Angolo tra vettori nella formula spaziale. Prodotto scalare di vettori

La lunghezza di un vettore, l'angolo tra i vettori: questi concetti sono naturalmente applicabili e intuitivi quando si definisce un vettore come un segmento di una determinata direzione. Di seguito impareremo come determinare l'angolo tra i vettori nello spazio tridimensionale, il suo coseno e considereremo la teoria utilizzando esempi.

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Per considerare il concetto di angolo tra vettori, passiamo a un'illustrazione grafica: definiamo due vettori a → e b → su un piano o nello spazio tridimensionale, che sono diversi da zero. Fissiamo anche un punto arbitrario O e tracciamo i vettori O A → = b → e O B → = b → da esso

Definizione 1

Angolo tra i vettori a → e b → è l'angolo tra i raggi O A e O B.

Indicheremo l'angolo risultante come segue: a → , b → ^

Ovviamente l'angolo può assumere valori da 0 a π oppure da 0 a 180 gradi.

a → , b → ^ = 0 quando i vettori sono codirezionali e a → , b → ^ = π quando i vettori sono diretti in modo opposto.

Definizione 2

I vettori sono chiamati perpendicolare, se l'angolo tra loro è 90 gradi o π 2 radianti.

Se almeno uno dei vettori è zero, allora l'angolo a → , b → ^ non è definito.

Il coseno dell'angolo tra due vettori, e quindi l'angolo stesso, può solitamente essere determinato utilizzando il prodotto scalare di vettori o utilizzando il teorema del coseno per un triangolo costruito da due vettori dati.

Secondo la definizione, il prodotto scalare è a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Se i vettori dati a → e b → sono diversi da zero, allora possiamo dividere i lati destro e sinistro dell'uguaglianza per il prodotto delle lunghezze di questi vettori, ottenendo così una formula per trovare il coseno dell'angolo compreso tra non- zero vettori:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →

Questa formula viene utilizzata quando i dati di origine includono le lunghezze dei vettori e il relativo prodotto scalare.

Esempio 1

Dati iniziali: vettori a → e b →. Le loro lunghezze sono rispettivamente 3 e 6 e il loro prodotto scalare è - 9. È necessario calcolare il coseno dell'angolo tra i vettori e trovare l'angolo stesso.

Soluzione

I dati iniziali sono sufficienti per applicare la formula ottenuta sopra, quindi cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Ora determiniamo l'angolo tra i vettori: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Risposta: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Più spesso si verificano problemi in cui i vettori sono specificati da coordinate in un sistema di coordinate rettangolari. In questi casi è necessario derivare la stessa formula, ma in forma di coordinate.

La lunghezza di un vettore è definita come la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate e il prodotto scalare dei vettori è uguale alla somma dei prodotti delle coordinate corrispondenti. Quindi la formula per trovare il coseno dell'angolo tra i vettori sul piano a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) è simile alla seguente:

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

E la formula per trovare il coseno dell'angolo tra i vettori nello spazio tridimensionale a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) sarà simile a: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Esempio 2

Dati iniziali: vettori a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) in un sistema di coordinate rettangolari. È necessario determinare l'angolo tra loro.

Soluzione

1. Per risolvere il problema possiamo applicare subito la formula:

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = arc cos (- 1 70) = - arc cos 1 70

1. Puoi anche determinare l'angolo usando la formula:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

ma prima calcola le lunghezze dei vettori e il prodotto scalare mediante le coordinate: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - ar c cos 1 70

Risposta: a → , b → ^ = - a rc cos 1 70

Sono comuni anche i compiti in cui le coordinate di tre punti sono fornite in un sistema di coordinate rettangolare ed è necessario determinare un angolo. E quindi, per determinare l'angolo tra vettori con determinate coordinate di punti, è necessario calcolare le coordinate dei vettori come differenza tra i punti corrispondenti dell'inizio e della fine del vettore.

Esempio 3

Dati iniziali: i punti A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2) sono indicati sul piano in un sistema di coordinate rettangolari. È necessario determinare il coseno dell'angolo tra i vettori A C → e B C →.

