Застосування формул обсягу та площі поверхні прямокутного паралелепіпеда для вирішення практичних завдань та математичного моделювання.

Верхньої (нижньої) грані дорівнюватиме ab, тобто. 7х6=42 див. Площа однієї з бічних граней дорівнюватиме bc, тобто. 6х4=24 см. Нарешті, площа передньої (задньої) грані дорівнюватиме ac, тобто. 7х4 = 28 см.

Тепер складіть разом усі три результати та помножте отриману суму на два. У нашому це буде виглядати так: 42+24+28=94; 94х2 = 188. Таким чином, площа поверхні даного прямокутного паралелепіпеда дорівнюватиме 188 см.

Зверніть увагу

Будьте уважні і не плутайте прямокутний паралелепіпед із прямим. У прямого паралелепіпеда прямокутниками є лише бічні сторони (4 з 6-ти граней), а верхня та нижня основи – довільні паралелограми.

Корисна порада

Як окремий випадок прямокутного паралелепіпеда може розглядатися куб. Оскільки всі його грані рівні, то знаходження його поверхні буде необхідно звести довжину ребра квадрат і помножити на 6.

Джерела:

• Онлайн-калькулятор, що розраховує площу поверхні прямокутного паралелепіпеда
• як знаходити прямокутний паралелепіпед

Прямокутний паралелепіпед - це багатогранна фігура, що складається із шести прямокутників. Знаючи довжину всіх його грані, можна обчислити його об'єм, діагональ, площу поверхні.

Вам знадобиться

• Розміри ребер прямокутного паралелепіпеда.

Інструкція

Розрахунок площі поверхні прямокутного паралелепіпеда.
Нехай нам дано прямокутний паралелепіпед зі сторонами a, b, c. Тоді для того, щоб розрахувати площу його поверхні S, потрібно скористатися формулою:
S = 2+(a*b+b*c+a*c)

Паралелепіпед – геометрична об'ємна фігура, що є окремим випадком чотирикутної призми. Як і будь-яка чотирикутна призма, паралелепіпед – шестигранник, основною ж відмінною властивістю паралелепіпедаі те, що його протилежні грані попарно паралельні і рівні між собою. Крім обсягу цієї фігури, практичний інтерес може представляти величина площі його поверхні.

Інструкція

Повна поверхні складається з площі його бічної поверхні та площі його.
Як говорилося вище, протилежні грані паралелепіпеда попарно між . Отже, повну паралелепіпеда можна визначити як подвоєну суму площ різних граней:
S = 2(So + Sб1 + Sб2), де Sо - площа основи паралелепіпеда; Sб1, Sб2 – площі суміжних бічних граней паралелепіпеда.
Загалом, і підстави паралелепіпеда, та його бічні грані є паралелограмами. Враховуючи, що площу паралелограма можна легко знайти за будь-якою з двох наведених нижче формул, пошук повної площі поверхні паралелепіпеда не викличе складнощів.

Відео на тему

Корисна порада

Площу паралелограма можна знайти за будь-якою з формул:
1) S = ½ah, де а – основа паралелограма; h – його висота;
2) S = ½ab∙sinα, де a,b – довжини сторін паралелограма, α – гострий кут між ними.

Для вирішення завдань, пов'язаних з визначенням площі поверхні паралелепіпеда, необхідно чітко засвоїти, що є даним геометричним тілом, якими фігурами є його бічні грані і основа. Впоратися з рішенням допоможе знання властивостей даних геометричних фігур.

Інструкція

Паралепіпед - це , в основі якої лежить паралелограм. Паралелограмом називається чотирикутник, протилежні сторони якого рівні та паралельні. Паралелепіпед має – верхню та нижню основу та 4 бічні грані. Усі вони є паралелограмами. Оскільки в умові не вказується кут нахилу бічних граней до основи, можна припустити, що призма є прямою. Звідси випливає уточнення: біля прямої бічні грані – прямокутники.

Для того щоб знайти поверхні паралелепіпеда, потрібно знайти площу його основ і площу бічної поверхні. Для цього необхідно знати довжину сторін основи паралелепіпеда та довжину його ребра. Для визначення площі основи необхідно провести висоту паралелограма. Можна вважати, що ці величини відомі, оскільки за умови цей пункт не обговорюється. Для зручності вводяться позначення: AD = BC = a – основи паралелограма; AB = CD = b – бічні сторони паралелограма; BN = h – висота паралелограма; AE = DL = CK = BF = H – ребро паралелепіпеда.

