Намерете максималната скорост на нарастване на функцията. Как да намерим градиента на функция
Градиент функциие векторна величина, намирането на която е свързано с дефинирането на частни производни на функцията. Посоката на градиента показва пътя на най-бързия растеж на функцията от една точка на скаларното поле до друга.
Инструкция
1. За решаване на проблема с градиента на функция се използват методи на диференциално смятане, а именно намиране на частични производни от първи ред в три променливи. Предполага се, че самата функция и всички нейни частни производни притежават свойството на непрекъснатост в областта на функцията.
2. Градиентът е вектор, чиято посока показва посоката на най-бързото нарастване на функцията F. За това на графиката се избират две точки M0 и M1, които са краищата на вектора. Стойността на градиента е равна на скоростта на нарастване на функцията от точка M0 до точка M1.
3. Функцията е диференцируема във всички точки на този вектор, следователно проекциите на вектора върху координатните оси са всички негови частични производни. Тогава формулата на градиента изглежда така: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k, където i, j, k са координатите на единичния вектор. С други думи, градиентът на функция е вектор, чиито координати са нейните частни производни grad F = (?F/?х, ?F/?y, ?F/?z).
4. Пример 1. Нека е дадена функцията F = sin (x z?) / y. Изисква се да се намери неговия градиент в точката (?/6, 1/4, 1).
5. Решение. Определете частичните производни по отношение на всяка променлива: F'_x \u003d 1 / y cos (x z?) z?; F'_y \u003d sin (x z?) (-1) 1 / (y?); F '_z \u003d 1/y cos(x z?) 2 x z.
6. Заменете известните координати на точката: F'_x = 4 cos(?/6) = 2 ?3; F'_y = sin(?/6) (-1) 16 = -8; F'_z \u003d 4 cos (? / 6) 2? / 6 \u003d 2? /? 3.
7. Приложете формулата за градиент на функцията: grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.
8. Пример 2. Намерете координатите на градиента на функцията F = y arсtg (z / x) в точката (1, 2, 1).
9. Решение. F'_x \u003d 0 arctg (z / x) + y (arctg (z / x)) '_x \u003d y 1 / (1 + (z / x)?) (-z / x?) \u003d -y z / (x? (1 + (z/x)?)) = -1; F'_y = 1 arctg(z/x) = arctg 1 = ?/4; F'_z = 0 arctg(z/x) ) + y (arctg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.град = (- 1, ?/4, 1).
Градиентът на скаларното поле е векторна величина. По този начин, за да го намерите, е необходимо да се определят всички компоненти на съответния вектор, въз основа на знанията за разделянето на скаларното поле.
Инструкция
1. Прочети в някой учебник по висша математика какво е градиент на скаларно поле. Както знаете, тази векторна величина има посока, характеризираща се с максималната скорост на затихване на скаларната функция. Такъв смисъл на дадена векторна величина се обосновава с израз за определяне на нейните компоненти.
2. Не забравяйте, че всеки вектор се определя от стойностите на неговите компоненти. Векторните компоненти всъщност са проекции на този вектор върху една или друга координатна ос. По този начин, ако се разглежда триизмерното пространство, тогава векторът трябва да има три компонента.
3. Запишете как се определят компонентите на вектор, който е градиент на някакво поле. Всички координати на такъв вектор са равни на производната на скаларния потенциал по отношение на променливата, чиято координата се изчислява. Тоест, ако трябва да изчислите компонента „x“ на вектора на градиента на полето, тогава трябва да диференцирате скаларната функция по отношение на променливата „x“. Обърнете внимание, че производната трябва да бъде частно. Това означава, че при диференцирането останалите променливи, които не участват в него, трябва да се считат за константи.
4. Напишете израз за скаларното поле. Както знаете, този термин означава всяка само скаларна функция на няколко променливи, които също са скаларни величини. Броят на променливите на една скаларна функция е ограничен от размерността на пространството.
5. Диференцирайте отделно скаларната функция по отношение на всяка променлива. В резултат на това ще имате три нови функции. Запишете произволна функция в израза за градиентния вектор на скаларното поле. Всяка от получените функции наистина е индикатор за единичен вектор на дадена координата. По този начин крайният вектор на градиента трябва да изглежда като полином с експоненти като производни на функция.
Когато разглеждаме въпроси, свързани с представянето на градиент, по-често е всеки да се мисли като скаларно поле. Следователно трябва да въведем подходящата нотация.
Ще имаш нужда
- - бум;
- - химикалка.
