Ângulo entre vetores na fórmula espacial. Produto escalar de vetores
O comprimento de um vetor, o ângulo entre os vetores - esses conceitos são naturalmente aplicáveis e intuitivos ao definir um vetor como um segmento de uma determinada direção. A seguir aprenderemos como determinar o ângulo entre vetores no espaço tridimensional, seu cosseno e consideraremos a teoria usando exemplos.
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Para considerar o conceito de ângulo entre vetores, vamos recorrer a uma ilustração gráfica: vamos definir dois vetores a → e b → em um plano ou no espaço tridimensional, que são diferentes de zero. Vamos também definir um ponto arbitrário O e traçar os vetores O A → = b → e O B → = b → a partir dele
Definição 1
Ângulo entre os vetores a → e b → é o ângulo entre os raios O A e O B.
Denotaremos o ângulo resultante da seguinte forma: a → , b → ^
Obviamente, o ângulo pode assumir valores de 0 a π ou de 0 a 180 graus.
a → , b → ^ = 0 quando os vetores são codirecionais e a → , b → ^ = π quando os vetores são direcionados de forma oposta.
Definição 2
Os vetores são chamados perpendicular, se o ângulo entre eles for 90 graus ou π 2 radianos.
Se pelo menos um dos vetores for zero, então o ângulo a → , b → ^ não está definido.
O cosseno do ângulo entre dois vetores e, portanto, o próprio ângulo, geralmente pode ser determinado usando o produto escalar dos vetores ou usando o teorema do cosseno para um triângulo construído a partir de dois vetores dados.
De acordo com a definição, o produto escalar é a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Se os vetores dados a → e b → forem diferentes de zero, então podemos dividir os lados direito e esquerdo da igualdade pelo produto dos comprimentos desses vetores, obtendo assim uma fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre não- vetores zero:
cos a →, b → ^ = a →, b → a → b →
Esta fórmula é usada quando os dados de origem incluem os comprimentos dos vetores e seu produto escalar.
Exemplo 1
Dados iniciais: vetores a → e b →. Seus comprimentos são 3 e 6, respectivamente, e seu produto escalar é -9. É necessário calcular o cosseno do ângulo entre os vetores e encontrar o próprio ângulo.
Solução
Os dados iniciais são suficientes para aplicar a fórmula obtida acima, então cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,
Agora vamos determinar o ângulo entre os vetores: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4
Resposta: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Mais frequentemente, existem problemas onde os vetores são especificados por coordenadas em um sistema de coordenadas retangulares. Para tais casos, é necessário derivar a mesma fórmula, mas em forma de coordenadas.
O comprimento de um vetor é definido como a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas, e o produto escalar dos vetores é igual à soma dos produtos das coordenadas correspondentes. Então a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre os vetores no plano a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) fica assim:
cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2
E a fórmula para encontrar o cosseno do ângulo entre vetores no espaço tridimensional a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) será semelhante a: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2
Exemplo 2
Dados iniciais: vetores a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) em um sistema de coordenadas retangulares. É necessário determinar o ângulo entre eles.
Solução
- Para resolver o problema, podemos aplicar imediatamente a fórmula:
cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = arc cos (- 1 70) = - arc cos 1 70
- Você também pode determinar o ângulo usando a fórmula:
cos a →, b → ^ = (a →, b →) a → b →,
mas primeiro calcule os comprimentos dos vetores e o produto escalar por coordenadas: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 porque a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - um arco cos 1 70
Resposta: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70
Também são comuns as tarefas quando as coordenadas de três pontos são dadas em um sistema de coordenadas retangulares e é necessário determinar algum ângulo. E então, para determinar o ângulo entre vetores com determinadas coordenadas de pontos, é necessário calcular as coordenadas dos vetores como a diferença entre os pontos correspondentes do início e do fim do vetor.
Exemplo 3
Dados iniciais: os pontos A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2) são dados no plano em um sistema de coordenadas retangulares. É necessário determinar o cosseno do ângulo entre os vetores A C → e B C →.
