Metoda de variație a constantelor arbitrare. ODĂ

Să considerăm acum ecuația liniară neomogenă
. (2)
Fie y 1 ,y 2 ,.., y n un sistem fundamental de soluții, și fie soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare L(y)=0. Similar cu cazul ecuațiilor de ordinul întâi, vom căuta o soluție pentru ecuația (2) sub forma
. (3)
Să ne asigurăm că există o soluție în această formă. Pentru a face acest lucru, înlocuim funcția în ecuație. Pentru a înlocui această funcție în ecuație, găsim derivatele ei. Prima derivată este egală cu
. (4)
La calcularea derivatei a doua, vor apărea patru termeni în partea dreaptă a (4), la calcularea derivatei a treia, vor apărea opt termeni și așa mai departe. Prin urmare, pentru comoditatea calculelor ulterioare, primul termen din (4) este setat egal cu zero. Ținând cont de acest lucru, derivata a doua este egală cu
. (5)
Din aceleași motive ca și înainte, în (5) se stabilește și primul termen egal cu zero. În cele din urmă, derivata a n-a este
. (6)
Înlocuind valorile obținute ale derivatelor în ecuația originală, avem
. (7)
Al doilea termen din (7) este egal cu zero, deoarece funcțiile y j , j=1,2,..,n, sunt soluții ale ecuației omogene corespunzătoare L(y)=0. Combinând cu cel precedent, obținem un sistem de ecuații algebrice pentru găsirea funcțiilor C" j (x)
(8)
Determinantul acestui sistem este determinantul Wronski al sistemului fundamental de soluții y 1 ,y 2 ,..,y n al ecuației omogene corespunzătoare L(y)=0 și deci nu este egal cu zero. În consecință, există o soluție unică pentru sistem (8). Găsind-o, obținem funcțiile C" j (x), j=1,2,…,n, și, în consecință, C j (x), j=1,2,…,n Înlocuind aceste valori în (3), obținem o soluție la o ecuație liniară neomogenă.
Metoda prezentată se numește metoda de variație a unei constante arbitrare sau metoda Lagrange.

Gradul maxim de derivată 2 3 4 5 6

Exemplul nr. 1. Să găsim soluția generală a ecuației y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Se consideră ecuația omogenă corespunzătoare y"" + 4y" + 3y = 0. Rădăcinile ecuației sale caracteristice r 2 + 4r + 3 = 0 sunt egale cu -1 și -3. Prin urmare, sistemul fundamental de soluții la o ecuație omogenă constă din funcțiile y 1 = e - x și y 2 = e -3 x. Căutăm o soluție la ecuația neomogenă sub forma y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Pentru a găsi derivatele C" 1 , C" 2 compunem un sistem de ecuații (8)

rezolvând care, găsim , Integrând funcţiile obţinute, avem
În sfârșit, obținem

Exemplul nr. 2. Rezolvați ecuații diferențiale liniare de ordinul doi cu coeficienți constanți folosind metoda variației constantelor arbitrare:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Soluţie:
Această ecuație diferențială se referă la ecuații diferențiale liniare cu coeficienți constanți.
Vom căuta o soluție a ecuației sub forma y = e rx. Pentru a face acest lucru, compunem ecuația caracteristică a unei ecuații diferențiale liniare omogene cu coeficienți constanți:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Rădăcinile ecuației caracteristice: r 1 = 4, r 2 = 2
În consecință, sistemul fundamental de soluții constă din funcțiile:
y 1 = e 4x , y 2 = e 2x
Soluția generală a ecuației omogene are forma:

Căutați o anumită soluție prin metoda varierii unei constante arbitrare.
Pentru a găsi derivatele lui C" i alcătuim un sistem de ecuații:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Să exprimăm C" 1 din prima ecuație:
C" 1 = -c 2 e -2x
și înlocuiți-l în al doilea. Ca rezultat obținem:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Integram functiile obtinute C" i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Deoarece , apoi scriem expresiile rezultate sub forma:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Astfel, soluția generală a ecuației diferențiale are forma:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
sau
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Să găsim o soluție specială în condiția:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Înlocuind x = 0 în ecuația găsită, obținem:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Găsim prima derivată a soluției generale obținute:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Înlocuind x = 0, obținem:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Obținem un sistem de două ecuații:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
sau
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
sau
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Unde:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Soluția privată va fi scrisă astfel:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Curs 44. Ecuații liniare neomogene de ordinul doi. Metoda de variație a constantelor arbitrare. Ecuații liniare neomogene de ordinul doi cu coeficienți constanți. (partea dreapta speciala).

