Dividi la croce in figure di 5 celle. Attività di taglio.docx - attività di taglio

1. Un quadrato contiene 16 celle. Dividi il quadrato in due parti uguali in modo che la linea di taglio corra lungo i lati delle celle. (Le modalità di taglio di un quadrato in due parti saranno considerate diverse se le parti del quadrato ottenute con un metodo di taglio non sono uguali alle parti ottenute con un altro metodo.) Quante soluzioni ha il problema?
2. Un rettangolo 3x4 contiene 12 celle. Trova cinque modi per tagliare un rettangolo in due parti uguali in modo che la linea di taglio vada lungo i lati delle celle (i metodi di taglio sono considerati diversi se le parti ottenute con un metodo di taglio non sono uguali alle parti ottenute con un altro metodo).
3. Il rettangolo 3X5 contiene 15 celle e la cella centrale è stata rimossa. Trova cinque modi per tagliare la figura rimanente in due parti uguali in modo che la linea di taglio vada lungo i lati delle celle.
4. Un quadrato 6x6 è diviso in 36 quadrati identici. Trova cinque modi per tagliare un quadrato in due parti uguali in modo che la linea di taglio vada lungo i lati dei quadrati. Nota: il problema ha più di 200 soluzioni.
5. Dividi il quadrato 4x4 in quattro parti uguali in modo che la linea di taglio vada lungo i lati delle celle. Quanti modi diversi di tagliare riesci a trovare?
6. Dividi la figura (Fig. 5) in tre parti uguali in modo che la linea di taglio corri lungo i lati dei quadrati.

7. Dividi la figura (Fig. 6) in quattro parti uguali in modo che la linea di taglio corri lungo i lati dei quadrati.

8. Dividi la figura (Fig. 7) in quattro parti uguali in modo che le linee di taglio vadano lungo i lati dei quadrati. Trova quante più soluzioni possibili.

9. Dividi il quadrato 5x5 con il quadrato centrale ritagliato in quattro parti uguali.

10. Taglia le figure mostrate in Fig. 8 in due parti uguali lungo le linee della griglia e ogni parte dovrebbe avere un cerchio.

11. Le figure mostrate in Fig. 9 devono essere tagliate lungo le linee della griglia in quattro parti uguali in modo che ci sia un cerchio in ogni parte. Come farlo?

12. Taglia la figura mostrata in Fig. 10 lungo le linee della griglia in quattro parti uguali e piegale in un quadrato in modo che i cerchi e le stelle siano simmetrici rispetto a tutti gli assi di simmetria del quadrato.

13. Taglia questo quadrato (Fig. 11) lungo i lati delle celle in modo che tutte le parti abbiano la stessa dimensione e forma e che ciascuna contenga un cerchio e un asterisco.

14. Tagliare il quadrato di carta a scacchi 6×6 mostrato nella Figura 12 in quattro parti uguali in modo che ciascuna di esse contenga tre quadrati colorati.

10. Un foglio quadrato di carta a scacchi è diviso in quadrati più piccoli da segmenti che corrono lungo i lati delle celle. Dimostra che la somma delle lunghezze di questi segmenti è divisibile per 4. (La lunghezza del lato della cella è 1).

Soluzione: Sia Q un foglio di carta quadrato, L(Q) la somma delle lunghezze dei lati delle celle che si trovano al suo interno. Allora L(Q) è divisibile per 4, poiché tutti i lati considerati sono divisi in quattro lati, ottenuti l'uno dall'altro mediante rotazioni di 90 0 e 180 0 rispetto al centro del quadrato.

Se il quadrato Q è diviso in quadrati Q 1 , …, Q n , allora la somma delle lunghezze dei segmenti di divisione è uguale a

L (Q) - L (Q 1) - ... - L (Q n). È chiaro che questo numero è divisibile per 4, poiché i numeri L(Q), L(Q 1), ..., L(Q n) sono divisibili per 4.

4. Invarianti

11. Data una scacchiera. È consentito ridipingere contemporaneamente in un colore diverso tutte le celle di qualsiasi orizzontale o verticale. Questo può risultare in una scacchiera con esattamente un quadrato nero?

Soluzione: ridisegnando una linea orizzontale o verticale contenente k celle nere e 8 k bianche, si otterranno 8 k celle nere e k bianche. Pertanto, il numero di caselle nere cambierà in (8-k)-k=8-2k, cioè per un numero pari. Poiché la parità del numero di celle nere è preservata, non possiamo ottenere una cella nera dalle 32 celle nere originali.

12. Data una scacchiera. È consentito ridipingere contemporaneamente in un colore diverso tutte le celle situate all'interno di un quadrato 2 x 2. Può rimanere esattamente una cella nera sul tabellone?

Soluzione: la ricolorazione di un quadrato 2 x 2 contenente k globuli neri e 4 k bianchi risulterà in 4 k globuli neri e k bianchi. Pertanto, il numero di caselle nere cambierà in (4-k)-k=4-2k, cioè per un numero pari. Poiché la parità del numero di celle nere è preservata, non possiamo ottenere una cella nera dalle 32 celle nere originali.

13. Dimostrare che un poligono convesso non può essere tagliato in un numero finito di quadrilateri non convessi.

Soluzione: Supponiamo che un poligono convesso M sia tagliato in quadrilateri non convessi M 1 ,…, M n . Ad ogni poligono N assegniamo un numero f(N) pari alla differenza tra la somma dei suoi angoli interni minori di 180 e la somma degli angoli complementari dei suoi angoli a 360, maggiori di 180. Confronta i numeri A=f(M) e B=f(M 1)+…+ f(M n). Considera per questo tutti i punti che sono i vertici dei quadrilateri M 1 ..., M n . Possono essere divisi in quattro tipi.

1. Vertici del poligono M. Questi punti contribuiscono ugualmente ad A e B.

2. Punti sui lati del poligono M o M 1. Il contributo di ciascuno di questi punti a B su

180 in più rispetto ad A.

3. Punti interni del poligono in cui si incontrano gli angoli del quadrilatero,

inferiore a 180. Il contributo di ciascuno di questi punti a B è 360 in più rispetto ad A.

