Для чего нужны расчеты доверительных интервалов. Доверительный интервал для математического ожидания

Цель – научить студентов алгоритмам вычисления доверительных интервалов статистических параметров.

При статистической обработке данных вычисленные средняя арифметическая, коэффициент вариации, коэффициент корреляции, критерии различия и другие точечные статистики должны получить количественные границы доверия, которые обозначают возможные колебания показателя в меньшую и большую стороны в пределах доверительного интервала.

Пример 3.1 . Распределение кальция в сыворотке крови обезьян, как было установлено ранее, характеризуется следующими выборочными показателями: = 11,94 мг%;= 0,127 мг%;n = 100. Требуется определить доверительный интервал для генеральной средней () при доверительной вероятностиP = 0,95.

Генеральная средняя находится с определенной вероятностью в интервале:

, где – выборочная средняя арифметическая;t – критерий Стьюдента; – ошибка средней арифметической.

По таблице «Значения критерия Стьюдента» находим значение при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы k = 100-1 = 99. Оно равно 1,982. Вместе со значениями среднего арифметического и статистической ошибки подставляем его в формулу:

или 11,69
12,19

Таким образом, с вероятностью 95%, можно утверждать, что генеральная средняя данного нормального распределения находится между 11,69 и 12,19 мг%.

Пример 3.2 . Определите границы 95%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии () распределения кальция в крови обезьян, если известно, что
= 1,60, приn = 100.

Для решения задачи можно воспользоваться следующей формулой:

Где – статистическая ошибка дисперсии.

Находим ошибку выборочной дисперсии по формуле:
. Она равна 0,11. Значениеt - критерия при доверительной вероятности 0,95 и числе степеней свободы k = 100–1 = 99 известно из предыдущего примера.

Воспользуемся формулой и получим:

или 1,38
1,82

Более точно доверительный интервал генеральной дисперсии можно построить с применением (хи-квадрат) - критерия Пирсона. Критические точки для этого критерия приводятся в специальной таблице. При использовании критериядля построения доверительного интервала применяют двусторонний уровень значимости. Для нижней границы уровень значимости рассчитывается по формуле
, для верхней –
. Например, для доверительного уровня= 0,99= 0,010,= 0,990. Соответственно по таблице распределения критических значений, при рассчитанных доверительных уровнях и числе степеней свободыk = 100 – 1= 99, найдем значения
и
. Получаем
равно 135,80, а
равно70,06.

Чтобы найти доверительные границы генеральной дисперсии с помощью воспользуемся формулами: для нижней границы
, для верхней границы
. Подставим данные задачи найденные значенияв формулы:
= 1,17;
= 2,26. Таким образом, при доверительной вероятностиP = 0,99 или 99% генеральная дисперсия будет лежать в интервале от 1,17 до 2,26 мг% включительно.

Пример 3.3 . Среди 1000 семян пшеницы из поступившей на элеватор партии обнаружено 120 семян зараженных спорыньей. Необходимо определить вероятные границы генеральной доли зараженных семян в данной партии пшеницы.

Доверительные границы для генеральной доли при всех возможных ее значениях целесообразно определять по формуле:

,

Где n – число наблюдений; m – абсолютная численность одной из групп; t – нормированное отклонение.

Выборочная доля зараженных семян равна
или 12%. При доверительной вероятностиР = 95% нормированное отклонение (t -критерий Стьюдента при k =
)t = 1,960.

Подставляем имеющиеся данные в формулу:

Отсюда границы доверительного интервала равны= 0,122–0,041 = 0,081, или 8,1%;= 0,122 + 0,041 = 0,163, или 16,3%.

Таким образом, с доверительной вероятностью 95% можно утверждать, что генеральная доля зараженных семян находится между 8,1 и 16,3%.

Пример 3.4 . Коэффициент вариации, характеризующий варьирование кальция (мг%) в сыворотке крови обезьян, оказался равным 10,6%. Объем выборки n = 100. Необходимо определить границы 95%-ного доверительного интервала для генерального параметра Cv .

Границы доверительного интервала для генерального коэффициента вариации Cv определяются по следующим формулам:

и
, гдеK промежуточная величина, вычисляемая по формуле
.

Зная, что при доверительной вероятности Р = 95% нормированное отклонение (критерий Стьюдента при k =
)t = 1,960, предварительно рассчитаем величину К:

.

или 9,3%

или 12,3%

Таким образом, генеральный коэффициент вариации с доверительной вероятностью 95% лежит в интервале от 9,3 до 12,3%. При повторных выборках коэффициент вариации не превысит 12,3% и не окажется ниже 9,3% в 95 случаях из 100.

Вопросы для самоконтроля:

Задачи для самостоятельного решения.

1. Средний процент жира в молоке за лактацию коров холмогорских помесей был следующим: 3,4; 3,6; 3,2; 3,1; 2,9; 3,7; 3,2; 3,6; 4,0; 3,4; 4,1; 3,8; 3,4; 4,0; 3,3; 3,7; 3,5; 3,6; 3,4; 3,8. Установите доверительные интервалы для генеральной средней при доверительной вероятности 95% (20 баллов).

