Uzay formülündeki vektörler arasındaki açı. Vektörlerin nokta çarpımı

Bir vektörün uzunluğu, vektörler arasındaki açı - bu kavramlar, bir vektörü belirli bir yöndeki bir parça olarak tanımlarken doğal olarak uygulanabilir ve sezgiseldir. Aşağıda üç boyutlu uzayda vektörler arasındaki açıyı, kosinüsünü nasıl belirleyeceğimizi öğreneceğiz ve örnekler kullanarak teoriyi ele alacağız.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Vektörler arasındaki açı kavramını düşünmek için grafiksel bir açıklamaya dönelim: bir düzlemde veya üç boyutlu uzayda sıfır olmayan iki a → ve b → vektörünü tanımlayalım. Ayrıca rastgele bir O noktası belirleyelim ve O A → = b → ve O B → = b → vektörlerini buradan çizelim.

Tanım 1

Açı a → ve b → vektörleri arasındaki açı O A ve O B ışınları arasındaki açıdır.

Ortaya çıkan açıyı şu şekilde göstereceğiz: a → , b → ^

Açıkçası, açı 0 ila π veya 0 ila 180 derece arasında değerler alabilir.

a → , b → ^ = 0 vektörler eş yönlü olduğunda ve a → , b → ^ = π vektörler zıt yönlü olduğunda.

Tanım 2

Vektörler denir dik aralarındaki açı 90 derece veya π 2 radyan ise.

Vektörlerden en az biri sıfır ise a → , b → ^ açısı tanımlı değildir.

İki vektör arasındaki açının kosinüsü ve dolayısıyla açının kendisi, genellikle vektörlerin skaler çarpımı kullanılarak veya verilen iki vektörden oluşturulan bir üçgen için kosinüs teoremi kullanılarak belirlenebilir.

Tanıma göre skaler çarpım a → , b → = a → · b → · çünkü a → , b → ^ .

Verilen a → ve b → vektörleri sıfır değilse, eşitliğin sağ ve sol taraflarını bu vektörlerin uzunluklarının çarpımına bölebilir, böylece olmayanlar arasındaki açının kosinüsünü bulmak için bir formül elde edebiliriz. sıfır vektörler:

çünkü a → , b → ^ = a → , b → a → b →

Bu formül, kaynak veriler vektörlerin uzunluklarını ve bunların skaler çarpımını içerdiğinde kullanılır.

örnek 1

Başlangıç ​​verileri: a → ve b → vektörleri. Uzunlukları sırasıyla 3 ve 6 olup skaler çarpımları -9'dur. Vektörler arasındaki açının kosinüsünü hesaplamak ve açının kendisini bulmak gerekir.

Çözüm

İlk veriler yukarıda elde edilen formülü uygulamak için yeterlidir, daha sonra cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Şimdi vektörler arasındaki açıyı belirleyelim: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Cevap: çünkü a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Daha sık olarak, vektörlerin dikdörtgen bir koordinat sistemindeki koordinatlarla belirtildiği problemler vardır. Bu gibi durumlarda aynı formülün koordinat formunda türetilmesi gerekir.

Bir vektörün uzunluğu, koordinatlarının kareleri toplamının karekökü olarak tanımlanır ve vektörlerin skaler çarpımı, karşılık gelen koordinatların çarpımlarının toplamına eşittir. Daha sonra a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) düzlemindeki vektörler arasındaki açının kosinüsünü bulma formülü şuna benzer:

çünkü a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Ve üç boyutlu uzayda vektörler arasındaki açının kosinüsünü bulma formülü a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) şöyle görünecektir: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Örnek 2

Başlangıç ​​verileri: dikdörtgen koordinat sisteminde a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) vektörleri. Aralarındaki açıyı belirlemek gerekir.

Çözüm

1. Sorunu çözmek için hemen formülü uygulayabiliriz:

çünkü a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70

1. Aşağıdaki formülü kullanarak açıyı da belirleyebilirsiniz:

çünkü a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

ancak önce vektörlerin uzunluklarını ve skaler çarpımı koordinatlara göre hesaplayın: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 çünkü a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - klima cos 1 70

Cevap: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Ayrıca, üç noktanın koordinatlarının dikdörtgen bir koordinat sisteminde verildiği ve bir açının belirlenmesinin gerekli olduğu görevler de yaygındır. Daha sonra, belirli nokta koordinatlarına sahip vektörler arasındaki açıyı belirlemek için, vektörlerin koordinatlarını, vektörün başlangıç ​​ve bitiş noktalarının karşılık gelen noktaları arasındaki fark olarak hesaplamak gerekir.

