Qual è il nodo dei numeri coprimi. Massimo comun divisore

Si chiamano i numeri naturali aeb coprimi, se il loro massimo comun divisore è 1 (gcd(a ; b ) = 1). In altre parole, se i numeri aeb non hanno divisori comuni diversi da 1, allora sono coprimi.

Esempi di coppie di numeri coprimi: 2 e 5, 13 e 16, 35 e 88, ecc. È possibile specificare più numeri coprimi, ad esempio i numeri 7, 9, 16 sono coprimi.

Spesso i numeri coprimi sono indicati come segue: (a, b) \u003d 1. Ad esempio, (23, 30) \u003d 1. Questa voce è, per così dire, un'abbreviazione per la designazione del massimo comune divisore di due numeri (GCD (23, 30) \u003d 1) e afferma che il loro massimo comun divisore è 1.

Due numeri naturali adiacenti saranno sempre coprimi. Ad esempio, 15 e 16 sono una coppia di numeri coprimi, proprio come 16 e 17. Questo è facile da capire se prendiamo in considerazione la "regola" che se due numeri naturali aeb sono divisibili per lo stesso numero naturale maggiore di 1 ( n > 1), allora anche la loro differenza deve essere divisibile per questo numero n (qui intendiamo che a, b e la loro differenza sono divisi per un intero, cioè sono multipli del numero n). Ma se aeb sono due numeri adiacenti (sia a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Ne consegue anche dalla definizione di numeri coprimi e numeri primi che numeri primi diversi sono sempre coprimi. Dopotutto, gli unici divisori di qualsiasi numero primo sono se stesso e 1.

Proprietà dei numeri coprimi

• Il minimo comune multiplo (LCM) di una coppia di numeri coprimi è uguale al loro prodotto. Ad esempio, (3, 8) = 1 (che significa relativamente primo), quindi il loro LCM è 3 × 8 = 24 (LCM(3, 8) = 24). In effetti, non troverai un numero inferiore a 24 che è un multiplo sia di 3 che di 8.
• Se i numeri aeb sono coprimi e il numero c è un multiplo di entrambi aeb, allora anche questo numero sarà un multiplo del prodotto di ab. Questo può essere scritto come segue: se ca e c b , allora c ab . Ad esempio, (3, 10) = 1, il numero 60 è un multiplo di 3 e 10 ed è anche un multiplo di 30 (3 × 10).
• Se i numeri aeb sono coprimi e il numero c è preso come multiplo di b (c b ), anche il prodotto ac sarà un multiplo di b (ac b ). Ad esempio, (2, 17) = 1, sia c = 34. Il numero 34 è un multiplo di b = 17, quindi ac = 2 × 34 = 68. Verifica: 68 ÷ 17 = 4, cioè è divisibile, il che significa che 68 è un multiplo 17.

Di solito ci sono più proprietà di quelle elencate qui. Inoltre, le proprietà dei numeri relativamente primi sono formulate in modi diversi. A volte è anche richiesto di provare queste proprietà (in questo caso non vengono fornite prove).

Il massimo comun divisore dei numeri coprimi è sempre uno.

Esempi di nodi di numeri relativamente primi.

GCD dei numeri 11 e 7

I numeri 11 e 7 sono coprimi e, allo stesso tempo, primi.

I numeri 11 e 7 non hanno altri divisori comuni diversi da 1.

gcd(11, 7) = 1

GCD dei numeri 11 e 15

I numeri 11 e 15 sono relativamente primi. In questo caso, 11 è un numero primo e 15 è un numero composto.

I divisori di 11 sono 1 e 11.

I divisori di 15 sono 1, 3, 5, 15.

Come puoi vedere, l'unico fattore comune dei numeri 11 e 15 è il numero 1. L'unità, quindi, è il GCD dei numeri 11 e 15:

gcd(11, 15) = 1

GCD dei numeri 10 e 21

I numeri 10 e 21 sono relativamente primi. In questo caso, sia il numero 10 che il numero 21 sono composti.

I fattori di 10 sono 1, 2, 5, 10.

I fattori del numero 21 sono 1, 3, 7, 21.

Come puoi vedere, l'unico fattore comune dei numeri 10 e 21 è il numero 1. L'unità, quindi, è il GCD dei numeri 10 e 21:

gcd(21, 10) = 1

GCD dei numeri 16 e 23

I numeri 16 e 23 sono coprimi. In questo caso, 23 è un numero primo e 16 è un numero composto.

Compito: Trova il GCD e LCM dei numeri nel modo più conveniente:

a) 12 e 40; b) 9 e 40; c) 12 e 72.

Sono concessi 5 minuti per l'attività.

Qual è il modo migliore per eseguire ogni esercizio?

Scomposizione diapositiva.

a) È più conveniente risolvere con il metodo di scomposizione in fattori primi

12 = 2 2 3; 40 = 2 2 2 5

GCD(12;40)=2 2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

b) I numeri 9 e 40 hanno divisori comuni? (è, 1.)

Come si chiamano questi numeri? ? (Coprimi.)

