Equazione di una retta in quattro forme. Equazione generale di una retta

Le equazioni canoniche di una retta nello spazio sono equazioni che definiscono una retta passante per un dato punto collinearmente rispetto a un vettore di direzione.

Siano dati un punto e un vettore di direzione. Un punto arbitrario giace su una linea l solo se i vettori e sono collineari, cioè soddisfano la condizione:

.

Le equazioni di cui sopra sono le equazioni canoniche della linea.

Numeri M , N E P sono proiezioni del vettore di direzione sugli assi delle coordinate. Poiché il vettore è diverso da zero, allora tutti i numeri M , N E P non può essere zero allo stesso tempo. Ma uno o due di loro possono essere zero. Nella geometria analitica, ad esempio, è consentita la seguente notazione:

,

il che significa che le proiezioni del vettore sugli assi Ehi E Oncia sono uguali a zero. Pertanto, sia il vettore che la retta data dalle equazioni canoniche sono perpendicolari agli assi Ehi E Oncia, cioè aerei yOz .

Esempio 1 Comporre le equazioni di una retta nello spazio perpendicolare a un piano e passante per il punto di intersezione di questo piano con l'asse Oncia .

Soluzione. Trova il punto di intersezione del piano dato con l'asse Oncia. Da qualsiasi punto sull'asse Oncia, ha coordinate , quindi, assumendo nella data equazione del piano x=y= 0, otteniamo 4 z.z- 8 = 0 o z.z= 2. Pertanto, il punto di intersezione del piano dato con l'asse Oncia ha coordinate (0; 0; 2) . Poiché la linea desiderata è perpendicolare al piano, è parallela al suo vettore normale. Pertanto, il vettore normale può servire come vettore di direzione della retta dato piano.

Ora scriviamo le equazioni desiderate della retta passante per il punto UN= (0; 0; 2) nella direzione del vettore :

Equazioni di una retta passante per due punti dati

Una linea retta può essere definita da due punti che giacciono su di essa E In questo caso, il vettore direttivo della retta può essere il vettore . Allora prendono forma le equazioni canoniche della retta

.

Le precedenti equazioni definiscono una retta passante per due punti dati.

Esempio 2 Scrivi l'equazione di una retta nello spazio passante per i punti e .

Soluzione. Scriviamo le equazioni desiderate della retta nella forma sopra indicata nel riferimento teorico:

.

Poiché , allora la linea desiderata è perpendicolare all'asse Ehi .

Dritto come una linea di intersezione di piani

Una retta nello spazio può essere definita come una linea di intersezione di due piani non paralleli e, cioè, come un insieme di punti che soddisfano un sistema di due equazioni lineari

Le equazioni del sistema sono anche chiamate equazioni generali di una retta nello spazio.

Esempio 3 Comporre le equazioni canoniche di una retta nello spazio dato dalle equazioni generali

Soluzione. Per scrivere le equazioni canoniche di una retta o, che è lo stesso, l'equazione di una retta passante per due punti dati, bisogna trovare le coordinate di due punti qualsiasi sulla retta. Possono essere i punti di intersezione di una linea retta con due piani coordinati qualsiasi, ad esempio yOz E xOz .

Punto di intersezione di una retta con un piano yOz ha un'ascissa X= 0. Pertanto, assumendo in questo sistema di equazioni X= 0 , otteniamo un sistema con due variabili:

La sua decisione si = 2 , z.z= 6 insieme a X= 0 definisce un punto UN(0; 2; 6) della riga desiderata. Assumendo quindi nel dato sistema di equazioni si= 0 , otteniamo il sistema

La sua decisione X = -2 , z.z= 0 insieme a si= 0 definisce un punto B(-2; 0; 0) intersezione di una retta con un piano xOz .

Ora scriviamo le equazioni di una retta passante per i punti UN(0; 2; 6) e B (-2; 0; 0) :

,

o dopo aver diviso i denominatori per -2:

,

La retta passante per il punto K(x 0; y 0) e parallela alla retta y = kx + a si trova con la formula:

y - y 0 \u003d k (x - x 0) (1)

Dove k è la pendenza della retta.