Площа паралелограма окреслюється добуток його основи висоту, тобто. ah. Оскільки верхня та нижня основи рівні, їх загальна площа S = 2ah.

Оскільки бічні грані є прямокутниками, їхня площа обчислюється як добуток сторін. Одна сторона грані AELD є ребром паралелепіпеда і дорівнює H, а інша стороною його основи дорівнює a. Площа грані: aH. Бічні грані паралелепіпеда попарно рівні та паралельні. Грань AELD дорівнює межі BFKC. Їхня загальна площа S = 2aH.

Грань AEFB дорівнює межі DLKC. Сторона AB збігається з боковою стороною основи паралелепіпеда і дорівнює b, сторона AE дорівнює H. Площа грані AEFB дорівнює bH. Сума площ цих граней S = 2bH. Бічна поверхня паралелепіпеда: 2aH+2bH.

Таким чином, загальна площа поверхні паралелепіпеда: S = 2ah+2aH+2bH або S = 2(ah+aH+bH)Завдання вирішено.

Паралелепіпед – це призма, основами та бічними гранями якої є паралелограми. Паралелепіпед може бути прямим і похилим. Як знайти площу його поверхні в тому та в іншому випадку?

Інструкція

Паралелепіпед може бути прямим і похилим. Якщо його ребра перпендикулярні до основ, він прямим. Бічні грані такого – прямокутники. У похилого бічні грані під кутом до . Його грані є паралелограмами. Відповідно, поверхонь прямого та похилого паралелепіпеда визначаються по-різному.

Загальна площа паралелепіпеда являє собою суму площ обох основ та його бічних граней: S = S1 + S2.

Визначте площу основи. Площа паралелограма дорівнює добутку його основи висоту, тобто. ah. Сумарна площа обох основ: S1 = 2ah.

Визначте площу бічної поверхні паралелепіпеда S1. Вона складається із суми площ усіх бічних граней, які є прямокутниками. Сторона AD грані AELD є одночасно стороною основи паралелепіпеда AD=a. Сторона LD – його ребро, LD=c. Площа грані AELD дорівнює добутку її сторін, тобто. ac. Протилежні грані паралелепіпеда дорівнюють, отже, AELD=BFKC. Їхня сумарна площа – 2ac.

Сторона DC грані DLKC є бічною стороною основи паралелепіпеда, DC=b. Друга сторона грані – ребро. Грань DLKC дорівнює межі AEFB. Їхня сумарна площа – 2dc.

Площа бічної поверхні: S2 = 2ac + 2bc. Загальна площа поверхні паралелепіпеда: S = 2ah + 2ac + 2bc = 2 (ah + ac + bc).

Різниця у знаходженні площі поверхні прямого та похилого паралелепіпеда полягає в тому, що бічні грані останнього також є паралелограмами, отже, необхідно мати значення їх висот. Площа підстав і в тому, і в іншому випадку є аналогічною.

Відео на тему

Паралелепіпед – об'ємна геометрична фігура з трьома вимірювальними характеристиками: довжиною, шириною та висотою. Всі вони беруть участь у знаходженні площі обох поверхонь паралелепіпеда: повної та бічної.

Інструкція

Паралелепіпед - багатогранник, побудований на основі паралелограма. У нього шість граней, які також є цими двомірними фігурами. Залежно від того, як вони розташовані, розрізняють прямий і похилий паралелепіпед. Ця виражається в рівності кута між основою та бічним ребром 90°.

З того, до якого окремого випадку паралелограма відноситься основа, можна виділити прямокутний паралелепіпед і найбільш поширений його різновид – куб. Ці форми найчастіше зустрічаються і носять стандартних. Вони притаманні побутовій техніці, предметам меблів, електронним приладам та ін., а також самим людським будинкам, розміри яких мають велике значення для мешканців та ріелторів.

Зазвичай вважають характеристика є сукупність площ його граней, друга – та величина плюс площі обох підстав, тобто. сума всіх двовимірних фігур, у тому числі складається паралелепіпед. Наступні формули звуться основних поряд з об'ємом: Sб = Р h, де Р – перемір основи, h – висота; Sп = Sб + 2 S, де So – площа основи.