Инструкция
1. Нека функцията е дадена от три аргумента u=f(x, y, z). Частичната производна на функция, например по отношение на x, се определя като производната по отношение на този аргумент, получена чрез фиксиране на останалите аргументи. Останалите аргументи са подобни. Нотацията за частична производна се записва като: df / dx \u003d u’x ...
2. Общият диференциал ще бъде равен на du \u003d (df / dx) dx + (df / dy) dy + (df / dz) dz Частичните производни могат да се разбират като производни в посоките на координатните оси. Следователно възниква въпросът за намиране на производната по отношение на посоката на даден вектор s в точката M(x, y, z) (не забравяйте, че посоката s определя единичен вектор-ort s^o). В този случай диференциалният вектор на аргументите е (dx, dy, dz)=(dscos(алфа), dscos(бета), dscos(гама)).
3. Като се има предвид формата на общия диференциал du, е възможно да се заключи, че производната по отношение на посоката s в точката M е: (du/ds)|M=((df/dx)|M)cos(alpha) + ((df/dy) |M) cos(бета) +((df/dz)|M) cos(гама). Ако s= s(sx,sy,sz), тогава косинусите на посоката (cos(alpha), cos(бета), cos(гама)) се изчисляват (виж Фиг. 1а).
4. Дефиницията на производната по посока, разглеждайки точката M като променлива, може да бъде пренаписана като скален продукт: (du/ds)=((df/dx, df/dy,df/dz), (cos(alpha) , cos(бета), cos (гама)))=(град u, s^o). Този израз ще бъде обективен за скаларно поле. Ако разгледаме лесна функция, тогава gradf е вектор с координати, съвпадащи с частните производни f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dx, df/dy, df/ dz )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. Тук (i, j, k) са единичните вектори на координатните оси в правоъгълна декартова координатна система.
5. Ако използваме диференциалния векторен оператор на Hamilton Nabla, тогава gradf може да се запише като умножение на този операторен вектор по скалара f (виж Фиг. 1b). От гледна точка на връзката на gradf с производната по посока е допустимо равенството (gradf, s^o)=0, ако тези вектори са ортогонални. Следователно gradf често се определя като посоката на най-бързата метаморфоза на скаларно поле. И от гледна точка на диференциалните операции (gradf е една от тях), свойствата на gradf точно повтарят свойствата на диференцирането на функциите. По-специално, ако f=uv, тогава gradf=(vgradu+ugradv).
Подобни видеа
Градиенттова е инструмент, който в графичните редактори запълва силуета с плавен преход от един цвят към друг. Градиентможе да придаде на силует резултат от обем, да симулира осветление, отражения на светлина върху повърхността на обект или резултат от залез на фона на снимка. Този инструмент има широко приложение, следователно за обработка на снимки или създаване на илюстрации е много важно да се научите как да го използвате.
Ще имаш нужда
- Компютър, графичен редактор Adobe Photoshop, Corel Draw, Paint.Net или др.
Инструкция
1. Отворете изображението в програмата или направете ново. Направете силует или изберете желаната област от изображението.
2. Включете инструмента Gradient в лентата с инструменти на графичния редактор. Поставете курсора на мишката върху точка в избраната област или силует, където ще започне първият цвят на градиента. Щракнете и задръжте левия бутон на мишката. Преместете курсора до точката, където градиентът трябва да премине към крайния цвят. Пуснете левия бутон на мишката. Избраният силует ще бъде запълнен с градиентно запълване.
3. Градиент y възможно е да зададете прозрачност, цветове и тяхното съотношение при определена точка на запълване. За да направите това, отворете прозореца Gradient Edit. За да отворите прозореца за редактиране във Photoshop, щракнете върху примера за градиент в панела с опции.
4. В прозореца, който се отваря, наличните опции за градиентно запълване се показват като примери. За да редактирате някоя от опциите, изберете я с щракване на мишката.
5. Пример за градиент се показва в долната част на прозореца под формата на широка скала с плъзгачи. Плъзгачите показват точките, в които градиентът трябва да има зададените съпоставки, а в интервала между плъзгачите цветът равномерно преминава от посочения в първата точка към цвета на 2-рата точка.
6. Плъзгачите, разположени в горната част на скалата, задават прозрачността на градиента. За да промените прозрачността, щракнете върху желания плъзгач. Под скалата ще се появи поле, в което въведете необходимата степен на прозрачност в проценти.
7. Плъзгачите в долната част на скалата задават цветовете на градиента. Кликвайки върху един от тях, ще можете да предпочетете желания цвят.