Formula alternativa:
La retta passante per il punto M 1 (x 1 ; y 1) e parallela alla retta Ax+By+C=0 è rappresentata dall'equazione

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0 . (2)

Scrivi l'equazione di una retta passante per il punto K( ;) parallela alla retta y = x+ .

Esempio 1. Componi l'equazione di una retta passante per il punto M 0 (-2.1) e contemporaneamente:
a) parallela alla retta 2x+3y -7 = 0;
b) perpendicolare alla retta 2x+3y -7 = 0.
Soluzione . Rappresentiamo l'equazione della pendenza come y = kx + a . Per fare ciò, trasferiremo tutti i valori tranne y sul lato destro: 3y = -2x + 7 . Quindi dividiamo il lato destro per il coefficiente 3 . Otteniamo: y = -2/3x + 7/3
Trova l'equazione NK passante per il punto K(-2;1) parallelo alla retta y = -2 / 3 x + 7 / 3
Sostituendo x 0 \u003d -2, k \u003d -2 / 3, y 0 \u003d 1 otteniamo:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
O
y = -2 / 3 x - 1 / 3 o 3y + 2x +1 = 0

Esempio #2. Scrivi l'equazione di una retta parallela alla retta 2x + 5y = 0 e formando, insieme agli assi delle coordinate, un triangolo di area 5.
Soluzione . Poiché le linee sono parallele, l'equazione della linea desiderata è 2x + 5y + C = 0. L'area di un triangolo rettangolo, dove a e b sono le sue gambe. Trova i punti di intersezione della linea desiderata con gli assi delle coordinate:
;
.
Quindi, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Sostituisci nella formula per l'area: . Otteniamo due soluzioni: 2x + 5y + 10 = 0 e 2x + 5y - 10 = 0 .

Esempio #3. Scrivi l'equazione della retta passante per il punto (-2; 5) e la retta parallela 5x-7y-4=0 .
Soluzione. Questa retta può essere rappresentata dall'equazione y = 5/7 x – 4/7 (qui a = 5/7). L'equazione della linea desiderata è y - 5 = 5 / 7 (x - (-2)), cioè 7(y-5)=5(x+2) o 5x-7y+45=0 .

Esempio #4. Risolvendo l'esempio 3 (A=5, B=-7) usando la formula (2), troviamo 5(x+2)-7(y-5)=0.

Esempio numero 5. Scrivi l'equazione di una retta passante per il punto (-2;5) e una retta parallela 7x+10=0.
Soluzione. Qui A=7, B=0. La formula (2) dà 7(x+2)=0, cioè x+2=0. La formula (1) non è applicabile, poiché questa equazione non può essere risolta rispetto a y (questa retta è parallela all'asse y).

Lascia che la retta passi per i punti M 1 (x 1; y 1) e M 2 (x 2; y 2). L'equazione di una linea retta che passa per il punto M 1 ha la forma y- y 1 \u003d K (x - x 1), (10.6)

Dove K - coefficiente ancora sconosciuto.

Poiché la linea retta passa per il punto M 2 (x 2 y 2), le coordinate di questo punto devono soddisfare l'equazione (10.6): y 2 -y 1 \u003d K (x 2-x 1).

Da qui troviamo Sostituendo il valore trovato K nell'equazione (10.6), otteniamo l'equazione di una retta passante per i punti M 1 e M 2:

Si presume che in questa equazione x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Se x 1 \u003d x 2, la linea retta che passa per i punti M 1 (x 1, y I) e M 2 (x 2, y 2) è parallela all'asse y. La sua equazione è x = x 1 .

Se y 2 \u003d y I, l'equazione della retta può essere scritta come y \u003d y 1, la retta M 1 M 2 è parallela all'asse x.

Equazione di una retta in segmenti

Lascia che la linea retta intersechi l'asse Ox nel punto M 1 (a; 0) e l'asse Oy - nel punto M 2 (0; b). L'equazione assumerà la forma:
quelli.
. Questa equazione è chiamata l'equazione di una retta in segmenti, perché i numeri a e b indicano quali segmenti taglia la retta sugli assi coordinati.

