Gaussova reverzná metóda. Gaussova metóda (sekvenčná eliminácia neznámych)

Riešenie sústav lineárnych rovníc Gaussovou metódou. Predpokladajme, že potrebujeme nájsť riešenie pre systém z n lineárne rovnice s n neznáme premenné
ktorého determinant hlavnej matice je odlišný od nuly.

Podstata Gaussovej metódy pozostáva z postupného odstraňovania neznámych premenných: najskôr eliminácie x 1 zo všetkých rovníc systému, počnúc druhou, je ďalej vylúčená x 2 zo všetkých rovníc, počnúc treťou a tak ďalej, až kým v poslednej rovnici nezostane len neznáma premenná x n. Tento proces transformácie systémových rovníc na sekvenčnú elimináciu neznámych premenných sa nazýva priama Gaussova metóda. Po dokončení doprednej progresie Gaussovej metódy z poslednej rovnice nájdeme x n, pomocou tejto hodnoty z predposlednej rovnice, ktorú vypočítame xn-1, a tak ďalej, z prvej rovnice, ktorú nájdeme x 1. Proces výpočtu neznámych premenných pri prechode od poslednej rovnice systému k prvej sa nazýva inverzná ku Gaussovej metóde.

Stručne popíšme algoritmus na elimináciu neznámych premenných.

Budeme predpokladať, že , pretože to môžeme vždy dosiahnuť preskupením rovníc systému. Odstráňte neznámu premennú x 1 zo všetkých rovníc sústavy, počnúc druhou. Aby sme to dosiahli, k druhej rovnici systému pridáme prvú, vynásobenú , k tretej rovnici pridáme prvú, vynásobenú , atď. n-tý do rovnice pridáme prvú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a .

Dospeli by sme k rovnakému výsledku, keby sme sa vyjadrili x 1 cez iné neznáme premenné v prvej rovnici systému a výsledný výraz bol dosadený do všetkých ostatných rovníc. Takže premenná x 1 vylúčené zo všetkých rovníc, počnúc druhou.

Ďalej postupujeme podobne, ale len s časťou výslednej sústavy, ktorá je vyznačená na obrázku

Aby sme to dosiahli, do tretej rovnice systému pridáme druhú, vynásobenú , do štvrtej rovnice pridáme druhú, násobenú , atď. n-tý do rovnice pridáme druhú, vynásobenú . Systém rovníc po takýchto transformáciách nadobudne tvar

kde a . Takže premenná x 2 vylúčené zo všetkých rovníc počnúc treťou.

Ďalej pristúpime k odstraňovaniu neznámeho x 3, v tomto prípade postupujeme podobne s časťou systému označenou na obrázku

Pokračujeme teda v priamom postupe Gaussovej metódy, kým systém nezíska formu

Od tohto momentu začíname obrátene k Gaussovej metóde: počítame x n z poslednej rovnice as pomocou získanej hodnoty x n nájdeme xn-1 z predposlednej rovnice a tak ďalej nájdeme x 1 z prvej rovnice.

Príklad.

Riešiť sústavu lineárnych rovníc Gaussova metóda.

Od začiatku 16. – 18. storočia sa matematici intenzívne začali zaoberať funkciami, vďaka ktorým sa v našich životoch toľko zmenilo. Počítačová technika by bez týchto znalostí jednoducho neexistovala. Na riešenie zložitých problémov, lineárnych rovníc a funkcií boli vytvorené rôzne koncepty, vety a techniky riešenia. Jednou z takýchto univerzálnych a racionálnych metód a techník na riešenie lineárnych rovníc a ich sústav bola Gaussova metóda. Matice, ich poradie, determinant - všetko sa dá vypočítať bez použitia zložitých operácií.

Čo je SLAU

V matematike existuje pojem SLAE – systém lineárnych algebraických rovníc. Aká je? Ide o súbor m rovníc s požadovanými n neznámymi veličinami, ktoré sa zvyčajne označujú ako x, y, z alebo x 1, x 2 ... x n alebo iné symboly. Riešenie daného systému pomocou Gaussovej metódy znamená nájsť všetky neznáme. Ak má systém rovnaký počet neznámych a rovníc, potom sa nazýva systém n-tého rádu.

Najpopulárnejšie metódy riešenia SLAE

Vo vzdelávacích inštitúciách stredného vzdelávania sa študujú rôzne metódy riešenia takýchto systémov. Najčastejšie ide o jednoduché rovnice pozostávajúce z dvoch neznámych, takže akákoľvek existujúca metóda na nájdenie odpovede na ne nezaberie veľa času. Môže to byť ako substitučná metóda, keď je z jednej rovnice odvodená iná a dosadená do pôvodnej. Alebo metóda odčítania a sčítania po členoch. Ale Gaussova metóda je považovaná za najjednoduchšiu a najuniverzálnejšiu. Umožňuje riešiť rovnice s ľubovoľným počtom neznámych. Prečo sa táto konkrétna technika považuje za racionálnu? Je to jednoduché. Dobrá vec na maticovej metóde je, že nevyžaduje niekoľkokrát prepisovanie nepotrebných symbolov ako neznámych, stačí vykonať aritmetické operácie s koeficientmi - a dostanete spoľahlivý výsledok.

