Певний інтеграл частинами приклади. Рішення інтегралів онлайн
Раніше ми за заданою функцією, керуючись різними формулами та правилами, знаходили її похідну. Похідна має численні застосування: це швидкість руху (або узагальнюючи швидкість протікання будь-якого процесу); кутовий коефіцієнт, що стосується графіку функції; за допомогою похідної можна досліджувати функцію на монотонність та екстремуми; вона допомагає вирішувати завдання оптимізацію.
Але поряд із завданням про знаходження швидкості за відомим законом руху зустрічається і зворотне завдання – завдання про відновлення закону руху за відомою швидкістю. Розглянемо одне з таких завдань.
приклад 1.По прямий рухається матеріальна точка, швидкість її руху на момент часу t задається формулою v=gt. Знайти закон руху.
Рішення. Нехай s = s(t) – шуканий закон руху. Відомо, що s"(t) = v(t). Значить, для вирішення задачі потрібно підібрати функцію s = s(t), похідна якої дорівнює gt. Неважко здогадатися, що \(s(t) = \frac(gt^) 2) (2) \).
\(s"(t) = \left(\frac(gt^2)(2) \right)" = \frac(g)(2)(t^2)" = \frac(g)(2) \ cdot 2t = gt \)
Відповідь: \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \)
Відразу зауважимо, що приклад вирішено правильно, але неповно. Ми отримали \(s(t) = \frac(gt^2)(2) \). Насправді завдання має безліч рішень: будь-яка функція виду \(s(t) = \frac(gt^2)(2) + C \), де C - довільна константа, може служити законом руху, оскільки \(\left (\frac(gt^2)(2) +C \right)" = gt \)
Щоб завдання стало більш визначеним, нам треба було зафіксувати вихідну ситуацію: вказати координату точки, що рухається в якийсь момент часу, наприклад при t = 0. Якщо, скажімо, s(0) = s 0 , то з рівності s(t) = (gt 2)/2 + C одержуємо: s(0) = 0 + С, тобто C = s 0 . Тепер закон руху визначено однозначно: s(t) = (gt 2)/2 + s 0 .
У математиці взаємно зворотним операціям надають різні назви, вигадують спеціальні позначення, наприклад: зведення в квадрат (х 2) і витяг квадратного кореня (\(\sqrt(x) \)), синус (sin x) і арксинус (arcsin x) і т. д. Процес знаходження похідної за заданою функцією називають диференціюванням, А зворотну операцію, тобто процес знаходження функції за заданою похідною, - інтегруванням.
Сам термін «похідна» можна обґрунтувати «життєво»: функція у = f(x) «витворює на світ» нову функцію у "= f"(x). Функція у = f(x) виступає хіба що як «батька», але математики, природно, не називають її «батьком» чи «виробником», вони кажуть, що це стосовно функції у" = f"(x) , первинний образ, або первісна.
Визначення.Функцію y = F(x) називають первісною для функції y = f(x) на проміжку X, якщо для (x \ in X \) виконується рівність F"(x) = f(x)
Насправді проміжок X зазвичай не вказують, але мають на увазі (як природної області визначення функції).
Наведемо приклади.
1) Функція у = х 2 є первісною для функції у = 2х, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x 2) "= 2х
2) Функція у = х 3 є первісною для функції у = 3х 2, оскільки для будь-якого х справедлива рівність (x 3) "= 3х 2
3) Функція у = sin(x) є первісною для функції y = cos(x), оскільки для будь-якого x справедлива рівність (sin(x))" = cos(x)
При знаходженні первісних, як і похідних, використовуються як формули, а й деякі правила. Вони безпосередньо пов'язані з відповідними правилами обчислення похідних.
Ми знаємо, що похідна сума дорівнює сумі похідних. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.
Правило 1.Первісна сума дорівнює сумі первісних.
Ми знаємо, що множник можна винести за знак похідної. Це породжує відповідне правило знаходження первісних.
Правило 2Якщо F(x) - первісна для f(x), то kF(x) - первісна для kf(x).
Теорема 1.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x), то першорядною для функції у = f(kx + m) служить функція \(y=\frac(1)(k)F(kx+m) \)
Теорема 2.Якщо y = F(x) - первісна для функції y = f(x) на проміжку X, то у функції у = f(x) нескінченно багато первісних, і всі вони мають вигляд y = F(x) + C.
Методи інтегрування
Метод заміни змінної (метод підстановки)
Метод інтегрування підстановкою полягає у запровадженні нової змінної інтегрування (тобто підстановки). При цьому заданий інтеграл приводиться до нового інтеграла, який є табличним або зводиться до нього. Загальних методів підбору підстановок немає. Вміння правильно визначити підстановку набуває практики.
