Метод на Крамер за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения. Правилото на Крамър

2. Решаване на системи от уравнения по матричния метод (с помощта на обратна матрица).
3. Метод на Гаус за решаване на системи от уравнения.

Методът на Крамер.

Методът на Крамер се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения ( СЛАУ).

Формули, използващи примера на система от две уравнения с две променливи.
дадени:Решете системата с помощта на метода на Крамер

Относно променливите хИ при.
Решение:
Да намерим детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата Изчисляване на детерминанти. :

Нека приложим формулите на Cramer и да намерим стойностите на променливите:
И .
Пример 1:
Решете системата от уравнения:

по отношение на променливите хИ при.
Решение:


Нека заменим първата колона в тази детерминанта с колона с коефициенти от дясната страна на системата и да намерим нейната стойност:

Нека направим подобно нещо, като заменим втората колона в първата детерминанта:

Приложимо Формули на Крамери намерете стойностите на променливите:
И .
Отговор:
коментар:Този метод може да решава системи с по-високи измерения.

коментар:Ако се окаже, че , но не може да се раздели на нула, тогава те казват, че системата няма уникално решение. В този случай системата или има безкрайно много решения, или изобщо няма решения.

Пример 2(безкраен брой решения):

Решете системата от уравнения:

по отношение на променливите хИ при.
Решение:
Нека намерим детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата:

Решаване на системи чрез метода на заместване.

Първото от уравненията на системата е равенство, което е вярно за всякакви стойности на променливите (тъй като 4 винаги е равно на 4). Това означава, че остава само едно уравнение. Това е уравнение за връзката между променливите.
Открихме, че решението на системата е всяка двойка стойности на променливи, свързани една с друга чрез равенството.
Общото решение ще бъде написано, както следва:
Конкретни решения могат да бъдат определени чрез избиране на произволна стойност на y и изчисляване на x от това равенство на връзката.

и т.н.
Има безкрайно много такива решения.
Отговор:общо решение
Частни решения:

Пример 3(няма решения, системата е несъвместима):

Решете системата от уравнения:

Решение:
Нека намерим детерминантата на матрицата, съставена от коефициентите на системата:

Формулите на Cramer не могат да се използват. Нека решим тази система, използвайки метода на заместване

Второто уравнение на системата е равенство, което не е вярно за никакви стойности на променливите (разбира се, тъй като -15 не е равно на 2). Ако едно от уравненията на системата не е вярно за никакви стойности на променливите, тогава цялата система няма решения.
Отговор:няма решения

Методът на Cramer се използва за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения (SLAE), в които броят на неизвестните променливи е равен на броя на уравненията и детерминантата на основната матрица е различна от нула. В тази статия ще анализираме как се намират неизвестни променливи с помощта на метода на Крамър и ще получим формули. След това нека да преминем към примери и да опишем подробно решението на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Навигация в страницата.

Метод на Крамер - извеждане на формули.

Нека трябва да решим система от линейни уравнения от вида

Където x 1, x 2, …, x n са неизвестни променливи, a i j, i = 1, 2, …, n, j = 1, 2, …, n- числови коефициенти, b 1, b 2, ..., b n - свободни членове. Решение на SLAE е такъв набор от стойности x 1, x 2, …, x n, за които всички уравнения на системата стават идентичности.

В матрична форма тази система може да бъде записана като A ⋅ X = B, където - основната матрица на системата, нейните елементи са коефициентите на неизвестни променливи, - матрицата е колона от свободни термини и - матрицата е колона от неизвестни променливи. След намиране на неизвестните променливи x 1, x 2, …, x n, матрицата става решение на системата от уравнения и равенството A ⋅ X = B става тъждество.

Ще приемем, че матрица A е неособена, т.е. нейният детерминант е различен от нула. В този случай системата от линейни алгебрични уравнения има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамър. (Методите за решаване на системи за са обсъдени в раздела решаване на системи от линейни алгебрични уравнения).

