Изчислете обема на фигура, образувана от въртене на ограничена площ. Изчисляване на обемите на телата на въртене с помощта на определен интеграл

Как да изчислим обема на ротационно тяло
използвайки определен интеграл?

Като цяло има много интересни приложения в интегралното смятане; с помощта на определен интеграл можете да изчислите площта на фигура, обема на ротационното тяло, дължината на дъгата, повърхността на въртене и много други. Така че ще бъде забавно, моля, бъдете оптимисти!

Представете си някаква плоска фигура в координатната равнина. Въведени? ... Интересно кой какво е представил... =))) Вече намерихме района му. Но освен това тази фигура може да се върти и то по два начина:

- около абсцисната ос;
- около ординатната ос.

Тази статия ще разгледа и двата случая. Вторият метод на въртене е особено интересен, той причинява най-много трудности, но всъщност решението е почти същото като при по-често срещаното въртене около оста x. Като бонус ще се върна към проблем за намиране на площта на фигура, и ще ви кажа как да намерите района по втория начин - по оста. Това не е толкова бонус, колкото материалът се вписва добре в темата.

Нека започнем с най-популярния тип ротация.

плоска фигура около ос

Изчислете обема на тяло, получено при завъртане на фигура, ограничена с прави около ос.

Решение: Както в задачата за намиране на областта, решението започва с чертеж на плоска фигура. Това означава, че в равнината е необходимо да се изгради фигура, ограничена от линиите, и не забравяйте, че уравнението определя оста. Как да завършите чертеж по-ефективно и бързо можете да намерите на страниците Графики и свойства на елементарни функцииИ . Това е китайско напомняне и на този етап няма да се спирам повече.

Чертежът тук е доста прост:

В синьо е оцветена желаната плоска фигура, която се върти около оста.В резултат на въртенето се получава леко яйцевидна летяща чиния, която е симетрична спрямо оста. Всъщност тялото има математическо име, но ме мързи да изясня нещо в справочника, така че продължаваме нататък.

Как да изчислим обема на въртеливото тяло?

Обемът на въртеливото тяло може да се изчисли по формулата:

Във формулата числото трябва да присъства преди интеграла. Така се случи - всичко, което се върти в живота, е свързано с тази константа.

Мисля, че е лесно да се досетите как да зададете границите на интеграция „a“ и „be“ от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Равнинната фигура е ограничена от графиката на параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - интегрантът във формулата е на квадрат: , следователно интегралът винаги е неотрицателен, което е много логично.

Нека изчислим обема на ротационно тяло, използвайки тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

В отговора си трябва да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 „кубчета“. Защо кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко зелени човечета вашето въображение може да постави в летяща чиния.

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигура, ограничена от линии , ,

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и

Решение: Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линиите , , , , без да забравяме, че уравнението определя оста:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се завърти около оста си, се оказва сюрреалистична поничка с четири ъгъла.

Нека изчислим обема на тялото на въртене като разлика в обемите на телата.

Първо, нека погледнем фигурата, оградена в червено. При въртенето му около ос се получава пресечен конус. Нека означим обема на този пресечен конус с .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста, ще получите и пресечен конус, само малко по-малък. Нека обозначим неговия обем с .

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула, за да намерим обема на ротационно тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обем на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се пише по-кратко, нещо подобно:

Сега нека да си починем малко и да ви разкажем за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с обеми, което беше забелязано от Перелман (друг) в книгата Занимателна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек изпива еквивалента на стая от 18 квадратни метра течност през целия си живот, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Да се ​​изчисли обемът на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите , , където .

Това е пример, който можете да решите сами. Моля, имайте предвид, че всички случаи се срещат в лентата, с други думи, действително са дадени готови граници на интеграция. Начертайте правилно графиките на тригонометричните функции, позволете ми да ви припомня материала за урока геометрични трансформации на графики: ако аргументът е разделен на две: , тогава графиките се разтягат два пъти по оста. Препоръчително е да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблициза по-точно завършване на чертежа. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде още по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на въртящо се тяло около ординатната ос също е доста често срещан гост в тестовата работа. По пътя ще бъде разгледано проблем за намиране на площта на фигуравторият метод е интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и ще ви научи да намерите най-печелившия път на решение. В това има и практически житейски смисъл! Както моята учителка по методика на преподаване на математика си спомня с усмивка, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и оптимално управляваме персонала.“ Използвайки случая, аз също изказвам своята голяма благодарност към нея, особено след като използвам придобитите знания по предназначение =).

