Kąt między wektorami we wzorze przestrzennym. Iloczyn skalarny wektorów

Długość wektora, kąt między wektorami – te pojęcia mają oczywiście zastosowanie i są intuicyjne przy definiowaniu wektora jako odcinka o określonym kierunku. Poniżej dowiemy się, jak wyznaczyć kąt między wektorami w przestrzeni trójwymiarowej, jego cosinus i rozważymy teorię na przykładach.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Aby rozważyć pojęcie kąta między wektorami, zwróćmy się do ilustracji graficznej: zdefiniujmy dwa wektory a → i b → na płaszczyźnie lub w przestrzeni trójwymiarowej, które są niezerowe. Wyznaczmy także dowolny punkt O i wykreślmy z niego wektory O A → = b → i O B → = b →

Definicja 1

Kąt między wektorami a → i b → jest kątem między promieniami O A i O B.

Wynikowy kąt będziemy oznaczać następująco: a → , b → ^

Oczywiście kąt może przyjmować wartości od 0 do π lub od 0 do 180 stopni.

a → , b → ^ = 0, gdy wektory są współkierunkowe i a → , b → ^ = π, gdy wektory są skierowane przeciwnie.

Definicja 2

Wektory nazywane są prostopadły, jeśli kąt między nimi wynosi 90 stopni lub π 2 radianów.

Jeżeli choć jeden z wektorów jest równy zero, to kąt a → , b → ^ nie jest zdefiniowany.

Cosinus kąta między dwoma wektorami, a co za tym idzie i sam kąt, można zwykle wyznaczyć albo za pomocą iloczynu skalarnego wektorów, albo za pomocą twierdzenia o cosinusie dla trójkąta zbudowanego z dwóch danych wektorów.

Zgodnie z definicją iloczynem skalarnym jest a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Jeżeli dane wektory a → i b → są niezerowe, to prawą i lewą stronę równości możemy podzielić przez iloczyn długości tych wektorów, uzyskując w ten sposób wzór na znalezienie cosinusa kąta między nie- wektory zerowe:

sałata a → , b → ^ = a → , b → a → b →

Formułę tę stosuje się, gdy dane źródłowe obejmują długości wektorów i ich iloczyn skalarny.

Przykład 1

Dane początkowe: wektory a → i b →. Ich długości wynoszą odpowiednio 3 i 6, a ich iloczyn skalarny wynosi - 9. Konieczne jest obliczenie cosinusa kąta między wektorami i znalezienie samego kąta.

Rozwiązanie

Dane początkowe wystarczą do zastosowania otrzymanego wzoru, wówczas cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Teraz wyznaczmy kąt pomiędzy wektorami: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Odpowiedź: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Częściej występują problemy, gdy wektory są określone przez współrzędne w prostokątnym układzie współrzędnych. W takich przypadkach konieczne jest wyprowadzenie tego samego wzoru, ale w formie współrzędnych.

Długość wektora definiuje się jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych, a iloczyn skalarny wektorów jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych. Wtedy wzór na znalezienie cosinusa kąta między wektorami na płaszczyźnie a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) wygląda następująco:

sałata za → , b → ^ = za x b x + a y b y a x 2 + za y 2 b x 2 + b y 2

Natomiast wzór na znalezienie cosinusa kąta między wektorami w przestrzeni trójwymiarowej a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) będzie wyglądał następująco: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Przykład 2

Dane początkowe: wektory a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) w prostokątnym układzie współrzędnych. Konieczne jest określenie kąta między nimi.

Rozwiązanie

1. Aby rozwiązać problem, możemy od razu zastosować formułę:

sałata a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ za → , b → ^ = za r do cos (- 1 70) = - za r do cos 1 70

1. Kąt można również określić za pomocą wzoru:

sałata a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

ale najpierw oblicz długości wektorów i iloczyn skalarny według współrzędnych: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 sałata a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a rc cos 1 70

Odpowiedź: a → , b → ^ = - a r do cos 1 70

Często spotykane są także zadania, w których współrzędne trzech punktów podane są w prostokątnym układzie współrzędnych i konieczne jest określenie jakiegoś kąta. Następnie, aby wyznaczyć kąt między wektorami o danych współrzędnych punktów, należy obliczyć współrzędne wektorów jako różnicę pomiędzy odpowiednimi punktami początku i końca wektora.

