Как се решават логаритмични неравенства с различни основи. Всичко за логаритмичните неравенства

Поддържането на вашата поверителност е важно за нас. Поради тази причина разработихме Политика за поверителност, която описва как използваме и съхраняваме вашата информация. Моля, прегледайте нашите практики за поверителност и ни уведомете, ако имате въпроси.

Събиране и използване на лична информация

Личната информация се отнася до данни, които могат да бъдат използвани за идентифициране или контакт с конкретно лице.

Може да бъдете помолени да предоставите вашата лична информация по всяко време, когато се свържете с нас.

По-долу са дадени някои примери за видовете лична информация, която можем да събираме и как можем да използваме тази информация.

Каква лична информация събираме:

• Когато подадете заявление на сайта, ние може да съберем различна информация, включително вашето име, телефонен номер, имейл адрес и др.

Как използваме вашата лична информация:

• Личната информация, която събираме, ни позволява да се свържем с вас с уникални оферти, промоции и други събития и предстоящи събития.
• От време на време може да използваме вашата лична информация, за да изпращаме важни известия и съобщения.
• Може също така да използваме лична информация за вътрешни цели, като например извършване на одити, анализ на данни и различни изследвания, за да подобрим услугите, които предоставяме, и да ви предоставим препоръки относно нашите услуги.
• Ако участвате в теглене на награди, конкурс или подобна промоция, ние може да използваме предоставената от вас информация за администриране на такива програми.

Разкриване на информация на трети лица

Ние не разкриваме информацията, получена от вас, на трети страни.

Изключения:

• Ако е необходимо - в съответствие със закона, съдебна процедура, в съдебно производство и/или въз основа на публични искания или искания от държавни органи в Руската федерация - да разкриете вашата лична информация. Може също така да разкрием информация за вас, ако преценим, че такова разкриване е необходимо или подходящо за целите на сигурността, правоприлагането или други обществено значими цели.
• В случай на реорганизация, сливане или продажба, можем да прехвърлим личната информация, която събираме, на съответната трета страна приемник.

Защита на личната информация

Ние вземаме предпазни мерки – включително административни, технически и физически – за да защитим вашата лична информация от загуба, кражба и злоупотреба, както и неоторизиран достъп, разкриване, промяна и унищожаване.

Зачитане на вашата поверителност на фирмено ниво

За да гарантираме, че вашата лична информация е защитена, ние съобщаваме стандартите за поверителност и сигурност на нашите служители и стриктно прилагаме практиките за поверителност.

Логаритмични неравенства

В предишните уроци се запознахме с логаритмичните уравнения и сега знаем какво представляват и как се решават. Днешният урок ще бъде посветен на изучаването на логаритмични неравенства. Какви са тези неравенства и каква е разликата между решаването на логаритмично уравнение и неравенство?

Логаритмичните неравенства са неравенства, които имат променлива, която се появява под знака на логаритъм или в основата му.

Или можем също така да кажем, че логаритмично неравенство е неравенство, в което неговата неизвестна стойност, както в логаритмично уравнение, ще се появи под знака на логаритъма.

Най-простите логаритмични неравенства имат следния вид:

където f(x) и g(x) са някои изрази, които зависят от x.

Нека да разгледаме това, използвайки този пример: f(x)=1+2x+x2, g(x)=3x−1.

Решаване на логаритмични неравенства

Преди да решите логаритмични неравенства, заслужава да се отбележи, че когато се решават, те са подобни на експоненциалните неравенства, а именно:

Първо, когато преминаваме от логаритми към изрази под знака на логаритъм, ние също трябва да сравним основата на логаритъма с единица;

Второ, когато решаваме логаритмично неравенство с помощта на промяна на променливи, трябва да решаваме неравенства по отношение на промяната, докато получим най-простото неравенство.

Но вие и аз сме разглеждали подобни аспекти на решаването на логаритмични неравенства. Сега нека обърнем внимание на една доста съществена разлика. Вие и аз знаем, че логаритмичната функция има ограничена област на дефиниция, следователно, когато преминаваме от логаритми към изрази под знака на логаритъм, трябва да вземем предвид обхвата на допустимите стойности (ADV).

Тоест трябва да се има предвид, че при решаването на логаритмично уравнение вие ​​и аз можем първо да намерим корените на уравнението и след това да проверим това решение. Но решаването на логаритмично неравенство няма да работи по този начин, тъй като преминавайки от логаритми към изрази под знака на логаритъм, ще е необходимо да запишете ODZ на неравенството.

