Какво е експоненциално уравнение и как да го решим. Методи за решаване на експоненциални уравнения

На етапа на подготовка за окончателното тестване учениците от гимназията трябва да подобрят знанията си по темата „Експоненциални уравнения“. Опитът от минали години показва, че подобни задачи създават определени трудности за учениците. Следователно учениците от гимназията, независимо от нивото на подготовка, трябва внимателно да овладеят теорията, да запомнят формулите и да разберат принципа на решаване на такива уравнения. Научили се да се справят с този тип задачи, абитуриентите ще могат да разчитат на високи резултати при полагане на изпита по математика.

Пригответе се за изпитното тестване заедно с Школково!

При повтаряне на преминатите материали много ученици се сблъскват с проблема с намирането на формулите, необходими за решаване на уравненията. Училищният учебник не винаги е под ръка, а изборът на необходимата информация по дадена тема в Интернет отнема много време.

Образователният портал Школково кани студентите да използват нашата база от знания. Внедряваме изцяло нов метод за подготовка за финалния тест. Изучавайки на нашия сайт, вие ще можете да идентифицирате пропуски в знанията и да обърнете внимание точно на онези задачи, които причиняват най-големи трудности.

Учителите на "Школково" събраха, систематизираха и представиха целия материал, необходим за успешното полагане на изпита в най-простата и достъпна форма.

Основните определения и формули са представени в раздел "Теоретичен справочник".

За по-добро усвояване на материала ви препоръчваме да практикувате задачите. Внимателно прегледайте примерите на експоненциални уравнения с решения, представени на тази страница, за да разберете алгоритъма за изчисление. След това продължете със задачите в секция "Каталози". Можете да започнете с най-лесните задачи или да преминете направо към решаване на сложни експоненциални уравнения с няколко неизвестни или . Базата данни с упражнения на нашия уебсайт непрекъснато се допълва и актуализира.

Тези примери с индикатори, които са ви затруднили, могат да бъдат добавени към "Любими". Така че можете бързо да ги намерите и да обсъдите решението с учителя.

За да преминете успешно изпита, учете на портала Школково всеки ден!

Уравненията се наричат ​​експоненциални, ако неизвестното се съдържа в степента. Най-простото експоненциално уравнение има формата: a x \u003d a b, където a> 0 и 1, x е неизвестно.

Основни свойства на степените, с помощта на които се преобразуват показателните уравнения: a>0, b>0.

При решаване на експоненциални уравнения се използват и следните свойства на експоненциалната функция: y = a x , a > 0, a1:

За представяне на число като степен се използва основната логаритмична идентичност: b = , a > 0, a1, b > 0.

Задачи и тестове по темата "Експоненциални уравнения"

• експоненциални уравнения

  Уроци: 4 Задачи: 21 Тестове: 1

• експоненциални уравнения - Важни теми за повторен изпит по математика

  Задачи: 14

• Системи експоненциални и логаритмични уравнения - Експоненциални и логаритмични функции 11 клас

  Уроци: 1 Задачи: 15 Тестове: 1

• §2.1. Решение на експоненциални уравнения

  Уроци: 1 Задачи: 27

• §7 Показателни и логаритмични уравнения и неравенства - Раздел 5. Показателни и логаритмични функции 10 клас

  Уроци: 1 Задачи: 17

За да решавате успешно експоненциални уравнения, трябва да знаете основните свойства на степените, свойствата на експоненциалната функция и основната логаритмична идентичност.

При решаване на експоненциални уравнения се използват два основни метода:

1. преход от уравнението a f(x) = a g(x) към уравнението f(x) = g(x);
2. въвеждане на нови линии.

Примери.

1. Уравнения, редуцирани до най-простите. Те се решават чрез привеждане на двете страни на уравнението към степен с една и съща основа.

3x \u003d 9x - 2.

Решение:

3 x \u003d (3 2) x - 2;
3x = 3 2x - 4;
х = 2х -4;
х=4.

Отговор: 4.

2. Уравнения, решени чрез поставяне в скоби на общия множител.

Решение:

3x - 3x - 2 = 24
3 x - 2 (3 2 - 1) = 24
3 x - 2 x 8 = 24
3 х - 2 = 3
х - 2 = 1
х=3.

Отговор: 3.

3. Уравнения, решавани чрез промяна на променлива.