Transformări sociale. Statul și biserica.

Politica socială a bolșevicilor a fost dictată în mare măsură de abordarea lor de clasă. Prin decretul din 10 noiembrie 1917, sistemul de clasă a fost distrus, au fost desființate gradele, titlurile și premiile prerevoluționare. S-a stabilit alegerea judecătorilor; s-a realizat secularizarea statelor civile. S-au instituit învăţământul şi îngrijirile medicale gratuite (decretul din 31 octombrie 1918). Femeile aveau drepturi egale cu bărbații (decretele din 16 și 18 decembrie 1917). Decretul privind căsătoria a introdus instituția căsătoriei civile.

Prin decretul Consiliului Comisarilor Poporului din 20 ianuarie 1918, biserica a fost separată de stat și de sistemul de învățământ. Majoritatea bunurilor bisericii au fost confiscate. Patriarhul Moscovei și Tihonul Tuturor Rusiei (ales la 5 noiembrie 1917) la 19 ianuarie 1918 a anatemizat puterea sovietică și a cerut o luptă împotriva bolșevicilor.

Considerăm o ecuație liniară neomogenă de ordinul doi

Structura soluției generale a unei astfel de ecuații este determinată de următoarea teoremă:

Teorema 1. Soluția generală a ecuației neomogene (1) este reprezentată ca suma unei soluții particulare a acestei ecuații și soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare

(2)

Dovada. Este necesar să se dovedească că suma

este o soluție generală a ecuației (1). Să demonstrăm mai întâi că funcția (3) este o soluție a ecuației (1).

Înlocuind suma în ecuația (1) în loc de la, vom avea

Deoarece există o soluție pentru ecuația (2), expresia din primele paranteze este identic egală cu zero. Deoarece există o soluție pentru ecuația (1), expresia din a doua paranteză este egală cu f(x). Prin urmare, egalitatea (4) este o identitate. Astfel, prima parte a teoremei este demonstrată.

Să demonstrăm a doua afirmație: expresia (3) este general soluția ecuației (1). Trebuie să demonstrăm că constantele arbitrare incluse în această expresie pot fi selectate astfel încât să fie îndeplinite condițiile inițiale:

(5)

oricare ar fi numerele x 0, y 0și (dacă numai x 0 a fost preluat din zona unde funcționează a 1, a 2Și f(x) continuu).

Observând că poate fi reprezentat în formă . Apoi, pe baza condițiilor (5), vom avea

Să rezolvăm acest sistem și să stabilim C 1Și C 2. Să rescriem sistemul sub forma:

(6)

Rețineți că determinantul acestui sistem este determinantul Wronski pentru funcții la 1Și la 2 la punct x=x 0. Deoarece aceste funcții sunt liniar independente de condiție, determinantul Wronski nu este egal cu zero; prin urmare sistemul (6) are o soluție certă C 1Și C 2, adică există astfel de sensuri C 1Și C 2, sub care formula (3) determină soluția ecuației (1) care satisface condițiile inițiale date. Q.E.D.

Să trecem la metoda generală de găsire a soluțiilor parțiale la o ecuație neomogenă.

Să scriem soluția generală a ecuației omogene (2)

. (7)

Vom căuta o soluție particulară a ecuației neomogene (1) în forma (7), având în vedere C 1Și C 2 ca unele funcții încă necunoscute din X.

Să diferențiem egalitatea (7):

Să selectăm funcțiile pe care le cauți C 1Și C 2 astfel încât egalitatea să se mențină

. (8)

Dacă luăm în considerare această condiție suplimentară, atunci prima derivată va lua forma

.

Diferențiând acum această expresie, găsim:

Înlocuind în ecuația (1), obținem

Expresiile din primele două paranteze devin zero, deoarece y 1Și y 2– soluții ale unei ecuații omogene. Prin urmare, ultima egalitate ia forma

. (9)

Astfel, funcția (7) va fi o soluție a ecuației neomogene (1) dacă funcțiile C 1Și C 2 satisface ecuațiile (8) și (9). Să creăm un sistem de ecuații din ecuațiile (8) și (9).

Deoarece determinantul acestui sistem este determinantul Wronski pentru soluțiile liniar independente y 1Și y 2 ecuația (2), atunci nu este egală cu zero. Prin urmare, rezolvând sistemul, vom găsi atât anumite funcții ale X.