4. Punti interni del poligono M in cui convergono gli angoli dei quadrilateri, e uno di essi è maggiore di 180. Tali punti danno contributi nulli ad A e B.

Di conseguenza, otteniamo A<В. С другой стороны, А>0 e B=0. La disuguaglianza A > 0 è ovvia, e per dimostrare l'uguaglianza B=0 basta verificare che se N è un quadrilatero non convesso, allora f(N)=0. Siano gli angoli N a>b>c>d. Ogni quadrilatero non convesso ha esattamente un angolo maggiore di 180, quindi f(N)=b+c+d-(360-a)=a+b+c+d-360=0.

Si ottiene una contraddizione, quindi un poligono convesso non può essere tagliato in un numero finito di quadrilateri non convessi.

14. C'è una fiche al centro di ogni cella della scacchiera. I chip sono stati riorganizzati in modo che le distanze a coppie tra loro non diminuissero. Dimostrare che in realtà le distanze a coppie non sono cambiate.

Soluzione: se almeno una delle distanze tra i chip aumentasse, allora aumenterebbe anche la somma di tutte le distanze a coppie tra i chip, ma la somma di tutte le distanze a coppie tra i chip non cambia con nessuna permutazione.

15. Il campo quadrato è diviso in 100 sezioni quadrate identiche, 9 delle quali sono ricoperte di erbacce. È noto che le erbacce in un anno si estendono a quelle e solo a quelle trame in cui almeno due trame adiacenti (cioè con un lato comune) sono già ricoperte di erbacce. Dimostra che il campo non sarà mai completamente ricoperto di erbacce.

Soluzione: è facile verificare che la lunghezza del confine dell'intera area infestante (o di più aree) non aumenti. Nel momento iniziale non supera 4*9=36, quindi nel momento finale non può essere uguale a 40.

Di conseguenza, il campo non sarà mai completamente ricoperto di erbacce.

16. Viene dato un 2m-gon convesso А 1 …А 2 m. Si prende un punto P al suo interno, non giacente su nessuna delle diagonali. Dimostrare che il punto Р appartiene a un numero pari di triangoli con vertici nei punti А 1 ,…, А 2 m .

Soluzione: le diagonali spezzano il poligono in più parti. Chiameremo limitrofi quelli di loro che hanno un lato comune. È chiaro che si può arrivare da qualsiasi punto interno del poligono a qualsiasi altro punto, passando ogni volta solo dalla parte vicina a quella vicina. Anche la parte del piano che si trova all'esterno del poligono può essere considerata una di queste parti. Il numero di triangoli considerati per i punti di questa parte è uguale a zero, quindi basta dimostrare che passando da una parte vicina a una parte vicina, si conserva la parità del numero di triangoli.

Lascia che il lato comune di due parti vicine giaccia sulla diagonale (o lato) PQ. Quindi a tutti i triangoli considerati, ad eccezione dei triangoli di lato PQ, entrambe queste parti o appartengono o non appartengono. Pertanto, quando ci si sposta da una parte all'altra, il numero di triangoli cambia di k 1 -k 2 , dove k 1 è il numero di vertici del poligono che giacciono su un lato di PQ. Poiché k 1 +k 2 =2m-2, allora il numero k 1 -k 2 è pari.

4. Colorazione ausiliaria a scacchiera

17. C'è uno scarabeo in ogni quadrato del tabellone 5 x 5. Ad un certo punto, tutti i coleotteri strisciano sulle celle adiacenti (orizzontalmente o verticalmente). Questo lascia necessariamente una cella vuota?

Soluzione: poiché il numero totale di celle su una scacchiera 5 x 5 è dispari, non possono esserci numeri uguali di celle bianche e nere. Lascia che ci siano più celle nere per la definizione. Quindi ci sono meno coleotteri seduti sui globuli bianchi rispetto ai globuli neri. Pertanto, almeno una delle celle nere rimane vuota, poiché solo i coleotteri che si trovano sulle celle bianche strisciano sulle celle nere.

19. Dimostra che una tavola di 10 x 10 quadrati non può essere tagliata in figure a forma di T composte da quattro quadrati.

Soluzione: Supponiamo che il tabellone di 10 x 10 quadrati sia diviso in tali figure. Ogni figura contiene 1 o 3 caselle nere, cioè sempre un numero dispari. Le cifre stesse dovrebbero essere 100/4 = 25 pezzi. Pertanto, contengono un numero dispari di celle nere e in totale ci sono 100/2=50 celle nere. Si è ottenuta una contraddizione.

5. Problemi sulla colorazione

20. L'aereo è dipinto in due colori. Dimostra che ci sono due punti dello stesso colore, la cui distanza è esattamente 1.

Soluzione: Consideriamo un triangolo regolare di lato 1.

trascrizione

1 MA Ekimova, GP Kukin MTsNMO Mosca, 2002

2 UDC BBK E45 E45 Ekimova M. A., Kukin G. P. Problemi di taglio. M.: MTsNMO, p.: ill. Collana: "I segreti dell'insegnamento della matematica". Questo libro è il primo libro della serie Secrets of Teaching Mathematics, progettato per presentare e riassumere l'esperienza accumulata nel campo dell'educazione matematica. Questa raccolta è una delle parti del corso "Sviluppo della logica nelle classi 5-7". A tutti i problemi dati nel libro vengono fornite soluzioni o istruzioni. Il libro è consigliato per il lavoro extrascolastico in matematica. BBK ISBN c Kukin GP, ​​Ekimova MA, c MTsNMO, 2002.

