Изчисляване на втората забележителна граница. Онлайн калкулатор Решаване на граници

Терминът „забележителна граница“ е широко използван в учебниците и учебните помагала за обозначаване на важни идентичности, които значително помагат опростете работатада намери граници.

Но да да може да донесеграницата на забележителното, трябва да го разгледате добре, защото те не възникват директно, а често под формата на последствия, оборудвани с допълнителни условия и фактори. Все пак първо теорията, после примерите и ще успеете!

Първият прекрасен лимит

Хареса ли? Отметка

Първата забележителна граница е написана както следва (несигурност от формата $0/0$):

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin x)(x)=1. $$

Последици от първата забележителна граница

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(x)(\sin x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (ax))(\sin (bx))=\frac(a)(b). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\tan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arcsin x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\arctan x)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos x)(x^2/2)=1. $$

Примерни решения: 1 чудесен лимит

Пример 1 Изчисляване на лимит $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x).$$

Решение.Първата стъпка винаги е една и съща - заместваме граничната стойност $x=0$ във функцията и получаваме:

$$\left[ \frac(\sin 0)(0) \right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Получихме несигурност от формата $\left[\frac(0)(0)\right]$, която трябва да бъде разрешена. Ако се вгледате внимателно, оригиналната граница е много подобна на първата забележителна, но не съвпада с нея. Нашата задача е да доведем до сходство. Нека го трансформираме по следния начин - погледнете израза под синуса, направете същото в знаменателя (относително казано, умножете и разделете на $3x$), допълнително намалете и опростете:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(8x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin 3x)(3x)\frac(3x)(8x )=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x)\frac(3)(8)=\frac(3)(8). $$

По-горе беше получена първата чудесна граница: $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (3x))(3x) = \lim\limits_(y\to 0)\frac(\sin ( y))(y)=1, \text( направи условно заместване) y=3x. $$ Отговор: $3/8$.

Пример 2 Изчисляване на ограничение $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x).$$

Решение.Заместваме граничната стойност $x=0$ във функцията и получаваме:

$$\left[ \frac(1-\cos 0)(\tan 0\cdot \sin 0)\right] =\left[ \frac(1-1)( 0\cdot 0)\right] = \left [\frac(0)(0)\right].$$

Получихме несигурност от формата $\left[\frac(0)(0)\right]$. Нека трансформираме границата, използвайки първата прекрасна граница в опростяване (три пъти!):

$$\lim\limits_(x\to 0)\frac(1-\cos 3x)(\tan 2x\cdot \sin 4x) = \lim\limits_(x\to 0)\frac( 2 \sin^2 (3x/2))(\sin 2x\cdot \sin 4x)\cdot \cos 2x = $$ $$ = 2\lim\limits_(x\to 0)\frac( \sin^2 (3x/2) )((3x/2)^2) \cdot \frac( 2x)(\sin 2x) \cdot \frac( 4x)( \sin 4x)\cdot \frac( (3x/2)^2)( 2x \ cdot 4x) \cdot \cos 2x = $$ $$ =2\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \frac( (9/4)x^2)( 8x^2 ) \cdot \cos 2x= 2 \cdot \frac( 9)( 32) \lim\limits_(x\to 0) \cos 2x=\frac(9)(16). $$

Отговор: $9/16$.

Пример 3 Намерете границата $$\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5).$$

Решение.Но какво ще стане, ако под тригонометричната функция има сложен израз? Няма значение и тук действаме по същия начин. Първо проверете вида на несигурността, заменете $x=0$ във функцията и получете:

$$\left[ \frac(\sin (0+0))(0-0)\right] = \left[\frac(0)(0)\right].$$

Получихме несигурност от формата $\left[\frac(0)(0)\right]$. Умножете и разделете на $2x^3+3x$:

$$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x^3+3x))(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0)\frac(\sin (2x) ^3+3x))((2x^3+3x)) \cdot \frac(2x^3+3x)(5x-x^5)=\lim\limits_(x\to 0) 1 \cdot \frac( 2x^3+3x)(5x-x^5)= \left[\frac(0)(0)\right] = $$

Отново има несигурност, но в този случай това е само част. Нека намалим числителя и знаменателя с $x$:

$$ =\lim\limits_(x\to 0) \frac(2x^2+3)(5-x^4)= \left[\frac(0+3)(5-0)\right] =\ frac(3)(5). $$

Отговор: $3/5$.