Soluzione

Troviamo le coordinate dei vettori dalle coordinate dei punti indicati A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, - 4)

Ora usiamo la formula per determinare il coseno dell'angolo tra i vettori su un piano in coordinate: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Risposta: cos A C → , B C → ^ = 3 13

L'angolo tra i vettori può essere determinato utilizzando il teorema del coseno. Mettiamo da parte i vettori O A → = a → e O B → = b → dal punto O, quindi, secondo il teorema del coseno nel triangolo O A B, l'uguaglianza sarà vera:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,

che equivale a:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

e da qui ricaviamo la formula per il coseno di un angolo:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

Per applicare la formula risultante, abbiamo bisogno delle lunghezze dei vettori, che possono essere facilmente determinate dalle loro coordinate.

Sebbene avvenga questo metodo, la formula è ancora più spesso utilizzata:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

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Prodotto scalare di vettori (di seguito denominato SP). Cari amici! L'esame di matematica comprende un gruppo di problemi sulla risoluzione dei vettori. Abbiamo già considerato alcuni problemi. Puoi vederli nella categoria "Vettori". In generale, la teoria dei vettori non è complicata, l'importante è studiarla in modo coerente. I calcoli e le operazioni con i vettori nel corso di matematica scolastica sono semplici, le formule non sono complicate. Dare un'occhiata a. In questo articolo analizzeremo i problemi sugli SP dei vettori (inclusi nell'Esame di Stato Unificato). Ora “immersione” nella teoria:

H Per trovare le coordinate di un vettore, devi sottrarre dalle coordinate della sua estremitàle coordinate corrispondenti della sua origine

E inoltre:

*La lunghezza del vettore (modulo) è determinata come segue:

Queste formule vanno ricordate!!!

Mostriamo l'angolo tra i vettori:

È chiaro che può variare da 0 a 180 0(o in radianti da 0 a Pi).

Possiamo trarre alcune conclusioni sul segno del prodotto scalare. Le lunghezze dei vettori hanno valore positivo, questo è ovvio. Ciò significa che il segno del prodotto scalare dipende dal valore del coseno dell'angolo compreso tra i vettori.

Casi possibili:

1. Se l'angolo tra i vettori è acuto (da 0 0 a 90 0), il coseno dell'angolo avrà un valore positivo.

2. Se l'angolo tra i vettori è ottuso (da 90 0 a 180 0), il coseno dell'angolo avrà un valore negativo.

*A zero gradi, cioè quando i vettori hanno la stessa direzione, il coseno è uguale a uno e, di conseguenza, il risultato sarà positivo.

A 180°, cioè quando i vettori hanno verso opposto, il coseno è uguale a meno uno,e di conseguenza il risultato sarà negativo.

Ora il PUNTO IMPORTANTE!

A 90°, cioè quando i vettori sono perpendicolari tra loro, il coseno è uguale a zero, e quindi l'SP è uguale a zero. Questo fatto (conseguenza, conclusione) viene utilizzato per risolvere molti problemi in cui si parla della posizione relativa dei vettori, compresi i problemi inclusi nei compiti di matematica della banca aperta.

Formuliamo l'affermazione: il prodotto scalare è uguale a zero se e solo se questi vettori giacciono su linee perpendicolari.

Quindi, le formule per i vettori SP:

Se si conoscono le coordinate dei vettori o le coordinate dei punti di inizio e di fine, è sempre possibile trovare l'angolo tra i vettori:

Consideriamo i compiti:

27724 Trova il prodotto scalare dei vettori aeb.

Possiamo trovare il prodotto scalare di vettori utilizzando una delle due formule:

L'angolo tra i vettori non è noto, ma possiamo facilmente trovare le coordinate dei vettori e quindi utilizzare la prima formula. Poiché le origini di entrambi i vettori coincidono con l'origine delle coordinate, le coordinate di questi vettori sono uguali alle coordinate delle loro estremità, cioè

Come trovare le coordinate di un vettore è descritto in.

Calcoliamo:

Risposta: 40

Troviamo le coordinate dei vettori e usiamo la formula:

Per trovare le coordinate di un vettore è necessario sottrarre le corrispondenti coordinate del suo inizio dalle coordinate della fine del vettore, il che significa

Calcoliamo il prodotto scalare:

Risposta: 40

Trova l'angolo tra i vettori a e b. Dai la tua risposta in gradi.

Supponiamo che le coordinate dei vettori abbiano la forma:

Per trovare l'angolo tra i vettori, utilizziamo la formula per il prodotto scalare dei vettori:

Coseno dell'angolo tra i vettori:

Quindi:

Le coordinate di questi vettori sono uguali:

Sostituiamoli nella formula:

L'angolo tra i vettori è di 45 gradi.

