Кут між векторами в просторі формули. Скалярний добуток векторів

Довжина вектора, кут між векторами – ці поняття є природно-застосовними та інтуїтивно зрозумілими щодо вектора як відрізка певного напрями. Нижче навчимося визначати кут між векторами у тривимірному просторі, його косинус та розглянемо теорію на прикладах.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Для розгляду поняття кута між векторами звернемося до графічної ілюстрації: поставимо на площині або у тривимірному просторі два вектори a → та b → , які є ненульовими. Задамо також довільну точку O та відкладемо від неї вектори O A → = b → та O B → = b →

Визначення 1

Кутомміж векторами a → і b → називається кут між променями ПРО і ПРО.

Отриманий кут позначатимемо наступним чином: a → , b → ^

Очевидно, що кут має можливість набувати значень від 0 до π або від 0 до 180 градусів.

a → , b → ^ = 0 коли вектори є сонаправленными і a → , b → ^ = π , коли вектори протилежно спрямовані.

Визначення 2

Вектори називаються перпендикулярнимиякщо кут між ними дорівнює 90 градусів або π 2 радіан.

Якщо хоча б один із векторів є нульовим, то кут a → , b → ^ не визначено.

Косинус кута між двома векторами, а значить і власне кут, може бути визначений або за допомогою скалярного твору векторів, або за допомогою теореми косінусів для трикутника, побудованого на основі двох даних векторів.

Відповідно до визначення скалярний твір є a → , b → = a → b → cos a → , b → ^ .

Якщо задані вектори a → та b → ненульові, то можемо розділити праву та ліву частини рівності на добуток довжин цих векторів, отримуючи таким чином формулу для знаходження косинуса кута між ненульовими векторами:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →

Ця формула використовується, коли серед вихідних даних є довжини векторів та його скалярне твір.

Приклад 1

Вихідні дані: вектори a → та b → . Довжини їх дорівнюють 3 і 6 відповідно, а їх скалярний добуток дорівнює - 9 . Необхідно обчислити косинус кута між векторами та знайти сам кут.

Рішення

Вихідних даних достатньо, щоб застосувати отриману вище формулу, тоді cos a → b → ^ = - 9 3 · 6 = - 1 2 ,

Тепер визначимо кут між векторами: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Відповідь: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Найчастіше зустрічаються завдання, де вектори задаються координатами прямокутної системі координат. Для таких випадків необхідно вивести ту саму формулу, але в координатній формі.

Довжина вектора визначається як квадратний корінь із суми квадратів його координат, а скалярний добуток векторів дорівнює сумі творів відповідних координат. Тоді формула для знаходження косинуса кута між векторами на площині a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) виглядає так:

cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2

А формула для знаходження косинуса кута між векторами в тривимірному просторі a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) матиме вигляд: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2

Приклад 2

Вихідні дані: вектори a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) у прямокутній системі координат. Потрібно визначити кут між ними.

Рішення

1. Для вирішення задачі можемо одразу застосувати формулу:

cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + (- 1) · 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70

1. Також можна визначити кут за формулою:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

але попередньо розрахувати довжини векторів та скалярний добуток за координатами: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + (- 1) · 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = - 1 5 · 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Відповідь: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Також поширені завдання, коли задані координати трьох точок прямокутної системі координат і необхідно визначити який-небудь кут. І тоді, щоб визначити кут між векторами із заданими координатами точок, необхідно обчислити координати векторів у вигляді різниці відповідних точок початку і кінця вектора.

Приклад 3

Вихідні дані: на площині в прямокутній системі координат задані точки A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2). Необхідно визначити косинус кута між векторами A C → B C → .

