Използвайки диференциала, изчислете приблизително тази стойност. Апроксимация на изчисление с диференциал

Помислете за широко разпространения проблем за приблизително изчисляване на стойността на функция с помощта на диференциал.

Тук и по-нататък ще говорим за диференциали от първи ред; за краткост често ще казваме просто „диференциал“. Проблемът с приблизителните изчисления с помощта на диференциали има строг алгоритъм за решаване и следователно не трябва да възникват специални трудности. Единственото нещо е, че има малки капани, които също ще бъдат изчистени. Така че не се колебайте да се потопите първо в главата.

Освен това разделът съдържа формули за намиране на абсолютни и относителни грешки на изчисленията. Материалът е много полезен, тъй като грешките трябва да се изчисляват в други задачи.

За да усвоите успешно примерите, трябва да можете да намирате производни на функции поне на средно ниво, така че ако сте напълно на загуба с диференцирането, моля, започнете с намиране на производната в точкаи със намиране на диференциала в точката. От техническите средства ще ви е необходим микрокалкулатор с различни математически функции. Можете да използвате възможностите на MS Excel, но в този случай е по-малко удобно.

Урокът се състои от две части:

– Приблизителни изчисления с помощта на диференциалната стойност на функция на една променлива в точка.

– Приблизителни изчисления с помощта на общия диференциал на стойността на функция на две променливи в точка.

Разглежданата задача е тясно свързана с понятието диференциал, но тъй като все още нямаме урок за значението на производните и диференциалите, ще се ограничим до формално разглеждане на примери, което е напълно достатъчно, за да се научим как да решаваме тях.

Приблизителни изчисления с помощта на диференциал на функция на една променлива

В първия параграф, функцията на една променлива управлява. Както всички знаят, тя се обозначава с гили чрез f(х). За тази задача е много по-удобно да се използва втората нотация. Нека да преминем направо към популярен пример, който често се среща в практиката:

Пример 1

Решение:Моля, копирайте в бележника си работната формула за приблизително изчисление с диференциал:

Нека започнем да го разбираме, тук всичко е просто!

Първата стъпка е да създадете функция. Според условието се предлага да се изчисли кубичният корен на числото: , така че съответната функция има формата: .

Трябва да използваме формулата, за да намерим приблизителната стойност.

Нека да разгледаме лява странаформули и на ум идва мисълта, че числото 67 трябва да бъде представено във формата. Кой е най-лесният начин да направите това? Препоръчвам следния алгоритъм: изчислете тази стойност на калкулатор:

– оказаха се 4 с опашка, това е важен ориентир за решението.

Като х 0 изберете „добра“ стойност, така че коренът да се отстрани напълно. Естествено това значение х 0 трябва да бъде възможно най-близодо 67.

В такъв случай х 0 = 64. Наистина, .

Забележка: Когато е с изборх 0 все още има затруднение, просто погледнете изчислената стойност (в този случай ), вземете най-близката цяло число (в този случай 4) и я повдигнете до необходимата степен (в този случай ). В резултат на това ще бъде направен желаният изборх 0 = 64.

Ако х 0 = 64, тогава нарастването на аргумента: .

И така, числото 67 е представено като сума

Първо изчисляваме стойността на функцията в точката х 0 = 64. Всъщност това вече е направено по-рано:

Диференциалът в точка се намира по формулата:

– Можете също да копирате тази формула в бележника си.

От формулата следва, че трябва да вземете първата производна:

И намерете стойността му в точката х 0:

.

По този начин:

Всичко е готово! Според формулата:

Намерената приблизителна стойност е доста близка до стойността 4,06154810045, изчислена с помощта на микрокалкулатор.

Отговор:

Пример 2

Изчислете приблизително, като замените нарастванията на функцията с нейния диференциал.

Това е пример, който можете да решите сами. Приблизителна проба на окончателния дизайн и отговор в края на урока. За начинаещи препоръчвам първо да изчислят точната стойност на микрокалкулатор, за да разберат какво число да приемат като х 0, а коя – за Δ х. Трябва да се отбележи, че Δ хв този пример ще бъде отрицателен.

