i) (n сума_(i=1)^(n) x_i^2 — (сума_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.1) `b = frac(n сума_(i=1)^(n) x_iy_i - сума_(i=1)^(n) x_i сума_(i=1)^(n) y_i) (n сума_(i=1)^ (n) x_i^2 - (sum_(i=1)^(n) x_i)^2)` (3.2) Тези формули имат решения, когато `n > 1` (линията може да бъде начертана с помощта на поне 2 точки) и когато детерминантата `D = n sum_(i=1)^(n) x_i^2 — (sum_(i= 1 )^(n) x_i)^2 != 0`, т.е. когато точките `x_i` в експеримента са различни (т.е. когато линията не е вертикална). За по-точна оценка на грешката при изчисляване на коефициентите `a` и `b` е желателно голям брой експериментални точки. Когато `n = 2`, е невъзможно да се оцени грешката на коефициентите, т.к апроксимиращата права еднозначно ще минава през две точки. Определя се грешката на случайната величина `V` закон за натрупване на грешки Да напишем закона за натрупване на грешки за грешката на коефициентите `a` и `b` `S_y^2 = S_(y_i)^2` - грешката (дисперсия, квадратно стандартно отклонение) в измерението `y`, като се приема, че грешката е еднаква за всички `y` стойности. Замествайки формулите за изчисляване на `a` и `b` в получените изрази, получаваме `S_a^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (sum_(i=1)^(n) x_i^2 - x_i sum_(i=1)^(n) x_i)^2 ) (D^2) = S_y^2 frac((n сума_(i=1)^(n) x_i^2 - (сума_(i=1)^(n) x_i)^2) сума_(i=1) ^(n) x_i^2) (D^2) = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) x_i^2) (D)` (4.1) `S_b^2 = S_y^2 frac(sum_(i=1)^(n) (n x_i - sum_(i=1)^(n) x_i)^2) (D^2) = S_y^2 frac( n (n сума_(i=1)^(n) x_i^2 - (сума_(i=1)^(n) x_i)^2)) (D^2) = S_y^2 frac(n) (D) ` (4.2) В повечето реални експерименти стойността на „Sy“ не се измерва. За да направите това, е необходимо да се извършат няколко паралелни измервания (експерименти) в една или няколко точки от плана, което увеличава времето (и евентуално цената) на експеримента. Следователно обикновено се приема, че отклонението на `y` от регресионната линия може да се счита за случайно. Оценката на дисперсията `y` в този случай се изчислява по формулата. `S_y^2 = S_(y, почивка)^2 = frac(sum_(i=1)^n (y_i - a - b x_i)^2) (n-2)`. Делителят `n-2` се появява, защото сме намалили броя на степените на свобода поради изчисляването на два коефициента за една и съща извадка от експериментални данни. Тази оценка се нарича още остатъчна дисперсия спрямо линията на регресия „S_(y, почивка)^2“. Оценката на значимостта на коефициентите се извършва по критерия на Стюдънт `t_a = frac(|a|) (S_a)`, `t_b = frac(|b|) (S_b)` Ако изчислените критерии `t_a`, `t_b` са по-малки от критериите на таблицата `t(P, n-2)`, тогава се счита, че съответният коефициент не се различава значително от нула с дадена вероятност `P`. За да оцените качеството на описанието на линейна връзка, можете да сравните „S_(y, rest)^2“ и „S_(bar y)“ спрямо средната стойност, като използвате критерия на Фишер. `S_(bar y) = frac(sum_(i=1)^n (y_i - bar y)^2) (n-1) = frac(sum_(i=1)^n (y_i - (sum_(i= 1)^n y_i) /n)^2) (n-1)` - примерна оценка на дисперсията на `y` спрямо средната стойност. За да се оцени ефективността на регресионното уравнение за описание на зависимостта, се изчислява коефициентът на Фишер Ако `F > F(P, n-1, n-2)`, разликата между описанието на зависимостта `y = f(x)` с помощта на регресионното уравнение