Örnek 3

Başlangıç ​​verileri: A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2) noktaları düzlem üzerinde dikdörtgen koordinat sisteminde verilmiştir. A C → ve B C → vektörleri arasındaki açının kosinüsünü belirlemek gerekir.

Çözüm

Verilen noktaların koordinatlarından vektörlerin koordinatlarını bulalım A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, - 4)

Şimdi bir düzlemdeki vektörler arasındaki açının kosinüsünü koordinat cinsinden belirlemek için formülü kullanıyoruz: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Cevap: çünkü A C → , B C → ^ = 3 13

Vektörler arasındaki açı kosinüs teoremi kullanılarak belirlenebilir. O A → = a → ve O B → = b → vektörlerini O noktasından bir kenara bırakalım, o zaman O A B üçgenindeki kosinüs teoremine göre eşitlik doğru olacaktır:

A B 2 = Ö A 2 + Ö B 2 - 2 · O A · Ö B · çünkü (∠ A O B) ,

bu şuna eşdeğerdir:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → çünkü (a → , b →) ^

ve buradan açının kosinüsü formülünü türetiyoruz:

çünkü (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

Ortaya çıkan formülü uygulamak için vektörlerin koordinatlarından kolayca belirlenebilecek uzunluklarına ihtiyacımız var.

Bu yöntem gerçekleşmesine rağmen, formül hala daha sık kullanılmaktadır:

çünkü (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.

Vektörlerin skaler çarpımı (bundan sonra SP olarak anılacaktır). Sevgili arkadaşlar! Matematik sınavı vektörlerin çözümüne ilişkin bir grup problem içerir. Zaten bazı sorunları değerlendirdik. Bunları “Vektörler” kategorisinde görebilirsiniz. Genel olarak vektör teorisi karmaşık değildir, asıl önemli olan onu tutarlı bir şekilde incelemektir. Okul matematik dersinde vektörlerle yapılan hesaplamalar ve işlemler basittir, formüller karmaşık değildir. Şuna baksana. Bu yazıda vektörlerin SP'si (Birleşik Devlet Sınavına dahil) ile ilgili sorunları analiz edeceğiz. Şimdi teoriye “daldırma”:

H Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, sonunun koordinatlarından çıkarmanız gerekir.kökeninin karşılık gelen koordinatları

Ve ilerisi:

*Vektör uzunluğu (modülü) aşağıdaki şekilde belirlenir:

Bu formüller unutulmamalı!!!

Vektörler arasındaki açıyı gösterelim:

0 ila 180 0 arasında değişebileceği açıktır.(veya 0'dan Pi'ye kadar radyan cinsinden).

Skaler çarpımın işareti hakkında bazı sonuçlar çıkarabiliriz. Vektörlerin uzunlukları pozitif bir değere sahiptir, bu açıktır. Bu, skaler çarpımın işaretinin, vektörler arasındaki açının kosinüsüne bağlı olduğu anlamına gelir.

Olası durumlar:

1. Vektörler arasındaki açı dar ise (0 0'dan 90 0'a kadar), açının kosinüsü pozitif bir değere sahip olacaktır.

2. Vektörler arasındaki açı genişse (90 0'dan 180 0'a kadar), açının kosinüsü negatif bir değere sahip olacaktır.

*Sıfır derecede yani vektörler aynı yöne sahip olduğunda kosinüs bire eşit olur ve dolayısıyla sonuç pozitif olur.

180°'de, yani vektörler zıt yönlere sahip olduğunda kosinüs eksi bire eşittir,ve buna göre sonuç negatif olacaktır.

Şimdi ÖNEMLİ NOKTA!

90°'de, yani vektörler birbirine dik olduğunda kosinüs sıfıra eşittir ve dolayısıyla SP sıfıra eşittir. Bu gerçek (sonuç, sonuç), matematik görevlerinin açık bankasında yer alan problemler de dahil olmak üzere, vektörlerin göreceli konumu hakkında konuştuğumuz birçok problemin çözümünde kullanılır.

İfadeyi formüle edelim: Skaler çarpım, ancak ve ancak bu vektörlerin dik çizgiler üzerinde yer alması durumunda sıfıra eşittir.