Przykład 3

Dane wyjściowe: punkty A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2) podano na płaszczyźnie w prostokątnym układzie współrzędnych. Konieczne jest określenie cosinusa kąta między wektorami A C → i B C →.

Rozwiązanie

Znajdźmy współrzędne wektorów ze współrzędnych podanych punktów A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, - 4)

Teraz korzystamy ze wzoru na wyznaczenie cosinusa kąta między wektorami na płaszczyźnie we współrzędnych: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Odpowiedź: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Kąt między wektorami można wyznaczyć za pomocą twierdzenia o cosinusie. Odłóżmy wektory O A → = a → i O B → = b → z punktu O, wówczas zgodnie z twierdzeniem cosinus w trójkącie O A B, spełniona będzie równość:

ZA B 2 = O ZA 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · sałata (∠ ZA O B) ,

co jest równoważne:

b → - za → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

i stąd wyprowadzamy wzór na cosinus kąta:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

Aby zastosować otrzymany wzór, potrzebujemy długości wektorów, które można łatwo wyznaczyć na podstawie ich współrzędnych.

Chociaż ta metoda ma miejsce, nadal częściej stosuje się formułę:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

Iloczyn skalarny wektorów (zwany dalej SP). Drodzy przyjaciele! Egzamin z matematyki obejmuje grupę zadań dotyczących rozwiązywania wektorów. Rozważaliśmy już pewne problemy. Można je zobaczyć w kategorii „Wektory”. Ogólnie rzecz biorąc, teoria wektorów nie jest skomplikowana, najważniejsze jest jej konsekwentne studiowanie. Obliczenia i operacje na wektorach na szkolnym kursie matematyki są proste, wzory nie są skomplikowane. Spojrzeć na. W tym artykule przeanalizujemy problemy dotyczące SP wektorów (uwzględnionych w Unified State Examination). Teraz „zanurzenie” w teorii:

H Aby znaleźć współrzędne wektora, należy odjąć od współrzędnych jego końcaodpowiednie współrzędne jego pochodzenia

I dalej:

*Długość wektora (moduł) określa się w następujący sposób:

Te formuły trzeba zapamiętać!!!

Pokażmy kąt między wektorami:

Oczywiste jest, że może zmieniać się od 0 do 180 0(lub w radianach od 0 do Pi).

Możemy wyciągnąć pewne wnioski dotyczące znaku iloczynu skalarnego. Długości wektorów mają wartość dodatnią, to jest oczywiste. Oznacza to, że znak iloczynu skalarnego zależy od wartości cosinusa kąta między wektorami.

Możliwe przypadki:

1. Jeśli kąt między wektorami jest ostry (od 0 0 do 90 0), wówczas cosinus kąta będzie miał wartość dodatnią.

2. Jeżeli kąt między wektorami jest rozwarty (od 90 0 do 180 0), wówczas cosinus kąta będzie miał wartość ujemną.

*Przy zerowych stopniach, czyli gdy wektory mają ten sam kierunek, cosinus jest równy jeden i odpowiednio wynik będzie dodatni.

Przy 180 o, czyli gdy wektory mają przeciwne kierunki, cosinus jest równy minus jeden,i odpowiednio wynik będzie negatywny.

Teraz WAŻNY PUNKT!

To znaczy przy 90 o, gdy wektory są do siebie prostopadłe, cosinus jest równy zero, a zatem SP jest równe zero. Fakt ten (konsekwencja, wniosek) wykorzystywany jest przy rozwiązywaniu wielu problemów, gdy mówimy o względnym położeniu wektorów, także w zadaniach wchodzących w skład otwartego banku zadań matematycznych.

Sformułujmy stwierdzenie: iloczyn skalarny jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te leżą na prostych prostopadłych.

