Представете числата i 2 в тригонометрична форма. Тригонометрична форма на комплексни числа

2.3. Тригонометрична форма на комплексни числа

Нека векторът е даден на комплексната равнина от числото .

Означаваме с φ ъгъла между положителната полуос Ox и вектора (ъгълът φ се счита за положителен, ако се брои обратно на часовниковата стрелка, и отрицателен в противен случай).

Означаваме дължината на вектора с r. Тогава . Ние също обозначаваме

Записване на ненулево комплексно число z като

се нарича тригонометрична форма на комплексното число z. Числото r се нарича модул на комплексното число z, а числото φ се нарича аргумент на това комплексно число и се означава с Arg z.

Тригонометричната форма на запис на комплексно число - (формула на Ойлер) - експоненциална форма на запис на комплексно число:

Комплексното число z има безкрайно много аргументи: ако φ0 е произволен аргумент на числото z, тогава всички останали могат да бъдат намерени по формулата

За комплексно число аргументът и тригонометричната форма не са дефинирани.

По този начин аргументът на ненулево комплексно число е всяко решение на системата от уравнения:

(3)

Стойността φ на аргумента на комплексно число z, което удовлетворява неравенствата, се нарича основна стойност и се означава с arg z.

Аргументите Arg z и arg z са свързани по равенство

, (4)

Формула (5) е следствие от система (3), така че всички аргументи на комплексното число удовлетворяват равенството (5), но не всички решения φ на уравнение (5) са аргументи на числото z.

Основната стойност на аргумента на ненулево комплексно число се намира по формулите:

Формулите за умножение и деление на комплексни числа в тригонометрична форма са както следва:

. (7)

При повдигане на комплексно число на естествена степен се използва формулата на де Моавър:

При извличане на корен от комплексно число се използва формулата:

, (9)

където k=0, 1, 2, …, n-1.

Задача 54. Изчислете , където .

Нека представим решението на този израз в експоненциалната форма на запис на комплексно число: .

Ако, тогава.

Тогава , . Следователно, тогава и , където .

Отговор: , при .

Задача 55. Запишете комплексните числа в тригонометрична форма:

а) ; б) ; в) ; G) ; д) ; д) ; и) .

Тъй като тригонометричната форма на комплексно число е , тогава:

а) В комплексно число: .

,

Ето защо

б) , където ,

G) , където ,

д) .

и) , а , тогава .

Ето защо

Отговор: ; 4; ; ; ; ; .

Задача 56. Намерете тригонометричната форма на комплексно число

.

Позволявам , .

Тогава , , .

Защото и , , след това и

Следователно, следователно

Отговор: , където .

Задача 57. Използвайки тригонометричната форма на комплексно число, изпълнете следните действия: .

Представете си числа и в тригонометрична форма.

1), където тогава

Намиране на стойността на главния аргумент:

Заместете стойностите и в израза, получаваме

2) къде тогава

Тогава

3) Намерете частното

Ако приемем k=0, 1, 2, получаваме три различни стойности на желания корен:

Ако , тогава

ако , тогава

ако , тогава .

Отговор: :

:

: .

Задача 58. Нека , , , са различни комплексни числа и . Докажи това

номер е реално положително число;

б) равенството се осъществява:

а) Нека представим тези комплексни числа в тригонометрична форма:

защото .

Нека се преструваме, че. Тогава

.

Последният израз е положително число, тъй като има числа от интервала под синусите.

тъй като броят истински и положителен. Наистина, ако a и b са комплексни числа и са реални и по-големи от нула, тогава .

Освен това,

следователно изискваното равенство е доказано.

Задача 59. Запишете числото в алгебрична форма .

Представяме числото в тригонометрична форма и след това намираме неговата алгебрична форма. Ние имаме . За получаваме системата:

От това следва равенството: .

Прилагайки формулата на De Moivre:

получаваме

Намерена е тригонометричната форма на даденото число.

Сега записваме това число в алгебрична форма:

.

Отговор: .

Задача 60. Намерете сбора , ,

Помислете за сумата

Прилагайки формулата на De Moivre, намираме

Тази сума е сумата от n членове на геометрична прогресия със знаменател и първи член .

Прилагайки формулата за сумата от членовете на такава прогресия, имаме

Отделяйки въображаемата част в последния израз, намираме

Отделяйки реалната част, получаваме и следната формула: , , .