Equazione di una retta passante per un dato punto perpendicolare a un dato vettore

Troviamo l'equazione di una retta passante per un dato punto Mo (x O; y o) perpendicolare a un dato vettore diverso da zero n = (A; B).

Prendi un punto arbitrario M(x; y) sulla retta e considera il vettore M 0 M (x - x 0; y - y o) (vedi Fig. 1). Poiché i vettori n e M o M sono perpendicolari, il loro prodotto scalare è uguale a zero: cioè,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Viene chiamata l'equazione (10.8). equazione di una retta passante per un dato punto perpendicolare a un dato vettore .

Il vettore n = (A; B) perpendicolare alla retta si dice normale vettore normale di questa retta .

L'equazione (10.8) può essere riscritta come Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

dove A e B sono le coordinate del vettore normale, C \u003d -Ax o - Vu o - membro libero. Equazione (10.9) è l'equazione generale di una retta(vedi figura 2).

Fig.1 Fig.2

Equazioni canoniche della retta

,

Dove
sono le coordinate del punto attraverso il quale passa la linea, e
- vettore di direzione.

Curve del secondo ordine Cerchio

La circonferenza è l'insieme di tutti i punti di un piano equidistanti da un punto dato, detto centro.

Equazione canonica di un cerchio di raggio R centrato su un punto
:

In particolare, se il centro del paletto coincide con l'origine, allora l'equazione sarà:

Ellisse

Un'ellisse è un insieme di punti in un piano, la somma delle distanze da ciascuno di essi a due punti dati E , detti fuochi, è un valore costante
, maggiore della distanza tra i fuochi
.

L'equazione canonica di un'ellisse i cui fuochi giacciono sull'asse del bue e la cui origine è nel mezzo tra i fuochi ha la forma
G de UN la lunghezza del semiasse maggiore; B è la lunghezza del semiasse minore (Fig. 2).

Equazione di una retta su un piano.

Come è noto, qualsiasi punto sul piano è determinato da due coordinate in un sistema di coordinate. I sistemi di coordinate possono essere diversi a seconda della scelta della base e dell'origine.

Definizione. Equazione di lineaè la relazione y = f(x) tra le coordinate dei punti che compongono questa retta.

Si noti che l'equazione della linea può essere espressa in modo parametrico, cioè ogni coordinata di ogni punto è espressa attraverso qualche parametro indipendente T.

Un tipico esempio è la traiettoria di un punto in movimento. In questo caso, il tempo gioca il ruolo di un parametro.

Equazione di una retta su un piano.

Definizione. Qualsiasi retta nel piano può essere data da un'equazione del primo ordine

Ah + Wu + C = 0,

inoltre le costanti A, B non sono contemporaneamente uguali a zero, cioè A 2 + B 2  0. Questa equazione del primo ordine è chiamata l'equazione generale di una retta.

A seconda dei valori delle costanti A, B e C, sono possibili i seguenti casi particolari:

C \u003d 0, A  0, B  0 - la linea passa per l'origine

A \u003d 0, B  0, C  0 (By + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Ox

B \u003d 0, A  0, C  0 ( Ax + C \u003d 0) - la linea è parallela all'asse Oy

B \u003d C \u003d 0, A  0 - la linea retta coincide con l'asse Oy

A \u003d C \u003d 0, B  0 - la linea retta coincide con l'asse del Bue

L'equazione di una retta può essere presentata in varie forme a seconda di qualsiasi data condizione iniziale.

Equazione di una retta per un punto e un vettore normale.

Definizione. In un sistema di coordinate cartesiane rettangolari, un vettore con componenti (A, B) è perpendicolare alla retta data dall'equazione Ax + By + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per il punto A (1, 2) perpendicolare al vettore (3, -1).

Componiamo in A \u003d 3 e B \u003d -1 l'equazione della retta: 3x - y + C \u003d 0. Per trovare il coefficiente C, sostituiamo le coordinate del punto A dato nell'espressione risultante.

Otteniamo: 3 - 2 + C \u003d 0, quindi C \u003d -1.

