Как да докажем, че прави линии се пресичат в пространството. Пресичане на линии

В тази статия първо ще дефинираме ъгъла между пресичащите се линии и ще предоставим графична илюстрация. След това ще отговорим на въпроса: „Как да намерим ъгъла между пресичащите се линии, ако са известни координатите на векторите на посоката на тези линии в правоъгълна координатна система“? В заключение ще се упражним да намираме ъгъла между пресичащите се прави при решаване на примери и задачи.

Навигация в страницата.

Ъгъл между пресичащи се прави - определение.

Ще подходим към определянето на ъгъла между пресичащите се прави линии постепенно.

Първо, нека си припомним дефиницията на косите линии: две линии в триизмерното пространство се наричат кръстосване, ако не лежат в една равнина. От това определение следва, че пресичащите се прави не се пресичат, не са успоредни и освен това не съвпадат, в противен случай и двете биха лежали в определена равнина.

Нека дадем допълнителни спомагателни разсъждения.

Нека в тримерното пространство са дадени две пресичащи се прави a и b. Нека построим прави a 1 и b 1 така, че да са успоредни съответно на косите прави a и b и да минават през някаква точка от пространството M 1 . Така получаваме две пресичащи се прави a 1 и b 1. Нека ъгълът между пресичащите се прави a 1 и b 1 е равен на ъгъл . Сега нека построим прави a 2 и b 2, успоредни съответно на косите прави a и b, минаващи през точка M 2, различна от точката M 1. Ъгълът между пресичащите се прави a 2 и b 2 също ще бъде равен на ъгъл . Това твърдение е вярно, тъй като правите a 1 и b 1 ще съвпаднат съответно с правите a 2 и b 2, ако се извърши паралелен трансфер, при който точка M 1 се премества в точка M 2. Така мярката на ъгъла между две прави линии, пресичащи се в точка M, съответно успоредни на дадени пресичащи се линии, не зависи от избора на точка M.

Сега сме готови да определим ъгъла между пресичащите се линии.

Определение.

Ъгъл между пресичащи се правие ъгълът между две пресичащи се прави, които са съответно успоредни на дадените пресичащи се прави.

От дефиницията следва, че ъгълът между пресичащите се линии също няма да зависи от избора на точка M. Следователно, като точка M можем да вземем всяка точка, принадлежаща на една от пресечните прави.

Нека дадем илюстрация за определяне на ъгъла между пресичащите се прави.

Намиране на ъгъла между пресичащите се прави.

Тъй като ъгълът между пресичащите се прави се определя чрез ъгъла между пресичащите се прави, намирането на ъгъла между пресичащите се прави се свежда до намиране на ъгъла между съответните пресичащи се прави в триизмерното пространство.

Несъмнено методите, изучавани в часовете по геометрия в гимназията, са подходящи за намиране на ъгъла между пресичащите се прави. Тоест, след като завършите необходимите конструкции, можете да свържете желания ъгъл с всеки ъгъл, известен от условието, въз основа на равенството или сходството на фигурите, в някои случаи това ще помогне косинусова теорема, а понякога води и до резултата определение на синус, косинус и тангенс на ъгълправоъгълен триъгълник.

Въпреки това е много удобно да се реши проблемът с намирането на ъгъла между пресичащите се линии с помощта на метода на координатите. Това ще разгледаме.

Нека Oxyz бъде въведен в триизмерното пространство (обаче, в много проблеми трябва да го въведете сами).

Нека си поставим задача: да намерим ъгъла между пресичащите се прави a и b, които съответстват на някои уравнения на права в пространството в правоъгълната координатна система Oxyz.

Нека го решим.

Нека вземем произволна точка в тримерното пространство M и приемем, че през нея минават прави a 1 и b 1 , успоредни съответно на пресичащите се прави a и b. Тогава търсеният ъгъл между пресичащите се прави a и b е равен на ъгъла между пресичащите се прави a 1 и b 1 по дефиниция.

Така че просто трябва да намерим ъгъла между пресичащите се прави a 1 и b 1. За да приложим формулата за намиране на ъгъла между две пресичащи се прави в пространството, трябва да знаем координатите на насочващите вектори на правите a 1 и b 1.

Как можем да ги получим? И това е много просто. Дефиницията на насочващия вектор на права линия ни позволява да твърдим, че наборите от насочващи вектори на успоредни линии съвпадат. Следователно векторите на посоката на правите a 1 и b 1 могат да се приемат като вектори на посоката И прави a и b съответно.

Така, Ъгълът между две пресичащи се прави a и b се изчислява по формулата
, Където И са насочващите вектори на прави a и b, съответно.

Формула за намиране на косинуса на ъгъла между пресичащите се прави a и b имат формата .

Позволява ви да намерите синуса на ъгъла между пресичащите се линии, ако косинусът е известен: .