Методът на Cramer се основава на две свойства на детерминанта на матрицата:

И така, нека започнем да намираме неизвестната променлива x 1. За да направим това, ние умножаваме двете части на първото уравнение на системата по A 1 1, двете части на второто уравнение по A 2 1 и така нататък, двете части на n-то уравнение по A n 1 (тоест ние умножете уравненията на системата по съответните алгебрични добавки на първата колона A на матрицата):

Нека съберем всички леви страни на системното уравнение, групирайки членовете за неизвестни променливи x 1, x 2, ..., x n, и приравним тази сума към сумата от всички десни страни на уравненията:

Ако се обърнем към споменатите по-горе свойства на детерминантата, имаме

и предишното равенство приема формата

където

По същия начин намираме x 2. За да направим това, ние умножаваме двете страни на системните уравнения по алгебричните допълнения на втората колона на матрица A:

Събираме всички уравнения на системата, групираме членовете за неизвестни променливи x 1, x 2, ..., x n и прилагаме свойствата на детерминантата:

Където
.

Останалите неизвестни променливи се намират по подобен начин.

Ако обозначим

Тогава получаваме формули за намиране на неизвестни променливи по метода на Cramer .

Коментирайте.

Ако системата от линейни алгебрични уравнения е хомогенна, т.е , то има само тривиално решение (при ). Наистина, за нула свободни членове, всички детерминанти ще бъдат равни на нула, тъй като ще съдържат колона от нулеви елементи. Следователно, формулите ще даде .

Алгоритъм за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Нека го запишем алгоритъм за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Примери за решаване на системи от линейни алгебрични уравнения по метода на Крамер.

Нека да разгледаме решенията на няколко примера.

Пример.

Намерете решение на нехомогенна система от линейни алгебрични уравнения, като използвате метода на Крамер .

Решение.

Основната матрица на системата има формата . Нека изчислим детерминантата му по формулата :

Тъй като детерминантата на основната матрица на системата е различна от нула, SLAE има уникално решение и то може да бъде намерено по метода на Cramer. Нека запишем детерминантите и . Заменяме първата колона от основната матрица на системата с колона от свободни членове и получаваме детерминантата . По същия начин заменяме втората колона на основната матрица с колоната със свободни термини и получаваме .

Ние изчисляваме тези детерминанти:

Намерете неизвестните променливи x 1 и x 2, като използвате формулите :

Да проверим. Нека заместим получените стойности x 1 и x 2 в оригиналната система от уравнения:

И двете уравнения на системата стават идентичности, следователно решението е намерено правилно.

Отговор:

.

Някои елементи от основната матрица на SLAE могат да бъдат равни на нула. В този случай съответните неизвестни променливи ще отсъстват от уравненията на системата. Нека разгледаме един пример.

Пример.

Намерете решение на система от линейни уравнения, като използвате метода на Крамер .

Решение.

Нека пренапишем системата във формата , така че основната матрица на системата да стане видима . Нека намерим неговия детерминант, използвайки формулата

Ние имаме

Детерминантата на основната матрица е различна от нула, следователно системата от линейни уравнения има уникално решение. Нека го намерим с помощта на метода на Крамър. Нека изчислим детерминантите :

По този начин,

Отговор:

Означенията на неизвестни променливи в уравненията на системата могат да се различават от x 1, x 2, ..., x n. Това не засяга процеса на вземане на решение. Но редът на неизвестните променливи в уравненията на системата е много важен при съставянето на основната матрица и необходимите детерминанти на метода на Крамер. Нека изясним тази точка с пример.

Пример.

Използвайки метода на Крамер, намерете решение на система от три линейни алгебрични уравнения с три неизвестни .

Решение.

В този пример неизвестните променливи имат различна нотация (x, y и z вместо x1, x2 и x3). Това не засяга решението, но внимавайте с променливите етикети. НЕ МОЖЕТЕ да го приемете като основна матрица на системата . Необходимо е първо да се подредят неизвестните променливи във всички уравнения на системата. За да направим това, пренаписваме системата от уравнения като . Сега основната матрица на системата е ясно видима . Нека изчислим неговата детерминанта:

Детерминантата на основната матрица е различна от нула, следователно системата от уравнения има уникално решение. Нека го намерим с помощта на метода на Крамър. Нека запишем детерминантите (обърнете внимание на нотацията) и ги изчислете:

Остава да намерим неизвестните променливи с помощта на формулите :

Да проверим. За да направите това, умножете основната матрица по полученото решение (ако е необходимо, вижте раздела):

В резултат на това получихме колона от свободни членове на оригиналната система от уравнения, така че решението беше намерено правилно.