Metoda de variație a constantelor arbitrare este utilizată pentru a rezolva ecuații diferențiale neomogene. Această lecție este destinată acelor elevi care sunt deja mai mult sau mai puțin versați în subiect. Dacă abia începeți să vă familiarizați cu telecomanda, de exemplu. Dacă ești un ceainic, recomand să începi cu prima lecție: Ecuații diferențiale de ordinul întâi. Exemple de soluții. Și dacă ați terminat deja, vă rugăm să renunțați la posibila preconcepție că metoda este dificilă. Pentru că este simplu.

În ce cazuri este utilizată metoda de variație a constantelor arbitrare?

1) Metoda de variație a unei constante arbitrare poate fi folosită pentru a rezolva DE liniar neomogen de ordinul I. Deoarece ecuația este de ordinul întâi, atunci constanta este și ea una.

2) Pentru rezolvarea unora se folosește metoda variației constantelor arbitrare ecuații liniare neomogene de ordinul doi. Aici variază două constante.

Este logic să presupunem că lecția va consta din două paragrafe... Așa că am scris această propoziție și timp de aproximativ 10 minute m-am gândit dureros la ce alte prostii inteligente aș putea adăuga pentru o tranziție lină la exemple practice. Dar din anumite motive nu am niciun gând după sărbători, deși se pare că nu am abuzat de nimic. Prin urmare, să trecem direct la primul paragraf.

Metoda de variație a unei constante arbitrare
pentru o ecuație neomogenă liniară de ordinul întâi

Înainte de a lua în considerare metoda de variație a unei constante arbitrare, este recomandabil să fiți familiarizați cu articolul Ecuații diferențiale liniare de ordinul întâi. În acea lecție am exersat prima solutie neomogen ordinul I DE. Această primă soluție, vă reamintesc, se numește metoda de înlocuire sau metoda Bernoulli(a nu se confunda cu ecuația lui Bernoulli!!!)

Acum ne vom uita a doua soluție– metoda de variație a unei constante arbitrare. Voi da doar trei exemple și le voi lua din lecția menționată mai sus. De ce atât de puțini? Pentru că, de fapt, soluția din a doua modalitate va fi foarte asemănătoare cu soluția din prima. În plus, conform observațiilor mele, metoda de variație a constantelor arbitrare este folosită mai rar decât metoda înlocuirii.

Exemplul 1

(Diferiți de exemplul nr. 2 al lecției Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul I)

Soluţie: Această ecuație este liniară neomogenă și are o formă familiară:

În prima etapă, este necesar să se rezolve o ecuație mai simplă:
Adică resetăm prost partea dreaptă și scriem în schimb zero.
Ecuația voi suna ecuație auxiliară.

În acest exemplu, trebuie să rezolvați următoarea ecuație auxiliară:

Înaintea noastră ecuație separabilă, a cărui soluție (sper) nu vă mai este dificilă:

Prin urmare:
– soluția generală a ecuației auxiliare.

La a doua treaptă vom înlocui unele constante pentru acum funcție necunoscută care depinde de „x”:

De aici și numele metodei - variam constanta. Alternativ, constanta ar putea fi o funcție pe care trebuie să o găsim acum.

ÎN original ecuație neomogenă hai sa facem o inlocuire:

Să înlocuim și în ecuație :

Punct de control - cei doi termeni din partea stângă se anulează. Dacă acest lucru nu se întâmplă, ar trebui să căutați eroarea de mai sus.

Ca urmare a înlocuirii s-a obţinut o ecuaţie cu variabile separabile. Separăm variabilele și integrăm.

Ce binecuvântare, exponenții anulează și:

Adăugăm o constantă „normală” funcției găsite:

În etapa finală, ne amintim de înlocuitorul nostru:

Funcția tocmai a fost găsită!

Deci solutia generala este:

Răspuns: decizie comuna:

Dacă imprimați cele două soluții, veți observa cu ușurință că în ambele cazuri am găsit aceleași integrale. Singura diferență este în algoritmul de soluție.