Нехай потрібно обчислити інтеграл \(\textstyle \int F(x)dx \). Зробимо підстановку \(x= \varphi(t) \) де \(\varphi(t) \) - функція, що має безперервну похідну.
Тоді \(dx = \varphi "(t) \cdot dt \) і на підставі властивості інваріантності формули інтегрування невизначеного інтеграла отримуємо формулу інтегрування підстановкою:
\(\int F(x) dx = \int F(\varphi(t)) \cdot \varphi "(t) dt \)
Інтегрування виразів виду \(\textstyle \int \sin^n x \cos^m x dx \)
Якщо m непарне, m > 0, то зручніше зробити підстановку sin x = t.
Якщо n непарне, n > 0, зручніше зробити підстановку cos x = t.
Якщо n і m парні, зручніше зробити підстановку tg x = t.
Інтегрування частинами
Інтегрування частинами - застосування наступної формули для інтегрування:
\(\textstyle \int u \cdot dv = u \cdot v - \int v \cdot du \)
або:
\(\textstyle \int u \cdot v" \cdot dx = u \cdot v - \int v \cdot u" \cdot dx \)
Таблиця невизначених інтегралів (первоподібних) деяких функцій
$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) + C \; \; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x + C $$Інтегрування частинами. Приклади рішень
І знову здрастуйте. Сьогодні на уроці ми навчимося інтегрувати частинами. Метод інтегрування частинами – це з наріжних каменів інтегрального обчислення. На заліку, екзамені студенту майже завжди пропонують вирішити інтеграли таких типів: найпростіший інтеграл (див. статтю)або інтеграл на зміну змінної (див. статтю)або інтеграл саме на метод інтегрування частинами.
Як завжди, під рукою мають бути: Таблиця інтеграліві Таблиця похідних. Якщо у Вас досі немає, то, будь ласка, відвідайте комору мого сайту: Математичні формули та таблиці. Не втомлюся повторювати – краще все роздрукувати. Весь матеріал я постараюся викласти послідовно, просто і доступно, в інтегруванні частинами немає особливих труднощів.
Яке завдання вирішує метод інтегрування частинами? Метод інтегрування частинами вирішує дуже важливе завдання, він дозволяє інтегрувати деякі функції, відсутні в таблиці, твірфункцій, а деяких випадках – і приватне. Як ми пам'ятаємо, немає зручної формули: 
. Натомість є така: 
– формула інтегрування частинами своєї персоною. Знаю, знаю, ти одна така – з нею ми й працюватимемо весь урок (вже легше).
І одразу список у студію. Частками беруться інтеграли наступних видів:
1) , 
логарифм, логарифм, помножений на якийсь багаточлен.
2) ,
– експоненційна функція, помножена на якийсь багаточлен. Сюди можна віднести інтеграли на кшталт – показова функція, помножена на многочлен, але практично відсотках так у 97, під інтегралом красується симпатична буква «е». … щось ліричною виходить стаття, ах так… весна ж прийшла.
3) , 
, - Тригонометричні функції, помножені на якийсь багаточлен.
4) , – зворотні тригонометричні функції («арки»), «арки», помножені на якийсь багаточлен.
Також частинами беруться деякі дроби, відповідні приклади ми також докладно розглянемо.
Інтеграли від логарифмів
Приклад 1
Класика. Іноді цей інтеграл можна зустріти в таблицях, але користуватися готовою відповіддю небажано, оскільки у викладача весняний авітаміноз і він сильно залаяється. Тому що аналізований інтеграл аж ніяк не табличний - він береться частинами. Вирішуємо:
Перериваємо рішення на проміжні пояснення.
Використовуємо формулу інтегрування частинами: 
Формула застосовується зліва направо
Дивимося на ліву частину: . Очевидно, що в нашому прикладі (і в інших, які ми розглянемо) щось потрібно позначити за , а щось за .
В інтегралах типу за завжди позначається логарифм.
Технічно оформлення рішення реалізується так, в стовпчик записуємо:
Тобто за ми позначили логарифм, а за – рештупідінтегрального виразу.
Наступний етап: знаходимо диференціал:
Диференціал – це майже те саме, що й похідна, як його знаходити, ми вже розбирали на попередніх уроках.
Тепер знаходимо функцію. Щоб знайти функцію необхідно проінтегрувати праву частинунижньої рівності:
Тепер відкриваємо наше рішення та конструюємо праву частину формули: .
Ось, до речі, і зразок чистового рішення з невеликими позначками:
Єдиний момент, у творі я відразу переставив місцями і тому, що множник прийнято записувати перед логарифмом.
Як бачите, застосування формули інтегрування частинами, по суті, звело наше рішення до двох простих інтегралів.