2. На 400 растениях гибридной ржи первые цветки появились в среднем на 70,5 день после посева. Среднее квадратическое отклонение было 6,9 дня. Определите ошибку средней и доверительные интервалы для генеральной средней и дисперсии при уровне значимости W = 0,05 и W = 0,01 (25 баллов).

3. При изучении длины листьев 502 экземпляров садовой земляники были получены следующие данные: = 7,86 см; σ = 1,32 см, =± 0,06 см. Определите доверительные интервалы для средней арифметической генеральной совокупности с уровнями значимости 0,01; 0,02; 0,05. (25 баллов).

4. При обследовании 150 взрослых мужчин средний рост был равен 167 см, а σ = 6 см. В каких пределах находится генеральная средняя и генеральная дисперсия с доверительной вероятностью 0,99 и 0,95? (25 баллов).

5. Распределение кальция в сыворотке крови обезьян характеризуется следующими выборочными показателями: = 11,94 мг%, σ = 1,27, n = 100. Постройте 95%-ный доверительный интервал для генеральной средней этого распределения. Рассчитайте коэффициент вариации (25 баллов).

6. Было изучено общее содержание азота в плазме крови крыс-альбиносов в возрасте 37 и 180 дней. Результаты выражены в граммах на 100 см 3 плазмы. В возрасте 37 дней 9 крыс имели: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. В возрасте 180 дней 8 крыс имели: 1,20; 1,18; 1,33; 1,21; 1,20; 1,07; 1,13; 1,12. Установите доверительные интервалы для разницы с доверительной вероятностью 0,95 (50 баллов).

7. Определите границы 95%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии распределения кальция (мг%) в сыворотке крови обезьян, если для этого распределения объем выборки n = 100, статистическая ошибка выборочной дисперсии s σ 2 = 1,60 (40 баллов).

8. Определите границы 95%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии распределения 40 колосков пшеницы по длине (σ 2 = 40, 87 мм 2). (25 баллов).

9. Курение считают основным фактором, предрасполагающим к обструктивным заболеваниям легких. Пассивное курение таким фактором не считается. Ученые усомнились в безвредности пассивного курения и исследовали проходимость дыхательных путей у некурящих, пассивных и активных курильщиков. Для характеристики состояния дыхательных путей взяли один из показателей функции внешнего дыхания – максимальную объемную скорость середины выдоха. Уменьшение этого показателя – признак нарушения проходимости дыхательных путей. Данные обследования приведены в таблице.

	Число обследованных	Максимальная объемная скорость середины выдоха, л/с
			Стандартное отклонение
Некурящие
работают в помещении, где не курят
работают в накуренном помещении
Курящие
выкуривающие небольшое число сигарет
выкуривающие среднее число сигарет
выкуривающие большое число сигарет

По данным таблицы найдите 95% доверительные интервалы для генеральной средней и генеральной дисперсии для каждой из групп. В чем заключаются различия между группами? Результаты представьте графически (25 баллов).

10. Определите границы 95%-ного и 99%-ного доверительного интервала для генеральной дисперсии численности поросят в 64 опоросах, если статистическая ошибка выборочной дисперсии s σ 2 = 8, 25 (30 баллов).

11. Известно, что средняя масса кроликов составляет 2,1 кг. Определите границы 95%-ного и 99%-ного доверительного интервала для генеральной средней и дисперсии при n = 30, σ = 0,56 кг (25 баллов).

12. У 100 колосьев измеряли озерненность колоса (Х ), длину колоса (Y ) и массу зерна в колосе (Z ). Найти доверительные интервалы для генеральной средней и дисперсии при P 1 = 0,95, P 2 = 0,99, P 3 = 0,999, если = 19, = 6,766 см, = 0,554 г; σ x 2 = 29, 153, σ y 2 = 2, 111, σ z 2 = 0, 064. (25 баллов).

13. В отобранных случайным образом 100 колосьях озимой пшеницы подсчитывалось число колосков. Выборочная совокупность характеризовалась следующими показателями: = 15 колосков и σ = 2,28 шт. Определите, с какой точностью получен средний результат () и постройте доверительный интервал для генеральной средней и дисперсии при 95% и 99% уровнях значимости (30 баллов).

14. Число ребер на раковинах ископаемого моллюска Orthambonites calligramma :

Известно, что n = 19, σ = 4,25. Определите границы доверительного интервала для генеральной средней и генеральной дисперсии при уровне значимости W = 0,01 (25 баллов).

15. Для определения удоев молока на молочно-товарной ферме ежедневно определялась продуктивность 15 коров. По данным за год каждая корова давала в среднем в сутки следующее количество молока (л): 22; 19; 25; 20; 27; 17; 30; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Постройте доверительные интервалы для генеральной дисперсии и средней арифметической. Можно ли ожидать, что среднегодовой удой на каждую корову составит 10000 литров? (50 баллов).