Отговор:

x = 0, y = -2, z = 3.

Пример.

Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер , където a и b са някои реални числа.

Решение.

Отговор:

Пример.

Намерете решението на системата от уравнения по метода на Крамър, - някакво реално число.

Решение.

Нека изчислим детерминантата на основната матрица на системата: . изразът е интервал, следователно за всякакви реални стойности. Следователно системата от уравнения има уникално решение, което може да бъде намерено по метода на Крамър. Изчисляваме и:

Методи КрамерИ Гаус- един от най-популярните методи за решение СЛАУ. Освен това в някои случаи е препоръчително да се използват специфични методи. Сесията е близо и сега е моментът да ги повторите или овладеете от нулата. Днес ще разгледаме решението с помощта на метода на Cramer. В крайна сметка решаването на система от линейни уравнения с помощта на метода на Крамър е много полезно умение.

Системи линейни алгебрични уравнения

Система от линейни алгебрични уравнения е система от уравнения от вида:

Задаване на стойност х , при което уравненията на системата се превръщат в идентичности, се нарича решение на системата, а И b са реални коефициенти. Една проста система, състояща се от две уравнения с две неизвестни, може да бъде решена наум или чрез изразяване на една променлива по отношение на другата. Но може да има много повече от две променливи (xes) в SLAE и тук прости училищни манипулации не са достатъчни. Какво да правя? Например, решете SLAE с помощта на метода на Cramer!

И така, нека системата се състои от н уравнения с н неизвестен.

Такава система може да бъде пренаписана в матрична форма

Тук А – основната матрица на системата, х И Б , съответно колонни матрици на неизвестни променливи и свободни членове.

Решаване на SLAE по метода на Cramer

Ако детерминантата на основната матрица не е равна на нула (матрицата е неособена), системата може да бъде решена с помощта на метода на Крамер.

Според метода на Крамер решението се намира по формулите:

Тук делта е детерминантата на основната матрица и делта х nth – детерминанта, получена от детерминантата на основната матрица чрез замяна на n-та колона с колона от свободни членове.

Това е цялата същност на метода Крамер. Заместване на стойностите, намерени с горните формули х в желаната система, ние сме убедени в правилността (или обратното) на нашето решение. За да ви помогнем бързо да разберете същността, по-долу даваме пример за подробно решение на SLAE, използвайки метода на Cramer:

Дори и да не успеете от първия път, не се обезсърчавайте! С малко практика ще започнете да чупите SLAU като ядки. Освен това сега абсолютно не е необходимо да се занимавате с тетрадка, да решавате тромави изчисления и да записвате ядрото. Можете лесно да решите SLAE, като използвате метода на Cramer онлайн, просто като замените коефициентите в готовата форма. Можете да изпробвате онлайн калкулатор за решение, използвайки метода на Cramer, например на този уебсайт.

И ако системата се окаже упорита и не се предаде, винаги можете да се обърнете за помощ към нашите автори, например към. Ако има поне 100 неизвестни в системата, ние със сигурност ще го разрешим правилно и навреме!

Методът на Крамър се основава на използването на детерминанти при решаване на системи от линейни уравнения. Това значително ускорява процеса на решение.

Методът на Крамър може да се използва за решаване на система от толкова линейни уравнения, колкото неизвестни има във всяко уравнение. Ако детерминантата на системата не е равна на нула, тогава методът на Крамър може да се използва в решението, но ако е равна на нула, тогава не може. В допълнение, методът на Cramer може да се използва за решаване на системи от линейни уравнения, които имат уникално решение.

Определение. Детерминанта, съставена от коефициенти за неизвестни, се нарича детерминанта на системата и се обозначава (делта).