Solução
Vamos encontrar as coordenadas dos vetores a partir das coordenadas dos pontos dados A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, -4)
Agora usamos a fórmula para determinar o cosseno do ângulo entre os vetores em um plano em coordenadas: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13
Resposta: cos A C → , B C → ^ = 3 13
O ângulo entre os vetores pode ser determinado usando o teorema do cosseno. Separemos os vetores O A → = a → e O B → = b → do ponto O, então, de acordo com o teorema do cosseno no triângulo O A B, a igualdade será verdadeira:
A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,
que é equivalente a:
b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a →, b →) ^
e daqui derivamos a fórmula para o cosseno do ângulo:
cos (a →, b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →
Para aplicar a fórmula resultante, precisamos dos comprimentos dos vetores, que podem ser facilmente determinados a partir de suas coordenadas.
Embora este método ocorra, a fórmula ainda é usada com mais frequência:
cos (a →, b →) ^ = a →, b → a → b →
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Produto escalar de vetores (doravante denominado SP). Caros amigos! O exame de matemática inclui um grupo de problemas de resolução de vetores. Já consideramos alguns problemas. Você pode vê-los na categoria “Vetores”. Em geral, a teoria dos vetores não é complicada, o principal é estudá-la de forma consistente. Cálculos e operações com vetores no curso de matemática escolar são simples, as fórmulas não são complicadas. Dê uma olhada. Neste artigo analisaremos problemas sobre SP de vetores (incluídos no Exame Estadual Unificado). Agora “imersão” na teoria:
H Para encontrar as coordenadas de um vetor, você precisa subtrair das coordenadas de seu finalas coordenadas correspondentes de sua origem
E mais:
*O comprimento do vetor (módulo) é determinado da seguinte forma:
Essas fórmulas devem ser lembradas!!!
Vamos mostrar o ângulo entre os vetores:
É claro que pode variar de 0 a 180 0(ou em radianos de 0 a Pi).
Podemos tirar algumas conclusões sobre o sinal do produto escalar. Os comprimentos dos vetores têm um valor positivo, isso é óbvio. Isto significa que o sinal do produto escalar depende do valor do cosseno do ângulo entre os vetores.
Casos possíveis:
1. Se o ângulo entre os vetores for agudo (de 0 0 a 90 0), então o cosseno do ângulo terá um valor positivo.
2. Se o ângulo entre os vetores for obtuso (de 90 0 a 180 0), então o cosseno do ângulo terá valor negativo.
*Em zero grau, ou seja, quando os vetores têm a mesma direção, o cosseno é igual a um e, portanto, o resultado será positivo.
Em 180 o, ou seja, quando os vetores têm direções opostas, o cosseno é igual a menos um,e, consequentemente, o resultado será negativo.
Agora o PONTO IMPORTANTE!
A 90 o, ou seja, quando os vetores são perpendiculares entre si, o cosseno é igual a zero e, portanto, o SP é igual a zero. Este fato (consequência, conclusão) é utilizado na resolução de muitos problemas onde se trata da posição relativa dos vetores, inclusive em problemas incluídos no banco aberto de tarefas matemáticas.
Formulemos a afirmação: o produto escalar é igual a zero se e somente se esses vetores estiverem em retas perpendiculares.
Então, as fórmulas para vetores SP:
Se as coordenadas dos vetores ou as coordenadas dos pontos de seu início e fim forem conhecidas, então sempre poderemos encontrar o ângulo entre os vetores:
Vamos considerar as tarefas:
27724 Encontre o produto escalar dos vetores a e b.
Podemos encontrar o produto escalar de vetores usando uma de duas fórmulas:
O ângulo entre os vetores é desconhecido, mas podemos facilmente encontrar as coordenadas dos vetores e depois utilizar a primeira fórmula. Como as origens de ambos os vetores coincidem com a origem das coordenadas, as coordenadas desses vetores são iguais às coordenadas de suas extremidades, ou seja
Como encontrar as coordenadas de um vetor é descrito em.
Calculamos:
Resposta: 40
Vamos encontrar as coordenadas dos vetores e usar a fórmula:
Para encontrar as coordenadas de um vetor, é necessário subtrair as coordenadas correspondentes do seu início das coordenadas do final do vetor, o que significa
Calculamos o produto escalar:
Resposta: 40
Encontre o ângulo entre os vetores a e b. Dê sua resposta em graus.
Deixe as coordenadas dos vetores terem a forma:
Para encontrar o ângulo entre os vetores, usamos a fórmula do produto escalar dos vetores:
Cosseno do ângulo entre vetores:
Por isso:
As coordenadas desses vetores são iguais:
Vamos substituí-los na fórmula:
O ângulo entre os vetores é de 45 graus.