Totale: l'equazione desiderata: 3x - y - 1 \u003d 0.

Equazione di una retta passante per due punti.

Siano dati nello spazio due punti M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), quindi l'equazione di una retta passante per questi punti:

Se uno qualsiasi dei denominatori è uguale a zero, il numeratore corrispondente dovrebbe essere posto uguale a zero.

Su un piano, l'equazione di una retta scritta sopra è semplificata:

se x 1  x 2 e x \u003d x 1, se x 1 \u003d x 2.

Frazione
=k è chiamato fattore di pendenza Dritto.

Esempio. Trova l'equazione di una retta passante per i punti A(1, 2) e B(3, 4).

Applicando la formula precedente, otteniamo:

Equazione di una retta per un punto e una pendenza.

Se l'equazione generale della retta Ax + Vy + C = 0 porta alla forma:

e designare
, quindi viene chiamata l'equazione risultante equazione di una retta inclinataK.

L'equazione di una retta su un punto e un vettore direttrice.

Per analogia con il punto considerando l'equazione di una retta passante per il vettore normale, si può inserire l'assegnazione di una retta passante per un punto e un vettore direttivo di una retta.

Definizione. Ogni vettore diverso da zero ( 1 ,  2), le cui componenti soddisfano la condizione A 1 + B 2 = 0 è detto vettore direttivo della retta

Ah + Wu + C = 0.

Esempio. Trova l'equazione di una retta con un vettore di direzione (1, -1) e passante per il punto A(1, 2).

Cercheremo l'equazione della retta desiderata nella forma: Ax + By + C = 0. Secondo la definizione, i coefficienti devono soddisfare le condizioni:

1A + (-1)B = 0, cioè A = B.

Allora l'equazione di una retta ha la forma: Ax + Ay + C = 0, oppure x + y + C/A = 0.

in x = 1, y = 2 otteniamo С/A = -3, cioè equazione desiderata:

Equazione di una retta in segmenti.

Se nell'equazione generale della retta Ah + Wu + C = 0 C 0, allora, dividendo per –C, otteniamo:
O

, Dove

Il significato geometrico dei coefficienti è che il coefficiente UNè la coordinata del punto di intersezione della linea con l'asse x, e B- la coordinata del punto di intersezione della retta con l'asse Oy.

Esempio. Data l'equazione generale della retta x - y + 1 = 0. Trova l'equazione di questa retta nei segmenti.

C \u003d 1,
, a = -1, b = 1.

Equazione normale di una retta.

Se entrambi i lati dell'equazione Ax + Wy + C = 0 diviso per il numero
, che è chiamato fattore di normalizzazione, quindi otteniamo

xcos + ysin - p = 0 –

equazione normale di una retta.

Il segno  del fattore di normalizzazione deve essere scelto in modo che С< 0.

p è la lunghezza della perpendicolare caduta dall'origine alla retta, e  è l'angolo formato da questa perpendicolare con la direzione positiva dell'asse Ox.

Esempio. Data l'equazione generale della retta 12x - 5y - 65 = 0. È necessario scrivere vari tipi di equazioni per questa retta.

l'equazione di questa retta in segmenti:

l'equazione di questa linea con la pendenza: (dividi per 5)

equazione normale di una retta:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Va notato che non tutte le rette possono essere rappresentate da un'equazione in segmenti, ad esempio rette parallele agli assi o passanti per l'origine.

Esempio. La retta taglia segmenti positivi uguali sugli assi delle coordinate. Scrivi l'equazione di una retta se l'area del triangolo formato da questi segmenti è di 8 cm 2.

L'equazione di una retta ha la forma:
, un = b = 1; ab/2 = 8; un = 4; -4.

a = -4 non si adatta alla condizione del problema.

Totale:
o x + y - 4 = 0.

Esempio. Scrivi l'equazione di una retta passante per il punto A (-2, -3) e l'origine.

L'equazione di una retta ha la forma:
, dove x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Angolo tra le linee su un piano.

Definizione. Se sono date due linee y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , allora l'angolo acuto tra queste linee sarà definito come

.

Due rette sono parallele se k 1 = k 2 .