Acum, pentru ceva mai complicat, voi comenta și al doilea exemplu:

Exemplul 2

Găsiți soluția generală a ecuației diferențiale
(Diferiți de exemplul nr. 8 al lecției Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul I)

Soluţie: Să reducem ecuația la forma :

Să resetam partea dreaptă și să rezolvăm ecuația auxiliară:

Soluție generală a ecuației auxiliare:

În ecuația neomogenă facem înlocuirea:

Conform regulii de diferențiere a produselor:

Să înlocuim și în ecuația neomogenă inițială:

Cei doi termeni din partea stângă se anulează, ceea ce înseamnă că suntem pe drumul cel bun:

Să integrăm pe părți. Scrisoarea gustoasă din formula de integrare prin părți este deja implicată în soluție, așa că folosim, de exemplu, literele „a” și „fi”:

Acum să ne amintim de înlocuire:

Răspuns: decizie comuna:

Și un exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 3

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale corespunzătoare condiției inițiale date.

,
(Diferiți de exemplul nr. 4 al lecției Ecuații diferențiale liniare neomogene de ordinul I)
Soluţie:
Acest DE este liniar neomogen. Folosim metoda variației constantelor arbitrare. Să rezolvăm ecuația auxiliară:

Separăm variabilele și integrăm:

Decizie comună:
În ecuația neomogenă facem înlocuirea:

Să efectuăm înlocuirea:

Deci solutia generala este:

Să găsim o anumită soluție corespunzătoare condiției inițiale date:

Răspuns: solutie privata:

Soluția de la sfârșitul lecției poate servi ca exemplu pentru finalizarea temei.

Metoda de variație a constantelor arbitrare
pentru o ecuație liniară neomogenă de ordinul doi
cu coeficienți constanți

Am auzit adesea părerea că metoda de variație a constantelor arbitrare pentru o ecuație de ordinul doi nu este un lucru ușor. Dar presupun următoarele: cel mai probabil, metoda pare dificilă multora pentru că nu apare atât de des. Dar, în realitate, nu există dificultăți speciale - cursul deciziei este clar, transparent și de înțeles. Si frumos.

Pentru a stăpâni metoda, este de dorit să se poată rezolva ecuații neomogene de ordinul doi, selectând o anumită soluție pe baza formei părții din dreapta. Această metodă este discutată în detaliu în articol. DE-uri neomogene de ordinul 2. Reamintim că o ecuație neomogenă liniară de ordinul doi cu coeficienți constanți are forma:

Metoda de selecție, care a fost discutată în lecția de mai sus, funcționează doar într-un număr limitat de cazuri când partea dreaptă conține polinoame, exponențiale, sinusuri și cosinus. Dar ce să faci când în dreapta, de exemplu, este o fracție, logaritm, tangentă? Într-o astfel de situație, metoda de variație a constantelor vine în ajutor.

Exemplul 4

Găsiți soluția generală a unei ecuații diferențiale de ordinul doi

Soluţie: Există o fracție în partea dreaptă a acestei ecuații, așa că putem spune imediat că metoda de selectare a unei anumite soluții nu funcționează. Folosim metoda variației constantelor arbitrare.

Nu există semne de furtună, începutul soluției este complet obișnuit:

Vom găsi decizie comună adecvat omogen ecuatii:

Să compunem și să rezolvăm ecuația caracteristică:


– se obțin rădăcini complexe conjugate, deci soluția generală este:

Acordați atenție înregistrării soluției generale - dacă există paranteze, deschideți-le.

Acum facem aproape același truc ca pentru ecuația de ordinul întâi: variam constantele, înlocuindu-le cu funcții necunoscute. Acesta este, soluţie generală de neomogenă vom căuta ecuații sub forma:

Unde - pentru acum funcții necunoscute.

Arată ca o groapă de gunoi menajere, dar acum vom rezolva totul.

Necunoscutele sunt derivatele funcțiilor. Scopul nostru este să găsim derivate, iar derivatele găsite trebuie să satisfacă atât prima cât și a doua ecuație a sistemului.

De unde vin „grecii”? Barza le aduce. Ne uităm la soluția generală obținută mai devreme și scriem:

Să găsim derivatele:

Părțile din stânga au fost tratate. Ce este în dreapta?

este partea dreaptă a ecuației inițiale, în acest caz:

Coeficientul este coeficientul derivatei a doua:

În practică, aproape întotdeauna, iar exemplul nostru nu face excepție.

Totul este clar, acum puteți crea un sistem:

Sistemul este de obicei rezolvat după formulele lui Cramer folosind un algoritm standard. Singura diferență este că în loc de numere avem funcții.

Să găsim principalul determinant al sistemului:

Dacă ați uitat cum este dezvăluit determinantul doi câte doi, consultați lecția Cum se calculează determinantul? Link-ul duce la panoul de rușine =)

Deci: asta înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Găsirea derivatei:

Dar asta nu este tot, până acum am găsit doar derivatul.
Funcția în sine este restabilită prin integrare:

Să ne uităm la a doua funcție:

Aici adăugăm o constantă „normală”.