Освен това си струва да запомните, че теорията на неравенствата се състои от реални числа, които са положителни и отрицателни числа, както и числото 0.

Например, когато числото „a“ е положително, тогава трябва да използвате следната нотация: a >0. В този случай както сумата, така и произведението на тези числа също ще бъдат положителни.

Основният принцип за решаване на неравенство е да го замените с по-просто неравенство, но основното е то да е еквивалентно на даденото. Освен това получихме и неравенство и отново го заменихме с такова, което има по-проста форма и т.н.

Когато решавате неравенства с променлива, трябва да намерите всичките му решения. Ако две неравенства имат една и съща променлива x, тогава тези неравенства са еквивалентни, при условие че техните решения съвпадат.

Когато изпълнявате задачи за решаване на логаритмични неравенства, трябва да запомните, че когато a > 1, тогава логаритмичната функция нараства, а когато 0< a < 1, то такая функция имеет свойство убывать. Эти свойства вам будут необходимы при решении логарифмических неравенств, поэтому вы их должны хорошо знать и помнить.

Методи за решаване на логаритмични неравенства

Сега нека да разгледаме някои от методите, които се използват при решаване на логаритмични неравенства. За по-добро разбиране и усвояване ще се опитаме да ги разберем с помощта на конкретни примери.

Всички знаем, че най-простото логаритмично неравенство има следния вид:

В това неравенство V – е един от следните знаци за неравенство:<,>, ≤ или ≥.

Когато основата на даден логаритъм е по-голяма от единица (a>1), което прави прехода от логаритми към изрази под знака на логаритъм, тогава в тази версия знакът за неравенство се запазва и неравенството ще има следния вид:

което е еквивалентно на тази система:

В случай, че основата на логаритъма е по-голяма от нула и по-малка от единица (0

Това е еквивалентно на тази система:

Нека разгледаме още примери за решаване на най-простите логаритмични неравенства, показани на снимката по-долу:

Решаване на примери

Упражнение.Нека се опитаме да разрешим това неравенство:

Решаване на диапазона от допустими стойности.

Сега нека се опитаме да умножим дясната му страна по:

Да видим какво можем да измислим:

Сега нека преминем към преобразуването на сублогаритмични изрази. Поради факта, че основата на логаритъма е 0< 1/4 <1, то от сюда следует, что знак неравенства изменится на противоположный:

3x - 8 > 16;
3x > 24;
х > 8.

А от това следва, че интервалът, който получихме изцяло принадлежи на ОДЗ и е решение на такова неравенство.

Ето отговора, който получихме:

Какво е необходимо за решаване на логаритмични неравенства?

Сега нека се опитаме да анализираме какво ни е необходимо за успешно решаване на логаритмични неравенства?

Първо, концентрирайте цялото си внимание и се опитайте да не правите грешки, когато извършвате трансформациите, които са дадени в това неравенство. Също така трябва да се помни, че при решаването на такива неравенства е необходимо да се избягват разширения и свивания на неравенствата, което може да доведе до загуба или придобиване на странични решения.

Второ, когато решавате логаритмични неравенства, трябва да се научите да мислите логически и да разбирате разликата между понятия като система от неравенства и набор от неравенства, за да можете лесно да избирате решения на неравенството, като се ръководите от неговия DL.

Трето, за успешно решаване на такива неравенства, всеки от вас трябва перфектно да знае всички свойства на елементарните функции и ясно да разбира тяхното значение. Такива функции включват не само логаритмични, но и рационални, степенни, тригонометрични и т.н., с една дума всички онези, които сте учили по време на училищната алгебра.

Както можете да видите, след като сте изучавали темата за логаритмичните неравенства, няма нищо трудно в решаването на тези неравенства, при условие че сте внимателни и упорити в постигането на целите си. За да избегнете проблеми при решаването на неравенства, трябва да практикувате колкото е възможно повече, решавайки различни задачи и в същото време да запомните основните методи за решаване на такива неравенства и техните системи. Ако не успеете да решите логаритмични неравенства, трябва внимателно да анализирате грешките си, за да не се връщате към тях в бъдеще.

Домашна работа

За да разберете по-добре темата и да консолидирате обхванатия материал, решете следните неравенства:

Често при решаване на логаритмични неравенства има проблеми с променлива основа на логаритъм. По този начин, неравенство на формата

е стандартно училищно неравенство. По правило за решаването му се използва преход към еквивалентен набор от системи:

Недостатъкът на този метод е необходимостта от решаване на седем неравенства, без да се броят две системи и една популация. Вече с тези квадратични функции решаването на генералната съвкупност може да отнеме много време.

