Обсъденият по-горе пример ни позволява да заключим, че стойностите, използвани за анализ, зависят от случайни причини, следователно такива променливи се наричат случаен. В повечето случаи те се появяват в резултат на наблюдения или експерименти, които са обобщени в таблици, в първия ред от които са записани различните наблюдавани стойности на случайната променлива X, а във втория - съответните честоти. Следователно тази таблица се нарича емпирично разпределение на случайна променлива Xили вариационни серии. За вариационните серии намерихме средната стойност, дисперсията и стандартното отклонение.

непрекъснато, ако стойностите му напълно запълват някакъв числов интервал.

Случайната променлива се извиква отделен, ако всичките му стойности могат да бъдат изброени (по-специално, ако приема краен брой стойности).

Трябва да се отбележат две характерни свойстватаблици за разпределение на дискретна случайна променлива:

Всички числа във втория ред на таблицата са положителни;

Сборът им е равен на едно.

В съответствие с проведените изследвания може да се приеме, че с увеличаване на броя на наблюденията емпиричното разпределение се доближава до теоретичното разпределение, дадено в табличен вид.

Важна характеристика на дискретната случайна променлива е нейното математическо очакване.

математическо очакванедискретна случайна променлива X, приемаща стойности, , …, , с вероятности , , …, се нарича число:

Математическото очакване се нарича още средно.

Други важни характеристики на случайна променлива включват дисперсия (8) и стандартно отклонение (9).

където: математическо очакване на стойността х.

. (9)

Графичното представяне на информацията е много по-ясно от табличното, така че способността на електронните таблици на MS Excel да представят данните, поставени в тях, под формата на различни диаграми, графики и хистограми се използва много често. Така че, в допълнение към таблицата, разпределението на случайна променлива също е изобразено с помощта на разпределителен полигон. За да направите това, точки с координати , , ... се изграждат върху координатната равнина и се свързват с прави сегменти.

За да получите разпределителен правоъгълник с помощта на MS Excel, трябва:

1. Изберете раздела "Вмъкване" ® "Диаграма с площи" от лентата с инструменти.

2. Активирайте зоната за диаграмата, която се появи на листа на MS Excel с десния бутон на мишката и използвайте командата „Избор на данни“ в контекстното меню.

Ориз. 6. Избор на източник на данни

Първо, нека дефинираме диапазона от данни за диаграмата. За да направите това, в съответната област на диалоговия прозорец „Избор на източник на данни“ въведете диапазона C6:I6 (той съдържа честотните стойности, наречени Row1, фиг. 7).

Ориз. 7. Добавете ред 1

За да промените името на серия, изберете бутона за промяна на областта "Елементи на легендата (серия)" (вижте Фиг. 7) и я наименувайте.

За да добавите етикет за оста X, използвайте бутона "Редактиране" в областта "Етикети (категории) на хоризонталната ос".
(фиг. 8) и посочете стойностите на серията (диапазон $C$6:$I$6).

Ориз. 8. Крайният изглед на диалоговия прозорец "Избор на източник на данни"

Избиране на бутон в диалоговия прозорец Избор на източник на данни
(фиг. 8) ще ви позволи да получите необходимия многоъгълник на разпределението на случайна променлива (фиг. 9).

Ориз. 9. Многоъгълно разпределение на случайна променлива

Нека направим някои промени в дизайна на получената графична информация:

Добавете етикет на оста x;

Редактирайте етикета на оста Y;

- Нека добавим заглавие за диаграмата "Полигон на разпределение".

За да направите това, изберете раздела „Работа с диаграми“ в областта на лентата с инструменти, раздела „Оформление“ и в лентата с инструменти, която се показва, съответните бутони: „Име на диаграма“, „Имена на оси“ (фиг. 10).

Ориз. 10. Крайната форма на полигона на разпределението на случайна величина

Случайна величинаНарича се величина, която в резултат на експеримент може да приеме една или друга неизвестна предварително стойност. Случайните променливи са прекъснат (дискретен)и непрекъснатоТип. Възможните стойности на прекъснати количества могат да бъдат изброени предварително. Възможните стойности на непрекъснати количества не могат да бъдат изброени предварително и непрекъснато да запълват определена празнина.

