Sinus, cosinus, tangens: co to jest? Jak znaleźć sinus, cosinus i tangens? Uniwersalne podstawienie trygonometryczne, wyprowadzanie wzorów, przykłady.
Nie będę Cię przekonywał, żebyś nie pisał ściągawek. Pisać! Zawiera ściągawki z trygonometrii. Później mam zamiar wyjaśnić, dlaczego ściągawki są potrzebne i dlaczego ściągawki są przydatne. A oto informacja, jak nie uczyć się, ale zapamiętać niektóre wzory trygonometryczne. A więc - trygonometria bez ściągawki! Do zapamiętywania używamy skojarzeń.
1. Wzory dodawania:
Cosinusy zawsze „występują parami”: cosinus-cosinus, sinus-sinus.
I jeszcze jedno: cosinusy są „nieadekwatne”. „Wszystko im nie pasuje”, więc zmieniają znaki: „-” na „+” i odwrotnie.
Zatoki - „mieszaj”: sinus-cosinus, cosinus-sinus.
2. Wzory na sumę i różnicę:
cosinusy zawsze „występują parami”. Dodając dwa cosinusy - „koloboks”, otrzymujemy parę cosinusów - „koloboks”. A odejmując, na pewno nie otrzymamy żadnych koloboków. Dostajemy kilka sinusów. Również z minusem przed nami.
Zatoki - „mieszaj” :
3. Wzory na przeliczenie iloczynu na sumę i różnicę.
Kiedy otrzymamy parę cosinus? Kiedy dodamy cosinusy. Dlatego
Kiedy otrzymamy kilka sinusów? Przy odejmowaniu cosinusów. Stąd:
„Mieszanie” uzyskuje się zarówno podczas dodawania, jak i odejmowania sinusów. Co jest zabawniejsze: dodawanie czy odejmowanie? Zgadza się, złóż. A dla wzoru biorą dodatek:
W pierwszym i trzecim wzorze suma jest podana w nawiasach. Zmiana miejsca wyrazów nie powoduje zmiany sumy. Kolejność jest istotna tylko w przypadku drugiej formuły. Ale aby się nie pomylić, dla ułatwienia zapamiętania, we wszystkich trzech formułach w pierwszych nawiasach bierzemy różnicę
i po drugie – ilość
Ściągawki w Twojej kieszeni zapewnią Ci spokój ducha: jeśli zapomnisz przepisu, możesz go skopiować. I dają pewność: jeśli nie skorzystasz ze ściągawki, z łatwością zapamiętasz formuły.
Informacje referencyjne na temat funkcji trygonometrycznych sinus (sin x) i cosinus (cos x). Definicja geometryczna, właściwości, wykresy, wzory. Tabela sinusów i cosinusów, pochodnych, całek, rozwinięć szeregów, siecznych, cosekansów. Wyrażenia poprzez zmienne zespolone. Powiązanie z funkcjami hiperbolicznymi.
Geometryczna definicja sinusa i cosinusa
|BD|- długość łuku okręgu o środku w punkcie A.
α
- kąt wyrażony w radianach.
Definicja
Sinus (sin α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości przeciwnej nogi |BC| do długości przeciwprostokątnej |AC|.
Cosinus (cos α) jest funkcją trygonometryczną zależną od kąta α między przeciwprostokątną a ramieniem trójkąta prostokątnego, równą stosunkowi długości sąsiedniej nogi |AB| do długości przeciwprostokątnej |AC|.
Zaakceptowane oznaczenia
;
;
.
;
;
.
Wykres funkcji sinus, y = sin x
Wykres funkcji cosinus, y = cos x
Własności sinusa i cosinusa
Okresowość
Funkcje y = grzech x i y = bo x okresowe z okresem 2π.
Parytet
Funkcja sinus jest nieparzysta. Funkcja cosinus jest parzysta.