Остава да анализираме решенията на примерите.

Пример.

Намерете ъгъла между пресичащите се прави a и b, които са определени в правоъгълната координатна система Oxyz от уравненията И .

Решение.

Каноничните уравнения на права линия в пространството ви позволяват незабавно да определите координатите на насочващия вектор на тази права линия - те се дават от числата в знаменателите на дробите, т.е. . Параметричните уравнения на права линия в пространството също позволяват незабавно записване на координатите на вектора на посоката - те са равни на коефициентите пред параметъра, т.е. - директен вектор . Така имаме всички необходими данни, за да приложим формулата, по която се изчислява ъгълът между пресичащите се линии:

Отговор:

Ъгълът между дадените пресичащи се прави е равен на .

Пример.

Намерете синуса и косинуса на ъгъла между пресечните прави, на които лежат ръбовете AD и BC на пирамидата ABCD, ако са известни координатите на нейните върхове: .

Решение.

Насочващите вектори на пресичащите се прави AD и BC са векторите и . Нека изчислим техните координати като разликата между съответните координати на крайната и началната точка на вектора:

Според формулата можем да изчислим косинуса на ъгъла между посочените пресичащи се линии:

Сега нека изчислим синуса на ъгъла между пресичащите се линии:

Отговор:

В заключение ще разгледаме решението на задача, при която е необходимо да се намери ъгълът между пресичащите се линии, а правоъгълната координатна система трябва да бъде въведена независимо.

Пример.

Даден е правоъгълен паралелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, който има AB = 3, AD = 2 и AA 1 = 7 единици. Точка E лежи на ръба AA 1 и го разделя в съотношение 5 към 2, считано от точка A. Намерете ъгъла между пресичащите се прави BE и A 1 C.

Решение.

Тъй като ръбовете на правоъгълен паралелепипед в един връх са взаимно перпендикулярни, е удобно да се въведе правоъгълна координатна система и да се определи ъгълът между посочените пресичащи се линии, като се използва координатният метод чрез ъгъла между векторите на посоката на тези линии.

Нека въведем правоъгълната координатна система Oxyz по следния начин: нека началото съвпада с върха A, оста Ox съвпада с правата AD, оста Oy с правата AB и оста Oz с правата AA 1.

Тогава точка B има координати, точка E - (ако е необходимо, вижте статията), точка A 1 - и точка C -. От координатите на тези точки можем да изчислим координатите на векторите и . Ние имаме , .

Остава да се приложи формулата за намиране на ъгъла между пресичащите се линии, като се използват координатите на векторите на посоката:

Отговор:

Библиография.

• Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Е.Г. Геометрия. Учебник за 10-11 клас на средното училище.
• Погорелов А.В., Геометрия. Учебник за 7-11 клас в общообразователните институции.
• Бугров Я.С., Николски С.М. Висша математика. Том първи: елементи на линейната алгебра и аналитичната геометрия.
• Илин В.А., Позняк Е.Г. Аналитична геометрия.

Правите l1 и l2 се наричат ​​коси, ако не лежат в една и съща равнина. Нека a и b са насочващите вектори на тези прави и нека точките M1 и M2 принадлежат съответно на правите l1 и l2

Тогава векторите a, b, M1M2> не са компланарни и следователно тяхното смесено произведение не е равно на нула, т.е. (a, b, M1M2>) =/= 0. Обратното твърдение също е вярно: ако (a, b , M1M2> ) =/= 0, тогава векторите a, b, M1M2> не са компланарни и следователно правите l1 и l2 не лежат в една равнина, т.е. те се пресичат ако и само ако условие(a, b, M1M2>) =/= 0, където a и b са насочващите вектори на правите, а M1 и M2 са точките, принадлежащи съответно на тези прави. Условието (a, b, M1M2>) = 0 е необходимо и достатъчно условие за това, че правите лежат в една равнина. Ако линиите са дадени от техните канонични уравнения

тогава a = (a1; a2; a3), b = (b1; b2; b3), M1 (x1; y1; z1), M2(x2; y2; z2) и условие (2) се записва по следния начин:

Разстояние между пресичащите се линии

това е разстоянието между една от пресичащите се прави и успоредна на нея равнина, минаваща през друга права. Разстоянието между пресичащите се прави е разстоянието от някаква точка на една от пресичащите се прави до равнина, минаваща през друга права, успоредна на първата. линия.

26. Дефиниция на елипса, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти.

Елипса е геометричното място на точки в равнина, за която сумата от разстоянията до две фокусирани точки F1 и F2 на тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност. В този случай съвпадението на фокусите на елипсата е не е изключено. Ако ароматите съвпадат, тогава елипсата е окръжност, можете да намерите декартова координатна система, така че елипсата да бъде описана от уравнението (каноничното уравнение на елипсата):

Описва елипса с център в началото, чиито оси съвпадат с координатните оси.