Рішення

Знайдемо координати векторів за координатами заданих точок A C → = (7 - 2 , - 2 - (- 1)) = (5 , - 1) B C → = (7 - 3 , - 2 - 2) = (4 , - 4)

Тепер використовуємо формулу для визначення косинуса кута між векторами на площині координат: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (-1) 2 · 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 · 32 = 3 13

Відповідь: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Кут між векторами можна визначити за теоремою косінусів. Відкладемо від точки O вектори O A → = a → і O B → = b → тоді, відповідно до теореми косінусів у трикутнику ОАВ, буде вірною рівність:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,

що рівносильно:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 · a → · b → · cos (a → , b →) ^

і звідси виведемо формулу косинуса кута:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → · b →

Для застосування отриманої формули нам потрібні довжини векторів, що нескладно визначаються за їх координатами.

Хоча зазначений спосіб має місце, все ж таки частіше застосовують формулу:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Скалярний добуток векторів (далі у тексті СП). Дорогі друзі! До складу іспиту з математики входить група завдань рішення векторів. Деякі завдання ми вже розглянули. Можете подивитися їх у категорії «Вектори». У цілому нині, теорія векторів нескладна, головне послідовно її вивчити. Обчислення та дії з векторами у шкільному курсі математики прості, формули не складні. Загляньте в . У цій статті ми розберемо завдання на СП векторів (входять до ЄДІ). Тепер «занурення» у теорію:

Ч щоб знайти координати вектора, потрібно від координат його кінця віднятивідповідні координати його початку

І ще:

*Довжина вектора (модуль) визначається наступним чином:

Дані формули необхідно запам'ятати!

Покажемо кут між векторами:

Зрозуміло, що він може змінюватись у межах від 0 до 180 0(або радіанах від 0 до Пі).

Можемо зробити деякі висновки про знак скалярного твору. Довжини векторів мають позитивне значення, очевидно. Отже знак скалярного твору залежить від значення косинуса кута між векторами.

Можливі випадки:

1. Якщо кут між векторами гострий (від 0 до 90 0), то косинус кута матиме позитивне значення.

2. Якщо кут між векторами тупий (від 90 0 до 180 0), то косинус кута матиме негативне значення.

*При нулі градусів, тобто коли вектори мають однаковий напрямок, косинус дорівнює одиниці і відповідно результат буде позитивним.

При 180 про, тобто коли вектори мають протилежні напрямки, косинус дорівнює мінус одиниці,і, відповідно, результат буде негативним.

Тепер ВАЖЛИВИЙ МОМЕНТ!

При 90 про, тобто коли вектори перпендикулярні один одному, косинус дорівнює нулю, отже, і СП дорівнює нулю. Цей факт (наслідок, висновок) використовується при вирішенні багатьох завдань, де йдеться про взаємне розташування векторів, у тому числі і в завданнях, що входять у відкритий банк завдань з математики.

Сформулюємо твердження: скалярний добуток дорівнює нулю тоді і лише тоді, коли дані вектори лежать на перпендикулярних прямих.

Отже, формули СП векторів:

Якщо відомі координати векторів або координати точок їх початків і кінців, то завжди зможемо знайти кут між векторами:

Розглянемо завдання:

27724 Знайдіть скалярний добуток векторів a та b .

Скалярний добуток векторів ми можемо знайти за однією з двох формул:

Кут між векторами невідомий, але ми легко можемо знайти координати векторів і далі скористатися першою формулою. Оскільки початки обох векторів збігаються з початком координат, то координати даних векторів дорівнюють координатам їх кінців, тобто

Як знайти координати вектора викладено у .

Обчислюємо:

Відповідь: 40

Знайдемо координати векторів та скористаємося формулою:

Щоб знайти координати вектора необхідно від координат кінця вектора відняти відповідні координати його початку, отже

Обчислюємо скалярний твір:

Відповідь: 40

Знайдіть кут між векторами a та b . Відповідь дайте у градусах.

Нехай координати векторів мають вигляд:

Для знаходження кута між векторами використовуємо формулу скалярного добутку векторів:

Косинус кута між векторами:

Отже:

Координати даних векторів дорівнюють:

Підставимо їх у формулу:

Кут між векторами дорівнює 45 градусів.