Kde sa SLAE používajú v praxi?

Riešením SLAE sú priesečníky čiar na grafoch funkcií. V našej high-tech počítačovej dobe ľudia, ktorí sú úzko spätí s vývojom hier a iných programov, potrebujú vedieť, ako takéto systémy riešiť, čo predstavujú a ako kontrolovať správnosť výsledného výsledku. Programátori najčastejšie vyvíjajú špeciálne programy na kalkulačky lineárnej algebry, ktoré obsahujú aj systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať všetky existujúce riešenia. Používajú sa aj iné zjednodušené vzorce a techniky.

Kritérium kompatibility SLAU

Takýto systém je možné vyriešiť len vtedy, ak je kompatibilný. Pre prehľadnosť uvádzame SLAE v tvare Ax=b. Má riešenie, ak sa rang(A) rovná rang(A,b). V tomto prípade (A,b) je matica rozšíreného tvaru, ktorú možno získať z matice A jej prepísaním voľnými členmi. Ukazuje sa, že riešenie lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Možno niektoré symboly nie sú úplne jasné, preto je potrebné všetko zvážiť na príklade. Povedzme, že existuje systém: x+y=1; 2x-3y=6. Pozostáva len z dvoch rovníc, v ktorých sú 2 neznáme. Systém bude mať riešenie iba vtedy, ak sa hodnosť jeho matice rovná hodnosti rozšírenej matice. čo je hodnosť? Toto je počet nezávislých riadkov systému. V našom prípade je poradie matice 2. Matica A bude pozostávať z koeficientov umiestnených v blízkosti neznámych a koeficienty umiestnené za znakom „=“ tiež zapadajú do rozšírenej matice.

Prečo môžu byť SLAE zastúpené v maticovej forme?

Na základe kritéria kompatibility podľa osvedčenej Kronecker-Capelliho vety je možné systém lineárnych algebraických rovníc reprezentovať v maticovej forme. Pomocou metódy Gaussovej kaskády môžete vyriešiť maticu a získať jedinú spoľahlivú odpoveď pre celý systém. Ak sa hodnosť obyčajnej matice rovná hodnosti jej rozšírenej matice, ale je menšia ako počet neznámych, potom má systém nekonečný počet odpovedí.

Maticové transformácie

Predtým, ako pristúpite k riešeniu matíc, musíte vedieť, aké akcie je možné vykonať s ich prvkami. Existuje niekoľko základných transformácií:

• Prepísaním systému do maticového tvaru a jeho riešením môžete vynásobiť všetky prvky radu rovnakým koeficientom.
• Ak chcete transformovať maticu do kanonickej formy, môžete vymeniť dva paralelné riadky. Kanonická forma znamená, že všetky prvky matice, ktoré sa nachádzajú pozdĺž hlavnej uhlopriečky, sa stanú jednotkami a zvyšné sa stanú nulami.
• Zodpovedajúce prvky rovnobežných radov matice môžu byť navzájom sčítané.

Jordan-Gaussova metóda

Podstatou riešenia sústav lineárnych homogénnych a nehomogénnych rovníc Gaussovou metódou je postupné odstraňovanie neznámych. Povedzme, že máme systém dvoch rovníc, v ktorých sú dve neznáme. Ak ich chcete nájsť, musíte skontrolovať kompatibilitu systému. Rovnica je riešená veľmi jednoducho Gaussovou metódou. Koeficienty nachádzajúce sa pri každej neznámej je potrebné zapísať v maticovom tvare. Na vyriešenie systému budete musieť vypísať rozšírenú maticu. Ak jedna z rovníc obsahuje menší počet neznámych, potom sa namiesto chýbajúceho prvku musí vložiť „0“. Na maticu sa aplikujú všetky známe transformačné metódy: násobenie, delenie číslom, sčítanie zodpovedajúcich prvkov radu k sebe a iné. Ukazuje sa, že v každom riadku je potrebné ponechať jednu premennú s hodnotou „1“, zvyšok by sa mal znížiť na nulu. Pre presnejšie pochopenie je potrebné zvážiť Gaussovu metódu s príkladmi.

Jednoduchý príklad riešenia systému 2x2

Na začiatok si zoberme jednoduchú sústavu algebraických rovníc, v ktorej budú 2 neznáme.

Prepíšme to do rozšírenej matice.

Na vyriešenie tohto systému lineárnych rovníc sú potrebné iba dve operácie. Potrebujeme priviesť maticu do kanonickej formy, aby na hlavnej diagonále boli jedničky. Takže prenesením z maticového tvaru späť do systému dostaneme rovnice: 1x+0y=b1 a 0x+1y=b2, kde b1 a b2 sú výsledné odpovede v procese riešenia.

1. Prvá akcia pri riešení rozšírenej matice bude takáto: prvý riadok treba vynásobiť -7 a do druhého riadku pridať zodpovedajúce prvky, aby sme sa zbavili jednej neznámej v druhej rovnici.
2. Keďže riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy zahŕňa redukciu matice na kanonickú formu, potom je potrebné vykonať rovnaké operácie s prvou rovnicou a odstrániť druhú premennú. Aby sme to urobili, odpočítame druhý riadok od prvého a získame požadovanú odpoveď - riešenie SLAE. Alebo, ako je znázornené na obrázku, vynásobíme druhý riadok koeficientom -1 a pripočítame prvky druhého riadku k prvému riadku. To je to isté.