3 Introduzione Attualmente, la visione tradizionale della composizione delle materie studiate dagli scolari è in fase di revisione e perfezionamento. Diverse nuove materie vengono introdotte nel curriculum scolastico. Uno di questi argomenti è la logica. Lo studio della logica contribuisce alla comprensione della bellezza e dell'eleganza del ragionamento, della capacità di ragionare, dello sviluppo creativo dell'individuo, dell'educazione estetica di una persona. Ogni persona colta dovrebbe avere familiarità con problemi logici, enigmi, giochi conosciuti da diversi secoli o addirittura millenni in molti paesi del mondo. Lo sviluppo dell'ingegno, dell'ingegno e dell'indipendenza del pensiero è necessario per qualsiasi persona se vuole avere successo e raggiungere l'armonia nella vita. La nostra esperienza mostra che lo studio sistematico della logica formale o di frammenti di logica matematica dovrebbe essere rimandato alle classi superiori della scuola secondaria. Allo stesso tempo, è necessario sviluppare il pensiero logico il prima possibile. Infatti, quando si studiano le materie scolastiche, il ragionamento e la dimostrazione compaiono solo in seconda media (quando inizia il corso di geometria sistematica). Per molti studenti, la brusca transizione (non c'era ragionamento è diventato un sacco di ragionamento) è insopportabilmente difficile. Nel corso dello sviluppo della logica per i gradi 5-7, è del tutto possibile insegnare agli scolari a ragionare, dimostrare e trovare schemi. Ad esempio, quando si risolvono enigmi matematici, non si deve solo indovinare (raccogliere) diverse risposte, ma anche dimostrare che è stato ottenuto un elenco completo di possibili risposte. È abbastanza buono per un bambino di quinta elementare. Ma nel processo di insegnamento della logica nelle classi 5-7 delle scuole secondarie, gli insegnanti devono affrontare alcune difficoltà: la mancanza di libri di testo, materiali didattici, manuali e materiali visivi. Tutto questo deve essere compilato, scritto e disegnato dall'insegnante stesso. Uno degli obiettivi di questa raccolta è facilitare all'insegnante la preparazione e la conduzione delle lezioni. Daremo alcune raccomandazioni per condurre lezioni prima di lavorare con la raccolta.

4 4 Introduzione È auspicabile iniziare a insegnare la logica agli scolari dalla quinta elementare, e forse anche prima. La logica dovrebbe essere insegnata in uno stile rilassato, quasi improvvisato. Questa apparente leggerezza richiede in realtà molta seria preparazione da parte dell'insegnante. È inaccettabile, ad esempio, correggere un problema interessante e divertente da uno spesso taccuino scritto a mano, come a volte fanno gli insegnanti. Ti consigliamo di condurre lezioni in una forma non standard. È necessario utilizzare quanto più materiale visivo possibile nelle lezioni: varie carte, immagini, serie di figure, illustrazioni per risolvere problemi, diagrammi. Non dovresti avere a che fare con studenti più giovani sullo stesso argomento per molto tempo. Quando analizzi un argomento, dovresti cercare di evidenziare le principali pietre miliari logiche e ottenere una comprensione (e non la memorizzazione) di questi punti. È necessario tornare costantemente al materiale coperto. Questo può essere fatto in lavori indipendenti, gare a squadre (durante le lezioni), test alla fine del trimestre, olimpiadi orali e scritte, matboys (fuori dall'orario scolastico). È inoltre necessario utilizzare compiti divertenti e comici in classe, a volte è utile cambiare la direzione dell'attività. Questa raccolta è una delle parti del corso "Sviluppo della logica nelle classi 5-7" "Problemi per il taglio". Questa parte è stata testata durante le lezioni di logica nelle classi 5-7 della scuola di liceo 74 di Omsk. Molti scienziati amano tagliare i problemi fin dai tempi antichi. Le soluzioni a molti semplici problemi di taglio furono trovate dagli antichi greci e cinesi, ma il primo trattato sistematico su questo argomento fu scritto da Abul-Vef, il famoso astronomo persiano del X secolo, che visse a Baghdad. I geometri si sono seriamente impegnati a risolvere i problemi di tagliare le figure nel minor numero di parti e quindi a comporre l'una o l'altra nuova figura da esse solo all'inizio del XX secolo. Uno dei fondatori di questo affascinante ramo della geometria fu il famoso compilatore di puzzle Henry

5 Introduzione 5 E. Dudeni. Un numero particolarmente elevato di cifre preesistenti che tagliano i record è stato battuto da un esperto dell'Australian Patent Office, Harry Lindgren. È un tagliatore di figure di spicco. Oggi, gli amanti dei puzzle amano risolvere i problemi di taglio, principalmente perché non esiste un metodo universale per risolvere tali problemi e chiunque intraprenda la loro soluzione può dimostrare pienamente la propria ingegnosità, intuizione e capacità di pensare in modo creativo. Poiché qui non è richiesta una profonda conoscenza della geometria, i dilettanti a volte possono persino superare i matematici professionisti. Allo stesso tempo, i problemi di affettatura non sono frivoli o inutili, non sono lontani da seri problemi matematici. Dai problemi di taglio è nato il teorema di Boyai-Gervin secondo cui due poligoni di dimensioni uguali sono ugualmente composti (il contrario è ovvio), e poi il terzo problema di Hilbert: un'affermazione simile è vera per i poliedri? I compiti di taglio aiutano gli scolari a formare rappresentazioni geometriche il prima possibile su una varietà di materiali. Quando si risolvono tali problemi, c'è una sensazione di bellezza, legge e ordine in natura. La raccolta "Problemi per il taglio" è divisa in due sezioni. Per risolvere i problemi della prima sezione, gli studenti non avranno bisogno della conoscenza delle basi della planimetria, ma avranno bisogno di ingegnosità, immaginazione geometrica e informazioni geometriche abbastanza semplici note a tutti. La seconda sezione è compiti facoltativi. Questi includevano compiti, la cui soluzione richiederà la conoscenza delle informazioni geometriche di base sulle figure, le loro proprietà e caratteristiche, la conoscenza di alcuni teoremi. Ogni sezione è suddivisa in paragrafi, in cui abbiamo cercato di combinare compiti su un argomento, e questi, a loro volta, sono divisi in lezioni contenenti ciascuno compiti omogenei in ordine di difficoltà crescente. La prima sezione contiene otto paragrafi. 1. Compiti su carta a scacchi. Questa sezione contiene problemi in cui il taglio delle figure (principalmente quadrati e rettangoli) va lungo i lati delle celle. Il paragrafo contiene 4 lezioni, le consigliamo per lo studio da parte di studenti di 5a elementare.