Препоръчвам го на всички, дори и на пълни манекени. Освен това материалът, научен във втория параграф, ще предостави безценна помощ при изчисляването на двойни интеграли.

Дадена е плоска фигура, ограничена от линиите , , .

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии.
2) Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

внимание!Дори ако искате да прочетете само втората точка, не забравяйте първо да прочетете първата!

Решение: Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Да направим рисунка:

Лесно се вижда, че функцията определя горния клон на параболата, а функцията определя долния клон на параболата. Пред нас е тривиална парабола, която „лежи на една страна“.

Желаната фигура, чиято площ трябва да се намери, е оцветена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по „обичайния“ начин, който беше обсъден в клас Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Освен това площта на фигурата се намира като сбор от площите:
- на сегмента ;
- на сегмента.

Ето защо:

Защо обикновеното решение е лошо в този случай? Първо, имаме два интеграла. Второ, има корени под интегралите, а корените в интегралите не са подарък и освен това можете да се объркате при заместването на границите на интегрирането. Всъщност интегралите, разбира се, не са убийствени, но на практика всичко може да бъде много по-тъжно, просто избрах „по-добри“ функции за проблема.

Има по-рационално решение: то се състои в преминаване към обратни функции и интегриране по оста.

Как да стигнем до обратни функции? Грубо казано, трябва да изразите "x" чрез "y". Първо, нека да разгледаме параболата:

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

По-лесно е с права линия:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червена пунктирана линия. В този случай на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери с помощта на формулата, която вече ви е позната: . Какво се промени във формулата? Само едно писмо и нищо повече.

! Забележка: Трябва да се зададат границите на интегриране по оста строго отдолу нагоре!

Намиране на областта:

Следователно в сегмента:

Моля, обърнете внимание как съм извършил интеграцията, това е най-рационалният начин, а в следващия параграф на задачата ще стане ясно защо.

За читателите, които се съмняват в правилността на интеграцията, ще намеря производни:

Получава се оригиналната интегрална функция, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Нека изчислим обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

И така, фигурата, оцветена в синьо, се върти около оста. Резултатът е „витаеща пеперуда“, която се върти около оста си.

За да намерим обема на ротационно тяло, ще интегрираме по оста. Първо трябва да преминем към обратни функции. Това вече беше направено и описано подробно в предишния параграф.

Сега отново накланяме главата си надясно и изучаваме фигурата си. Очевидно обемът на ротационно тяло трябва да се намери като разлика в обемите.

Завъртаме фигурата, оградена в червено около оста, което води до пресечен конус. Нека обозначим този обем с .

Въртим фигурата, оградена в зелено, около оста и я обозначаваме с обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на въртящо се тяло:

Каква е разликата от формулата в предишния параграф? Само в писмото.

Но предимството на интеграцията, за което наскоро говорих, е много по-лесно за намиране , вместо първо да повдигнем интегранта на 4-та степен.

Отговор:

Моля, имайте предвид, че ако една и съща плоска фигура се завърти около оста, вие ще получите съвсем различно тяло на въртене, с различен обем, естествено.

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии и ос.

1) Отидете на обратни функции и намерете площта на равнинна фигура, ограничена от тези линии, чрез интегриране върху променливата.
2) Изчислете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

Това е пример, който можете да решите сами. Заинтересованите могат също да намерят площта на фигура по „обичайния“ начин, като по този начин проверяват точка 1). Но ако, повтарям, завъртите плоска фигура около оста, ще получите съвсем различно тяло на въртене с различен обем, между другото, правилният отговор (също и за тези, които обичат да решават проблеми).

Пълното решение на двете предложени точки от задачата е в края на урока.

Да, и не забравяйте да наклоните главата си надясно, за да разберете телата на въртене и границите на интеграция!