Втората прекрасна граница

Второто забележително ограничение е написано по следния начин (неопределеност на формата $1^\infty$):

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(1)(x)\right)^(x)=e, \quad \text(or) \quad \lim\limits_( x\до 0) \left(1+x\right)^(1/x)=e. $$

Последици от второто забележително ограничение

$$ \lim\limits_(x\to \infty) \left(1+\frac(a)(x)\right)^(bx)=e^(ab). $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(\ln (1+x))(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(e^x -1)(x)=1. $$ $$ \lim\limits_(x\to 0)\frac(a^x-1)(x \ln a)=1, a>0, a \ne 1. $$ $$ \lim\limits_( x\до 0)\frac((1+x)^(a)-1)(ax)=1. $$

Примерни решения: 2 чудесни граници

Пример 4 Намерете границата $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3).$$

Решение.Нека проверим вида на несигурността, заместваме $x=\infty$ във функцията и получаваме:

$$\left[ \left(1-\frac(2)(\infty)\right)^(\infty) \right] = \left.$$

Получихме несигурност от формата $\left$. Границата може да бъде намалена до второто забележително. Нека трансформираме:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(1-\frac(2)(3x)\right)^(x+3) = \lim\limits_(x\to \infty)\left( 1+\frac(1)((-3x/2))\right)^(\frac(-3x/2)(-3x/2)(x+3))= $$ $$ = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\left(1+\frac(1)((-3x/2))\right)^((-3x/2))\right)^\frac(x+3 )(-3x/2)= $$

Изразът в скоби всъщност е втората прекрасна граница $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, само $t=- 3x/2$, така че

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^\frac(x+3)(-3x/2)= \lim\limits_(x\to \infty)e^\ frac(1+3/x)(-3/2)=e^(-2/3). $$

Отговор:$e^(-2/3)$.

Пример 5 Намерете границата $$\lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x).$ $

Решение.Заместете $x=\infty$ във функцията и получете несигурността на формата $\left[ \frac(\infty)(\infty)\right]$. И имаме нужда от $\left$. Така че нека започнем с преобразуването на израза в скоби:

$$ \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac(x^3+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x) = \lim\limits_ (x\to \infty)\left(\frac(x^3+(x-7)-(x-7)+2x^2+1)(x^3+x-7)\right)^(x ) = \lim\limits_(x\to \infty)\left(\frac((x^3+x-7)+(-x+7+2x^2+1))(x^3+x-7 )\right)^(x) = $$ $$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7) \вдясно)^(x) = \lim\limits_(x\до \infty)\вляво(\вляво(1+\frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)\вдясно) ^(\frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8))\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7)) = $$

Изразът в скоби всъщност е втората прекрасна граница $\lim\limits_(t\to \infty) \left(1+\frac(1)(t)\right)^(t)=e$, само $t=\ frac(x^3+x-7)(2x^2-x+8) \to \infty$, така че

$$ = \lim\limits_(x\to \infty)\left(e\right)^(x \frac(2x^2-x+8)(x^3+x-7))= \lim\limits_ (x\to \infty)e^( \frac(2x^2-x+8)(x^2+1-7/x))= \lim\limits_(x\to \infty)e^( \frac (2-1/x+8/x^2)(1+1/x^2-7/x^3))=e^(2). $$

Има няколко прекрасни граници, но най-известните са първата и втората чудесни граници. Забележителното при тези лимити е, че те се използват широко и могат да се използват за намиране на други лимити, срещани при множество проблеми. Това е, което ще правим в практическата част на този урок. За да се решат проблемите чрез намаляване до първата или втората забележителна граница, не е необходимо да се разкриват съдържащите се в тях несигурности, тъй като стойностите на тези граници отдавна са изведени от велики математици.