Някои може би са се чудили защо е необходима тази задача, ако всичко може да се изчисли спокойно и по-точно на калкулатор? Съгласен съм, задачата е глупава и наивна. Но ще се опитам да го оправдая малко. Първо, задачата илюстрира значението на диференциалната функция. Второ, в древни времена калкулаторът е бил нещо като личен хеликоптер в съвременните времена. Аз самият видях как компютър с размерите на стая беше изхвърлен от един от институтите някъде през 1985-86 г. (радиолюбители дотичаха от целия град с отвертки и след няколко часа от блока остана само кутията ). В нашата катедра по физика също имахме антики, но те бяха по-малки – горе-долу колкото бюро. Ето как нашите предци са се борили с методите за приблизителни изчисления. Конска каруца също е транспорт.

По един или друг начин проблемът остава в стандартния курс на висшата математика и ще трябва да бъде решен. Това е основният отговор на вашия въпрос =).

Пример 3

Изчислете приблизително стойността на функция с помощта на диференциал в точката х= 1,97. Изчислете по-точна стойност на функцията в точка х= 1,97 с помощта на микрокалкулатор, оценете абсолютната и относителната грешка на изчисленията.

Всъщност тази задача може лесно да се преформулира по следния начин: „Изчислете приблизителната стойност използвайки диференциал"

Решение:Използваме познатата формула:

В този случай вече е дадена готова функция: . Още веднъж бих искал да обърна внимание на факта, че за обозначаване на функция, вместо „игра“ е по-удобно да се използва f(х).

Значение х= 1,97 трябва да бъде представено във формуляра х 0 = Δ х. Е, тук е по-лесно, виждаме, че числото 1,97 е много близо до „две“, така че се предполага х 0 = 2. И следователно: .

Нека изчислим стойността на функцията в точката х 0 = 2:

Използване на формула , нека изчислим диференциала в същата точка.

Намираме първата производна:

И значението му в момента х 0 = 2:

Така диференциалът в точката:

В резултат на това, според формулата:

Втората част от задачата е да се намери абсолютната и относителната грешка на изчисленията.

Приблизителна стойност на увеличението на функцията

За достатъчно малки стойности нарастването на функцията е приблизително равно на нейния диференциал, т.е. Dy » dy и следователно

Пример 2.Намерете приблизителната стойност на нарастването на функцията y=, когато аргументът x се промени от стойността x 0 =3 на x 1 =3,01.

Решение. Нека използваме формула (2.3). За да направите това, нека изчислим

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, тогава

Ду" .

Приблизителна стойност на функция в точка

В съответствие с дефиницията на нарастването на функцията y = f(x) в точката x 0, когато аргументът Dx (Dx®0) се увеличава, Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) и може да се напише формула (3.3).

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Специални случаи на формула (3.4) са изразите:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3.4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3.4v)

tgDx » Dx (3,4g)

Тук, както и преди, се приема, че Dx®0.

Пример 3.Намерете приблизителната стойност на функцията f(x) = (3x -5) 5 в точка x 1 =2,02.

Решение. За изчисления използваме формула (3.4). Нека представим x 1 като x 1 = x 0 + Dx. Тогава x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Пример 4.Изчислете (1.01) 5 , , ln(1.02), ln .

Решение

1. Да използваме формула (3.4a). За да направите това, нека си представим (1,01) 5 във формата (1+0,01) 5.

След това, приемайки Dx = 0,01, n = 5, получаваме

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. Представяйки 1/6 във формата (1 - 0.006), съгласно (3.4a), получаваме

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. Като вземем предвид, че ln(1.02) = ln(1 + 0.02) и приемем Dx=0.02, използвайки формула (3.4b) получаваме

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. По същия начин

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Намерете приблизителните стойности на нарастването на функцията

155. y = 2x 3 + 5, когато аргументът x се промени от x 0 = 2 на x 1 = 2,001

156. y = 3x 2 + 5x + 1 с x 0 = 3 и Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 с x 0 = 2 и Dx = 0,01

