La simmetria come criterio di bellezza esteriore. Asimmetria facciale: cause di disturbi patologici e metodi per la loro correzione

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Data di: 2017-10-17 Visualizzazioni: 18 963 Grado: 5.0

Scopo della formazione: correggere l'asimmetria del viso in 3 punti (sopracciglia, occhi, labbra).

Il volto umano non è simmetrico, proprio come il corpo, e non c'è nulla di sorprendente in questo.

Tuttavia, ci sono casi in cui l'asimmetria del viso è pronunciata e ti dà disagio psicologico. Faccio subito una prenotazione che non tutti i tipi di asimmetria possono essere corretti con l'aiuto di esercizi.

L'asimmetria non può essere corretta con esercizi se:

• è causato da deformità ossee;
• deformità patologiche;
• neurite molto "vecchia" del nervo facciale;
• in alcuni casi, le conseguenze delle iniezioni di Botox, il cosiddetto effetto collaterale.

Cause di asimmetria

Inoltre, l'asimmetria del viso dipende in gran parte dallo stato del tuo corpo. Sulla relazione tra viso e corpo.

In poche parole, con scoliosi, lordosi, distorsioni pelviche e altri cambiamenti del sistema muscolo-scheletrico, l'asimmetria si verifica e la sua correzione dovrebbe iniziare dai talloni!

Ma l'ASIMMETRIA può essere il risultato di espressioni facciali eccessive, buffonate facciali e abitudini comportamentali. Tutto questo viene rivelato guardando da vicino il tuo viso nel video, per esempio.

Sorridere, parlare, masticare solo da un lato o alzare costantemente un sopracciglio. Ricordi l'esistenza della memoria muscolare? E si ricorda di te e alza sempre il sopracciglio attivo, e un occhio rende meno visivamente.

Come misurare l'asimmetria?

Come controllare la simmetria del viso? Serve una foto! Allontana i capelli dal viso, chiedi di scattare una foto. Una foto è come un passaporto: non sorridiamo, non cerchiamo di apparire belli nella foto.

Prendiamo un righello e tracciamo una linea orizzontale sopra gli occhi (nelle pupille), sopra le sopracciglia, sopra le labbra. Inizia con gli occhi. Dopotutto, la nostra livella interna (livello) tende all'orizzonte proprio nella zona degli occhi, in modo che tu possa camminare agevolmente e non cadere.

E ora guardiamo le 3 linee risultanti. Forse un sopracciglio sarà più alto e l'altro più basso, gli angoli delle labbra potrebbero non essere sulla stessa linea.

Ricorda che ci sono valori accettabili di asimmetria e questo è assolutamente naturale e non richiede aggiustamenti.

Dove ci sono deviazioni dall'orizzonte, devi lavorare con i muscoli, e per alcuni sarà sufficiente correggere gli stereotipi comportamentali e tutto andrà a posto sul viso.

Esercizi per il viso con asimmetria

Passiamo agli esercizi, a proposito, possono essere combinati con uno qualsiasi dei complessi:,. Basta aggiungerli al tuo programma di allenamento. Ad esempio, eseguendo, quindi esegui esercizi per correggere l'asimmetria della stessa zona.

Nell'esempio, considero l'opzione di correggere l'asimmetria unilaterale del viso, quando la parte del viso situata più in basso rispetto alla sua metà funziona peggio, la senti meno! Ad esempio, il sopracciglio sinistro, l'occhio sinistro, l'angolo sinistro del labbro sono più bassi rispetto al lato destro del viso: questa asimmetria è chiamata ONE-SIDE.

L'asimmetria facciale può essere diagonale, complessa. In tali casi, è meglio selezionare gli esercizi individualmente.

30 ripetizioni consigliate, sull'ultimo ritardo statico dell'account 5 secondi. L'allenamento si basa sull'implementazione di "BASE" - esercizi di base con l'aggiunta di esercizi speciali per correggere l'asimmetria di una particolare zona.

