Изчисляване на обема на ротационно тяло с помощта на определен интеграл. Обем на въртеливото тяло

I. Обем на телата на въртене. Предварително изучавайте глава XII, параграфи 197, 198 от учебника на Г. М. Фихтенголц * Анализирайте подробно примерите, дадени в параграф 198.

508. Изчислете обема на тяло, образувано от въртене на елипса около оста Ox.

По този начин,

530. Намерете повърхността, образувана от въртене около оста Ox на дъгата на синусоидата y = sin x от точка X = 0 до точка X = It.

531. Изчислете повърхността на конус с височина h и радиус r.

532. Изчислете площта на образуваната повърхност

въртене на астроида x3 -)- y* - a3 около оста Ox.

533. Изчислете площта на повърхността, образувана от завъртане на бримката на кривата 18 ug - x (6 - x) z около оста Ox.

534. Намерете повърхността на тора, получена от въртенето на окръжността X2 - j - (y-3)2 = 4 около оста Ox.

535. Изчислете повърхността, образувана от въртенето на окръжността X = a cost, y = asint около оста Ox.

536. Изчислете повърхността, образувана от въртенето на бримката на кривата x = 9t2, y = St - 9t3 около оста Ox.

537. Намерете площта на повърхността, образувана от въртене на дъгата на кривата x = e*sint, y = el cost около оста Ox

от t = 0 до t = —.

538. Покажете, че повърхността, получена от въртенето на циклоидната дъга x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) около оста Oy е равна на 16 u2 o2.

539. Намерете повърхността, получена при въртене на кардиоида около полярната ос.

540. Намерете повърхността, образувана от въртенето на лемниската Около полярната ос.

Допълнителни задачи към глава IV

Площи на равнинни фигури

541. Намерете цялата площ на областта, ограничена от кривата И оста Ox.

542. Намерете площта на областта, ограничена от кривата

И оста Ox.

543. Намерете частта от площта на региона, разположена в първия квадрант и ограничена от кривата

l координатни оси.

544. Намерете площта на областта, съдържаща се вътре

цикли:

545. Намерете площта на областта, ограничена от един цикъл на кривата:

546. Намерете площта на областта, съдържаща се вътре в цикъла:

547. Намерете площта на областта, ограничена от кривата

И оста Ox.

548. Намерете площта на областта, ограничена от кривата

И оста Ox.

549. Намерете площта на областта, ограничена от оста Oxr

права и крива

Как да изчислим обема на ротационно тяло
използвайки определен интеграл?

Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане; с помощта на определен интеграл можете да изчислите площта на фигура, обема на ротационното тяло, дължината на дъгата, повърхността на въртене и много други. Така че ще бъде забавно, моля, бъдете оптимисти!

Представете си някаква плоска фигура в координатната равнина. Въведени? ... Интересно кой какво е представил... =))) Вече намерихме района му. Но освен това тази фигура може да се върти и то по два начина:

- около абсцисната ос;
- около ординатната ос.

Тази статия ще разгледа и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-много трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Като бонус ще се върна към проблем за намиране на площта на фигура, и ще ви кажа как да намерите района по втория начин - по оста. Това не е толкова бонус, колкото материалът се вписва добре в темата.

Нека започнем с най-популярния тип ротация.

плоска фигура около ос

Изчислете обема на тяло, получено при завъртане на фигура, ограничена с прави около ос.

Решение: Както в задачата за намиране на областта, решението започва с чертеж на плоска фигура. Това означава, че в равнината е необходимо да се изгради фигура, ограничена от линиите, и не забравяйте, че уравнението определя оста. Как да завършите чертеж по-ефективно и бързо можете да намерите на страниците Графики и свойства на елементарни функцииИ . Това е китайско напомняне и на този етап няма да се спирам повече.

Чертежът тук е доста прост:

В синьо е оцветена желаната плоска фигура, която се върти около оста.В резултат на въртенето се получава леко яйцевидна летяща чиния, която е симетрична спрямо оста. Всъщност тялото има математическо име, но ме мързи да изясня нещо в справочника, така че продължаваме нататък.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло?