158. y = ln x при x 0 = 10 и Dx = 0,01

159. y = x 2 - 2x при x 0 = 3 и Dx = 0,01

Намерете приблизителните стойности на функциите

160. y = 2x 2 - x + 1 в точка x 1 = 2,01

161. y = x 2 + 3x + 1 при x 1 = 3,02

162.y= в точка x 1 = 1.1

163. y= в точка x 1 = 3,032

164. y = в точка x 1 = 3,97

165. y = sin 2x в точка x 1 = 0,015

Изчислете приблизително

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178.ln(1.003×e) 179.ln(1.05) 5 180.ln

181.ln0.98 182.ln 183.ln(e 2 ×0.97)

Функционално изследване и графично изготвяне

Признаци за монотонност на функция

Теорема 1 (необходимо условие за нарастване (намаляване) на функция) . Ако диференцируемата функция y = f(x), xО(a; b) расте (намалява) на интервала (a; b), то за всеки x 0 О(a; b).

Теорема 2 (достатъчно условие за нарастване (намаляване) на функция) . Ако функцията y = f(x), xО(a; b) има положителна (отрицателна) производна във всяка точка от интервала (a; b), тогава тази функция нараства (намалява) на този интервал.

Екстремуми на функцията

Определение 1.Точка x 0 се нарича точка на максимум (минимум) на функцията y = f(x), ако за всички x от някаква d-околност на точката x 0 е изпълнено неравенството f(x)< f(x 0) (f(x) >f(x 0)) за x ¹ x 0 .

Теорема 3 (Ферма) (необходимо условие за съществуването на екстремум) . Ако точката x 0 е екстремната точка на функцията y = f(x) и в тази точка има производна, тогава

Теорема 4 (първото достатъчно условие за съществуване на екстремум) . Нека функцията y = f(x) е диференцируема в някаква d-околност на точката x 0 . Тогава:

1) ако производната, когато преминава през точката x 0, променя знака от (+) на (-), тогава x 0 е максималната точка;

2) ако производната, когато преминава през точката x 0, променя знака от (-) на (+), тогава x 0 е минималната точка;

3) ако производната не променя знака при преминаване през точката x 0, тогава в точката x 0 функцията няма екстремум.

Определение 2.Наричат ​​се точките, в които производната на дадена функция изчезва или не съществува критични точки от първи вид.

използвайки първата производна

1. Намерете областта на дефиниция D(f) на функцията y = f(x).

3. Намерете критични точки от първи вид.

4. Поставете критични точки в областта на дефиниция D(f) на функцията y = f(x) и определете знака на производната в интервалите, на които критичните точки разделят областта на дефиниция на функцията.

5. Изберете максималните и минималните точки на функцията и изчислете стойностите на функцията в тези точки.

Пример 1.Разгледайте функцията y = x 3 - 3x 2 за екстремум.

Решение. В съответствие с алгоритъма за намиране на екстремума на функция, използвайки първата производна, имаме:

1. D(f): xО(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - критични точки от първи вид.

Производна при преминаване през точката x = 0

променя знака от (+) на (-), следователно е точка

Максимум. При преминаване през точката x = 2 знакът се променя от (-) на (+), следователно това е минималната точка.

5. y max = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Максимални координати (0; 0).

y min = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Минимални координати (2; -4).

Теорема 5 (второ достатъчно условие за съществуване на екстремум) . Ако функцията y = f(x) е дефинирана и два пъти диференцируема в някаква околност на точката x 0 и , тогава в точката x 0 функцията f(x) има максимум ако и минимум ако .

Алгоритъм за намиране на екстремума на функция

използвайки втората производна

1. Намерете областта на дефиниция D(f) на функцията y = f(x).

2. Изчислете първата производна

От една страна, изчисляването на диференциала е много по-просто от изчисляването на нарастването; от друга страна, dy≈∆y и разрешената грешка в този случай могат да бъдат направени произволно малки чрез намаляване на ∆x. Тези обстоятелства правят възможно в много случаи заместването на ∆y със стойността dy. От приблизителното равенство dy≈∆y, като вземем предвид, че ∆y = f(x) – f(x 0) и dy=f'(x 0)(x-x 0), получаваме f(x) ≈ f( x 0) + f'(x 0)(x – x 0), където x-x 0 = ∆x.
Пример. Изчисли.
Решение. Като вземем функцията, имаме: . Ако приемем, че x 0 =16 (сами избираме, така че коренът да бъде извлечен), ∆x = 0,02, получаваме .