6 6 Introduzione 2. Pentomino. Questo paragrafo contiene compiti relativi alle figure del pentamino, quindi per queste lezioni è consigliabile distribuire ai bambini i set di queste figure. Ci sono due lezioni qui, le consigliamo per lo studio da parte di studenti di 5-6 classi. 3. Compiti di taglio difficili. Qui sono raccolte attività per il taglio di forme di una forma più complessa, ad esempio con bordi che sono archi e attività più complesse per il taglio. Ci sono due lezioni in questo paragrafo, raccomandiamo che vengano insegnate in seconda media. 4. Dividere l'aereo. Qui vengono raccolti problemi in cui è necessario trovare solide partizioni di rettangoli in tessere rettangolari, problemi per la compilazione di parquet, problemi per l'impacchettamento più denso di forme in un rettangolo o quadrato. Ti consigliamo di studiare questo paragrafo nelle classi 6-7. 5. Tangram. Qui vengono raccolte le attività relative all'antico puzzle cinese "Tangram". Per questa lezione è auspicabile avere questo puzzle, almeno di cartone. Questa sezione è consigliata per studiare in quinta elementare. 6. Problemi per il taglio nello spazio. Qui, gli studenti vengono introdotti allo sviluppo di un cubo, una piramide triangolare, vengono tracciati paralleli e vengono mostrate differenze tra figure su un piano e corpi tridimensionali, il che significa differenze nella risoluzione dei problemi. Il paragrafo contiene una lezione, che raccomandiamo per lo studio da parte di studenti di 6a elementare. 7. Compiti per la colorazione. Mostra come colorare una forma aiuta a risolvere un problema. Non è difficile dimostrare che la soluzione del problema di tagliare una figura in parti è possibile, è sufficiente fornire un modo per tagliare. Ma dimostrare che il taglio è impossibile è più difficile. Colorare la figura ci aiuta a farlo. Ci sono tre lezioni in questo paragrafo. Li consigliamo per lo studio da parte di studenti della seconda media. 8. Compiti con colorazione nella condizione. Qui sono raccolti i compiti in cui è necessario colorare una figura in un certo modo, rispondere alla domanda: quanti colori sono necessari per tale colorazione (il numero più piccolo o più grande), ecc. Ci sono sette lezioni nel paragrafo. Li consigliamo per lo studio da parte di studenti della seconda media. La seconda sezione include attività che possono essere risolte in classi aggiuntive. Contiene tre paragrafi.

7 Introduzione 7 9. Trasformazione delle figure. Contiene compiti in cui una figura viene tagliata in parti da cui è composta un'altra figura. Ci sono tre lezioni in questo paragrafo, la prima tratta della "trasformazione" di varie figure (qui sono raccolti compiti abbastanza facili), e la seconda lezione tratta della geometria della trasformazione di un quadrato. 10. Diversi compiti per il taglio. Ciò include varie attività di taglio che vengono risolte con vari metodi. Ci sono tre lezioni in questa sezione. 11. L'area delle figure. Ci sono due lezioni in questa sezione. Nella prima lezione vengono considerati i problemi, nella cui soluzione è necessario tagliare le figure in parti, e quindi dimostrare che le figure sono ugualmente composte, nella seconda lezione, problemi nella cui soluzione è necessario utilizzare le proprietà delle aree delle figure.

8 Sezione 1 1. Compiti su carta a quadretti Lezione 1.1 Argomento: Compiti per il taglio su carta a quadretti. Scopo: sviluppare abilità combinatorie (considerare vari modi di costruire una linea di figure tagliate, le regole che consentono di non perdere soluzioni durante la costruzione di questa linea), sviluppare idee sulla simmetria. Risolviamo problemi nella lezione, problema 1.5 per la casa Il quadrato contiene 16 celle. Dividi il quadrato in due parti uguali in modo che la linea di taglio corra lungo i lati delle celle. (Le modalità di taglio di un quadrato in due parti saranno considerate diverse se le parti del quadrato ottenute con un metodo di taglio non sono uguali alle parti ottenute con un altro metodo.) Quante soluzioni ha il problema? Istruzione. Trovare diverse soluzioni a questo problema non è così difficile. Sulla fig. 1, alcuni di essi sono mostrati e le soluzioni b) ec) sono le stesse, poiché le figure ottenute in esse possono essere combinate per sovrapposizione (se si ruota il quadrato c) di 90 gradi). Riso. 1 Ma trovare tutte le soluzioni e non perderne nessuna è già più difficile. Si noti che la linea tratteggiata che divide il quadrato in due parti uguali è simmetrica rispetto al centro del quadrato, questa osservazione ci permette di fare un passo

9 Lezione per passo per disegnare una polilinea da due estremità. Ad esempio, se l'inizio della polilinea è nel punto A, la sua fine sarà nel punto B (Fig. 2). Assicurarsi che per questo problema, l'inizio e la fine della polilinea possano essere disegnati in due modi, mostrati in Fig. 2. Quando costruisci una linea spezzata, per non perdere alcuna soluzione, puoi seguire questa regola. Se il collegamento successivo della polilinea può essere disegnato in due modi, prima devi preparare un secondo disegno simile ed eseguire questo passaggio su un disegno nel primo modo e sull'altro nel secondo (la Fig. 3 mostra due continuazioni della Fig. 2 (a)). Allo stesso modo, devi agire quando non ci sono due, ma tre metodi (la Fig. 4 mostra tre continuazioni della Fig. 2 (b)). La procedura specificata aiuta a trovare tutte le soluzioni. Riso. 2 fig. 3 Rice Rectangle 3 4 contiene 12 celle. Trova cinque modi per tagliare un rettangolo in due parti uguali in modo che la linea di taglio vada lungo i lati delle celle (i metodi di taglio sono considerati diversi se le parti ottenute con un metodo di taglio non sono uguali alle parti ottenute con un altro metodo) Rettangolo 3 5 contiene 15 celle e una cella centrale rimossa. Trova cinque modi per tagliare la figura rimanente