În etapa finală a soluției, ne amintim sub ce formă căutam o soluție generală a ecuației neomogene? În așa:

Tocmai au fost găsite funcțiile de care aveți nevoie!

Tot ce rămâne este să efectuați înlocuirea și să scrieți răspunsul:

Răspuns: decizie comuna:

În principiu, răspunsul ar fi putut extinde parantezele.

O verificare completă a răspunsului este efectuată conform schemei standard, care a fost discutată în lecție. DE-uri neomogene de ordinul 2. Dar verificarea nu va fi ușoară, deoarece este necesar să se găsească derivate destul de grele și să se efectueze substituții greoaie. Aceasta este o caracteristică neplăcută atunci când rezolvați astfel de difuzoare.

Exemplul 5

Rezolvați o ecuație diferențială variind constante arbitrare

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. De fapt, în partea dreaptă există și o fracție. Apropo, să ne amintim formula trigonometrică, va trebui aplicată în timpul soluției.

Metoda de variație a constantelor arbitrare este cea mai universală metodă. Poate rezolva orice ecuație care poate fi rezolvată metoda de selectare a unei anumite soluții pe baza formei părții din dreapta. Se pune întrebarea: de ce să nu folosiți și acolo metoda de variație a constantelor arbitrare? Răspunsul este evident: selectarea unei anumite soluții, care a fost discutată în clasă Ecuații neomogene de ordinul doi, accelerează semnificativ soluția și scurtează înregistrarea - fără tam-tam cu determinanții și integralele.

Să ne uităm la două exemple cu Problema Cauchy.

Exemplul 6

Găsiți o anumită soluție a ecuației diferențiale corespunzătoare condițiilor inițiale date

,

Soluţie: Din nou, fracția și exponentul sunt într-un loc interesant.
Folosim metoda variației constantelor arbitrare.

Vom găsi decizie comună adecvat omogen ecuatii:



– se obțin diferite rădăcini reale, deci soluția generală este:

Soluție generală de neomogen căutăm ecuații sub forma: , unde – pentru acum funcții necunoscute.

Să creăm un sistem:

În acest caz:
,
Găsirea derivatelor:
,

Prin urmare:

Să rezolvăm sistemul folosind formulele lui Cramer:
, ceea ce înseamnă că sistemul are o soluție unică.

Restabilim funcția prin integrare:

Folosit aici metoda de subsumare a unei functii sub semnul diferential.

Restabilim a doua funcție prin integrare:

Această integrală este rezolvată metoda de înlocuire a variabilei:

Din înlocuirea în sine exprimăm:

Prin urmare:

Această integrală poate fi găsită metoda de extracție a pătratului complet, dar în exemplele cu difuzoare prefer să extind fracția metoda coeficienților nedeterminați:

Ambele funcții găsite:

Ca urmare, soluția generală a ecuației neomogene este:

Să găsim o soluție specială care să satisfacă condițiile inițiale .

Din punct de vedere tehnic, căutarea unei soluții se realizează într-un mod standard, despre care a fost discutat în articol Ecuații diferențiale neomogene de ordinul doi.

Stai, acum vom găsi derivata soluției generale găsite:

Aceasta este o astfel de rușine. Nu este necesar să o simplificați, este mai ușor să creați imediat un sistem de ecuații. Conform conditiilor initiale :

Să înlocuim valorile găsite ale constantelor la solutia generala:

În răspuns, logaritmii pot fi împachetate puțin.

Răspuns: solutie privata:

După cum puteți vedea, pot apărea dificultăți în integrale și derivate, dar nu și în algoritmul în sine pentru metoda de variație a constantelor arbitrare. Nu eu te-am intimidat, este toată colecția lui Kuznețov!

Pentru relaxare, un exemplu final, mai simplu, pentru a o rezolva singur:

Exemplul 7

Rezolvați problema Cauchy

,

Exemplul este simplu, dar creativ, atunci când creați un sistem, priviți-l cu atenție înainte de a decide ;-),




Ca urmare, soluția generală este:

Să găsim o soluție specială corespunzătoare condițiilor inițiale .



Să substituim valorile găsite ale constantelor în soluția generală:

Răspuns: solutie privata:

Să ne întoarcem la considerarea ecuațiilor diferențiale liniare neomogene de formă

Unde - funcţia cerută a argumentului , și funcțiile



sunt date și continue pe un anumit interval
.