Yani, SP vektörleri için formüller:

Vektörlerin koordinatları veya başlangıç ​​ve bitiş noktalarının koordinatları biliniyorsa, vektörler arasındaki açıyı her zaman bulabiliriz:

Görevleri ele alalım:

27724 a ve b vektörlerinin skaler çarpımını bulun.

Vektörlerin skaler çarpımını iki formülden birini kullanarak bulabiliriz:

Vektörler arasındaki açı bilinmiyor ancak vektörlerin koordinatlarını kolaylıkla bulup ilk formülü kullanabiliriz. Her iki vektörün orijini koordinatların orijini ile çakıştığı için bu vektörlerin koordinatları uçlarının koordinatlarına eşittir, yani

Bir vektörün koordinatlarının nasıl bulunacağı bölümünde açıklanmaktadır.

Hesaplıyoruz:

Cevap: 40

Vektörlerin koordinatlarını bulalım ve formülü kullanalım:

Bir vektörün koordinatlarını bulmak için, başlangıcının karşılık gelen koordinatlarını vektörün bitişinin koordinatlarından çıkarmak gerekir; bu şu anlama gelir:

Skaler çarpımı hesaplıyoruz:

Cevap: 40

a ve b vektörleri arasındaki açıyı bulun. Cevabınızı derece cinsinden verin.

Vektörlerin koordinatları şu şekilde olsun:

Vektörler arasındaki açıyı bulmak için vektörlerin skaler çarpımı formülünü kullanırız:

Vektörler arasındaki açının kosinüsü:

Buradan:

Bu vektörlerin koordinatları eşittir:

Bunları formülde yerine koyalım:

Vektörler arasındaki açı 45 derecedir.

Cevap: 45

İki vektör arasındaki açı:

İki vektör arasındaki açı dar ise, bunların skaler çarpımı pozitiftir; vektörler arasındaki açı genişse, bu vektörlerin skaler çarpımı negatiftir. Sıfırdan farklı iki vektörün skaler çarpımı, ancak ve ancak bu vektörlerin dik olması durumunda sıfıra eşittir.

Egzersiz yapmak. Vektörler arasındaki açıyı bulun ve

Çözüm.İstenilen açının kosinüsü

16. Düz çizgiler, düz çizgi ve düzlem arasındaki açının hesaplanması

Düz bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açı Bu çizgiyle kesişen ve ona dik olmayan açı, çizgi ile onun bu düzlem üzerindeki izdüşümü arasındaki açıdır.

Bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının belirlenmesi, bir çizgi ile bir düzlem arasındaki açının kesişen iki çizgi arasındaki açı olduğu sonucuna varmamızı sağlar: düz çizginin kendisi ve onun düzlem üzerindeki izdüşümü. Bu nedenle düz bir çizgi ile düzlem arasındaki açı dar açıdır.

Dik bir düz çizgi ile bir düzlem arasındaki açının eşit olduğu kabul edilir ve paralel bir düz çizgi ile bir düzlem arasındaki açı ya hiç belirlenmez ya da eşit kabul edilir.

§ 69. Düz çizgiler arasındaki açının hesaplanması.

Uzayda iki düz çizgi arasındaki açının hesaplanması sorunu, düzlemde olduğu gibi çözülür (§ 32). Çizgiler arasındaki açının büyüklüğünü φ ile gösterelim. ben 1 ve ben 2 ve ψ'ya kadar - yön vektörleri arasındaki açının büyüklüğü A Ve B bu düz çizgiler.

O zaman eğer

ψ 90° (Şekil 206.6), o zaman φ = 180° - ψ. Açıkçası, her iki durumda da cos φ = |cos ψ| eşitliği doğrudur. Formül (1) § 20'ye göre elimizde

buradan,

Doğrular kanonik denklemleriyle verilsin

Daha sonra çizgiler arasındaki φ açısı formül kullanılarak belirlenir.

Çizgilerden biri (veya her ikisi) kanonik olmayan denklemlerle verilmişse, açıyı hesaplamak için bu çizgilerin yön vektörlerinin koordinatlarını bulmanız ve ardından formül (1)'i kullanmanız gerekir.

17. Paralel Doğrular, Paralel Doğrular Üzerine Teoremler

Tanım. Düzlemdeki iki doğruya denir paralel ortak noktaları yoksa.

Üç boyutlu uzayda iki doğruya ne denir paralel, eğer aynı düzlemde yer alıyorlarsa ve ortak noktaları yoksa.