10 10 1. I compiti su carta a scacchi sono divisi in due parti uguali in modo che la linea di taglio vada lungo i lati delle celle Il quadrato 6 6 è diviso in 36 quadrati identici. Trova cinque modi per tagliare un quadrato in due parti uguali in modo che la linea di taglio vada lungo i lati dei quadrati Il problema 1.4 ha oltre 200 soluzioni. Trovane almeno 15. Lezione 1.2 Argomento: Problemi per il taglio su carta a quadretti. Scopo: continuare a sviluppare idee sulla simmetria, preparazione per l'argomento "Pentamino" (considerazione di varie figure che possono essere costruite da cinque celle). Problemi È possibile tagliare un quadrato di 5 5 celle in due parti uguali in modo che la linea di taglio vada lungo i lati delle celle? Giustifica la tua risposta Dividi il quadrato 4 4 in quattro parti uguali in modo che la linea di taglio corra lungo i lati delle celle. Quanti modi diversi di tagliare riesci a trovare? 1.8. Dividi la figura (Fig. 5) in tre parti uguali in modo che la linea di taglio corri lungo i lati dei quadrati. Riso. 5 fig. Fig. 6 Dividere la figura (Fig. 6) in quattro parti uguali in modo che la linea di taglio vada lungo i lati dei quadrati Dividere la figura (Fig. 7) in quattro parti uguali in modo che le linee di taglio vadano lungo i lati del quadrato piazze. Trova quante più soluzioni possibili.

11 Lezione Dividi un quadrato di 5 5 celle con una cella centrale ritagliata in quattro parti uguali. Lezione 1.3 Argomento: Problemi di taglio su carta a quadretti. Scopo: continuare a sviluppare idee sulla simmetria (assiale, centrale). Compiti Tagliare le sagome mostrate in fig. 8, in due parti uguali lungo le linee della griglia, e in ciascuna delle parti dovrebbe esserci un cerchio. Riso. 8 Figura Le figure riportate in fig. 9, è necessario tagliare lungo le linee della griglia in quattro parti uguali in modo che vi sia un cerchio in ogni parte. Come farlo? Tagliare la figura mostrata in Fig. 10, lungo le linee della griglia in quattro parti uguali e piegarle in un quadrato in modo che i cerchi e le stelle siano disposti simmetricamente attorno a tutti gli assi di simmetria del quadrato. Riso. 10

12 12 1. Compiti su carta a scacchi Taglia questo quadrato (Fig. 11) lungo i lati delle celle in modo che tutte le parti abbiano la stessa dimensione e forma e ciascuna contenga un cerchio e un asterisco. 12 in quattro parti identiche in modo che ciascuna di esse contenga tre celle piene. Lezione 1.4 11 fig. 12 Argomento: Problemi per il taglio su carta a quadretti. obiettivo: impara a tagliare un rettangolo in due parti uguali, da cui puoi aggiungere un quadrato, un altro rettangolo. Impara a determinare da quali rettangoli, tagliandoli, puoi creare un quadrato. Compiti Compiti aggiuntivi 1.23, 1.24 (questi compiti possono essere considerati all'inizio della lezione per il riscaldamento) Taglia il rettangolo 4 9 celle lungo i lati delle celle in due parti uguali in modo che possano essere piegate in un quadrato Può un rettangolo 4 8 celle essere tagliato in due parti lungo i lati delle celle in modo che possano formare un quadrato? Da un rettangolo di 10 7 celle è stato ritagliato un rettangolo di 1 6 celle, come mostrato in Fig. 13. Taglia la figura risultante in due parti in modo che possano essere piegate in un quadrato Le figure piene sono state ritagliate da un rettangolo di 8 9 celle, come mostrato in fig. 14. Taglia la figura risultante in due parti uguali in modo da poter aggiungere un rettangolo di 6 10 da esse.

13 Lezione Fig. 13 Riso Un quadrato di 5 celle è disegnato su carta a quadretti. Mostra come tagliarlo lungo i lati delle celle in 7 diversi rettangoli Tagliare il quadrato in 5 rettangoli lungo i lati delle celle in modo che tutti e dieci i numeri che esprimono le lunghezze dei lati dei rettangoli siano numeri interi diversi Dividere le figure mostrate in fig . 15, in due parti uguali. (Puoi tagliare non solo lungo le linee cellulari, ma anche lungo le loro diagonali.) Fig. 15

14 14 2. Pentomino Ritaglia le figure di fig. 16, in quattro parti uguali. 2. Pentamino Fig. 16 Lezione 2.1 Argomento: Pentomino. Scopo: sviluppo delle abilità combinatorie degli studenti. Compiti Figure di domino, tromino, tetramino (un gioco con tali figure si chiama Tetris), i pentamini sono composti da due, tre, quattro, cinque quadrati in modo che ogni quadrato abbia un lato comune con almeno un quadrato. Da due quadrati identici si può ricavare solo una figura del domino (vedi Fig. 17). Le figure del trimino possono essere ottenute da una singola figura del domino attaccandovi un altro quadrato in vari modi. Otterrete due figure di tromino (Fig. 18). Riso. 17 Riso Fai tutti i tipi di figure di tetramino (dalla parola greca "tetra" quattro). Quanti ne hanno presi? (Le forme ottenute per rotazione o visualizzazione simmetrica da qualsiasi altra non sono considerate nuove).

15 Lezione Realizza tutte le possibili figure di pentamino (dal greco "penta" cinque). Quanti ne hanno presi? 2.3. Componi le figure mostrate in Fig. 19, da statuine di pentamino. Quante soluzioni ha il problema per ogni figura? Figura Piega un rettangolo di 3 5 pezzi di pentamino. Quante soluzioni diverse otterrai? 2.5. Componi le figure mostrate in Fig. 20, da statuine pentamino. Riso. 20

16 16 2. Pentomino Lezione 2.2 Argomento: Pentomino. Scopo: sviluppo di idee sulla simmetria. Problemi Nel problema 2.2 abbiamo composto tutti i possibili pentamini. Guardali in fig. 21. fig. 21 La figura 1 gode della seguente proprietà. Se viene ritagliato dalla carta e piegato lungo una linea retta a (Fig. 22), una parte della figura coinciderà con l'altra. Si dice che la figura sia simmetrica rispetto al rettilineo un asse di simmetria. Anche la figura 12 ha un asse di simmetria, anche due di esse sono rette b e c, mentre la figura 2 non ha assi di simmetria. Figura Quanti assi di simmetria ha ogni figura di pentamino? 2.7. Di tutte le 12 figure pentamino, piega un rettangolo.I pezzi asimmetrici possono essere girati.Piega un rettangolo 6 10 di dodici figure pentamino, e in modo che ogni elemento tocchi un lato di questo rettangolo.