Ako vidíme, náš systém bol vyriešený Jordan-Gaussovou metódou. Prepíšeme ho do požadovaného tvaru: x=-5, y=7.

Príklad riešenia 3x3 SLAE

Predpokladajme, že máme zložitejší systém lineárnych rovníc. Gaussova metóda umožňuje vypočítať odpoveď aj pre zdanlivo najprehľadnejší systém. Preto, aby ste sa hlbšie ponorili do metodiky výpočtu, môžete prejsť na zložitejší príklad s tromi neznámymi.

Rovnako ako v predchádzajúcom príklade prepíšeme systém do podoby rozšírenej matice a začneme ho uvádzať do kanonickej podoby.

Na vyriešenie tohto systému budete musieť vykonať oveľa viac akcií ako v predchádzajúcom príklade.

1. Najprv musíte urobiť prvý stĺpec jedným jednotkovým prvkom a zvyšok nulami. Ak to chcete urobiť, vynásobte prvú rovnicu -1 a pridajte k nej druhú rovnicu. Je dôležité si zapamätať, že prvý riadok prepisujeme do pôvodnej podoby a druhý do upravenej podoby.
2. Ďalej odstránime tú istú prvú neznámu z tretej rovnice. Za týmto účelom vynásobte prvky prvého riadku -2 a pridajte ich do tretieho riadku. Teraz sú prvý a druhý riadok prepísané do pôvodnej podoby a tretí - so zmenami. Ako vidíte z výsledku, prvú sme dostali na začiatok hlavnej uhlopriečky matice a zvyšné nuly. Ešte pár krokov a systém rovníc Gaussovou metódou bude spoľahlivo vyriešený.
3. Teraz musíte vykonať operácie na iných prvkoch riadkov. Tretiu a štvrtú akciu je možné spojiť do jednej. Druhý a tretí riadok musíme vydeliť -1, aby sme sa zbavili mínusových na uhlopriečke. Tretí riadok sme už priviedli do požadovanej podoby.
4. Ďalej uvedieme druhý riadok do kanonickej podoby. Aby sme to urobili, vynásobíme prvky tretieho riadku -3 a pridáme ich do druhého riadku matice. Z výsledku je zrejmé, že aj druhý riadok je zredukovaný do podoby, akú potrebujeme. Zostáva vykonať niekoľko ďalších operácií a odstrániť koeficienty neznámych z prvého riadku.
5. Ak chcete vytvoriť 0 z druhého prvku v rade, musíte vynásobiť tretí riadok -3 a pridať ho do prvého riadku.
6. Ďalším rozhodujúcim krokom bude pridanie potrebných prvkov druhého radu do prvého radu. Takto dostaneme kanonickú formu matice, a teda aj odpoveď.

Ako vidíte, riešenie rovníc pomocou Gaussovej metódy je celkom jednoduché.

Príklad riešenia sústavy rovníc 4x4

Niektoré zložitejšie sústavy rovníc je možné riešiť pomocou Gaussovej metódy pomocou počítačových programov. Koeficienty pre neznáme je potrebné zadať do existujúcich prázdnych buniek a program sám krok za krokom vypočíta požadovaný výsledok s podrobným popisom každej akcie.

Pokyny krok za krokom na riešenie takéhoto príkladu sú popísané nižšie.

V prvom kroku sa do prázdnych buniek zadajú voľné koeficienty a čísla pre neznáme. Dostaneme teda rovnakú rozšírenú maticu, ktorú napíšeme ručne.

A vykonajú sa všetky potrebné aritmetické operácie, aby sa rozšírená matica dostala do jej kanonickej formy. Je potrebné pochopiť, že odpoveďou na systém rovníc nie sú vždy celé čísla. Niekedy môže byť riešenie zo zlomkových čísel.

Kontrola správnosti riešenia

Jordan-Gaussova metóda umožňuje kontrolu správnosti výsledku. Aby ste zistili, či sú koeficienty vypočítané správne, stačí výsledok dosadiť do pôvodnej sústavy rovníc. Ľavá strana rovnice sa musí zhodovať s pravou stranou za znamienkom rovnosti. Ak sa odpovede nezhodujú, musíte systém prepočítať alebo naň skúsiť použiť inú metódu riešenia SLAE, ktorú poznáte, ako je substitúcia alebo odčítanie a sčítanie po členoch. Matematika je predsa veda, ktorá má obrovské množstvo rôznych metód riešenia. Ale pamätajte: výsledok by mal byť vždy rovnaký, bez ohľadu na to, aký spôsob riešenia ste použili.

Gaussova metóda: najčastejšie chyby pri riešení SLAE

Pri riešení lineárnych sústav rovníc najčastejšie dochádza k chybám ako je nesprávny prenos koeficientov do maticového tvaru. Existujú systémy, v ktorých niektoré neznáme chýbajú v jednej z rovníc; potom sa pri prenose údajov do rozšírenej matice môžu stratiť. Výsledkom je, že pri riešení tohto systému nemusí výsledok zodpovedať skutočnosti.