Тъкмо щях да завърша статията, но днес дадоха интересен пример само за намиране на обема на въртеливо тяло около ординатната ос. прясно:

Изчислете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигура, ограничена от криви и .

Решение: Да направим рисунка:

По пътя се запознаваме с графиките на някои други функции. Ето една интересна графика на четна функция...

Обемът на тялото на въртене може да се изчисли по формулата:

Във формулата числото трябва да присъства преди интеграла. Така се случи - всичко, което се върти в живота, е свързано с тази константа.

Мисля, че е лесно да се досетите как да зададете границите на интеграция „a“ и „be“ от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Равнинната фигура е ограничена от графиката на параболата отгоре. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - функцията във формулата е на квадрат: , следователно обемът на тялото на въртене винаги е неотрицателен, което е много логично.

Нека изчислим обема на ротационно тяло, използвайки тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

В отговора си трябва да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 „кубчета“. Защо кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко зелени човечета вашето въображение може да постави в летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигура, ограничена от линии , ,

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите , , и

Решение:Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линиите , , , , без да забравяме, че уравнението определя оста:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се завърти около оста си, се оказва сюрреалистична поничка с четири ъгъла.

Нека изчислим обема на тялото на въртене като разлика в обемите на телата.

Първо, нека погледнем фигурата, оградена в червено. При въртенето му около ос се получава пресечен конус. Нека означим обема на този пресечен конус с .

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста, ще получите и пресечен конус, само малко по-малък. Нека обозначим неговия обем с .

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула, за да намерим обема на ротационно тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обем на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се пише по-кратко, нещо подобно:

Сега нека да си починем малко и да ви разкажем за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с томове, които са забелязани от Перелман (не този) в книгата Занимателна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек изпива еквивалента на стая от 18 квадратни метра течност през целия си живот, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

Като цяло образователната система в СССР беше наистина най-добрата. Същата книга на Перелман, написана от него през 1950 г., много добре развива, както каза хумористът, мисленето и учи човек да търси оригинални, нестандартни решения на проблемите. Наскоро препрочетох някои от главите с голям интерес, препоръчвам го, достъпно е дори за хуманисти. Не, няма нужда да се усмихвате, че предложих свободно време, ерудицията и широките хоризонти в общуването са страхотно нещо.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Пример 4

Да се ​​изчисли обемът на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена от линиите , , където .

Това е пример, който можете да решите сами. Моля, обърнете внимание, че всичко се случва в лентата, с други думи, дадени са практически готови граници на интеграция. Също така се опитайте да начертаете правилно графики на тригонометрични функции; ако аргументът е разделен на две: тогава графиките се разтягат два пъти по оста. Опитайте се да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблиции по-точно завършете чертежа. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Изчисляване на обема на тяло, образувано от въртене
плоска фигура около ос

Вторият параграф ще бъде още по-интересен от първия. Задачата за изчисляване на обема на въртящо се тяло около ординатната ос също е доста често срещан гост в тестовата работа. По пътя ще бъде разгледано проблем за намиране на площта на фигуравторият метод е интеграция по оста, това ще ви позволи не само да подобрите уменията си, но и ще ви научи да намерите най-печелившия път на решение. В това има и практически житейски смисъл! Както моята учителка по методика на преподаване на математика си спомня с усмивка, много възпитаници й благодариха с думите: „Вашият предмет ни помогна много, сега сме ефективни мениджъри и оптимално управляваме персонала.“ Използвайки случая, аз също изказвам своята голяма благодарност към нея, особено след като използвам придобитите знания по предназначение =).

Пример 5

Дадена е плоска фигура, ограничена от линиите , , .

1) Намерете площта на плоска фигура, ограничена от тези линии.
2) Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

внимание!Дори ако искате да прочетете само втората точка, първо Задължителнопрочети първата!

Решение:Задачата се състои от две части. Да започнем с квадрата.

1) Да направим рисунка:

Лесно се вижда, че функцията определя горния клон на параболата, а функцията определя долния клон на параболата. Пред нас е тривиална парабола, която „лежи на една страна“.

Желаната фигура, чиято площ трябва да се намери, е оцветена в синьо.