İki vektör arasındaki açı.

Nokta çarpımın tanımından:

.

İki vektörün diklik koşulu:

İki vektörün eşdoğrusallık koşulu:

.

Tanım 5 -'den gelir. Gerçekten de, bir vektör ile bir sayının çarpımının tanımından şu sonuç çıkar. Bu nedenle, vektörlerin eşitliği kuralına dayanarak, , , yazıyoruz; bu şu anlama gelir: . Ancak vektörün sayıyla çarpılmasından elde edilen vektör, vektörle eşdoğrusaldır.

Vektörün vektör üzerine izdüşümü:

.

Örnek 4. Verilen noktalar , , , .

Nokta çarpımını bulun.

Çözüm. koordinatlarına göre belirtilen vektörlerin skaler çarpımı formülünü kullanarak buluruz. Çünkü

, ,

Örnek 5. Verilen noktalar , , , .

Projeksiyonu bulun.

Çözüm. Çünkü

, ,

Projeksiyon formülüne dayanarak,

.

Örnek 6. Verilen noktalar , , , .

Ve vektörleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. Vektörlerin

, ,

Koordinatları orantılı olmadığından eşdoğrusal değildir:

.

Bu vektörler de skaler çarpımları olduğundan dik değildir.

Bulalım

Köşe formülden buluyoruz:

.

Örnek 7. Hangi vektörlerde olduğunu belirleyin ve doğrusal.

Çözüm. Doğrusallık durumunda, vektörlerin karşılık gelen koordinatları ve orantılı olmalıdır, yani:

.

Dolayısıyla ve.

Örnek 8. Vektörün hangi değerinde olduğunu belirleyin Ve dik.

Çözüm. Vektör ve eğer skaler çarpımları sıfır ise diktirler. Bu koşuldan şunu elde ederiz: . Yani, .

Örnek 9. Bulmak , Eğer , , .

Çözüm. Skaler çarpımın özelliklerinden dolayı elimizde:

Örnek 10. Ve vektörleri arasındaki açıyı bulun, nerede ve - birim vektörler ve vektörler arasındaki açı 120°'ye eşittir.

Çözüm. Sahibiz: , ,

Sonunda elimizde: .

5 B. Vektör çizimleri.

Tanım 21.Vektör çizimleri vektöre göre vektöre bir vektör denir veya aşağıdaki üç koşulla tanımlanır:

1) Vektörün modülü eşittir, burada vektörler arasındaki açıdır, yani. .

Bundan, vektör çarpımının modülünün, vektörler ve her iki taraf üzerinde oluşturulan bir paralelkenarın alanına sayısal olarak eşit olduğu sonucu çıkar.

2) Vektör, vektörlerin her birine diktir ve ( ; ), yani. ve vektörleri üzerine inşa edilen bir paralelkenarın düzlemine dik.

3) Vektör, ucundan bakıldığında, vektörden vektöre en kısa dönüş saat yönünün tersine olacak şekilde yönlendirilmiştir (vektörler, sağ üçlü oluşturur).

Vektörler arasındaki açılar nasıl hesaplanır?

Geometri çalışırken vektörler konusunda birçok soru ortaya çıkar. Öğrenci, vektörler arasındaki açıları bulmak gerektiğinde özellikle zorluklarla karşılaşır.

Temel kurallar

Vektörler arasındaki açılara bakmadan önce, bir vektörün tanımına ve vektörler arasındaki açı kavramına aşina olmak gerekir.

Bir vektör, bir yönü olan, yani başlangıcı ve bitişi tanımlanmış bir parçadır.

Ortak bir orijine sahip bir düzlem üzerindeki iki vektör arasındaki açı, açılardan, vektörlerden birinin, yönleri çakışana kadar ortak nokta etrafında hareket ettirilmesi gereken miktar kadar küçüktür.

Çözüm formülü

Bir vektörün ne olduğunu ve açısının nasıl belirlendiğini anladıktan sonra vektörler arasındaki açıyı hesaplayabilirsiniz. Bunun çözüm formülü oldukça basittir ve uygulamasının sonucu açının kosinüsünün değeri olacaktır. Tanıma göre, vektörlerin skaler çarpımının uzunluklarının çarpımına oranına eşittir.

