Metoda wariacji dowolnych stałych. ODA

Rozważmy teraz liniowe równanie niejednorodne
. (2)
Niech y 1 , y 2 ,.., y n będzie podstawowym układem rozwiązań i niech będzie ogólnym rozwiązaniem odpowiedniego równania jednorodnego L(y)=0. Podobnie jak w przypadku równań pierwszego rzędu rozwiązania równania (2) będziemy szukać w postaci
. (3)
Upewnijmy się, że rozwiązanie w tej formie istnieje. Aby to zrobić, podstawiamy tę funkcję do równania. Aby podstawić tę funkcję do równania, znajdujemy jej pochodne. Pierwsza pochodna jest równa
. (4)
Przy obliczaniu drugiej pochodnej po prawej stronie (4) pojawią się cztery wyrazy, przy obliczaniu trzeciej pochodnej pojawi się osiem wyrazów i tak dalej. Dlatego dla wygody dalszych obliczeń pierwszy wyraz w (4) przyjmuje się jako równy zero. Biorąc to pod uwagę, druga pochodna jest równa
. (5)
Z tych samych powodów co poprzednio, w (5) również ustawiamy pierwszy wyraz na zero. Wreszcie n-ta pochodna to
. (6)
Podstawiając uzyskane wartości pochodnych do pierwotnego równania, mamy
. (7)
Drugi wyraz w (7) jest równy zeru, ponieważ funkcje y j , j=1,2,..,n, są rozwiązaniami odpowiedniego równania jednorodnego L(y)=0. Łącząc z poprzednim, otrzymujemy układ równań algebraicznych do znajdowania funkcji C” j (x)
(8)
Wyznacznikiem tego układu jest wyznacznik Wrońskiego podstawowego układu rozwiązań y 1 ,y 2 ,..,y n odpowiedniego równania jednorodnego L(y)=0 i dlatego nie jest równy zero. W związku z tym istnieje unikalne rozwiązanie systemu (8). Po znalezieniu otrzymujemy funkcje C” j (x), j=1,2,…,n i w konsekwencji C j (x), j=1,2,…,n Podstawiając te wartości do (3) otrzymujemy rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego.
Prezentowana metoda nazywana jest metodą wariacji dowolnej stałej lub metodą Lagrange'a.

Maksymalny stopień pochodnej 2 3 4 5 6

Przykład nr 1. Znajdźmy ogólne rozwiązanie równania y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Rozważmy odpowiednie równanie jednorodne y"" + 4y" + 3y = 0. Pierwiastki jego równania charakterystycznego r 2 + 4r + 3 = 0 są równe -1 i -3. Dlatego podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego składa się z funkcji y 1 = e - x i y 2 = e -3 x. Szukamy rozwiązania niejednorodnego równania w postaci y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Aby znaleźć pochodne C" 1 , C" 2 układamy układ równań (8)

rozwiązanie, które znajdujemy , Całkując otrzymane funkcje, mamy
Wreszcie dostajemy

Przykład nr 2. Rozwiązywać liniowe równania różniczkowe drugiego rzędu o stałych współczynnikach, stosując metodę zmiennych dowolnych stałych:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Rozwiązanie:
To równanie różniczkowe odnosi się do liniowych równań różniczkowych o stałych współczynnikach.
Będziemy szukać rozwiązania równania w postaci y = e rx. Aby to zrobić, tworzymy równanie charakterystyczne liniowego jednorodnego równania różniczkowego o stałych współczynnikach:
r 2 -6 r + 8 = 0
re = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Pierwiastki równania charakterystycznego: r 1 = 4, r 2 = 2
Zatem podstawowy układ rozwiązań składa się z funkcji:
y 1 = mi 4x, y 2 = mi 2x
Ogólne rozwiązanie równania jednorodnego ma postać:

Szukaj konkretnego rozwiązania metodą zmiany dowolnej stałej.
Aby znaleźć pochodne C” i układamy układ równań:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Wyraźmy C” 1 z pierwszego równania:
C" 1 = -c 2 mi -2x
i zastąp go drugim. W rezultacie otrzymujemy:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Całkujemy otrzymane funkcje C” i:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Ponieważ , następnie wynikowe wyrażenia zapisujemy w postaci:
do 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) mi 4x = 2 mi 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 mi 4x
do 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = mi 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Zatem ogólne rozwiązanie równania różniczkowego ma postać:
y = 2 mi 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Lub
y = 2 mi 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 mi 4x + C * 2 e 2x