Как да намерите площта на фигура? Може да се намери по „обичайния“ начин, който беше обсъден в клас Определен интеграл. Как да изчислим площта на фигура. Освен това площта на фигурата се намира като сбор от площите:
- на сегмента ;
- на сегмента.

Ето защо:

Защо обикновеното решение е лошо в този случай? Първо, имаме два интеграла. Второ, интегралите са корени, а корените в интегралите не са подарък и освен това можете да се объркате при заместването на границите на интегриране. Всъщност интегралите, разбира се, не са убийствени, но на практика всичко може да бъде много по-тъжно, просто избрах „по-добри“ функции за проблема.

Има по-рационално решение: то се състои в преминаване към обратни функции и интегриране по оста.

Как да стигнем до обратни функции? Грубо казано, трябва да изразите "x" чрез "y". Първо, нека да разгледаме параболата:

Това е достатъчно, но нека се уверим, че същата функция може да бъде извлечена от долния клон:

По-лесно е с права линия:

Сега погледнете оста: моля, периодично накланяйте главата си надясно на 90 градуса, докато обяснявате (това не е шега!). Фигурата, от която се нуждаем, лежи върху сегмента, който е обозначен с червена пунктирана линия. В този случай на сегмента правата линия е разположена над параболата, което означава, че площта на фигурата трябва да се намери с помощта на формулата, която вече ви е позната: . Какво се промени във формулата? Само едно писмо и нищо повече.

! Забележка: Границите на интегриране по оста трябва да бъдат зададени строго отдолу нагоре!

Намиране на областта:

Следователно в сегмента:

Моля, обърнете внимание как съм извършил интеграцията, това е най-рационалният начин, а в следващия параграф на задачата ще стане ясно защо.

За читателите, които се съмняват в правилността на интеграцията, ще намеря производни:

Получава се оригиналната интегрална функция, което означава, че интегрирането е извършено правилно.

Отговор:

2) Нека изчислим обема на тялото, образувано от въртенето на тази фигура около оста.

Ще преначертая чертежа в малко по-различен дизайн:

И така, фигурата, оцветена в синьо, се върти около оста. Резултатът е „витаеща пеперуда“, която се върти около оста си.

За да намерим обема на ротационно тяло, ще интегрираме по оста. Първо трябва да преминем към обратни функции. Това вече беше направено и описано подробно в предишния параграф.

Сега отново накланяме главата си надясно и изучаваме фигурата си. Очевидно обемът на ротационно тяло трябва да се намери като разлика в обемите.

Завъртаме фигурата, оградена в червено около оста, което води до пресечен конус. Нека обозначим този обем с .

Въртим фигурата, оградена в зелено, около оста и я обозначаваме с обема на полученото тяло на въртене.

Обемът на нашата пеперуда е равен на разликата в обемите.

Използваме формулата, за да намерим обема на въртящо се тяло:

Каква е разликата от формулата в предишния параграф? Само в писмото.

Но предимството на интеграцията, за което наскоро говорих, е много по-лесно за намиране , вместо първо да повдигнем интегранта на 4-та степен.

Отговор:

Но не и болнава пеперуда.

Моля, имайте предвид, че ако една и съща плоска фигура се завърти около оста, вие ще получите съвсем различно тяло на въртене, с различен обем, естествено.

Пример 6

Дадена е плоска фигура, ограничена от линии и ос.

1) Отидете на обратни функции и намерете площта на равнинна фигура, ограничена от тези линии, чрез интегриране върху променливата.
2) Изчислете обема на тялото, получено чрез завъртане на плоска фигура, ограничена от тези линии, около оста.

Обемът на въртеливото тяло може да се изчисли по формулата:

Във формулата числото трябва да присъства преди интеграла. Така се случи - всичко, което се върти в живота, е свързано с тази константа.

Мисля, че е лесно да се досетите как да зададете границите на интеграция „a“ и „be“ от завършения чертеж.

Функция... каква е тази функция? Да погледнем чертежа. Плоската фигура е ограничена от графиката на парабола в горната част. Това е функцията, която се подразбира във формулата.

В практически задачи понякога плоска фигура може да бъде разположена под оста. Това не променя нищо - интегрантът във формулата е на квадрат: така интегралът винаги е неотрицателен , което е много логично.