Vektörlerin skaler çarpımı, faktör vektörlerinin karşılık gelen koordinatlarının toplamının birbiriyle çarpılmasıyla hesaplanır. Bir vektörün uzunluğu veya modülü, koordinatlarının karelerinin toplamının karekökü olarak hesaplanır.

Açının kosinüsünün değerini aldıktan sonra, açının değerini bir hesap makinesi veya trigonometrik bir tablo kullanarak hesaplayabilirsiniz.

Örnek

Vektörler arasındaki açının nasıl hesaplanacağını öğrendikten sonra ilgili problemin çözümü basit ve net hale gelecektir. Örnek olarak, bir açının değerini bulma gibi basit bir problemi ele almaya değer.

Öncelikle vektör uzunluklarının değerlerini ve bunların çözüm için gerekli skaler çarpımını hesaplamak daha uygun olacaktır. Yukarıda sunulan açıklamayı kullanarak şunları elde ederiz:

Elde edilen değerleri formülde değiştirerek istenen açının kosinüsünün değerini hesaplıyoruz:

Bu sayı beş ortak kosinüs değerinden biri değildir, dolayısıyla açıyı elde etmek için bir hesap makinesi veya Bradis trigonometrik tablosunu kullanmanız gerekecektir. Ancak vektörler arasındaki açıyı bulmadan önce formül, fazladan negatif işaretten kurtulmak için basitleştirilebilir:

Doğruluğu korumak için son cevap olduğu gibi bırakılabilir veya açının değerini derece cinsinden hesaplayabilirsiniz. Bradis tablosuna göre değeri yaklaşık 116 derece 70 dakika olacak ve hesap makinesi 116,57 derece değerini gösterecektir.

N boyutlu uzayda bir açının hesaplanması

Üç boyutlu uzayda iki vektör ele alındığında aynı düzlemde yer almıyorlarsa hangi açıdan bahsettiğimizi anlamak çok daha zordur. Algılamayı kolaylaştırmak için aralarında en küçük açıyı oluşturan iki kesişen parça çizebilirsiniz, istenen bu olacaktır. Vektörde üçüncü bir koordinat bulunsa bile vektörler arasındaki açıların hesaplanma süreci değişmeyecektir. Vektörlerin skaler çarpımını ve modüllerini hesaplayın; bölümlerinin ark kosinüsü bu sorunun cevabını verecektir.

Geometride genellikle üçten fazla boyuta sahip uzaylarla ilgili problemler vardır. Ancak onlar için cevabı bulma algoritması benzer görünüyor.

0 ile 180 derece arasındaki fark

Vektörler arasındaki açıyı hesaplamak için tasarlanan bir problemin cevabını yazarken yapılan yaygın hatalardan biri, vektörlerin paralel olduğunu yani istenen açının 0 veya 180 dereceye eşit olduğunu yazmaya karar vermektir. Bu cevap yanlış.

Çözüm sonucunda açı değeri 0 derece alındığında doğru cevap, vektörleri eş yönlü olarak belirlemek yani vektörler aynı yöne sahip olacaktır. 180 derece elde edilirse vektörler zıt yönlü olacaktır.

Belirli vektörler

Vektörler arasındaki açıları bulduktan sonra yukarıda açıklanan eş yönlü ve zıt yönlü olanlara ek olarak özel türlerden birini bulabilirsiniz.

• Bir düzleme paralel birkaç vektöre eş düzlemli denir.
• Uzunluğu ve yönü aynı olan vektörlere eşit denir.
• Yönü ne olursa olsun aynı düz çizgi üzerinde yer alan vektörlere eşdoğrusal denir.
• Bir vektörün uzunluğu sıfırsa, yani başlangıcı ve sonu çakışıyorsa buna sıfır, bir ise birim denir.

Vektörler arasındaki açı nasıl bulunur?