Znajdźmy konkretne rozwiązanie pod warunkiem:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Podstawiając x = 0 do znalezionego równania, otrzymujemy:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Znajdujemy pierwszą pochodną otrzymanego rozwiązania ogólnego:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Podstawiając x = 0, otrzymujemy:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Otrzymujemy układ dwóch równań:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
Lub
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
Lub
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Gdzie:
do 1 = 0, do * 2 = 2
Rozwiązanie prywatne zostanie zapisane jako:
y = 2 mi 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 mi 2x

Wykład 44. Równania liniowe niejednorodne drugiego rzędu. Metoda wariacji dowolnych stałych. Równania liniowe niejednorodne drugiego rzędu o stałych współczynnikach. (specjalna prawa strona).

Transformacje społeczne. Państwo i Kościół.

Polityka społeczna bolszewików była w dużej mierze podyktowana ich podejściem klasowym. Dekretem z 10 listopada 1917 r. zniszczono ustrój klasowy, zniesiono przedrewolucyjne stopnie, tytuły i nagrody. Ustanowiono wybór sędziów; przeprowadzono sekularyzację państw cywilnych. Ustanowiono bezpłatną edukację i opiekę medyczną (dekret z 31 października 1918 r.). Kobietom przyznano równe prawa z mężczyznami (dekretami z 16 i 18 grudnia 1917 r.). Dekret o małżeństwie wprowadził instytucję małżeństwa cywilnego.

Dekretem Rady Komisarzy Ludowych z 20 stycznia 1918 r. kościół został oddzielony od państwa i szkolnictwa. Większość majątku kościelnego została skonfiskowana. Patriarcha Moskwy i całej Rusi Tichon (wybrany 5 listopada 1917 r.) 19 stycznia 1918 r. potępił władzę radziecką i wezwał do walki z bolszewikami.

Rozważ liniowe niejednorodne równanie drugiego rzędu

Strukturę ogólnego rozwiązania takiego równania określa następujące twierdzenie:

Twierdzenie 1. Ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego (1) jest reprezentowane jako suma jakiegoś szczególnego rozwiązania tego równania i ogólnego rozwiązania odpowiedniego równania jednorodnego

(2)

Dowód. Konieczne jest udowodnienie tej kwoty

jest ogólnym rozwiązaniem równania (1). Udowodnijmy najpierw, że funkcja (3) jest rozwiązaniem równania (1).

Podstawiając sumę do równania (1) zamiast Na, będzie miał

Ponieważ istnieje rozwiązanie równania (2), wyrażenie w pierwszych nawiasach jest identyczne równe zero. Ponieważ istnieje rozwiązanie równania (1), wyrażenie w drugim nawiasie jest równe k(x). Zatem równość (4) jest tożsamością. W ten sposób udowodniono pierwszą część twierdzenia.

Udowodnimy drugie stwierdzenie: wyrażenie (3) jest ogólny rozwiązanie równania (1). Musimy udowodnić, że dowolne stałe zawarte w tym wyrażeniu można tak dobrać, aby spełnione były warunki początkowe:

(5)

jakiekolwiek są liczby x 0 , y 0 i (jeśli tylko x 0 zostało zaczerpnięte z obszaru, w którym znajdują się funkcje 1, 2 I k(x) ciągły).

Zauważ, że można to przedstawić w formie . Następnie, w oparciu o warunki (5), będziemy mieli

Rozwiążmy ten układ i ustalmy C 1 I C 2. Przepiszmy układ do postaci:

(6)

Należy zauważyć, że wyznacznikiem tego układu jest wyznacznik Wrońskiego dla funkcji o 1 I o 2 w tym punkcie x=x 0. Ponieważ funkcje te są liniowo niezależne od warunku, wyznacznik Wrońskiego nie jest równy zeru; zatem układ (6) ma określone rozwiązanie C 1 I C 2, tj. są takie znaczenia C 1 I C 2, zgodnie z którym wzór (3) określa rozwiązanie równania (1) spełniające podane warunki początkowe. co było do okazania

Przejdźmy do ogólnej metody znajdowania rozwiązań cząstkowych równania niejednorodnego.