8. Градиентможе да има множество преходни цветове. За да зададете друг цвят, щракнете върху празно място в долната част на скалата. На него ще се появи друг плъзгач. Задайте желания цвят за него. Скалата ще покаже пример за градиент с още една точка. Можете да местите плъзгачите, като ги задържите с левия бутон на мишката, за да постигнете желаната комбинация.
9. ГрадиентИма няколко вида, които могат да придадат форма на плоски силуети. Да речем, за да се придаде на кръг формата на топка, се прилага радиален градиент, а за да се придаде формата на конус, се прилага коничен градиент. Може да се използва огледален градиент, за да се придаде на повърхността илюзията за издутина, а диамантен градиент може да се използва за създаване на акценти.
Подобни видеа
Подобни видеа
Ако във всяка точка от пространството или част от пространството е определена стойността на определена величина, тогава се казва, че полето на тази величина е дадено. Полето се нарича скаларно, ако разглежданата стойност е скаларна, т.е. добре характеризиран със своята числена стойност. Например температурното поле. Скаларното поле е дадено от скаларната функция на точката u = /(M). Ако в пространството се въведе декартова координатна система, тогава има функция от три променливи x, yt z - координатите на точката M: Определение. Повърхнината на нивото на скаларно поле е набор от точки, в които функцията f(M) приема една и съща стойност. Пример за уравнение на повърхността на ниво 1. Намиране на повърхности на ниво на скаларно поле ВЕКТОРЕН АНАЛИЗ Повърхнини на ниво на скаларно поле и линии на ниво Производна на посока Производна градиент на скаларно поле Основни свойства на градиента Инвариантна дефиниция на градиент Правила за изчисляване на градиент -4 По дефиниция, ниво уравнението на повърхността ще бъде. Това е уравнението на сфера (с Ф 0) с център в началото. Скаларното поле се нарича плоско, ако полето е еднакво във всички равнини, успоредни на дадена равнина. Ако посочената равнина се приеме като равнина xOy, тогава функцията на полето няма да зависи от координатата z, т.е., тя ще бъде функция само на аргументите x и y, а също и значението. Уравнение на линия на ниво - Пример 2. Намерете линии на ниво на скаларно поле Линиите на ниво са дадени с уравнения При c = 0 получаваме двойка прави, получаваме семейство хиперболи (фиг. 1). 1.1. Производна по посока Нека има скаларно поле, дефинирано от скаларна функция u = /(Af). Да вземем точката Afo и да изберем посоката, определена от вектора I. Да вземем друга точка M, така че векторът M0M да е успореден на вектора 1 (фиг. 2). Нека означим дължината на MoM вектора с A/, а нарастването на функцията /(Af) - /(Afo), съответстваща на преместването D1, с Di. Отношението определя средната скорост на изменение на скаларното поле на единица дължина към дадената посока.Нека сега клони към нула, така че векторът М0М да остава успореден на вектора I през цялото време.Определение. Ако за D/O съществува краен предел на връзката (5), то той се нарича производна на функцията в дадена точка Afo спрямо дадената посока I и се означава със символа zr!^. Така че, по дефиниция, тази дефиниция не е свързана с избора на координатна система, тоест има **вариантен характер. Нека намерим израз за производната по посока в декартовата координатна система. Нека функцията / е диференцируема в точка. Разгледайте стойността /(Af) в точка. Тогава общото нарастване на функцията може да се запише в следния вид: където и символите означават, че частните производни се изчисляват в точката Afo. Следователно тук величините jfi, ^ са насочващите косинуси на вектора. Тъй като векторите MoM и I са сънасочени, техните насочващи косинуси са еднакви: производни, са производни на функцията и по посоките на координатните оси с външните nno- Пример 3. Намерете производната на функцията към точката Векторът има дължина. Неговите насочващи косинуси: По формула (9) ще имаме Фактът, че означава, че скаларното поле в точка в дадена посока на възраст- За плоско поле, производната в посока I в точка се изчислява по формулата където a е ъгълът, образуван от вектора I с оста Oh. Zmmchmm 2. Формула (9) за изчисляване на производната по посока I в дадена точка Afo остава в сила дори когато точката M клони към точката Mo по крива, за която векторът I е допирателен в точката PrISp 4. Изчислете производната на скаларното поле в точката Afo(l, 1). принадлежащи на парабола по посока на тази крива (по посока на нарастване на абсцисата). Посоката ] на парабола в точка е посоката на допирателната към параболата в тази точка (фиг. 3). Нека допирателната към параболата в точката Afo образува ъгъл o с оста Ox. Тогава откъде насочващи косинуси на допирателна Да изчислим стойности и в точка. Имаме Сега по формула (10) получаваме. Намерете производната на скаларното поле в точка по посока на окръжността. Векторното уравнение на окръжността има формата. Намираме единичния вектор m на допирателната към окръжността.