Ďalšou veľkou chybou môže byť nesprávne vypísanie konečného výsledku. Je potrebné jasne pochopiť, že prvý koeficient bude zodpovedať prvému neznámemu zo systému, druhému - druhému atď.

Gaussova metóda podrobne popisuje riešenie lineárnych rovníc. Vďaka nemu je ľahké vykonať potrebné operácie a nájsť správny výsledok. Navyše ide o univerzálny nástroj na nájdenie spoľahlivej odpovede na rovnice akejkoľvek zložitosti. Možno aj preto sa tak často používa pri riešení SLAE.

Definícia a popis Gaussovej metódy

Metóda Gaussovej transformácie (známa aj ako metóda postupnej eliminácie neznámych premenných z rovnice alebo matice) na riešenie sústav lineárnych rovníc je klasickou metódou riešenia sústav algebraických rovníc (SLAE). Táto klasická metóda sa používa aj na riešenie problémov, ako je získanie inverzných matíc a určenie poradia matice.

Transformácia pomocou Gaussovej metódy pozostáva z vykonávania malých (elementárnych) sekvenčných zmien systému lineárnych algebraických rovníc, čo vedie k eliminácii premenných z neho zhora nadol s vytvorením nového trojuholníkového systému rovníc, ktorý je ekvivalentný pôvodnému systému. jeden.

Definícia 1

Táto časť riešenia sa nazýva dopredné Gaussovo riešenie, pretože celý proces prebieha zhora nadol.

Po zmenšení pôvodného systému rovníc na trojuholníkový sú všetky premenné systému nájdené zdola nahor (to znamená, že prvé nájdené premenné sú umiestnené presne na posledných riadkoch systému alebo matice). Táto časť riešenia je známa aj ako inverzia Gaussovho riešenia. Jeho algoritmus je nasledovný: najprv sa vypočítajú premenné najbližšie k spodnej časti systému rovníc alebo matice, potom sa výsledné hodnoty dosadia vyššie a tak sa nájde ďalšia premenná atď.

Popis algoritmu Gaussovej metódy

Postupnosť akcií pre všeobecné riešenie systému rovníc pomocou Gaussovej metódy spočíva v striedavom aplikovaní dopredného a spätného ťahu na maticu založenú na SLAE. Nech má počiatočný systém rovníc nasledujúci tvar:

$\begin(cases) a_(11) \cdot x_1 +...+ a_(1n) \cdot x_n = b_1 \\ ... \\ a_(m1) \cdot x_1 + a_(mn) \cdot x_n = b_m \end(cases)$

Na riešenie SLAE pomocou Gaussovej metódy je potrebné napísať pôvodný systém rovníc vo forme matice:

$A = \začiatok(pmatrix) a_(11) & … & a_(1n) \\ \vbodky & … & \vbodky \\ a_(m1) & … & a_(mn) \end(pmatrix)$, $b =\begin(pmatrix) b_1 \\ \vdots \\ b_m \end(pmatrix)$

Matica $A$ sa nazýva hlavná matica a predstavuje koeficienty premenných zapísaných v poradí a $b$ sa nazýva stĺpec jej voľných členov. Matica $A$, zapísaná cez pruh so stĺpcom voľných výrazov, sa nazýva rozšírená matica:

$A = \begin(pole)(ccc|c) a_(11) & … & a_(1n) & b_1 \\ \vdots & … & \vdots & ...\\ a_(m1) & … & a_( mn) & b_m \end(pole)$

Teraz je potrebné pomocou elementárnych transformácií na systéme rovníc (alebo na matici, pretože je to pohodlnejšie), priviesť ho do nasledujúceho tvaru:

$\begin(cases) α_(1j_(1)) \cdot x_(j_(1)) + α_(1j_(2)) \cdot x_(j_(2))...+ α_(1j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(1j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_1 \\ α_(2j_(2)) \cdot x_(j_(2)). ..+ α_(2j_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(2j_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_2 \\ ...\\ α_( rj_(r)) \cdot x_(j_(r)) +... α_(rj_(n)) \cdot x_(j_(n)) = β_r \\ 0 = β_(r+1) \\ … \ \ 0 = β_m \end(cases)$ (1)

Matica získaná z koeficientov transformovaného systému rovnice (1) sa nazýva kroková matica, takto zvyčajne vyzerajú krokové matice:

$A = \begin(pole)(ccc|c) a_(11) & a_(12) & a_(13) & b_1 \\ 0 & a_(22) & a_(23) & b_2\\ 0 & 0 & a_(33) & b_3 \end(pole)$

Tieto matice sa vyznačujú nasledujúcim súborom vlastností:

1. Všetky jeho nulové riadky prichádzajú po nenulových riadkoch
2. Ak je niektorý riadok matice s číslom $k$ nenulový, potom predchádzajúci riadok tej istej matice má menej núl ako tento s číslom $k$.