Відповідь: 45

Кут між двома векторами :

Якщо кут між двома векторами гострий, їх скалярне твір позитивно; якщо кут між векторами тупий, то скалярний добуток цих векторів негативний. Скалярний добуток двох ненульових векторів дорівнює нулю, тоді і тільки тоді, коли ці вектори ортогональні.

Завдання.Знайти кут між векторами та

Рішення.Косинус шуканого кута

16. Обчислення кута між прямими, прямою та площиною

Кут між прямою та площиною, що перетинає цю пряму і не перпендикулярну до неї, - це кут між прямою та її проекцією на цю площину.

Визначення кута між прямою і площиною дозволяє укласти, що кут між прямою і площиною являє собою кут між двома прямими, що перетинаються: самої прямої і її проекцією на площину. Отже, кут між прямою та площиною є гострий кут.

Кут між перпендикулярними прямою і площиною вважають рівним , а кут між паралельними прямою і площиною або не визначають зовсім, або вважають рівним .

§ 69. Обчислення кута між прямими.

Завдання обчислення кута між двома прямими у просторі вирішується так само, як і на площині (§ 32). Позначимо через φ величину кута між прямими l 1 та l 2 а через ψ - величину кута між напрямними векторами а і b цих прямих.

Тоді, якщо

? 90 ° (рис. 206,6), то ? = 180 ° - ?. Вочевидь, що у обох випадках правильна рівність cos φ = |cos ψ|. За формулою (1) § 20 маємо

отже,

Нехай прямі задані своїми канонічними рівняннями

Тоді кут між прямими визначається за допомогою формули

Якщо одна з прямих (або обидві) задана не канонічних рівнянь, то для обчислення кута потрібно знайти координати напрямних векторів цих прямих, а потім скористатися формулою (1).

17. Паралельні прямі, Теореми про паралельні прямі

Визначення.Дві прямі на площині називаються паралельнимиякщо вони не мають спільних точок.

Дві прямі в тривимірному просторі називаються паралельнимиякщо вони лежать в одній площині і не мають спільних точок.

Кут між двома векторами.

З визначення скалярного твору:

.

Умова ортогональності двох векторів:

Умова колінеарності двох векторів:

.

Слід з визначення 5 - . Дійсно, з визначення твору вектора на число випливає . Тому, виходячи з правила рівності векторів, запишемо , , , звідки випливає . Але вектор , що у результаті множення вектора на число , колінеарен вектору .

Вектор проекції на вектор:

.

Приклад 4. Дано крапки , , , .

Знайти скалярний твір.

Рішення. знайдемо за формулою скалярного добутку векторів, поставлених своїми координатами. Оскільки

, ,

Приклад 5.Дано крапки , , , .

Знайти проекцію.

Рішення. Оскільки

, ,

На підставі формули проекції, маємо

.

Приклад 6.Дано крапки , , , .

Знайти кут між векторами та .

Рішення. Зауважимо, що вектор

, ,

не є колінеарними, оскільки не пропорційні їх координати:

.

Ці вектори є також перпендикулярними, оскільки їх скалярний добуток .

Знайдемо,

Кут знайдемо з формули:

.

Приклад 7.Визначити за яких векторів і колінеарні.

Рішення. У разі колінеарності відповідні координати векторів і повинні бути пропорційними, тобто:

.

Звідси і.

Приклад 8. Визначити, за якого значення вектора і перпендикулярні.

Рішення. Вектор і перпендикулярні, якщо їх скалярний добуток дорівнює нулю. На цьому умови отримуємо: . Стало бути, .

Приклад 9. Знайти , якщо , , .

Рішення. В силу властивостей скалярного твору маємо:

Приклад 10. Знайдіть кут між векторами і , де і - одиничні вектори і кут між векторами дорівнює 120о.

Рішення. Маємо: , ,

Остаточно маємо: .

5.б. Векторний витвір.

Визначення 21.Векторним творомвектора на вектор називається вектор , або , який визначається наступними трьома умовами:

1) Модуль вектора дорівнює , де - Кут між векторами і , тобто. .