Задача 61. Намерете сумата:

а) ; б) .

Според формулата на Нютон за повдигане на степен имаме

Според формулата на Де Моавър намираме:

Приравнявайки реалната и имагинерната част на получените изрази за , имаме:

и .

Тези формули могат да бъдат записани в компактна форма, както следва:

,

, където е цялата част на числото a.

Задача 62. Намерете всички, за които .

Тъй като , след това прилагане на формулата

, За да извлечем корените, получаваме ,

Следователно, , ,

, .

Точките, съответстващи на числата, са разположени във върховете на квадрат, вписан в окръжност с радиус 2 с център в точката (0;0) (фиг. 30).

Отговор: , ,

, .

Задача 63. Решете уравнението , .

По условие; следователно това уравнение няма корен и следователно е еквивалентно на уравнението.

За да може числото z да бъде корен на това уравнение, числото трябва да бъде корен n-та от числото 1.

Оттук заключаваме, че първоначалното уравнение има корени, определени от равенствата

,

По този начин,

,

т.е. ,

Отговор: .

Задача 64. Решете уравнението в множеството от комплексни числа.

Тъй като числото не е коренът на това уравнение, тогава за това уравнение е еквивалентно на уравнението

Тоест уравнението.

Всички корени на това уравнение се получават от формулата (виж задача 62):

; ; ; ; .

Задача 65. Начертайте върху комплексната равнина набор от точки, които удовлетворяват неравенствата: . (2-ри начин за решаване на задача 45)

Позволявам .

Комплексните числа с еднакви модули съответстват на точки от равнината, разположени върху окръжност с център в началото, така че неравенството отговарят на всички точки на отворен пръстен, ограничен от окръжности с общ център в началото и радиуси и (фиг. 31). Нека някаква точка от комплексната равнина съответства на числото w0. Номер , има модул пъти по-малък от модула w0, аргумент, който е по-голям от аргумента w0. От геометрична гледна точка, точката, съответстваща на w1, може да бъде получена с помощта на хомотетия, центрирана в началото и коефициент , както и въртене обратно на часовниковата стрелка спрямо началото. В резултат на прилагането на тези две трансформации към точките на пръстена (фиг. 31), последният ще се превърне в пръстен, ограничен от окръжности с еднакъв център и радиуси 1 и 2 (фиг. 32).

трансформация се реализира с помощта на паралелна транслация на вектора. Прехвърляйки пръстена с център в точка към посочения вектор, получаваме пръстен със същия размер с център в точка (фиг. 22).

Предложеният метод, който използва идеята за геометрични трансформации на равнината, вероятно е по-малко удобен в описанието, но е много елегантен и ефективен.

Задача 66. Намерете ако .

Нека , тогава и . Първоначалното равенство ще приеме формата . От условието за равенство на две комплексни числа получаваме , , откъдето , . По този начин, .

Нека запишем числото z в тригонометрична форма:

, където , . Според формулата на De Moivre намираме .

Отговор: - 64.

Задача 67. За комплексно число намерете всички комплексни числа, така че , и .

Нека представим числото в тригонометрична форма:

. Следователно, . За число, което получаваме, може да бъде равно на едно от двете.

В първия случай , във втория

.

Отговор: , .

Задача 68. Намерете сбора на числата, така че . Посочете едно от тези числа.

Обърнете внимание, че още от самата формулировка на проблема може да се разбере, че сумата от корените на уравнението може да се намери без да се изчисляват самите корени. Всъщност сборът от корените на уравнението е коефициентът на , взет с обратен знак (обобщената теорема на Виета), т.е.

Ученици, училищна документация, правят изводи за степента на усвояване на това понятие. Обобщете изучаването на характеристиките на математическото мислене и процеса на формиране на концепцията за комплексно число. Описание на методите. Диагностика: I стадий. Интервюто е проведено с учител по математика, който преподава алгебра и геометрия в 10 клас. Разговорът се проведе след известно време...

Резонанс "(!)), който включва и оценка на собственото поведение. 4. Критична оценка на разбирането на ситуацията (съмнения). 5. И накрая, използването на препоръките на правната психология (отчитане на психологическите аспекти на професионалните действия, извършени от адвоката - професионална психологическа готовност) Нека сега разгледаме психологическия анализ на юридическите факти. ...