Възможно е да се предложи алтернативен, по-малко отнемащ време начин за решаване на това стандартно неравенство. За да направим това, вземаме предвид следната теорема.

Теорема 1. Нека има непрекъснато нарастваща функция върху множество X. Тогава върху това множество знакът на нарастването на функцията ще съвпада със знака на нарастването на аргумента, т.е. , Където .

Забележка: ако непрекъснато намаляваща функция върху множество X, тогава .

Да се ​​върнем на неравенството. Нека да преминем към десетичния логаритъм (можете да преминете към всеки с постоянна основа, по-голяма от едно).

Сега можете да използвате теоремата, като забележите нарастването на функциите в числителя и в знаменателя. Така че е вярно

В резултат на това броят на изчисленията, водещи до отговора, е намален приблизително наполовина, което спестява не само време, но също така ви позволява потенциално да правите по-малко аритметични и небрежни грешки.

Пример 1.

Сравнявайки с (1), намираме , , .

Преминавайки към (2), ще имаме:

Пример 2.

Сравнявайки с (1) намираме , , .

Преминавайки към (2), ще имаме:

Пример 3.

Тъй като лявата страна на неравенството е нарастваща функция като и , тогава отговорът ще бъде много.

Многото примери, в които може да се приложи Тема 1, могат лесно да бъдат разширени, като се вземе предвид Тема 2.

Нека на снимачната площадка хфункциите , , , са определени, като на това множество знаците и съвпадат, т.е. , тогава ще е справедливо.

Пример 4.

Пример 5.

При стандартния подход примерът се решава по следната схема: произведението е по-малко от нула, когато факторите са с различни знаци. Тези. разглежда се набор от две системи от неравенства, в които, както беше посочено в началото, всяко неравенство се разпада на още седем.

Ако вземем предвид теорема 2, тогава всеки от факторите, като се вземе предвид (2), може да бъде заменен с друга функция, която има същия знак в този пример O.D.Z.

Методът за замяна на увеличението на функция с увеличение на аргумента, като се вземе предвид теорема 2, се оказва много удобен при решаване на типични задачи за единен държавен изпит C3.

Пример 6.

Пример 7.

. Нека обозначим . Получаваме

. Имайте предвид, че замяната предполага: . Връщайки се към уравнението, получаваме .

Пример 8.

В теоремите, които използваме, няма ограничения за класове функции. В тази статия, като пример, теоремите бяха приложени за решаване на логаритмични неравенства. Следващите няколко примера ще демонстрират обещанието на метода за решаване на други видове неравенства.

Сред цялото разнообразие от логаритмични неравенства отделно се изучават неравенствата с променлива основа. Те се решават с помощта на специална формула, която по някаква причина рядко се преподава в училище:

log k (x) f (x) ∨ log k (x) g (x) ⇒ (f (x) − g (x)) (k (x) − 1) ∨ 0

Вместо квадратчето за отметка „∨“ можете да поставите произволен знак за неравенство: повече или по-малко. Основното е, че и в двете неравенства знаците са еднакви.

По този начин се отърваваме от логаритмите и свеждаме проблема до рационално неравенство. Последното е много по-лесно за решаване, но при изхвърляне на логаритми може да се появят допълнителни корени. За да ги отрежете, достатъчно е да намерите диапазона от приемливи стойности. Ако сте забравили ODZ на логаритъм, силно препоръчвам да го повторите - вижте „Какво е логаритъм“.

Всичко, свързано с обхвата на допустимите стойности, трябва да бъде написано и решено отделно:

f(x) > 0; g(x) > 0; k(x) > 0; k(x) ≠ 1.

Тези четири неравенства представляват система и трябва да бъдат изпълнени едновременно. Когато диапазонът от приемливи стойности е намерен, остава само да го пресечете с решението на рационалното неравенство - и отговорът е готов.

Задача. Решете неравенството:

Първо, нека напишем ODZ на логаритъма:

Първите две неравенства се изпълняват автоматично, но последното ще трябва да се изпише. Тъй като квадратът на число е нула тогава и само ако самото число е нула, имаме:

x 2 + 1 ≠ 1;
x2 ≠ 0;
x ≠ 0.

Оказва се, че ODZ на логаритъма са всички числа с изключение на нула: x ∈ (−∞ 0)∪(0; +∞). Сега решаваме основното неравенство:

Правим преход от логаритмично неравенство към рационално. Първоначалното неравенство има знак „по-малко от“, което означава, че полученото неравенство също трябва да има знак „по-малко от“. Ние имаме:

(10 − (x 2 + 1)) · (x 2 + 1 − 1)< 0;
(9 − x 2) x 2< 0;
(3 − x) · (3 + x) · x 2< 0.