Звідси випливає, що модуль векторного твору чисельно дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах і як на сторонах.

2) Вектор перпендикулярний кожному із векторів і ( ; ), тобто. перпендикулярний площині паралелограма, побудованого на векторах і .

3) Вектор спрямований так, що якщо дивитися з його кінця, то найкоротший поворот від вектора до вектора був би проти годинникової стрілки (вектори, утворюють праву трійку).

Як визначити кути між векторами?

При вивченні геометрії чимало питань виникає на тему векторів. Особливі труднощі учень відчуває за необхідності знайти кути між векторами.

Основні терміни

Перед тим як розглядати кути між векторами необхідно ознайомитися з визначенням вектора і поняттям кута між векторами.

Вектором називають відрізок, що має напрямок, тобто відрізок, для якого визначено його початок та кінець.

Кутом між двома векторами на площині, що мають загальний початок, називають менший з кутів, на величину якого потрібно перемістити один із векторів навколо загальної точки, до положення, коли їх напрямки збігаються.

Формула для вирішення

Зрозумівши, що являє собою вектор і як визначається його кут, можна обчислити кут між векторами. Формула рішення для цього досить проста, і результатом її застосування буде значення косинуса кута. Згідно з визначенням, він дорівнює приватному скалярному твору векторів та твору їх довжин.

Скалярний добуток векторів вважається як сума помножених один на одного відповідних координат векторів-співмножників. Довжина вектора або його модуль обчислюється як квадратний корінь із суми квадратів його координат.

Отримавши значення косинуса кута, обчислити величину самого кута можна за допомогою калькулятора або скориставшись тригонометричною таблицею.

приклад

Після того, як ви розберетеся з тим, як обчислити кут між векторами, розв'язання відповідного завдання стане простим і зрозумілим. Як приклад варто розглянути нескладне завдання про знаходження величини кута.

Насамперед зручніше обчислити необхідні рішення значення довжин векторів та його скалярного твори. Скориставшись описом, наведеним вище, отримаємо:

Підставивши отримані значення формулу, обчислимо значення косинуса шуканого кута:

Це число не є одним із п'яти поширених значень косинуса, тому для отримання величини кута доведеться скористатися калькулятором або тригонометричною таблицею Брадіса. Але перед тим, як отримати кут між векторами, формула може бути спрощена, щоб позбавитися зайвого негативного знака:

Підсумкову відповідь для збереження точності можна залишити в такому вигляді, а можна визначити значення кута в градусах. За таблицею Брадіса його величина становитиме приблизно 116 градусів та 70 хвилин, а калькулятор покаже значення 116,57 градуса.

Обчислення кута в n-мірному просторі

При розгляді двох векторів у тривимірному просторі, зрозуміти, про який кут йде мова набагато складніше, якщо вони не лежать в одній площині. Для спрощення сприйняття можна накреслити два відрізки, що перетинаються, які утворюють найменший кут між ними, він і буде шуканим. Незважаючи на наявність третьої координати у векторі, процес того, як обчислюються кути між векторами, не зміниться. Обчисліть скалярний твір і модулі векторів, арккосинус їхнього приватного і буде відповіддю на це завдання.

У геометрії нерідко зустрічаються завдання з просторами, що мають більше трьох вимірів. Але й їм алгоритм знаходження відповіді виглядає аналогічно.

Різниця між 0 та 180 градусами

Одна з поширених помилок при написанні відповіді на задачу, розраховану на те, щоб обчислити кут між векторами, - рішення записати, що вектори паралельні, тобто кут, що шукається, вийшов дорівнює 0 або 180 градусів. Ця відповідь є невірною.

Отримавши за підсумками рішення значення кута 0 градусів, правильною відповіддю буде позначення векторів як сонаправленных, тобто векторів збігатися напрямок. У разі отримання 180 градусів вектори матимуть характер протилежно спрямованих.

Специфічні вектори

Знайшовши кути між векторами, можна зустріти один із особливих типів, крім описаних вище сонаправленных і протилежно спрямованих.