Математика на тригонометрично заместване и проверка на ефективността на разработената методика на обучение. Етапи на работа: 1. Разработване на факултативен курс по темата: "Приложение на тригонометрично заместване за решаване на алгебрични задачи" с ученици в паралелки със задълбочено изучаване на математика. 2. Провеждане на разработен факултативен курс. 3. Провеждане на диагностичен контрол...

Познавателните задачи са предназначени само за допълване на съществуващите учебни помагала и трябва да бъдат в подходяща комбинация с всички традиционни средства и елементи на учебния процес. Разликата между образователните проблеми в обучението по хуманитарни науки от точните, математически проблеми е само във факта, че в историческите задачи няма формули, твърди алгоритми и т.н., което усложнява тяхното решаване. ...

Лекция

Тригонометрична форма на комплексно число

Планирайте

1.Геометрично представяне на комплексни числа.

2.Тригонометричен запис на комплексни числа.

3. Действия върху комплексни числа в тригонометрична форма.

Геометрично представяне на комплексни числа.

а) Комплексните числа се представят чрез точки от равнината по следното правило: а + би = М ( а ; b ) (Фиг. 1).

Снимка 1

б) Комплексно число може да бъде представено като вектор, който започва в точкатаО и завършват в дадена точка (фиг. 2).

Фигура 2

Пример 7. Начертайте точки, представляващи комплексни числа:1; - аз ; - 1 + аз ; 2 – 3 аз (фиг. 3).

Фигура 3

Тригонометричен запис на комплексни числа.

Комплексно числоz = а + би може да се зададе с помощта на радиус - вектор с координати( а ; b ) (фиг. 4).

Фигура 4

Определение . Дължина на вектора представляващ комплексното числоz , се нарича модул на това число и се обозначава илиr .

За всяко комплексно числоz неговия модулr = | z | се определя еднозначно по формулата .

Определение . Стойността на ъгъла между положителната посока на реалната ос и вектора представляващ комплексно число се нарича аргумент на това комплексно число и се обозначаваНО rg z илиφ .

Аргумент комплексно числоz = 0 неопределен. Аргумент комплексно числоz≠ 0 е многозначна величина и се определя до термина2πk (k = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): Арг z = арг z + 2πk , къдетоарг z - основната стойност на аргумента, оградена в интервала(-π; π] , това е-π < арг z ≤ π (понякога стойността, принадлежаща на интервала, се приема като основна стойност на аргумента .

Тази формула заr =1 често наричана формулата на Де Моавър:

(cos φ + i sin φ) н = cos (nφ) + i sin (nφ), n  N .

Пример 11 Изчислете(1 + аз ) 100 .

Нека напишем комплексно число1 + аз в тригонометрична форма.

a = 1, b = 1 .

cos φ = , sin φ = , φ = .

(1+i) 100 = [ (тъй като + грях )] 100 = ( ) 100 (тъй като 100 + грях 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos π + i sin π) = - 2 50 .

4) Извличане на корен квадратен от комплексно число.

При извличане на корен квадратен от комплексно числоа + би имаме два случая:

акоb > около , тогава ;

Действия върху комплексни числа, записани в алгебрична форма

Алгебричната форма на комплексното число z =(а,b).се нарича алгебричен израз на формата

z = а + би.

Аритметични действия с комплексни числа z 1 = а 1 +б 1 ази z 2 = а 2 +б 2 аз, записани в алгебрична форма, се извършват по следния начин.

1. Сбор (разлика) на комплексни числа

z 1 ±z 2 = (а 1 ± а 2) + (b 1 ±b 2)∙i,

тези. събирането (изваждането) се извършва съгласно правилото за добавяне на полиноми с намаляване на подобни членове.

2. Произведение на комплексни числа

z 1 ∙z 2 = (а 1 ∙a 2 -б 1 ∙b 2) + (а 1 ∙b 2 + а 2 ∙b 1)∙i,

тези. умножението се извършва съгласно обичайното правило за умножение на полиноми, като се вземе предвид фактът, че аз 2 = 1.

3. Разделянето на две комплексни числа се извършва по следното правило:

, (z 2 ≠ 0),

тези. делението се извършва чрез умножаване на делителя и делителя по конюгата на делителя.