Lezione 17 Ritaglia il rettangolo mostrato in fig. 23 (a), lungo le linee interne in due di queste parti, da cui è possibile piegare una figura con tre fori quadrati delle dimensioni di una cella (Fig. 23 (b)). Fig. Dalle figure del pentamino, piega un quadrato 8 8 con un quadrato 2 2 ritagliato al centro Trova diverse soluzioni Dodici pentamini sono disposti in un rettangolo Ripristina i confini delle figure (Fig. 24) se ogni stella cade esattamente un pentamino. Riso. 24 Figura Dodici pentamini sono impilati in una scatola da 12 10 come mostrato in fig. 25. Prova a posizionare un'altra serie di pentamini sul campo libero rimanente.

18 18 3. Problemi di taglio difficili 3. Problemi di taglio difficili Lezione 3.1 Argomento: Problemi per il taglio di sagome di forma più complessa con contorni che sono archi. Scopo: imparare a tagliare forme di una forma più complessa con bordi che sono archi e creare un quadrato dalle parti risultanti. Compiti In fico. 26 mostra 4 figure. Con un taglio, dividili ciascuno in due parti e ricavane un quadrato. La carta a scacchi faciliterà la risoluzione del problema. Riso Tagliare il quadrato 6 6 in parti, aggiungere le figure mostrate in fig. 27. Fig. 27

19 lezione 28 mostra parte delle mura della fortezza. Una delle pietre ha una forma così bizzarra che se la estrai dal muro e la metti diversamente, il muro diventerà uniforme. Disegna questa pietra Per cosa verrà utilizzata altra vernice: dipingere un quadrato o questo insolito anello (Fig. 29)? Riso. 28 Riso Tagliare il vaso mostrato in fig. 30, in tre parti, dalle quali si può ripiegare un rombo. Riso. 30 fig. 31 fig. 32 Lezione 3.2 Argomento: Problemi di taglio più complessi. Obiettivo: Esercitarsi a risolvere problemi di taglio più complessi. Risolviamo i problemi nella lezione, problema 3.12 per casa Taglia la figura (Fig. 31) con due tagli dritti in tali parti da cui puoi aggiungere un quadrato 32 figura in quattro parti uguali, da cui sarebbe possibile aggiungere un quadrato Tagliare la lettera E, mostrata in fig. 33, in cinque parti e piegarle a quadrato. Non capovolgere le parti

20 20 4. È consentito dividere il piano. È possibile cavarsela con quattro parti, se si permette che le parti vengano capovolte? 3.9. La croce, composta da cinque quadrati, deve essere tagliata in tali parti, dalle quali sarebbe possibile ricavare un quadrato di uguali dimensioni (cioè di uguale area) Vengono fornite due scacchiere: una ordinaria, in 64 celle e un altro in 36 celle. È necessario tagliare ciascuno di essi in due parti in modo che da tutte e quattro le parti ottenute per creare una nuova scacchiera di celle.L'ebanista ha un pezzo di una scacchiera di 7 7 celle di pregiato mogano. Vuole senza sprecare materiale e strisciando Fig. 33 tagli solo lungo i bordi delle celle, taglia la tavola in 6 parti in modo da formare tre nuovi quadrati, tutti di dimensioni diverse. Come farlo? È possibile risolvere il Problema 3.11 se il numero di parti deve essere 5 e la lunghezza totale dei tagli è 17? 4. Divisione di un piano Lezione 4.1 Argomento: Partizioni solide di rettangoli. Scopo: imparare a costruire solide partizioni di rettangoli con tessere rettangolari. Rispondi alla domanda in quali condizioni il rettangolo ammette una tale divisione del piano. I compiti (a) sono risolti durante la lezione. Le attività 4.5 (b), 4.6, 4.7 possono essere lasciate a casa. Supponiamo di avere una scorta illimitata di 2 1 tessere rettangolari e di volerle utilizzare per stendere un pavimento rettangolare, senza che due tessere si sovrappongano Posare 2 1 tessere sul pavimento in una stanza di 5 6. È chiaro che se pavimento in una stanza rettangolare p q è piastrellato 2 1, quindi p q è pari (poiché l'area è divisibile per 2). E viceversa: se p q è pari, allora il pavimento può essere posato con piastrelle 2 1.

21 Lezione Infatti, in questo caso uno dei numeri p o q deve essere pari. Se, ad esempio, p = 2r, allora il pavimento può essere disposto come mostrato in Fig. 34. Ma in tali parquet ci sono linee di rottura che attraversano l'intera "stanza" da parete a parete, ma non attraversano le piastrelle. Ma in pratica vengono utilizzati parquet senza tali linee: parquet massicci. Fig Disporre le piastrelle 2 1 parquet massiccio della stanza Provare a trovare una piastrellatura continua 2 1 a) rettangolo 4 6; b) quadro posa piastrelle 2 1 parquet massello a) vani 5 8; b) vani 6 8. Si pone naturalmente la questione per quale p e q il rettangolo p q ammette una partizione continua in tasselli 2 1? Conosciamo già le condizioni necessarie: 1) p q è divisibile per 2, 2) (p, q) (6, 6) e (p, q) (4, 6). Si può verificare anche un'altra condizione: 3) p 5, q 5. Risulta che anche queste tre condizioni risultano sufficienti. Piastrelle di altri formati Posare piastrelle 3 2 senza fughe a) rettangolo 11 18; b) rettangolo Disporre senza spazi vuoti, se possibile, un quadrato con tessere È possibile, prendendo un quadrato di carta a quadretti che misura 5 5 celle, ritagliarne 1 cella in modo che il resto possa essere tagliato in lastre di 1 3 cellule? Lezione 4.2 Argomento: Parquet.