Risposta: 45

Angolo tra due vettori:

Se l'angolo tra due vettori è acuto, allora il loro prodotto scalare è positivo; se l'angolo tra i vettori è ottuso, il prodotto scalare di questi vettori è negativo. Il prodotto scalare di due vettori diversi da zero è uguale a zero se e solo se questi vettori sono ortogonali.

Esercizio. Trova l'angolo tra i vettori e

Soluzione. Coseno dell'angolo desiderato

16. Calcolo dell'angolo tra rette, retta e piano

Angolo formato da una retta e da un piano, intersecante questa linea e non perpendicolare ad essa, è l'angolo tra la linea e la sua proiezione su questo piano.

La determinazione dell'angolo tra una linea e un piano ci permette di concludere che l'angolo tra una linea e un piano è l'angolo tra due linee che si intersecano: la retta stessa e la sua proiezione sul piano. Pertanto l'angolo formato da una retta e da un piano è un angolo acuto.

L'angolo tra una retta perpendicolare e un piano è considerato uguale a , e l'angolo tra una retta parallela e un piano non è affatto determinato o è considerato uguale a .

§ 69. Calcolo dell'angolo tra rette.

Il problema del calcolo dell'angolo formato da due rette nello spazio si risolve allo stesso modo che nel piano (§ 32). Indichiamo con φ l'ampiezza dell'angolo tra le linee l 1 e l 2, e attraverso ψ - l'ampiezza dell'angolo tra i vettori di direzione UN E B queste linee rette.

Allora se

ψ 90° (Fig. 206.6), quindi φ = 180° - ψ. Ovviamente in entrambi i casi vale l'uguaglianza cos φ = |cos ψ|. Con la formula (1) § 20 abbiamo

quindi,

Le rette siano date dalle loro equazioni canoniche

Quindi l'angolo φ tra le linee viene determinato utilizzando la formula

Se una delle linee (o entrambe) è data da equazioni non canoniche, per calcolare l'angolo è necessario trovare le coordinate dei vettori di direzione di queste linee, quindi utilizzare la formula (1).

17. Rette parallele, Teoremi sulle rette parallele

Definizione. Si chiamano due rette in un piano parallelo, se non hanno punti comuni.

Si chiamano due linee nello spazio tridimensionale parallelo, se giacciono sullo stesso piano e non hanno punti in comune.

L'angolo tra due vettori.

Dalla definizione di prodotto scalare:

.

Condizione di ortogonalità di due vettori:

Condizione per la collinearità di due vettori:

.

Consegue dalla Definizione 5 - . Infatti, dalla definizione del prodotto di un vettore e un numero segue. Pertanto, in base alla regola di uguaglianza dei vettori, scriviamo , , , che implica . Ma il vettore risultante dalla moltiplicazione del vettore per il numero è collineare al vettore.

Proiezione di vettore su vettore:

.

Esempio 4. Dati i punti , , , .

Trova il prodotto scalare.

Soluzione. troviamo utilizzando la formula per il prodotto scalare di vettori specificati dalle loro coordinate. Perché il

, ,

Esempio 5. Dati i punti , , , .

Trova la proiezione.

Soluzione. Perché il

, ,

In base alla formula di proiezione, abbiamo

.

Esempio 6. Dati i punti , , , .

Trova l'angolo tra i vettori e .

Soluzione. Si noti che i vettori

, ,

non sono collineari perché le loro coordinate non sono proporzionali:

.

Anche questi vettori non sono perpendicolari, poiché il loro prodotto scalare è .

Cerchiamo

Angolo troviamo dalla formula:

.

Esempio 7. Determinare a quali vettori e collineare.

Soluzione. In caso di collinearità, le coordinate corrispondenti dei vettori e deve essere proporzionale, cioè:

.

Quindi e.

Esempio 8. Determinare a quale valore del vettore E perpendicolare.

Soluzione. Vettore e sono perpendicolari se il loro prodotto scalare è zero. Da questa condizione si ottiene: . Questo è, .

Esempio 9. Trovare , Se , , .

Soluzione. Per le proprietà del prodotto scalare abbiamo:

Esempio 10. Trova l'angolo tra i vettori e , dove e - vettori unitari e l'angolo tra i vettori e è pari a 120°.

Soluzione. Abbiamo: , ,

Infine abbiamo: .

5B. Grafica vettoriale.

Definizione 21.Grafica vettoriale vettore per vettore è chiamato vettore, o, definito dalle seguenti tre condizioni:

1) Il modulo del vettore è uguale a , dove è l'angolo tra i vettori e , cioè .