Обемът на въртеливото тяло може да се изчисли по формулата:

Във формулата числото трябва да присъства преди интеграла. Така се случи - всичко, което се върти в живота, е свързано с тази константа.

Мисля, че е лесно да се досетите как да зададете границите на интеграция „a“ и „be“ от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Равнинната фигура е ограничена от графиката на параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - интегрантът във формулата е на квадрат: , следователно интегралът винаги е неотрицателен, което е много логично.

Нека изчислим обема на ротационно тяло, използвайки тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

В отговора си трябва да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 „кубчета“. Защо кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко зелени човечета вашето въображение може да постави в летяща чиния.

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигура, ограничена от линии , ,

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и

Решение: Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линиите , , , , без да забравяме, че уравнението определя оста:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се завърти около оста си, се оказва сюрреалистична поничка с четири ъгъла.

Нека изчислим обема на тялото на въртене като разлика в обемите на телата.

Първо, нека погледнем фигурата, оградена в червено. При въртенето му около ос се получава пресечен конус. Нека означим обема на този пресечен конус с .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста, ще получите и пресечен конус, само малко по-малък. Нека обозначим неговия обем с .

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула, за да намерим обема на ротационно тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обем на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се пише по-кратко, нещо подобно:

Сега нека да си починем малко и да ви разкажем за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с обеми, което беше забелязано от Перелман (друг) в книгата Занимателна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек изпива еквивалента на стая от 18 квадратни метра течност през целия си живот, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Да се ​​изчисли обемът на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите , , където .

Това е пример, който можете да решите сами. Моля, имайте предвид, че всички случаи се срещат в лентата, с други думи, действително са дадени готови граници на интеграция. Начертайте правилно графиките на тригонометричните функции, позволете ми да ви припомня материала за урока геометрични трансформации на графики: ако аргументът е разделен на две: , тогава графиките се разтягат два пъти по оста. Препоръчително е да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблициза по-точно завършване на чертежа. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде още по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на въртящо се тяло около ординатната ос също е доста често срещан гост в тестовата работа. По пътя ще бъде разгледано проблем за намиране на площта на фигуравторият метод е интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и ще ви научи да намерите най-печелившия път на решение. В това има и практически житейски смисъл! Както моята учителка по методика на преподаване на математика си спомня с усмивка, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и оптимално управляваме персонала.“ Използвайки случая, аз също изказвам своята голяма благодарност към нея, особено след като използвам придобитите знания по предназначение =).

Препоръчвам го на всички, дори и на пълни манекени. Освен това материалът, научен във втория параграф, ще предостави безценна помощ при изчисляването на двойни интеграли.

Дадена е плоска фигура, ограничена от линиите , , .

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии.
2) Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

внимание!Дори ако искате да прочетете само втората точка, не забравяйте първо да прочетете първата!

Решение: Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Да направим рисунка:

Лесно се вижда, че функцията определя горния клон на параболата, а функцията определя долния клон на параболата. Пред нас е тривиална парабола, която „лежи на една страна“.

Желаната фигура, чиято площ трябва да се намери, е оцветена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по „обичайния“ начин, който беше обсъден в клас Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Освен това площта на фигурата се намира като сбор от площите:
- на сегмента ;
- на сегмента.

Ето защо:

Защо обикновеното решение е лошо в този случай? Първо, имаме два интеграла. Второ, има корени под интегралите, а корените в интегралите не са подарък и освен това можете да се объркате при заместването на границите на интегрирането. Всъщност интегралите, разбира се, не са убийствени, но на практика всичко може да бъде много по-тъжно, просто избрах „по-добри“ функции за проблема.

Има по-рационално решение: то се състои в преминаване към обратни функции и интегриране по оста.

Как да стигнем до обратни функции? Грубо казано, трябва да изразите "x" чрез "y". Първо, нека да разгледаме параболата:

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

По-лесно е с права линия:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червена пунктирана линия. В този случай на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери с помощта на формулата, която вече ви е позната: . Какво се промени във формулата? Само едно писмо и нищо повече.

! Забележка: Трябва да се зададат границите на интегриране по оста строго отдолу нагоре!