16. С целью определения урожая пшеницы в среднем по агрохозяйству были проведены укосы на пробных участках площадью 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 и 2 га. Урожайность (ц/га) с участков составила 39,4; 38; 35,8; 40; 35; 42,7; 39,3; 41,6; 33; 42; 29 соответственно. Постройте доверительные интервалы для генеральных дисперсии и средней арифметической. Можно ли ожидать, что в среднем по агрохозяйству урожай составит 42 ц/га? (50 баллов).

Доверительный интервал для математического ожидания - это такой вычисленный по данным интервал, который с известной вероятностью содержит математическое ожидание генеральной совокупности. Естественной оценкой для математического ожидания является среднее арифметическое её наблюденных значений. Поэтому далее в течение урока мы будем пользоваться терминами "среднее", "среднее значение". В задачах рассчёта доверительного интервала чаще всего требуется ответ типа "Доверительный интервал среднего числа [величина в конкретной задаче] находится от [меньшее значение] до [большее значение]". С помощью доверительного интервала можно оценивать не только средние значения, но и удельный вес того или иного признака генеральной совокупности. Средние значения, дисперсия, стандартное отклонение и погрешность, через которые мы будем приходить к новым определениям и формулам, разобраны на уроке Характеристики выборки и генеральной совокупности .

Точечная и интервальная оценки среднего значения

Если среднее значение генеральной совокупности оценивается числом (точкой), то за оценку неизвестной средней величины генеральной совокупности принимается конкретное среднее, которое рассчитано по выборке наблюдений. В таком случае значение среднего выборки - случайной величины - не совпадает со средним значением генеральной совокупности. Поэтому, указывая среднее значение выборки, одновременно нужно указывать и ошибку выборки. В качестве меры ошибки выборки используется стандартная ошибка , которая выражена в тех же единицах измерения, что и среднее. Поэтому часто используется следующая запись: .

Если оценку среднего требуется связать с определённой вероятностью, то интересующий параметр генеральной совокупности нужно оценивать не одним числом, а интервалом. Доверительным интервалом называют интервал, в котором с определённой вероятностью P находится значение оцениваемого показателя генеральной совокупности. Доверительный интервал, в котором с вероятностью P = 1 - α находится случайная величина , рассчитывается следующим образом:

,

α = 1 - P , которое можно найти в приложении к практически любой книге по статистике.

На практике среднее значение генеральной совокупности и дисперсия не известны, поэтому дисперсия генеральной совокупности заменяется дисперсией выборки , а среднее генеральной совокупности - средним значением выборки . Таким образом, доверительный интервал в большинстве случаев рассчитывается так:

.

Формулу доверительного интервала можно использовать для оценки среднего генеральной совокупности, если

• известно стандартное отклонение генеральной совокупности;
• или стандартное отклонение генеральной совокупности не известно, но объём выборки - больше 30.

Среднее значение выборки является несмещённой оценкой среднего генеральной совокупности . В свою очередь, дисперсия выборки не является несмещённой оценкой дисперсии генеральной совокупности . Для получения несмещённой оценки дисперсии генеральной совокупности в формуле дисперсии выборки объём выборки n следует заменить на n -1.

Пример 1. Собрана информация из 100 случайно выбранных кафе в некотором городе о том, что среднее число работников в них составляет 10,5 со стандартным отклонением 4,6. Определить доверительный интервал 95% числа работников кафе.

где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .

Таким образом, доверительный интервал 95% среднего числа работников кафе составил от 9,6 до 11,4.

Пример 2. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 64 наблюдений вычислены следующие суммарные величины:

сумма значений в наблюдениях ,

сумма квадратов отклонения значений от среднего .

Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания.

вычислим стандартное отклонение:

,

вычислим среднее значение:

.

Подставляем значения в выражение для доверительного интервала:

где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .

Получаем:

Таким образом, доверительный интервал 95% для математического ожидания данной выборки составил от 7,484 до 11,266.

Пример 3. Для случайной выборки из генеральной совокупности из 100 наблюдений вычислено среднее значение 15,2 и стандартное отклонение 3,2. Вычислить доверительный интервал 95 % для математического ожидания, затем доверительный интервал 99 %. Если мощность выборки и её вариация остаются неизменными, а увеличивается доверительный коэффициент, то доверительный интервал сузится или расширится?

Подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала:

где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,05 .

Получаем:

.

Таким образом, доверительный интервал 95% для среднего данной выборки составил от 14,57 до 15,82.

Вновь подставляем данные значения в выражение для доверительного интервала:

где - критическое значение стандартного нормального распределения для уровня значимости α = 0,01 .

Получаем:

.

Таким образом, доверительный интервал 99% для среднего данной выборки составил от 14,37 до 16,02.

Как видим, при увеличении доверительного коэффициента увеличивается также критическое значение стандартного нормального распределения, а, следовательно, начальная и конечная точки интервала расположены дальше от среднего, и, таким образом, доверительный интервал для математического ожидания увеличивается.

Точечная и интервальная оценки удельного веса

Удельный вес некоторого признака выборки можно интерпретировать как точечную оценку удельного веса p этого же признака в генеральной совокупности. Если же эту величину нужно связать с вероятностью, то следует рассчитать доверительный интервал удельного веса p признака в генеральной совокупности с вероятностью P = 1 - α :

.