Dziedzina definicji i wartości, ekstrema, wzrost, spadek
Funkcje sinus i cosinus są ciągłe w swojej dziedzinie definicji, to znaczy dla każdego x (patrz dowód ciągłości). Ich główne właściwości przedstawiono w tabeli (n - liczba całkowita).
| y = grzech x | y = bo x | |
| Zakres i ciągłość | - ∞ < x < + ∞ | - ∞ < x < + ∞ |
| Zakres wartości | -1 ≤ y ≤ 1 | -1 ≤ y ≤ 1 |
| Wzrastający | ||
| Malejąco | ||
| Maxima, y = 1 | ||
| Minima, y = - 1 | ||
| Zera, y = 0 | ||
| Punkty przecięcia z osią współrzędnych, x = 0 | y = 0 | y = 1 |
Podstawowe formuły
Suma kwadratów sinusa i cosinusa
Wzory na sinus i cosinus z sumy i różnicy
;
;
Wzory na iloczyn sinusów i cosinusów
Wzory na sumę i różnicę
Wyrażanie sinusa przez cosinus
;
;
;
.
Wyrażanie cosinusa poprzez sinus
;
;
;
.
Wyrażenie poprzez tangens
; .
Kiedy mamy:
;
.
Na :
;
.
Tabela sinusów i cosinusów, stycznych i kotangentów
Ta tabela pokazuje wartości sinusów i cosinusów dla niektórych wartości argumentu. 
Wyrażenia poprzez zmienne zespolone
;
Wzór Eulera
{ -∞ < x < +∞ }
Sieczna, cosekansowa
Funkcje odwrotne
Funkcje odwrotne sinusa i cosinusa to odpowiednio arcsinus i arccosinus.
Arcsin, arcsin
Arcosinus, arccos
Bibliografia:
W. Bronstein, KA Semendyaev, Podręcznik matematyki dla inżynierów i studentów, „Lan”, 2009.
– na pewno nie zabraknie zadań z trygonometrii. Trygonometria jest często nielubiana ze względu na konieczność upchania ogromnej liczby trudnych wzorów, pełnych sinusów, cosinusów, stycznych i kotangentów. Serwis już kiedyś udzielał porad, jak zapamiętać zapomnianą formułę, posługując się przykładem formuł Eulera i Peela.
W tym artykule postaramy się pokazać, że wystarczy dobrze znać tylko pięć prostych wzorów trygonometrycznych, a resztę mieć ogólne pojęcie i na bieżąco je wyprowadzać. To tak jak z DNA: cząsteczka nie przechowuje pełnych planów gotowej żywej istoty. Zawiera raczej instrukcje składania go z dostępnych aminokwasów. Zatem w trygonometrii, znając pewne ogólne zasady, wszystkie niezbędne wzory otrzymamy z małego zestawu tych, o których należy pamiętać.
Będziemy opierać się na następujących wzorach:
Ze wzorów na sumę sinus i cosinus, znając parzystość funkcji cosinus i nieparzystość funkcji sinus, podstawiając -b zamiast b, otrzymujemy wzory na różnice:
- Sinus różnicy: grzech(a-b) = grzechAsałata(-B)+sałataAgrzech(-B) = grzechAsałataB-sałataAgrzechB
- Cosinus różnicy: sałata(a-b) = sałataAsałata(-B)-grzechAgrzech(-B) = sałataAsałataB+grzechAgrzechB
Wstawiając a = b do tych samych wzorów, otrzymujemy wzory na sinus i cosinus kątów podwójnych:
- Sinus podwójnego kąta: grzech2a = grzech(a+a) = grzechAsałataA+sałataAgrzechA = 2grzechAsałataA
- Cosinus podwójnego kąta: sałata2a = sałata(a+a) = sałataAsałataA-grzechAgrzechA = sałata2a-grzech2a
Wzory na inne kąty wielokrotne uzyskuje się w podobny sposób:
- Sinus potrójnego kąta: grzech3a = grzech(2a+a) = grzech2asałataA+sałata2agrzechA = (2grzechAsałataA)sałataA+(sałata2a-grzech2a)grzechA = 2grzechAsałata2a+grzechAsałata2a-grzech 3 a = 3 grzechAsałata2a-grzech 3 a = 3 grzechA(1-grzech2a)-grzech 3 a = 3 grzechA-4grzech 3a
- Cosinus potrójnego kąta: sałata3a = sałata(2a+a) = sałata2asałataA-grzech2agrzechA = (sałata2a-grzech2a)sałataA-(2grzechAsałataA)grzechA = sałata 3 a- grzech2asałataA-2grzech2asałataA = sałata 3 a-3 grzech2asałataA = sałata 3 a-3(1- sałata2a)sałataA = 4sałata 3 a-3 sałataA
Zanim przejdziemy dalej, spójrzmy na jeden problem.