22 22 4. Dividere il piano Scopo: Imparare a ricoprire il piano con varie figure (inoltre i parquet possono essere con linee spezzate o pieni), o dimostrare che ciò è impossibile. Problemi Una delle domande più importanti nella teoria della partizione di un piano è: "Che forma dovrebbe avere una piastrella in modo che le sue copie possano coprire il piano senza lacune e doppi rivestimenti?" Mi vengono subito in mente alcune forme ovvie. Si può dimostrare che ci sono solo tre poligoni regolari che possono coprire il piano. Questo è un triangolo equilatero, quadrato ed esagono (vedi Fig. 35). C'è un numero infinito di poligoni irregolari che possono ricoprire il piano. Fig Dividere un triangolo ottuso arbitrario in quattro triangoli uguali e simili. Nel problema 4.8 dividiamo il triangolo in quattro triangoli uguali e simili. Ciascuno dei quattro triangoli risultanti può a sua volta essere diviso in quattro triangoli uguali e simili, ecc. Se ci muoviamo nella direzione opposta, cioè aggiungiamo quattro triangoli ottusi uguali in modo da ottenere un triangolo simile a loro, ma quattro volte più grande , ecc., quindi tali triangoli possono affiancare l'aereo. Il piano può essere coperto con altre figure, ad esempio trapezi, parallelogrammi Coprire il piano con le stesse figure mostrate in fig. 36.

23 Lezione Affiancare il piano con le stesse "parentesi" mostrate in fig. 37. fig. 36 Riso Ci sono quattro quadrati con un lato di 1, otto con un lato di 2, dodici con un lato di 3. Puoi farne un quadrato grande? È possibile piegare un quadrato di qualsiasi dimensione dalle tessere di legno indicate in fig. 38 tipi, utilizzando tessere di entrambi i tipi? Lezione 4.3 Argomento: Problemi dell'imballaggio più denso. Riso. 38 Scopo: formare il concetto di soluzione ottimale. Compiti Qual è il maggior numero di strisce di dimensione 1 5 celle che possono essere ritagliate da un quadrato di carta a scacchi 8 8 celle? Il maestro ha un foglio di latta quadrato. sm. Il maestro vuole ritagliare il maggior numero possibile di spazi rettangolari di 3 5 metri quadrati. sm. Aiutalo È possibile tagliare il rettangolo della cella in rettangoli di dimensioni 5 7 senza lasciare residui? Se possibile, come? Se no, perché no? Su un foglio di carta a scacchi, segna i tagli con la dimensione delle celle, con l'aiuto del quale puoi ottenere tante figure intere come mostrato in Fig. 39. Le figure raffigurate in fig. 39 (b, d), può essere girato.

24 24 5. Tangram Riso Tangram Lezione 5.1 Argomento: Tangram. Scopo: introdurre gli studenti al puzzle cinese "Tangram". Pratica la ricerca geometrica, il design. Sviluppare abilità combinatorie. Problemi Parlando di problemi di taglio, non si può non citare l'antico puzzle cinese "Tangram", sorto in Cina 4mila anni fa. In Cina si chiama "chi tao tu", cioè un puzzle mentale di sette pezzi. Linee guida. Per condurre questa lezione, è auspicabile avere delle dispense: un puzzle (che gli studenti stessi possono realizzare), disegni di figure che devono essere piegate. Figura Crea tu stesso un puzzle: trasferisci un quadrato diviso in sette parti (Fig. 40) su carta spessa e taglialo Utilizzando tutte e sette le parti del puzzle, crea le figure mostrate in fig. 41.

25 Lezione Fig. 41 fig. 42 Linee guida. Ai bambini possono essere forniti disegni delle figure a), b) a grandezza naturale. E così lo studente può risolvere il problema inserendo parti dei puzzle sul disegno della figura e quindi selezionando le parti giuste, il che semplifica il compito. E disegni di figure

26 26 6. I problemi per il taglio nello spazio c), d) possono essere dati in scala minore; di conseguenza, questi compiti saranno più difficili da risolvere. Sulla fig. Vengono fornite altre 42 figure per l'autocompilazione Prova a inventare la tua figura usando tutte e sette le parti del tangram Nel tangram, tra le sue sette parti, ci sono già triangoli di diverse dimensioni. Ma dalle sue parti puoi ancora aggiungere vari triangoli. Piega un triangolo usando quattro parti di un tangram: a) un triangolo grande, due triangoli piccoli e un quadrato; b) un triangolo grande, due triangoli piccoli e un parallelogramma; c) un triangolo grande, un triangolo centrale e due triangoli piccoli Puoi fare un triangolo usando solo due parti di un tangram? Tre parti? Cinque parti? Sei parti? Tutte e sette le parti del tangram? 5.6. È ovvio che un quadrato è composto da tutte e sette le parti del tangram. È possibile o impossibile fare un quadrato di due parti? Su tre? Su quattro? 5.7. Quali diverse parti di un tangram possono essere utilizzate per creare un rettangolo? Quali altri poligoni convessi possono essere realizzati? 6. Problemi per il taglio nello spazio Lezione 6.1 Argomento: Problemi per il taglio nello spazio. Scopo: sviluppare l'immaginazione spaziale. Impara a costruire uno sweep di una piramide triangolare, un cubo, determina quali sweep sono errati. Esercitati a risolvere problemi per tagliare corpi nello spazio (la soluzione di tali problemi differisce dalla risoluzione di problemi per tagliare forme su un piano). Compiti Pinocchio aveva la carta, su un lato incollato con polietilene. Ha realizzato il pezzo mostrato in Fig. 43 per incollare sacchi di latte (piramidi triangolari). E la volpe Alice può fare un altro vuoto. Che cosa?