Пример за дискретни случайни променливи:

1) Броят на появата на герба при три хвърляния на монети. (възможните стойности са 0;1;2;3)

2) Честотата на появата на герба в същия експеримент. (възможни стойности)

3) Броят на повредените елементи в устройство, състоящо се от пет елемента. (Възможните стойности са 0;1;2;3;4;5)

Примери за непрекъснати случайни променливи:

1) Абсцисата (ордината) на точката на попадение при изстрел.

2) Разстоянието от точката на удара до центъра на целта.

3) Време на безотказна работа на устройството (радиолампи).

Случайните променливи се означават с главни букви, а възможните им стойности със съответните малки букви. Например, X е броят на попаденията с три изстрела; възможни стойности: X 1 =0, X 2 =1, X 3 =2, X 4 =3.

Помислете за прекъсната случайна променлива X с възможни стойности X 1 , X 2 , … , X n . Всяка от тези стойности е възможна, но не е сигурна и стойността на X може да приеме всяка от тях с известна вероятност. В резултат на експеримента величината X ще приеме една от тези стойности, т.е. ще настъпи едно от пълната група несъвместими събития.

Нека означим вероятностите за тези събития с буквите p със съответните индекси:

Тъй като несъвместимите събития образуват пълна група, тогава

това означава, че сумата от вероятностите на всички възможни стойности на случайната променлива е равна на 1. Тази обща вероятност по някакъв начин се разпределя между отделните стойности. Една случайна променлива ще бъде напълно описана от вероятностна гледна точка, ако посочим това разпределение, тоест посочим точно каква вероятност има всяко от събитията. (Това ще установи така наречения закон за разпределение на случайните променливи.)

Законът за разпределение на случайна величинаВсяко отношение, което установява връзка между възможните стойности на случайна променлива и съответната вероятност, се нарича. (За случайна променлива ще кажем, че е подчинена на даден закон за разпределение)

Най-простата форма за определяне на закона за разпределение на случайна променлива е таблица, която изброява възможните стойности на случайна променлива и съответните им вероятности.

Маса 1.