Să introducem în considerare o ecuație liniară omogenă, a cărei parte stângă coincide cu partea stângă a ecuației neomogene (2.31),

Se numește o ecuație de forma (2.32). ecuație omogenă corespunzătoare ecuației neomogene (2.31).

Următoarea teoremă este valabilă despre structura soluției generale a ecuației liniare neomogene (2.31).

Teorema 2.6. Soluția generală a ecuației liniare neomogene (2.31) în regiune

este suma oricărei soluții particulare a acesteia și soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare (2.32) în domeniul (2.33), i.e.

Unde - soluție particulară a ecuației (2.31),
este sistemul fundamental de soluții la ecuația omogenă (2.32) și
- constante arbitrare.

Veți găsi demonstrația acestei teoreme în.

Folosind exemplul unei ecuații diferențiale de ordinul doi, vom schița o metodă prin care se poate găsi o anumită soluție la o ecuație liniară neomogenă. Această metodă se numește Metoda Lagrange de variație a constantelor arbitrare.

Deci, să ni se dea o ecuație liniară neomogenă

(2.35)

unde sunt coeficienții
si partea dreapta
continuă într-un anumit interval
.

Să notăm prin
Și
sistem fundamental de soluții la ecuația omogenă

(2.36)

Atunci soluția sa generală are forma

(2.37)

Unde Și - constante arbitrare.

Vom căuta o soluție a ecuației (2.35) în aceeași formă , precum și soluția generală a ecuației omogene corespunzătoare, înlocuind constantele arbitrare cu unele funcții diferențiabile ale (variam constante arbitrare), acestea.

Unde
Și
- unele funcţii diferenţiabile din , care sunt încă necunoscute și pe care vom încerca să le determinăm astfel încât funcția (2.38) să fie o soluție a ecuației neomogene (2.35). Diferențiând ambele părți ale egalității (2.38), obținem

Deci la calcul derivate de ordinul doi ale
Și
, cerem asta peste tot în
condiția a fost îndeplinită

Atunci pentru vom avea

Să calculăm derivata a doua

Înlocuirea expresiilor pentru ,,din (2.38), (2.40), (2.41) în ecuația (2.35), obținem

Expresiile dintre paranteze drepte sunt egale cu zero peste tot în
, deoarece Și - soluții parțiale ale ecuației (2.36). În acest caz, (2.42) va lua forma Combinând această condiție cu condiția (2.39), obținem un sistem de ecuații pentru determinarea
Și

(2.43)

Ultimul sistem este un sistem de două ecuații algebrice liniare neomogene în raport cu
Și
. Determinantul acestui sistem este determinantul Wronski pentru sistemul fundamental de soluții ,și, prin urmare, este diferit de zero peste tot în
. Aceasta înseamnă că sistemul (2.43) are o soluție unică. Rezolvându-l în vreun fel relativ
,
vom găsi

Unde
Și
- functii cunoscute.

Efectuând integrarea și ținând cont că ca
,
ar trebui să luăm o pereche de funcții și să setăm constantele de integrare egale cu zero. Primim

Înlocuind expresiile (2.44) în relațiile (2.38), putem scrie soluția dorită a ecuației neomogene (2.35) sub forma

Această metodă poate fi generalizată pentru a găsi o soluție particulară a ecuației liniare neomogene -a ordine.

Exemplul 2.6. Rezolvați ecuația
la
dacă funcţiile

formează un sistem fundamental de soluții la ecuația omogenă corespunzătoare.

Să găsim o soluție specială pentru această ecuație. Pentru a face acest lucru, în conformitate cu metoda Lagrange, trebuie mai întâi să rezolvăm sistemul (2.43), care în cazul nostru are forma
Reducerea ambelor părți ale fiecărei ecuații cu primim

Scăzând prima ecuație termen cu termen din a doua ecuație, găsim
iar apoi din prima ecuaţie rezultă
Efectuând integrarea și setând constantele de integrare la zero, vom avea

O soluție specială a acestei ecuații poate fi reprezentată ca

Soluția generală a acestei ecuații are forma

Unde Și - constante arbitrare.

În sfârșit, să notăm o proprietate remarcabilă, care este adesea numită principiul suprapunerii soluțiilor și este descrisă de următoarea teoremă.

Teorema 2.7. Dacă între
funcţie
- soluție particulară a funcției ecuației
o anumită soluție a ecuației pe același interval este funcția
există o soluție particulară a ecuației