Нулите на този израз са: x = 3; x = −3; x = 0. Освен това x = 0 е корен от втора кратност, което означава, че при преминаване през него знакът на функцията не се променя. Ние имаме:

Получаваме x ∈ (−∞ −3)∪(3; +∞). Това множество се съдържа изцяло в ODZ на логаритъма, което означава, че това е отговорът.

Преобразуване на логаритмични неравенства

Често първоначалното неравенство е различно от горното. Това може лесно да се коригира с помощта на стандартните правила за работа с логаритми - вижте „Основни свойства на логаритмите“. а именно:

1. Всяко число може да бъде представено като логаритъм с дадена основа;
2. Сумата и разликата на логаритми с еднакви основи могат да бъдат заменени с един логаритъм.

Отделно бих искал да ви напомня за диапазона от допустими стойности. Тъй като в първоначалното неравенство може да има няколко логаритма, трябва да се намери VA на всеки от тях. По този начин общата схема за решаване на логаритмични неравенства е следната:

1. Намерете VA на всеки логаритъм, включен в неравенството;
2. Редуцирайте неравенството до стандартно, като използвате формулите за събиране и изваждане на логаритми;
3. Решете полученото неравенство, като използвате схемата, дадена по-горе.

Задача. Решете неравенството:

Нека намерим дефиниционната област (DO) на първия логаритъм:

Решаваме с помощта на интервалния метод. Намиране на нулите на числителя:

3x − 2 = 0;
х = 2/3.

След това - нулите на знаменателя:

x − 1 = 0;
х = 1.

Маркираме нули и знаци върху координатната стрелка:

Получаваме x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞). Вторият логаритъм ще има същия VA. Ако не вярвате, можете да проверите. Сега трансформираме втория логаритъм, така че основата да е две:

Както можете да видите, тройките в основата и пред логаритъма са намалени. Имаме два логаритма с една и съща основа. Нека ги съберем:

log 2 (x − 1) 2< 2;
log 2 (x − 1) 2< log 2 2 2 .

Получихме стандартното логаритмично неравенство. Отърваваме се от логаритмите с помощта на формулата. Тъй като първоначалното неравенство съдържа знак „по-малко от“, полученият рационален израз също трябва да бъде по-малък от нула. Ние имаме:

(f (x) − g (x)) (k (x) − 1)< 0;
((x − 1) 2 − 2 2)(2 − 1)< 0;
x 2 − 2x + 1 − 4< 0;
x 2 − 2x − 3< 0;
(x − 3)(x + 1)< 0;
x ∈ (−1; 3).

Имаме два комплекта:

1. ODZ: x ∈ (−∞ 2/3)∪(1; +∞);
2. Отговорът на кандидата: x ∈ (−1; 3).

Остава да пресечем тези множества - получаваме истинския отговор:

Интересуваме се от пресечната точка на множества, така че избираме интервали, които са защриховани и на двете стрелки. Получаваме x ∈ (−1; 2/3)∪(1; 3) - всички точки са пробити.

Едно неравенство се нарича логаритмично, ако съдържа логаритмична функция.

Методите за решаване на логаритмични неравенства не се различават от, с изключение на две неща.

Първо, когато се преминава от логаритмично неравенство към неравенство на сублогаритмични функции, трябва следват знака на полученото неравенство. Подчинява се на следното правило.

Ако основата на логаритмичната функция е по-голяма от $1$, тогава при преминаване от логаритмично неравенство към неравенство на сублогаритмични функции знакът на неравенството се запазва, но ако е по-малък от $1$, тогава той се променя на противоположния .

Второ, решението на всяко неравенство е интервал и следователно в края на решаването на неравенството на сублогаритмичните функции е необходимо да се създаде система от две неравенства: първото неравенство на тази система ще бъде неравенството на сублогаритмичните функции, а вторият ще бъде интервалът от областта на дефиниране на логаритмичните функции, включени в логаритмичното неравенство.

Практикувайте.

Да решим неравенствата:

1. $\log_(2)((x+3)) \geq 3.$

$D(y): \x+3>0.$

$x \in (-3;+\infty)$

Основата на логаритъма е $2>1$, така че знакът не се променя. Използвайки определението за логаритъм, получаваме:

$x+3 \geq 2^(3),$

$x \in )