Для окремих випадків, куба і фігури з прямокутними основами, формули спрощуються. Тепер уже не потрібно визначати висоту, яка дорівнює довжині вертикального ребра, а площу та периметр знайти набагато легше завдяки наявності прямих кутів, у їх визначенні беруть участь лише довжина та ширина. Отже, для прямокутного паралелепіпеда: Sб = 2 с (a + b), де 2 (а + b) – подвоєна сума сторін основи (периметр), с – довжина бічного ребра; Sп = Sб + 2 а b = 2 а с + 2 b с + 2 a b = 2 (а с + b с + а b).

У куба всі ребра мають однакову довжину, отже: Sб = 4 а а = 4 а²; Sп = Sб + 2 а² = 6 а².

Паралелепіпед – фігури об'ємна, що характеризується наявністю граней та ребер. Кожна бічна грань утворюється двома паралельними бічними ребрами та відповідними один одному сторонами обох основ. Щоб знайти бічну поверхню паралелепіпеда, потрібно скласти площі всіх його вертикальних або похилих паралелограмів.

Інструкція

Паралелепіпед – просторова геометрична фігура, що має три: довжину, висоту та ширину. У зв'язку з цим він дві горизонтальні, звані основами, а також чотири бічні. Усі вони мають форму паралелограма, а й окремі випадки, які спрощують як графічне зображення завдання, а й самі розрахунки.

Основними числовими характеристиками паралелепіпеда є обсяг. Розрізняють повну та бічну поверхню фігури, які виходять підсумовуванням площ відповідних граней, у першому випадку – всіх шести, у другому – лише бічних.

За умовою задачі дано прямокутний паралелепіпед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 з вимірами a; b та c:

У задачі потрібно знайти обсяг, площу поверхні та суму довжин всіх ребер цього паралелепіпеда.

Формула для площі поверхні

У паралелепіпеда шість граней:

• нижня основа ABCD;
• верхня основа A 1 B 1 C 1 D 1 ;
• чотири бічні грані AA 1 B 1 B; BB 1 C 1 C; CC 1 D 1 D; DD 1 A 1 A.

У прямокутному паралелепіпеді всі грані є прямокутниками, а ребра рівні:

|AB| = | CD | = |A 1 B 1 | = | C 1 D 1 | = а;

|BC| = | AD | = | B 1 C 1 | = | A 1 D 1 | = b;

|AA 1 | = | BB 1 | = | CC 1 | = | DD 1 | = с.

Сума L довжин всіх 12 ребер дорівнює:

L = 4 * a + 4 * b + 4 * c = 4 * (a + b + c);

Площею поверхні паралелепіпеда називають суму площ усіх шести граней. Площі основ однакові:

S1 = | AB | * |BC| = |A 1 B 1 | * | B 1 C 1 | = a * b;

Площі бічних граней AA 1 B 1 B і CC 1 D 1 D однакові та рівні:

S2 = | AB | * |AA 1 | = | CD | * |CC 1 | = a * c;

Рівні і площі двох граней BB 1 C 1 C і DD 1 A 1 A:

S3 = | BC | * |BB 1 | = | AD | * |AA 1 | = b * c;

Площа поверхні дорівнює:

S = 2 * S1 + 2 * S2 + 2 * S3 = 2 * a * b + 2 * a * c + 2 * b * c = 2 * (a * b + a * c + b * c);

Об'єм прямокутного паралелепіпеда дорівнює проведенню трьох його вимірів:

V = S1 * | AA 1 | = a * b * c;

Обчислення потрібних параметрів

Підставляючи вихідні дані, отримуємо:

L = 4*(0,24 + 0,4 + 1,5) = 8,56 (м);

S = 2 * (0,24 * 0,4 + 0,24 * 1,5 + 0,4 * 1,5) = 2,112 (м ^ 2);

V = 0,24 * 0,4 * 1,5 = 0,144 (м ^ 3);

Відповідь: L = 8,56(м); S = 2,112 (м ^ 2); V = 0,144 (м ^ 3);

1). V = а ∙ b ∙ с – формула для знаходження обсягу прямокутного паралелепіпеда V з довжиною основи а шириною b та висотою с. Вимірювання прямокутного паралелепіпеда дорівнюють: а = 0,24 м, b = 0,4 м, с = 1,5 м.