Намиране на областта:

Следователно в сегмента:

Моля, обърнете внимание как съм извършил интеграцията, това е най-рационалният начин, а в следващия параграф на задачата ще стане ясно защо.

За читателите, които се съмняват в правилността на интеграцията, ще намеря производни:

Получава се оригиналната интегрална функция, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Нека изчислим обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

И така, фигурата, оцветена в синьо, се върти около оста. Резултатът е „витаеща пеперуда“, която се върти около оста си.

За да намерим обема на ротационно тяло, ще интегрираме по оста. Първо трябва да преминем към обратни функции. Това вече беше направено и описано подробно в предишния параграф.

Сега отново накланяме главата си надясно и изучаваме фигурата си. Очевидно обемът на ротационно тяло трябва да се намери като разлика в обемите.

Завъртаме фигурата, оградена в червено около оста, което води до пресечен конус. Нека обозначим този обем с .

Въртим фигурата, оградена в зелено, около оста и я обозначаваме с обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на въртящо се тяло:

Каква е разликата от формулата в предишния параграф? Само в писмото.

Но предимството на интеграцията, за което наскоро говорих, е много по-лесно за намиране , вместо първо да повдигнем интегранта на 4-та степен.

Отговор:

Моля, имайте предвид, че ако една и съща плоска фигура се завърти около оста, вие ще получите съвсем различно тяло на въртене, с различен обем, естествено.

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии и ос.

1) Отидете на обратни функции и намерете площта на равнинна фигура, ограничена от тези линии, чрез интегриране върху променливата.
2) Изчислете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

Това е пример, който можете да решите сами. Заинтересованите могат също да намерят площта на фигура по „обичайния“ начин, като по този начин проверяват точка 1). Но ако, повтарям, завъртите плоска фигура около оста, ще получите съвсем различно тяло на въртене с различен обем, между другото, правилният отговор (също и за тези, които обичат да решават проблеми).

Пълното решение на двете предложени точки от задачата е в края на урока.

Да, и не забравяйте да наклоните главата си надясно, за да разберете телата на въртене и границите на интеграция!

Тъкмо щях да завърша статията, но днес дадоха интересен пример само за намиране на обема на въртеливо тяло около ординатната ос. прясно:

Изчислете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигура, ограничена от криви и .

Решение: Да направим рисунка:

По пътя се запознаваме с графиките на някои други функции. Ето една интересна графика на четна функция...

Обемът на тялото на въртене може да се изчисли по формулата:

Във формулата числото трябва да присъства преди интеграла. Така се случи - всичко, което се върти в живота, е свързано с тази константа.

Мисля, че е лесно да се досетите как да зададете границите на интеграция „a“ и „be“ от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Равнинната фигура е ограничена от графиката на параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - функцията във формулата е на квадрат: , следователно обемът на тялото на въртене винаги е неотрицателен, което е много логично.

Нека изчислим обема на ротационно тяло, използвайки тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

В отговора си трябва да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 „кубчета“. Защо кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко зелени човечета вашето въображение може да постави в летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигура, ограничена от линии , ,

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и

Решение:Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линиите , , , , без да забравяме, че уравнението определя оста:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се завърти около оста си, се оказва сюрреалистична поничка с четири ъгъла.

Нека изчислим обема на тялото на въртене като разлика в обемите на телата.

Първо, нека погледнем фигурата, оградена в червено. При въртенето му около ос се получава пресечен конус. Нека означим обема на този пресечен конус с .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста, ще получите и пресечен конус, само малко по-малък. Нека обозначим неговия обем с .

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула, за да намерим обема на ротационно тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обем на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се пише по-кратко, нещо подобно:

Сега нека да си починем малко и да ви разкажем за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с томове, които са забелязани от Перелман (не този) в книгата Занимателна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек изпива еквивалента на стая от 18 квадратни метра течност през целия си живот, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

Като цяло образователната система в СССР беше наистина най-добрата. Същата книга на Перелман, написана от него през 1950 г., много добре развива, както каза хумористът, мисленето и учи човек да търси оригинални, нестандартни решения на проблемите. Наскоро препрочетох някои от главите с голям интерес, препоръчвам го, достъпно е дори за хуманисти. Не, няма нужда да се усмихвате, че предложих свободно време, ерудицията и широките хоризонти в общуването са страхотно нещо.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Пример 4

Да се ​​изчисли обемът на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите , , където .