и описанието с помощта на средната стойност се счита за статистически значима с вероятност „П“. Тези. регресията описва зависимостта по-добре от разпространението на `y` около средната стойност. Кликнете върху графиката Методът на най-малките квадрати означава определяне на неизвестни параметри а, б, в,…приета функционална зависимост y = f(x,a,b,c,…), което би осигурило минимум от средния квадрат (дисперсия) на грешката където x i , y i - набор от двойки числа, получени от експеримента. Тъй като условието за екстремума на функция на няколко променливи е условието нейните частни производни да са равни на нула, тогава параметрите а, б, в,…се определят от системата от уравнения: ; ; ; … (25) Трябва да се помни, че методът на най-малките квадрати се използва за избор на параметри след формата на функцията y = f(x)дефинирани. Ако от теоретични съображения е невъзможно да се направят каквито и да било заключения за това каква трябва да бъде емпиричната формула, тогава трябва да се ръководи от визуални представяния, предимно графично представяне на наблюдаваните данни. На практика най-често се ограничава до следните видове функции: 1) линеен 2) квадратно a . Същността на метода на най-малките квадрати е
при намиране на параметрите на модела на тенденцията, който най-добре описва тенденцията на развитие на всяко случайно явление във времето или пространството (тенденцията е линия, която характеризира тенденцията на това развитие). Задачата на метода на най-малките квадрати (OLS) е да намери не просто някакъв модел на тенденция, а да намери най-добрия или оптимален модел. Този модел ще бъде оптимален, ако сумата от квадратните отклонения между наблюдаваните действителни стойности и съответните изчислени стойности на тенденцията е минимална (най-малка): където е стандартното отклонение между наблюдаваната действителна стойност и съответната изчислена стойност на тренда, Действителната (наблюдавана) стойност на изследваното явление, Прогнозна стойност на модела на тренда, Броят на наблюденията на изследваното явление. MNC рядко се използва самостоятелно. По правило най-често се използва само като необходима техника при корелационни изследвания.
Трябва да се помни, че информационната основа на LSM може да бъде само надеждна статистическа серия и броят на наблюденията не трябва да бъде по-малък от 4, в противен случай процедурите за изглаждане на LSM могат да загубят здравия си смисъл. Инструментариумът OLS се свежда до следните процедури: Първа процедура.
Оказва се дали изобщо има тенденция за промяна на резултантния атрибут при промяна на избрания фактор-аргумент или с други думи дали има връзка между " при
" и " х
». Втора процедура.
Определя се коя линия (траектория) може най-добре да опише или характеризира тази тенденция. Трета процедура.
Пример. Да предположим, че имаме информация за средния добив на слънчоглед за изследваната ферма (Таблица 9.1). Таблица 9.1 Номер на наблюдение Производителност, c/ha Тъй като нивото на технологията на производството на слънчоглед у нас не се е променило много през последните 10 години, това означава, че най-вероятно колебанията в добивите през анализирания период са зависили в голяма степен от колебанията в метеорологичните и климатичните условия. Вярно ли е? Първа процедура на MNC.