Fronte. Correzione del sopracciglio

Esercizio numero 1: Alzare le sopracciglia

Questo è l'esercizio di base. Quando lo fai, fai attenzione alle sopracciglia? Quale sale peggio? Quale ti senti meno?

Metti le dita sulle sopracciglia. Alza le sopracciglia con sforzo, resisti con le dita. Assicurati che durante l'esercizio non ci siano rughe orizzontali sulla fronte, cerca di rilassarti e abbassare le spalle, fissare saldamente la pelle sopra le sopracciglia. Dopo aver completato l'esercizio, tocca la fronte con le dita.

Passiamo a una serie di esercizi per correggere diverse posizioni dell'altezza delle sopracciglia:

Esercizio numero 2: alzando alternativamente le sopracciglia

Sulla fronte, sopra le sopracciglia, appoggiate le dita e le falangi tenete leggermente la pelle in modo che non si raccolga in pieghe. Ora alza alternativamente le sopracciglia: poi a sinistra, poi a destra.

Senti quale delle sopracciglia si alza peggio, o quando si alza una delle sopracciglia, sorgono tensione e disagio. Il sopracciglio che si alza peggio deve essere tirato fuori di 2 conteggi: 1 alzato, 2 allungato. Dopo aver completato l'esercizio, tocca la fronte con le dita.

Esercizio numero 3: alzare un sopracciglio

Una volta trovato un sopracciglio che funziona peggio e si trova più in basso, deve essere "allenato" separatamente.

Fissiamo il sopracciglio, che si trova sopra, con una mano, e solleviamo l'altra, tenendo la pelle sopra il sopracciglio con le falangi delle dita in modo che non si raccolga nelle pieghe. Dopo aver completato l'esercizio, tocca la fronte con le dita.

Occhi

Filmato generale:

Esercizio numero 1: rafforzare la palpebra superiore

Questo è l'esercizio di base. Durante l'esecuzione, traccia le sensazioni sotto l'indice, sotto una delle dita c'è una pulsazione, il tremito del muscolo sarà meno pronunciato. Quando chiudi questo occhio, prova a premere un po' più forte la palpebra inferiore con la palpebra superiore. IMPORTANTE! Non premere con forza con le dita e non allungare la pelle in direzioni diverse!

Teniamo gli angoli degli occhi con le dita e con un piccolo sforzo chiudiamo gli occhi, premendo la palpebra superiore su quella inferiore. Cerca di mantenere le sopracciglia in posizione e di non scivolare dietro la palpebra superiore, rilassa la fronte. Poi apriamo gli occhi. Dopo aver fatto l'esercizio, sbatti le palpebre.

Esercizio numero 2: alternare gli occhi

Chiudiamo gli occhi uno per uno. Mettiamo l'indice e il medio negli angoli degli occhi, non premiamo o tiriamo la pelle. Chiudiamo gli occhi a turno: sinistra, destra, sinistra.... Quando chiudi un occhio, l'altro deve essere tenuto aperto. Assicurati di rilassare la fronte in modo che il sopracciglio non cada insieme alla palpebra superiore. Dopo aver fatto l'esercizio, sbatti le palpebre.

Angoli delle labbra

Filmato generale:

Esercizio numero 1: aiuta a sollevare gli angoli cadenti delle labbra

Questo è l'esercizio di base. Le dita fissano la zona nasolabiale (dall'angolo della bocca alla narice). Alziamo gli angoli delle labbra, come se sorridessimo, con le dita resistiamo, il movimento degli angoli delle labbra sale sotto gli occhi, mentre il centro delle labbra è rilassato. Cerca di non "cavalcare" le dita sul viso; durante il sollevamento, l'angolo del labbro poggia sulle dita.

Esercizio numero 2 alzando alternativamente gli angoli delle labbra

Le dita fissano la zona nasolabiale (dall'angolo della bocca alla narice). Alziamo A VOLTA gli angoli delle labbra, come se sorridessimo con un angolo delle labbra, resistiamo con le dita, il movimento degli angoli delle labbra sale sotto gli occhi, mentre il centro delle labbra è rilassato. Cerca di non "cavalcare" le dita sul viso; durante il sollevamento, l'angolo del labbro poggia sulle dita.