Po získaní krokovej matice je potrebné dosadiť výsledné premenné do zostávajúcich rovníc (začínajúc od konca) a získať zostávajúce hodnoty premenných.

Základné pravidlá a povolené transformácie pri použití Gaussovej metódy

Pri zjednodušovaní matice alebo systému rovníc pomocou tejto metódy musíte použiť iba elementárne transformácie.

Takéto transformácie sa považujú za operácie, ktoré možno použiť na maticu alebo systém rovníc bez toho, aby sa zmenil ich význam:

• preskupenie niekoľkých riadkov,
• pridanie alebo odčítanie z jedného riadku matice ďalší riadok z neho,
• násobenie alebo delenie reťazca konštantou, ktorá sa nerovná nule,
• riadok pozostávajúci iba z núl, získaný v procese výpočtu a zjednodušenia systému, sa musí vypustiť,
• Musíte tiež odstrániť nepotrebné proporcionálne čiary a vybrať pre systém jediný s koeficientmi, ktoré sú vhodnejšie a pohodlnejšie pre ďalšie výpočty.

Všetky elementárne transformácie sú reverzibilné.

Analýza troch hlavných prípadov, ktoré vznikajú pri riešení lineárnych rovníc metódou jednoduchých Gaussových transformácií

Pri použití Gaussovej metódy na riešenie systémov vznikajú tri prípady:

1. Keď je systém nekonzistentný, to znamená, že nemá žiadne riešenia
2. Systém rovníc má riešenie a jedinečné a počet nenulových riadkov a stĺpcov v matici je rovnaký.
3. Systém má určitý počet alebo množinu možných riešení a počet riadkov v ňom je menší ako počet stĺpcov.

Výsledok riešenia s nekonzistentným systémom

Pre túto možnosť je pri riešení maticovej rovnice Gaussovou metódou typické získanie nejakej priamky s nemožnosťou naplnenia rovnosti. Ak sa teda vyskytne aspoň jedna nesprávna rovnosť, výsledné a pôvodné systémy nemajú riešenia, bez ohľadu na ostatné rovnice, ktoré obsahujú. Príklad nekonzistentnej matice:

$\začiatok(pole)(ccc|c) 2 & -1 & 3 & 0 \\ 1 & 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end(pole)$

V poslednom riadku vznikla nemožná rovnosť: $0 \cdot x_(31) + 0 \cdot x_(32) + 0 \cdot x_(33) = 1$.

Sústava rovníc, ktorá má len jedno riešenie

Tieto systémy po zredukovaní na stupňovitú maticu a odstránení riadkov s nulami majú v hlavnej matici rovnaký počet riadkov a stĺpcov. Tu je najjednoduchší príklad takéhoto systému:

$\začiatok(prípady) x_1 - x_2 = -5 \\ 2 \cdot x_1 + x_2 = -7 \koniec(prípady)$

Zapíšme si to vo forme matice:

$\začiatok(pole)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 2 & 1 & -7 \end(pole)$

Aby sme dostali prvú bunku druhého riadku na nulu, vynásobíme horný riadok $-2$ a odpočítame ho od spodného riadku matice a necháme horný riadok v pôvodnom tvare, výsledkom je nasledovné :

$\začiatok(pole)(cc|c) 1 & -1 & -5 \\ 0 & 3 & 10 \end(pole)$

Tento príklad možno napísať ako systém:

$\začiatok(prípady) x_1 - x_2 = -5 \\ 3 \cdot x_2 = 10 \koniec(prípady)$

Spodná rovnica dáva pre $x$ nasledujúcu hodnotu: $x_2 = 3 \frac(1)(3)$. Túto hodnotu dosadíme do hornej rovnice: $x_1 – 3 \frac(1)(3)$, dostaneme $x_1 = 1 \frac(2)(3)$.

Systém s mnohými možnými riešeniami

Tento systém sa vyznačuje menším počtom významných riadkov ako je počet stĺpcov v ňom (zohľadňujú sa riadky hlavnej matice).

Premenné v takomto systéme sú rozdelené do dvoch typov: základné a voľné. Pri transformácii takéhoto systému je potrebné hlavné premenné v ňom obsiahnuté ponechať v ľavej oblasti až po znamienko „=“ a zvyšné premenné presunúť na pravú stranu rovnosti.

Takýto systém má len určité všeobecné riešenie.

Analyzujme nasledujúci systém rovníc:

$\začiatok(prípady) 2y_1 + 3y_2 + x_4 = 1 \\ 5y_3 - 4y_4 = 1 \end(cases)$

Zapíšme si to vo forme matice:

$\začiatok(pole)(cccc|c) 2 & 3 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 5 & 4 & 1 \\ \end(pole)$

Našou úlohou je nájsť všeobecné riešenie systému. Pre túto maticu budú základné premenné $y_1$ a $y_3$ (pre $y_1$ - keďže je na prvom mieste av prípade $y_3$ - je umiestnená za nulami).

Ako základné premenné volíme práve tie, ktoré sú prvé v rade a nerovnajú sa nule.

Zvyšné premenné sa nazývajú voľné, musíme cez ne vyjadriť tie základné.