Пример 4. В некотором городе два кандидата A и B претендуют на пост мэра. Случайным образом были опрошены 200 жителей города, из которых 46% ответили, что будут голосовать за кандидата A , 26% - за кандидата B и 28% не знают, за кого будут голосовать. Определить доверительный интервал 95% для удельного веса жителей города, поддерживающих кандидата A .

Из данной статьи вы узнаете:

Что такое доверительный интервал ?

В чем суть правила 3-х сигм ?

Как можно применить эти знания на практике?

В наше время из-за переизбытка информации, связанного с большим ассортиментом товаров, направлений продаж, сотрудников, направлений деятельности и т.д., бывает трудно выделить главное , на что, в первую очередь, стоит обратить внимание и приложить усилия для управления. Определение доверительного интервала и анализ выхода за его границы фактических значений - методика, которая поможет вам выделить ситуации , влияющие на изменение тенденций. Вы сможете развивать позитивные факторы и снизить влияние негативных. Данная технология применяется во многих известных мировых компаниях.

Существуют так называемые "оповещения" , которые информируют руководителей о том, что очередное значение в определенном направлении вышло за доверительный интервал . Что это означает? Это сигнал, что произошло какое-то нестандартное событие, которое, возможно, изменит существующую тенденцию в данном направлении. Это сигнал к тому, чтобы разобраться в ситуации и понять, что на неё повлияло.

Например, рассмотрим несколько ситуаций. Мы рассчитали прогноз продаж с границами прогноза по 100 товарным позициям на 2011 год по месяцам и в марте фактические продажи:

1. По «Подсолнечному маслу» пробили верхнюю границу прогноза и не попали в доверительный интервал.
2. По «Сухим дрожжам» вышли за нижнюю границу прогноза.
3. По «Овсяным Кашам» пробили верхнюю границу.

По остальным товарам фактические продажи оказались в рамках заданных границ прогноза. Т.е. их продажи оказались в рамках ожиданий. Итак, мы выделили 3 товара, которые вышли за границы, и начали разбираться, что же повлияло на выход за границы:

1. По «Подсолнечному маслу» мы вошли в новую торговую сеть, которая дала нам дополнительный объем продаж, что привело к выходу за верхнюю границу. Для этого товара стоит пересчитать прогноз до конца года с учетом прогноза продаж в данную сеть.
2. По «Сухим дрожжам» машина застряла на таможне, и образовался дефицит в рамках 5 дней, что повлияло на снижение продаж и выход за нижнюю границу. Возможно, стоит разобраться, что послужило причиной и постараться не повторять данную ситуацию.
3. По «Овсяным Кашам» было запущено мероприятие по стимулированию сбыта, которое дало значительный прирост продаж и привело к выходу за границы прогноза.

Мы выделили 3 фактора, которые повлияли на выход за границы прогноза. В жизни их может быть гораздо больше.Для повышения точности прогнозирования и планирования факторы, которые приводят к тому, что фактические продажи могут выйти за границы прогноза, стоит выделить и строить прогнозы и планы по ним отдельно. А затем учитывать их влияние на основной прогноз продаж. Также можно регулярно оценивать влияние данных факторов и менять ситуацию к лучшему за счет уменьшения влияния негативных и увеличения влияния позитивных факторов .

С помощью доверительного интервала мы можем:

1. Выделить направления , на которые стоит обратить внимание, т.к. в этих направлениях произошли события, которые могут повлиять на изменение тенденции .
2. Определить факторы , которые реально влияют на изменение ситуации.
3. Принять взвешенное решение (например, о закупках, при планировании и т.д.).

Теперь рассмотрим, что такое доверительный интервал и как его рассчитать в Excel на примере.

Что такое доверительный интервал?

Доверительный интервал – это границы прогноза (верхняя и нижняя), в рамки которых с заданной вероятностью (сигма) попадут фактические значения.

Т.е. мы рассчитываем прогноз - это наш основной ориентир, но мы понимаем, что фактические значения вряд ли на 100% будут равны нашему прогнозу. И возникает вопрос, в какие границы могут попасть фактические значения, если существующая тенденция сохранится ? И на этот вопрос нам поможет ответить расчет доверительного интервала , т.е. - верхней и нижней границы прогноза.

Что такое заданная вероятность сигма?

При расчете доверительного интервала мы можем задать вероятность попадания фактических значений в заданные границы прогноза . Как это сделать? Для этого мы задаем значение сигма и, если сигма будет равна:

3 сигма - то, вероятность попадания очередного фактического значения в доверительный интервал составят 99,7%, или 300 к 1, или существует 0,3% вероятности выхода за границы.

2 сигма - то, вероятность попадания очередного значения в границы составляет ≈ 95,5 %, т.е. шансы примерно 20 к 1, или существует 4,5% вероятности выхода за границы.

1 сигма - то, вероятность ≈ 68,3%, т.е. шансы примерно 2 к 1, или существует 31,7% вероятность того, что очередное значение выйдет за пределы доверительного интервала.

Мы сформулировали правило 3 сигм, которое гласит, что вероятность попадания очередного случайного значения в доверительный интервал с заданным значением три сигма составляет 99.7% .