Зверніть увагу, що у ряді випадків відразу післязастосування формули, під інтегралом, що залишився, обов'язково проводиться спрощення - в аналізованому прикладі ми скоротили підінтегральний вираз на «ікс».
Виконаємо перевірку. Для цього потрібно взяти похідну від відповіді:
Отримано вихідну підінтегральну функцію, отже, інтеграл вирішено правильно.
Під час перевірки ми використали правило диференціювання твору: 
. І це невипадково.
Формула інтегрування частинами 
та формула 
– це два взаємно зворотні правила.
Приклад 2
Знайти невизначений інтеграл.
Підінтегральна функція є твір логарифму на многочлен.
Вирішуємо.
Я ще раз докладно розпишу порядок застосування правила, надалі приклади будуть оформлятися коротше, і, якщо у Вас виникнуть труднощі в самостійному рішенні, потрібно повернутися назад до перших двох прикладів уроку.
Як мовилося раніше, необхідно позначити логарифм (те, що він у ступеня – значення немає). За позначаємо рештупідінтегрального виразу.
Записуємо у стовпчик:
Спочатку знаходимо диференціал:
Тут використано правило диференціювання складної функції 
. Не випадково, на першому уроці теми Невизначений інтеграл. Приклади рішенья наголосив на тому, що для того, щоб освоїти інтеграли, необхідно «набити руку» на похідних. Із похідними доведеться зіткнутися ще неодноразово.
Тепер знаходимо функцію, для цього інтегруємо праву частинунижньої рівності:
Для інтегрування ми застосували найпростішу табличну формулу 
Тепер все готове до застосування формули 
. Відкриваємо «зірочкою» і «конструюємо» рішення відповідно до правої частини:
Під інтегралом у нас знову багаточлен на логарифм! Тому рішення знову переривається і правило інтегрування частинами застосовується вдруге. Не забуваймо, що за схожих ситуаціях завжди позначається логарифм.
Добре, якщо до цього моменту найпростіші інтеграли і похідні Ви вміли знаходити усно.
(1) Не плутаємось у знаках! Дуже часто тут втрачають мінус, також зверніть увагу, що мінус відноситься до всієїдужці 
і ці дужки потрібно коректно розкрити.
(2) Розкриваємо дужки. Останній інтеграл спрощуємо.
(3) Беремо останній інтеграл.
(4) «Зачісуємо» відповідь.
Необхідність двічі (а то й тричі) застосовувати правило інтегрування частинами виникає не так вже й рідко.
А зараз кілька прикладів для самостійного вирішення:
Приклад 3
Знайти невизначений інтеграл.
Цей приклад вирішується шляхом заміни змінної (або підведенням під знак диференціала)! А чому б і ні - можете спробувати взяти його частинами, вийде кумедна річ.
Приклад 4
Знайти невизначений інтеграл.
А ось цей інтеграл інтегрується частинами (обіцяний дріб).
Це приклади для самостійного рішення, рішення та відповіді наприкінці уроку.
Начебто в прикладах 3,4 підінтегральні функції схожі, а ось методи вирішення – різні! У цьому-то і полягає основна труднощі освоєння інтегралів - якщо неправильно підібрати метод рішення інтеграла, то возитися з ним можна годинами, як з справжнісінькою головоломкою. Тому чим більше ви вирішуєте різних інтегралів – тим краще, тим легше пройдуть залік та іспит. Крім того, на другому курсі будуть диференціальні рівняння, а без досвіду вирішення інтегралів та похідних робити там нічого.
За логарифмами, мабуть, більш ніж достатньо. На закуску можу ще згадати, що студенти-технарі логарифмами називають жіночі груди =). До речі, корисно знати назубок графіки основних елементарних функцій: синуса, косинуса, арктангенса, експоненти, багаточленів третього, четвертого ступеня тощо. Ні, звичайно, презерватив на глобус
я натягувати не буду, але тепер ви багато запам'ятаєте з розділу Графіки та функції =).
Інтеграли від експоненти, помноженої на багаточлен
Загальне правило:
Приклад 5
Знайти невизначений інтеграл.
Використовуючи знайомий алгоритм, інтегруємо частинами:
Якщо виникли труднощі з інтегралом, слід повернутися до статті Метод заміни змінної у невизначеному інтегралі.
Єдине, що ще можна зробити, це «зачесати» відповідь:
Але якщо Ваша техніка обчислень не дуже хороша, то найвигідніший варіант залишити відповіддю 
або навіть 
Тобто приклад вважається вирішеним, коли взято останній інтеграл. Помилка не буде, інша справа, що викладач може попросити спростити відповідь.
Приклад 6
Знайти невизначений інтеграл.