Zatem wzory na wektory SP:

Jeśli znane są współrzędne wektorów lub współrzędne punktów ich początków i końców, to zawsze możemy znaleźć kąt między wektorami:

Rozważmy zadania:

27724 Znajdź iloczyn skalarny wektorów aib.

Iloczyn skalarny wektorów możemy znaleźć za pomocą jednego z dwóch wzorów:

Kąt między wektorami jest nieznany, ale możemy łatwo znaleźć współrzędne wektorów, a następnie skorzystać z pierwszego wzoru. Ponieważ początki obu wektorów pokrywają się z początkiem współrzędnych, współrzędne tych wektorów są równe współrzędnym ich końców, czyli

Jak znaleźć współrzędne wektora opisano w.

Obliczamy:

Odpowiedź: 40

Znajdźmy współrzędne wektorów i skorzystajmy ze wzoru:

Aby znaleźć współrzędne wektora, należy odjąć odpowiednie współrzędne jego początku od współrzędnych końca wektora, co oznacza

Obliczamy iloczyn skalarny:

Odpowiedź: 40

Znajdź kąt między wektorami a i b. Podaj odpowiedź w stopniach.

Niech współrzędne wektorów mają postać:

Aby znaleźć kąt między wektorami, używamy wzoru na iloczyn skalarny wektorów:

Cosinus kąta między wektorami:

Stąd:

Współrzędne tych wektorów są równe:

Podstawmy je do wzoru:

Kąt między wektorami wynosi 45 stopni.

Odpowiedź: 45

Kąt między dwoma wektorami , :

Jeżeli kąt między dwoma wektorami jest ostry, to ich iloczyn skalarny jest dodatni; jeśli kąt między wektorami jest rozwarty, to iloczyn skalarny tych wektorów jest ujemny. Iloczyn skalarny dwóch niezerowych wektorów jest równy zeru wtedy i tylko wtedy, gdy wektory te są ortogonalne.

Ćwiczenia. Znajdź kąt między wektorami i

Rozwiązanie. Cosinus żądanego kąta

16. Obliczanie kąta pomiędzy liniami prostymi, prostą i płaszczyzną

Kąt między linią prostą a płaszczyzną, przecinający tę linię i nie prostopadły do ​​niej, jest kątem między linią a jej rzutem na tę płaszczyznę.

Wyznaczenie kąta między prostą a płaszczyzną pozwala stwierdzić, że kąt między prostą a płaszczyzną to kąt pomiędzy dwiema przecinającymi się liniami: samą prostą i jej rzutem na płaszczyznę. Dlatego kąt między prostą a płaszczyzną jest kątem ostrym.

Kąt między prostą prostopadłą a płaszczyzną uważa się za równy , a kąt między prostą równoległą a płaszczyzną albo w ogóle nie wyznacza się, albo uważa się za równy .

§ 69. Obliczanie kąta między prostymi.

Problem obliczania kąta między dwiema prostymi w przestrzeni rozwiązuje się w taki sam sposób, jak na płaszczyźnie (§ 32). Oznaczmy przez φ wielkość kąta między liniami l 1 i l 2, a przez ψ - wielkość kąta między wektorami kierunkowymi A I B te proste linie.

A następnie, jeśli

ψ 90° (ryc. 206.6), następnie φ = 180° - ψ. Oczywiście w obu przypadkach prawdziwa jest równość cos φ = |cos ψ|. Według wzoru (1) § 20 mamy

stąd,

Niech linie będą dane przez ich równania kanoniczne

Następnie kąt φ między liniami wyznacza się ze wzoru

Jeśli jedna z prostych (lub obie) jest dana równaniami niekanonicznymi, to aby obliczyć kąt, należy znaleźć współrzędne wektorów kierunkowych tych prostych, a następnie skorzystać ze wzoru (1).

17. Proste równoległe. Twierdzenia o prostych równoległych

Definicja. Nazywa się dwie linie w płaszczyźnie równoległy, jeśli nie mają punktów wspólnych.

Nazywa się dwie linie w przestrzeni trójwymiarowej równoległy, jeśli leżą w tej samej płaszczyźnie i nie mają punktów wspólnych.

Kąt między dwoma wektorami.

Z definicji iloczynu skalarnego:

.

Warunek ortogonalności dwóch wektorów:

Warunek współliniowości dwóch wektorów:

.