Степенуването на комплексни числа се дефинира, както следва:

Лесно е да се покаже това

Примери.

1. Намерете сбора на комплексните числа z 1 = 2 – ази z 2 = – 4 + 3аз

z 1 +z 2 = (2 + (–1)∙i)+ (–4 + 3аз) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) аз = –2+2аз

2. Намерете произведението на комплексни числа z 1 = 2 – 3ази z 2 = –4 + 5аз

= (2 – 3аз) ∙ (–4 + 5аз) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3аз)+ 2∙5аз– 3i∙ 5аз = 7+22аз

3. Намерете лично zот разделяне z 1 \u003d 3 - 2 z 2 = 3 – аз

z= .

4. Решете уравнението:, хи г Î Р.

(2x+y) + (x+y)аз = 2 + 3аз

По силата на равенството на комплексните числа имаме:

където x=–1 , г= 4.

5. Изчислете: аз 2 ,аз 3 ,аз 4 ,аз 5 ,аз 6 ,аз -1 , т.е -2 .

6. Пресметнете ако .

.

7. Изчислете реципрочната стойност на число z=3-и.

Комплексни числа в тригонометрична форма

сложна равнинасе нарича равнина с декартови координати ( x, y), ако всяка точка с координати ( а, б) се присвоява комплексно число z = a + bi. В този случай се нарича абсцисната ос реална ос, а оста y е въображаем. След това всяко комплексно число а+бигеометрично представена на равнина като точка А (а, б) или вектор .

Следователно позицията на точката НО(и следователно комплексното число z) може да се зададе от дължината на вектора | | = rи ъгъл йобразуван от вектора | | с положителната посока на реалната ос. Дължината на вектора се нарича комплексно число модули се означава с | z|=r, и ъгълът йНаречен аргумент комплексно числои означено j = argz.

Ясно е, че | z| ³ 0 и | z | = 0 Û z= 0.

От фиг. 2 показва, че.

Аргументът на комплексно число е дефиниран двусмислено и до 2 pk,kÎ З.

От фиг. 2 също показва, че ако z=a+biи j=argz,тогава

cos j =, грях j =, tg j = .

Ако zОРи z > 0 тогава argz = 0 +2pk;

ако z ОРи z< 0 тогава argz = p + 2pk;

ако z= 0,argzнеопределен.

Основната стойност на аргумента се определя на интервала 0 £argz£2 п,

или -стр£ arg z £ p.

Примери:

1. Намерете модула на комплексните числа z 1 = 4 – 3ази z 2 = –2–2аз

2. Определете на комплексната равнина областите, определени от условията:

1) | z | = 5; 2) | z| £6; 3) | z – (2+аз) | £3; 4) £6 | z – аз| £7.

Решения и отговори:

1) | z| = 5 Û Û е уравнението на окръжност с радиус 5 и център в началото.

2) Окръжност с радиус 6 с център в началото.

3) Окръжност с радиус 3 с център в точка z0 = 2 + аз.

4) Пръстен, ограничен от окръжности с радиуси 6 и 7, центрирани в точка z 0 = аз.

3. Намерете модула и аргумента на числата: 1) ; 2).

1) ; а = 1, b = Þ ,

Þ j 1 = .

2) z 2 = –2 – 2аз; а =–2, b=-2 Þ ,

.

Забележка: Когато дефинирате основния аргумент, използвайте комплексната равнина.

По този начин: z 1 = .

2) , r 2 = 1, j 2 = , .

3) , r 3 = 1, j 3 = , .

4) , r 4 = 1, j4 = , .

КОМПЛЕКСНИ ЧИСЛА XI

§ 256. Тригонометрична форма на комплексни числа

Нека комплексното число a + bi съответства вектор ОА> с координати ( а, б ) (виж Фиг. 332).

Означаваме дължината на този вектор с r , и ъгъла, който сключва с оста х , през φ . По дефиниция на синус и косинус:

а / r = cos φ , b / r = грях φ .

Ето защо а = r cos φ , b = r грях φ . Но в този случай комплексното число a + bi може да се запише като:

a + bi = r cos φ + ir грях φ = r (тъй като φ + аз грях φ ).