Първата забележителна границанаречена граница на съотношението на синуса на безкрайно малка дъга към същата дъга, изразено в радианова мярка:

Нека да преминем към решаването на задачи на първата забележителна граница. Забележка: ако една тригонометрична функция е под знака за граница, това е почти сигурен знак, че този израз може да бъде намален до първата забележителна граница.

Пример 1Намерете границата.

Решение. Вместо това заместване хнула води до несигурност:

.

Знаменателят е синус, следователно изразът може да бъде намален до първата забележителна граница. Да започнем трансформацията:

.

В знаменателя - синус от три x, а в числителя има само едно x, което означава, че трябва да получите три x в числителя. За какво? Да представя 3 х = аи вземете израза.

И стигаме до вариант на първата забележителна граница:

защото няма значение коя буква (променлива) в тази формула е вместо X.

Умножаваме x по три и веднага разделяме:

.

В съответствие с отбелязаното първо забележително ограничение, заместваме дробния израз:

Сега най-накрая можем да решим тази граница:

.

Пример 2Намерете границата.

Решение. Директното заместване отново води до несигурността „нула, делене на нула“:

.

За да получим първата забележителна граница, е необходимо х под знака синус в числителя и само х в знаменателя да са с еднакъв коефициент. Нека този коефициент е равен на 2. За да направите това, представете си текущия коефициент при x, както е показано по-долу, извършвайки действия с дроби, получаваме:

.

Пример 3Намерете границата.

Решение. При заместване отново получаваме несигурността "нула, разделена на нула":

.

Вероятно вече разбирате, че от оригиналния израз можете да получите първата прекрасна граница, умножена по първата прекрасна граница. За да направим това, разлагаме квадратите на х в числителя и синуса в знаменателя на едни и същи множители и за да получим еднакви коефициенти за х и синуса, разделяме х в числителя на 3 и веднага умножете по 3. Получаваме:

.

Пример 4Намерете границата.

Решение. Отново получаваме несигурността "нула, разделена на нула":

.

Можем да получим съотношението на първите две забележителни граници. Разделяме и числителя, и знаменателя на x. След това, за да съвпаднат коефициентите при синуси и при x, умножаваме горното x по 2 и веднага делим на 2, а долното x умножаваме по 3 и веднага делим на 3. Получаваме:

Пример 5Намерете границата.

Решение. И отново, несигурността на "нула, разделена на нула":

Спомняме си от тригонометрията, че тангенсът е съотношението на синуса към косинуса, а косинусът на нулата е равен на едно. Правим трансформации и получаваме:

.

Пример 6Намерете границата.

Решение. Тригонометричната функция под знака за граница отново подсказва идеята за прилагане на първата забележителна граница. Представяме го като отношение на синус към косинус.

От горната статия можете да разберете каква е границата и с какво се яде - това е МНОГО важно. Защо? Може да не разбирате какви са детерминантите и да ги решавате успешно, може изобщо да не разбирате какво е производна и да ги намирате на "петицата". Но ако не разбирате какво е лимит, тогава ще бъде трудно да решите практически задачи. Също така няма да е излишно да се запознаете с образците на дизайна на решенията и моите препоръки за дизайн. Цялата информация е представена по прост и достъпен начин.

А за целите на този урок са ни необходими следните методически материали: Забележителни границии Тригонометрични формули. Те могат да бъдат намерени на страницата. Най-добре е да отпечатате ръководствата - това е много по-удобно, освен това те често трябва да бъдат достъпни офлайн.