Пример. Изчислете стойността на функцията f(x) = e x в точка x=0,1.
Решение. За x 0 вземаме числото 0, тоест x 0 =0, след това ∆x=x-x 0 =0,1 и e 0,1 ≈e 0 + e 0 0,1 = 1+0,1 = 1,1. Според таблицата e 0.1 ≈1.1052. Грешката беше незначителна.
Нека отбележим още едно важно свойство на диференциала. Формулата за намиране на диференциала dy=f’(x)dx е правилна както в случая, когато хе независима променлива и в случай, когато х– функция на нова променлива T. Това свойство на диференциал се нарича свойство на инвариантност на неговата форма. Например за функцията y=tg(x) диференциалът ще бъде записан във формата независимо дали х независима променлива или функция. Ако х– функцията е конкретно посочена, например x=t 2 , тогава изчисляването на dy може да продължи, за което намираме dx=2tdt и го заместваме в предварително получения израз за dy:
.
Ако вместо формула (2) използвахме неинвариантната формула (1), тогава в случая, когато x е функция, не бихме могли да продължим изчисляването на dy по подобен начин, тъй като ∆x, най-общо казано, не съвпадение с dx.

1. Изчисляване на приблизителната стойност на нарастването на функцията

Пример. Използвайки понятието диференциал на функция, изчислете приблизително промяната във функцията когато аргументът се промени от 5 на 5.01.

Нека намерим диференциала на функцията . Нека заместим стойностите х 0 = 5, D х= 0,01. Получаваме

2. Изчисляване на приблизителната стойност на функцията

Пример. Изчислете приблизителна стойност, като използвате разликата 1,998 5 .

Помислете за функцията where х= 1,998. Нека го разбием хНа х 0 и D х (х = х 0+D х), позволявам х 0 = 2, след това D х = - 0,002.

Нека намерим стойността , ,

Тогава 1,998 5 » 32 – 0,16 = 31,84.

Производни и диференциали от по-високи разряди

Нека функцията f(x) е диференцируема на някакъв интервал. След това, диференцирайки го, получаваме първата производна

Ако намерим производната на функцията f¢(x), получаваме втора производнафункции f(x).

тези. y¢¢ = (y¢)¢ или .

.

Основни теореми на диференциалното смятане

1. Теорема на Рол. Ако функцията f(x) е непрекъсната на интервала, диференцируема в интервала (a, b) и стойностите на функцията в краищата на интервала са равни на f(a) = f(b), тогава в интервала (a, b) има поне една точка c ( a< c < b), в которой производная f "(с) = 0.

Геометричен смисъл на теоремата на Роле. Геометричният смисъл на теоремата на Рол е, че ако условията на теоремата са изпълнени в интервала (a, b), има точка c, така че в съответната точка на кривата y = f(x) допирателната да е успоредна на оста Ox. Може да има няколко такива точки на интервал, но теоремата посочва съществуването на поне една такава точка.

Имайте предвид, че ако поне в една точка от интервала [ а; b] функция не е диференцируема, тогава производната на функцията f(x)може да не стигне до нула. Например функцията г=1-½ х½ е непрекъснат на интервала [-1; +1], диференцируеми при (-1;+1), освен в точката х 0 = 0 и f(-1) = f(1) = 0, т.е. условието на теоремата на Рол е нарушено в една точка х 0 = 0 (в него функцията не е диференцирана). Очевидно е, че в нито една точка от графиката на функцията на интервала [-1; 1] допирателната към графиката не е успоредна на ос 0 х.

Теоремата на Рол има няколко последствия :

1) Ако функцията f(x)на сегмента [ а, б] удовлетворява теоремата на Рол и f(a) = f(b) = 0, тогава има поне една точка s, a< с < b , така че f¢(c) = 0. Тези. Между две нули на функция има поне една точка, в която производната на функцията е равна на нула.

2) Ако на разглеждания интервал ( а, б) функция f(x)има производна ( н-1) ред и нпъти изчезва, тогава има поне една точка в интервала, в който производната ( н–1)-ти ред е равен на нула.