Както знаете, квадратът на дължината на всеки вектор е равен на сумата от квадратите на неговите координати. Ето защо r 2 = а 2 + b 2, откъдето r = √a 2 + b 2

Така, всяко комплексно число a + bi може да се представи като :

a + bi = r (тъй като φ + аз грях φ ), (1)

където r = √a 2 + b 2 , и ъгълът φ определя се от условието:

Тази форма на записване на комплексни числа се нарича тригонометричен.

Номер r във формула (1) се нарича модул, и ъгълът φ - аргумент, комплексно число a + bi .

Ако комплексно число a + bi не е равно на нула, тогава модулът му е положителен; ако a + bi = 0, тогава a = b = 0 и след това r = 0.

Модулът на всяко комплексно число е еднозначно определен.

Ако комплексно число a + bi не е равно на нула, тогава неговият аргумент се определя от формули (2) определенодо ъгъл, кратен на 2 π . Ако a + bi = 0, тогава a = b = 0. В този случай r = 0. От формула (1) е лесно да се разбере, че като аргумент φ в този случай можете да изберете всеки ъгъл: в крайна сметка за всеки φ

0 (cos φ + аз грях φ ) = 0.

Следователно нулевият аргумент не е дефиниран.

Модул на комплексно число r понякога обозначават | z |, и аргументът arg z . Нека да разгледаме няколко примера за представяне на комплексни числа в тригонометрична форма.

Пример. един. 1 + аз .

Да намерим модула r и аргумент φ този номер.

r = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

Следователно грях φ = 1 / √ 2, cos φ = 1 / √ 2 , откъдето φ = π / 4 + 2нπ .

По този начин,

1 + аз = √ 2 ,

където П - произволно цяло число. Обикновено от безкраен набор от стойности на аргумента на комплексно число се избира една, която е между 0 и 2 π . В този случай тази стойност е π / четири . Ето защо

1 + аз = √ 2 (cos π / 4 + аз грях π / 4)

Пример 2Запишете в тригонометрична форма комплексно число √ 3 - аз . Ние имаме:

r = √ 3+1 = 2 cos φ = √ 3/2, грях φ = - 1 / 2

Следователно до ъгъл, разделен на 2 π , φ = 11 / 6 π ; Следователно,

√ 3 - аз = 2(cos 11 / 6 π + аз грях 11/6 π ).

Пример 3Запишете в тригонометрична форма комплексно число аз

комплексно число аз съответства вектор ОА> завършваща в точка А на оста при с ордината 1 (фиг. 333). Дължината на такъв вектор е равна на 1, а ъгълът, който образува с абсцисната ос, е равен на π / 2. Ето защо

аз = cos π / 2 + аз грях π / 2 .

Пример 4Запишете комплексното число 3 в тригонометрична форма.

Комплексното число 3 съответства на вектора ОА > х абциса 3 (фиг. 334).

Дължината на такъв вектор е 3, а ъгълът, който сключва с оста x, е 0. Следователно

3 = 3 (cos 0 + аз грях 0),

Пример 5Запишете в тригонометрична форма комплексното число -5.

Комплексното число -5 съответства на вектора ОА> завършваща в точката на оста х с абциса -5 (фиг. 335). Дължината на такъв вектор е 5, а ъгълът, който сключва с оста x, е π . Ето защо

5 = 5(cos π + аз грях π ).

Упражнения

2047. Запишете тези комплексни числа в тригонометрична форма, като дефинирате техните модули и аргументи:

1) 2 + 2√3 аз , 4) 12аз - 5; 7).3аз ;

2) √3 + аз ; 5) 25; 8) -2аз ;

3) 6 - 6аз ; 6) - 4; 9) 3аз - 4.

2048. Посочете на равнината множествата от точки, представляващи комплексни числа, чиито модули r и аргументи φ отговарят на условията:

1) r = 1, φ = π / 4 ; 4) r < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) r =2; 5) 2 < r <3; 8) 0 < φ < я;

3) r < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < r < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. Могат ли числата да бъдат едновременно модул на комплексно число? r и - r ?

2050. Може ли аргументът на комплексно число да бъде едновременно ъгли φ и - φ ?

Представете тези комплексни числа в тригонометрична форма, като дефинирате техните модули и аргументи:

2051*. 1 + cos α + аз грях α . 2054*. 2(cos 20° - аз грях 20°).

2052*. грях φ + аз cos φ . 2055*. 3(- cos 15° - аз грях 15°).