Cum să reprezinte o expresie ca monom. Reducerea unui monom la forma standard, exemple, soluții
Monomial este o expresie care este produsul a doi sau mai mulți factori, fiecare dintre care este un număr exprimat printr-o literă, cifre sau putere (cu un exponent întreg nenegativ):
2A, A 3 X, 4abc, -7X
Deoarece produsul factorilor identici poate fi scris ca putere, o singură putere (cu un exponent întreg nenegativ) este, de asemenea, un monom:
(-4) 3 , X 5 ,
Deoarece un număr (întreg sau fracție), exprimat printr-o literă sau numere, poate fi scris ca produs al acestui număr cu unul, orice număr individual poate fi considerat, de asemenea, ca un monom:
X, 16, -A,
Forma standard de monom
Forma standard de monom este un monom care are un singur factor numeric, care trebuie scris pe primul loc. Toate variabilele sunt în ordine alfabetică și sunt conținute într-un monom o singură dată.
Numerele, variabilele și puterile variabilelor aparțin, de asemenea, monomiilor de forma standard:
7, b, X 3 , -5b 3 z 2 - monomii de formă standard.
Factorul numeric al unui monom de formă standard se numește coeficientul monomului. Coeficienții monomi egali cu 1 și -1 nu sunt de obicei scrisi.
Dacă un monom de formă standard nu are un factor numeric, atunci se presupune că coeficientul monomului este egal cu 1:
X 3 = 1 X 3
Dacă un monom de formă standard nu are un factor numeric și este precedat de un semn minus, atunci se presupune că coeficientul monomului este egal cu -1:
-X 3 = -1 · X 3
Reducerea unui monom la forma standard
Pentru a aduce un monom la forma standard, trebuie să:
- Înmulțiți factorii numerici dacă sunt mai mulți dintre ei. Ridicați un factor numeric la o putere dacă are un exponent. Puneți primul factor numeric.
- Înmulțiți toate aceleași variabile astfel încât fiecare variabilă să apară o singură dată în monom.
- Aranjați variabilele după factorul numeric în ordine alfabetică.
Exemplu. Prezentați monomul în formă standard:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 X; b) 6 bc· 0,5 ab 3
Soluţie:
a) 3 yx 2 (-2) y 5 X= 3 (-2) X 2 Xyy 5 = -6X 3 y 6
b) 6 bc· 0,5 ab 3 = 6 0,5 abb 3 c = 3ab 4 c
Puterea unui monom
Puterea unui monom este suma exponenților tuturor literelor incluse în acesta.
Dacă un monom este un număr, adică nu conține variabile, atunci gradul său este considerat egal cu zero. De exemplu:
5, -7, 21 sunt monomii de grad zero.
Prin urmare, pentru a găsi gradul unui monom, trebuie să determinați exponentul fiecăreia dintre literele incluse în acesta și să adăugați acești exponenți. Dacă exponentul unei litere nu este specificat, atunci este egal cu unul.
Exemple:
Deci ce mai faci X exponentul nu este specificat, ceea ce înseamnă că este egal cu 1. Monomiul nu conține alte variabile, ceea ce înseamnă că gradul său este egal cu 1.
Un monom conține doar o variabilă la a doua putere, ceea ce înseamnă că gradul acestui monom este 2.
3) ab 3 c 2 d
Index A este egal cu 1, exponent b- 3, indicator c- 2, indicator d- 1. Gradul acestui monom este egal cu suma acestor indicatori.
eu. Expresiile care sunt alcătuite din numere, variabile și puterile lor folosind acțiunea înmulțirii se numesc monomii.
Exemple de monomii:
A) A; b) ab; V) 12; G)-3c; d) 2a 2 ∙(-3,5b) 3; e)-123,45xy5z; și) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3).
II. Acest tip de monom, atunci când factorul numeric (coeficientul) este primul, urmat de variabilele cu puterile lor, se numește tipul standard de monom.
Astfel, monomiile date mai sus, sub litere a B C), G)Și e) scris în formă standard, iar monomiile de sub litere d)Și și) este necesar să-l aduceți într-o formă standard, adică într-o formă în care factorul numeric este primul, urmat de factorii de litere cu exponenții lor, iar factorii de litere sunt în ordine alfabetică. Să prezentăm monomii d)Și și) la vizualizarea standard.
d) 2a 2 ∙(-3.5b) 3=2a 2 ∙(-3.5) 3 ∙b 3 =-2a 2 ∙3.5∙3.5∙3.5∙b 3 = -85,75a2b3;
și) 8ac∙2.5a 2 ∙(-3c 3)=-8∙2.5∙3a 3 c 3 = -60a 3 c 3 .
III.Suma exponenților tuturor variabilelor incluse într-un monom se numește gradul monomului.