Какво е забележителното в прекрасните граници? Забележителността на тези граници се крие във факта, че те са доказани от най-големите умове на известни математици и благодарните потомци не трябва да страдат от ужасни граници с купчина тригонометрични функции, логаритми и степени. Тоест при намирането на границите ще използваме готови резултати, които са доказани теоретично.

Има няколко забележителни ограничения, но на практика задочниците в 95% от случаите имат две забележителни ограничения: Първият прекрасен лимит, Втората прекрасна граница. Трябва да се отбележи, че това са исторически установени имена и когато например говорят за „първата забележителна граница“, те имат предвид под това много специфично нещо, а не някаква произволна граница, взета от тавана.

Първият прекрасен лимит

Помислете за следното ограничение: (вместо родната буква "той" ще използвам гръцката буква "алфа", това е по-удобно от гледна точка на представяне на материала).

Според нашето правило за намиране на граници (вижте статията Ограничения. Примери за решения) се опитваме да заместим нула във функцията: в числителя получаваме нула (синусът на нулата е нула), в знаменателя, очевидно, също нула. Така се сблъскваме с неопределеност на формата, която, за щастие, не е необходимо да се разкрива. В хода на математическия анализ се доказва, че:

Този математически факт се нарича Първият прекрасен лимит. Няма да давам аналитично доказателство за границата, но ще разгледаме нейното геометрично значение в урока по безкрайно малки функции.

Често в практическите задачи функциите могат да бъдат подредени по различен начин, това не променя нищо:

– същата първа прекрасна граница.

Но не можете сами да пренаредите числителя и знаменателя! Ако границата е дадена във формата, тогава тя трябва да бъде решена в същата форма, без да се пренарежда нищо.

На практика не само променлива може да действа като параметър, но и елементарна функция, сложна функция. Важно е само да клони към нула.

Примери:
, , ,

Тук , , , , и всичко бръмчи - приложимо е първото прекрасно ограничение.

И ето следващият запис - ерес:

Защо? Тъй като полиномът не клони към нула, той клони към пет.

Между другото въпросът е за насипване, но каква е границата ? Отговорът може да бъде намерен в края на урока.

На практика не всичко е толкова гладко, почти никога на ученик няма да бъде предложено да реши безплатен лимит и да получи лесен кредит. Хммм... Пиша тези редове и ми хрумна една много важна мисъл - все пак май е по-добре да помним наизуст "свободните" математически дефиниции и формули, това може да бъде от безценна помощ в теста, когато въпросът ще бъде решен между „две“ и „три“ и учителят решава да зададе на ученика някакъв прост въпрос или да предложи да реши най-простия пример („може би той (а) все още знае какво ?!“).

Нека да преминем към практически примери:

Пример 1

Намерете границата

Ако забележим синус в границата, това веднага трябва да ни накара да мислим за възможността за прилагане на първата забележителна граница.

Първо се опитваме да заменим 0 в израза под знака за граница (правим това мислено или на чернова):

И така, имаме неопределеност на формата, нейната не забравяйте да посочитепри вземане на решение. Изразът под знака за граница изглежда като първата прекрасна граница, но това не е съвсем, това е под синуса, но в знаменателя.

В такива случаи трябва сами да организираме първия прекрасен лимит, използвайки изкуствено устройство. Линията на разсъждение може да бъде следната: „под синуса имаме, което означава, че трябва да влезем и в знаменателя“.
И това се прави много просто:

Тоест, в този случай знаменателят е изкуствено умножен по 7 и разделен на същите седем. Сега записът придоби позната форма.
Когато задачата е съставена на ръка, препоръчително е да маркирате първата прекрасна граница с обикновен молив:

Какво стана? Всъщност ограденият израз се превърна в единица и изчезна в продукта:

Сега остава само да се отървем от триетажната фракция:

Който е забравил опростяването на многоетажните дроби, моля, опреснете материала в справочника Горещи училищни математически формули .