Napiszmy ogólne rozwiązanie równania jednorodnego (2)

. (7)

Szczególnego rozwiązania niejednorodnego równania (1) będziemy szukać w postaci (7), rozważając C 1 I C 2 jak niektóre jeszcze nieznane funkcje z X.

Rozróżnijmy równość (7):

Wybierzmy funkcje, których szukasz C 1 I C 2 tak aby zachodziła równość

. (8)

Jeśli uwzględnimy ten dodatkowy warunek, to pierwsza pochodna przyjmie postać

.

Różniczkując teraz to wyrażenie, znajdujemy:

Podstawiając do równania (1), otrzymujemy

Wyrażenia w pierwszych dwóch nawiasach przyjmują wartość zerową, ponieważ y 1 I y 2– rozwiązania równania jednorodnego. Zatem ostatnia równość przyjmuje postać

. (9)

Zatem funkcja (7) będzie rozwiązaniem niejednorodnego równania (1), jeśli funkcje C 1 I C 2 spełniają równania (8) i (9). Stwórzmy układ równań z równań (8) i (9).

Ponieważ wyznacznikiem tego układu jest wyznacznik Wrońskiego dla rozwiązań liniowo niezależnych y 1 I y 2 równanie (2), to nie jest równe zero. Dlatego rozwiązując układ, znajdziemy obie pewne funkcje X.

Do rozwiązywania niejednorodnych równań różniczkowych stosuje się metodę wariancji dowolnych stałych. Ta lekcja jest przeznaczona dla tych uczniów, którzy są już mniej lub bardziej zaznajomieni z tematem. Jeżeli dopiero zaczynasz przygodę ze zdalnym sterowaniem, tj. Jeśli jesteś czajnikiem, polecam zacząć od pierwszej lekcji: Równania różniczkowe pierwszego rzędu. Przykłady rozwiązań. A jeśli już kończysz, odrzuć możliwe uprzedzenia, że ​​metoda jest trudna. Ponieważ to proste.

W jakich przypadkach stosuje się metodę wariancji dowolnych stałych?

1) Do rozwiązania można zastosować metodę wariacji dowolnej stałej liniowy niejednorodny DE pierwszego rzędu. Ponieważ równanie jest pierwszego rzędu, to stała również wynosi jeden.

2) Do rozwiązania niektórych stałych stosuje się metodę wariancji dowolnych stałych liniowe niejednorodne równania drugiego rzędu. Tutaj dwie stałe są zmienne.

Logiczne jest założenie, że lekcja będzie składać się z dwóch akapitów... Napisałem więc to zdanie i przez około 10 minut boleśnie myślałem o tym, jakie jeszcze sprytne bzdury mógłbym dodać, aby płynnie przejść do praktycznych przykładów. Ale z jakiegoś powodu nie mam żadnych myśli po wakacjach, chociaż wydaje mi się, że niczego nie nadużyłam. Przejdźmy więc od razu do pierwszego akapitu.

Metoda wariacji dowolnej stałej
dla liniowego niejednorodnego równania pierwszego rzędu

Przed rozważeniem metody zmiany dowolnej stałej warto zapoznać się z artykułem Liniowe równania różniczkowe pierwszego rzędu. Na tej lekcji ćwiczyliśmy pierwsze rozwiązanie niejednorodny DE pierwszego rzędu. To pierwsze rozwiązanie, przypominam, nazywa się metoda wymiany Lub Metoda Bernoulliego(nie mylić z Równanie Bernoulliego!!!)

Teraz będziemy szukać drugie rozwiązanie– metoda zmiany dowolnej stałej. Podam tylko trzy przykłady i wezmę je z powyższej lekcji. Dlaczego tak niewielu? Bo tak naprawdę rozwiązanie w drugi sposób będzie bardzo podobne do rozwiązania w pierwszy sposób. Ponadto, z moich obserwacji wynika, że ​​metoda uwariowania dowolnych stałych jest stosowana rzadziej niż metoda zastępowania.

Przykład 1

(Różni się od przykładu nr 2 z lekcji Liniowe niejednorodne równania różniczkowe I rzędu)

Rozwiązanie: Równanie to jest liniowo niejednorodne i ma znaną postać:

W pierwszym etapie konieczne jest rozwiązanie prostszego równania:
Oznacza to, że głupio resetujemy prawą stronę i zamiast tego piszemy zero.
Równanie zadzwonię równanie pomocnicze.