Това е пример, който можете да решите сами. Моля, обърнете внимание, че всичко се случва в лентата, с други думи, дадени са практически готови граници на интеграция. Също така се опитайте да начертаете правилно графики на тригонометрични функции; ако аргументът е разделен на две: тогава графиките се разтягат два пъти по оста. Опитайте се да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблиции по-точно завършете чертежа. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде още по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на въртящо се тяло около ординатната ос също е доста често срещан гост в тестовата работа. По пътя ще бъде разгледано проблем за намиране на площта на фигуравторият метод е интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и ще ви научи да намерите най-печелившия път на решение. В това има и практически житейски смисъл! Както моята учителка по методика на преподаване на математика си спомня с усмивка, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и оптимално управляваме персонала.“ Използвайки случая, аз също изказвам своята голяма благодарност към нея, особено след като използвам придобитите знания по предназначение =).

Пример 5

Дадена е плоска фигура, ограничена от линиите , , .

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии.
2) Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

внимание!Дори ако искате да прочетете само втората точка, първо Задължителнопрочети първата!

Решение:Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Да направим рисунка:

Лесно се вижда, че функцията определя горния клон на параболата, а функцията определя долния клон на параболата. Пред нас е тривиална парабола, която „лежи на една страна“.

Желаната фигура, чиято площ трябва да се намери, е оцветена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по „обичайния“ начин, който беше обсъден в клас Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Освен това площта на фигурата се намира като сбор от площите:
- на сегмента ;
- на сегмента.

Ето защо:

Защо обикновеното решение е лошо в този случай? Първо, имаме два интеграла. Второ, интегралите са корени, а корените в интегралите не са подарък и освен това можете да се объркате при заместването на границите на интегриране. Всъщност интегралите, разбира се, не са убийствени, но на практика всичко може да бъде много по-тъжно, просто избрах „по-добри“ функции за проблема.

Има по-рационално решение: то се състои в преминаване към обратни функции и интегриране по оста.

Как да стигнем до обратни функции? Грубо казано, трябва да изразите "x" чрез "y". Първо, нека да разгледаме параболата:

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

По-лесно е с права линия:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червена пунктирана линия. В този случай на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери с помощта на формулата, която вече ви е позната: . Какво се промени във формулата? Само едно писмо и нищо повече.

! Забележка: Границите на интегриране по оста трябва да бъдат зададени строго отдолу нагоре!

Намиране на областта:

Следователно в сегмента:

Моля, обърнете внимание как съм извършил интеграцията, това е най-рационалният начин, а в следващия параграф на задачата ще стане ясно защо.

За читателите, които се съмняват в правилността на интеграцията, ще намеря производни:

Получава се оригиналната интегрална функция, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Нека изчислим обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

И така, фигурата, оцветена в синьо, се върти около оста. Резултатът е „витаеща пеперуда“, която се върти около оста си.

За да намерим обема на ротационно тяло, ще интегрираме по оста. Първо трябва да преминем към обратни функции. Това вече беше направено и описано подробно в предишния параграф.

Сега отново накланяме главата си надясно и изучаваме фигурата си. Очевидно обемът на ротационно тяло трябва да се намери като разлика в обемите.

Завъртаме фигурата, оградена в червено около оста, което води до пресечен конус. Нека обозначим този обем с .

Въртим фигурата, оградена в зелено, около оста и я обозначаваме с обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на въртящо се тяло:

Каква е разликата от формулата в предишния параграф? Само в писмото.

Но предимството на интеграцията, за което наскоро говорих, е много по-лесно за намиране , вместо първо да повдигнем интегранта на 4-та степен.

Отговор:

Но не и болнава пеперуда.

Моля, имайте предвид, че ако една и съща плоска фигура се завърти около оста, вие ще получите съвсем различно тяло на въртене, с различен обем, естествено.

Пример 6

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии и ос.