случайни променливи. Разпределителен полигон Случайни величини: дискретни и непрекъснати. При провеждане на стохастичен експеримент се формира пространство от елементарни събития - възможните резултати от този експеримент. Счита се, че на това пространство на елементарни събития произволна стойност X, ако е даден закон (правило), според който на всяко елементарно събитие се присвоява номер. По този начин случайната променлива X може да се разглежда като функция, дефинирана в пространството на елементарни събития. ■ Случаен- стойност, която по време на всеки тест приема една или друга числена стойност (не е известно предварително каква), в зависимост от случайни причини, които не могат да бъдат предварително взети предвид. Случайните променливи се обозначават с главни букви на латинската азбука, а възможните стойности на случайна променлива се обозначават с малки букви. И така, когато се хвърля зар, възниква събитие, свързано с числото x, където x е броят на хвърлените точки. Броят на точките е произволна стойност, а числата 1, 2, 3, 4, 5, 6 са възможните стойности на тази стойност. Разстоянието, което ще прелети снаряд, когато е изстрелян от пистолет, също е случайна величина (зависи от инсталирането на мерника, силата и посоката на вятъра, температурата и други фактори), както и възможните стойности от това количество принадлежат към определен интервал (a; b). ■ Дискретна случайна променлива- случайна променлива, която приема отделни изолирани възможни стойности с определени вероятности. Броят на възможните стойности на дискретна случайна променлива може да бъде краен или безкраен. ■ Непрекъсната случайна променливае случайна променлива, която може да приема всички стойности от някакъв краен или безкраен интервал. Броят на възможните стойности на непрекъсната случайна променлива е безкраен. Например броят на падналите точки при хвърляне на зар, оценката за контролна работа са дискретни случайни променливи; разстоянието, което снарядът лети при стрелба от пистолет, грешката на измерване на индикатора за времето на усвояване на учебния материал, височината и теглото на човек са непрекъснати случайни променливи. Закон за разпределение на случайна величина– съответствие между възможните стойности на случайна променлива и техните вероятности, т.е. всяка възможна стойност x i е свързана с вероятността p i, с която случайната променлива може да приеме тази стойност. Законът за разпределение на случайна величина може да бъде даден таблично (под формата на таблица), аналитично (под формата на формула) и графично. Нека дискретна случайна променлива X приема стойностите x 1 , x 2 , …, x n с вероятности съответно p 1 , p 2 , …, p n, т.е. P(X=x 1) = p 1, P(X=x 2) = p 2, …, P(X=x n) = p n. С таблично присвояване на закона за разпределение на тази стойност, първият ред на таблицата съдържа възможните стойности x 1, x 2, ..., x n, а вторият - техните вероятности х х 1 x2 … x n стр p1 p2 … p n В резултат на теста дискретната случайна променлива X приема една и само една от възможните стойности, така че събитията X=x 1 , X=x 2 , …, X=x n образуват пълна група от двойки несъвместими събития и , следователно сумата от вероятностите за тези събития е равна на единица, т.е. p 1 + p 2 + ... + p n \u003d 1. Законът за разпределение на дискретна случайна променлива. Полигон (многоъгълник) разпределение. Както знаете, случайната променлива е променлива, която може да приема определени стойности в зависимост от случая. Случайните променливи се означават с главни букви на латинската азбука (X, Y, Z), а техните стойности - със съответните малки букви (x, y, z). Случайните величини се делят на прекъснати (дискретни) и непрекъснати. Дискретна случайна променлива е случайна променлива, която приема само краен или безкраен (изброим) набор от стойности с определени ненулеви вероятности. Законът за разпределение на дискретна случайна променливае функция, която свързва стойностите на случайна променлива със съответните им вероятности. Законът за разпределение може да бъде определен по един от следните начини. 1. Законът за разпределение може да бъде даден от таблицата: където λ>0, k = 0, 1, 2, … . в) използване на функцията на разпределение F(x), която определя за всяка стойност x вероятността случайната променлива X да приеме стойност, по-малка от x, т.е. F(x) = P(X< x). Свойства на функцията F(x) 3. Законът за разпределение може да се посочи графично – чрез многоъгълник на разпределение (многоъгълник) (виж задача 3). Имайте предвид, че за да се решат някои проблеми, не е необходимо да се знае законът за разпределение. В някои случаи е достатъчно да знаете едно или повече числа, които отразяват най-важните характеристики на закона за разпределение. Това може да бъде число, което има значението на "средна стойност" на случайна променлива или число, което показва средния размер на отклонението на случайна променлива от нейната средна стойност. Числата от този вид се наричат ​​числени характеристики на случайна променлива. Основните числени характеристики на дискретна случайна променлива: Математическо очакване (средна стойност) на дискретна случайна променлива M(X)=Σ x i p i . За биномиално разпределение M(X)=np, за разпределение на Поасон M(X)=λ Дисперсия на дискретна случайна променлива D(X)= M 2 или D(X) = M(X 2)− 2 . Разликата X–M(X) се нарича отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване. За биномиално разпределение D(X)=npq, за разпределение на Поасон D(X)=λ Стандартно отклонение (стандартно отклонение) σ(X)=√D(X). · За яснота на представяне на вариационната серия, нейните графични изображения са от голямо значение. Графично една вариационна серия може да бъде показана като полигон, хистограма и кумулация. · Разпределителен многоъгълник (букв. разпределителен многоъгълник) се нарича начупена линия, която е изградена в правоъгълна координатна система. Стойността на признака се нанася върху абсцисата, съответните честоти (или относителни честоти) - по ординатата. Точките (или ) се свързват с отсечки и се получава разпределителен многоъгълник. Най-често полигоните се използват за показване на дискретни вариационни серии, но могат да се използват и за интервални серии. В този случай на абсцисната ос се нанасят точки, съответстващи на средните точки на тези интервали.

Такава таблица се нарича близко разпространениеслучайни променливи.

За да придадат на серията разпределение по-визуална форма, те прибягват до нейното графично представяне: възможните стойности на случайна променлива са нанесени по абсцисната ос, а вероятностите на тези стойности са нанесени по ординатната ос. (За по-голяма яснота получените точки са свързани с отсечки.)

Фигура 1 - разпределителен полигон

Такава фигура се нарича разпределителен полигон. Полигонът на разпределение, подобно на серията на разпределение, напълно характеризира случайната променлива; това е форма на закона за разпределението.

Пример:

провежда се един експеримент, в който може да се появи или да не се появи събитие А. Вероятност за събитие А = 0,3. Разглежда се случайна променлива X - броят на появяванията на събитие A в този експеримент. Необходимо е да се построи серия и полигон на разпределението на X.

Таблица 2.