Qual è il GCD di questi numeri ? (mcd(9;40) = 1)

Qual è l'LCM di questi numeri ? (LCM(9;40) = 9 40=360.)

c) Cosa puoi dire dei numeri 12 e 72 ? (72 diviso per 12) Quale regola conosciamo? (se un numero è divisibile per un altro, allora GCD = il numero più piccolo e LCM - il più grande)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Controlla i dati che hai ottenuto con lo standard che si trova sul tavolo dell'insegnante.

FO: Valutarsi secondo i criteri scritti nella scheda standard. Mettere un segno di spunta accanto al criterio.

7 tick - alto livello

6-4 tick - livello medio

1-3 tick - livello basso

Fizminutka

Si alzò velocemente, sorrise,

Tirato più in alto.

Bene, raddrizza le spalle

Sollevalo un pò meno.

Gira a destra, gira a sinistra

Tocca le mani con le ginocchia.

Siediti, alzati, siediti, alzati

E sono scappati sul posto.

Domanda dell'insegnante: dove stiamo già utilizzando la nostra conoscenza dei numeri GCD e LCM?

Quando si risolvono i problemi.

Davanti a loro, sul tavolo dell'insegnante, c'è una "camomilla dei compiti" composta da 21 petali.

Petalo rosso - Compiti di livello C.

Petalo giallo - compiti di livello B.

Petalo verde - attività di livello A.

	Masha ha comprato le uova per l'Orso nel negozio. Sulla strada per la foresta, si è resa conto che il numero di uova è divisibile per 2,3,5,10 e 15. Quante uova ha comprato Masha?
	Su 210 rose bordeaux, 126 bianche, 294 rosse, sono stati raccolti mazzi e in ogni bouquet il numero di rose dello stesso colore è uguale. Qual è il maggior numero di bouquet realizzati con queste rose e quante rose di ogni colore ci sono in un bouquet?
	Un foglio di cartone ha la forma di un rettangolo, la cui lunghezza è di 48 cm e la larghezza è di 40 cm.Questo foglio deve essere tagliato senza sprechi in quadrati uguali. Quali sono i quadrati più grandi che si possono ottenere da questo foglio e quanti?
	Quanti soldati marciano sulla piazza d'armi se marciano in formazione di 12 persone in fila e si trasformano in una colonna di 18 persone in fila?
	Nella città portuale iniziano tre gite in barca turistica, la prima dura 15 giorni, la seconda - 20 e la terza - 12 giorni. Ritornate al porto, le navi lo stesso giorno intraprendono nuovamente un viaggio. Le navi a motore hanno lasciato oggi il porto su tutte e tre le rotte. Tra quanti giorni navigheranno insieme per la prima volta?Quanti viaggi farà ciascuna nave?
	Il camino nella stanza deve essere disposto con piastrelle di finitura a forma di quadrato. Quante piastrelle sono necessarie per un caminetto da 195 ͯ 156 cm e quali sono le dimensioni delle piastrelle più grandi?
	Il passo di Volodya è di 75 cm e il passo di Katya è di 60 cm A quale distanza minima faranno entrambi un numero intero di passi?
	Per i regali di Capodanno abbiamo acquistato 180 mele, 90 arance e 900 dolci. Tutti i bambini hanno ricevuto gli stessi regali. Qual è il maggior numero di regali identici composti da questi frutti e dolci?
	Un orto di 54 ͯ 48 m perimetrale deve essere recintato, per questo devono essere posizionati pilastri di cemento a intervalli regolari. Quanti pali devono essere portati per il sito ea quale distanza massima l'uno dall'altro staranno i pali?
	Trova: LCM(360;252).
	Per i regali di Capodanno sono state acquistate 78 barrette di cioccolato, 156 pan di zenzero, 52 confezioni di biscotti, 104 arance e 130 mele. Qual è il maggior numero di regali identici che puoi collezionare?
	E' necessario realizzare una scatola con fondo quadrato per impilare scatole da 16 ͯ 20 cm. Quale dovrebbe essere il lato più corto del fondo quadrato per inserire le scatole a filo nella scatola?
	Calcola GCD(720.216), LCM(720.216).
	Qual è il rapporto tra LCM (308.264) e GCM (308.264)?
	Per la sistemazione dell'albero di Natale, hanno acquistato noci, dolci e pan di zenzero, per un totale di 760 pezzi. Hanno preso 80 noci in più rispetto ai dolci e 120 pan di zenzero in meno rispetto alle noci. Qual è il maggior numero di regali identici per bambini che si possono realizzare con questo stock?
	Trova LCM(84,160,96),
	Trova il quoziente di LCM(24, 2004) diviso per il GCD degli stessi numeri.
	Trova il numero naturale più piccolo multiplo di 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Trova GCD (56, 72).
	Ci sono libri sul tavolo il cui numero è inferiore a 100. Quanti libri ci sono se si sa che possono essere legati in pacchi da 3, 4 e 5 pezzi?
	Il negozio ha portato meno di 600, ma più di 500 piatti. Quando hanno iniziato a disporli in dozzine, 3 piatti non erano sufficienti per raggiungere il numero completo di decine, e quando hanno iniziato a disporli in dozzine (12 piatti ciascuno), sono rimasti 7 piatti. Quanti piatti hai portato in negozio?

FD: Il numero predominante di petali in rosso indica un alto livello di assimilazione, il giallo - un livello medio di assimilazione e il verde - un basso livello di assimilazione.