V = 0,24 м ∙ 0,4 м ∙ 1,5 м = 0,144 м³.

2). S = 2 ∙ (а ∙ b + а ∙ с + b ∙ с) – площа поверхні паралелепіпеда дорівнює сумі площ усіх його шести граней. Отримуємо:

S = 2 ∙ (0,24 м ∙ 0,4 м + 0,24 м ∙ 1,5 м + 0,4 м ∙ 1,5 м) = 2 ∙ (0,096 + 0,36 + 0,6) м² = 2 ∙ 1,056 м² = 2,112 м²

3). L = 4 ∙ (а + b + с) – суму довжин усіх дванадцяти ребер паралелепіпеда. Значить:

L = 4 ∙ (0,24 м + 0,4 м + 1,5 м) = 4 ∙ 2,14 м = 8,56 м.

Відповідь: 0,144 м³ – об'єм, 2,112 м² – площа поверхні та 8,56 м – суму довжин всіх ребер даного прямокутного паралелепіпеда.

Розділи: Математика, Конкурс «Презентація до уроку»

Презентація до уроку

Назад вперед

Увага! Попередній перегляд слайдів використовується виключно для ознайомлення та може не давати уявлення про всі можливості презентації. Якщо вас зацікавила ця робота, будь ласка, завантажте повну версію.

Мета уроку:На практиці навчитися застосовувати формули обсягу та площі поверхні прямокутного паралелепіпеда.

Інструменти:мультимедійна установка, крейда, дошка, макети паралелепіпедів.

Хід уроку

I. Перевірка домашнього завдання.

ІІ. Усне опитування.

1. Скільки ребер прямокутного паралелепіпеда? Якою фігурою є?
2. Скільки граней прямокутного паралелепіпеда? Якою фігурою є?
3. Скільки вершин прямокутного паралелепіпеда? Якою фігурою є?

ІІІ. Робота з готовим кресленням.

1. Що таке a, b та c?
2. Як знайти площу бічної грані? Чи є ще грані з такою самою площею?
3. Як знайти площу верхньої грані?
4. Як знайти площу передньої грані?
5. Записати на дошці формулу для знаходження площі поверхні паралелепіпеда.
6. Записати формулу для знаходження обсягу паралелепіпеда.
7. У яких одиницях вимірюється площа поверхні паралелепіпеда, а яких обсяг.

IV. Розв'язати задачу за кресленням, зображеним на малюнку.

Знайти площу поверхні та обсяг прямокутного паралелепіпеда.

1. 3*4 = 12 (кв. см) – площа передньої поверхні.
2. 3 * 5 = 15 (кв. см) - площа бічної поверхні.
3. 4*5 = 20 (кв. см) – площа верхньої поверхні.
4. 2 * (12 +15 +20) = 94 (кв. см) - площа бічної поверхні паралелепіпеда.

Відповідь: 94 кв.

V. Практична частина. Роздати паралелепіпеди

1. Виміряти ребра паралелепіпеда (довжину, висоту та ширину). Записати результати у зошит.
2. Знайти площу бічної поверхні паралелепіпеда.
3. Знайти обсяг паралелепіпеда.
4. Підписати грань паралелепіпеда площа, якою дорівнює

• Варіант 1 – 14 кв. см
• Варіант 2 – 18 кв. см
• Варіант 3 – 48 кв. см

VI. Письмова робота на дошці із фронтальним обговоренням.

Знайти площу поверхні та обсяг прямокутного паралелепіпеда з вирізом.

1. 2 * (4 * 5 +5 * 5 + 5 * 4) = 130 кв. см – площа поверхні.
2. 5 * 5 * 4 = 100 куб. см - обсяг паралелепіпеда.

Відповідь: 130 кв. см та 100 куб. див.

VII. Завдання із практичним змістом.

Скільки цебер води по 8 літрів кожне, налито в акваріум, зображений на малюнку.

Ми знаємо, що 1 літр = 10 куб.

1. 25-5 = 20 (см) – висота налитої води.
2. 20 * 40 * 60 = 48000 (куб. см) – обсяг води в акваріумі.
   48000 куб. см = 48 куб. дм = 48 літрів
3. 48:8 = 6 (вед.) – води буде потрібно.