Dane: kąt jest ostry.
Znajdź jego cosinus jeśli
Rozwiązanie podane przez jednego ucznia:
Ponieważ , To grzechA= 3,a sałataA = 4.
(Z humoru matematycznego)
Zatem definicja tangensa wiąże tę funkcję zarówno z sinusem, jak i cosinusem. Ale możesz otrzymać wzór, który wiąże tangens tylko z cosinusem. Aby to wyprowadzić, bierzemy główną tożsamość trygonometryczną: grzech 2 A+sałata 2 A= 1 i podziel przez sałata 2 A. Otrzymujemy:
Zatem rozwiązaniem tego problemu byłoby:
(Ponieważ kąt jest ostry, podczas wyodrębniania korzenia brany jest znak +)
Kolejnym trudnym do zapamiętania wzorem jest wzór na tangens sumy. Wypiszmy to w ten sposób:
Natychmiast wyświetlane i
Ze wzoru na cosinus dla kąta podwójnego można uzyskać wzory na sinus i cosinus dla kąta połówkowego. Aby to zrobić, po lewej stronie wzoru na cosinus podwójnego kąta:
sałata2
A = sałata 2
A-grzech 2
A
dodajemy jeden, a po prawej - jednostkę trygonometryczną, tj. suma kwadratów sinusa i cosinusa.
sałata2a+1 = sałata2a-grzech2a+sałata2a+grzech2a
2sałata 2
A = sałata2
A+1
Wyrażający sałataA Poprzez sałata2
A i dokonując zmiany zmiennych, otrzymujemy:
Znak jest przyjmowany w zależności od ćwiartki.
Podobnie, odejmując jeden od lewej strony równości i sumę kwadratów sinusa i cosinusa od prawej, otrzymujemy:
sałata2a-1 = sałata2a-grzech2a-sałata2a-grzech2a
2grzech 2
A = 1-sałata2
A
I na koniec, aby przeliczyć sumę funkcji trygonometrycznych na iloczyn, stosujemy następującą technikę. Powiedzmy, że musimy przedstawić sumę sinusów jako iloczyn grzechA+grzechB. Wprowadźmy zmienne x i y takie, że a = x+y, b+x-y. Następnie
grzechA+grzechB = grzech(x+y)+ grzech(x-y) = grzech X sałata ty+ sałata X grzech ty+ grzech X sałata y- sałata X grzech y=2 grzech X sałata y. Wyraźmy teraz x i y za pomocą aib.
Ponieważ a = x+y, b = x-y, to . Dlatego
Możesz natychmiast się wycofać
- Wzór na partycjonowanie produkty sinusa i cosinusa V kwota: grzechAsałataB = 0.5(grzech(a+b)+grzech(a-b))
Zalecamy samodzielne ćwiczenie i wyprowadzanie wzorów na przeliczanie różnicy sinusów oraz sumy i różnicy cosinusów na iloczyn, a także na dzielenie iloczynów sinusów i cosinusów na sumę. Po wykonaniu tych ćwiczeń doskonale opanujesz umiejętność wyprowadzania wzorów trygonometrycznych i nie zgubisz się nawet w najtrudniejszym teście, olimpiadzie czy teście.
Wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów dla dwóch kątów α i β pozwalają nam przejść od sumy tych kątów do iloczynu kątów α + β 2 i α - β 2. Zauważmy od razu, że nie należy mylić wzorów na sumę i różnicę sinusów i cosinusów ze wzorami na sinusy i cosinusy sumy i różnicy. Poniżej zestawiamy te wzory, podajemy ich wyprowadzenia i pokazujemy przykłady zastosowania do konkretnych problemów.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów
Zapiszmy jak wyglądają wzory na sumę i różnicę dla sinusów i cosinusów
Wzory na sumę i różnicę sinusów
grzech α + grzech β = 2 grzech α + β 2 cos α - β 2 grzech α - grzech β = 2 grzech α - β 2 cos α + β 2
Wzory na sumę i różnicę cosinusów
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Wzory te obowiązują dla dowolnych kątów α i β. Kąty α + β 2 i α - β 2 nazywane są odpowiednio półsumą i półróżnicą kątów alfa i beta. Podajmy formułę dla każdej formuły.