W tym przykładzie musisz rozwiązać następujące równanie pomocnicze:

Przed nami równanie rozłączne, którego rozwiązanie (mam nadzieję) nie jest już dla Ciebie trudne:

Zatem:
– ogólne rozwiązanie równania pomocniczego.

Na drugim etapie zastąpimy jakaś stała Na razie nieznana funkcja zależna od „x”:

Stąd nazwa metody - zmieniamy stałą. Alternatywnie, stała może być jakąś funkcją, którą musimy teraz znaleźć.

W oryginalny równanie niejednorodne zróbmy zamianę:

Zastąpmy i w równanie :

Punkt kontrolny - dwa wyrazy po lewej stronie znoszą się. Jeśli tak się nie stanie, powinieneś poszukać błędu powyżej.

W wyniku podstawienia otrzymano równanie ze zmiennymi rozłącznymi. Rozdzielamy zmienne i całkujemy.

Co za błogosławieństwo, wykładnicy również anulują:

Do znalezionej funkcji dodajemy „normalną” stałą:

Na ostatnim etapie pamiętamy o naszym zastępstwie:

Funkcja właśnie została znaleziona!

Zatem ogólne rozwiązanie jest następujące:

Odpowiedź: wspólna decyzja:

Jeśli wydrukujesz oba rozwiązania, łatwo zauważysz, że w obu przypadkach znaleźliśmy te same całki. Jedyna różnica polega na algorytmie rozwiązania.

A teraz coś bardziej skomplikowanego, skomentuję także drugi przykład:

Przykład 2

Znajdź ogólne rozwiązanie równania różniczkowego
(Różni się od przykładu nr 8 z lekcji Liniowe niejednorodne równania różniczkowe I rzędu)

Rozwiązanie: Sprowadźmy równanie do postaci :

Zresetujmy prawą stronę i rozwiążmy równanie pomocnicze:

Ogólne rozwiązanie równania pomocniczego:

W równaniu niejednorodnym dokonujemy podstawienia:

Zgodnie z zasadą różnicowania produktów:

Zastąpmy i do pierwotnego niejednorodnego równania:

Dwa wyrazy po lewej stronie znoszą się, co oznacza, że ​​jesteśmy na dobrej drodze:

Całkujmy przez części. Smaczna litera ze wzoru całkowania przez części jest już zawarta w rozwiązaniu, dlatego używamy na przykład liter „a” i „być”:

Przypomnijmy sobie teraz zamianę:

Odpowiedź: wspólna decyzja:

I jeden przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 3

Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego odpowiadające danemu warunkowi początkowemu.

,
(Różni się od przykładu nr 4 z lekcji Liniowe niejednorodne równania różniczkowe I rzędu)
Rozwiązanie:
Ten DE jest liniowo niejednorodny. Stosujemy metodę wariancji dowolnych stałych. Rozwiążmy równanie pomocnicze:

Rozdzielamy zmienne i całkujemy:

Wspólna decyzja:
W równaniu niejednorodnym dokonujemy podstawienia:

Dokonajmy podstawienia:

Zatem ogólne rozwiązanie jest następujące:

Znajdźmy konkretne rozwiązanie odpowiadające danemu warunkowi początkowemu:

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Rozwiązanie na końcu lekcji może służyć jako przybliżony przykład dokończenia zadania.

Metoda wariacji dowolnych stałych
dla liniowego niejednorodnego równania drugiego rzędu
ze stałymi współczynnikami

Często spotykałem się z opinią, że metoda zmieniania dowolnych stałych w równaniu drugiego rzędu nie jest rzeczą łatwą. Ale zakładam, co następuje: najprawdopodobniej metoda ta wydaje się wielu trudna, ponieważ nie występuje tak często. Ale w rzeczywistości nie ma szczególnych trudności - przebieg decyzji jest jasny, przejrzysty i zrozumiały. I piękny.