Esercizio numero 3 sollevando un angolo del labbro

Con le dita fissiamo la zona nasolabiale (dall'angolo della bocca alla narice) dal lato dell'angolo del labbro, che si trova sotto. Fissiamo semplicemente l'angolo opposto della bocca con la nostra mano in modo che non venga coinvolto nel lavoro. Alziamo l'angolo delle labbra, come se sorridessimo con un angolo del labbro, resistiamo con le dita, il movimento dell'angolo del labbro sale sotto l'occhio, mentre il centro delle labbra è rilassato. Cerca di non "cavalcare" le dita sul viso; durante il sollevamento, l'angolo del labbro poggia sulle dita.

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L'istituzione dell'asimmetria facciale è diventata una sorta di sensazione, poiché l'asimmetria è raramente evidente. Si è scoperto che le persone differiscono nel grado della loro asimmetria tanto quanto nei tratti del viso. Ciò è stato confermato non solo dalle misurazioni, ma anche dal confronto di ritratti costituiti da fotografie delle metà destra e sinistra (una delle quali deve essere capovolta durante la stampa) con un normale ritratto di una persona scattata esattamente di fronte. Ottieni facce completamente diverse.

Non esiste una simmetria perfetta al mondo. È un errore considerare la simmetria facciale una condizione indispensabile per la sua bellezza. La mescolanza di tratti ereditari non può non riflettersi sul volto del bambino. Per valutare la bellezza di un volto sono importanti una combinazione di lineamenti e una leggera asimmetria, che, per inciso, è insita nei volti di tutte le persone e non toglie nulla ai meriti del ritratto. Anche nelle sculture di Venere di Milo e Apollo Belvedere, i loro volti non hanno una simmetria completa. Con buona ragione, possiamo dire che non esiste una sola persona con indiscutibile simmetria rigorosa delle metà destra e sinistra. Questo è probabilmente il motivo per cui Claudio Galeno scrisse che "la vera bellezza si esprime nella perfezione dello scopo e che il primo obiettivo di tutte le parti è l'opportunità della struttura". Indubbiamente P.F. Lesgaft aveva ragione quando scriveva che “con lo sviluppo armonioso di tutti i muscoli e gruppi muscolari, il viso perderebbe la sua espressione definita. L'individualità dei tratti del viso viene acquisita attraverso l'uso frequente dei muscoli corrispondenti.

Michele Monaghan

Quindi, dovrebbe essere riconosciuto come un dato di fatto l'asimmetria del viso, cioè la disuguaglianza delle sue metà destra e sinistra: una di esse, di regola, è più larga, l'altra è più stretta, una è più alta, l'altra è più bassa . La ragione dell'asimmetria è nella maggior parte dei casi l'irregolarità degli elementi strutturali delle ossa del cranio. Sul volto di una persona, l'aumento dell'asimmetria è dovuto alla specificità delle espressioni facciali (asimmetria fisiologica).

Noemi Watt

Esistono lavori scientifici in cui gli scienziati identificano i seguenti modelli di asimmetria facciale. Se una metà della faccia è più alta, allora è anche più stretta. In questo caso, il sopracciglio si trova più in alto rispetto alla metà opposta e più ampia del viso, la fessura palpebrale è più grande. L'occhio nel suo insieme sembra essere rivolto verso l'alto. La metà sinistra della faccia è solitamente più alta della destra. Molti autori credono ancora che la metà destra del viso sia più grande della sinistra, sporge più nettamente ed esprima mascolinità. La metà sinistra è generalmente più morbida, riflettendo le caratteristiche della femminilità.