Точката съответства на стойността на параметъра. Градиент на скаларно поле Нека едно скаларно поле се дефинира от скаларна функция, за която се предполага, че е диференцируема. Определение. Градиентът на скаларно поле » в дадена точка M е вектор, обозначен със символа grad и дефиниран от равенството. Ясно е, че този вектор зависи както от функцията /, така и от точката M, в която се изчислява нейната производна. Нека 1 е единичен вектор в посоката. Тогава формулата за производната по посока може да бъде записана, както следва: . по този начин производната на функцията u по посока 1 е равна на скаларното произведение на градиента на функцията u(M) и единичния вектор 1° на посоката I. 2.1. Основни свойства на градиента Теорема 1. Градиентът на скаларното поле е перпендикулярен на повърхността на нивото (или на линията на нивото, ако полето е плоско). (2) Нека начертаем нивелирна повърхност u = const през произволна точка M и да изберем гладка крива L на тази повърхност, минаваща през точката M (фиг. 4). Нека I е вектор, допирателен към кривата L в точката M. Тъй като на повърхността на нивото u(M) = u(M|) за всяка точка Mj ∈ L, тогава От друга страна, = (граду, 1°) . Ето защо. Това означава, че векторите grad и и 1° са ортогонални.Така векторът grad и е ортогонален на всяка допирателна към повърхността на нивото в точка M. Следователно, той е ортогонален на самата повърхност на нивото в точка M. Теорема 2 Градиентът е насочен в посока на нарастване на полевата функция. По-рано доказахме, че градиентът на скаларното поле е насочен по нормалата към повърхността на нивото, която може да бъде ориентирана или към нарастване на функцията u(M), или към нейното намаляване. Означаваме с n нормалата на повърхността на нивото, ориентирана по посока на нарастване на функцията ti(M), и намираме производната на функцията u по посока на тази нормала (фиг. 5). Имаме Тъй като според условието на фиг. 5 и следователно ВЕКТОРЕН АНАЛИЗ Скаларно поле Повърхнини и линии на ниво Производна по посока Производна Градиент на скаларно поле Основни свойства на градиента Инвариантно определение на градиента Правила за изчисляване на градиента От това следва, че grad и е насочен в същата посока като тази, която сме избрали за нормалното n, т.е. в посока на нарастване на функцията u(M). Теорема 3. Дължината на градиента е равна на най-голямата производна по отношение на посоката в дадена точка на полето (тук max $ се взема във всички възможни посоки в дадена точка M към точката). Имаме къде е ъгълът между векторите 1 и grad n. Тъй като най-голямата стойност е Пример 1. Намерете посоката на най-голямото и абсолютно скаларно поле в точката, както и величината на тази най-голяма промяна в определената точка. Посоката на най-голямото изменение в скаларното поле е обозначена с вектор. Имаме така Този вектор определя посоката на най-голямото увеличение на полето до точка. Стойността на най-голямата промяна в полето в този момент е 2,2. Инвариантно определение на градиента Величините, които характеризират свойствата на изследвания обект и не зависят от избора на координатната система, се наричат инварианти на дадения обект. Например, дължината на една крива е инвариант на тази крива, но ъгълът на допирателната към кривата с оста x не е инвариант. Въз основа на горните три свойства на градиента на скаларното поле можем да дадем следната инвариантна дефиниция на градиента. Определение. Градиентът на скаларното поле е вектор, насочен по нормалата към повърхността на нивото в посока на нарастваща функция на полето и имащ дължина, равна на най-голямата производна по посока (в дадена точка). Нека е единичен нормален вектор, насочен в посока на нарастващо поле. След това Пример 2. Намерете градиента на разстоянието - някаква фиксирана точка и M(x,y,z) - текущата. 4 Имаме къде е единичният вектор на посоката. Правила за изчисляване на градиента, където c е постоянно число. Горните формули се получават директно от дефиницията на градиента и свойствата на производните. По правилото за диференциране на произведението Доказателството е подобно на доказателството на свойството Нека F(u) е диференцируема скаларна функция. След това 4 По дефиницията на градиента имаме Прилагане на правилото за диференциране на сложна функция към всички членове от дясната страна. Получаваме По-специално, формула (6) следва от равнината на формулата до две фиксирани точки на тази равнина. Разгледайте произволна елипса с фокуси Fj и F] и докажете, че всеки светлинен лъч, който излиза от единия фокус на елипсата, след отражение от елипсата, влиза в другия й фокус. Линиите на нивото на функция (7) са ВЕКТОРЕН АНАЛИЗ Скаларно поле Повърхности и линии на ниво Производна на посоката Производна Градиент на скаларно поле Основни свойства на градиента Инвариантна дефиниция на градиента Правила за изчисляване на градиента Уравнения (8) описват семейство от елипси с фокуси в точки F ) и Fj. Според резултата от пример 2 имаме и радиус вектори. начертан до точката P(x, y) от фокусите F| и Fj, и следователно лежи върху ъглополовящата на ъгъла между тези радиус вектори (фиг. 6). Според Tooromo 1, градиентът PQ е перпендикулярен на елипсата (8) в точката. Следователно Фиг.6. нормалата към елипсата (8) във всяка th точка разполовява ъгъла между радиус векторите, начертани към тази точка. От тук и от факта, че ъгълът на падане е равен на ъгъла на отражение, получаваме: светлинен лъч, излизащ от единия фокус на елипсата, отразен от него, със сигурност ще попадне в другия фокус на тази елипса.