Aby opanować tę metodę, pożądana jest umiejętność rozwiązywania niejednorodnych równań drugiego rzędu poprzez wybór konkretnego rozwiązania na podstawie postaci prawej strony. Metodę tę szczegółowo omówiono w artykule. Niejednorodne DE drugiego rzędu. Przypomnijmy, że liniowe równanie niejednorodne drugiego rzędu ze stałymi współczynnikami ma postać:

Metoda selekcji, która została omówiona w powyższej lekcji, działa tylko w ograniczonej liczbie przypadków, gdy prawa strona zawiera wielomiany, wykładniki, sinusy i cosinusy. Ale co zrobić, gdy po prawej stronie jest na przykład ułamek zwykły, logarytm, tangens? W takiej sytuacji na ratunek przychodzi metoda wariancji stałych.

Przykład 4

Znajdź rozwiązanie ogólne równania różniczkowego drugiego rzędu

Rozwiązanie: Po prawej stronie tego równania znajduje się ułamek, więc od razu możemy powiedzieć, że sposób wyboru konkretnego rozwiązania nie działa. Stosujemy metodę wariancji dowolnych stałych.

Nie ma oznak burzy; początek rozwiązania jest zupełnie zwyczajny:

Znajdziemy wspólna decyzja odpowiedni jednorodny równania:

Ułóżmy i rozwiążmy równanie charakterystyczne:


– otrzymujemy pierwiastki zespolone sprzężone, zatem ogólnym rozwiązaniem jest:

Zwróć uwagę na zapis ogólnego rozwiązania - jeśli są nawiasy, otwórz je.

Teraz robimy prawie tę samą sztuczkę, co w przypadku równania pierwszego rzędu: zmieniamy stałe, zastępując je nieznanymi funkcjami. To jest, ogólne rozwiązanie niejednorodności będziemy szukać równań w postaci:

Gdzie - Na razie nieznane funkcje.

Wygląda jak domowe wysypisko śmieci, ale teraz wszystko uporządkujemy.

Niewiadome są pochodnymi funkcji. Naszym celem jest znalezienie pochodnych, a znalezione pochodne muszą spełniać zarówno pierwsze, jak i drugie równanie układu.

Skąd pochodzą „Grecy”? Przynosi je bocian. Patrzymy na ogólne rozwiązanie uzyskane wcześniej i piszemy:

Znajdźmy pochodne:

Lewe części zostały załatwione. Co jest po prawej stronie?

jest prawą stroną pierwotnego równania, w tym przypadku:

Współczynnik jest współczynnikiem drugiej pochodnej:

W praktyce prawie zawsze i nasz przykład nie jest wyjątkiem.

Wszystko jasne, teraz możesz stworzyć system:

System jest zwykle rozwiązany według wzorów Cramera przy użyciu standardowego algorytmu. Jedyna różnica jest taka, że ​​zamiast liczb mamy funkcje.

Znajdźmy główny wyznacznik systemu:

Jeśli zapomniałeś, jak ujawnia się wyznacznik dwa na dwa, zapoznaj się z lekcją Jak obliczyć wyznacznik? Link prowadzi do tablicy wstydu =)

A zatem: oznacza to, że system ma unikalne rozwiązanie.

Znajdowanie pochodnej:

Ale to nie wszystko, na razie znaleźliśmy jedynie pochodną.
Sama funkcja jest przywracana przez całkowanie:

Spójrzmy na drugą funkcję:

Tutaj dodajemy „normalną” stałą

Na końcowym etapie rozwiązania pamiętamy, w jakiej formie szukaliśmy ogólnego rozwiązania równania niejednorodnego? W takich:

Właśnie znaleziono potrzebne funkcje!

Pozostaje tylko dokonać podstawienia i zapisać odpowiedź:

Odpowiedź: wspólna decyzja:

W zasadzie odpowiedź mogłaby rozszerzyć nawiasy.

Pełne sprawdzenie odpowiedzi odbywa się zgodnie ze standardowym schematem, który został omówiony na lekcji. Niejednorodne DE drugiego rzędu. Ale weryfikacja nie będzie łatwa, gdyż trzeba znaleźć dość ciężkie pochodne i przeprowadzić kłopotliwe podstawienie. Jest to nieprzyjemna cecha przy rozwiązywaniu takich dyfuzorów.

Przykład 5

Rozwiąż równanie różniczkowe, zmieniając dowolne stałe

To jest przykład, który możesz rozwiązać samodzielnie. W rzeczywistości po prawej stronie jest również ułamek. Nawiasem mówiąc, pamiętajmy o wzorze trygonometrycznym, należy go zastosować podczas rozwiązania.