Resposta: 45
Ângulo entre dois vetores , :
Se o ângulo entre dois vetores for agudo, então seu produto escalar é positivo; se o ângulo entre os vetores for obtuso, então o produto escalar desses vetores é negativo. O produto escalar de dois vetores diferentes de zero é igual a zero se e somente se esses vetores forem ortogonais.
Exercício. Encontre o ângulo entre os vetores e
Solução. Cosseno do ângulo desejado
16. Cálculo do ângulo entre retas, retas e planos
Ângulo entre uma linha reta e um plano, cruzando esta linha e não perpendicular a ela, é o ângulo entre a linha e sua projeção neste plano.
Determinar o ângulo entre uma reta e um plano permite-nos concluir que o ângulo entre uma reta e um plano é o ângulo entre duas retas que se cruzam: a própria reta e sua projeção no plano. Portanto, o ângulo entre uma linha reta e um plano é um ângulo agudo.
O ângulo entre uma linha reta perpendicular e um plano é considerado igual a, e o ângulo entre uma linha reta paralela e um plano não é determinado ou é considerado igual a.
§ 69. Cálculo do ângulo entre retas.
O problema de calcular o ângulo entre duas retas no espaço é resolvido da mesma forma que em um plano (§ 32). Vamos denotar por φ a magnitude do ângulo entre as linhas eu 1 e eu 2, e através de ψ - a magnitude do ângulo entre os vetores de direção A E b essas linhas retas.
Então se
ψ 90° (Fig. 206.6), então φ = 180° - ψ. Obviamente, em ambos os casos a igualdade cos φ = |cos ψ| é verdadeira. Pela fórmula (1) § 20 temos
por isso, 
Deixe as linhas serem dadas por suas equações canônicas
Então o ângulo φ entre as linhas é determinado usando a fórmula
Se uma das retas (ou ambas) for dada por equações não canônicas, então, para calcular o ângulo, você precisa encontrar as coordenadas dos vetores de direção dessas retas e, em seguida, usar a fórmula (1).
17. Retas paralelas, teoremas sobre retas paralelas
Definição. Duas retas em um plano são chamadas paralelo, se não tiverem pontos em comum.
Duas linhas no espaço tridimensional são chamadas paralelo, se estiverem no mesmo plano e não tiverem pontos comuns.
O ângulo entre dois vetores.
Da definição de produto escalar:
.
Condição para ortogonalidade de dois vetores:
Condição para colinearidade de dois vetores:
.
Segue da Definição 5 - . Na verdade, da definição do produto de um vetor e um número, segue-se. Portanto, com base na regra de igualdade de vetores, escrevemos , , , o que implica 
. Mas o vetor resultante da multiplicação do vetor pelo número é colinear ao vetor.
Projeção de vetor em vetor:
.
Exemplo 4. Dados pontos , , , .
Encontre o produto escalar.
Solução. encontramos usando a fórmula do produto escalar de vetores especificados por suas coordenadas. Porque o
, 
,
Exemplo 5. Dados pontos , , , .
Encontre a projeção.
Solução. Porque o
, ,
Com base na fórmula de projeção, temos
.
Exemplo 6. Dados pontos , , , .
Encontre o ângulo entre os vetores e .
Solução. Observe que os vetores
, ,
não são colineares porque suas coordenadas não são proporcionais:
.
Esses vetores também não são perpendiculares, pois seu produto escalar é.
Vamos encontrar
Canto 
encontramos na fórmula:
.
Exemplo 7. Determine em quais vetores e 
colinear.
Solução. No caso de colinearidade, as coordenadas correspondentes dos vetores 
e deve ser proporcional, ou seja:
.
Daí e.
Exemplo 8. Determine em que valor do vetor 
E 
perpendicular.
Solução. Vetor 
e são perpendiculares se seu produto escalar for zero. Desta condição obtemos: . Aquilo é, .
Exemplo 9. Encontrar 
, Se , , .
Solução. Devido às propriedades do produto escalar, temos:
Exemplo 10. Encontre o ângulo entre os vetores e , onde e - vetores unitários e o ângulo entre os vetores e é igual a 120°.
Solução. Nós temos: 
, ,
Finalmente temos: 
.
5 B. Arte vetorial.
Definição 21.Arte vetorial vetor por vetor é chamado de vetor ou definido pelas três condições a seguir:
1) O módulo do vetor é igual a , onde é o ângulo entre os vetores e , ou seja, 
.