Позволявам З= Е(М) е функция, дефинирана в някаква околност на точката M(y; x);Л={ Cos; Cos} – единичен вектор (на фиг. 33 1= , 2= ); Ле права линия, минаваща през точка М; M1(x1; y1), където x1=x+x и y1=y+y- точка на права Л; Л- размерът на сегмента MM1; З= Е(x+x, y+y)-Е(х, Y) – увеличение на функцията Е(М) в точката M(x; y).
Определение. Границата на отношението, ако съществува, се нарича Производна функция З = Е ( М ) в точката М ( х ; Y ) по посока на вектора Л .
Обозначаване.
|
|
Ако функцията Е(М) диференцируеми в точка M(x; y), след това в точката M(x; y)има производна във всяка посока Лидващи от М; изчислява се по следната формула:
(8)
Където Cos И Cos- насочващи косинуси на вектора Л.
Пример 46. Изчисляване на производната на функция З= х2 + Y2 хв точката M(1; 2)по посока на вектора MM1, където M1- точка с координати (3; 0).
. Нека намерим единичния вектор Л, с тази посока:
Където Cos= ; Cos=- .
Изчисляваме частните производни на функцията в точката M(1; 2):
По формула (8) получаваме 
Пример 47. Намерете производната на функция U = xy2 З3 в точката M(3; 2; 1)Във векторна посока MN, където н(5; 4; 2) .
. Нека намерим вектора и неговите насочващи косинуси:
Изчислете стойностите на частичните производни в точката М:
Следователно, 
Определение. Градиент ФункцииЗ= Е(М) в точката M(x; y) е вектор, чиито координати са равни на съответните частни производни u, взети в точката M(x; y).
Обозначаване. 
Пример 48. Намерете градиента на функция З= х2 +2 Y2 -5 в точката M(2; -1).
Решение. Намираме частични производни: 
и техните стойности в точката M(2; -1):
Пример 49.
Намерете големината и посоката на градиента на функция в точка 
Решение.Нека намерим частичните производни и изчислим техните стойности в точка M:
Следователно,
Производната по посока за функция от три променливи се дефинира по подобен начин U= Е(х, Y, З) , се извеждат формули
Въвежда се понятието градиент 
Подчертаваме това Основни свойства на градиентната функция по-важно за анализа на икономическата оптимизация: в посока на градиента функцията нараства. В икономическите задачи се използват следните свойства на градиента:
1) Нека е дадена функция З= Е(х, Y) , който има частични производни в областта на дефиницията. Помислете за някакъв момент M0(x0, y0)от областта на дефиницията. Нека стойността на функцията в тази точка е Е(х0 , Y0 ) . Разгледайте графиката на функцията. Чрез точката (х0 , Y0 , Е(х0 , Y0 )) тримерно пространство, начертаваме равнина, допирателна към повърхността на графиката на функцията. След това градиентът на функцията, изчислен в точката (x0, y0), разглеждан геометрично като вектор, прикрепен към точка (х0 , Y0 , Е(х0 , Y0 )) , ще бъде перпендикулярна на допирателната равнина. Геометричната илюстрация е показана на фиг. 34.
2) Градиентна функция Е(х, Y) в точката M0(x0, y0)показва посоката на най-бързото нарастване на функцията в точката М0. В допълнение, всяка посока, която прави остър ъгъл с градиента, е посоката на растеж на функцията в точката М0. С други думи, малко движение от точка (x0, y0)по посока на градиента на функцията в тази точка води до нарастване на функцията и то в най-голяма степен.