2. Теорема на Лагранж. Ако функцията f(x) е непрекъсната на интервал и диференцируема в интервала (a, b), тогава в този интервал има поне една точка c (a< c < b), такая, что .

Това означава, че ако условията на теоремата са изпълнени на определен интервал, тогава отношението на нарастването на функцията към увеличението на аргумента на този интервал е равно на стойността на производната в някаква междинна точка.

Обсъдената по-горе теорема на Рол е специален случай на теоремата на Лагранж.

Изразът се нарича Формула за крайно увеличение на Лагранж.

Геометричен смисъл на теоремата на Лагранж.

Нека са изпълнени условията на теоремата на Лагранж, тогава формулата на Лагранж за крайните нараствания е валидна.

Нека точките АИ бфункциите, лежащи на графиката, имат координати А (а; f(а)), б (b; f(b)), тогава е очевидно, че стойността на фракцията е равна на тангенса на ъгъла на наклона на хордата ABкъм оста O х, т.е. .

От друга страна, f "(° С) = tga. И така, по същество х= ° Сдопирателна към графиката на функция г= f(x)успоредна на хордата, обхващаща дъгата на кривата AB. Това е геометричният смисъл на теоремата на Лагранж.

3. Теорема на Коши. Ако функциите f(x)И g(x)непрекъснат на сегмента и диференцируеми в интервала (a, b) и g¢(x) ¹ 0в нито една точка от този интервал, тогава има поне една точка c(a< c < b), така че да е в сила равенството:

.

Тези. съотношението на нарастванията на функциите върху дадена отсечка е равно на съотношението на производните в точката с.

Геометричен смисъл на теоремата на Коши.

Лесно е да се провери, че геометричният смисъл на теоремата на Коши съвпада с геометричния смисъл на теоремата на Лагранж.

Приблизителни изчисления с помощта на диференциал

В този урок ще разгледаме често срещан проблем за приблизително изчисляване на стойността на функция с помощта на диференциал. Тук и по-нататък ще говорим за диференциали от първи ред; за краткост често ще казвам просто „диференциал“. Проблемът с приблизителните изчисления с помощта на диференциали има строг алгоритъм за решаване и следователно не трябва да възникват специални трудности. Единственото нещо е, че има малки капани, които също ще бъдат изчистени. Така че не се колебайте да се потопите първо в главата.

Освен това страницата съдържа формули за намиране на абсолютната и относителната грешка на изчисленията. Материалът е много полезен, тъй като грешките трябва да се изчисляват в други задачи. Физици, къде са ви аплодисментите? =)

За да усвоите успешно примерите, трябва да можете да намирате производни на функции поне на средно ниво, така че ако сте напълно на загуба с диференцирането, моля, започнете с урока Как да намерим производната?Също така препоръчвам да прочетете статията Най-прости задачи с производни, а именно ал относно намирането на производната в точкаИ намиране на диференциала в точката. От техническите средства ще ви е необходим микрокалкулатор с различни математически функции. Можете да използвате Excel, но в този случай е по-малко удобно.

Работилницата се състои от две части:

– Приблизителни изчисления с помощта на диференциал на функция на една променлива.

– Приблизителни изчисления с помощта на общия диференциал на функция на две променливи.

Кой има нужда от какво? Всъщност беше възможно да се раздели богатството на две купчини, поради причината, че втората точка се отнася до приложения на функции на няколко променливи. Но какво да правя, обичам дългите статии.

Приблизителни изчисления
използвайки диференциала на функция на една променлива

Въпросната задача и нейното геометрично значение вече са разгледани в урока Какво е производна? , а сега ще се ограничим до формално разглеждане на примери, което е напълно достатъчно, за да се научим как да ги решаваме.

В първия параграф, функцията на една променлива управлява. Както всички знаят, тя се обозначава с или с . За тази задача е много по-удобно да се използва втората нотация. Нека да преминем направо към популярен пример, който често се среща в практиката:

Пример 1

Решение:Моля, копирайте работната формула за приблизително изчисление с помощта на диференциал в бележника си:

Нека започнем да го разбираме, тук всичко е просто!