Pomocou takzvaného spätného ťahu analyzujeme systém zdola nahor, aby sme to urobili, najprv vyjadríme $y_3$ zo spodného riadku systému:

5 $ y_3 – 4 y_4 = 1 $

5 $ y_3 = 4 y_4 + 1 $

$y_3 = \frac(4/5)y_4 + \frac(1)(5)$.

Teraz dosadíme vyjadrené $y_3$ do hornej rovnice systému $2y_1 + 3y_2 + y_4 = 1$: $2y_1 + 3y_2 - (\frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5)) + y_4 = 1 $

$y_1$ vyjadrujeme pomocou voľných premenných $y_2$ a $y_4$:

$2y_1 + 3y_2 - \frac(4)(5)y_4 - \frac(1)(5) + y_4 = 1$

$2y_1 = 1 – 3y_2 + \frac(4)(5)y_4 + \frac(1)(5) – y_4$

$2y_1 = -3y_2 - \frac(1)(5)y_4 + \frac(6)(5)$

$ y_1 = -1,5x_2 – 0,1y_4 + 0,6 $

Riešenie je pripravené.

Príklad 1

Riešte slough pomocou Gaussovej metódy. Príklady. Príklad riešenia sústavy lineárnych rovníc daných maticou 3 x 3 pomocou Gaussovej metódy

$\začiatok(prípady) 4x_1 + 2x_2 – x_3 = 1 \\ 5x_1 + 3x_2 - 2x^3 = 2\\ 3x_1 + 2x_2 – 3x_3 = 0 \koniec(prípady)$

Napíšme náš systém vo forme rozšírenej matice:

$\začiatok(pole)(ccc|c) 4 & 2 & -1 & 1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(pole)$

Teraz, kvôli pohodliu a praktickosti, musíte transformovať maticu tak, aby $1$ bolo v hornom rohu najvzdialenejšieho stĺpca.

Aby ste to dosiahli, musíte do prvého riadku pridať riadok zo stredu, vynásobený $-1$ a napísať stredný riadok tak, ako je, ukáže sa:

$\začiatok(pole)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 5 & 3 & -2 & 2 \\ 3 & 2 & -3 & 0\\ \end(pole)$

$\začiatok(pole)(ccc|c) -1 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 3 & -3 \\ 0 & -1 & 0 & -3\\ \end(pole) $

Vynásobte horný a posledný riadok $-1$ a tiež zameňte posledný a stredný riadok:

$\začiatok(pole)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & -2 & 3 & -3\\ \end(pole)$

$\začiatok(pole)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 3 & 3\\ \end(pole)$

A vydeľte posledný riadok 3 dolármi:

$\začiatok(pole)(ccc|c) 1 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 1\\ \end(pole)$

Získame nasledujúcu sústavu rovníc, ekvivalentnú tej pôvodnej:

$\začiatok(prípady) x_1 + x_2 – x_3 = 1\\ x_2 = 3 \\ x_3 = 1 \koniec(prípady)$

Z hornej rovnice vyjadríme $x_1$:

$x1 = 1 + x_3 – x_2 = 1 + 1 – 3 = -1 $.

Príklad 2

Príklad riešenia systému definovaného pomocou matice 4 x 4 pomocou Gaussovej metódy

$\begin(pole)(cccc|c) 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 a 37 \\ \koniec(pole)$.

Na začiatku vymeníme horné riadky za ním, aby sme v ľavom hornom rohu dostali 1 $:

$\begin(pole)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 2 & 5 & 4 & 1 & 20 \\ 2 & 10 & 9 & 7 & 40\\ 3 & 8 & 9 & 2 a 37 \\ \koniec(pole)$.

Teraz vynásobte horný riadok $-2$ a pridajte k 2. a 3.. Do štvrtého pridáme prvý riadok, vynásobený $-3$:

$\begin(pole)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 4 & 5 & 5 & 18\\ 0 & - 1 & 3 & -1 & 4 \\ \end(pole)$

Teraz k riadku číslo 3 pridáme riadok 2 vynásobený $4$ a k riadku 4 pridáme riadok 2 vynásobený $-1$.

$\begin(pole)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & -1 & 0 & -1 & -2 \\ 0 & 0 & 5 & 1 & 10\\ 0 & 0 & 3 & 0 & 6 \\ \end(pole)$

Riadok 2 vynásobíme $-1$ a riadok 4 vydelíme $3$ a nahradíme riadok 3.

$\begin(pole)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 5 & 1 a 10 \\ \koniec(pole)$

Teraz pridáme do posledného riadku predposledný, vynásobený $-5$.