Exemple. Ce grad au monomiile? a) - g)?
a) a. Primul;
b) ab. Al doilea: Aîn gradul I şi b la prima putere - suma indicatorilor 1+1=2 ;
V) 12. Zero, deoarece nu există factori de litere;
G) -3c. Primul;
d) -85,75a 2 b 3 . A cincea. Am redus acest monom la forma standard, am făcut-o A la gradul al doilea şi bîn a treia. Să adunăm indicatorii: 2+3=5 ;
e) -123,45xy 5 z. Al șaptelea. Am adunat exponenții factorilor litere: 1+5+1=7 ;
și) -60a 3 c 3 .În al șaselea rând, deoarece suma exponenților factorilor de literă 3+3=6 .
IV. Monomiile care au aceeași parte de literă se numesc monomii similare.
Exemplu. Indicați monomii similare dintre monomiile date 1) -7).
1) 3aabbc; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 2 bac; 5) 10aaa 2 x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 ani.
Să prezentăm monomii 1), 4) Și 5) la vizualizarea standard. Apoi linia de date de monomii va arăta astfel:
1) 3a 2 b 2 c; 2) -4,1a 3 bc; 3) 56a 2 b 2 c; 4) 98,7a 3 bc; 5) 10a 4x; 6) -2,3a 4 x; 7) 34x 2 ani.
Similare vor fi cele care au aceeași parte de literă, adică. 1) și 3); 2) și 4); 5) și 6).
1) 3a 2 b 2 c și 3) 56a 2 b 2 c;
2) -4.1a 3 bc și 4) 98,7a 3 bc;
5) 10a 4 x și 6) -2,3a 4 x.
Am observat că orice monom poate fi aduce la forma standard. În acest articol vom înțelege ce se numește aducerea unui monom la forma standard, ce acțiuni permit realizarea acestui proces și vom lua în considerare soluții la exemple cu explicații detaliate.
Navigare în pagină.
Ce înseamnă reducerea unui monom la forma standard?
Este convenabil să lucrați cu monomii atunci când sunt scrise în formă standard. Cu toate acestea, destul de des monomiile sunt specificate într-o formă diferită de cea standard. În aceste cazuri, puteți trece oricând de la monomul original la un monom al formei standard, efectuând transformări de identitate. Procesul de efectuare a unor astfel de transformări se numește reducerea unui monom la o formă standard.
Să rezumam argumentele de mai sus. Reduceți monomiul la forma standard- aceasta înseamnă efectuarea de transformări identice cu acesta astfel încât să ia o formă standard.
Cum se aduce un monom la forma standard?
Este timpul să ne dați seama cum să reduceți monomiile la forma standard.
După cum se știe din definiție, monomiile de formă nestandard sunt produse ale numerelor, variabilelor și puterilor acestora și, eventual, ale celor repetate. Iar un monom al formei standard poate conține în notația sa doar un număr și variabile nerepetabile sau puterile acestora. Acum rămâne să înțelegeți cum să aduceți produse de primul tip la tipul celui de-al doilea?
Pentru a face acest lucru, trebuie să utilizați următoarele regula pentru reducerea unui monom la forma standard constând din două etape:
- În primul rând, se realizează o grupare a factorilor numerici, precum și a variabilelor identice și a puterilor acestora;
- În al doilea rând, produsul numerelor este calculat și aplicat.
Ca urmare a aplicării regulii menționate, orice monom va fi redus la o formă standard.
Exemple, soluții
Tot ce rămâne este să înveți cum să aplici regula din paragraful anterior atunci când rezolvi exemple.
Exemplu.
Reduceți monomiul 3 x 2 x 2 la forma standard.
Soluţie.
Să grupăm factorii numerici și factorii cu o variabilă x. După grupare, monomul original va lua forma (3·2)·(x·x 2) . Produsul numerelor din primele paranteze este egal cu 6, iar regula de înmulțire a puterilor cu aceleași baze permite ca expresia din a doua paranteză să fie reprezentată ca x 1 +2=x 3. Ca rezultat, obținem un polinom de forma standard 6 x 3.
Iată un scurt rezumat al soluției: 3 x 2 x 2 =(3 2) (x x 2)=6 x 3.
Răspuns:
3 x 2 x 2 =6 x 3.
Deci, pentru a aduce un monom într-o formă standard, trebuie să fiți capabil să grupați factorii, să înmulțiți numerele și să lucrați cu puteri.
Pentru a consolida materialul, să rezolvăm încă un exemplu.
Exemplu.
Prezentați monomul în formă standard și indicați coeficientul acestuia.
Soluţie.
Monomiul original are un singur factor numeric în notația sa -1, să-l mutăm la început. După aceasta, vom grupa separat factorii cu variabila a, separat cu variabila b și nu există nimic cu care să grupăm variabila m, o vom lăsa așa cum este, avem 
. După efectuarea operațiilor cu puteri între paranteze, monomul va lua forma standard de care avem nevoie, din care putem vedea coeficientul monomului egal cu −1. Minus unu poate fi înlocuit cu un semn minus: .
Conceptul de monom
Definiția unui monom: Un monom este o expresie algebrică care folosește numai înmulțirea.
Forma standard de monom
Care este forma standard a unui monom? Un monom se scrie în formă standard, dacă are în primul rând un factor numeric și acest factor se numește coeficientul monomului, există doar unul în monom, literele monomului sunt aranjate în ordine alfabetică și fiecare literă. apare o singură dată.
Un exemplu de monom în formă standard:
aici pe primul loc este numarul, coeficientul monomului, iar acest numar este doar unul in monomul nostru, fiecare literă apare o singură dată iar literele sunt aranjate în ordine alfabetică, în acest caz este alfabetul latin.
Un alt exemplu de monom în formă standard:
fiecare literă apare o singură dată, sunt aranjate în ordine alfabetică latină, dar unde este coeficientul monomului, adică. factorul numeric care ar trebui să fie primul? Aici este egal cu unu: 1adm.
Poate fi coeficientul unui monom negativ? Da, poate, exemplu: -5a.
Coeficientul unui monom poate fi fracționat? Da, poate, exemplu: 5.2a.
Dacă un monom constă numai dintr-un număr, i.e. nu are litere, cum o pot aduce la forma standard? Orice monom care este un număr este deja în formă standard, de exemplu: numărul 5 este un monom în formă standard.
Reducerea monomiilor la forma standard
Cum se aduce un monom la forma standard? Să ne uităm la exemple.
Să fie dat monomiul 2a4b; trebuie să-l aducem la forma standard. Înmulțim cei doi factori numerici ai săi și obținem 8ab. Acum monomul este scris în formă standard, adică. are un singur factor numeric, scris în primul rând, fiecare literă din monom apare o singură dată și aceste litere sunt aranjate în ordine alfabetică. Deci 2a4b = 8ab.
Dat: monomul 2a4a, aduceți monomul la forma standard. Înmulțim numerele 2 și 4, înlocuind produsul aa cu a doua putere a lui 2. Se obține: 8a 2 . Aceasta este forma standard a acestui monom. Deci 2a4a = 8a 2 .
Monomii similare
Care sunt monomiile asemănătoare? Dacă monomiile diferă doar în coeficienți sau sunt egale, atunci ele se numesc similare.
Exemplu de monomii similare: 5a și 2a. Aceste monomii diferă doar în coeficienți, ceea ce înseamnă că sunt similare.
Sunt monomiile 5abc și 10cba similare? Să aducem al doilea monom la forma standard și să obținem 10abc. Acum putem vedea că monomiile 5abc și 10abc diferă doar prin coeficienți, ceea ce înseamnă că sunt similare.
Adăugarea monomiilor
Care este suma monomiilor? Nu putem decât să însumăm monomii similare. Să ne uităm la un exemplu de adăugare a monomiilor. Care este suma monomiilor 5a și 2a? Suma acestor monomii va fi un monom similar cu ele, al cărui coeficient este egal cu suma coeficienților termenilor. Deci, suma monomiilor este 5a + 2a = 7a.
Mai multe exemple de adăugare de monomii:
2a 2 + 3a 2 = 5a 2
2a 2 b 3 c 4 + 3a 2 b 3 c 4 = 5a 2 b 3 c 4
Din nou. Puteți adăuga doar monomii similare; adăugarea se reduce la adăugarea coeficienților lor.
Scăderea monomiilor
Care este diferența dintre monomii? Putem scădea doar monomii similare. Să ne uităm la un exemplu de scădere a monomiilor. Care este diferența dintre monomiile 5a și 2a? Diferența acestor monomii va fi un monom similar cu ele, al cărui coeficient este egal cu diferența coeficienților acestor monomii. Deci, diferența monomiilor este 5a - 2a = 3a.
Mai multe exemple de scădere a monomiilor:
10a 2 - 3a 2 = 7a 2
5a 2 b 3 c 4 - 3a 2 b 3 c 4 = 2a 2 b 3 c 4
Înmulțirea monomiilor
Care este produsul monomiilor? Să ne uităm la un exemplu:
acestea. produsul monomiilor este egal cu un monom ai cărui factori sunt formați din factorii monomiilor originale.
Alt exemplu:
2a 2 b 3 * a 5 b 9 = 2a 7 b 12 .
Cum a apărut acest rezultat? Fiecare factor conține „a” la putere: în primul - „a” la puterea lui 2, iar în al doilea - „a” la puterea lui 5. Aceasta înseamnă că produsul va conține „a” la puterea lui. din 7, deoarece la înmulțirea literelor identice, exponenții puterilor lor se pliază:
A 2 * a 5 = a 7 .
Același lucru este valabil și pentru factorul „b”.
Coeficientul primului factor este doi, iar al doilea este unul, deci rezultatul este 2 * 1 = 2.
Așa s-a calculat rezultatul: 2a 7 b 12.
Din aceste exemple este clar că coeficienții monomiilor sunt înmulțiți, iar literele identice sunt înlocuite cu sumele puterilor lor în produs.