Due rette sono perpendicolari se k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Rette Ax + Vy + C = 0 e A 1 x + B 1 si + C 1 = 0 sono parallele quando i coefficienti A sono proporzionali 1 =  A, B 1 =  B. Se anche C 1 =  C, allora le rette coincidono.

Le coordinate del punto di intersezione di due rette si trovano come soluzione al sistema di equazioni di queste rette.

Equazione di una retta passante per un dato punto

perpendicolare a questa linea.

Definizione. La linea che passa per il punto M 1 (x 1, y 1) e perpendicolare alla linea y \u003d kx + b è rappresentata dall'equazione:

La distanza da un punto a una linea.

Teorema. Se un punto M(x 0 , e 0 ), quindi la distanza dalla linea Ax + Vy + C = 0 è definita come

.

Prova. Sia il punto M 1 (x 1, y 1) la base della perpendicolare calata dal punto M alla retta data. Quindi la distanza tra i punti M e M 1:

Le coordinate x 1 e y 1 possono essere trovate come soluzione al sistema di equazioni:

La seconda equazione del sistema è l'equazione di una retta passante per un dato punto M 0 perpendicolare a una data retta.

Se trasformiamo la prima equazione del sistema nella forma:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

allora, risolvendo, otteniamo:

Sostituendo queste espressioni nell'equazione (1), troviamo:

.

Il teorema è stato dimostrato.

Esempio. Determina l'angolo tra le linee: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2tg =
;  = /4.

Esempio. Mostra che le rette 3x - 5y + 7 = 0 e 10x + 6y - 3 = 0 sono perpendicolari.

Troviamo: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 k 2 \u003d -1, quindi le linee sono perpendicolari.

Esempio. I vertici del triangolo A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1) sono dati. Trova l'equazione per l'altezza tracciata dal vertice C.

Troviamo l'equazione del lato AB:
; 4x = 6a - 6;

2x - 3a + 3 = 0;

L'equazione dell'altezza desiderata è: Ax + By + C = 0 o y = kx + b.

K = . Allora y =
. Perché l'altezza passa per il punto C, quindi le sue coordinate soddisfano questa equazione:
da cui b = 17. Totale:
.

Risposta: 3x + 2y - 34 = 0.

Geometria analitica nello spazio.

Equazione della linea nello spazio.

L'equazione di una retta nello spazio per un punto e

vettore di direzione.

Prendi una linea arbitraria e un vettore (m, n, p) parallele alla retta data. Vettore chiamato vettore guida Dritto.

Prendiamo due punti arbitrari M 0 (x 0 , y 0 , z 0) e M(x, y, z) sulla retta.

z.z

M1

Indichiamo i raggi vettori di questi punti come E , è ovvio che - =
.

Perché vettori
E sono collineari, allora la relazione è vera
= t, dove t è un parametro.

In totale possiamo scrivere: = + T.

Perché questa equazione è soddisfatta dalle coordinate di qualsiasi punto sulla linea, quindi l'equazione risultante è equazione parametrica di una retta.

Questa equazione vettoriale può essere rappresentata in forma di coordinate:

Trasformando questo sistema ed eguagliando i valori del parametro t, otteniamo le equazioni canoniche di una retta nello spazio:

.

Definizione. Coseni di direzione diretti sono i coseni di direzione del vettore , che può essere calcolato con le formule:

;

.

Da qui otteniamo: m: n: p = cos : cos : cos.

Si chiamano i numeri m, n, p fattori di pendenza Dritto. Perché è un vettore diverso da zero, m, n e p non possono essere zero contemporaneamente, ma uno o due di questi numeri possono essere zero. In questo caso, nell'equazione di una retta, i numeratori corrispondenti dovrebbero essere equiparati a zero.

Equazione di una retta passante nello spazio

attraverso due punti.

Se due punti arbitrari M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2) sono segnati su una linea retta nello spazio, allora le coordinate di questi punti devono soddisfare l'equazione del retta ottenuta sopra:

.

Inoltre, per il punto M 1 possiamo scrivere:

.

Risolvendo insieme queste equazioni otteniamo:

.