bana yardım et lütfen! Formülü biliyorum ama hesaplayamıyorum ((
vektör a (8; 10; 4) vektör b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Koordinatlarıyla belirlenen vektörler arasındaki açı, standart bir algoritma kullanılarak bulunur. Öncelikle a ve b vektörlerinin skaler çarpımını bulmanız gerekir: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Bu vektörlerin koordinatlarını burada yerine koyarız ve hesaplarız:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Daha sonra her vektörün uzunluğunu belirliyoruz. Bir vektörün uzunluğu veya modülü, koordinatlarının karelerinin toplamının kareköküdür:
|bir| = (x1^2 + y1^2 + z1^2)'nin kökü = (8^2 + 10^2 + 4^2)'nin kökü = (64 + 100 + 16)'nın kökü = 180'in kökü = 6'nın kökü 5
|b| = (x2^2 + y2^2 + z2^2)'nin kökü = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2)'nin kökü = (25 + 400 + 100)'ün kökü = kök 525 = 21'in 5 kökü.
Bu uzunlukları çarpıyoruz. 105 kökten 30 kök alıyoruz.
Ve son olarak vektörlerin skaler çarpımını bu vektörlerin uzunluklarının çarpımına bölüyoruz. -200/(105'in 30 kökü) veya
- (105'in 4 kökü) / 63. Bu, vektörler arasındaki açının kosinüsüdür. Ve açının kendisi de bu sayının ark kosinüsüne eşittir
f = arccos(105'in -4 kökü) / 63.
Her şeyi doğru saymışsam.

Vektörlerin koordinatlarını kullanarak vektörler arasındaki açının sinüsünü hesaplama

Mihail Tkaçev

Bu vektörleri çarpalım. Bunların skaler çarpımı, bu vektörlerin uzunluklarının çarpımına ve aralarındaki açının kosinüsüne eşittir.
Açı bizim için bilinmiyor, ancak koordinatlar biliniyor.
Bunu matematiksel olarak şu şekilde yazalım.
a(x1;y1) ve b(x2;y2) vektörleri verilsin
Daha sonra

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Hadi Konuşalım.
Vektörlerin a*b-skaler çarpımı, bu vektörlerin koordinatlarının karşılık gelen koordinatlarının çarpımlarının toplamına eşittir, yani x1*x2+y1*y2'ye eşittir

|a|*|b|-vektör uzunluklarının çarpımı √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)'ye eşittir.

Bu, vektörler arasındaki açının kosinüsünün şuna eşit olduğu anlamına gelir:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Bir açının kosinüsünü bildiğimizde sinüsünü hesaplayabiliriz. Bunu nasıl yapacağımızı tartışalım:

Bir açının kosinüsü pozitifse, bu açı 1 veya 4 çeyrekte yer alır; bu, sinüsünün pozitif veya negatif olduğu anlamına gelir. Ancak vektörler arasındaki açı 180 dereceden küçük veya ona eşit olduğundan sinüsü pozitiftir. Kosinüsün negatif olması durumunda da benzer şekilde mantık yürütürüz.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

İşte bu)))) bunu çözmede iyi şanslar)))

Dmitri Levişçev

Doğrudan sinüsün imkansız olduğu gerçeği doğru değil.
Formüle ek olarak:
(a,b)=|a|*|b|*çünkü A
Bir de bu var:
||=|a|*|b|*sin A
Yani skaler çarpım yerine vektör çarpımının modülünü alabilirsiniz.

Bölümler: Matematik

Ders türü: yeni materyal öğrenmek.

Eğitimsel görevler:

– iki vektör arasındaki açıyı hesaplamak için bir formül türetin;

– problemleri çözmek için vektörleri uygulama becerilerini geliştirmeye devam etmek;

– problem çözme yoluyla matematiğe olan ilgiyi geliştirmeye devam etmek;

– öğrenme sürecine karşı bilinçli bir tutum geliştirmek, bilginin kalitesi için sorumluluk duygusu aşılamak, egzersizleri çözme ve tasarlama süreci üzerinde öz kontrol uygulamak.

Sınıfların sağlanması:

– “Düzlemde ve uzayda vektörler” tablosu;

– bireysel sorgulama için görev kartları;

– test çalışması için görev kartları;

- mikro hesap makineleri.

Öğrenci şunları bilmelidir:

– vektörler arasındaki açıyı hesaplamak için formül.

Öğrenci şunları yapabilmelidir:

– Edinilen bilgiyi analitik, geometrik ve uygulamalı problemlerin çözümünde uygular.

Öğrencilerin bilişsel aktivitelerinin motivasyonu.

Öğretmen, bugün sınıfta öğrencilerin vektörler arasındaki açıyı hesaplamayı öğreneceklerini ve edindikleri bilgileri teknik mekanik ve fizik problemlerini çözmek için uygulayacaklarını bildirdi. “Teknik Mekanik” disiplinindeki problemlerin çoğu vektör yöntemiyle çözülmektedir. Bu nedenle, “Yakınlaşan kuvvetlerin düzlem sistemi”, “İki kuvvetin sonucunu bulma” konusunu incelerken, iki vektör arasındaki açıyı hesaplama formülü kullanılır.