$\begin(pole)(cccc|c) 1 & 3 & 2 & 1 & 11 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 1 a 0 \\ \end(pole)$

Vyriešime výslednú sústavu rovníc:

$\začiatok(prípady) m = 0 \\ g = 2\\ y + m = 2\ \ x + 3 r + 2g + m = 11\koniec (prípadov)$

1. Systém lineárnych algebraických rovníc

1.1 Pojem sústavy lineárnych algebraických rovníc

Systém rovníc je stav pozostávajúci zo súčasného vykonávania niekoľkých rovníc vzhľadom na niekoľko premenných. Systém lineárnych algebraických rovníc (ďalej len SLAE) obsahujúci m rovníc a n neznámych sa nazýva systém v tvare:

kde čísla a ij sa nazývajú systémové koeficienty, čísla b i sa nazývajú voľné členy, a ij A b i(i=1,..., m; b=1,..., n) predstavujú niektoré známe čísla a x 1,…, x n– neznámy. V označení koeficientov a ij prvý index i označuje číslo rovnice a druhý j je číslo neznámej, pri ktorej tento koeficient stojí. Treba nájsť čísla x n. Je vhodné napísať takýto systém vo forme kompaktnej matice: AX=B. Tu je A matica systémových koeficientov, nazývaná hlavná matica;

– stĺpcový vektor neznámych xj.
je stĺpcový vektor voľných členov bi.

Súčin matíc A*X je definovaný, keďže v matici A je toľko stĺpcov, koľko je riadkov v matici X (n kusov).

Rozšírenou maticou systému je matica A systému doplnená o stĺpec voľných členov

1.2 Riešenie sústavy lineárnych algebraických rovníc

Riešením systému rovníc je usporiadaná množina čísel (hodnoty premenných), pri ich nahradení namiesto premenných sa každá z rovníc systému zmení na skutočnú rovnosť.

Riešením systému je n hodnôt neznámych x1=c1, x2=c2,…, xn=cn, po ktorých nahradení sa všetky rovnice systému stanú skutočnými rovnosťami. Akékoľvek riešenie systému možno zapísať ako stĺpcovú maticu

Systém rovníc sa nazýva konzistentný, ak má aspoň jedno riešenie, a nekonzistentný, ak nemá žiadne riešenie.

Konzistentný systém sa považuje za určitý, ak má jedno riešenie, a za neurčitý, ak má viac riešení. V druhom prípade sa každé z jeho riešení nazýva konkrétne riešenie systému. Množina všetkých partikulárnych riešení sa nazýva všeobecné riešenie.

Riešiť systém znamená zistiť, či je kompatibilný alebo nekonzistentný. Ak je systém konzistentný, nájdite jeho všeobecné riešenie.

Dva systémy sa nazývajú ekvivalentné (ekvivalentné), ak majú rovnaké všeobecné riešenie. Inými slovami, systémy sú ekvivalentné, ak každé riešenie jedného z nich je riešením druhého a naopak.

Transformácia, ktorej aplikáciou sa systém zmení na nový systém ekvivalentný pôvodnému, sa nazýva ekvivalentná alebo ekvivalentná transformácia. Príklady ekvivalentných transformácií zahŕňajú nasledujúce transformácie: zámena dvoch rovníc systému, zámena dvoch neznámych spolu s koeficientmi všetkých rovníc, násobenie oboch strán akejkoľvek rovnice systému nenulovým číslom.

Systém lineárnych rovníc sa nazýva homogénny, ak sa všetky voľné členy rovnajú nule:

Homogénny systém je vždy konzistentný, pretože x1=x2=x3=…=xn=0 je riešením systému. Toto riešenie sa nazýva nulové alebo triviálne.

2. Gaussova eliminačná metóda

2.1 Podstata Gaussovej eliminačnej metódy

Klasickou metódou riešenia sústav lineárnych algebraických rovníc je metóda postupnej eliminácie neznámych - Gaussova metóda(nazýva sa aj Gaussova eliminačná metóda). Ide o metódu sekvenčnej eliminácie premenných, kedy sa pomocou elementárnych transformácií redukuje sústava rovníc na ekvivalentnú sústavu stupňovitého (alebo trojuholníkového) tvaru, z ktorej sa postupne zisťujú všetky ostatné premenné, počnúc poslednou (podľa počet) premenné.

Proces riešenia pomocou Gaussovej metódy pozostáva z dvoch fáz: pohybu vpred a vzad.

1. Priamy zdvih.

V prvej fáze sa vykonáva takzvaný priamy ťah, keď sa elementárnymi transformáciami nad radmi systém dostane do stupňovitého alebo trojuholníkového tvaru, alebo sa zistí, že systém je nekompatibilný. Totiž, spomedzi prvkov prvého stĺpca matice vyberte nenulový jeden, presuňte ho na najvyššiu pozíciu preusporiadaním riadkov a po preusporiadaní odčítajte výsledný prvý riadok od zostávajúcich riadkov a vynásobte ho hodnotou. rovná pomeru prvého prvku každého z týchto riadkov k prvému prvku prvého riadku, čím sa vynuluje stĺpec pod ním.

Po dokončení uvedených transformácií sa prvý riadok a prvý stĺpec v duchu prečiarknu a pokračuje sa, kým nezostane matica nulovej veľkosti. Ak v ktorejkoľvek iterácii nie je medzi prvkami prvého stĺpca žiadny nenulový prvok, prejdite na ďalší stĺpec a vykonajte podobnú operáciu.

V prvej fáze (priamy zdvih) je systém redukovaný na stupňovitý (najmä trojuholníkový) tvar.

Nižšie uvedený systém má stupňovitú formu:

,

Koeficienty aii sa nazývajú hlavné (vedúce) prvky systému.