Kate Bosworth

L'asimmetria facciale è stata a lungo osservata come un riflesso dell'asimmetria generale del corpo. Sono stati fatti tentativi per ripristinare il volto nel ritratto dalla metà esatta della fotografia e dalla sua immagine speculare. Le metà destra e sinistra davano immagini diverse. Non corrispondevano all'originale. Anche l'asimmetria mimica, sebbene sovrapposta alle sproporzioni delle metà destra e sinistra del cranio facciale, ha le sue caratteristiche. È stato accertato che la regolazione nervosa dei muscoli mimici di destra è più ricca, i movimenti della testa e degli occhi a destra sono riprodotti più facilmente. Anche lo strabismo dell'occhio destro è più abituale.

Candidato di Scienze Mediche, chirurgo plastico ""

Nel XV secolo, Leonardo da Vinci creò disegni che raffigurano le proporzioni "divine" del viso e del corpo umano, che sono ancora lo standard (Fig. 1). Tuttavia, queste proporzioni non tengono conto del fatto che nella natura vivente non esistono oggetti assolutamente simmetrici: in ognuno di essi c'è sempre un'unità di simmetria e asimmetria.

Riso. 1.

Nel corso della storia si è cercato di "misurare" la bellezza, di descriverla con formule matematiche o proporzioni geometriche, rendendo così possibile ricrearla. Così, nell'antica Grecia, l'ordine e l'armonia osservati in natura erano personificati nelle immagini splendenti di dei e dee, immortalati in bellissime statue.

Secondo gli scultori greci, la simmetria caratterizza l'armonia, la proporzionalità, l'armonia dei corpi naturali e del corpo umano. Pertanto, i concetti di simmetria e bellezza sono identici. Basti ricordare la costruzione rigorosamente simmetrica dei monumenti architettonici, la ripetizione regolare di motivi di ornamenti tradizionali, la straordinaria armonia dei vasi greci (Fig. 2).

Il fatto dell'asimmetria del viso e del corpo di una persona era noto agli artisti e agli scultori del mondo antico e veniva da loro utilizzato per conferire espressività e spiritualità alle opere create.

Un esempio lampante di asimmetria è il volto di Venere di Milo (Fig. 3). I sostenitori della simmetria hanno criticato l'asimmetria delle forme di questo standard di bellezza femminile universalmente riconosciuto, ritenendo che il volto di Venere sarebbe più bello se fosse simmetrico. Tuttavia, guardando gli scatti compositi, vediamo che non è così.

Il concetto stesso di "simmetria" è direttamente correlato all'armonia. Deriva dall'antica parola greca συμμετρία (proporzionalità) e significa qualcosa di armonioso e proporzionale in un oggetto. Il concetto di simmetria "a specchio" è applicabile a una persona. Questa simmetria è la fonte principale della nostra ammirazione estetica per il corpo umano ben proporzionato.

Tale simmetria non è solo bella, ma anche funzionale. Quindi, gli arti simmetrici facilitano il movimento nello spazio, la posizione degli occhi: per creare l'immagine visiva corretta, un setto nasale piatto fornisce una respirazione adeguata. Tuttavia, la simmetria degli organismi viventi non si manifesta con accuratezza matematica a causa dello sviluppo e della funzione irregolari.

Simmetria facciale e standard di bellezza

Nel tempo, gli standard di bellezza sono cambiati, ma i principi ei parametri che determinano i rapporti e le proporzioni del viso e, di conseguenza, la sua attrattiva, sono stati preservati fin dall'antichità. Affinché il viso sia armonioso, le sue varie parti devono essere correlate in una certa proporzione, con l'aiuto della quale si ottiene un equilibrio generale. Nessuna parte del viso esiste o funziona isolata dalle altre. Qualsiasi cambiamento in una parte particolare del viso avrà un effetto vero o apparente sulla percezione delle altre parti e del viso nel suo insieme.