Dersin ilerleyişi.

I. Organizasyon anı.

II. Ev ödevlerini kontrol ediyorum.

a) Kartları kullanarak bireysel anket.

Kart 1.

1.İki vektörün toplamının özelliklerini yazınız.

2. Hangi değerde M vektörler ve doğrusal olacaklar mı?

Kart 2.

1. Bir vektör ile bir sayının çarpımına ne denir?

2. Vektörler ve ?

Kart 3.

1. İki vektörün skaler çarpımının tanımını formüle edin.

2. Vektörlerin uzunluğunun hangi değerinde ve eşit olacaklar mı?

Kart 4.

1. Bir vektörün koordinatlarını ve bir vektörün uzunluğunu hesaplamak için formüller yazın?

2. Vektörler ve ?

b) Ön anket soruları:

1. Koordinatlarıyla belirtilen vektörler üzerinde hangi eylemler gerçekleştirilebilir?
2. Hangi vektörlere eşdoğrusal denir?
3. Sıfır olmayan iki vektörün eşdoğrusallık koşulu?
4. Vektörler arasındaki açıyı mı belirliyorsunuz?
5. Sıfır olmayan iki vektörün skaler çarpımının tanımı?
6. İki vektörün birbirine dik olması için gerekli ve yeterli koşul?
7. İki vektörün skaler çarpımının fiziksel anlamı nedir?
8. İki vektörün düzlemdeki ve uzaydaki koordinatları aracılığıyla skaler çarpımını hesaplamak için formüller yazın.
9. Bir vektörün düzlemdeki ve uzaydaki uzunluğunu hesaplamak için formüller yazın.

III. Yeni materyal öğrenme.

a) Düzlemdeki ve uzaydaki vektörler arasındaki açıyı hesaplamak için bir formül türetelim. Sıfır olmayan iki vektörün skaler çarpımının tanımı gereği:

çünkü

Bu nedenle, eğer ve ise, o zaman

sıfır olmayan vektörler arasındaki açının kosinüsü ve bu vektörlerin skaler çarpımının uzunluklarının çarpımına bölünmesine eşittir. Vektörler bir düzlemde dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde belirtilmişse, aralarındaki açının kosinüsü aşağıdaki formülle hesaplanır:

= (x 1; y 1); = (x 2 ; y 2)

çünkü =

Uzayda: = (x 1; y 1; z 1); = (x 2 ; y 2 ​​​​; z 2)

çünkü =

Problemleri çözmek:

Görev 1:= (1; -2), = (-3; 1) vektörleri arasındaki açıyı bulun.

Arccos = 135°

Görev 2: ABC üçgeninde B açısının ölçüsünü bulunuz.

A (0; 5; 0), B (4; 3; -8), C (-1; -3; -6).

çünkü = =

Görev 3: Vektörler arasındaki açıyı bulun ve eğer A (1; 6),

B (1; 0), C (-2; 3).

çünkü = = = –

IV. Tipik problemlerin çözümünde bilginin uygulanması.

ANALİTİK BİR KARAKTERİN GÖREVLERİ.

Vektörler arasındaki açıyı belirleyin ve eğer A (1; -3; -4) ise,

B (-1; 0; 2), C (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

, = 30° ise vektörlerin skaler çarpımını bulun.

Vektör uzunluklarının hangi değerlerinde ve eşit olacaklar mı?

Vektörler arasındaki açıyı hesaplayın ve

Vektörler kullanılarak oluşturulan paralelkenarın alanını hesaplayın

Ve .

UYGULANAN GÖREVLER

= 5H ise, 1 ve 2 numaralı iki kuvvetin sonucunu bulun; = 7H, aralarındaki açı = 60°.

° + .

Uygulama noktası doğrusal olarak hareket ederek A konumundan (-1; 3) B konumuna (3; 4) hareket ediyorsa, kuvvetin yaptığı işi = (6; 2) hesaplayın.

Maddesel noktanın hızı ve ona etki eden kuvvet olsun. = 5H, = 3,5 m/s ise kuvvetin ürettiği güç nedir?

VI. Dersi özetlemek.

VII. Ev ödevi:

G.N. Yakovlev, Geometri, §22, paragraf 3, s.191

Sayı 5.22, Sayı 5.27, s.192.