Тества се хипотезата за наличие на тенденция в изменението на добива от слънчоглед в зависимост от промените в метеорологичните и климатичните условия през анализираните 10 години. В този пример за " г
» препоръчително е да се вземе добивът от слънчоглед, а за « х
» е номерът на наблюдаваната година в анализирания период. Проверка на хипотезата за съществуването на някаква връзка между " х
" и " г
» може да се извърши по два начина: ръчно и с помощта на компютърни програми. Разбира се, с наличието на компютърни технологии, този проблем се решава от само себе си. Но за да разберем по-добре инструментите на OLS, е препоръчително да тестваме хипотезата за съществуването на връзка между " х
" и " г
» ръчно, когато имате под ръка само химикал и обикновен калкулатор. В такива случаи хипотезата за наличието на тенденция се проверява най-добре визуално чрез местоположението на графичното изображение на анализирания динамичен ред - корелационното поле: Корелационното поле в нашия пример е разположено около бавно нарастваща линия. Това само по себе си говори за наличието на определена тенденция в изменението на добива от слънчоглед. Невъзможно е да се говори за наличието на тенденция само когато корелационното поле изглежда като кръг, кръг, строго вертикален или строго хоризонтален облак или се състои от произволно разпръснати точки. Във всички останали случаи е необходимо да се потвърди хипотезата за наличието на връзка между " х
" и " г
и продължете изследванията. Втора процедура на MNC.
Определя се коя линия (траектория) може най-добре да опише или характеризира тенденцията в изменението на добива на слънчоглед за анализирания период. С наличието на компютърна технология изборът на оптимална тенденция става автоматично. При "ръчна" обработка изборът на оптимална функция се извършва, като правило, визуално - чрез местоположението на корелационното поле. Тоест според вида на диаграмата се избира уравнението на линията, което е най-подходящо за емпиричния тренд (към реалната траектория). Както знаете, в природата има огромно разнообразие от функционални зависимости, така че е изключително трудно да се анализира визуално дори малка част от тях. За щастие в реалната икономическа практика повечето връзки могат да бъдат точно описани или с парабола, или с хипербола, или с права линия. В тази връзка с опцията "ръчно" за избор на най-добрата функция можете да се ограничите само до тези три модела. Хипербола: Парабола от втори ред: Лесно се вижда, че в нашия пример тенденцията в промените в добива на слънчоглед през анализираните 10 години се характеризира най-добре с права линия, така че регресионното уравнение ще бъде уравнение на права линия. Трета процедура.
Изчисляват се параметрите на регресионното уравнение, което характеризира тази линия, или с други думи се определя аналитична формула, която описва най-добрия трендов модел. Намирането на стойностите на параметрите на регресионното уравнение, в нашия случай, параметрите и , е ядрото на най-малките квадрати. Този процес се свежда до решаване на система от нормални уравнения. Тази система от уравнения се решава доста лесно по метода на Гаус. Припомнете си, че в резултат на решението в нашия пример се намират стойностите на параметрите и . По този начин намереното регресионно уравнение ще има следната форма: 
Енциклопедичен YouTube
субтитри
История
Същността на метода на най-малките квадрати
Пример - система от линейни уравнения
OLS в регресионен анализ (апроксимация на данни)
LSM в случай на линейна регресия
Най-простите специални случаи
Случаят на полиномен модел
Статистически свойства на оценките на OLS
Претеглени най-малки квадрати
, 
, който изпълнява средноквадратичното приближение на дадената функция по отношение на точки. Съставете функция 
и напишете необходимото екстремално условие за него:
Същността на метода на най-малките квадрати (МНК).
приема най-малката стойност. Това е предвид данните аи bсумата от квадратите на отклоненията на експерименталните данни от намерената права линия ще бъде най-малка. Това е целият смисъл на метода на най-малките квадрати.Извеждане на формули за намиране на коефициенти.
по променливи аи b, ние приравняваме тези производни на нула. 
приема най-малката стойност. Доказателството за този факт е дадено по-долу в текста в края на страницата.
по-добре приближава оригиналните данни, т.е. да направи оценка с помощта на метода на най-малките квадрати.Оценка на грешката на метода на най-малките квадрати.
и 
, по-малка стойност съответства на линия, която по-добре приближава оригиналните данни по отношение на метода на най-малките квадрати. 
Графична илюстрация на метода на най-малките квадрати (LSM).
, розовите точки са оригиналните данни.
беше положително категоричен. Нека го покажем.
и стойностите на елементите не зависят от аи b.
. Неравенството е строго, тъй като точките не съвпадат. Това ще се подразбира в това, което следва.