Решение:

2 2x + 2 x - 12 = 0
Означаваме 2 x \u003d y.
y 2 + y - 12 = 0
y 1 = - 4; y2=3.
а) 2 x = - 4. Уравнението няма решения, т.к 2 х > 0.
б) 2 x = 3; 2 x = 2 log 2 3 ; x = log 2 3.

Отговор:дневник 2 3.

4. Уравнения, съдържащи степени с две различни (несводими една към друга) основи.

3 × 2 x + 1 - 2 × 5 x - 2 \u003d 5 x + 2 x - 2.

3 x 2 x + 1 - 2 x - 2 = 5 x - 2 x 5 x - 2
2 x - 2 × 23 = 5 x - 2
×23
2 x - 2 = 5 x - 2
(5/2) x– 2 = 1
х - 2 = 0
х = 2.

Отговор: 2.

5. Уравнения, които са еднородни по отношение на a x и b x .

Обща форма: .

9 x + 4 x = 2,5 x 6 x .

Решение:

3 2x – 2,5 × 2x × 3x +2 2x = 0 |: 2 2x > 0
(3/2) 2x - 2,5 × (3/2) x + 1 = 0.
Означаваме (3/2) x = y.
y 2 - 2,5y + 1 \u003d 0,
y 1 = 2; y2 = ½.

Отговор:лог 3/2 2; - лог 3/2 2.

Решение на експоненциални уравнения. Примери.

внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Какво експоненциално уравнение? Това е уравнение, в което присъстват неизвестните (x) и изразите с тях показателинякои степени. И само там! Важно е.

Ето къде си примери за експоненциални уравнения:

3 x 2 x = 8 x + 3

Забележка! В основите на градусите (по-долу) - само цифри. AT показателистепени (горе) - голямо разнообразие от изрази с x. Ако внезапно x се появи в уравнението някъде извън индикатора, например:

това ще бъде уравнение от смесен тип. Такива уравнения нямат ясни правила за решаване. Засега няма да ги разглеждаме. Тук ще се занимаваме с решение на експоненциални уравненияв най-чист вид.

Всъщност дори чистите експоненциални уравнения не винаги са ясно решени. Но има определени видове експоненциални уравнения, които могат и трябва да бъдат решени. Това са видовете, които ще разгледаме.

Решение на най-простите експоненциални уравнения.

Нека започнем с нещо много основно. Например:

Дори и без никаква теория, чрез проста селекция е ясно, че x = 2. Нищо повече, нали!? Няма други хвърляния със стойност x. А сега нека да разгледаме решението на това сложно експоненциално уравнение:

какво направихме Ние всъщност просто изхвърлихме същите дъна (тройки). Напълно изхвърлен. И, каквото ви харесва, уцелете целта!

Наистина, ако в експоненциалното уравнение отляво и отдясно са същоточисла във всяка степен, тези числа могат да бъдат премахнати и равни степенни показатели. Математиката позволява. Остава да решим много по-просто уравнение. Добре е, нали?)

Все пак нека си припомним иронично: можете да премахнете базите само когато базовите числа отляво и отдясно са в прекрасна изолация!Без никакви съседи и коефициенти. Да кажем в уравненията:

2 x +2 x + 1 = 2 3 , или

Не можете да премахвате дубли!

Е, усвоихме най-важното. Как да преминем от зли експоненциални изрази към по-прости уравнения.

— Ето ги тези времена! - ти каза. „Кой ще даде такъв примитив на контролните и изпитите!?

Принуден да се съгласи. Никой няма. Но сега знаете къде да отидете, когато решавате объркващи примери. Необходимо е да го припомните, когато едно и също базово число е отляво - отдясно. Тогава всичко ще бъде по-лесно. Всъщност това е класиката на математиката. Ние вземаме оригиналния пример и го трансформираме до желания насум. Според правилата на математиката, разбира се.

Обмислете примери, които изискват допълнителни усилия, за да ги доведете до най-простите. Да им се обадим прости експоненциални уравнения.

Решение на прости експоненциални уравнения. Примери.

При решаване на експоненциални уравнения основните правила са действия с правомощия.Без познаване на тези действия нищо няма да работи.

Към действията със степени трябва да се добави лично наблюдение и изобретателност. Имаме ли нужда от еднакви базови числа? Така че ние ги търсим в примера в ясна или криптирана форма.

Да видим как това се прави на практика?