Ако от дясната страна има единица със знак минус, тогава полученото уравнение е:

описва въображаема елипса. Невъзможно е да изобразим такава елипса в реалната равнина. Нека означим фокусите с F1 и F2, а разстоянието между тях с 2c, а сумата от разстоянията от произволна точка на елипсата до фокусите с 2a.

За да изведем уравнението на елипсата, избираме координатната система Oxy така, че фокусите F1 и F2 да лежат на оста Ox, а началото да съвпада със средата на сегмента F1F2. Тогава фокусите ще имат следните координати: и Нека M(x;y) е произволна точка от елипсата. Тогава, според определението за елипса, т.е.

Това по същество е уравнението на елипса.

27. Дефиниция на хипербола, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти

Хипербола е геометрично място на точки в равнина, за която абсолютната стойност на разликата в разстоянието до две фиксирани точки F1 и F2 от тази равнина, наречени фокуси, е постоянна стойност точка на хиперболата. Тогава, според дефиницията на хиперболата |MF 1 – MF 2 |=2a или MF 1 – MF 2 =±2a,

28. Дефиниция на парабола, канонично уравнение. Извеждане на каноничното уравнение. Имоти. Парабола е HMT на равнина, за която разстоянието до някаква фиксирана точка F на тази равнина е равно на разстоянието до някаква фиксирана права линия, също разположена в разглежданата равнина. F – фокусът на параболата; неподвижната линия е директрисата на параболата. r=d,

r=; d=x+p/2; (x-p/2) 2 +y 2 =(x+p/2) 2; x 2 -xp+p 2 /4+y 2 =x 2 +px+p 2 /4; г 2 =2px;

Имоти: 1. Параболата има ос на симетрия (ос на парабола); 2. Всички

параболата е разположена в дясната полуравнина на равнината Oxy при p>0, а в лявата

ако p<0. 3.Директриса параболы, определяемая каноническим уравнением, имеет уравнение x= -p/2.

"

Относителното положение на две линии в пространството.

Относителното разположение на две линии в пространството се характеризира със следните три възможности.

Правите лежат в една равнина и нямат общи точки - успоредни прави.

Правите лежат в една равнина и имат една обща точка - правите се пресичат.

В пространството две прави могат да бъдат разположени и така, че да не лежат в никоя равнина. Такива прави се наричат ​​пресичащи се (не се пресичат или са успоредни).

ПРИМЕР:

ЗАДАЧА 434 Триъгълник ABC лежи в равнина, a

Триъгълник ABC лежи в равнината, но точка D не е в тази равнина. Точките M, N и K са съответно среди на отсечки DA, DB и DC

Теорема.Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.

На фиг. 26 права a лежи в равнината, а права c се пресича в точка N. Правите a и c се пресичат.

Теорема.През всяка от двете пресичащи се прави минава само една равнина, успоредна на другата права.

На фиг. 26 прави a и b се пресичат. Начертана е права линия и е начертана равнина (алфа) || b (в равнина B (бета) е посочена правата a1 || b).

Теорема 3.2.

Две прави, успоредни на трета, са успоредни.

Това свойство се нарича преходностуспоредност на линиите.

Доказателство

Нека правите a и b са едновременно успоредни на правата c. Да приемем, че a не е успоредна на b, тогава права a пресича права b в някаква точка A, която не лежи на права c по условие. Следователно имаме две прави a и b, минаващи през точка A, която не лежи на дадена права c и в същото време е успоредна на нея. Това противоречи на аксиома 3.1. Теоремата е доказана.

Теорема 3.3.

През точка, която не лежи на дадена права, може да се прекара една и само една права, успоредна на дадената.

Доказателство

Нека (AB) е дадена права, C точка, която не лежи на нея. Правата AC разделя равнината на две полуравнини. Точка B лежи в една от тях. В съответствие с аксиома 3.2 е възможно да се постави ъгъл (ACD) от лъча C A, равен на ъгъла (CAB), в друга полуравнина. ACD и CAB са равни вътрешни напречно лежащи с правите AB и CD и секущата (AC). Тогава, по Теорема 3.1 (AB) || (CD). Като се има предвид аксиома 3.1. Теоремата е доказана.

Свойството на успоредните прави се дава от следната теорема, обратна на теорема 3.1.

Теорема 3.4.

Ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава пресичащите се вътрешни ъгли са равни.

Доказателство

Нека (AB) || (CD). Да приемем, че ACD ≠ BAC. През точка A прекарваме права AE, така че EAC = ACD. Но тогава, по Теорема 3.1 (AE ) || (CD), а по условие – (AB) || (CD). В съответствие с теорема 3.2 (AE ) || (AB). Това противоречи на теорема 3.3, според която през точка A, която не лежи на правата CD, може да се начертае единствена права, успоредна на нея. Теоремата е доказана.