Wynika z definicji 5 - . Rzeczywiście, z definicji iloczynu wektora i liczby wynika. Dlatego w oparciu o zasadę równości wektorów piszemy , , , co implikuje . Ale wektor powstały w wyniku pomnożenia wektora przez liczbę jest współliniowy z wektorem.

Rzut wektora na wektor:

.

Przykład 4. Biorąc pod uwagę punkty , , , .

Znajdź iloczyn skalarny.

Rozwiązanie. znajdujemy, korzystając ze wzoru na iloczyn skalarny wektorów określonych przez ich współrzędne. Ponieważ

, ,

Przykład 5. Biorąc pod uwagę punkty , , , .

Znajdź projekcję.

Rozwiązanie. Ponieważ

, ,

Na podstawie wzoru projekcji mamy

.

Przykład 6. Biorąc pod uwagę punkty , , , .

Znajdź kąt między wektorami i .

Rozwiązanie. Zauważ, że wektory

, ,

nie są współliniowe, ponieważ ich współrzędne nie są proporcjonalne:

.

Wektory te również nie są prostopadłe, ponieważ ich iloczyn skalarny wynosi .

Znajdźmy

Narożnik znajdujemy ze wzoru:

.

Przykład 7. Określ, przy jakich wektorach i współliniowy.

Rozwiązanie. W przypadku kolinearności odpowiednie współrzędne wektorów i musi być proporcjonalny, to znaczy:

.

Stąd i.

Przykład 8. Określ, przy jakiej wartości wektora I prostopadły.

Rozwiązanie. Wektor i są prostopadłe, jeśli ich iloczyn skalarny wynosi zero. Z tego warunku otrzymujemy: . To jest, .

Przykład 9. Znajdować , Jeśli , , .

Rozwiązanie. Ze względu na właściwości iloczynu skalarnego mamy:

Przykład 10. Znajdź kąt między wektorami i , gdzie i - wektory jednostkowe i kąt między wektorami i wynosi 120°.

Rozwiązanie. Mamy: , ,

Wreszcie mamy: .

5 B. Grafika wektorowa.

Definicja 21.Grafika wektorowa wektor po wektorze nazywany jest wektorem lub zdefiniowany przez następujące trzy warunki:

1) Moduł wektora jest równy , gdzie jest kątem między wektorami i , tj. .

Wynika z tego, że moduł iloczynu wektorowego jest liczbowo równy polu równoległoboku zbudowanego na wektorach i obu stronach.

2) Wektor jest prostopadły do ​​każdego z wektorów i ( ; ), tj. prostopadle do płaszczyzny równoległoboku zbudowanego na wektorach i .

3) Wektor jest skierowany w taki sposób, że patrząc od jego końca, najkrótszy obrót od wektora do wektora będzie przebiegał w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara (wektory , , tworzą prawoskrętną trójkę).

Jak obliczyć kąty między wektorami?

Studiując geometrię, pojawia się wiele pytań na temat wektorów. Szczególne trudności student napotyka, gdy konieczne jest znalezienie kątów między wektorami.

Podstawowe warunki

Zanim przyjrzymy się kątom między wektorami, należy zapoznać się z definicją wektora i pojęciem kąta między wektorami.

Wektor to odcinek posiadający kierunek, czyli odcinek, dla którego zdefiniowany jest jego początek i koniec.

Kąt między dwoma wektorami na płaszczyźnie, które mają wspólny początek, jest mniejszym z kątów o wartość, o jaką jeden z wektorów należy przesunąć wokół wspólnego punktu, aż ich kierunki się zbiegną.

Formuła rozwiązania

Kiedy już zrozumiesz, czym jest wektor i jak wyznaczany jest jego kąt, możesz obliczyć kąt między wektorami. Wzór rozwiązania tego jest dość prosty, a wynikiem jego zastosowania będzie wartość cosinusa kąta. Zgodnie z definicją jest on równy ilorazowi iloczynu skalarnego wektorów i iloczynu ich długości.