Великим русским математиком Чебышевым была доказана теорема о том, что существует 10% вероятность выхода за границы прогноза с заданным значением три сигма. Т.е. вероятность попадания в доверительный интервал 3 сигма составит минимум 90%, в то время как попытка рассчитать прогноз и его границы «на глазок» чревата куда более существенными ошибками.

Как самостоятельно рассчитать доверительный интервал в Excel?

Расчет доверительного интервала в Excel (т.е. верхней и нижней границы прогноза) рассмотрим на примере. У нас есть временной ряд - продажи по месяцам за 5 лет. См. Вложенный файл.

Для расчета границ прогноза рассчитаем:

1. Прогноз продаж ().
2. Сигма - среднеквадратическое отклонение модели прогноза от фактических значений.
3. Три сигма.
4. Доверительный интервал.

1. Прогноз продаж.

=(RC[-14](данные во временном ряду) - RC[-1](значение модели) )^2(в квадрате)

3. Просуммируем для каждого месяца значения отклонений из 8 этапа Сумма((Xi-Ximod)^2), т.е. просуммируем январи, феврали... для каждого года.

Для этого воспользуемся формулой =СУММЕСЛИ()

СУММЕСЛИ(массив с номерами периодов внутри цикла (для месяцев от 1 до 12);ссылка на номер периода в цикле; ссылка на массив с квадратами разницы исходных данных и значений периодов)

4. Рассчитаем среднеквадратическое отклонение для каждого периода в цикле от 1 до 12 (10 этапво вложенном файле ).

Для этого из значения рассчитанного на 9 этапе мы извлекаем корень и делим на количество периодов в этом цикле минус 1 = КОРЕНЬ((Сумма(Xi-Ximod)^2/(n-1))

Воспользуемся формулами в Excel =КОРЕНЬ(R8 (ссылка на (Сумма(Xi-Ximod)^2) /(СЧЁТЕСЛИ($O$8:$O$67 (ссылка на массив с номерами цикла) ; O8 (ссылка на конкретный номер цикла, которые считаем в массиве) )-1))

С помощью формулы Excel = СЧЁТЕСЛИ мы считаем количество n

Рассчитав среднеквадратическое отклонение фактических данных от модели прогноза, мы получили значение сигма для каждого месяца - этап 10 во вложенном файле .

3. Рассчитаем 3 сигма.

На 11 этапе задаем количество сигм - в нашем примере «3» (11 этапво вложенном файле ):

Также удобные для практики значения сигма:

1,64 сигма - 10% вероятность выхода за предел (1 шанс из 10);

1,96 сигма - 5% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 20);

2,6 сигма - 1% вероятность выхода за пределы (1 шанс из 100).

5) Рассчитываем три сигма , для этого мы значения «сигма» для каждого месяца умножаем на «3».

3.Определяем доверительный интервал.

1. Верхняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности + (плюс) 3 сигма;
2. Нижняя граница прогноза - прогноз продаж с учетом роста и сезонности – (минус) 3 сигма;

Для удобства расчета доверительного интервала на длительный период (см. вложенный файл) воспользуемся формулой Excel =Y8+ВПР(W8;$U$8:$V$19;2;0) , где

Y8 - прогноз продаж;

W8 - номер месяца, для которого будем брать значение 3-х сигма;

Т.е. Верхняя граница прогноза = «прогноз продаж» + «3 сигма» (в примере, ВПР(номер месяца; таблица со значениями 3-х сигма; столбец, из которого извлекаем значение сигма равное номеру месяца в соответствующей строке;0)).

Нижняя граница прогноза = «прогноз продаж» минус «3 сигма».

Итак, мы рассчитали доверительный интервал в Excel.

Теперь у нас есть прогноз и диапазон с границами в пределах, которого с заданной вероятностью сигма попадут фактические значения.

В данной статье мы рассмотрели, что такое сигма и правило трёх сигм, как определить доверительный интервал и для чего вы можете использовать данную методику на практике.

Точных вам прогнозов и успехов!

Чем Forecast4AC PRO может вам помочь при расчете доверительного интервала ?:

Forecast4AC PRO автоматически рассчитает верхнюю или нижнюю границы прогноза для более чем 1000 временных рядов одновременно;

Возможность анализа границ прогноза в сравнении с прогнозом, трендом и фактическими продажами на графике одним нажатием клавиши;

В программе Forcast4AC PRO есть возможность задать значение сигма от 1 до 3.

Присоединяйтесь к нам!

Скачивайте бесплатные приложения для прогнозирования и бизнес-анализа :

• Novo Forecast Lite - автоматический расчет прогноза в Excel .
• 4analytics - ABC-XYZ-анализ и анализ выбросов в Excel.
• Qlik Sense Desktop и QlikView Personal Edition - BI-системы для анализа и визуализации данных.

Тестируйте возможности платных решений:

• Novo Forecast PRO - прогнозирование в Excel для больших массивов данных.