Готов. Окончателен отговор:

Ако не искате да използвате маркировки с молив, тогава решението може да бъде форматирано по следния начин:

“

Използваме първата забележителна граница

“

Пример 2

Намерете границата

Отново виждаме дроб и синус в границата. Опитваме се да заменим нула в числителя и знаменателя:

Наистина имаме несигурност и следователно трябва да се опитаме да организираме първата забележителна граница. На урока Ограничения. Примери за решенияразгледахме правилото, че когато имаме несигурност, тогава трябва да разложим числителя и знаменателя на фактори. Тук - същото, ще представим степените като произведение (множители):

Подобно на предишния пример, очертаваме с молив прекрасните граници (тук има две от тях) и показваме, че те клонят към една:

Всъщност отговорът е готов:

В следващите примери няма да правя изкуство в Paint, мисля как правилно да съставя решение в тетрадка - вече разбирате.

Пример 3

Намерете границата

Заменяме нула в израза под знака за граница:

Получена е несигурност, която трябва да бъде разкрита. Ако в границата има тангенс, тогава той почти винаги се преобразува в синус и косинус според добре известната тригонометрична формула (между другото, те правят същото с котангенса, вижте методическия материал Горещи тригонометрични формулиНа страницата Математически формули, таблици и справочни материали).

В такъв случай:

Косинусът от нула е равен на едно и е лесно да се отървете от него (не забравяйте да отбележите, че клони към едно):

Така, ако в границата косинусът е МНОЖИТЕЛ, тогава, грубо казано, той трябва да се превърне в единица, която изчезва в произведението.

Тук всичко се оказа по-просто, без никакви умножения и деления. Първата забележителна граница също се превръща в единство и изчезва в продукта:

В резултат на това се получава безкрайност, случва се.

Пример 4

Намерете границата

Опитваме се да заменим нула в числителя и знаменателя:

Получена несигурност (косинус от нула, както помним, е равен на едно)

Използваме тригонометричната формула. Да вземат под внимание! По някаква причина ограниченията, използващи тази формула, са много често срещани.

Изваждаме постоянните множители отвъд иконата за ограничение:

Нека организираме първия забележителен лимит:

Тук имаме само едно прекрасно ограничение, което се превръща в едно и изчезва в продукта:

Да се ​​отървем от триетажния:

Границата всъщност е решена, показваме, че оставащият синус клони към нула:

Пример 5

Намерете границата

Този пример е по-сложен, опитайте се да го разберете сами:

Някои граници могат да бъдат намалени до първата забележителна граница чрез промяна на променливата, можете да прочетете за това малко по-късно в статията Методи за решаване на граници.

Втората прекрасна граница

В теорията на математическия анализ е доказано, че:

Този факт се нарича второ забележително ограничение.

Справка: е ирационално число.

Не само променлива може да действа като параметър, но и сложна функция. Важно е само да се стреми към безкрайност.

Пример 6

Намерете границата

Когато изразът под знака за граница е в сила - това е първият знак, че трябва да се опитате да приложите втората прекрасна граница.

Но първо, както винаги, се опитваме да заменим безкрайно голямо число в израза, според какъв принцип се прави това, беше анализирано в урока Ограничения. Примери за решения.

Лесно е да се види, че когато основата на степента и показателят - , тоест има несигурност на формата:

Тази несигурност се разкрива само с помощта на втората забележителна граница. Но, както често се случва, втората прекрасна граница не лежи на сребърен поднос и трябва да бъде изкуствено организирана. Можете да разсъждавате по следния начин: в този пример параметърът означава, че трябва да организираме и индикатора. За да направим това, повдигаме основата на степен и за да не се промени изразът, го повдигаме на степен:

Когато задачата е съставена на ръка, отбелязваме с молив:

Почти всичко е готово, ужасната степен се е превърнала в красиво писмо:

В същото време самата икона на лимита се премества в индикатора:

Пример 7

Намерете границата

внимание! Този тип лимит е много често срещан, моля, проучете внимателно този пример.