Iloczyn skalarny wektorów oblicza się jako sumę odpowiednich współrzędnych wektorów czynnikowych pomnożonych przez siebie. Długość wektora lub jego moduł oblicza się jako pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych.

Po otrzymaniu wartości cosinusa kąta możesz obliczyć wartość samego kąta za pomocą kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej.

Przykład

Gdy już nauczysz się obliczać kąt między wektorami, rozwiązanie odpowiedniego problemu stanie się proste i jasne. Jako przykład warto rozważyć prosty problem znalezienia wartości kąta.

Przede wszystkim wygodniej będzie obliczyć wartości długości wektorów i ich iloczynu skalarnego niezbędne do rozwiązania. Korzystając z przedstawionego powyżej opisu otrzymujemy:

Podstawiając uzyskane wartości do wzoru, obliczamy wartość cosinusa żądanego kąta:

Liczba ta nie należy do pięciu powszechnych wartości cosinusa, dlatego aby obliczyć kąt, będziesz musiał skorzystać z kalkulatora lub tabeli trygonometrycznej Bradisa. Ale przed uzyskaniem kąta między wektorami wzór można uprościć, aby pozbyć się dodatkowego znaku ujemnego:

Aby zachować dokładność, ostateczną odpowiedź można pozostawić bez zmian lub można obliczyć wartość kąta w stopniach. Według tabeli Bradisa jej wartość wyniesie około 116 stopni i 70 minut, a kalkulator wskaże wartość 116,57 stopnia.

Obliczanie kąta w przestrzeni n-wymiarowej

Rozważając dwa wektory w przestrzeni trójwymiarowej, znacznie trudniej jest zrozumieć, o którym kącie mówimy, jeśli nie leżą one w tej samej płaszczyźnie. Aby uprościć percepcję, możesz narysować dwa przecinające się segmenty, które tworzą między sobą najmniejszy kąt, będzie to pożądany. Mimo że wektor zawiera trzecią współrzędną, proces obliczania kątów między wektorami nie ulegnie zmianie. Oblicz iloczyn skalarny i moduły wektorów; łuk cosinus ich ilorazu będzie odpowiedzią na to zadanie.

W geometrii często występują problemy z przestrzeniami, które mają więcej niż trzy wymiary. Ale dla nich algorytm znajdowania odpowiedzi wygląda podobnie.

Różnica między 0 a 180 stopni

Jednym z częstych błędów przy pisaniu odpowiedzi na zadanie mające na celu obliczenie kąta między wektorami jest decyzja o napisaniu, że wektory są równoległe, czyli pożądany kąt jest równy 0 lub 180 stopni. Ta odpowiedź jest błędna.

Otrzymawszy w wyniku rozwiązania wartość kąta 0 stopni, poprawną odpowiedzią byłoby oznaczenie wektorów jako współkierunkowe, czyli wektory będą miały ten sam kierunek. Jeżeli uzyskamy 180 stopni, wektory będą skierowane przeciwnie.

Określone wektory

Po znalezieniu kątów między wektorami możesz znaleźć jeden ze specjalnych typów, oprócz opisanych powyżej typów współkierunkowych i przeciwnych.

• Kilka wektorów równoległych do jednej płaszczyzny nazywa się współpłaszczyznowymi.
• Wektory o tej samej długości i kierunku nazywane są równymi.
• Wektory leżące na tej samej linii prostej, niezależnie od kierunku, nazywane są współliniowymi.
• Jeśli długość wektora wynosi zero, to znaczy jego początek i koniec pokrywają się, wówczas nazywa się go zerem, a jeśli wynosi jeden, to jednostką.

Jak znaleźć kąt między wektorami?