Доверительный интервал – предельные значения статистической величины, которая с заданной доверительной вероятностью γ будет находится в этом интервале при выборке большего объема. Обозначается как P(θ - ε . На практике выбирают доверительную вероятность γ из достаточно близких к единице значений γ = 0.9 , γ = 0.95 , γ = 0.99 .

Назначение сервиса . С помощью этого сервиса определяются:

• доверительный интервал для генерального среднего, доверительный интервал для дисперсии;
• доверительный интервал для среднего квадратического отклонения, доверительный интервал для генеральной доли;

Полученное решение сохраняется в файле Word (см. пример). Ниже представлена видеоинструкция, как заполнять исходные данные.

Пример №1 . В колхозе из общего стада в 1000 голов овец выборочной контрольной стрижке подверглись 100 овец. В результате был установлен средний настриг шерсти 4,2 кг на одну овцу. Определить с вероятностью 0,99 среднюю квадратическую ошибку выборки при определении среднего настрига шерсти на одну овцу и пределы, в которых заключена величина настрига, если дисперсия равна 2,5 . Выборка бесповторная.
Пример №2 . Из партии импортируемой продукции на посту Московской Северной таможни было взято в порядке случайной повторной выборки 20 проб продукта «А». В результате проверки установлена средняя влажность продукта «А» в выборке, которая оказалась равной 6 % при среднем квадратическом отклонении 1 %.
Определите с вероятностью 0,683 пределы средней влажности продукта во всей партии импортируемой продукции.
Пример №3 . Опрос 36 студентов показал, что среднее количество учебников, прочитанных ими за учебный год, оказалось равным 6. Считая, что количество учебников, прочитанных студентом за семестр, имеет нормальный закон распределения со средним квадратическим отклонением, равным 6, найти: А) с надежностью 0,99 интервальную оценку для математического ожидания этой случайной величины; Б) с какой вероятностью можно утверждать, что среднее количество учебников, прочитанных студентом за семестр, вычисленное по данной выборке, отклонится от математического ожидания по абсолютной величине не больше, чем на 2.

Классификация доверительных интервалов

По виду оцениваемого параметра:

По типу выборки:

1. Доверительный интервал для бесконечной выборки;
2. Доверительный интервал для конечной выборки;

Выборка называется повторной , если отобранный объект перед выбором следующего возвращается в генеральную совокупность. Выборка называется бесповторной , если отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно имеют дело с бесповторными выборками.

Расчет средней ошибки выборки при случайном отборе

Расхождение между значениями показателей, полученных по выборке, и соответствующими параметрами генеральной совокупности называется ошибкой репрезентативности .
Обозначения основных параметров генеральной и выборочной совокупности.

Формулы средней ошибки выборки
повторный отбор		бесповторный отбор
для средней	для доли	для средней	для доли

Соотношение между пределом ошибки выборки (Δ), гарантируемым с некоторой вероятностью Р(t), и средней ошибкой выборки имеет вид: или Δ = t·μ, где t – коэффициент доверия, определяемый в зависимости от уровня вероятности Р(t) по таблице интегральной функции Лапласа.

Формулы расчета численности выборки при собственно-случайном способе отбора

Одним из методов решения статистических задач является вычисление доверительного интервала. Он используется, как более предпочтительная альтернатива точечной оценке при небольшом объеме выборки. Нужно отметить, что сам процесс вычисления доверительного интервала довольно сложный. Но инструменты программы Эксель позволяют несколько упростить его. Давайте узнаем, как это выполняется на практике.

Этот метод используется при интервальной оценке различных статистических величин. Главная задача данного расчета – избавится от неопределенностей точечной оценки.

В Экселе существуют два основных варианта произвести вычисления с помощью данного метода: когда дисперсия известна, и когда она неизвестна. В первом случае для вычислений применяется функция ДОВЕРИТ.НОРМ , а во втором — ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ .

Способ 1: функция ДОВЕРИТ.НОРМ

Оператор ДОВЕРИТ.НОРМ , относящийся к статистической группе функций, впервые появился в Excel 2010. В более ранних версиях этой программы используется его аналог ДОВЕРИТ . Задачей этого оператора является расчет доверительного интервала с нормальным распределением для средней генеральной совокупности.

Его синтаксис выглядит следующим образом:

ДОВЕРИТ.НОРМ(альфа;стандартное_откл;размер)

«Альфа» — аргумент, указывающий на уровень значимости, который применяется для расчета доверительного уровня. Доверительный уровень равняется следующему выражению:

(1-«Альфа»)*100

«Стандартное отклонение» — это аргумент, суть которого понятна из наименования. Это стандартное отклонение предлагаемой выборки.

«Размер» — аргумент, определяющий величину выборки.

Все аргументы данного оператора являются обязательными.

Функция ДОВЕРИТ имеет точно такие же аргументы и возможности, что и предыдущая. Её синтаксис таков:

ДОВЕРИТ(альфа;стандартное_откл;размер)

Как видим, различия только в наименовании оператора. Указанная функция в целях совместимости оставлена в Excel 2010 и в более новых версиях в специальной категории «Совместимость» . В версиях же Excel 2007 и ранее она присутствует в основной группе статистических операторов.