Фигура 2 - Функция на разпределение

разпределителна функцияе универсална характеристика на случайна променлива. Съществува за всички случайни променливи: както прекъснати, така и непрекъснати. Функцията на разпределение напълно характеризира случайна променлива от вероятностна гледна точка, тоест тя е една от формите на закона за разпределение.

За количествено определяне на това разпределение на вероятностите е удобно да се използва не вероятността за събитието X=x, а вероятността за събитието X

Функцията на разпределение F(x) понякога се нарича още интегрална функция на разпределение или интегрален закон на разпределение.

Свойства на функцията на разпределение на случайна величина

1. Функцията на разпределение F(x) е ненамаляваща функция на своя аргумент, т.е. за ;

2. При минус безкрайност:

3. На плюс безкрайност:

Фигура 3 - графика на функцията на разпределение

График на функцията на разпределениев общия случай това е графика на ненамаляваща функция, чиито стойности започват от 0 и достигат до 1.

Познавайки реда на разпределение на случайна променлива, е възможно да се конструира функцията на разпределение на случайна променлива.

Пример:

за условията на предишния пример, конструирайте функция на разпределение на случайна променлива.

Нека изградим функцията на разпределение X:

Фигура 4 - функция на разпределение X

разпределителна функцияна всяка прекъсната дискретна случайна променлива винаги има прекъсната стъпкова функция, чиито скокове се появяват в точки, съответстващи на възможните стойности на случайната променлива и са равни на вероятностите на тези стойности. Сумата от всички скокове във функцията на разпределение е 1.

Тъй като броят на възможните стойности на случайната променлива се увеличава и интервалите между тях намаляват, броят на скоковете става по-голям, а самите скокове стават по-малки:

Фигура 5

Кривата на стъпките става по-плавна:

Фигура 6

Случайна променлива постепенно се доближава до непрекъсната стойност, а нейната функция на разпределение се доближава до непрекъсната функция. Има и случайни променливи, чиито възможни стойности непрекъснато запълват определена празнина, но за които функцията на разпределение не е непрекъсната навсякъде. И в някои моменти се чупи. Такива случайни променливи се наричат ​​смесени.

Фигура 7

Задача 14.В паричната лотария се играе 1 печалба от 1 000 000 рубли, 10 печалби от 100 000 рубли всяка. и 100 печалби от 1000 рубли. с общ брой билети 10000. Намерете закона за разпределение на случайните печалби хза притежателя на един лотариен билет.

Решение. Възможни стойности за х: х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;

х 4 \u003d 1000000. Техните вероятности са съответно равни: Р 2 = 0,01; Р 3 = 0,001; Р 4 = 0,0001; Р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Следователно законът за разпределение на изплащането хможе да се даде от следната таблица:

Задача 15. Дискретна случайна променлива хдадено от закона за разпределение:

Построете многоъгълник на разпределение.

Решение. Построяваме правоъгълна координатна система и по абсцисната ос нанасяме възможните стойности x i,а по оста y - съответните вероятности p i. Да изградим точки М 1 (1;0,2), М 2 (3;0,1), М 3 (6; 0,4) и М 4 (8; 0,3). Свързвайки тези точки с отсечки, получаваме желания многоъгълник на разпределение.

§2. Числени характеристики на случайни величини

Случайната променлива се характеризира напълно със своя закон на разпределение. Средно описание на случайна променлива може да се получи чрез нейните числени характеристики

2.1. Очаквана стойност. дисперсия.

Нека една случайна променлива приема стойности съответно с вероятности.

Определение. Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и съответните вероятности:

Свойства на математическото очакване.

Дисперсията на случайна променлива около средната стойност се характеризира с дисперсия и стандартно отклонение.

Дисперсията на случайна променлива е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване:

За изчисления се използва следната формула

Дисперсионни свойства.

2. , където са взаимно независими случайни променливи.

3. Стандартно отклонение.

Задача 16.Намерете математическото очакване на случайна променлива З = X+ 2Y, ако са известни математическите очаквания на случайни променливи хи Y: М(х) = 5, М(Y) = 3.

Решение. Ние използваме свойствата на математическото очакване. Тогава получаваме:

М(X+ 2Y)= М(х) + М(2Y) = М(х) + 2М(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Задача 17.Дисперсия на случайна променлива хравно на 3. Намерете дисперсията на случайните величини: а) –3 Х;б) 4 х + 3.