Нека изчислим обема на ротационно тяло, използвайки тази формула:

Както вече отбелязах, интегралът почти винаги се оказва прост, основното е да внимавате.

Отговор:

В отговора си трябва да посочите размерността - кубични единици. Тоест в нашето тяло на въртене има приблизително 3,35 „кубчета“. Защо кубичен единици? Тъй като най-универсалната формулировка. Може да има кубични сантиметри, може да има кубични метри, може да има кубични километри и т.н., ето колко зелени човечета вашето въображение може да постави в летяща чиния.

Пример 2

Намерете обема на тяло, образувано от въртене около оста на фигура, ограничена от линии,

Това е пример, който можете да решите сами. Пълно решение и отговор в края на урока.

Нека разгледаме два по-сложни проблема, които също често се срещат в практиката.

Пример 3

Изчислете обема на тялото, получено при завъртане около абсцисната ос на фигурата, ограничена от линиите ,, и

Решение: Нека изобразим на чертежа плоска фигура, ограничена от линиите ,,,, без да забравяме, че уравнението определя оста:

Желаната фигура е оцветена в синьо. Когато се завърти около оста си, се оказва сюрреалистична поничка с четири ъгъла.

Нека изчислим обема на тялото на въртене като разлика в обемите на телата.

Първо, нека погледнем фигурата, оградена в червено. При въртенето му около ос се получава пресечен конус. Нека обозначим обема на този пресечен конус с.

Помислете за фигурата, която е оградена в зелено. Ако завъртите тази фигура около оста, ще получите и пресечен конус, само малко по-малък. Нека обозначим обема му с.

И очевидно разликата в обемите е точно обемът на нашата „поничка“.

Използваме стандартната формула, за да намерим обема на въртящо се тяло:

1) Фигурата, оградена в червено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

2) Фигурата, оградена в зелено, е ограничена отгоре с права линия, следователно:

3) Обем на желаното тяло на въртене:

Отговор:

Любопитно е, че в този случай решението може да се провери с помощта на училищната формула за изчисляване на обема на пресечен конус.

Самото решение често се пише по-кратко, нещо подобно:

Сега нека да си починем малко и да ви разкажем за геометричните илюзии.

Хората често имат илюзии, свързани с обеми, което беше забелязано от Перелман (друг) в книгата Занимателна геометрия. Погледнете плоската фигура в решената задача - тя изглежда малка по площ, а обемът на тялото на въртене е малко над 50 кубични единици, което изглежда твърде голямо. Между другото, средностатистическият човек изпива еквивалента на стая от 18 квадратни метра течност през целия си живот, което, напротив, изглежда твърде малък обем.

Като цяло образователната система в СССР беше наистина най-добрата. Същата книга на Перелман, публикувана през 1950 г., много добре развива, както каза хумористът, мисленето и ви учи да търсите оригинални, нестандартни решения на проблемите. Наскоро препрочетох някои от главите с голям интерес, препоръчвам го, достъпно е дори за хуманисти. Не, няма нужда да се усмихвате, че предложих свободно време, ерудицията и широките хоризонти в общуването са страхотно нещо.

След лирично отклонение е подходящо да решите творческа задача:

Пример 4

Изчислете обема на тяло, образувано от въртене около оста на плоска фигура, ограничена с линии,, където.

Това е пример, който можете да решите сами. Моля, имайте предвид, че всички случаи се срещат в лентата, с други думи, действително са дадени готови граници на интеграция. Начертайте правилно графиките на тригонометричните функции, позволете ми да ви припомня материала за урока геометрични трансформации на графики : ако аргументът е разделен на две: , тогава графиките се разтягат по оста два пъти. Препоръчително е да намерите поне 3-4 точки според тригонометричните таблици за по-точно завършване на чертежа. Пълно решение и отговор в края на урока. Между другото, задачата може да бъде решена рационално и не много рационално.

Тема: „Изчисляване на обемите на телата на въртене с помощта на определен интеграл“

Тип урок:комбинирани.

Целта на урока:научете се да изчислявате обемите на телата на въртене с помощта на интеграли.