Помислете за вектор, противоположен на градиента. Нарича се антиградиент . Координатите на този вектор са:
Функция анти-градиент Е(х, Y) в точката M0(x0, y0)показва посоката на най-бързо намаляване на функцията в точката М0. Всяка посока, която образува остър ъгъл с антиградиента, е посоката, в която функцията намалява в тази точка.
3) Когато изучаваме функция, често става необходимо да се намерят такива двойки (x, y)от обхвата на функцията, за които функцията приема същите стойности. Разгледайте набора от точки (х, Y) извън обхвата на функцията Е(х, Y) , така че Е(х, Y)= Конст, къде е входът “ Конст” означава, че стойността на функцията е фиксирана и равна на някакво число от диапазона на функцията.
Определение. Линия на функционално ниво U = Е ( х , Y ) наречена линиятаЕ(х, Y)=С в самолетаXOy, в чиито точки функцията остава постояннаU= ° С.
Линиите на нивото са геометрично изобразени върху равнината на промяна на независими променливи под формата на криви линии. Получаването на линии на ниво може да си представим по следния начин. Помислете за комплекта ОТ, който се състои от точки в тримерното пространство с координати (х, Y, Е(х, Y)= Конст), които от една страна принадлежат на графиката на функцията З= Е(х, Y), от друга страна, те лежат в равнина, успоредна на координатната равнина КАК, и отделен от него със стойност, равна на дадена константа. След това, за да се изгради линия на ниво, е достатъчно да се пресече повърхността на графиката на функцията с равнина З= Консти проектирайте линията на пресичане върху равнина КАК. Горното разсъждение е оправданието за възможността за директно конструиране на линии на ниво върху равнина КАК.
Определение. Множеството от линии на ниво се нарича Карта на линията на нивото.
Добре известни примери за линии на ниво са нива с еднаква височина на топографска карта и линии с едно и също барометрично налягане на метеорологична карта.
Определение.
Посоката, по която скоростта на нарастване на функцията е максимална, се нарича "предпочитана" посока, или Посока на най-бърз растеж.
„Предпочитаната“ посока се дава от градиентния вектор на функцията. На фиг. 35 показва максималната, минималната и седловата точка в задачата за оптимизиране на функция на две променливи при липса на ограничения. Долната част на фигурата показва линиите на нивото и посоките на най-бързия растеж.
Пример 50. Намерете линии на ниво характеристики U= х2 + Y2 .
Решение.Уравнението на семейството от линии на ниво има формата х2 + Y2 = ° С (° С>0) . даване ОТразлични реални стойности, получаваме концентрични окръжности с център в началото.
Изграждане на нивелирни линии. Техният анализ намира широко приложение в икономическите проблеми на микро- и макроравнище, теорията на равновесието и ефективните решения. Изокости, изокванти, криви на безразличие - всичко това са линии на ниво, построени за различни икономически функции.
Пример 51. Помислете за следната икономическа ситуация. Нека се опише производството на продукти Функция на Коб-Дъглас Е(х, Y)=10x1/3y2/3, където х- количество труд При- размер на капитала. 30 щатски долара бяха отпуснати за придобиване на ресурси. единици, цената на труда е 5 у.е. единици, капитал - 10 у.е. единици Нека си зададем въпроса: каква е най-голямата продукция, която може да се получи при тези условия? Тук „дадени условия“ се отнася до дадени технологии, цени на ресурсите и вида на производствената функция. Както вече беше отбелязано, функцията Коб-Дъгласнараства монотонно във всяка променлива, т.е. увеличаването на всеки тип ресурс води до увеличаване на продукцията. При тези условия е ясно, че е възможно да се увеличи придобиването на ресурси, стига да има достатъчно пари. Пакети с ресурси, които струват 30 c.u. единици, отговарят на условието:
5x + 10y = 30,
Тоест те определят линията на функционалното ниво:
Ж(х, Y) = 5x + 10y.
От друга страна, с помощта на линии на ниво Функции на Коб-Дъглас (Фиг. 36) е възможно да се покаже нарастването на функцията: във всяка точка от линията на нивото посоката на градиента е посоката на най-голямото увеличение и за да се изгради градиент в точка, е достатъчно да начертайте допирателна към линията на нивото в тази точка, начертайте перпендикуляр на допирателната и посочете посоката на градиента. От фиг. 36 може да се види, че движението на линията на нивото на функцията на Коб-Дъглас по протежение на градиента трябва да се извърши, докато стане допирателна към линията на ниво 5x + 10y = 30. По този начин, използвайки понятията линия на ниво, градиент, градиентни свойства, е възможно да се разработят подходи за най-добро използване на ресурсите по отношение на увеличаване на обема на продукцията.