Segue-se que o módulo do produto vetorial é numericamente igual à área de um paralelogramo construído sobre vetores e ambos os lados.
2) O vetor é perpendicular a cada um dos vetores e ( ; ), ou seja, perpendicular ao plano de um paralelogramo construído nos vetores e .
3) O vetor é direcionado de tal forma que, se visto de sua extremidade, o giro mais curto de vetor a vetor seria no sentido anti-horário (os vetores , , formam um triplo para destro).
Como calcular ângulos entre vetores?
Ao estudar geometria, surgem muitas questões sobre o tema vetores. O aluno experimenta dificuldades particulares quando é necessário encontrar os ângulos entre vetores.
Termos básicos
Antes de examinar os ângulos entre vetores, é necessário familiarizar-se com a definição de vetor e o conceito de ângulo entre vetores.
Um vetor é um segmento que possui uma direção, ou seja, um segmento para o qual estão definidos seu início e fim.
O ângulo entre dois vetores em um plano que têm uma origem comum é o menor dos ângulos pela quantidade pela qual um dos vetores precisa ser movido em torno do ponto comum até que suas direções coincidam.
Fórmula para solução
Depois de entender o que é um vetor e como seu ângulo é determinado, você poderá calcular o ângulo entre os vetores. A fórmula de solução para isso é bastante simples, e o resultado de sua aplicação será o valor do cosseno do ângulo. Segundo a definição, é igual ao quociente entre o produto escalar dos vetores e o produto de seus comprimentos.
O produto escalar dos vetores é calculado como a soma das coordenadas correspondentes dos vetores dos fatores multiplicadas entre si. O comprimento de um vetor, ou seu módulo, é calculado como a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas.
Tendo recebido o valor do cosseno do ângulo, você pode calcular o valor do próprio ângulo usando uma calculadora ou uma tabela trigonométrica.
Exemplo
Depois de descobrir como calcular o ângulo entre os vetores, a solução do problema correspondente se tornará simples e clara. Como exemplo, vale a pena considerar o simples problema de encontrar o valor de um ângulo.
Em primeiro lugar, será mais conveniente calcular os valores dos comprimentos dos vetores e seu produto escalar necessários para a solução. Usando a descrição apresentada acima, obtemos:
Substituindo os valores obtidos na fórmula, calculamos o valor do cosseno do ângulo desejado:
Este número não é um dos cinco valores comuns de cosseno, portanto, para obter o ângulo, será necessário usar uma calculadora ou a tabela trigonométrica de Bradis. Mas antes de obter o ângulo entre os vetores, a fórmula pode ser simplificada para eliminar o sinal negativo extra:
Para manter a precisão, a resposta final pode ser deixada como está ou você pode calcular o valor do ângulo em graus. De acordo com a tabela Bradis, seu valor será de aproximadamente 116 graus e 70 minutos, e a calculadora mostrará um valor de 116,57 graus.
Calculando um ângulo no espaço n-dimensional
Ao considerar dois vetores no espaço tridimensional, é muito mais difícil entender de que ângulo estamos falando se eles não estiverem no mesmo plano. Para simplificar a percepção, você pode desenhar dois segmentos que se cruzam, formando o menor ângulo entre eles; este será o desejado. Mesmo que haja uma terceira coordenada no vetor, o processo de cálculo dos ângulos entre os vetores não mudará. Calcule o produto escalar e os módulos dos vetores; o arco cosseno de seu quociente será a resposta para este problema.
Na geometria, muitas vezes há problemas com espaços que possuem mais de três dimensões. Mas para eles, o algoritmo para encontrar a resposta é semelhante.
Diferença entre 0 e 180 graus
Um dos erros comuns ao escrever uma resposta para um problema destinado a calcular o ângulo entre vetores é a decisão de escrever que os vetores são paralelos, ou seja, o ângulo desejado é igual a 0 ou 180 graus. Esta resposta está incorreta.
Tendo recebido o valor do ângulo 0 graus como resultado da solução, a resposta correta seria designar os vetores como codirecionais, ou seja, os vetores terão a mesma direção. Se forem obtidos 180 graus, os vetores terão direções opostas.
Vetores específicos
Tendo encontrado os ângulos entre os vetores, você pode encontrar um dos tipos especiais, além dos codirecionais e de direção oposta descritos acima.