27 Lezione Rice Cat Basilio ha ricevuto anche questo foglio, ma vuole incollare dei cubetti (sacchetti di kefir). Ha realizzato gli spazi vuoti mostrati in Fig. 44. E la volpe Alice dice che alcuni possono essere buttati via subito, perché non sono buoni. Ha ragione? La Piramide di Cheope ha un quadrato alla base e le sue facce laterali sono triangoli isosceli uguali. Pinocchio si arrampicò e misurò l'angolo del bordo in alto (AMD, in Fig. 45). Si è scoperto 100. E la volpe Alice dice che si è surriscaldato al sole, perché questo non può essere. Ha ragione? 6.4. Qual è il numero minimo di tagli piatti necessari per dividere un cubo in 64 cubetti? Dopo ogni taglio, è consentito spostare le parti del cubo a piacere.Il cubo di legno è stato dipinto all'esterno con vernice bianca, quindi ciascuno dei suoi bordi Fig. 45 è stato diviso in 5 parti uguali, dopodiché è stato segato in modo da ottenere dei piccoli cubi, in cui lo spigolo è 5 volte più piccolo di quello del cubo originario. Quanti cubetti ci sono? Quanti cubi hanno tre lati dipinti? Due bordi? Un bordo? Quanti cubi non verniciati sono rimasti? 6.6. L'anguria è stata tagliata in 4 pezzi e mangiata. Si sono rivelate 5 croste. Potrebbe essere?

28 28 7. Compiti per colorare 6.7. Qual è il numero massimo di pezzi in cui può essere tagliato un pancake con tre tagli diritti? Quanti pezzi si possono ottenere con tre tagli di una pagnotta? 7. Compiti per colorare Lezione 7.1 Argomento: colorare aiuta a risolvere i problemi. Scopo: imparare a dimostrare che alcuni problemi di taglio non hanno soluzioni, utilizzando una colorazione ben scelta (ad esempio, colorare a scacchiera), migliorando così la cultura logica degli studenti. Problemi Non è difficile dimostrare che la soluzione del problema di tagliare una figura in parti è possibile: è sufficiente fornire un metodo di taglio. Trovare tutte le soluzioni, cioè tutti i modi di tagliare, è già più difficile. E dimostrare che il taglio è impossibile è anche abbastanza difficile. In alcuni casi, la colorazione della figura ci aiuta in questo: abbiamo preso un quadrato di carta a scacchi di 8 8, ritagliato due celle (in basso a sinistra e in alto a destra). È possibile coprire completamente la figura risultante con rettangoli "domino" 1 2? 7.2. Sulla scacchiera c'è una figura a “cammello”, che muove tre caselle in verticale e una in orizzontale, oppure tre in orizzontale e una in verticale, ad ogni mossa. Può un "cammello" dopo aver effettuato diverse mosse entrare in una cella adiacente al suo lato originale? 7.3. C'è uno scarafaggio in ogni cella del quadrato 5 5. A comando, ogni scarafaggio strisciava su una delle celle adiacenti sul lato. Può quindi risultare che esattamente un coleottero siederà di nuovo in ogni cella? E se il quadrato originale avesse dimensioni 6 6? 7.4. È possibile tagliare un quadrato di carta a scacchi 4x4 in un piedistallo, un quadrato, una colonna e uno zigzag (Fig. 46)?

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1. Una figura è stata disegnata su carta a scacchi. Dividilo in 4 uguali
parti lungo le linee di carta a quadretti. Trova tutte le possibili figure per le quali
puoi tagliare questa cifra in base alle condizioni del problema.
Soluzione.
2. Dal quadrato 5 5 ritagliare la cella centrale. Taglia il risultato
figura in due parti uguali in due modi.
Soluzione.

3. Dividi il rettangolo 3×4 in due parti uguali. Scopri come puoi
più modi. Puoi tagliare solo lungo il lato di un quadrato 1 × 1 e metodi
sono considerati diversi se le cifre risultanti non sono uguali per ciascuno
modo.
Soluzione.
4. Taglia la figura mostrata nella figura in 2 parti uguali.
Soluzione.
5. Taglia la figura mostrata nella figura in 2 parti uguali.

Soluzione.
6. Taglia la figura mostrata nella figura in due parti uguali lungo
linee della griglia e in ciascuna delle parti dovrebbe esserci un cerchio.
Soluzione.
7. Taglia la figura mostrata nella figura in quattro parti uguali

Soluzione.

8. Taglia la figura mostrata nella figura in quattro parti uguali
lungo le linee della griglia e in ciascuna delle parti dovrebbe esserci un cerchio.
Soluzione.
9. Taglia questo quadrato lungo i lati delle celle in modo che tutte le parti
essere della stessa dimensione e forma, e che ciascuno ne contenga uno
boccale e croce.
Soluzione.

10. Taglia la figura mostrata nella figura lungo le linee della griglia in
quattro parti uguali e piegarle in un quadrato in modo che i cerchi e le croci
situato simmetricamente attorno a tutti gli assi di simmetria del quadrato.
Soluzione.
11. Tagliare in quattro le celle quadrate 6  6 mostrate nella figura
parti identiche in modo che ciascuna di esse contenga tre celle piene.

Soluzione.
12. È possibile tagliare un quadrato in quattro parti in modo che ogni parte
era in contatto con le altre tre (le parti sono in contatto se hanno un comune
zona di confine)?
Soluzione.
13. È possibile tagliare un rettangolo di 9 4 celle in due parti uguali lungo

allora come fare?
La soluzione L'area di un tale quadrato è di 36 celle, cioè il suo lato è 6
cellule. Il metodo di taglio è mostrato nella figura.

14. È possibile tagliare un rettangolo di 5 10 celle in due parti uguali lungo
i lati delle celle in modo che potessero formare un quadrato? Se si,
allora come fare?
La soluzione L'area di un tale quadrato è di 50 celle, cioè il suo lato è
più di 7, ma meno di 8 cellule intere. Quindi, per tagliare un tale rettangolo
nel modo richiesto sui lati delle celle è impossibile.
15. C'erano 9 fogli di carta. Alcuni di loro sono stati tagliati in tre parti. Totale
sono diventati 15 fogli. Quanti fogli di carta sono stati tagliati?
Soluzione Tagliare 3 fogli: 3 ∙ 3 + 6 = 15.