Детерминанти

се получават чрез заместване на коефициентите на съответните неизвестни със свободни членове:

;

.

Теорема на Крамър. Ако детерминантата на системата е различна от нула, тогава системата от линейни уравнения има едно единствено решение и неизвестното е равно на отношението на детерминантите. Знаменателят съдържа детерминантата на системата, а числителят съдържа детерминантата, получена от детерминантата на системата чрез заместване на коефициентите на това неизвестно със свободни членове. Тази теорема е валидна за система от линейни уравнения от произволен ред.

Пример 1.Решете система от линейни уравнения:

Според Теорема на Крамърние имаме:

И така, решението на система (2):

онлайн калкулатор, метод на решаване на Cramer.

Три случая при решаване на системи от линейни уравнения

Както става ясно от Теорема на Крамър, при решаване на система от линейни уравнения могат да възникнат три случая:

Първи случай: система от линейни уравнения има уникално решение

(системата е последователна и категорична)

Втори случай: система от линейни уравнения има безкраен брой решения

(системата е последователна и несигурна)

** ,

тези. коефициентите на неизвестните и свободните членове са пропорционални.

Трети случай: системата от линейни уравнения няма решения

(системата е непоследователна)

Така че системата млинейни уравнения с ннаречени променливи неставни, ако тя няма нито едно решение, и става, ако има поне едно решение. Нарича се едновременна система от уравнения, която има само едно решение определени, и повече от един – несигурен.

Примери за решаване на системи от линейни уравнения по метода на Крамер

Нека се даде системата

.

Въз основа на теоремата на Крамър

………….
,

Където
-

системна детерминанта. Получаваме останалите детерминанти, като заменяме колоната с коефициентите на съответната променлива (неизвестна) със свободни условия:

Пример 2.

.

Следователно системата е категорична. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите

Използвайки формулите на Cramer намираме:

И така, (1; 0; -1) е единственото решение на системата.

За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.

Ако в система от линейни уравнения няма променливи в едно или повече уравнения, то в детерминантата съответните елементи са равни на нула! Това е следващият пример.

Пример 3.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:

.

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Разгледайте внимателно системата от уравнения и детерминантата на системата и повторете отговора на въпроса в кои случаи един или повече елементи от детерминантата са равни на нула. И така, детерминантата не е равна на нула, следователно системата е определена. За да намерим решението му, изчисляваме детерминантите за неизвестните

Използвайки формулите на Cramer намираме:

И така, решението на системата е (2; -1; 1).

За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.

Най-горе на страницата

Продължаваме заедно да решаваме системи, използвайки метода на Cramer

Както вече споменахме, ако детерминантата на системата е равна на нула, а детерминантите на неизвестните не са равни на нула, системата е непоследователна, тоест няма решения. Нека илюстрираме със следния пример.

Пример 6.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Детерминантата на системата е равна на нула, следователно системата от линейни уравнения е или непоследователна и определена, или непоследователна, т.е. няма решения. За да изясним, ние изчисляваме детерминанти за неизвестни

Детерминантите на неизвестните не са равни на нула, следователно системата е непоследователна, тоест няма решения.

За да проверите решенията на системи от уравнения 3 X 3 и 4 X 4, можете да използвате онлайн калкулатор, като използвате метода за решаване на Cramer.

При задачи, включващи системи от линейни уравнения, има и такива, в които освен букви, обозначаващи променливи, има и други букви. Тези букви представляват число, най-често реално. На практика такива уравнения и системи от уравнения се дължат на проблеми за търсене на общи свойства на всякакви явления или обекти. Тоест вие сте изобретили някакъв нов материал или устройство и за да опишете свойствата му, които са общи, независимо от размера или количеството на образеца, трябва да решите система от линейни уравнения, където вместо някои коефициенти за променливи има писма. Не е нужно да търсите далеч за примери.

Следващият пример е за подобен проблем, само че броят на уравненията, променливите и буквите, обозначаващи определено реално число, се увеличава.

Пример 8.Решете система от линейни уравнения по метода на Крамер:

Решение. Намираме детерминантата на системата:

Намиране на детерминанти за неизвестни