Ne consegue che il modulo del prodotto vettoriale è numericamente uguale all'area di un parallelogramma costruito su vettori ed entrambi i lati.

2) Il vettore è perpendicolare a ciascuno dei vettori e ( ; ), cioè perpendicolare al piano di un parallelogramma costruito sui vettori e .

3) Il vettore è diretto in modo tale che, se visto dalla sua estremità, il giro più breve da vettore a vettore sarebbe in senso antiorario (i vettori , , formano una tripla destrorsa).

Come calcolare gli angoli tra i vettori?

Quando si studia la geometria sorgono molte domande sul tema dei vettori. Lo studente incontra particolari difficoltà quando è necessario trovare gli angoli tra i vettori.

Termini di base

Prima di considerare gli angoli tra vettori, devi avere familiarità con la definizione di vettore e il concetto di angolo tra vettori.

Un vettore è un segmento che ha una direzione, cioè un segmento di cui sono definiti l'inizio e la fine.

L'angolo tra due vettori su un piano che hanno un'origine comune è il minore degli angoli pari alla quantità di cui uno dei vettori deve essere spostato attorno al punto comune finché le loro direzioni non coincidono.

Formula per la soluzione

Una volta capito cos'è un vettore e come viene determinato il suo angolo, puoi calcolare l'angolo tra i vettori. La formula risolutiva è abbastanza semplice e il risultato della sua applicazione sarà il valore del coseno dell'angolo. Secondo la definizione, è uguale al quoziente del prodotto scalare dei vettori e del prodotto delle loro lunghezze.

Il prodotto scalare dei vettori viene calcolato come la somma delle coordinate corrispondenti dei vettori dei fattori moltiplicate tra loro. La lunghezza di un vettore, o il suo modulo, si calcola come radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate.

Dopo aver ricevuto il valore del coseno dell'angolo, puoi calcolare il valore dell'angolo stesso utilizzando una calcolatrice o utilizzando una tabella trigonometrica.

Esempio

Una volta capito come calcolare l'angolo tra i vettori, risolvere il problema corrispondente diventerà semplice e chiaro. Ad esempio, vale la pena considerare il semplice problema di trovare il valore di un angolo.

Innanzitutto risulterà più conveniente calcolare i valori delle lunghezze vettoriali e del loro prodotto scalare necessari per la soluzione. Utilizzando la descrizione presentata sopra, otteniamo:

Sostituendo i valori ottenuti nella formula, calcoliamo il valore del coseno dell'angolo desiderato:

Questo numero non è uno dei cinque valori comuni del coseno, quindi per ottenere l'angolo dovrai utilizzare una calcolatrice o la tavola trigonometrica Bradis. Ma prima di ottenere l'angolo tra i vettori, la formula può essere semplificata per eliminare il segno negativo in più:

Per mantenere la precisione, la risposta finale può essere lasciata così com'è oppure è possibile calcolare il valore dell'angolo in gradi. Secondo la tabella Bradis, il suo valore sarà di circa 116 gradi e 70 minuti e la calcolatrice mostrerà un valore di 116,57 gradi.

Calcolo di un angolo nello spazio n-dimensionale

Quando si considerano due vettori nello spazio tridimensionale, è molto più difficile capire di quale angolo stiamo parlando se non giacciono sullo stesso piano. Per semplificare la percezione, puoi disegnare due segmenti intersecanti che formano tra loro l'angolo più piccolo, questo sarà quello desiderato. Nonostante la presenza di una terza coordinata nel vettore, il processo di calcolo degli angoli tra i vettori non cambierà. Calcola il prodotto scalare e i moduli dei vettori, l'arcocoseno del loro quoziente sarà la risposta a questo problema.

In geometria ci sono spesso problemi con spazi che hanno più di tre dimensioni. Ma per loro l’algoritmo per trovare la risposta sembra simile.

Differenza tra 0 e 180 gradi

Uno degli errori più comuni quando si scrive una risposta a un problema volto a calcolare l'angolo tra i vettori è la decisione di scrivere che i vettori sono paralleli, cioè l'angolo desiderato è pari a 0 o 180 gradi. Questa risposta non è corretta.

Avendo ricevuto come risultato della soluzione il valore dell'angolo di 0 gradi, la risposta corretta sarebbe designare i vettori come codirezionali, cioè i vettori avranno la stessa direzione. Se si ottengono 180 gradi, i vettori saranno diretti in modo opposto.