Pomóż mi proszę! Znam wzór, ale nie potrafię go obliczyć ((
wektor a (8; 10; 4) wektor b (5; -20; -10)

Aleksander Titow

Kąt między wektorami określonymi przez ich współrzędne wyznacza się za pomocą standardowego algorytmu. Najpierw musisz znaleźć iloczyn skalarny wektorów a i b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Podstawiamy tutaj współrzędne tych wektorów i obliczamy:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Następnie określamy długości każdego wektora. Długość lub moduł wektora to pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów jego współrzędnych:
|a| = pierwiastek z (x1^2 + y1^2 + z1^2) = pierwiastek z (8^2 + 10^2 + 4^2) = pierwiastek z (64 + 100 + 16) = pierwiastek z 180 = 6 pierwiastków 5
|b| = pierwiastek z (x2^2 + y2^2 + z2^2) = pierwiastek z (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = pierwiastek z (25 + 400 + 100) = pierwiastek z 525 = 5 pierwiastków z 21.
Mnożymy te długości. Otrzymujemy 30 pierwiastków ze 105.
Na koniec dzielimy iloczyn skalarny wektorów przez iloczyn długości tych wektorów. Otrzymujemy -200/(30 pierwiastków ze 105) lub
- (4 pierwiastki z 105) / 63. Jest to cosinus kąta między wektorami. A sam kąt jest równy łukowi cosinusowi tej liczby
f = arccos(-4 pierwiastki ze 105) / 63.
Jeśli wszystko dobrze policzyłem.

Jak obliczyć sinus kąta między wektorami za pomocą współrzędnych wektorów

Michaił Tkaczow

Pomnóżmy te wektory. Ich iloczyn skalarny jest równy iloczynowi długości tych wektorów i cosinusa kąta między nimi.
Kąt nie jest nam znany, ale współrzędne są znane.
Zapiszmy to matematycznie w ten sposób.
Niech zostaną dane wektory a(x1;y1) i b(x2;y2).
Następnie

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Porozmawiajmy.
a*b-iloczyn skalarny wektorów jest równy sumie iloczynów odpowiednich współrzędnych współrzędnych tych wektorów, czyli równy x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-iloczyn długości wektorów jest równy √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Oznacza to, że cosinus kąta między wektorami jest równy:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Znając cosinus kąta, możemy obliczyć jego sinus. Omówmy, jak to zrobić:

Jeśli cosinus kąta jest dodatni, to kąt ten leży w 1 lub 4 ćwiartkach, co oznacza, że ​​jego sinus jest albo dodatni, albo ujemny. Ale ponieważ kąt między wektorami jest mniejszy lub równy 180 stopni, wówczas jego sinus jest dodatni. Rozumujemy podobnie, jeśli cosinus jest ujemny.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To tyle)))) powodzenia w rozwiązywaniu tego problemu)))

Dmitrij Lewiszczew

To, że nie można bezpośrednio sinusować, nie jest prawdą.
Oprócz formuły:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Jest też ten:
||=|a|*|b|*grzech A
Oznacza to, że zamiast iloczynu skalarnego można wziąć moduł iloczynu wektorowego.

Sekcje: Matematyka

Rodzaj lekcji: nauka nowego materiału.

Zadania edukacyjne:

– wyprowadzić wzór na obliczenie kąta pomiędzy dwoma wektorami;

– dalsze rozwijanie umiejętności stosowania wektorów do rozwiązywania problemów;

– dalsze rozwijanie zainteresowań matematyką poprzez rozwiązywanie problemów;

– kształtować świadomą postawę wobec procesu uczenia się, zaszczepiać poczucie odpowiedzialności za jakość wiedzy, wykazywać samokontrolę nad procesem rozwiązywania i projektowania ćwiczeń.

Prowadzenie zajęć:

– tabela „Wektory na płaszczyźnie i w przestrzeni”;

– karty zadań do zadawania pytań indywidualnych;

– karty zadań do pracy testowej;

- mikrokalkulatory.

Uczeń musi wiedzieć:

– wzór na obliczenie kąta między wektorami.

Uczeń musi potrafić:

– zastosować zdobytą wiedzę do rozwiązywania problemów analitycznych, geometrycznych i stosowanych.

Motywacja aktywności poznawczej uczniów.

Nauczyciel informuje, że dzisiaj na zajęciach uczniowie nauczą się obliczać kąt między wektorami i wykorzystywać zdobytą wiedzę do rozwiązywania problemów mechaniki technicznej i fizyki. Większość problemów w dyscyplinie „Mechanika Techniczna” rozwiązuje się metodą wektorową. Dlatego podczas studiowania tematu „Płaski układ zbieżnych sił”, „Znajdowanie wypadkowej dwóch sił” stosuje się wzór na obliczenie kąta między dwoma wektorami.