1) Отидете на обратни функции и намерете площта на равнинна фигура, ограничена от тези линии, чрез интегриране върху променливата.
2) Изчислете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

С изключение намиране на площта на равнинна фигура с помощта на определен интеграл (вижте 7.2.3.)най-важното приложение на темата е изчисляване на обема на ротационно тяло. Материалът е прост, но читателят трябва да е подготвен: трябва да можете да решавате неопределени интегралисредна сложност и приложете формулата на Нютон-Лайбниц в определен интеграл, nИмате нужда и от силни умения за рисуване. Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане; с помощта на определен интеграл можете да изчислите площта на фигура, обема на ротационно тяло, дължината на дъга, повърхността на тялото и още много. Представете си някаква плоска фигура в координатната равнина. Въведени? ... Сега тази фигура също може да се завърта, и то по два начина:

– около оста x ;

– около ординатната ос .

Нека разгледаме и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-много трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Нека започнем с най-популярния тип ротация.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене на плоска фигура около ос ОХ

Пример 1

Изчислете обема на тяло, получено при завъртане на фигура, ограничена с прави около ос.

Решение:Както в проблема с намирането на областта, решението започва с чертеж на плоска фигура. Тоест в самолет XOYнеобходимо е да се изгради фигура, ограничена от линиите и не забравяйте, че уравнението определя оста. Чертежът тук е доста прост:

Желаната плоска фигура е оцветена в синьо, тя е тази, която се върти около оста. В резултат на въртене се получава леко яйцевидна летяща чиния с два остри върха по оста ОХ, симетричен спрямо оста ОХ. Всъщност тялото има математическо име, вижте в справочника.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло? Ако едно тяло се образува в резултат на въртене около осОХ, мислено се разделя на успоредни слоеве с малка дебелина dx, които са перпендикулярни на оста ОХ. Обемът на цялото тяло очевидно е равен на сумата от обемите на такива елементарни слоеве. Всеки слой, подобно на кръгъл резен лимон, е нисък цилиндър на височина dxи с основен радиус f(х). Тогава обемът на един слой е произведението на основната площ π f 2 на височина на цилиндъра ( dx), или π∙ f 2 (х)∙dx. А площта на цялото тяло на въртене е сумата от елементарни обеми или съответния определен интеграл. Обемът на тялото на въртене може да се изчисли по формулата:

.

Как да зададете границите на интеграция „a“ и „be“ може лесно да се познае от завършения чертеж. Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Равнинната фигура е ограничена от графиката на параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата. В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста ОХ. Това не променя нищо - функцията във формулата е на квадрат: f 2 (х), По този начин, обемът на тялото на въртене винаги е неотрицателен, което е много логично. Нека изчислим обема на ротационно тяло, използвайки тази формула:

.

Както вече отбелязахме, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да бъдете внимателни.

Отговор:

В отговора си трябва да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 „кубчета“. Защо кубичен единици? Защото това е най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко зелени човечета вашето въображение може да постави в летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около ос ОХфигура, ограничена от линии , , .

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане на фигурата, ограничена от линиите , , и около абсцисната ос.

Решение:Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линиите , , , , без да забравяме, че уравнението х= 0 определя оста ой:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се върти около ос ОХрезултатът е плоска, ъглова поничка (шайба с две конични повърхности).

Нека изчислим обема на тялото на въртене като разлика в обемите на телата. Първо, нека погледнем фигурата, оградена в червено. Когато се върти около ос ОХрезултатът е пресечен конус. Нека обозначим обема на този пресечен конус с V 1 .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста ОХ, тогава получавате същия пресечен конус, само малко по-малък. Нека означим неговия обем с V 2 .

Очевидно е, че разликата в обемите V = V 1 - V 2 е обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула, за да намерим обема на ротационно тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обем на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се пише по-кратко, нещо подобно:

Както при проблема с намирането на областта, имате нужда от уверени умения за рисуване - това е почти най-важното нещо (тъй като самите интеграли често ще бъдат лесни). Можете да овладеете компетентни и бързи графични техники с помощта на учебни материали и геометрични трансформации на графики. Но всъщност вече няколко пъти говорих за важността на рисунките в клас.

Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане; с помощта на определен интеграл можете да изчислите площта на фигура, обема на ротационно тяло, дължина на дъгата, площ на ротационната повърхност и много други Повече ▼. Така че ще бъде забавно, моля, бъдете оптимисти!

Представете си някаква плоска фигура в координатната равнина. Въведени? ... Интересно кой какво е представил... =))) Вече намерихме района му. Но освен това тази фигура може да се върти и то по два начина:

– около абсцисната ос;
– около ординатната ос.

Тази статия ще разгледа и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-много трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Като бонус ще се върна към проблем за намиране на площта на фигура, и ще ви кажа как да намерите района по втория начин - по оста. Това не е толкова бонус, колкото материалът се вписва добре в темата.

Нека започнем с най-популярния тип ротация.

плоска фигура около ос

Пример 1

Изчислете обема на тяло, получено при завъртане на фигура, ограничена с прави около ос.

Решение: Както в задачата за намиране на областта, решението започва с чертеж на плоска фигура. Това означава, че в равнината е необходимо да се изгради фигура, ограничена от линиите, и не забравяйте, че уравнението определя оста. Как да завършите чертеж по-ефективно и бързо можете да намерите на страниците Графики и свойства на елементарни функцииИ Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Това е китайско напомняне и на този етап няма да се спирам повече.

Чертежът тук е доста прост:

В синьо е оцветена желаната плоска фигура, която се върти около оста.В резултат на въртенето се получава леко яйцевидна летяща чиния, която е симетрична спрямо оста. Всъщност тялото има математическо име, но ме мързи да изясня нещо в справочника, така че продължаваме нататък.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло?

Обемът на въртеливото тяло може да се изчисли по формулата:

Във формулата числото трябва да присъства преди интеграла. Така се случи - всичко, което се върти в живота, е свързано с тази константа.

Мисля, че е лесно да се досетите как да зададете границите на интеграция „a“ и „be“ от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Равнинната фигура е ограничена от графиката на параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - интегрантът във формулата е на квадрат: , следователно интегралът винаги е неотрицателен, което е много логично.

Нека изчислим обема на ротационно тяло, използвайки тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

В отговора си трябва да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 „кубчета“. Защо кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко зелени човечета вашето въображение може да постави в летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигура, ограничена от линии , ,

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и

Решение: Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линиите , , , , без да забравяме, че уравнението определя оста:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се завърти около оста си, се оказва сюрреалистична поничка с четири ъгъла.

Нека изчислим обема на тялото на въртене като разлика в обемите на телата.

Първо, нека погледнем фигурата, оградена в червено. При въртенето му около ос се получава пресечен конус. Нека означим обема на този пресечен конус с .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста, ще получите и пресечен конус, само малко по-малък. Нека обозначим неговия обем с .

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула, за да намерим обема на ротационно тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обем на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се пише по-кратко, нещо подобно:

Сега нека да си починем малко и да ви разкажем за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с обеми, което беше забелязано от Перелман (друг) в книгата Занимателна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек изпива еквивалента на стая от 18 квадратни метра течност през целия си живот, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

Като цяло образователната система в СССР беше наистина най-добрата. Същата книга на Перелман, публикувана през 1950 г., много добре развива, както каза хумористът, мисленето и ви учи да търсите оригинални, нестандартни решения на проблемите. Наскоро препрочетох някои от главите с голям интерес, препоръчвам го, достъпно е дори за хуманисти. Не, няма нужда да се усмихвате, че предложих свободно време, ерудицията и широките хоризонти в общуването са страхотно нещо.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Пример 4

Да се ​​изчисли обемът на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите , , където .

Това е пример, който можете да решите сами. Моля, имайте предвид, че всички случаи се срещат в лентата, с други думи, действително са дадени готови граници на интеграция. Начертайте правилно графиките на тригонометричните функции, позволете ми да ви припомня материала за урока геометрични трансформации на графики: ако аргументът е разделен на две: , тогава графиките се разтягат два пъти по оста. Препоръчително е да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблициза по-точно завършване на чертежа. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде още по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на въртящо се тяло около ординатната ос също е доста често срещан гост в тестовата работа. По пътя ще бъде разгледано проблем за намиране на площта на фигуравторият метод е интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и ще ви научи да намерите най-печелившия път на решение. В това има и практически житейски смисъл! Както моята учителка по методика на преподаване на математика си спомня с усмивка, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и оптимално управляваме персонала.“ Използвайки случая, аз също изказвам своята голяма благодарност към нея, особено след като използвам придобитите знания по предназначение =).