метод на математическата индукция.
следователно са желаните параметри за метода на най-малките квадрати.
Поръчайте решениеРазработване на прогноза по метода на най-малките квадрати. Пример за решение на проблем
Пример за използване на метода на най-малките квадрати за разработване на прогноза
Метод на най-малките квадрати
Други свързани статии:
Програма MNE
Въвеждане на данни
Данни и приближение y = a + b x
x i- стойността на фиксирания параметър в точката аз;
y i- стойността на измерения параметър в точката аз;
ω i- тегло на измерване в точка аз;
y i, калк.- разликата между измерената стойност и стойността, изчислена от регресията гв точката аз;
S x i (x i)- оценка на грешката x iпри измерване гв точката аз.Данни и приближение y = k x
аз
x i
y i
ω i
y i, калк.
Δy i
S x i (x i)
Ръководство за потребителя на онлайн програмата MNC.
Метод на най-малките квадрати (LSM).
Кратка теория на най-малките квадрати за линейна зависимост
където `I` - сила на тока; `R` - съпротивление; `U` - напрежение.
където "А" е оптичната плътност на разтвора; `ε` - пропускливост на разтворено вещество; `l` - дължина на пътя при преминаване на светлината през кювета с разтвор; `C` е концентрацията на разтвореното вещество.
`y = a + bx`.Намиране на параметрите на регресионната права.
`y_i = a + b x_i + ε_i` (1),
където `ε_i` е неизвестната грешка на измерване на `y` в `i`-ия експеримент.
`Φ = сума_(i=1)^(n) ε_i^2 = сума_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2`. (2)
`frac(partial Φ)(partial a) = frac(partial sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(partial a) = 0`
`frac(partial Φ)(partial b) = frac(partial sum_(i=1)^(n) (y_i - a - b x_i)^2)(partial b) = 0`
`сума_(i=1)^(n) (2a + 2bx_i - 2y_i) = сума_(i=1)^(n) (a + bx_i - y_i) = 0`
`сума_(i=1)^(n) (2bx_i^2 + 2ax_i - 2x_iy_i) = сума_(i=1)^(n) (bx_i^2 + ax_i - x_iy_i) = 0`
`сума_(i=1)^(n) y_i = a n + b сума_(i=1)^(n) bx_i`
`сума_(i=1)^(n) x_iy_i = сума_(i=1)^(n) x_i + b сума_(i=1)^(n) x_i^2`Оценка на грешките в коефициентите на регресионната линия
`S_V^2 = сума_(i=1)^p (frac(частично f)(частично z_i))^2 S_(z_i)^2`,
където `p` е броят параметри `z_i` с грешка `S_(z_i)`, които засягат грешката `S_V`;
„f“ е функция на зависимост на „V“ от „z_i“.
`S_a^2 = сума_(i=1)^(n)(frac(частично a)(частично y_i))^2 S_(y_i)^2 + сума_(i=1)^(n)(frac(частично a )(частично x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 сума_(i=1)^(n)(frac(частично a)(частично y_i))^2 `,
`S_b^2 = сума_(i=1)^(n)(frac(частично b)(частично y_i))^2 S_(y_i)^2 + сума_(i=1)^(n)(frac(частично b )(частично x_i))^2 S_(x_i)^2 = S_y^2 сума_(i=1)^(n)(frac(частично b)(частично y_i))^2 `,
защото `S_(x_i)^2 = 0` (преди това направихме уговорка, че грешката на `x` е незначителна).
`F = S_(лента y) / S_(y, почивка)^2`,
който се сравнява с табличния коефициент на Фишер `F(p, n-1, n-2)`.
за добавяне на стойности към таблицатаМетод на най-малките квадрати. Методът на най-малките квадрати означава определяне на неизвестни параметри a, b, c, приетата функционална зависимост
, (24)
;
:
(9.2)