Граница доверительного интервала определяется при помощи формулы следующего вида:

X+(-)ДОВЕРИТ.НОРМ

Где X – это среднее выборочное значение, которое расположено посередине выбранного диапазона.

Теперь давайте рассмотрим, как рассчитать доверительный интервал на конкретном примере. Было проведено 12 испытаний, вследствие которых были получены различные результаты, занесенные в таблицу. Это и есть наша совокупность. Стандартное отклонение равно 8. Нам нужно рассчитать доверительный интервал при уровне доверия 97%.

1. Выделяем ячейку, куда будет выводиться результат обработки данных. Щелкаем по кнопке «Вставить функцию» .



2. Появляется Мастер функций . Переходим в категорию «Статистические» и выделяем наименование «ДОВЕРИТ.НОРМ» . После этого клацаем по кнопке «OK» .



3. Открывается окошко аргументов. Его поля закономерно соответствуют наименованиям аргументов.
   Устанавливаем курсор в первое поле – «Альфа» . Тут нам следует указать уровень значимости. Как мы помним, уровень доверия у нас равен 97%. В то же время мы говорили, что он рассчитывается таким путем:

   (1-уровень доверия)/100

   То есть, подставив значение, получаем:

   Путем нехитрых расчетов узнаем, что аргумент «Альфа» равен 0,03 . Вводим данное значение в поле.

   Как известно, по условию стандартное отклонение равно 8 . Поэтому в поле «Стандартное отклонение» просто записываем это число.

   В поле «Размер» нужно ввести количество элементов проведенных испытаний. Как мы помним, их 12 . Но чтобы автоматизировать формулу и не редактировать её каждый раз при проведении нового испытания, давайте зададим данное значение не обычным числом, а при помощи оператора СЧЁТ . Итак, устанавливаем курсор в поле «Размер» , а затем кликаем по треугольнику, который размещен слева от строки формул.

   Появляется список недавно применяемых функций. Если оператор СЧЁТ применялся вами недавно, то он должен быть в этом списке. В таком случае, нужно просто кликнуть по его наименованию. В обратном же случае, если вы его не обнаружите, то переходите по пункту «Другие функции…» .



4. Появляется уже знакомый нам Мастер функций . Опять перемещаемся в группу «Статистические» . Выделяем там наименование «СЧЁТ» . Клацаем по кнопке «OK» .



5. Появляется окно аргументов вышеуказанного оператора. Данная функция предназначена для того, чтобы вычислять количество ячеек в указанном диапазоне, которые содержат числовые значения. Синтаксис её следующий:

   СЧЁТ(значение1;значение2;…)

   Группа аргументов «Значения» представляет собой ссылку на диапазон, в котором нужно рассчитать количество заполненных числовыми данными ячеек. Всего может насчитываться до 255 подобных аргументов, но в нашем случае понадобится лишь один.

   Устанавливаем курсор в поле «Значение1» и, зажав левую кнопку мыши, выделяем на листе диапазон, который содержит нашу совокупность. Затем его адрес будет отображен в поле. Клацаем по кнопке «OK» .



6. После этого приложение произведет вычисление и выведет результат в ту ячейку, где она находится сама. В нашем конкретном случае формула получилась такого вида:

   ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;СЧЁТ(B2:B13))

   Общий результат вычислений составил 5,011609 .



7. Но это ещё не все. Как мы помним, граница доверительного интервала вычисляется путем сложения и вычитания от среднего выборочного значения результата вычисления ДОВЕРИТ.НОРМ . Таким способом рассчитывается соответственно правая и левая граница доверительного интервала. Само среднее выборочное значение можно рассчитать при помощи оператора СРЗНАЧ .

   Данный оператор предназначен для расчета среднего арифметического значения выбранного диапазона чисел. Он имеет следующий довольно простой синтаксис:

   СРЗНАЧ(число1;число2;…)

   Аргумент «Число» может быть как отдельным числовым значением, так и ссылкой на ячейки или даже целые диапазоны, которые их содержат.

   Итак, выделяем ячейку, в которую будет выводиться расчет среднего значения, и щелкаем по кнопке «Вставить функцию» .



8. Открывается Мастер функций . Снова переходим в категорию «Статистические» и выбираем из списка наименование «СРЗНАЧ» . Как всегда, клацаем по кнопке «OK» .



9. Запускается окно аргументов. Устанавливаем курсор в поле «Число1» и с зажатой левой кнопкой мыши выделяем весь диапазон значений. После того, как координаты отобразились в поле, клацаем по кнопке «OK» .



10. После этого СРЗНАЧ выводит результат расчета в элемент листа.