Задачи:

консолидират способността за идентифициране на криволинейни трапеци от редица геометрични фигури и развиват умението за изчисляване на площите на криволинейни трапеци;

запознават се с понятието триизмерна фигура;

научете се да изчислявате обемите на телата на въртене;

насърчаване на развитието на логическо мислене, компетентна математическа реч, точност при конструиране на чертежи;

да култивира интерес към предмета, да работи с математически понятия и образи, да култивира воля, независимост и постоянство за постигане на крайния резултат.

По време на часовете

I. Организационен момент.

Поздрави от групата. Комуникирайте целите на урока на учениците.

Бих искал да започна днешния урок с една притча. „Имало едно време един мъдър човек, който знаел всичко. Един човек искаше да докаже, че мъдрецът не знае всичко. Държейки пеперуда в дланите си, той попита: „Кажи ми, мъдрец, коя пеперуда е в ръцете ми: мъртва или жива?“ И си мисли: "Ако каже живата, ще я убия, ако каже мъртвата, ще я пусна." Мъдрецът, след като помисли, отговори: "Всичко е във вашите ръце."

Затова нека днес да работим ползотворно, да придобием нов запас от знания и ще приложим придобитите умения и способности в бъдещия живот и в практическите дейности. „Всичко е във вашите ръце.“

II. Повторение на предварително изучен материал.

Нека си припомним основните моменти от изучения по-рано материал. За да направите това, нека изпълним задачата „Премахване на допълнителната дума“.

(Учениците казват допълнителна дума.)

вярно "Диференциал".Опитайте се да назовете останалите думи с една обща дума. (Интегрално смятане.)

Нека си припомним основните етапи и концепции, свързани с интегралното смятане.

Упражнение.Възстановете празнините. (Ученикът излиза и пише с маркер необходимите думи.)

Работа в тетрадки.

Формулата на Нютон-Лайбниц е изведена от английския физик Исак Нютон (1643-1727) и немския философ Готфрид Лайбниц (1646-1716). И това не е изненадващо, защото математиката е езикът, на който говори самата природа.

Нека разгледаме как тази формула се използва за решаване на практически проблеми.

Пример 1: Изчислете площта на фигура, ограничена от линии

Решение:Нека построим графики на функции в координатната равнина . Нека изберем областта на фигурата, която трябва да бъде намерена.

III. Учене на нов материал.

Обърнете внимание на екрана. Какво е показано на първата снимка? (Фигурата показва плоска фигура.)

Какво е показано на втората снимка? Тази фигура плоска ли е? (Фигурата показва триизмерна фигура.)

В космоса, на земята и в ежедневието срещаме не само плоски фигури, но и триизмерни, но как да изчислим обема на такива тела? Например: обемът на планета, комета, метеорит и др.

Хората мислят за обема както когато строят къщи, така и когато преливат вода от един съд в друг. Трябваше да се появят правила и техники за изчисляване на обемите, друг въпрос доколко те бяха точни и оправдани.

1612 година е много плодородна за жителите на австрийския град Линц, където е живял известният астроном Йоханес Кеплер, особено за гроздето. Хората приготвяха бъчви за вино и искаха да знаят как на практика да определят обемите им.

По този начин разглежданите трудове на Кеплер бележат началото на цял поток от изследвания, който кулминира през последната четвърт на 17 век. дизайн в произведенията на И. Нютон и Г.В. Лайбниц на диференциалното и интегралното смятане. От този момент нататък математиката на променливите заема водещо място в системата на математическите знания.

Днес вие и аз ще се занимаваме с такива практически дейности, следователно,

Темата на нашия урок: „Изчисляване на обемите на телата на въртене с помощта на определен интеграл.“

Ще научите определението за тяло на въртене, като изпълните следната задача.

„Лабиринт“.

Упражнение.Намерете изход от конфузната ситуация и запишете определението.

IVИзчисляване на обеми.

Използвайки определен интеграл, можете да изчислите обема на определено тяло, по-специално на революционно тяло.

Тялото на въртене е тяло, получено чрез въртене на извит трапец около основата му (фиг. 1, 2)

Обемът на въртеливото тяло се изчислява по една от формулите:

1. около оста OX.

2. , ако въртенето на извит трапец около оста на операционния усилвател.

Учениците записват основни формули в тетрадка.