Нека ни дадем пример:

2 2x - 8 x+1 = 0

Първи поглед към основания.Те... Те са различни! Две и осем. Но е твърде рано да се обезсърчаваме. Време е да си припомним това

Две и осем са роднини по степен.) Напълно възможно е да се запише:

8 x+1 = (2 3) x+1

Ако си припомним формулата от действия с правомощия:

(a n) m = a nm,

като цяло работи страхотно:

8 x+1 = (2 3) x+1 = 2 3(x+1)

Оригиналният пример изглежда така:

2 2x - 2 3(x+1) = 0

Ние прехвърляме 2 3 (x+1)вдясно (никой не е отменил елементарните действия на математиката!), получаваме:

2 2x \u003d 2 3 (x + 1)

Това е на практика всичко. Премахване на основи:

Разрешаваме това чудовище и получаваме

Това е правилният отговор.

В този пример познаването на правомощията на две ни помогна. Ние идентифициранив осмицата, шифрованата двойка. Тази техника (кодиране на общи бази под различни числа) е много популярен трик в експоненциалните уравнения! Да, дори и в логаритми. Човек трябва да може да разпознава мощностите на други числа в числата. Това е изключително важно за решаване на експоненциални уравнения.

Факт е, че повишаването на произволно число на произволна степен не е проблем. Умножете, дори и на лист хартия, и това е всичко. Например всеки може да повдигне 3 на пета степен. 243 ще се окаже, ако знаете таблицата за умножение.) Но в експоненциалните уравнения е много по-често необходимо да не се повишава до степен, а обратното ... какъв брой до каква степенсе крие зад числото 243, или, да речем, 343... Никой калкулатор няма да ви помогне тук.

Трябва да знаете правомощията на някои числа с поглед, да ... Да се ​​упражняваме ли?

Определете кои степени и кои числа са числа:

2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.

Отговори (в бъркотия, разбира се!):

5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .

Ако се вгледате внимателно, можете да видите странен факт. Има повече отговори, отколкото въпроси! Е, случва се... Например 2 6 , 4 3 , 8 2 е всичко 64.

Да приемем, че сте взели под внимание информацията за запознаване с числата.) Нека ви напомня, че за решаване на експоненциални уравнения прилагаме цялотозапас от математически знания. Включително и от долната средна класа. Не отиде направо в гимназията, нали?

Например, когато решавате експоненциални уравнения, поставянето на общия множител извън скоби много често помага (здравейте на 7 клас!). Да видим пример:

3 2x+4 -11 9 x = 210

И отново първият поглед - към терена! Основите на степените са различни ... Три и девет. И искаме те да са същите. Е, в този случай желанието е напълно осъществимо!) Защото:

9 x = (3 2) x = 3 2x

Съгласно същите правила за действия със степени:

3 2x+4 = 3 2x 3 4

Това е страхотно, можете да напишете:

3 2x 3 4 - 11 3 2x = 210

Дадохме пример по същите причини. И така, какво следва!? Не можете да хвърляте тройки... Задънена улица?

Въобще не. Запомнете най-универсалното и мощно правило за вземане на решения всичкозадачи по математика:

Ако не знаете какво да правите, направете каквото можете!

Гледаш, всичко е оформено).

Какво има в това експоненциално уравнение могаправя? Да, лявата страна директно иска скоби! Общият множител 3 2x ясно загатва за това. Нека опитаме и тогава ще видим:

3 2x (3 4 - 11) = 210

3 4 - 11 = 81 - 11 = 70

Примерът става все по-добър и по-добър!

Припомняме, че за да елиминираме основите, се нуждаем от чиста степен, без никакви коефициенти. Числото 70 ни притеснява. Така че разделяме двете страни на уравнението на 70, получаваме:

Оп-па! Всичко беше наред!

Това е окончателният отговор.

Случва се обаче да се получи рулиране на същото основание, но не и ликвидация. Това се случва в експоненциални уравнения от друг тип. Нека вземем този тип.

Промяна на променлива при решаване на експоненциални уравнения. Примери.

Нека решим уравнението:

4 x - 3 2 x +2 = 0

Първо - както обикновено. Да преминем към основата. Към двойката.

4 x = (2 2) x = 2 2x

Получаваме уравнението:

2 2x - 3 2 x +2 = 0

И тук ще висим. Предишните трикове няма да работят, както и да го въртите. Ще трябва да вземем от арсенала на друг мощен и универсален начин. Нарича се променливо заместване.