Първата стъпка е да създадете функция. Според условието се предлага да се изчисли кубичният корен на числото: , така че съответната функция има формата: . Трябва да използваме формулата, за да намерим приблизителната стойност.

Нека да разгледаме лява странаформули и на ум идва мисълта, че числото 67 трябва да бъде представено във формата. Кой е най-лесният начин да направите това? Препоръчвам следния алгоритъм: изчислете тази стойност на калкулатор:
– оказаха се 4 с опашка, това е важен ориентир за решението.

Избираме „добра“ стойност като така че коренът да се отстрани напълно. Естествено, тази стойност трябва да бъде възможно най-близодо 67. В този случай: . Наистина ли: .

Забележка: Когато все още възникнат трудности с избора, просто погледнете изчислената стойност (в този случай ), вземете най-близката цяло число (в този случай 4) и я повдигнете на необходимата степен (в този случай ). В резултат на това ще бъде направен желаният избор: .

Ако , тогава нарастването на аргумента: .

И така, числото 67 е представено като сума

Първо, нека изчислим стойността на функцията в точката. Всъщност това вече е направено преди:

Диференциалът в точка се намира по формулата:
- Можете също да го копирате в бележника си.

От формулата следва, че трябва да вземете първата производна:

И намерете стойността му в точката:

По този начин:

Всичко е готово! Според формулата:

Намерената приблизителна стойност е доста близка до стойността , изчислен с помощта на микрокалкулатор.

Отговор:

Пример 2

Изчислете приблизително, като замените нарастванията на функцията с нейния диференциал.

Това е пример, който можете да решите сами. Приблизителна проба на окончателния дизайн и отговор в края на урока. За начинаещи препоръчвам първо да изчислят точната стойност на микрокалкулатор, за да разберат кое число се приема като , и кое число се приема като . Трябва да се отбележи, че в този пример той ще бъде отрицателен.

Някои може би са се чудили защо е необходима тази задача, ако всичко може да се изчисли спокойно и по-точно на калкулатор? Съгласен съм, задачата е глупава и наивна. Но ще се опитам да го оправдая малко. Първо, задачата илюстрира значението на диференциалната функция. Второ, в древни времена калкулаторът е бил нещо като личен хеликоптер в съвременните времена. Аз самият видях как някъде през 1985-86 г. компютър с размерите на стая беше изхвърлен от местния политехнически институт (радиолюбители дотичаха от целия град с отвертки и след няколко часа от компютъра беше останал само корпусът мерна единица). Във физико-математическия ни също имаше антики, но те бяха по-малки - горе-долу колкото бюро. Ето как нашите предци са се борили с методите за приблизителни изчисления. Конска каруца също е транспорт.

По един или друг начин проблемът остава в стандартния курс на висшата математика и ще трябва да бъде решен. Това е основният отговор на въпроса ти =)

Пример 3

в точка . Изчислете по-точна стойност на функция в точка с помощта на микрокалкулатор, оценете абсолютната и относителната грешка на изчисленията.

Всъщност същата задача може лесно да се преформулира по следния начин: „Изчислете приблизителната стойност използвайки диференциал"

Решение:Използваме познатата формула:
В този случай вече е дадена готова функция: . Още веднъж бих искал да обърна внимание на факта, че е по-удобно за използване.

Стойността трябва да бъде представена във формуляра. Е, тук е по-лесно, виждаме, че числото 1,97 е много близо до „две“, така че се предполага. И следователно: .

Използване на формула , нека изчислим диференциала в същата точка.

Намираме първата производна:

И стойността му в точката:

Така диференциалът в точката:

В резултат на това, според формулата:

Втората част от задачата е да се намери абсолютната и относителната грешка на изчисленията.

Абсолютна и относителна грешка на изчисленията

Абсолютна грешка в изчислениетосе намира по формулата:

Знакът за модул показва, че не ни интересува коя стойност е по-голяма и коя по-малка. важно, колко далечприблизителният резултат се отклони от точната стойност в една или друга посока.