Определение. Повърхност на функционално ниво U = Е ( х , Y , З ) наречена повърхностЕ(х, Y, З)=С, в чиито точки функцията остава постояннаU= ° С.
Пример 52. Намерете повърхности на ниво характеристики U= х2 + З2 - Y2 .
Решение.Уравнението на семейството нивелирани повърхности има формата х2 + З2 - Y2 =C. Ако C=0, тогава получаваме х2 + З2 - Y2 =0 - конус; ако ° С<0 , тогава х2 + З2 - Y2 =C -Семейство от двулистни хиперболоиди.
От училищен курс по математика е известно, че вектор в равнина е насочен сегмент. Началото и краят му имат две координати. Координатите на вектора се изчисляват чрез изваждане на началните координати от крайните координати.
Концепцията за вектор може също да бъде разширена до n-мерно пространство (вместо две координати ще има n координати).
Градиент gradz функция z=f(x 1 , x 2 , ... x n) е векторът на частните производни на функцията в точка, т.е. вектор с координати.
Може да се докаже, че градиентът на функция характеризира посоката на най-бързо нарастване на нивото на функцията в дадена точка.
Например, за функцията z \u003d 2x 1 + x 2 (вижте Фигура 5.8), градиентът във всяка точка ще има координати (2; 1). Може да се изгради върху равнина по различни начини, като се вземе всяка точка за начало на вектора. Например, можете да свържете точка (0; 0) с точка (2; 1), или точка (1; 0) с точка (3; 1), или точка (0; 3) с точка (2; 4), или t .P. (вижте фигура 5.8). Всички вектори, конструирани по този начин, ще имат координати (2 - 0; 1 - 0) = = (3 - 1; 1 - 0) = (2 - 0; 4 - 3) = (2; 1).
Фигура 5.8 ясно показва, че нивото на функцията расте в посока на градиента, тъй като построените линии на ниво съответстват на стойностите на нивото 4> 3> 2.
Фигура 5.8 - Градиент на функцията z \u003d 2x 1 + x 2
Да разгледаме друг пример - функцията z= 1/(x 1 x 2). Градиентът на тази функция вече няма да бъде винаги еднакъв в различни точки, тъй като нейните координати се определят от формулите (-1 / (x 1 2 x 2); -1 / (x 1 x 2 2)).
Фигура 5.9 показва линиите на нивото на функцията z= 1/(x 1 x 2) за нива 2 и 10 (линията 1/(x 1 x 2) = 2 е обозначена с пунктирана линия, а линията 1/( x 1 x 2) = 10 е плътна линия).
Фигура 5.9 - Градиенти на функцията z \u003d 1 / (x 1 x 2) в различни точки
Вземете например точката (0,5; 1) и изчислете градиента в тази точка: (-1 / (0,5 2 * 1); -1 / (0,5 * 1 2)) \u003d (-4; - 2) . Обърнете внимание, че точката (0,5; 1) лежи на линията на нивото 1 / (x 1 x 2) \u003d 2, защото z \u003d f (0,5; 1) \u003d 1 / (0,5 * 1) = 2. За да начертайте вектора (-4; -2) на фигура 5.9, свържете точката (0.5; 1) с точката (-3.5; -1), защото (-3.5 - 0.5; -1 - 1) = (-4; -2).
Нека вземем друга точка на същата линия на ниво, например точка (1; 0,5) (z=f(1; 0,5) = 1/(0,5*1) = 2). Изчислете градиента в тази точка (-1/(1 2 *0,5); -1/(1*0,5 2)) = (-2; -4). За да го изобразим на фигура 5.9, свързваме точката (1; 0,5) с точката (-1; -3,5), защото (-1 - 1; -3,5 - 0,5) = (-2; - четири).
Нека вземем още една точка на същата линия на ниво, но само сега в неположителна координатна четвърт. Например, точка (-0,5; -1) (z=f(-0,5; -1) = 1/((-1)*(-0,5)) = 2). Градиентът в тази точка ще бъде (-1/((-0,5) 2 *(-1)); -1/((-0,5)*(-1) 2)) = (4; 2). Нека го изобразим на фигура 5.9, като свържем точката (-0,5; -1) с точката (3,5; 1), защото (3,5 - (-0,5); 1 - (-1)) = (4 ; 2).