- Vários vetores paralelos a um plano são chamados coplanares.
- Vetores que têm o mesmo comprimento e direção são chamados iguais.
- Vetores que estão na mesma linha reta, independentemente da direção, são chamados colineares.
- Se o comprimento de um vetor for zero, ou seja, seu início e fim coincidem, então ele é chamado de zero e, se for um, então de unidade.
Como encontrar o ângulo entre os vetores?
ajude-me, por favor! Eu conheço a fórmula, mas não consigo calculá-la ((
vetor a (8; 10; 4) vetor b (5; -20; -10)
Alexandre Titov
O ângulo entre os vetores especificados por suas coordenadas é encontrado usando um algoritmo padrão. Primeiro você precisa encontrar o produto escalar dos vetores aeb: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Substituímos as coordenadas desses vetores aqui e calculamos:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
A seguir, determinamos os comprimentos de cada vetor. O comprimento ou módulo de um vetor é a raiz quadrada da soma dos quadrados de suas coordenadas:
|a| = raiz de (x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2) = raiz de (8 ^ 2 + 10 ^ 2 + 4 ^ 2) = raiz de (64 + 100 + 16) = raiz de 180 = 6 raízes de 5
|b| = raiz de (x2 ^ 2 + y2 ^ 2 + z2 ^ 2) = raiz de (5 ^ 2 + (-20) ^ 2 + (-10) ^ 2) = raiz de (25 + 400 + 100) = raiz de 525 = 5 raízes de 21.
Multiplicamos esses comprimentos. Obtemos 30 raízes de 105.
E, finalmente, dividimos o produto escalar dos vetores pelo produto dos comprimentos desses vetores. Obtemos -200/(30 raízes de 105) ou
- (4 raízes de 105) / 63. Este é o cosseno do ângulo entre os vetores. E o próprio ângulo é igual ao arco cosseno deste número
f = arccos(-4 raízes de 105) / 63.
Se eu contasse tudo corretamente.
Como calcular o seno do ângulo entre vetores usando as coordenadas dos vetores
Mikhail Tkachev
Vamos multiplicar esses vetores. Seu produto escalar é igual ao produto dos comprimentos desses vetores e o cosseno do ângulo entre eles.
O ângulo é desconhecido para nós, mas as coordenadas são conhecidas.
Vamos escrever matematicamente assim.
Sejam dados os vetores a(x1;y1) e b(x2;y2)
Então
A*b=|a|*|b|*cosA
CosA=a*b/|a|*|b|
Vamos conversar.
a*b-produto escalar de vetores é igual à soma dos produtos das coordenadas correspondentes das coordenadas desses vetores, ou seja, igual a x1*x2+y1*y2
|a|*|b|-produto dos comprimentos dos vetores é igual a √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).
Isso significa que o cosseno do ângulo entre os vetores é igual a:
CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)
Conhecendo o cosseno de um ângulo, podemos calcular seu seno. Vamos discutir como fazer isso:
Se o cosseno de um ângulo for positivo, então esse ângulo está em 1 ou 4 quadrantes, o que significa que seu seno é positivo ou negativo. Mas como o ângulo entre os vetores é menor ou igual a 180 graus, então seu seno é positivo. Raciocinamos de forma semelhante se o cosseno for negativo.
SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)
É isso aí)))) boa sorte para descobrir)))
Dmitri Levishchev
O fato de que é impossível seno diretamente não é verdade.
Além da fórmula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Há também este:
||=|a|*|b|*sin A
Ou seja, em vez do produto escalar, você pode pegar o módulo do produto vetorial.
Seções: Matemática
Tipo de aula: aprendendo novo material.
Tarefas educacionais:
– derivar uma fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores;
– continuar a desenvolver competências na aplicação de vetores na resolução de problemas;
– continuar a desenvolver o interesse pela matemática através da resolução de problemas;
– cultivar uma atitude consciente face ao processo de aprendizagem, incutir o sentido de responsabilidade pela qualidade do conhecimento, exercer o autocontrolo sobre o processo de resolução e concepção de exercícios.
Oferecendo aulas:
– tabela “Vetores no plano e no espaço”;
– fichas de tarefas para questionamentos individuais;
– cartões de tarefas para trabalhos de teste;
- microcalculadoras.
O aluno deve saber:
– fórmula para calcular o ângulo entre vetores.