Опитваме се да заменим безкрайно голямо число в израза под знака за граница:

Резултатът е несигурност. Но второто забележително ограничение се отнася до несигурността на формата. Какво да правя? Трябва да конвертирате основата на степента. Ние разсъждаваме така: в знаменателя имаме , което означава, че трябва да организираме и в числителя.

Доказателство:

Нека първо докажем теоремата за случая на последователността

Според биномната формула на Нютон:

Ако приемем, че получим

От това равенство (1) следва, че с нарастването на n броят на положителните членове от дясната страна се увеличава. Освен това, когато n нараства, числото намалява, така че количествата нараства. Следователно последователността нараства, докато (2)* Нека покажем, че е ограничен. Заменяме всяка скоба от дясната страна на равенството с една, дясната страна се увеличава, получаваме неравенството

Засилваме полученото неравенство, заместваме 3,4,5, ..., стоящи в знаменателите на дроби, с числото 2: Намираме сбора в скоби по формулата за сбора на членовете на геометрична прогресия: Следователно (3)*

Така последователността е ограничена отгоре, а неравенствата (2) и (3) са в сила: Следователно, въз основа на теоремата на Вайерщрас (критерий за сходимост на последователност), последователността нараства монотонно и е ограничено, което означава, че има граница, означена с буквата e. Тези.

Знаейки, че втората забележителна граница е вярна за естествените стойности на x, ние доказваме втората забележителна граница за реално x, тоест доказваме, че . Разгледайте два случая:

1. Нека всяка стойност x е между две положителни цели числа: , където е цялата част от x. => =>

Ако , тогава Следователно, според ограничението Ние имаме

Въз основа (на границата на междинна функция) на съществуването на граници

2. Нека . Тогава нека направим заместване − x = t

От тези два случая следва, че за реално х.

Последствия:

9 .) Сравнение на безкрайно малки. Теоремата за замяната на безкрайно малките с еквивалентни в предела и теоремата за главната част на безкрайно малките.

Нека функциите a( х) и b( х) – б.м. при х ® х 0 .

ОПРЕДЕЛЕНИЯ.

1) а( х) Наречен безкрайно малък по-висок порядък от b (х) ако

Запишете: a( х) = o(b( х)) .

2) а( х) и b( х)Наречен безкрайно малки от същия порядък, ако

където Cнℝ и ° С¹ 0 .

Запишете: a( х) = О(б( х)) .

3) а( х) и b( х) Наречен еквивалентен , ако

Запишете: a( х) ~ b( х).

4) а( х) се нарича безкрайно малък ред k по отношение на
много безкрайно малък b( х), ако е безкрайно малъка( х)и(б( х)) к имат същия ред, т.е. ако

където Cнℝ и ° С¹ 0 .

ТЕОРЕМА 6 (относно замяната на безкрайно малки с еквивалентни).

Позволявама( х), b( х), а 1 ( х), b 1 ( х)– б.м. при х ® х 0 . Акоа( х) ~ a 1 ( х), b( х) ~ b 1 ( х),

тогава

Доказателство: Нека a( х) ~ a 1 ( х), b( х) ~ b 1 ( х), тогава

ТЕОРЕМА 7 (за основната част от безкрайно малкия).

Позволявама( х)и b( х)– б.м. при х ® х 0 , и b( х)– б.м. по-висок порядък ота( х).

= , a тъй като b( х) – по-висок ред от a( х), тогава , т.е. от ясно е, че а( х) + b( х) ~ a( х)

10) Непрекъснатост на функцията в точка (на езика на границите епсилон-делта, геометрична) Едностранна непрекъснатост. Непрекъснатост на интервал, на отсечка. Свойства на непрекъснатите функции.

1. Основни определения

Позволявам f(х) е дефинирана в някаква околност на точката х 0 .

ДЕФИНИЦИЯ 1. функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 ако равенството е вярно

Забележки.