(ak a11=0, preusporiadajte riadky matice tak, aby a 11 nebolo rovné 0. To je vždy možné, pretože inak matica obsahuje nulový stĺpec, jej determinant je rovný nule a systém je nekonzistentný).

Transformujme systém odstránením neznámej x1 vo všetkých rovniciach okrem prvej (pomocou elementárnych transformácií systému). Ak to chcete urobiť, vynásobte obe strany prvej rovnice

a pridajte člen po člene s druhou rovnicou systému (alebo od druhej rovnice odpočítajte člen po člene od prvého, vynásobte ). Potom obe strany prvej rovnice vynásobíme a pridáme do tretej rovnice sústavy (alebo od tretej odpočítame prvú vynásobenú ). Prvý riadok teda postupne vynásobíme číslom a pripočítame i riadok, pre i= 2, 3, …,n.

Pokračovaním v tomto procese získame ekvivalentný systém:

– nové hodnoty koeficientov pre neznáme a voľné členy v posledných m-1 rovniciach sústavy, ktoré sú určené vzorcami:

Takže v prvom kroku sú zničené všetky koeficienty ležiace pod prvým vodiacim prvkom a11

0, v druhom kroku sú zničené prvky ležiace pod druhým vodiacim prvkom a 22 (1) (ak je a 22 (1) 0) atď. Pokračujúc v tomto procese ďalej, nakoniec v kroku (m-1) zredukujeme pôvodný systém na trojuholníkový systém.

Ak sa v procese redukcie systému na stupňovitý tvar objavia nulové rovnice, t.j. rovnosti tvaru 0=0, sú vyradené. Ak sa objaví rovnica tvaru

potom to naznačuje nekompatibilitu systému.

Tu sa priamy postup Gaussovej metódy končí.

2. Reverzný zdvih.

V druhej fáze sa vykonáva takzvaný spätný ťah, ktorého podstatou je vyjadrenie všetkých výsledných základných premenných v pojmoch nebázických a vybudovanie fundamentálneho systému riešení, alebo ak sú všetky premenné základné , potom vyjadrite číselne jediné riešenie sústavy lineárnych rovníc.

Tento postup začína poslednou rovnicou, z ktorej je vyjadrená príslušná základná premenná (je v nej len jedna) a dosadená do predchádzajúcich rovníc atď.

Každý riadok zodpovedá presne jednej základnej premennej, takže v každom kroku okrem posledného (najvrchnejšieho) sa situácia presne opakuje ako prípad posledného riadku.

Poznámka: v praxi je pohodlnejšie pracovať nie so systémom, ale s jeho rozšírenou maticou, pričom sa na jeho riadkoch vykonávajú všetky elementárne transformácie. Je vhodné, aby sa koeficient a11 rovnal 1 (preusporiadajte rovnice alebo vydeľte obe strany rovnice a11).

2.2 Príklady riešenia SLAE pomocou Gaussovej metódy

V tejto časti si na troch rôznych príkladoch ukážeme, ako môže Gaussova metóda vyriešiť SLAE.

Príklad 1. Vyriešte SLAE 3. rádu.

Vynulujme koeficienty na

v druhom a treťom riadku. Ak to chcete urobiť, vynásobte ich 2/3 a 1 a pridajte ich do prvého riadku:

Tu môžete zadarmo vyriešiť systém lineárnych rovníc Gaussova metóda online veľké veľkosti v komplexných číslach s veľmi podrobným riešením. Naša kalkulačka dokáže online riešiť bežné určité aj neurčité sústavy lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy, ktorá má nekonečný počet riešení. V tomto prípade v odpovedi dostanete závislosť niektorých premenných cez iné, voľné. Konzistenciu systému rovníc môžete skontrolovať aj online pomocou Gaussovho riešenia.

2 Veľkosť matice: 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 943 343 4 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 89 75 87 83 77 78 75 82 80 78 79 80 80 90 91 92 93 94 95 96 97 98 20 100 X 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 3 33 3 3 4 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 84 88 81 80 83 81 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101

O metóde

Pri online riešení systému lineárnych rovníc pomocou Gaussovej metódy sa vykonajú nasledujúce kroky.

1. Napíšeme rozšírenú maticu.
2. V skutočnosti je riešenie rozdelené na kroky dopredu a dozadu Gaussovej metódy. Priamym prístupom Gaussovej metódy je redukcia matice do stupňovitej formy. Opakom Gaussovej metódy je redukcia matice na špeciálnu stupňovitú formu. V praxi je však pohodlnejšie okamžite vynulovať to, čo sa nachádza nad aj pod príslušným prvkom. Naša kalkulačka používa presne tento prístup.
3. Je dôležité poznamenať, že pri riešení pomocou Gaussovej metódy prítomnosť aspoň jedného nulového riadku v matici s NEnulovou pravou stranou (stĺpec voľných členov) naznačuje nekonzistentnosť systému. V tomto prípade riešenie lineárneho systému neexistuje.

Aby ste čo najlepšie pochopili, ako funguje Gaussov algoritmus online, zadajte ľubovoľný príklad, vyberte „veľmi podrobné riešenie“ a pozrite si jeho riešenie online.