O aluno deve ser capaz de:
– aplicar os conhecimentos adquiridos na resolução de problemas analíticos, geométricos e aplicados.
Motivação da atividade cognitiva dos alunos.
A professora relata que hoje nas aulas os alunos aprenderão a calcular o ângulo entre vetores e a aplicar os conhecimentos adquiridos na resolução de problemas técnicos de mecânica e física. A maior parte dos problemas da disciplina “Mecânica Técnica” são resolvidos pelo método vetorial. Assim, ao estudar o tema “Sistema plano de forças convergentes”, “Encontrar a resultante de duas forças”, utiliza-se a fórmula para calcular o ângulo entre dois vetores.
Progresso da lição.I. Momento organizacional.
II. Verificando o dever de casa.
a) Pesquisa individual por meio de cartões.
Cartão 1.
1. Escreva as propriedades da adição de dois vetores.
2. Qual valor eu vetores e 
serão colineares?
Cartão 2.
1. Como é chamado o produto de um vetor e um número?
2. Os vetores e 
?
Cartão 3.
1. Formule a definição do produto escalar de dois vetores.
2. Em que valor do comprimento dos vetores e 
serão iguais?
Cartão 4.
1. Escreva fórmulas para calcular as coordenadas de um vetor e o comprimento de um vetor?
2. Os vetores e 
?
b) Perguntas para levantamento frontal:
- Que ações podem ser executadas em vetores especificados por suas coordenadas?
- Quais vetores são chamados colineares?
- Condição para colinearidade de dois vetores diferentes de zero?
- Determinando o ângulo entre os vetores?
- Definição de produto escalar de dois vetores diferentes de zero?
- Condição necessária e suficiente para que dois vetores sejam perpendiculares?
- Qual é o significado físico do produto escalar de dois vetores?
- Escreva fórmulas para calcular o produto escalar de dois vetores por meio de suas coordenadas no plano e no espaço.
- Escreva fórmulas para calcular o comprimento de um vetor no plano e no espaço.
III. Aprendendo novo material.
a) Vamos derivar uma fórmula para calcular o ângulo entre os vetores no plano e no espaço. Por definição do produto escalar de dois vetores diferentes de zero:
porque
Portanto, se e , então
o cosseno do ângulo entre vetores diferentes de zero e é igual ao produto escalar desses vetores dividido pelo produto de seus comprimentos. Se os vetores são dados em um sistema de coordenadas cartesianas retangulares em um plano, então o cosseno do ângulo entre eles é calculado pela fórmula:
= (x 1 ; y 1); = (x 2 ; y 2)
porque = 
No espaço: = (x 1; y 1; z 1); = (x 2 ; y 2 ; z 2)
porque = 
Resolver problemas:
Tarefa 1: Encontre o ângulo entre os vetores = (1; -2), = (-3; 1).
Arcos = 135°
Tarefa 2: No triângulo ABC, encontre o tamanho do ângulo B se
A (0; 5; 0), B (4; 3; -8), C (-1; -3; -6).
porque = 
=
Tarefa 3: Encontre o ângulo entre os vetores e se A (1; 6),
B (1; 0), C (-2; 3).
porque = 
= = –
4. Aplicação de conhecimentos na resolução de problemas típicos.
TAREFAS DE CARÁTER ANALÍTICO.
Determine o ângulo entre os vetores e se A (1; -3; -4),
B (-1; 0; 2), C (2; -4; -6), D (1; 1; 1).
Encontre o produto escalar de vetores se , = 30°.
Em quais valores dos comprimentos dos vetores e 
serão iguais?
Calcule o ângulo entre os vetores e 
Calcule a área de um paralelogramo construído usando vetores
E 
.
TAREFAS APLICADAS
Encontre a resultante de duas forças 1 e 2, se = 5H; = 7H, ângulo entre eles = 60°.
° + .
Calcule o trabalho realizado pela força = (6; 2), se seu ponto de aplicação, movendo-se retilíneamente, passa da posição A (-1; 3) para a posição B (3; 4).
Seja a velocidade do ponto material e seja a força que atua sobre ele. Qual é a potência desenvolvida pela força se = 5H, = 3,5 m/s;
VI. Resumindo a lição.
VII. Trabalho de casa:
G.N. Yakovlev, Geometria, §22, parágrafo 3, p. 191
Nº 5.22, Nº 5.27, página 192.