Относителна грешка в изчислениетосе намира по формулата:
, или същото нещо:

Относителната грешка показва с колко процентаприблизителният резултат се отклонява от точната стойност. Има вариант на формулата без умножение по 100%, но на практика почти винаги виждам горния вариант с проценти.

След кратка справка нека се върнем към нашата задача, в която изчислихме приблизителната стойност на функцията с помощта на диференциал.

Нека изчислим точната стойност на функцията с помощта на микрокалкулатор:
, строго погледнато, стойността все още е приблизителна, но ние ще я считаме за точна. Такива проблеми се случват.

Нека изчислим абсолютната грешка:

Нека изчислим относителната грешка:
, бяха получени хилядни от процента, така че диференциалът предостави само отлично приближение.

Отговор: , абсолютна изчислителна грешка, относителна изчислителна грешка

Следният пример за независимо решение:

Пример 4

Изчислете приблизително стойността на функция с помощта на диференциал в точка . Изчислете по-точна стойност на функцията в дадена точка, оценете абсолютната и относителната грешка на изчисленията.

Приблизителна проба на окончателния дизайн и отговор в края на урока.

Много хора са забелязали, че във всички разгледани примери се появяват корени. Това не е случайно, в повечето случаи разглежданата задача всъщност предлага функции с корени.

Но за страдащите читатели изрових малък пример с арксинус:

Пример 5

Изчислете приблизително стойността на функция с помощта на диференциал в точката

Този кратък, но информативен пример също е за вас да решите сами. И си починах малко, за да мога с нови сили да обмисля специалната задача:

Пример 6

Изчислете приблизително с помощта на диференциал, закръглете резултата до два знака след десетичната запетая.

Решение:Какво е новото в задачата? Условието изисква закръгляване на резултата до втория знак след десетичната запетая. Но не това е важното; мисля, че проблемът с училищното закръгляне не е труден за вас. Факт е, че ни е дадена допирателна с аргумент, който се изразява в градуси. Какво трябва да направите, когато бъдете помолени да решите тригонометрична функция със степени? Например и т.н.

Алгоритъмът за решение е принципно същият, т.е. необходимо е, както в предишните примери, да се приложи формулата

Нека напишем очевидна функция

Стойността трябва да бъде представена във формуляра. Ще окаже сериозна помощ таблица със стойности на тригонометрични функции. Между другото, за тези, които не са го разпечатали, препоръчвам да го направят, тъй като ще трябва да търсите там през целия курс на изучаване на висша математика.

Анализирайки таблицата, забелязваме „добра“ стойност на тангенса, която е близо до 47 градуса:

По този начин:

След предварителен анализ градусите трябва да се преобразуват в радиани. Да, и само по този начин!

В този пример можете да разберете директно от тригонометричната таблица, че . Използване на формулата за преобразуване на градуси в радиани: (формулите могат да бъдат намерени в същата таблица).

Това, което следва, е формулирано:

По този начин: (използваме стойността за изчисления). Резултатът, както се изисква от условието, се закръгля до втория знак след десетичната запетая.

Отговор:

Пример 7

Изчислете приблизително с диференциал, закръглете резултата до три знака след десетичната запетая.

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Както можете да видите, няма нищо сложно, ние преобразуваме градуси в радиани и се придържаме към обичайния алгоритъм за решение.

Приблизителни изчисления
използвайки пълния диференциал на функция на две променливи

Всичко ще бъде много, много подобно, така че ако сте дошли на тази страница специално за тази задача, първо препоръчвам да разгледате поне няколко примера от предишния параграф.

За да изучавате параграф, трябва да можете да го намерите частични производни от втори ред, къде щяхме да сме без тях? В горния урок обозначих функция на две променливи с буквата . Във връзка с разглежданата задача е по-удобно да се използва еквивалентна нотация.

Както в случая на функция на една променлива, условието на проблема може да бъде формулирано по различни начини и аз ще се опитам да разгледам всички срещани формулировки.

Пример 8

Решение:Без значение как е написано условието, в самото решение за обозначаване на функцията, повтарям, по-добре е да използвате не буквата „z“, а .

А ето и работещата формула:

Това, което имаме пред нас, всъщност е по-голямата сестра на формулата от предишния параграф. Променливата само се е увеличила. Какво мога да кажа, себе си алгоритъмът за решение ще бъде фундаментално същият!