• Декілька векторів паралельних однієї площини називаються компланарними.
• Вектори, однакові за довжиною та напрямком, називаються рівними.
• Вектори, що лежать на одній прямій, незалежно від напрямку, називаються колінеарними.
• Якщо довжина вектора дорівнює нулю, тобто його початок і кінець збігаються, його називають нульовим, і якщо одиниці, то одиничним.

Як знайти кут між векторами?

Допоможіть будь ласка! формулу знаю, а вирахувати не виходить ((
вектор a (8; 10; 4) вектор b (5; -20; -10)

Олександр Титов

Кут між векторами, заданими своїми координатами, знаходиться за стандартним алгоритмом. Спочатку потрібно знайти скалярний добуток векторів a і b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Підставляємо сюди координати даних векторів та вважаємо:
(a, b) = 8 * 5 + 10 * (-20) = 4 * (-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Далі визначаємо довжини кожного із векторів. Довжина або модуль вектора - це квадратний корінь із суми квадратів його координат:
|a| = корінь із (x1^2 + y1^2 + z1^2) = корінь із (8^2 + 10^2 + 4^2) = корінь із (64 + 100 + 16) = корінь із 180 = 6 коренів з 5
|b| = корінь із (x2^2 + y2^2 + z2^2) = корінь із (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = корінь із (25 + 400 + 100) = корінь із 525 = 5 коренів із 21.
Розмножуємо ці довжини. Отримуємо 30 коренів із 105.
І нарешті, ділимо скалярний добуток векторів на добуток довжин цих векторів. Отримуємо, -200/(30 коренів зі 105) або
- (4 кореня зі 105) / 63. Це - косинус кута між векторами. А сам кут дорівнює арккосинусу з цього числа
ф = arccos (-4 кореня зі 105) / 63.
Якщо я все правильно порахував.

Як обчислити синус кута між векторами за координатами векторів

Михайло ткачов

Помножуємо ці вектори. Їх скалярний добуток дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними.
Кут нам невідомий, натомість відомі координати.
Математично запишемо це так.
Нехай дані вектора a(x1;y1) і b(x2;y2)
Тоді

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Розмірковуємо.
a*b-скалярний добуток векторів, що дорівнює сумі творів відповідних координат координат цих векторів, тобто дорівнює x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-твор довжин векторів, дорівнює √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Отже, косинус кута між векторами дорівнює:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Знаючи косинус кута, можемо обчислити його синус. Розмірковуємо, як це зробити:

Якщо косинус кута позитивний, це кут лежить в 1 або 4 чверті, значить його синус або позитивний, або негативний. Але оскільки кут між векторами-менше або дорівнює 180 градусів, то його синус - позитивний. Аналогічно міркуємо, якщо косинус – негативний.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Ось так)))) удачі розібратися)))

Дмитро левищів

Те, що прямо синус не можна – це неправда.
Крім формули:
(a, b) = | a | * | b | * cos A
Є ще й така:
||=|a|*|b|*sin A
Тобто замість скалярного добутку можна взяти модуль векторного добутку.

Розділи: Математика

Тип навчання: вивчення нового матеріалу.

Навчально-виховні завдання:

- Вивести формулу для обчислення кута між двома векторами;

– продовжувати формувати вміння та навички застосування векторів до вирішення завдань;

- продовжувати формувати інтерес до математики шляхом вирішення завдань;

– виховувати усвідомлене ставлення до процесу навчання, прищеплювати почуття відповідальності за якість знань, здійснювати самоконтроль за процесом вирішення та оформлення вправ.

Забезпечення заняття:

– таблиця “Вектори на площині та у просторі”;

- Картки-завдання для індивідуального опитування;

- Картки-завдання для перевірочної роботи;

- Мікрокалькулятори.

Студент повинен знати:

- Формулу для обчислення кута між векторами.

Студент повинен вміти:

– застосовувати отримані знання для вирішення аналітичних, геометричних та прикладних завдань.