1) Съгласно теорема 5 от §3, равенството (1) може да бъде записано като

Условие (2) - дефиниция на непрекъснатостта на функция в точка на езика на едностранните граници.

2) Равенство (1) може да се запише и като:

Те казват: „ако една функция е непрекъсната в точка х 0 , тогава знакът на границата и функцията могат да бъдат разменени.

ДЕФИНИЦИЯ 2 (на език e-d).

функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 ако"e>0 $d>0 такива, Какво

ако хОU( х 0 , d) (т.е. | х – х 0 | < d),

след това f(х)ОU( f(х 0), e) (т.е. | f(х) – f(х 0) | < e).

Позволявам х, х 0 Î д(f) (х 0 - фиксиран, х-произволен)

Обозначете: D х= х-х 0 – увеличение на аргумента

д f(х 0) = f(х) – f(х 0) – нарастване на функцията в точка x 0

ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3 (геометрично).

функция f(х) на Наречен непрекъснато в точка х 0 ако в този момент безкрайно малко увеличение на аргумента съответства на безкрайно малко увеличение на функцията, т.е.

Нека функцията f(х) е дефинирана на интервала [ х 0 ; х 0 + d) (на интервала ( х 0 - d; х 0 ]).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. функция f(х) Наречен непрекъснато в точка х 0 на дясно (наляво ), ако равенството е вярно

Очевидно е, че f(х) е непрекъсната в точката х 0 Û f(х) е непрекъсната в точката х 0 дясно и ляво.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. функция f(х) Наречен непрекъснато на интервал д ( а; b) ако е непрекъсната във всяка точка от този интервал.

функция f(х) се нарича непрекъснат на сегмента [а; b] ако е непрекъснат на интервала (а; b) и има едностранна непрекъснатост в граничните точки(т.е. непрекъснато в точката анадясно, точка b- наляво).

11) Точки на прекъсване, тяхната класификация

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Ако функцията f(х) е определена в някаква околност на точката x 0 , но не е непрекъснат в тази точка, тогава f(х) се нарича прекъснат в точката x 0 , но точката х 0 наречена точка на пречупване функции f(х) .

Забележки.

1) f(х) могат да бъдат определени в непълна околност на точката х 0 .

След това разгледайте съответната едностранна непрекъснатост на функцията.

2) От дефиницията на z, точката х 0 е точката на прекъсване на функцията f(х) в два случая:

а) U( х 0 , г)н д(f) , но за f(х) равенството не е спазено

б) U * ( х 0 , г)н д(f) .

За елементарни функции е възможен само случай b).

Позволявам х 0 - точка на прекъсване на функцията f(х) .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. точка х 0 Наречен до точката на пречупване аз мил ако функцията f(х)има крайни граници в тази точка отляво и отдясно.

Ако освен това тези граници са равни, тогава точката x 0 Наречен точка на пречупване , в противен случай - точка на скок .

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. точка х 0 Наречен до точката на пречупване II мил ако поне една от едностранните граници на функцията f(х)в този момент е равно на¥ или не съществува.

12) Свойства на функции, непрекъснати на отсечка (теореми на Вайерщрас (без доказателство) и Коши

Теорема на Вайерщрас

Нека функцията f(x) е непрекъсната на отсечката , тогава

1)f(x) е ограничено до

2) f (x) приема в интервала своите най-малки и най-големи стойности

Определение: Стойността на функцията m=f се нарича най-малка, ако m≤f(x) за всеки x ∈ D(f).

Стойността на функцията m=f се нарича най-голяма, ако m≥f(x) за всеки x ∈ D(f).

Функцията може да приема най-малката \ най-голямата стойност в няколко точки от сегмента.

f(x 3)=f(x 4)=макс

Теорема на Коши.