Definicje wzorów na sumy i różnice sinusów i cosinusów
Suma sinusów dwóch kątów jest równy dwukrotności iloczynu sinusa połowy sumy tych kątów i cosinusa różnicy połówek.
Różnica sinusów dwóch kątów jest równy dwukrotności iloczynu sinusa połowy różnicy tych kątów i cosinusa połowy sumy.
Suma cosinusów dwóch kątów jest równy dwukrotności iloczynu cosinusa połowy sumy i cosinusa połowy różnicy tych kątów.
Różnica cosinusów dwóch kątów jest równy dwukrotności iloczynu sinusa połowy sumy i cosinusa połowy różnicy tych kątów, przyjętego ze znakiem ujemnym.
Wyprowadzanie wzorów na sumę i różnicę sinusów i cosinusów
Aby wyprowadzić wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów dwóch kątów, stosuje się wzory na dodawanie. Wymieńmy je poniżej
grzech (α + β) = grzech α · cos β + cos α · grzech β grzech (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - grzech α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Wyobraźmy sobie także same kąty jako sumę półsum i półróżnic.
α = α + β 2 + α - β 2 = α 2 + β 2 + α 2 - β 2 β = α + β 2 - α - β 2 = α 2 + β 2 - α 2 + β 2
Przechodzimy bezpośrednio do wyprowadzenia wzorów na sumę i różnicę dla grzechu i cos.
Wyprowadzenie wzoru na sumę sinusów
W sumie sin α + sin β zastępujemy α i β podanymi powyżej wyrażeniami dla tych kątów. Dostajemy
grzech α + grzech β = grzech α + β 2 + α - β 2 + grzech α + β 2 - α - β 2
Teraz stosujemy wzór na dodawanie do pierwszego wyrażenia, a do drugiego - wzór na sinus różnic kątowych (patrz wzory powyżej)
grzech α + β 2 + α - β 2 = grzech α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 grzech α - β 2 grzech α + β 2 - α - β 2 = grzech α + β 2 sałata α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Otwórz nawiasy, dodaj podobne wyrazy i uzyskaj wymagany wzór
grzech α + β 2 sałata α - β 2 + cos α + β 2 grzech α - β 2 + sin α + β 2 sałata α - β 2 - cos α + β 2 grzech α - β 2 = = 2 grzech α + β 2 cos α - β 2
Etapy wyprowadzania pozostałych wzorów są podobne.
Wyprowadzenie wzoru na różnicę sinusów
grzech α - grzech β = grzech α + β 2 + α - β 2 - grzech α + β 2 - α - β 2 grzech α + β 2 + α - β 2 - grzech α + β 2 - α - β 2 = grzech α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 grzech α - β 2 cos α + β 2
Wyprowadzenie wzoru na sumę cosinusów
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Wyprowadzenie wzoru na różnicę cosinusów
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 grzech α - β 2
Przykłady rozwiązywania problemów praktycznych
Na początek sprawdźmy jeden ze wzorów, podstawiając do niego określone wartości kąta. Niech α = π 2, β = π 6. Obliczmy wartość sumy sinusów tych kątów. Najpierw skorzystamy z tabeli podstawowych wartości funkcji trygonometrycznych, a następnie zastosujemy wzór na sumę sinusów.
Przykład 1. Sprawdzenie wzoru na sumę sinusów dwóch kątów
α = π 2, β = π 6 grzech π 2 + grzech π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 grzech π 2 + grzech π 6 = 2 grzech π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 grzech π 3 sałata π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Rozważmy teraz przypadek, gdy wartości kątów różnią się od wartości podstawowych przedstawionych w tabeli. Niech α = 165°, β = 75°. Obliczmy różnicę między sinusami tych kątów.