Мотивація пізнавальної діяльності студентів.

Викладач повідомляє, що сьогодні на занятті студенти навчаться обчислювати кут між векторами, застосовувати отримані знання для вирішення завдань технічної механіки та фізики. Більшість завдань дисципліни "Технічна механіка" вирішуються векторним методом. Так, при вивченні теми "Плоска система сил, що сходяться", "Знаходження рівнодіючої двох сил" застосовується формула обчислення кута між двома векторами.

Хід заняття.

I. Організаційний момент.

ІІ. Перевірка домашнього завдання.

а) Індивідуальне опитування за картками.

Картка 1.

1. Написати властивості додавання двох векторів.

2. При якому значенні mвектори та будуть колінеарні?

Картка 2.

1. Що називають добутком вектора на число?

2. Чи спрямовані вектори та ?

Картка 3.

1. Сформулювати визначення скалярного добутку двох векторів.

2. При якому значенні довжини векторів та будуть рівні?

Картка 4.

1. Записати формули для обчислення координат вектора та довжини вектора?

2. Чи колінеарні вектори і ?

б) Запитання для фронтального опитування:

1. Які дії можна виконувати над векторами, заданими власними координатами?
2. Які вектори називають колінеарними?
3. Умова колінеарності двох ненульових векторів?
4. Визначення кута між векторами?
5. Визначення скалярного добутку двох ненульових векторів?
6. Необхідна та достатня умова перпендикулярності двох векторів?
7. У чому полягає фізичний зміст скалярного добутку двох векторів?
8. Записати формули для обчислення скалярного добутку двох векторів через їх координати на площині та просторі.
9. Записати формули для обчислення довжини вектора на площині та у просторі.

ІІІ. Вивчення нового матеріалу.

а) Виведемо формулу для обчислення кута між векторами на площині та у просторі. За визначенням скалярного твору двох ненульових векторів:

cos

Отже, якщо і , то

косинус кута між ненульовими векторами і дорівнює скалярному добутку цих векторів, поділеному на добуток їх довжин. Якщо вектори задані прямокутної декартової системі координат на площині, то косинус кута між ними обчислюється за формулою:

= (x 1; y 1); = (x 2; y 2)

cos =

У просторі: = (x 1; y 1; z 1); = (x 2 ; y 2 ​​; z 2)

cos =

Розв'язати задачі:

Завдання 1:Знайти кут між векторами = (1; -2) = (-3; 1).

Arccos = 135 °

Завдання 2:У трикутнику АВС знайти величину кута, якщо

А (0; 5; 0), В (4; 3; -8), С (-1; -3; -6).

cos = =

Завдання 3:Знайти кут між векторами і , якщо А (1; 6),

У (1; 0), З (-2; 3).

cos = = = –

IV. Застосування знань під час вирішення типових завдань.

ЗАВДАННЯ АНАЛІТИЧНОГО ХАРАКТЕРУ.

Визначити кут між векторами і якщо А (1; -3; -4),

В (-1; 0; 2), С (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Знайти скалярний добуток векторів, якщо , = 30 °.

При яких значеннях довжини векторів та будуть рівні?

Обчислити кут між векторами та

Обчислити площу паралелограма, побудованого на векторах

і .

ЗАВДАННЯ ПРИКЛАДНОГО ХАРАКТЕРА

Знайти рівнодіючу двох сил 1 і 2 якщо = 5H; = 7H, кут між ними = 60 °.

° + .

Обчислити роботу, яку здійснює сила = (6; 2), якщо її точка додатка, рухаючись прямолінійно, переміщається з положення А (-1; 3), до положення В (3; 4).

Нехай швидкість матеріальної точки, сила, що діє на неї. Чому дорівнює потужність, що розвивається силою, якщо = 5H, = 3,5 м/с;

VI. Підбиття підсумків заняття.

VII. Домашнє завдання:

Г.М. Яковлєв, Геометрія, §22, п. 3, стор 191

№ 5.22, № 5.27, стор 192.