Postęp lekcji.

I. Moment organizacyjny.

II. Sprawdzanie pracy domowej.

a) Badanie indywidualne z wykorzystaniem kart.

Karta 1.

1. Zapisz właściwości dodawania dwóch wektorów.

2. Przy jakiej wartości M wektory i czy będą współliniowe?

Karta 2.

1. Co nazywa się iloczynem wektora i liczby?

2. Czy wektory i ?

Karta 3.

1. Sformułuj definicję iloczynu skalarnego dwóch wektorów.

2. Przy jakiej wartości długości wektorów i będą równi?

Karta 4.

1. Zapisz wzory na obliczenie współrzędnych wektora i długości wektora?

2. Czy wektory i ?

b) Pytania do badania czołowego:

1. Jakie działania można wykonać na wektorach określonych przez ich współrzędne?
2. Jakie wektory nazywamy współliniowymi?
3. Warunek współliniowości dwóch niezerowych wektorów?
4. Wyznaczanie kąta między wektorami?
5. Definicja iloczynu skalarnego dwóch niezerowych wektorów?
6. Warunek konieczny i wystarczający, aby dwa wektory były prostopadłe?
7. Jakie jest fizyczne znaczenie iloczynu skalarnego dwóch wektorów?
8. Zapisz wzory na obliczenie iloczynu skalarnego dwóch wektorów poprzez ich współrzędne na płaszczyźnie i w przestrzeni.
9. Zapisz wzory na obliczenie długości wektora na płaszczyźnie i w przestrzeni.

III. Nauka nowego materiału.

a) Wyprowadźmy wzór na obliczenie kąta pomiędzy wektorami na płaszczyźnie i w przestrzeni. Z definicji iloczynu skalarnego dwóch niezerowych wektorów:

sałata

Dlatego jeśli i , to

cosinus kąta między niezerowymi wektorami i jest równy iloczynowi skalarnemu tych wektorów podzielonemu przez iloczyn ich długości. Jeżeli wektory są określone w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie, to cosinus kąta między nimi oblicza się ze wzoru:

= (x 1; y 1); = (x 2 ; y 2)

co =

W przestrzeni: = (x 1; y 1; z 1); = (x 2 ; y 2 ​​​​ ; z 2)

co =

Rozwiązywać problemy:

Zadanie 1: Znajdź kąt między wektorami = (1; -2), = (-3; 1).

Arccos = 135°

Zadanie 2: W trójkącie ABC znajdź miarę kąta B jeżeli

A (0; 5; 0), B (4; 3; -8), C (-1; -3; -6).

co = =

Zadanie 3: Znajdź kąt między wektorami i jeśli A (1; 6),

B (1; 0), C (-2; 3).

co = = = –

IV. Zastosowanie wiedzy w rozwiązywaniu typowych problemów.

ZADANIA O CHARAKTERZE ANALITYCZNYM.

Wyznacz kąt między wektorami i jeśli A (1; -3; -4),

B (-1; 0; 2), C (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Znajdź iloczyn skalarny wektorów, jeśli , = 30°.

Przy jakich wartościach długości wektorów i będą równi?

Oblicz kąt między wektorami i

Oblicz pole równoległoboku zbudowanego za pomocą wektorów

I .

STOSOWANE ZADANIA

Znajdź wypadkową dwóch sił 1 i 2, jeśli = 5H; = 7H, kąt między nimi = 60°.

° + .

Oblicz pracę wykonaną przez siłę = (6; 2), jeżeli jej punkt przyłożenia, poruszając się prostoliniowo, przemieszcza się z położenia A (-1; 3) do położenia B (3; 4).

Niech będzie prędkością punktu materialnego i niech będzie siłą działającą na niego. Jaka jest moc wytworzona przez siłę, jeśli = 5H, = 3,5 m/s;

VI. Podsumowanie lekcji.

VII. Praca domowa:

G.N. Jakowlew, Geometria, §22, paragraf 3, s. 191

nr 5.22, nr 5.27, s. 192.