11. Производим расчет правой границы доверительного интервала. Для этого выделяем отдельную ячейку, ставим знак «=» и складываем содержимое элементов листа, в которых расположены результаты вычислений функций СРЗНАЧ и ДОВЕРИТ.НОРМ . Для того, чтобы выполнить расчет, жмем на клавишу Enter . В нашем случае получилась следующая формула:

    Результат вычисления: 6,953276



12. Таким же образом производим вычисление левой границы доверительного интервала, только на этот раз от результата вычисления СРЗНАЧ отнимаем результат вычисления оператора ДОВЕРИТ.НОРМ . Получается формула для нашего примера следующего типа:

    Результат вычисления: -3,06994



13. Мы попытались подробно описать все действия по вычислению доверительного интервала, поэтому детально расписали каждую формулу. Но можно все действия соединить в одной формуле. Вычисление правой границы доверительного интервала можно записать так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)+ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;СЧЁТ(B2:B13))



14. Аналогичное вычисление левой границы будет выглядеть так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)-ДОВЕРИТ.НОРМ(0,03;8;СЧЁТ(B2:B13))

Способ 2: функция ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ

Кроме того, в Экселе есть ещё одна функция, которая связана с вычислением доверительного интервала – ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ . Она появилась, только начиная с Excel 2010. Данный оператор выполняет вычисление доверительного интервала генеральной совокупности с использованием распределения Стьюдента. Его очень удобно использовать в том случае, когда дисперсия и, соответственно, стандартное отклонение неизвестны. Синтаксис оператора такой:

ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(альфа;стандартное_откл;размер)

Как видим, наименования операторов и в этом случае остались неизменными.

Посмотрим, как рассчитать границы доверительного интервала с неизвестным стандартным отклонением на примере всё той же совокупности, что мы рассматривали в предыдущем способе. Уровень доверия, как и в прошлый раз, возьмем 97%.

1. Выделяем ячейку, в которую будет производиться расчет. Клацаем по кнопке «Вставить функцию» .



2. В открывшемся Мастере функций переходим в категорию «Статистические» . Выбираем наименование «ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ» . Клацаем по кнопке «OK» .



3. Производится запуск окна аргументов указанного оператора.

   В поле «Альфа» , учитывая, что уровень доверия составляет 97%, записываем число 0,03 . Второй раз на принципах расчета данного параметра останавливаться не будем.

   После этого устанавливаем курсор в поле «Стандартное отклонение» . На этот раз данный показатель нам неизвестен и его требуется рассчитать. Делается это при помощи специальной функции – СТАНДОТКЛОН.В . Чтобы вызвать окно данного оператора, кликаем по треугольнику слева от строки формул. Если в открывшемся списке не находим нужного наименования, то переходим по пункту «Другие функции…» .



4. Запускается Мастер функций . Перемещаемся в категорию «Статистические» и отмечаем в ней наименование «СТАНДОТКЛОН.В» . Затем клацаем по кнопке «OK» .



5. Открывается окно аргументов. Задачей оператора СТАНДОТКЛОН.В является определение стандартного отклонения при выборке. Его синтаксис выглядит так:

   СТАНДОТКЛОН.В(число1;число2;…)

   Нетрудно догадаться, что аргумент «Число» — это адрес элемента выборки. Если выборка размещена единым массивом, то можно, использовав только один аргумент, дать ссылку на данный диапазон.

   Устанавливаем курсор в поле «Число1» и, как всегда, зажав левую кнопку мыши, выделяем совокупность. После того, как координаты попали в поле, не спешим жать на кнопку «OK» , так как результат получится некорректным. Прежде нам нужно вернуться к окну аргументов оператора ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ , чтобы внести последний аргумент. Для этого кликаем по соответствующему наименованию в строке формул.



6. Снова открывается окно аргументов уже знакомой функции. Устанавливаем курсор в поле «Размер» . Опять жмем на уже знакомый нам треугольник для перехода к выбору операторов. Как вы поняли, нам нужно наименование «СЧЁТ» . Так как мы использовали данную функцию при вычислениях в предыдущем способе, в данном списке она присутствует, так что просто щелкаем по ней. Если же вы её не обнаружите, то действуйте по алгоритму, описанному в первом способе.



7. Попав в окно аргументов СЧЁТ , ставим курсор в поле «Число1» и с зажатой кнопкой мыши выделяем совокупность. Затем клацаем по кнопке «OK» .



8. После этого программа производит расчет и выводит значение доверительного интервала.



9. Для определения границ нам опять нужно будет рассчитать среднее значение выборки. Но, учитывая то, что алгоритм расчета при помощи формулы СРЗНАЧ тот же, что и в предыдущем способе, и даже результат не изменился, не будем на этом подробно останавливаться второй раз.



10. Сложив результаты вычисления СРЗНАЧ и ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ , получаем правую границу доверительного интервала.



11. Отняв от результатов расчета оператора СРЗНАЧ результат расчета ДОВЕРИТ.СТЮДЕНТ , имеем левую границу доверительного интервала.



12. Если расчет записать одной формулой, то вычисление правой границы в нашем случае будет выглядеть так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)+ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(0,03;СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13);СЧЁТ(B2:B13))



13. Соответственно, формула расчета левой границы будет выглядеть так:

    СРЗНАЧ(B2:B13)-ДОВЕРИТ.СТЬЮДЕНТ(0,03;СТАНДОТКЛОН.В(B2:B13);СЧЁТ(B2:B13))

Как видим, инструменты программы Excel позволяют существенно облегчить вычисление доверительного интервала и его границ. Для этих целей используются отдельные операторы для выборок, у которых дисперсия известна и неизвестна.