Questa è l'equazione di una retta passante per due punti nello spazio.

Equazioni generali di una retta nello spazio.

L'equazione di una retta può essere considerata come l'equazione di una retta di intersezione di due piani.

Come discusso sopra, un piano in forma vettoriale può essere dato dall'equazione:

+ D = 0, dove

- piano normale; - raggio-vettore di un punto arbitrario del piano.

Questo articolo rivela la derivazione dell'equazione di una retta passante per due punti dati in un sistema di coordinate rettangolari situato su un piano. Deriviamo l'equazione di una retta passante per due punti dati in un sistema di coordinate rettangolari. Mostreremo visivamente e risolveremo diversi esempi relativi al materiale trattato.

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Prima di ottenere l'equazione di una retta passante per due punti dati, è necessario prestare attenzione ad alcuni fatti. C'è un assioma che dice che attraverso due punti non coincidenti su un piano è possibile tracciare una linea retta e solo una. In altre parole, due punti dati del piano sono determinati da una retta passante per questi punti.

Se il piano è dato dal sistema di coordinate rettangolare Oxy, allora qualsiasi linea retta rappresentata in esso corrisponderà all'equazione della linea retta sul piano. C'è anche una connessione con il vettore direttivo della retta: questi dati sono sufficienti per tracciare l'equazione di una retta passante per due punti dati.

Considera un esempio di risoluzione di un problema simile. È necessario comporre l'equazione di una retta a passante per due punti non corrispondenti M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) situati nel sistema di coordinate cartesiane.

Nell'equazione canonica di una linea retta su un piano, avente la forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , un sistema di coordinate rettangolare O x y è specificato con una linea retta che si interseca con esso in un punto con coordinate M 1 (x 1, y 1) con un vettore guida a → = (a x , a y) .

È necessario comporre l'equazione canonica della retta a, che passerà per due punti di coordinate M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) .

La retta a ha un vettore direttivo M 1 M 2 → con coordinate (x 2 - x 1, y 2 - y 1), poiché interseca i punti M 1 e M 2. Abbiamo ottenuto i dati necessari per trasformare l'equazione canonica con le coordinate del vettore direzione M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) e le coordinate dei punti M 1 giacenti su di essi (x 1, y 1) e M 2 (x 2 , y 2) . Otteniamo un'equazione della forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 o x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 .

Considera la figura sottostante.

Dopo i calcoli, scriviamo le equazioni parametriche di una retta in un piano che passa per due punti di coordinate M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) . Otteniamo un'equazione della forma x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ o x \u003d x 2 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Diamo un'occhiata più da vicino ad alcuni esempi.

Esempio 1

Scrivi l'equazione di una retta passante per 2 punti dati di coordinate M 1 - 5 , 2 3 , M 2 1 , - 1 6 .

Soluzione

L'equazione canonica per una linea retta che si interseca in due punti con coordinate x 1 , y 1 e x 2 , y 2 assume la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . In base alle condizioni del problema, abbiamo che x 1 \u003d - 5, y 1 \u003d 2 3, x 2 \u003d 1, y 2 \u003d - 1 6. È necessario sostituire i valori numerici nell'equazione x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Da qui otteniamo che l'equazione canonica assumerà la forma x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Risposta: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Se è necessario risolvere un problema con un diverso tipo di equazione, allora per cominciare puoi andare a quella canonica, poiché è più facile arrivare a qualsiasi altra da essa.

Esempio 2

Comporre l'equazione generale di una retta passante per punti con coordinate M 1 (1, 1) e M 2 (4, 2) nel sistema di coordinate O x y.

Soluzione

Per prima cosa devi scrivere l'equazione canonica di una data retta che passa per i due punti dati. Otteniamo un'equazione della forma x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Portiamo l'equazione canonica nella forma desiderata, quindi otteniamo:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Risposta: x - 3 y + 2 = 0 .