Najbardziej uniwersalną metodą jest metoda wariancji dowolnych stałych. Potrafi rozwiązać każde równanie, które da się rozwiązać metoda wyboru konkretnego rozwiązania na podstawie kształtu prawej strony. Powstaje pytanie: dlaczego i tam nie zastosować metody wariancji dowolnych stałych? Odpowiedź jest oczywista: wybór konkretnego rozwiązania, które było omawiane na zajęciach Równania niejednorodne drugiego rzędu, znacznie przyspiesza rozwiązanie i skraca zapis - bez kłopotów z wyznacznikami i całkami.

Spójrzmy na dwa przykłady z Problem Cauchy’ego.

Przykład 6

Znajdź szczególne rozwiązanie równania różniczkowego odpowiadające danym warunkom początkowym

,

Rozwiązanie: Znowu ułamek i wykładnik są w interesującym miejscu.
Stosujemy metodę wariancji dowolnych stałych.

Znajdziemy wspólna decyzja odpowiedni jednorodny równania:



– otrzymuje się różne pierwiastki rzeczywiste, zatem ogólnym rozwiązaniem jest:

Ogólne rozwiązanie niejednorodności szukamy równań w postaci: , gdzie – Na razie nieznane funkcje.

Stwórzmy system:

W tym przypadku:
,
Znajdowanie instrumentów pochodnych:
,

Zatem:

Rozwiążmy układ korzystając ze wzorów Cramera:
co oznacza, że ​​system posiada unikalne rozwiązanie.

Przywracamy funkcję poprzez całkowanie:

Używany tutaj metoda podciągania funkcji pod znak różniczkowy.

Przywracamy drugą funkcję poprzez całkowanie:

Ta całka jest rozwiązana metoda zastępowania zmiennych:

Z samej zamiany wyrażamy:

Zatem:

Tę całkę można znaleźć metoda pełnej ekstrakcji kwadratowej, ale w przykładach z dyfuzorami wolę rozszerzać frakcję metoda współczynników nieokreślonych:

Znaleziono obie funkcje:

W rezultacie ogólne rozwiązanie równania niejednorodnego to:

Znajdźmy konkretne rozwiązanie spełniające warunki początkowe .

Technicznie poszukiwanie rozwiązania odbywa się w sposób standardowy, co zostało omówione w artykule Niejednorodne równania różniczkowe drugiego rzędu.

Poczekaj, teraz znajdziemy pochodną znalezionego rozwiązania ogólnego:

To taka hańba. Nie trzeba tego upraszczać; łatwiej jest od razu stworzyć układ równań. Zgodnie z warunkami początkowymi :

Zastąpmy znalezione wartości stałych do rozwiązania ogólnego:

W odpowiedzi logarytmy można trochę upakować.

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Jak widać, trudności mogą pojawić się w przypadku całek i pochodnych, ale nie w samym algorytmie metody wariacji dowolnych stałych. To nie ja cię zastraszyłem, to cała kolekcja Kuzniecowa!

Dla relaksu ostatni, prostszy przykład samodzielnego rozwiązania problemu:

Przykład 7

Rozwiąż problem Cauchy'ego

,

Przykład jest prosty, ale kreatywny, tworząc system, dokładnie go obejrzyj przed podjęciem decyzji ;-),




W rezultacie ogólne rozwiązanie jest następujące:

Znajdźmy konkretne rozwiązanie odpowiadające warunkom początkowym .



Podstawmy znalezione wartości stałych do rozwiązania ogólnego:

Odpowiedź: rozwiązanie prywatne:

Przejdźmy do rozważenia liniowych niejednorodnych równań różniczkowych postaci

Gdzie - wymagana funkcja argumentu i funkcje



są dane i ciągłe w pewnym przedziale
.

Wprowadźmy pod uwagę liniowe równanie jednorodne, którego lewa strona pokrywa się z lewą stroną równania niejednorodnego (2.31),

Nazywa się równanie postaci (2.32). równanie jednorodne odpowiadające równaniu niejednorodnemu (2.31).

Poniższe twierdzenie dotyczy struktury ogólnego rozwiązania niejednorodnego równania liniowego (2.31).