Препоръчвам го на всички, дори и на пълни манекени. Освен това материалът, научен във втория параграф, ще предостави безценна помощ при изчисляването на двойни интеграли.

Пример 5

Дадена е плоска фигура, ограничена от линиите , , .

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии.
2) Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

внимание!Дори ако искате да прочетете само втората точка, първо Задължителнопрочети първата!

Решение: Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Да направим рисунка:

Лесно се вижда, че функцията определя горния клон на параболата, а функцията определя долния клон на параболата. Пред нас е тривиална парабола, която „лежи на една страна“.

Желаната фигура, чиято площ трябва да се намери, е оцветена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по „обичайния“ начин, който беше обсъден в клас Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Освен това площта на фигурата се намира като сбор от площите:
- на сегмента ;
- на сегмента.

Ето защо:

Защо обикновеното решение е лошо в този случай? Първо, имаме два интеграла. Второ, интегралите са корени, а корените в интегралите не са подарък и освен това можете да се объркате при заместването на границите на интегриране. Всъщност интегралите, разбира се, не са убийствени, но на практика всичко може да бъде много по-тъжно, просто избрах „по-добри“ функции за проблема.

Има по-рационално решение: то се състои в преминаване към обратни функции и интегриране по оста.

Как да стигнем до обратни функции? Грубо казано, трябва да изразите "x" чрез "y". Първо, нека да разгледаме параболата:

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

По-лесно е с права линия:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червена пунктирана линия. В този случай на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери с помощта на формулата, която вече ви е позната: . Какво се промени във формулата? Само едно писмо и нищо повече.

! Забележка: Трябва да се зададат границите на интегриране по оста строго отдолу нагоре!

Намиране на областта:

Следователно в сегмента:

Моля, обърнете внимание как съм извършил интеграцията, това е най-рационалният начин, а в следващия параграф на задачата ще стане ясно защо.

За читателите, които се съмняват в правилността на интеграцията, ще намеря производни:

Получава се оригиналната интегрална функция, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Нека изчислим обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

И така, фигурата, оцветена в синьо, се върти около оста. Резултатът е „витаеща пеперуда“, която се върти около оста си.

За да намерим обема на ротационно тяло, ще интегрираме по оста. Първо трябва да преминем към обратни функции. Това вече беше направено и описано подробно в предишния параграф.

Сега отново накланяме главата си надясно и изучаваме фигурата си. Очевидно обемът на ротационно тяло трябва да се намери като разлика в обемите.

Завъртаме фигурата, оградена в червено около оста, което води до пресечен конус. Нека обозначим този обем с .

Въртим фигурата, оградена в зелено, около оста и я обозначаваме с обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на въртящо се тяло:

Каква е разликата от формулата в предишния параграф? Само в писмото.

Но предимството на интеграцията, за което наскоро говорих, е много по-лесно за намиране , вместо първо да повдигнем интегранта на 4-та степен.

Отговор:

Но не и болнава пеперуда.

Моля, имайте предвид, че ако една и съща плоска фигура се завърти около оста, вие ще получите съвсем различно тяло на въртене, с различен обем, естествено.

Пример 6

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии и ос.

1) Отидете на обратни функции и намерете площта на равнинна фигура, ограничена от тези линии, чрез интегриране върху променливата.
2) Изчислете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

Това е пример, който можете да решите сами. Заинтересованите могат също да намерят площта на фигура по „обичайния“ начин, като по този начин проверяват точка 1). Но ако, повтарям, завъртите плоска фигура около оста, ще получите съвсем различно тяло на въртене с различен обем, между другото, правилният отговор (също и за тези, които обичат да решават проблеми).

Пълното решение на двете предложени точки от задачата е в края на урока.

Да, и не забравяйте да наклоните главата си надясно, за да разберете телата на въртене и границите на интеграция!