Фигура 3.3.1.

Въз основа на тази теорема лесно се обосновават следните свойства.

Ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава съответните ъгли са равни.

Ако две успоредни прави са пресечени от трета права, тогава сумата от вътрешните едностранни ъгли е 180°.

Следствие 3.2.

Ако правата е перпендикулярна на една от успоредните прави, то тя е перпендикулярна и на другата.

Концепцията за паралелизъм ни позволява да въведем следната нова концепция, която ще бъде необходима по-късно в глава 11.

Двата лъча се наричат еднакво насочени, ако има права, така че, първо, те са перпендикулярни на тази права, и второ, лъчите лежат в една и съща полуравнина спрямо тази права.

Двата лъча се наричат противоположно насочени, ако всеки от тях е еднакво насочен с допълнителен към другия лъч.

Ще означим еднакво насочени лъчи AB и CD: и противоположно насочени лъчи AB и CD -

Фигура 3.3.2.

Знак за пресичане на линии.

Ако една от двете прави лежи в определена равнина, а другата права пресича тази равнина в точка, която не лежи на първата права, тогава тези прави се пресичат.

Случаи на взаимно разположение на прави в пространството.

1. Има четири различни случая на разположение на две линии в пространството:

   
   

   – прави пресичащи се, т.е. не лежат в една равнина;

   – пресичат се прави, т.е. лежат в една равнина и имат една обща точка;

   – успоредни прави, т.е. лежат в една равнина и не се пресичат;

   - линиите съвпадат.

   
   

   Нека получим характеристиките на тези случаи на относителната позиция на линиите, дадени от каноничните уравнения

   
   
   Където — точки, принадлежащи на правиИ съответно, a— насочващи вектори (фиг. 4.34). Нека означим свектор, свързващ дадени точки.
   
   

   Следните характеристики съответстват на случаите на относителна позиция на линиите, изброени по-горе:

   
   

   – прави и пресичащи се вектори не са компланарни;

   
   

   – правите и пресичащите се вектори са копланарни, но векторите не са колинеарни;

   
   

   – директните и успоредните вектори са колинеарни, но векторите не са колинеарни;

   
   

   – прави и съвпадащи вектори са колинеарни.

   
   

   Тези условия могат да бъдат записани, като се използват свойствата на смесени и векторни продукти. Спомнете си, че смесеното произведение на векторите в дясната правоъгълна координатна система се намира по формулата:

   
   
   и детерминантата intersects е нула, а нейният втори и трети ред не са пропорционални, т.е.
   

   – прави и успоредни втори и трети ред на определителя са пропорционални, т.е. и първите два реда не са пропорционални, т.е.

   
   

   – прави и всички прави от детерминантата съвпадат и са пропорционални, т.е.

Доказателство за теста за наклонена линия.

Ако една от двете прави лежи в равнина, а другата пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права, тогава тези две прави се пресичат.

Доказателство

Нека a принадлежи на α, b пресича α = A, A не принадлежи на a (Чертеж 2.1.2). Да приемем, че правите a и b не се пресичат, т.е. се пресичат. Тогава съществува равнина β, на която принадлежат правите a и b. В тази равнина β лежат права a и точка A. Тъй като правата a и точката A извън нея определят една равнина, то β = α. Но b задвижва β и b не принадлежи на α, следователно равенството β = α е невъзможно.

Теорема. Ако една права лежи в дадена равнина и друга права пресича тази равнина в точка, която не принадлежи на първата права, тогава тези две прави се пресичат. Знак за пресичане на линии Доказателство. Нека права a лежи в равнината и права b пресича равнината в точка B, която не принадлежи на права a. Ако правите a и b лежат в една и съща равнина, тогава точка B също ще лежи в тази равнина, тъй като има само една равнина, минаваща през правата и точка извън тази права, тогава тази равнина трябва да е равнина. Но тогава права b ще лежи в равнината, което противоречи на условието. Следователно, правите a и b не лежат в една и съща равнина, т.е. кръстосвам се.

Колко двойки коси прави има, които съдържат ръбовете на правилна триъгълна призма? Решение: За всяко ребро на основите има три ребра, които се пресичат с него. За всеки страничен ръб има две ребра, които се пресичат с него. Следователно, необходимият брой двойки наклонени линии е Упражнение 5

Колко двойки коси прави има, които съдържат ръбовете на правилна шестоъгълна призма? Решение: Всеки ръб на основите участва в 8 двойки пресичащи се линии. Всеки страничен ръб участва в 8 двойки пресичащи се линии. Следователно необходимият брой двойки наклонени линии е Упражнение 6