Це приклад самостійного рішення. Цей інтеграл двічі інтегрується частинами. Особливу увагу слід звернути на знаки - тут легко заплутатися в них, також пам'ятаємо, що - складна функція.
Більше про експонента розповідати особливо нічого. Можу тільки додати, що експонента та натуральний логарифм взаємно-зворотні функції, це я до теми цікавих графіків вищої математики =) Стоп-стоп, не хвилюємося, лектор тверезий.
Інтеграли від тригонометричних функцій, помножених на багаточлен
Загальне правило: за завжди позначається багаточлен
Приклад 7
Знайти невизначений інтеграл.
Інтегруємо частинами:
Хммм, …і коментувати нема чого.
Приклад 8
Знайти невизначений інтеграл 
Це приклад для самостійного вирішення
Приклад 9
Знайти невизначений інтеграл
Ще один приклад із дробом. Як і двох попередніх прикладах за позначається многочлен.
Інтегруємо частинами: 
Якщо виникли труднощі або непорозуміння зі знаходженням інтеграла, рекомендую відвідати урок Інтеграли від тригонометричних функцій.
Приклад 10
Знайти невизначений інтеграл 
Це приклад самостійного рішення.
Підказка: перед використанням методу інтегрування частинами слід застосувати деяку тригонометричну формулу, яка перетворює добуток двох тригонометричних функцій в одну функцію. Формулу також можна використовувати і в ході застосування методу інтегрування частинами, кому як зручніше.
Ось, мабуть, і все в цьому параграфі. Чомусь згадався рядок з гімну фізмата «А синуса графік хвиля за хвилею по осі абсцис пробігає».
Інтеграли від зворотних тригонометричних функцій.
Інтеграли від зворотних тригонометричних функцій, помножених на багаточлен
Загальне правило: за завжди позначається зворотна тригонометрична функція.
Нагадую, що до зворотних тригонометричних функцій відносяться арксинус, арккосинус, арктангенс і арккотангенс. Для стислості запису я називатиму їх «арками»
до обчислення інтегралу 
, Який виявляється більш простим, ніж даний.
,
,
, де 
- багаточлен, 
- Число, не рівне нулю
позначають багаточлен 
.
,
,
,
,
, де 
– багаточлен.
позначають 
, а решту підінтегрального виразу через 
:
,
, де 
- Числа.
позначають 
і застосовують формулу інтегрування частинами двічі, повертаючись в результаті до вихідного інтегралу, після чого вихідний інтеграл виражається з рівності.
; б) 
.
, де 
- багаточлен ступеня 
,
- багаточлен ступеня
.
, в іншому випадку (якщо 
) раціональний дріб називається неправильною.
і правильного раціонального дробу, розділивши чисельник на знаменник за правилом поділу багаточленів:
,
- ціла частина від розподілу, 
- правильний раціональний дріб, 
- залишок від ділення.
;
;
;
,
,
,
,
,
,
,
– дійсні числа та 
(тобто квадратний тричлен у знаменнику III і IV дробів не має коріння – дискримінант негативний) називаються найпростішими раціональними дробами I, II, III та IV типів.
.
.
. Інтеграл після підстановки розбивають на два інтеграли. Перший інтеграл обчислюють виділенням у чисельнику похідної знаменника, що дає табличний інтеграл, а другий інтеграл перетворюють на вигляд 
, так як 
що також дає табличний інтеграл.
;
. Інтеграл після підстановки розбивають на два інтеграли. Перший інтеграл обчислюють підстановкою 
, а другий за допомогою рекурентних співвідношень.
; б) 
; в) 
.
.
відповідає один дріб виду 
;
відповідає сума 
дробів виду
відповідає дріб виду 
;
відповідає сума 
дробів виду
. Прирівнюючи коефіцієнти за однакових ступенів 
у многочленах лівої та правої частин, отримаємо систему лінійних рівнянь. Вирішуючи систему, визначаємо невизначені коефіцієнти.
у ліву та праву частини будь-яке число, отримаємо правильну рівність, лінійне щодо невідомих коефіцієнтів. Підставляючи стільки значень 
, скільки невідомих коефіцієнтів, отримаємо систему лінійних рівнянь Замість 
у ліву та праву частини можна підставляти будь-які числа, проте зручніше підставляти коріння знаменників дробів.
; б) 
; в) 
.
.
.
, отримуємо:
.
.
.
.
, отримуємо систему:
.
.
.
.
приватні значення , при яких множники перетворюються на нуль, тобто підставимо ці значення в останній вираз і отримаємо три рівняння:
; 
;
; 
;
; 
.
(38)
(39)
(40)
(41)
(42)
(43)
(44)
(45)
(46)
(47)
(48)