Същността на метода е изненадващо проста. Вместо една сложна икона (в нашия случай 2 x), пишем друга, по-проста (например t). Такава на пръв поглед безсмислена замяна води до невероятни резултати!) Всичко става ясно и разбираемо!

Така че нека

Тогава 2 2x \u003d 2 x2 = (2 x) 2 \u003d t 2

Заменяме в нашето уравнение всички степени с x с t:

Е, става ясно?) Все още не сте забравили квадратните уравнения? Решаваме чрез дискриминанта, получаваме:

Тук основното нещо е да не спирате, както се случва ... Това все още не е отговорът, имаме нужда от x, а не от t. Връщаме се на Xs, т.е. извършване на замяна. Първо за t 1:

Това е,

Намерен е един корен. Търсим втория, от t 2:

Хм... Ляво 2 х, дясно 1... Засечка? Да, съвсем не! Достатъчно е да запомните (от действия със степени, да ...), че единица е всякаквичисло до нула. Всякакви. Каквото ви трябва, ние ще го поставим. Имаме нужда от две. означава:

Сега това е всичко. Имам 2 корена:

Това е отговорът.

При решаване на експоненциални уравнениянакрая понякога се получава някакво неловко изражение. Тип:

От седемте, двойка през проста степен не работи. Те не са роднини ... Как мога да бъда тук? Някой може да е объркан ... Но човекът, който прочете на този сайт темата "Какво е логаритъм?" , само се усмихнете пестеливо и запишете със твърда ръка абсолютно верния отговор:

В задачи "Б" на изпита не може да има такъв отговор. Изисква се конкретен номер. Но в задачи "C" - лесно.

Този урок предоставя примери за решаване на най-често срещаните експоненциални уравнения. Нека подчертаем основния.

Практически съвети:

1. На първо място, разглеждаме основаниястепени. Да видим дали не могат да се направят същото.Нека се опитаме да направим това чрез активно използване действия с правомощия.Не забравяйте, че числата без x също могат да се превърнат в градуси!

2. Опитваме се да доведем експоненциалното уравнение до формата, когато лявото и дясното са същоточисла във всяка степен. Ние използваме действия с правомощияи факторизация.Това, което може да се брои в числа - ние го броим.

3. Ако вторият съвет не работи, се опитваме да приложим заместването на променливата. Резултатът може да бъде уравнение, което лесно се решава. Най-често - квадрат. Или дробна, която също се свежда до квадрат.

4. За да решавате успешно експоненциални уравнения, трябва да знаете степените на някои числа "нагледно".

Както обикновено, в края на урока сте поканени да решите малко.) Сами. От просто към сложно.

Решете експоненциални уравнения:

По-трудно:

2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48

9 x - 8 3 x = 9

2 x - 2 0,5 x + 1 - 8 = 0

Намерете произведението на корените:

2 3-x + 2 x = 9

Се случи?

Е, тогава най-сложният пример (той обаче се решава в ума ...):

7 0,13x + 13 0,7x+1 + 2 0,5x+1 = -3

Какво е по-интересно? Тогава ето ви лош пример. Доста дърпане на повишена трудност. Ще намекна, че в този пример спасява изобретателността и най-универсалното правило за решаване на всички математически задачи.)

2 5x-1 3 3x-1 5 2x-1 = 720 x

Един пример е по-прост, за релакс):

9 2 x - 4 3 x = 0

И за десерт. Намерете сумата от корените на уравнението:

x 3 x - 9x + 7 3 x - 63 = 0

Да да! Това е уравнение от смесен тип! Което не разгледахме в този урок. И какво да ги считаме, те трябва да бъдат решени!) Този урок е напълно достатъчен за решаване на уравнението. Е, необходима е изобретателност ... И да, седми клас ще ви помогне (това е намек!).

Отговори (в безпорядък, разделени с точка и запетая):

един; 2; 3; четири; няма решения; 2; -2; -5; четири; 0.

Всичко успешно ли е? Отлично.

Има проблем? Няма проблем! В специален раздел 555 всички тези експоненциални уравнения са решени с подробни обяснения. Какво, защо и защо. И, разбира се, има допълнителна ценна информация за работа с всякакви експоненциални уравнения. Не само с тези.)

Един последен забавен въпрос за разглеждане. В този урок работихме с експоненциални уравнения. Защо не казах дума за ОДЗ тук?В уравненията това е много важно нещо, между другото ...

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаване на примери и да разберете вашето ниво. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.