Vettori specifici

Dopo aver trovato gli angoli tra i vettori, puoi trovare uno dei tipi speciali, oltre a quelli codirezionali e opposti descritti sopra.

• Più vettori paralleli ad un piano sono detti complanari.
• I vettori che hanno la stessa lunghezza e direzione si dicono uguali.
• I vettori che giacciono sulla stessa retta, indipendentemente dalla direzione, si dicono collineari.
• Se la lunghezza di un vettore è zero, cioè il suo inizio e la sua fine coincidono, allora si chiama zero, e se è uno, allora unità.

Come trovare l'angolo tra i vettori?

aiutami per favore! Conosco la formula, ma non riesco a calcolarla ((
vettore a (8; 10; 4) vettore b (5; -20; -10)

Aleksandr Titov

L'angolo tra i vettori specificato dalle loro coordinate viene trovato utilizzando un algoritmo standard. Per prima cosa devi trovare il prodotto scalare dei vettori aeb: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Sostituiamo qui le coordinate di questi vettori e calcoliamo:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Successivamente, determiniamo le lunghezze di ciascun vettore. La lunghezza o modulo di un vettore è la radice quadrata della somma dei quadrati delle sue coordinate:
|a| = radice di (x1^2 + y1^2 + z1^2) = radice di (8^2 + 10^2 + 4^2) = radice di (64 + 100 + 16) = radice di 180 = 6 radici di 5
|b| = radice di (x2^2 + y2^2 + z2^2) = radice di (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = radice di (25 + 400 + 100) = radice su 525 = 5 radici su 21.
Moltiplichiamo queste lunghezze. Otteniamo 30 radici su 105.
Infine, dividiamo il prodotto scalare dei vettori per il prodotto delle lunghezze di questi vettori. Otteniamo -200/(30 radici di 105) o
- (4 radici di 105) / 63. Questo è il coseno dell'angolo compreso tra i vettori. E l'angolo stesso è uguale all'arcocoseno di questo numero
f = arccos(-4 radici di 105) / 63.
Se ho contato tutto correttamente.

Come calcolare il seno dell'angolo tra i vettori utilizzando le coordinate dei vettori

Michail Tkachev

Moltiplichiamo questi vettori. Il loro prodotto scalare è uguale al prodotto delle lunghezze di questi vettori e del coseno dell'angolo compreso tra loro.
L'angolo ci è sconosciuto, ma le coordinate sono note.
Scriviamolo matematicamente in questo modo.
Siano dati i vettori a(x1;y1) eb(x2;y2).
Poi

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Parliamo.
il prodotto a*b-scalare dei vettori è uguale alla somma dei prodotti delle corrispondenti coordinate di questi vettori, cioè uguale a x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-prodotto delle lunghezze dei vettori è uguale a √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Ciò significa che il coseno dell'angolo compreso tra i vettori è uguale a:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Conoscendo il coseno di un angolo, possiamo calcolarne il seno. Parliamo di come farlo:

Se il coseno di un angolo è positivo, allora l'angolo si trova in 1 o 4 quadranti, il che significa che il suo seno è positivo o negativo. Ma poiché l'angolo tra i vettori è inferiore o uguale a 180 gradi, il suo seno è positivo. Ragioniamo in modo simile se il coseno è negativo.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Questo è tutto)))) buona fortuna per risolverlo)))

Dmitri Leviščev

Il fatto che sia impossibile eseguire un seno direttamente non è vero.
Oltre alla formula:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
C'è anche questo:
||=|a|*|b|*peccato A
Cioè, invece del prodotto scalare, puoi prendere il modulo del prodotto vettoriale.

Sezioni: Matematica

Tipo di lezione: apprendimento di nuovo materiale.

Compiti educativi:

– ricavare una formula per calcolare l'angolo tra due vettori;

– continuare a sviluppare competenze nell’applicazione dei vettori alla risoluzione dei problemi;

– continuare a sviluppare l’interesse per la matematica attraverso la risoluzione dei problemi;

– coltivare un atteggiamento consapevole nei confronti del processo di apprendimento, instillare un senso di responsabilità per la qualità della conoscenza, esercitare l’autocontrollo sul processo di risoluzione e progettazione degli esercizi.

Fornire lezioni:

– tabella “Vettori nel piano e nello spazio”;

– schede attività per domande individuali;

– schede attività per il lavoro di prova;

- microcalcolatori.