Нека функцията f(x) е непрекъсната на сегмента и x е числото, затворено между f(a) и f(b), тогава има поне една точка x 0 € такава, че f(x 0)= g

Формулата за втората забележителна граница е lim x → ∞ 1 + 1 x x = e. Друга форма на писане изглежда така: lim x → 0 (1 + x) 1 x = e .

Когато говорим за втората забележителна граница, трябва да имаме работа с несигурност от формата 1 ∞ , т.е. единица в безкрайна степен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Помислете за задачи, в които се нуждаем от способността да изчислим втората чудесна граница.

Пример 1

Намерете границата lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 .

Решение

Заменете желаната формула и направете изчисленията.

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 - 2 ∞ 2 + 1 ∞ 2 + 1 4 = 1 - 0 ∞ = 1 ∞

В нашия отговор получихме единица на степен безкрайност. За да определим метода на решение, използваме таблицата на несигурностите. Избираме втората забележителна граница и правим промяна на променливите.

t \u003d - x 2 + 1 2 ⇔ x 2 + 1 4 \u003d - t 2

Ако x → ∞, тогава t → - ∞.

Да видим какво получихме след замяната:

lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 2 t = lim t → ∞ 1 + 1 t t - 1 2 = e - 1 2

Отговор: lim x → ∞ 1 - 2 x 2 + 1 x 2 + 1 4 = e - 1 2 .

Пример 2

Изчислете границата lim x → ∞ x - 1 x + 1 x .

Решение

Заменете безкрайността и получете следното.

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = lim x → ∞ 1 - 1 x 1 + 1 x x = 1 - 0 1 + 0 ∞ = 1 ∞

В отговора отново получихме същото като в предишния проблем, следователно можем отново да използваме втората чудесна граница. След това трябва да изберем целочислената част в основата на степенната функция:

x - 1 x + 1 = x + 1 - 2 x + 1 = x + 1 x + 1 - 2 x + 1 = 1 - 2 x + 1

След това лимитът приема следната форма:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x

Заменяме променливите. Да кажем, че t = - x + 1 2 ⇒ 2 t = - x - 1 ⇒ x = - 2 t - 1 ; ако x → ∞, тогава t → ∞.

След това записваме какво сме получили в първоначалния лимит:

lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = 1 ∞ = lim x → ∞ 1 - 2 x + 1 x = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t 1 + 1 t - 1 = lim x → ∞ 1 + 1 t - 2 t lim x → ∞ 1 + 1 t - 1 = = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 2 1 + 1 ∞ = e - 2 (1 + 0) - 1 = e - 2

За да извършим тази трансформация, използвахме основните свойства на границите и мощностите.

Отговор: lim x → ∞ x - 1 x + 1 x = e - 2 .

Пример 3

Изчислете границата lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 .

Решение

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + 1 x 3 1 + 2 x - 1 x 3 3 2 x - 5 x 4 = = 1 + 0 1 + 0 - 0 3 0 - 0 = 1∞

След това трябва да извършим трансформация на функция, за да приложим второто чудесно ограничение. Получихме следното:

lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = 1 ∞ = lim x → ∞ x 3 - 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5

Тъй като сега имаме едни и същи показатели в числителя и знаменателя на дробта (равна на шест), границата на дробта в безкрайност ще бъде равна на отношението на тези коефициенти при по-високи степени.

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 6 2 = lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3

Заменяйки t = x 2 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2, получаваме втората забележителна граница. Означава какво:

lim x → ∞ 1 + - 2 x 2 + 2 x 3 + 2 x 2 - 1 x 3 + 2 x 2 - 1 - 2 x 2 + 2 - 3 = lim x → ∞ 1 + 1 t t - 3 = e - 3

Отговор: lim x → ∞ x 3 + 1 x 3 + 2 x 2 - 1 3 x 4 2 x 3 - 5 = e - 3 .

заключения

Несигурност 1 ∞ , т.е. единица до безкрайна степен, е степенна несигурност, следователно може да бъде разкрита с помощта на правилата за намиране на границите на експоненциалните степенни функции.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter