Ce sunt vectorii proprii și valorile proprii. Valori proprii (numere) și vectori proprii Exemple de soluții

Cum se inserează formule matematice pe un site web?

Dacă vreodată trebuie să adăugați una sau două formule matematice pe o pagină web, atunci cel mai simplu mod de a face acest lucru este descris în articol: formulele matematice sunt ușor de inserat pe site sub formă de imagini care sunt generate automat de Wolfram Alpha . Pe lângă simplitate, această metodă universală va ajuta la îmbunătățirea vizibilității site-ului în motoarele de căutare. Funcționează de mult timp (și cred că va funcționa pentru totdeauna), dar este deja depășit din punct de vedere moral.

Dacă utilizați în mod regulat formule matematice pe site-ul dvs., atunci vă recomand să utilizați MathJax - o bibliotecă JavaScript specială care afișează notații matematice în browserele web folosind markup MathML, LaTeX sau ASCIIMathML.

Există două moduri de a începe să utilizați MathJax: (1) folosind un cod simplu, puteți conecta rapid un script MathJax la site-ul dvs., care va fi încărcat automat de pe un server la distanță la momentul potrivit (lista de servere); (2) descărcați scriptul MathJax de pe un server la distanță pe serverul dvs. și conectați-l la toate paginile site-ului dvs. A doua metodă - mai complexă și consumatoare de timp - va grăbi încărcarea paginilor site-ului dvs., iar dacă serverul MathJax părinte devine temporar indisponibil dintr-un motiv oarecare, acest lucru nu vă va afecta în niciun fel propriul site. În ciuda acestor avantaje, am ales prima metodă deoarece este mai simplă, mai rapidă și nu necesită abilități tehnice. Urmează-mi exemplul și în doar 5 minute vei putea folosi toate funcțiile MathJax de pe site-ul tău.

Puteți conecta scriptul de bibliotecă MathJax de la un server la distanță folosind două opțiuni de cod preluate de pe site-ul principal MathJax sau de pe pagina de documentație:

Una dintre aceste opțiuni de cod trebuie să fie copiată și lipită în codul paginii dvs. web, de preferință între etichete și/sau imediat după etichetă. Conform primei opțiuni, MathJax se încarcă mai repede și încetinește pagina mai puțin. Dar a doua opțiune monitorizează și încarcă automat cele mai recente versiuni de MathJax. Dacă introduceți primul cod, acesta va trebui actualizat periodic. Dacă introduceți al doilea cod, paginile se vor încărca mai lent, dar nu va trebui să monitorizați în mod constant actualizările MathJax.

Cel mai simplu mod de a conecta MathJax este în Blogger sau WordPress: în panoul de control al site-ului, adăugați un widget conceput pentru a insera cod JavaScript terță parte, copiați prima sau a doua versiune a codului de descărcare prezentat mai sus în el și plasați widgetul mai aproape la începutul șablonului (apropo, acest lucru nu este deloc necesar, deoarece scriptul MathJax este încărcat asincron). Asta e tot. Acum aflați sintaxa de marcare a MathML, LaTeX și ASCIIMathML și sunteți gata să inserați formule matematice în paginile web ale site-ului dvs.

Orice fractal este construit după o anumită regulă, care este aplicată în mod constant de un număr nelimitat de ori. Fiecare astfel de timp se numește iterație.

Algoritmul iterativ pentru construirea unui burete Menger este destul de simplu: cubul original cu latura 1 este împărțit de planuri paralele cu fețele sale în 27 de cuburi egale. Un cub central și 6 cuburi adiacente acestuia de-a lungul fețelor sunt îndepărtate din el. Rezultatul este un set format din restul de 20 de cuburi mai mici. Făcând același lucru cu fiecare dintre aceste cuburi, obținem un set format din 400 de cuburi mai mici. Continuând acest proces la nesfârșit, obținem un burete Menger.

SISTEM DE ECUAȚII LINEARE OMogene

Un sistem de ecuații liniare omogene este un sistem de formă

Este clar că în acest caz , deoarece toate elementele uneia dintre coloanele din acești determinanți sunt egale cu zero.

Întrucât necunoscutele se găsesc după formule , atunci în cazul în care Δ ≠ 0, sistemul are o soluție unică zero X = y = z= 0. Cu toate acestea, în multe probleme întrebarea interesantă este dacă un sistem omogen are soluții altele decât zero.

Teorema. Pentru ca un sistem de ecuații liniare omogene să aibă o soluție diferită de zero, este necesar și suficient ca Δ ≠ 0.

Deci, dacă determinantul Δ ≠ 0, atunci sistemul are o soluție unică. Dacă Δ ≠ 0, atunci sistemul de ecuații liniare omogene are un număr infinit de soluții.

Exemple.

Vectorii proprii și valorile proprii ale unei matrice

Să fie dată o matrice pătrată , X– o coloană-matrice a cărei înălțime coincide cu ordinea matricei A. .

În multe probleme trebuie să luăm în considerare ecuația pt X

unde λ este un anumit număr. Este clar că pentru orice λ această ecuație are o soluție zero.

Se numește numărul λ pentru care această ecuație are soluții diferite de zero valoare proprie matrici A, A X căci astfel de λ se numește vector propriu matrici A.

Să găsim vectorul propriu al matricei A. Deoarece E∙X = X, atunci ecuația matriceală poate fi rescrisă ca sau . În formă extinsă, această ecuație poate fi rescrisă ca un sistem de ecuații liniare. Într-adevăr .

Prin urmare

Deci, am obținut un sistem de ecuații liniare omogene pentru determinarea coordonatelor x 1, x 2, x 3 vector X. Pentru ca un sistem să aibă soluții diferite de zero este necesar și suficient ca determinantul sistemului să fie egal cu zero, i.e.

Aceasta este o ecuație de gradul 3 pentru λ. Se numeste ecuație caracteristică matrici Ași servește la determinarea valorilor proprii ale lui λ.

Fiecare valoare proprie λ corespunde unui vector propriu X, ale căror coordonate sunt determinate din sistem la valoarea corespunzătoare a lui λ.

Exemple.

ALGEBRA VECTORALĂ. CONCEPTUL DE VECTOR

Când se studiază diferite ramuri ale fizicii, există cantități care sunt complet determinate prin specificarea valorilor lor numerice, de exemplu, lungimea, suprafața, masa, temperatura etc. Astfel de mărimi se numesc scalare. Cu toate acestea, pe lângă ele, există și cantități, pentru a determina care, pe lângă valoarea numerică, este necesar să se cunoască și direcția lor în spațiu, de exemplu, forța care acționează asupra corpului, viteza și accelerația corpul atunci când se mișcă în spațiu, puterea câmpului magnetic într-un anumit punct din spațiu și etc. Astfel de mărimi se numesc mărimi vectoriale.

Să introducem o definiție strictă.

Segment regizat Să numim un segment, relativ la capete ale căruia se știe care dintre ele este primul și care este al doilea.

Vector numit segment direcționat având o anumită lungime, adică Acesta este un segment de o anumită lungime, în care unul dintre punctele care îl limitează este luat drept început, iar al doilea ca sfârșit. Dacă A– începutul vectorului, B este sfârșitul său, atunci vectorul este notat prin simbol; în plus, vectorul este adesea notat cu o singură literă. În figură, vectorul este indicat printr-un segment, iar direcția acestuia printr-o săgeată.

Modul sau lungime Un vector se numește lungimea segmentului direcționat care îl definește. Notat cu || sau ||.

Vom include și așa-numitul vector zero, al cărui început și sfârșit coincid, ca vectori. Este desemnat. Vectorul zero nu are o direcție specifică și modulul său este zero ||=0.

Se numesc vectori coliniare, dacă sunt situate pe aceeași linie sau pe linii paralele. Mai mult, dacă vectorii și sunt în aceeași direcție, vom scrie , opus.

Se numesc vectori situati pe drepte paralele cu acelasi plan coplanare.

Cei doi vectori sunt numiți egal, dacă sunt coliniare, au aceeași direcție și sunt egale ca lungime. În acest caz ei scriu .

Din definiția egalității vectorilor rezultă că un vector poate fi transportat paralel cu el însuși, plasându-și originea în orice punct din spațiu.

De exemplu .

OPERAȚII LINEARE PE VECTORI

Înmulțirea unui vector cu un număr.

Produsul unui vector și numărul λ este un vector nou astfel încât:

Produsul unui vector și unui număr λ se notează cu .

De exemplu, există un vector îndreptat în aceeași direcție cu vectorul și având o lungime pe jumătate mai mare decât vectorul.

Operația introdusă are următoarele proprietăți:

Adăugarea vectorului.

Fie și doi vectori arbitrari. Să luăm un punct arbitrar Oși construiește un vector. După aceea de la punct A să lăsăm vectorul deoparte. Se numește vectorul care leagă începutul primului vector cu sfârșitul celui de-al doilea Cantitate dintre acești vectori și se notează .

Definiția formulată a adunării vectoriale se numește regula paralelogramului, deoarece aceeași sumă de vectori poate fi obținută după cum urmează. Să amânăm de la punct O vectori și . Să construim un paralelogram pe acești vectori OABC. Deoarece vectori, atunci vector, care este o diagonală a unui paralelogram desenat din vârf O, va fi evident o sumă de vectori.

Este ușor să verificați următoarele proprietăți ale adunării vectoriale.

Diferența vectorială.

Se numește un vector coliniar cu un vector dat, de lungime egală și direcționat opus opus vector pentru un vector și se notează cu . Vectorul opus poate fi considerat ca rezultat al înmulțirii vectorului cu numărul λ = –1: .

Un vector propriu al unei matrice pătrate este unul care, atunci când este înmulțit cu o matrice dată, are ca rezultat un vector coliniar. Cu cuvinte simple, atunci când o matrice este înmulțită cu un vector propriu, acesta din urmă rămâne același, dar înmulțit cu un anumit număr.

Definiție

Un vector propriu este un vector diferit de zero V, care, atunci când este înmulțit cu o matrice pătrată M, devine el însuși mărit cu un număr λ. În notația algebrică arată astfel:

M × V = λ × V,

unde λ este valoarea proprie a matricei M.

Să ne uităm la un exemplu numeric. Pentru ușurința înregistrării, numerele din matrice vor fi separate prin punct și virgulă. Să avem o matrice:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Să-l înmulțim cu un vector coloană:

• V = -2;

Când înmulțim o matrice cu un vector coloană, obținem și un vector coloană. În limbaj matematic strict, formula pentru înmulțirea unei matrice 2 × 2 cu un vector coloană va arăta astfel:

• M × V = M11 × V11 + M12 × V21;
• M21 × V11 + M22 × V21.

M11 înseamnă elementul matricei M situat în primul rând și prima coloană, iar M22 înseamnă elementul situat în al doilea rând și a doua coloană. Pentru matricea noastră, aceste elemente sunt egale cu M11 = 0, M12 = 4, M21 = 6, M22 10. Pentru un vector coloană, aceste valori sunt egale cu V11 = –2, V21 = 1. Conform acestei formule, obținem următorul rezultat al produsului unei matrice pătrate de un vector:

• M × V = 0 × (-2) + (4) × (1) = 4;
• 6 × (-2) + 10 × (1) = -2.

Pentru comoditate, să scriem vectorul coloană într-un rând. Deci, am înmulțit matricea pătrată cu vectorul (-2; 1), rezultând vectorul (4; -2). Evident, acesta este același vector înmulțit cu λ = -2. Lambda în acest caz desemnează valoarea proprie a matricei.

Un vector propriu al unei matrice este un vector coliniar, adică un obiect care nu își schimbă poziția în spațiu atunci când este înmulțit cu o matrice. Conceptul de coliniaritate în algebra vectorială este similar cu termenul de paralelism în geometrie. Într-o interpretare geometrică, vectorii coliniari sunt segmente direcționate paralele de lungimi diferite. Din vremea lui Euclid, știm că o linie are un număr infinit de linii paralele cu ea, așa că este logic să presupunem că fiecare matrice are un număr infinit de vectori proprii.

Din exemplul anterior este clar că vectorii proprii pot fi (-8; 4), și (16; -8) și (32, -16). Aceștia sunt toți vectori coliniari corespunzători valorii proprii λ = -2. Când înmulțim matricea originală cu acești vectori, vom ajunge totuși cu un vector care diferă de original de 2 ori. De aceea, atunci când se rezolvă probleme de găsire a unui vector propriu, este necesar să se găsească numai obiecte vectoriale liniar independente. Cel mai adesea, pentru o matrice n × n, există un număr n de vectori proprii. Calculatorul nostru este conceput pentru analiza matricelor pătrate de ordinul doi, astfel încât aproape întotdeauna rezultatul va găsi doi vectori proprii, cu excepția cazurilor în care acestea coincid.

În exemplul de mai sus, știam în avans vectorul propriu al matricei originale și am determinat în mod clar numărul lambda. Cu toate acestea, în practică, totul se întâmplă invers: mai întâi se găsesc valorile proprii și abia apoi vectorii proprii.

Algoritm de rezolvare

Să ne uităm din nou la matricea originală M și să încercăm să găsim ambii vectori proprii. Deci matricea arată astfel:

• M = 0; 4;
• 6; 10.

Mai întâi trebuie să determinăm valoarea proprie λ, care necesită calcularea determinantului următoarei matrice:

• (0 − λ); 4;
• 6; (10 − λ).

Această matrice se obține prin scăderea necunoscutului λ din elementele de pe diagonala principală. Determinantul se determină folosind formula standard:

• detA = M11 × M21 − M12 × M22
• detA = (0 − λ) × (10 − λ) − 24

Deoarece vectorul nostru trebuie să fie diferit de zero, acceptăm ecuația rezultată ca fiind dependentă liniar și echivalăm determinantul nostru detA cu zero.

(0 − λ) × (10 − λ) − 24 = 0

Să deschidem parantezele și să obținem ecuația caracteristică a matricei:

λ 2 − 10λ − 24 = 0

Aceasta este o ecuație pătratică standard care trebuie rezolvată folosind un discriminant.

D = b 2 − 4ac = (-10) × 2 − 4 × (-1) × 24 = 100 + 96 = 196

Rădăcina discriminantului este sqrt(D) = 14, prin urmare λ1 = -2, λ2 = 12. Acum pentru fiecare valoare lambda trebuie să găsim vectorul propriu. Să exprimăm coeficienții sistemului pentru λ = -2.

• M − λ × E = 2; 4;
• 6; 12.

În această formulă, E este matricea identității. Pe baza matricei rezultate, creăm un sistem de ecuații liniare:

2x + 4y = 6x + 12y,

unde x și y sunt elementele vectorului propriu.

Să colectăm toate X-urile din stânga și toate Y-urile din dreapta. Evident - 4x = 8y. Împărțiți expresia la - 4 și obțineți x = –2y. Acum putem determina primul vector propriu al matricei, luând orice valoare a necunoscutelor (amintiți-vă de infinitatea de vectori proprii dependenți liniar). Să luăm y = 1, apoi x = –2. Prin urmare, primul vector propriu arată ca V1 = (–2; 1). Reveniți la începutul articolului. Acest obiect vector a fost cu care am înmulțit matricea pentru a demonstra conceptul de vector propriu.

Acum să găsim vectorul propriu pentru λ = 12.

• M - λ × E = -12; 4
• 6; -2.

Să creăm același sistem de ecuații liniare;

• -12x + 4y = 6x − 2y
• -18x = -6y
• 3x = y.

Acum luăm x = 1, deci y = 3. Astfel, al doilea vector propriu arată ca V2 = (1; 3). Când înmulțiți matricea originală cu un vector dat, rezultatul va fi întotdeauna același vector înmulțit cu 12. Aici se termină algoritmul de soluție. Acum știți cum să determinați manual vectorul propriu al unei matrice.

• determinant;
• urmă, adică suma elementelor de pe diagonala principală;
• rang, adică numărul maxim de rânduri/coloane liniar independente.

Programul funcționează conform algoritmului de mai sus, scurtând pe cât posibil procesul de soluție. Este important de subliniat că în program lambda este desemnat cu litera „c”. Să ne uităm la un exemplu numeric.

Exemplu de funcționare a programului

Să încercăm să determinăm vectorii proprii pentru următoarea matrice:

• M = 5; 13;
• 4; 14.

Să introducem aceste valori în celulele calculatorului și să obținem răspunsul în următoarea formă:

• Rangul matricei: 2;
• Determinant de matrice: 18;
• Urmă matrice: 19;
• Calculul vectorului propriu: c 2 − 19,00c + 18,00 (ecuația caracteristică);
• Calcul vectorului propriu: 18 (prima valoare lambda);
• Calcul vectorului propriu: 1 (a doua valoare lambda);
• Sistem de ecuații pentru vectorul 1: -13x1 + 13y1 = 4x1 − 4y1;
• Sistem de ecuații pentru vectorul 2: 4x1 + 13y1 = 4x1 + 13y1;
• Vectorul propriu 1: (1; 1);
• Vectorul propriu 2: (-3,25; 1).

Astfel, am obținut doi vectori proprii liniar independenți.

Concluzie

Algebra liniară și geometria analitică sunt subiecte standard pentru orice specializare în inginerie în primul rând. Numărul mare de vectori și matrice este terifiant și este ușor să faci greșeli în calcule atât de greoaie. Programul nostru va permite elevilor să-și verifice calculele sau să rezolve automat problema găsirii unui vector propriu. Există și alte calculatoare de algebră liniară în catalogul nostru; utilizați-le în studii sau în muncă.

Definiție 9.3. Vector X se numește vectorul propriu al matricei A, dacă există un astfel de număr λ, că egalitatea este valabilă: Ах = λх, adică rezultatul aplicării la X transformare liniară specificată de matrice A, este înmulțirea acestui vector cu numărul λ . Numărul în sine λ se numește valoarea proprie a matricei A.

Înlocuirea în formule (9.3) x` j = λx j , obținem un sistem de ecuații pentru determinarea coordonatelor vectorului propriu:

. (9.5)

Acest sistem liniar omogen va avea o soluție netrivială numai dacă principalul său determinant este 0 (regula lui Cramer). Scriind această condiție sub forma:

obţinem o ecuaţie pentru determinarea valorilor proprii λ , numită ecuație caracteristică. Pe scurt, poate fi reprezentat astfel:

| A - λE | = 0, (9.6)

întrucât partea stângă a acestuia conține determinantul matricei A-λE. Relativ polinom λ | A - λE| se numește polinomul caracteristic al matricei A.

Proprietățile polinomului caracteristic:

1) Polinomul caracteristic al unei transformări liniare nu depinde de alegerea bazei. Dovada. (vezi (9.4)), dar prin urmare, . Astfel, nu depinde de alegerea bazei. Aceasta înseamnă că | A-λE| nu se schimbă la trecerea la o nouă bază.

2) Dacă matricea A transformarea liniară este simetrică (adică și ij =a ji), atunci toate rădăcinile ecuației caracteristice (9.6) sunt numere reale.

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii:

1) Dacă alegeți o bază din vectorii proprii x 1, x 2, x 3, corespunzătoare valorilor proprii λ 1, λ 2, λ 3 matrici A, atunci în această bază transformarea liniară A are o matrice de formă diagonală:

(9.7) Dovada acestei proprietăți rezultă din definiția vectorilor proprii.

2) Dacă valorile proprii ale transformării A sunt diferiți, atunci vectorii lor proprii corespunzători sunt liniar independenți.

3) Dacă polinomul caracteristic al matricei A are trei rădăcini diferite, apoi într-o anumită bază matricea A are un aspect diagonal.

Să găsim valorile proprii și vectorii proprii ai matricei Să creăm o ecuație caracteristică: (1- λ )(5 - λ )(1 - λ ) + 6 - 9(5 - λ ) - (1 - λ ) - (1 - λ ) = 0, λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2, λ 2 = 3, λ 3 = 6.

Să găsim coordonatele vectorilor proprii corespunzători fiecărei valori găsite λ. Din (9.5) rezultă că dacă X (1) ={x 1 ,x 2 ,x 3) – vector propriu corespunzător λ 1 =-2, atunci

- un sistem cooperant, dar incert. Soluția sa poate fi scrisă sub formă X (1) ={A,0,-A), unde a este orice număr. În special, dacă solicităm ca | X (1) |=1, X (1) =

Înlocuirea în sistem (9.5) λ 2 =3, obținem un sistem de determinare a coordonatelor celui de-al doilea vector propriu - X (2) ={y 1 ,y 2 ,y 3}:

, Unde X (2) ={b,-b,b) sau, cu condiția | X (2) |=1, X (2) =

Pentru λ 3 = 6 găsiți vectorul propriu X (3) ={z 1 , z 2 , z 3}:

, X (3) ={c,2c,c) sau în versiunea normalizată

x(3) = Se poate observa că X (1) X (2) = ab–ab= 0, X (1) X (3) = ac-ac= 0, X (2) X (3) = bc- 2bc + bc= 0. Astfel, vectorii proprii ai acestei matrice sunt ortogonali pe perechi.

Cursul 10.

Formele pătratice și legătura lor cu matrici simetrice. Proprietăți ale vectorilor proprii și ale valorilor proprii ale unei matrice simetrice. Reducerea unei forme pătratice la forma canonică.

Definiție 10.1. Forma pătratică a variabilelor reale x 1, x 2,…, x n se numeste polinom de gradul II in aceste variabile care nu contine un termen liber si termeni de gradul I.

Exemple de forme pătratice:

(n = 2),

(n = 3). (10.1)

Să ne amintim definiția unei matrice simetrice dată în ultima prelegere:

Definiția 10.2. O matrice pătrată se numește simetrică dacă, adică dacă elementele matricei care sunt simetrice față de diagonala principală sunt egale.

Proprietăți ale valorilor proprii și ale vectorilor proprii ai unei matrice simetrice:

1) Toate valorile proprii ale unei matrice simetrice sunt reale.

Dovada (pentru n = 2).

Lasă matricea A are forma: . Să creăm o ecuație caracteristică:

(10.2) Să găsim discriminantul:

Prin urmare, ecuația are doar rădăcini reale.

2) Vectorii proprii ai unei matrice simetrice sunt ortogonali.

Dovada (pentru n= 2).

Coordonatele vectorilor proprii și trebuie să satisfacă ecuațiile.