Учителят обяснява решенията на примерите на дъската.

1. Намерете обема на тялото, получено чрез въртене около ординатната ос на криволинейния трапец, ограничен от линии: x2 + y2 = 64, y = -5, y = 5, x = 0.

Решение.

Отговор: 1163 cm3.

2. Намерете обема на тялото, получено чрез завъртане на параболичен трапец около оста x y = , x = 4, y = 0.

Решение.

V. Математически симулатор.

2. Множеството от всички първоизводни на дадена функция се нарича

А) неопределен интеграл,

Б) функция,

Б) диференциация.

7. Намерете обема на тялото, получено чрез въртене около оста на абсцисата на криволинейния трапец, ограничен от линии:

D/Z. Затвърдяване на нов материал

Изчислете обема на тялото, образувано от въртенето на венчелистчето около оста x y = x2, y2 = x.

Нека изградим графики на функцията. y = x2, y2 = x. Нека преобразуваме графиката y2 = x във формата y = .

Имаме V = V1 - V2 Нека изчислим обема на всяка функция:

Заключение:

Определеният интеграл е определена основа за изучаване на математиката, която има незаменим принос за решаването на практически проблеми.

Темата „Интеграл” ясно демонстрира връзката между математиката и физиката, биологията, икономиката и технологиите.

Развитието на съвременната наука е немислимо без използването на интеграла. В тази връзка е необходимо да започне изучаването му в рамките на средното специално образование!

VI. Класиране.(С коментар.)

Великият Омар Хаям - математик, поет, философ. Той ни насърчава да бъдем господари на собствената си съдба. Нека чуем откъс от неговото творчество:

Казвате, този живот е един миг.
Оценявайте го, черпете вдъхновение от него.
Както го похарчиш, така ще мине.
Не забравяйте: тя е вашето творение.

I. Обем на телата на въртене. Предварително изучавайте глава XII, параграфи 197, 198 от учебника на Г. М. Фихтенголц * Анализирайте подробно примерите, дадени в параграф 198.

508. Изчислете обема на тяло, образувано от въртене на елипса около оста Ox.

По този начин,

530. Намерете повърхността, образувана от въртене около оста Ox на дъгата на синусоидата y = sin x от точка X = 0 до точка X = It.

531. Изчислете повърхността на конус с височина h и радиус r.

532. Изчислете площта на образуваната повърхност

въртене на астроида x3 -)- y* - a3 около оста Ox.

533. Изчислете площта на повърхността, образувана от завъртане на бримката на кривата 18 ug - x (6 - x) z около оста Ox.

534. Намерете повърхността на тора, получена от въртенето на окръжността X2 - j - (y-3)2 = 4 около оста Ox.

535. Изчислете повърхността, образувана от въртенето на окръжността X = a cost, y = asint около оста Ox.

536. Изчислете повърхността, образувана от въртенето на бримката на кривата x = 9t2, y = St - 9t3 около оста Ox.

537. Намерете площта на повърхността, образувана от въртене на дъгата на кривата x = e*sint, y = el cost около оста Ox

от t = 0 до t = —.

538. Покажете, че повърхността, получена от въртенето на циклоидната дъга x = a (q> -sin φ), y = a (I - cos φ) около оста Oy е равна на 16 u2 o2.

539. Намерете повърхността, получена при въртене на кардиоида около полярната ос.

540. Намерете повърхността, образувана от въртенето на лемниската Около полярната ос.

Допълнителни задачи към глава IV

Площи на равнинни фигури

541. Намерете цялата площ на областта, ограничена от кривата И оста Ox.

542. Намерете площта на областта, ограничена от кривата

И оста Ox.

543. Намерете частта от площта на региона, разположена в първия квадрант и ограничена от кривата

l координатни оси.

544. Намерете площта на областта, съдържаща се вътре

цикли:

545. Намерете площта на областта, ограничена от един цикъл на кривата:

546. Намерете площта на областта, съдържаща се вътре в цикъла:

547. Намерете площта на областта, ограничена от кривата

И оста Ox.

548. Намерете площта на областта, ограничена от кривата

И оста Ox.

549. Намерете площта на областта, ограничена от оста Oxr

права и крива