Przykład 2. Zastosowanie wzoru na różnicę sinusów
α = 165 °, β = 75 ° grzech α - grzech β = grzech 165 ° - grzech 75 ° grzech 165 - grzech 75 = 2 grzech 165 ° - grzech 75 ° 2 sałata 165 ° + grzech 75 ° 2 = = 2 grzech 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Korzystając ze wzorów na sumę i różnicę sinusów i cosinusów, możesz przejść od sumy lub różnicy do iloczynu funkcji trygonometrycznych. Często te formuły nazywane są formułami przejścia od sumy do iloczynu. Wzory na sumę i różnicę sinusów i cosinusów są powszechnie stosowane przy rozwiązywaniu równań trygonometrycznych i przy przeliczaniu wyrażeń trygonometrycznych.
Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter
W tym artykule przyjrzymy się całościowo. Podstawowe tożsamości trygonometryczne to równości, które ustanawiają połączenie między sinusem, cosinusem, styczną i cotangensem jednego kąta i pozwalają znaleźć dowolną z tych funkcji trygonometrycznych poprzez znaną inną.
Wymieńmy od razu główne tożsamości trygonometryczne, które przeanalizujemy w tym artykule. Zapiszmy je w tabeli, a poniżej podamy wynik tych wzorów i podamy niezbędne wyjaśnienia.
Nawigacja strony.
Zależność między sinusem i cosinusem jednego kąta
Czasami nie mówią o głównych tożsamościach trygonometrycznych wymienionych w powyższej tabeli, ale o jednej podstawowa tożsamość trygonometryczna Uprzejmy 
. Wyjaśnienie tego faktu jest dość proste: równości otrzymuje się z głównej tożsamości trygonometrycznej po podzieleniu obu jej części odpowiednio przez i oraz równości 
I 
wynikają z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Porozmawiamy o tym bardziej szczegółowo w kolejnych akapitach.
Oznacza to, że szczególnie interesująca jest równość, której nadano nazwę głównej tożsamości trygonometrycznej.
Zanim udowodnimy główną tożsamość trygonometryczną, podajemy jej sformułowanie: suma kwadratów sinusa i cosinusa jednego kąta jest identyczna równa jeden. Teraz udowodnijmy to.
Podstawowa tożsamość trygonometryczna jest bardzo często używana, gdy konwertowanie wyrażeń trygonometrycznych. Umożliwia zastąpienie sumy kwadratów sinusa i cosinusa jednego kąta przez jeden. Nie mniej często podstawową tożsamość trygonometryczną stosuje się w odwrotnej kolejności: jednostkę zastępuje się sumą kwadratów sinusa i cosinusa dowolnego kąta.
Tangens i cotangens przez sinus i cosinus
Tożsamości łączące styczną i cotangens z sinusem i cosinusem jednego kąta widzenia i 
wynikają bezpośrednio z definicji sinusa, cosinusa, tangensa i cotangensa. Rzeczywiście, z definicji sinus jest rzędną y, cosinus jest odciętą x, tangens jest stosunkiem rzędnej do odciętej, to znaczy: 
, a cotangens jest stosunkiem odciętej do rzędnej, to znaczy 
.
Dzięki takiej oczywistości tożsamości i Styczna i cotangens są często definiowane nie poprzez stosunek odciętej i rzędnej, ale poprzez stosunek sinusa i cosinusa. Zatem tangens kąta to stosunek sinusa do cosinusa tego kąta, a cotangens to stosunek cosinusa do sinusa.
Podsumowując ten akapit, należy zauważyć, że tożsamości i zachodzą dla wszystkich kątów, przy których zawarte w nich funkcje trygonometryczne mają sens. Zatem wzór obowiązuje dla dowolnego , innego niż (w przeciwnym razie w mianowniku będzie zero, a nie zdefiniowaliśmy dzielenia przez zero), a wzór - dla wszystkich, różne od , gdzie z jest dowolne.
Zależność między styczną i kotangensem
Jeszcze bardziej oczywistą tożsamością trygonometryczną niż dwie poprzednie jest tożsamość łącząca styczną i cotangens jednego kąta formy . Jest oczywiste, że dotyczy to dowolnych kątów innych niż , w przeciwnym razie ani styczna, ani cotangens nie są zdefiniowane.
Dowód wzoru bardzo prosta. Z definicji i skąd 
. Dowód można było przeprowadzić nieco inaczej. Od , To 
.
Zatem tangens i cotangens tego samego kąta, dla którego mają one sens, wynoszą .