Решение. Нека приложим свойства 3, 4 и 2 на дисперсията. Ние имаме:

а) д(–3х) = (–3) 2 д(х) = 9д(х) = 9 . 3 = 27;

б) д(4X + 3) = д(4х) + д(3) = 16д(х) + 0 = 16 . 3 = 48.

Задача 18.Дадена е независима случайна променлива Yе броят точки, отбелязани чрез хвърляне на зар. Намерете закона за разпределение, математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива Y.

Решение.Таблица за разпределение на случайни променливи Yизглежда като:

Тогава М(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

д(Y) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3,5) 2, 1/6 \u003d 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.

Задача 14.В паричната лотария се играе 1 печалба от 1 000 000 рубли, 10 печалби от 100 000 рубли всяка. и 100 печалби от 1000 рубли. с общ брой билети 10000. Намерете закона за разпределение на случайните печалби хза притежателя на един лотариен билет.

Решение. Възможни стойности за х: х 1 = 0; х 2 = 1000; х 3 = 100000;

х 4 \u003d 1000000. Техните вероятности са съответно равни: Р 2 = 0,01; Р 3 = 0,001; Р 4 = 0,0001; Р 1 = 1 – 0,01 – 0,001 – 0,0001 = 0,9889.

Следователно законът за разпределение на изплащането хможе да се даде от следната таблица:

Построете многоъгълник на разпределение.

Решение. Построяваме правоъгълна координатна система и по абсцисната ос нанасяме възможните стойности x i,а по оста y - съответните вероятности p i. Да изградим точки М 1 (1;0,2), М 2 (3;0,1), М 3 (6; 0,4) и М 4 (8; 0,3). Свързвайки тези точки с отсечки, получаваме желания многоъгълник на разпределение.

§2. Числени характеристики на случайни величини

Случайната променлива се характеризира напълно със своя закон на разпределение. Средно описание на случайна променлива може да се получи чрез нейните числени характеристики

2.1. Очаквана стойност. дисперсия.

Нека една случайна променлива приема стойности съответно с вероятности.

Определение. Математическото очакване на дискретна случайна променлива е сумата от продуктите на всички нейни възможни стойности и съответните вероятности:

.

Свойства на математическото очакване.

Дисперсията на случайна променлива около средната стойност се характеризира с дисперсия и стандартно отклонение.

Дисперсията на случайна променлива е математическото очакване на квадрата на отклонението на случайна променлива от нейното математическо очакване:

За изчисления се използва следната формула

Дисперсионни свойства.

2. , където са взаимно независими случайни променливи.

3. Стандартно отклонение .

Задача 16.Намерете математическото очакване на случайна променлива З = X+ 2Y, ако са известни математическите очаквания на случайни променливи хи Y: М(х) = 5, М(Y) = 3.

Решение. Ние използваме свойствата на математическото очакване. Тогава получаваме:

М(X+ 2Y)= М(х) + М(2Y) = М(х) + 2М(Y) = 5 + 2 . 3 = 11.

Задача 17.Дисперсия на случайна променлива хравно на 3. Намерете дисперсията на случайните величини: а) –3 Х;б) 4 х + 3.

Решение. Нека приложим свойства 3, 4 и 2 на дисперсията. Ние имаме:

а) д(–3х) = (–3) 2 д(х) = 9д(х) = 9 . 3 = 27;

б) д(4X + 3) = д(4х) + д(3) = 16д(х) + 0 = 16 . 3 = 48.

Задача 18.Дадена е независима случайна променлива Yе броят точки, отбелязани чрез хвърляне на зар. Намерете закона за разпределение, математическото очакване, дисперсията и стандартното отклонение на случайна променлива Y.

Решение.Таблица за разпределение на случайни променливи Yизглежда като:

Тогава М(Y) = 1 1/6 + 2 1/6 + 3 1/6+ 4 1/6+ 5 1/6+ 6 1/6 = 3,5;

д(Y) \u003d (1 - 3,5) 2 1/6 + (2 - 3,5) 2 / 6 + (3 - 3,5) 2 1/6 + (4 - 3,5) 2 / 6 + (5 - -3,5) 2 1/ 6 + (6 - 3,5) 2, 1/6 \u003d 2,917; σ (Y) =Ö 2,917 = 1,708.