Esempi di tali compiti sono stati considerati nei libri di testo scolastici durante le lezioni di algebra. I compiti scolastici differivano in quanto era nota l'equazione di una linea retta con un coefficiente di pendenza, avente la forma y \u003d k x + b. Se è necessario trovare il valore della pendenza k e il numero b, in cui l'equazione y \u003d k x + b definisce una linea nel sistema O x y che passa attraverso i punti M 1 (x 1, y 1) e M 2 (x 2, y 2) , dove x 1 ≠ x 2 . Quando x 1 = x 2 , allora la pendenza assume il valore di infinito, e la retta M 1 M 2 è definita da un'equazione generale incompleta della forma x - x 1 = 0 .

Perché i punti m 1 E M2 sono su una linea retta, allora le loro coordinate soddisfano l'equazione y 1 = k x 1 + b e y 2 = k x 2 + b. È necessario risolvere il sistema di equazioni y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b rispetto a k e b.

Per fare ciò, troviamo k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

Con tali valori di k e b, l'equazione di una retta passante per dati due punti assume la seguente forma y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 o y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Memorizzare un numero così elevato di formule contemporaneamente non funzionerà. Per fare ciò, è necessario aumentare il numero di ripetizioni nella risoluzione dei problemi.

Esempio 3

Scrivi l'equazione di una retta con pendenza passante per punti di coordinate M 2 (2, 1) e y = k x + b.

Soluzione

Per risolvere il problema, usiamo una formula con una pendenza che ha la forma y \u003d k x + b. I coefficienti k e b devono assumere un valore tale che questa equazione corrisponda ad una retta passante per due punti di coordinate M 1 (- 7 , - 5) e M 2 (2 , 1) .

punti m 1 E M2 situati su una linea retta, allora le loro coordinate dovrebbero invertire l'equazione y = k x + b l'uguaglianza corretta. Da qui otteniamo che - 5 = k · (- 7) + b e 1 = k · 2 + b. Combiniamo l'equazione nel sistema - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b e risolviamo.

Dopo la sostituzione, lo otteniamo

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Ora i valori k = 2 3 e b = - 1 3 vengono sostituiti nell'equazione y = k x + b . Otteniamo che l'equazione desiderata passante per i punti dati sarà un'equazione che ha la forma y = 2 3 x - 1 3 .

Questo modo di risolvere predetermina il dispendio di una grande quantità di tempo. C'è un modo in cui il compito viene risolto letteralmente in due passaggi.

Scriviamo l'equazione canonica di una retta passante per M 2 (2, 1) e M 1 (- 7, - 5) , avente la forma x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Ora passiamo all'equazione della pendenza. Otteniamo che: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Risposta: y = 2 3 x - 1 3 .

Se nello spazio tridimensionale esiste un sistema di coordinate rettangolare O x y z con due punti dati non coincidenti con coordinate M 1 (x 1, y 1, z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), il retta M passante per esse 1 M 2 , è necessario ottenere l'equazione di questa retta.

Abbiamo equazioni canoniche della forma x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z ed equazioni parametriche della forma x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ sono in grado di impostare una retta nel sistema di coordinate O x y z passante per punti aventi coordinate (x 1, y 1, z 1) con vettore direttrice a → = (a x, a y, a z) .

Dritto M 1 M 2 ha un vettore direzione della forma M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , dove la retta passa per il punto M 1 (x 1 , y 1 , z 1) e M 2 (x 2, y 2, z 2), quindi l'equazione canonica può essere della forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 o x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, a sua volta, parametrico x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ o x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ z \u003d z 2 + (z 2 - z 1) λ.

Considera una figura che mostra 2 punti dati nello spazio e l'equazione di una retta.

Esempio 4

Scrivi l'equazione di una retta definita in un sistema di coordinate rettangolare O x y z dello spazio tridimensionale, passante per i due punti dati con coordinate M 1 (2, - 3, 0) e M 2 (1, - 3, - 5 ).

Soluzione

Dobbiamo trovare l'equazione canonica. Dal momento che stiamo parlando di spazio tridimensionale, significa che quando una linea retta passa attraverso dati punti, l'equazione canonica desiderata assumerà la forma x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Per condizione, abbiamo che x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Ne consegue che le equazioni necessarie possono essere scritte come segue:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Risposta: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

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