Съгласно условието се изисква да се намери приблизителната стойност на функцията в точката.

Нека представим числото 3,04 като . Кифлата сама иска да бъде изядена:
,

Нека представим числото 3,95 като . Дойде редът на втората половина на Колобок:
,

И не гледайте всички трикове на лисицата, има Колобок - трябва да го изядете.

Нека изчислим стойността на функцията в точката:

Намираме диференциала на функция в точка, използвайки формулата:

От формулата следва, че трябва да намерим частични производнипърва поръчка и изчисляване на техните стойности в точка.

Нека изчислим частичните производни от първи ред в точката:

Общ диференциал в точка:

Така, според формулата, приблизителната стойност на функцията в точката:

Нека изчислим точната стойност на функцията в точката:

Тази стойност е абсолютно точна.

Грешките се изчисляват с помощта на стандартни формули, които вече бяха обсъдени в тази статия.

Абсолютна грешка:

Относителна грешка:

Отговор:, абсолютна грешка: , относителна грешка:

Пример 9

Изчисляване на приблизителната стойност на функция в даден момент, използвайки общ диференциал, оценете абсолютната и относителната грешка.

Това е пример, който можете да решите сами. Всеки, който погледне по-отблизо този пример, ще забележи, че грешките в изчисленията се оказаха много, много забележими. Това се случи поради следната причина: в предложената задача увеличенията на аргументите са доста големи: . Общият модел е следният: колкото по-големи са тези увеличения в абсолютна стойност, толкова по-ниска е точността на изчисленията. Така например за подобна точка стъпките ще бъдат малки: , а точността на приблизителните изчисления ще бъде много висока.

Тази характеристика важи и за случая на функция на една променлива (първата част на урока).

Пример 10

Решение: Нека изчислим този израз приблизително, използвайки общия диференциал на функция от две променливи:

Разликата от примери 8-9 е, че първо трябва да конструираме функция от две променливи: . Мисля, че всеки интуитивно разбира как е съставена функцията.

Стойността 4,9973 е близка до „пет“, следователно: , .
Стойността 0,9919 е близка до „едно“, следователно приемаме: , .

Нека изчислим стойността на функцията в точката:

Намираме диференциала в точка, използвайки формулата:

За да направим това, ние изчисляваме частичните производни от първи ред в точката.

Производните тук не са най-простите и трябва да внимавате:

;

.

Общ диференциал в точка:

Така приблизителната стойност на този израз е:

Нека изчислим по-точна стойност с помощта на микрокалкулатор: 2,998899527

Нека намерим относителната грешка при изчисление:

Отговор: ,

Само илюстрация на горното, в разглеждания проблем нарастванията на аргументите са много малки и грешката се оказа фантастично малка.

Пример 11

Като използвате пълния диференциал на функция на две променливи, изчислете приблизително стойността на този израз. Изчислете същия израз с помощта на микрокалкулатор. Оценете относителната грешка в изчислението като процент.

Това е пример, който можете да решите сами. Приблизителна проба на окончателния дизайн в края на урока.

Както вече беше отбелязано, най-често срещаният гост в този тип задача е някакъв вид корени. Но от време на време има и други функции. И последен прост пример за релаксация:

Пример 12

Като използвате общия диференциал на функция от две променливи, изчислете приблизително стойността на функцията if

Решението е по-близо до дъното на страницата. Още веднъж обърнете внимание на формулировката на задачите на урока; в различни примери от практиката формулировката може да е различна, но това не променя фундаментално същността и алгоритъма на решението.

Честно казано, бях малко уморен, защото материалът беше малко скучен. Не беше педагогическо да се каже това в началото на статията, но сега вече е възможно =) Наистина, проблемите в изчислителната математика обикновено не са много сложни, не са много интересни, най-важното е може би да не правите грешка при обикновени изчисления.

Да не се изтрият ключовете на вашия калкулатор!

Решения и отговори:

Пример 2: Решение:Използваме формулата:
В такъв случай: , ,

По този начин:
Отговор:

Пример 4: Решение:Използваме формулата:
В такъв случай: , ,