Lo studente deve sapere:

– formula per calcolare l'angolo tra i vettori.

Lo studente deve essere in grado di:

– applicare le conoscenze acquisite alla soluzione di problemi analitici, geometrici e applicativi.

Motivazione dell'attività cognitiva degli studenti.

Il docente riferisce che oggi in classe gli studenti impareranno a calcolare l'angolo tra i vettori e ad applicare le conoscenze acquisite per risolvere problemi di meccanica tecnica e fisica. La maggior parte dei problemi nella disciplina “Meccanica Tecnica” vengono risolti con il metodo vettoriale. Pertanto, quando si studia l'argomento "Sistema piano di forze convergenti", "Trovare la risultante di due forze", viene utilizzata la formula per calcolare l'angolo tra due vettori.

Avanzamento della lezione.

I. Momento organizzativo.

II. Controllo dei compiti.

a) Sondaggio individuale tramite schede.

Carta 1.

1. Scrivi le proprietà dell'addizione di due vettori.

2. A quale valore M vettori e saranno collineari?

Carta 2.

1. Cos'è chiamato il prodotto di un vettore per un numero?

2. Sono i vettori e ?

Carta 3.

1. Formulare la definizione del prodotto scalare di due vettori.

2. A quale valore della lunghezza dei vettori e saranno uguali?

Carta 4.

1. Annotare le formule per calcolare le coordinate del vettore e la lunghezza del vettore?

2. Sono i vettori e ?

b) Domande per il rilievo frontale:

1. Quali azioni possono essere eseguite sui vettori date le loro coordinate?
2. Quali vettori sono detti collineari?
3. Condizione di collinearità di due vettori diversi da zero?
4. Determinare l'angolo tra i vettori?
5. Definizione di prodotto scalare di due vettori diversi da zero?
6. Condizione necessaria e sufficiente affinché due vettori siano perpendicolari?
7. Qual è il significato fisico del prodotto scalare di due vettori?
8. Scrivi le formule per calcolare il prodotto scalare di due vettori attraverso le loro coordinate sul piano e nello spazio.
9. Scrivi le formule per calcolare la lunghezza di un vettore nel piano e nello spazio.

III. Imparare nuovo materiale.

a) Deriviamo una formula per calcolare l'angolo tra i vettori nel piano e nello spazio. Per definizione del prodotto scalare di due vettori diversi da zero:

cos

Pertanto, se e , allora

il coseno dell'angolo tra vettori diversi da zero ed è uguale al prodotto scalare di questi vettori diviso per il prodotto delle loro lunghezze. Se i vettori sono specificati in un sistema di coordinate cartesiane rettangolari su un piano, il coseno dell'angolo tra loro viene calcolato dalla formula:

= (x1; y1); = (x2; y2)

cos =

Nello spazio: = (x 1; y 1; z 1); = (x2; y2; z2)

cos =

Risolvere problemi:

Compito 1: Trova l'angolo tra i vettori = (1; -2), = (-3; 1).

Arco = 135°

Compito 2: Nel triangolo ABC, trova la misura dell'angolo B se

A (0; 5; 0), B (4; 3; -8), C (-1; -3; -6).

cos = =

Compito 3: Trova l'angolo tra i vettori e se A (1; 6),

B (1; 0), C (-2; 3).

cos = = = –

IV. Applicazione delle conoscenze alla risoluzione di problemi tipici.

COMPITI DI CARATTERE ANALITICO.

Determina l'angolo tra i vettori e se A (1; -3; -4),

B (-1; 0; 2), C (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Trova il prodotto scalare dei vettori se , = 30°.

A quali valori delle lunghezze del vettore e saranno uguali?

Calcolare l'angolo tra i vettori e

Calcola l'area di un parallelogramma costruito utilizzando i vettori

E .

COMPITI APPLICATI

Trova la risultante delle due forze 1 e 2, se = 5H; = 7H, angolo tra loro = 60°.

° + .

Calcolare il lavoro compiuto dalla forza = (6; 2), se il suo punto di applicazione, muovendosi rettilineamente, si sposta dalla posizione A (-1; 3) alla posizione B (3; 4).

Sia la velocità del punto materiale e sia la forza che agisce su di esso. Qual è la potenza sviluppata dalla forza se = 5H, = 3,5 m/s;

VI. Riassumendo la lezione.

VII. Compiti a casa:

G.N. Yakovlev, Geometria, §22, paragrafo 3, p

N. 5.22, N. 5.27, pag.