Трябва да се отбележи, че и в трите разгледани случая градиентът показва посоката на нарастване на нивото на функцията (към линията на ниво 1/(x 1 x 2) = 10 > 2).
Може да се докаже, че градиентът винаги е перпендикулярен на линията на нивото (равнината), минаваща през дадената точка.
Екстремуми на функция на няколко променливи
Нека дефинираме понятието екстремумза функция на много променливи.
Функцията на много променливи f(X) има в точката X (0) максимум (минимум),ако има такава околност на тази точка, че за всички точки X от тази околност са валидни неравенствата f(X)f(X (0)) ().
Ако тези неравенства са изпълнени като строги, тогава се нарича екстремум силен, и ако не, тогава слаб.
Обърнете внимание, че дефинираният по този начин екстремум е местенхарактер, тъй като тези неравенства са валидни само за някаква околност на екстремалната точка.
Необходимо условие за локален екстремум на диференцируема функция z=f(x 1, . . ., x n) в точка е равенството на нула на всички частични производни от първи ред в тази точка: 
.
Точките, в които важат тези равенства, се наричат стационарен.
По друг начин необходимото условие за екстремум може да се формулира по следния начин: в точката на екстремума градиентът е равен на нула. Възможно е да се докаже и едно по-общо твърдение - в точката на екстремума производните на функцията във всички посоки се нулират.
Стационарните точки следва да бъдат подложени на допълнителни изследвания – дали са изпълнени достатъчни условия за наличие на локален екстремум. За да направите това, определете знака на диференциала от втори ред. Ако за всяко, което не е едновременно равно на нула, то винаги е отрицателно (положително), тогава функцията има максимум (минимум). Ако може да изчезне не само при нулеви нараствания, тогава въпросът за екстремума остава открит. Ако може да приема както положителни, така и отрицателни стойности, тогава няма екстремум в стационарната точка.
В общия случай определянето на знака на диференциала е доста сложен проблем, който няма да разглеждаме тук. За функция на две променливи може да се докаже, че ако в стационарна точка 
, тогава има екстремум. В този случай знакът на втория диференциал съвпада със знака 
, т.е. ако 
, тогава това е максимумът и ако 
, тогава това е минимумът. Ако 
, тогава няма екстремум в тази точка и ако 
, тогава въпросът за екстремума остава открит.
Пример 1. Намерете екстремуми на функция 
.
Нека намерим частни производни по метода на логаритмичното диференциране.
ln z = ln 2 + ln (x + y) + ln (1 + xy) – ln (1 + x 2) – ln (1 + y 2)
по същия начин 
.
Нека намерим стационарни точки от системата от уравнения:
Така се намират четири стационарни точки (1; 1), (1; -1), (-1; 1) и (-1; -1).
Нека намерим частни производни от втори ред:
ln (z x `) = ln 2 + ln (1 - x 2) -2ln (1 + x 2)
по същия начин 
;
.
защото 
, изразителен знак 
зависи само от 
. Обърнете внимание, че и в двете от тези производни знаменателят винаги е положителен, така че можете да вземете предвид само знака на числителя или дори знака на изразите x (x 2 - 3) и y (y 2 - 3). Нека го определим във всяка критична точка и проверим изпълнението на достатъчното екстремално условие.
За точка (1; 1) получаваме 1*(1 2 - 3) = -2< 0. Т.к. произведение
двух отрицательных чисел
> 0 и 
<
0, в точке (1; 1) можно найти максимум. Он
равен
=
2*(1 + 1)*(1 +1*1)/((1 +1 2)*(1 +1 2)) =
= 8/4
= 2.
За точка (1; -1) получаваме 1*(1 2 - 3) = -2< 0 и (-1)*((-1) 2 – 3)
= 2 >0. Защото произведението на тези числа 
< 0, в этой точке экстремума нет.
Аналогично можно показать, что нет
экстремума в точке (-1; 1).
За точката (-1; -1) получаваме (-1)*((-1) 2 - 3) = 2 > 0. произведение на две положителни числа 
> 0 и 
> 0, в точката (-1; -1) можете да намерите минимум. Равно е на 2*((-1) + (-1))*(1 +(-1)*(-1))/((1 +(-1) 2)*(1 +(-1) 2) ) = -8/4 = = -2.
намирам глобаленмаксимумът или минимумът (най-голямата или най-малката стойност на функцията) е малко по-сложен от локалния екстремум, тъй като тези стойности могат да бъдат постигнати не само в стационарни точки, но и на границата на областта на дефиниране. Не винаги е лесно да се изследва поведението на функция на границата на тази област.