Twierdzenie 2.6. Ogólne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego (2.31) w regionie

jest sumą dowolnego jego rozwiązania szczególnego i rozwiązania ogólnego odpowiedniego równania jednorodnego (2.32) w dziedzinie (2.33), tj.

Gdzie - szczególne rozwiązanie równania (2.31),
jest podstawowym układem rozwiązań równania jednorodnego (2.32), oraz
- dowolne stałe.

Dowód tego twierdzenia znajdziesz w.

Na przykładzie równania różniczkowego drugiego rzędu przedstawimy metodę, za pomocą której można znaleźć szczególne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego. Ta metoda nazywa się Metoda Lagrange'a wariacji dowolnych stałych.

Otrzymamy więc niejednorodne równanie liniowe

(2.35)

gdzie są współczynniki
i prawa strona
ciągły w pewnym przedziale
.

Oznaczmy przez
I
podstawowy układ rozwiązań równania jednorodnego

(2.36)

Wtedy jego ogólne rozwiązanie ma postać

(2.37)

Gdzie I - dowolne stałe.

Będziemy szukać rozwiązania równania (2.35) w tej samej postaci , jak również ogólne rozwiązanie odpowiedniego równania jednorodnego, zastępując dowolne stałe pewnymi funkcjami różniczkowalnymi (zmieniamy dowolne stałe), te.

Gdzie
I
- niektóre funkcje różniczkowalne z , które są jeszcze nieznane i które będziemy starali się wyznaczyć tak, aby funkcja (2.38) była rozwiązaniem niejednorodnego równania (2.35). Różniczkując obie strony równości (2.38) otrzymujemy

Tak przy obliczaniu pochodne drugiego rzędu
I
, wymagamy tego wszędzie w
warunek został spełniony

Potem dla będzie miał

Obliczmy drugą pochodną

Zastępowanie wyrażeń ,,z (2.38), (2.40), (2.41) do równania (2.35) otrzymujemy

Wyrażenia w nawiasach kwadratowych są wszędzie równe zeru
, ponieważ I - częściowe rozwiązania równania (2.36). W tym przypadku (2.42) przyjmie postać Łącząc ten warunek z warunkiem (2.39) otrzymujemy układ równań do wyznaczania
I

(2.43)

Ostatni układ to układ dwóch algebraicznych liniowych równań niejednorodnych względem
I
. Wyznacznikiem tego układu jest wyznacznik Wrońskiego dla podstawowego układu rozwiązań ,i dlatego jest niezerowe wszędzie
. Oznacza to, że układ (2.43) ma rozwiązanie unikalne. Po rozwiązaniu tego w jakikolwiek sposób stosunkowo
,
znajdziemy

Gdzie
I
- znane funkcje.

Wykonanie integracji i uwzględnienie tego jako
,
powinniśmy wziąć jedną parę funkcji i ustawić stałe całkowania na zero. Dostajemy

Podstawiając wyrażenia (2.44) do relacji (2.38) możemy zapisać pożądane rozwiązanie równania niejednorodnego (2.35) w postaci

Metodę tę można uogólnić, aby znaleźć szczególne rozwiązanie liniowego równania niejednorodnego -ta kolejność.

Przykład 2.6. Rozwiązać równanie
Na
jeśli działa

tworzą podstawowy układ rozwiązań odpowiedniego równania jednorodnego.

Znajdźmy szczególne rozwiązanie tego równania. Aby to zrobić, zgodnie z metodą Lagrange'a, musimy najpierw rozwiązać układ (2.43), który w naszym przypadku ma postać
Redukując obie strony każdego równania o dostajemy

Odejmując pierwsze równanie wyraz po wyrazie od drugiego równania, znajdujemy
a następnie z pierwszego równania wynika
Wykonując całkowanie i ustawiając stałe całkowania na zero, będziemy mieli

Szczególne rozwiązanie tego równania można przedstawić jako

Ogólne rozwiązanie tego równania ma postać

Gdzie I - dowolne stałe.

Na koniec zwróćmy uwagę na jedną niezwykłą właściwość, którą często nazywa się zasadą superpozycji rozwiązań i opisuje następujące twierdzenie.

Twierdzenie 2.7. Jeśli pomiędzy
funkcjonować
- szczególne rozwiązanie funkcji równania
szczególnym rozwiązaniem równania w tym samym przedziale jest funkcja
równanie ma szczególne rozwiązanie