È naturale che tutte le proporzioni del volto umano hanno solo un valore approssimativo per la sua estetica per diversi motivi:

• In primo luogo, le proporzioni del viso variano a seconda dell'età, del sesso, dello sviluppo fisico di una persona e sono in gran parte determinate dalle caratteristiche strutturali individuali.
• In secondo luogo, la valutazione della proporzionalità diventa più complicata a seconda della posizione della testa.
• La terza difficoltà risiede nell'asimmetria del volto umano, che spesso si manifesta nella forma del naso, nella posizione delle fessure palpebrali e delle sopracciglia, e nella posizione degli angoli della bocca. I due lati del viso non danno la stessa immagine speculare, anche se il viso viene da noi percepito come perfettamente corretto.

Pertanto, oggi è generalmente riconosciuto il fatto dell'asimmetria facciale, espressa dalle metà destra e sinistra disuguali, una delle quali, di regola, è più ampia e più alta, l'altra è più stretta e più bassa.

Dalle fotografie presentate in Fig. 4, si può vedere che i volti assolutamente simmetrici sono chiaramente diversi dall'immagine originale di un volto con asimmetria naturale. A nostro avviso, "sintetico" le facce simmetriche non sono così attraenti, come nelle fotografie originali, anche se per la creazione di ritratti compositi abbiamo selezionato i volti degli attori il cui aspetto è valutato maggiormente. Inoltre, sono questi volti che hanno una simmetria più pronunciata di quanto si osservi nella maggior parte delle persone, ma una leggera asimmetria sottolinea solo la loro attrattiva.

La bellezza nell'asimmetria?

Quindi, l'asimmetria insita in tutti noi è davvero bella o no? È abbastanza ovvio che non consideriamo attraenti violazioni significative della simmetria nella struttura del viso. Tuttavia, piccole deviazioni dalla simmetria non introducono disarmonia, ma solo favoriscono l'individualità.

La maggior parte dei pazienti che si rivolgono a un chirurgo plastico non nota l'asimmetria delle proporzioni del proprio viso e del proprio corpo. Pertanto, uno dei compiti importanti del chirurgo durante la consultazione è attirare l'attenzione del paziente sulle caratteristiche delle sue proporzioni, per descrivere in dettaglio i cambiamenti imminenti a seguito dell'operazione. La correzione dell'asimmetria facciale è notevolmente facilitata dall'uso di metodi minimamente invasivi, come e.

Pertanto, l'asimmetria pronunciata è generalmente considerata antiestetica e, in tali casi, il desiderio di ottenere un aspetto più simmetrico è del tutto naturale e può servire come indicazione per la chirurgia plastica. Tuttavia, una leggera asimmetria del viso lo rende solo attraente e individuale, quindi non dovresti lottare per una simmetria assoluta.

La simmetria e la proporzionalità sono componenti importanti della bellezza esteriore di una persona e, in alcuni casi, indicatori di salute. Ma non tutti sanno valutare le proporzioni e la simmetria del viso e del corpo. Questo è esattamente ciò di cui si parlerà.

Un naso lungo non può rovinare affatto l'aspetto di una persona? Decisamente sì. Se il naso è proporzionato alla sua faccia.

Per valutare le proporzioni del tuo viso, devi andare allo specchio e misurare tre distanze:
dal bordo della crescita dei capelli sulla fronte al ponte del naso
dal ponte del naso al labbro superiore
dal labbro superiore al mento.

Se sono uguali, sei un felice possessore di una faccia proporzionale.

In caso contrario, c'è una sproporzione, che non è affatto motivo di sconforto. In primo luogo, questa potrebbe essere una certa attrattiva e originalità del viso e, in secondo luogo, le proporzioni possono essere modificate.

Un aumento o una diminuzione della prima distanza può essere ottenuto con l'aiuto di acconciature, oltre a dare una certa forma alle sopracciglia. La seconda distanza viene quasi sempre corretta modificando la lunghezza del naso. Un rossetto correttamente selezionato o una misura più duratura - l'aumento delle labbra - può influenzare visivamente la terza distanza.

Anche la simmetria facciale è facile da valutare. È necessario prestare attenzione alla posizione e alla forma delle strutture anatomiche accoppiate: sopracciglia, occhi, orecchie, pieghe naso-labiali.

Se si trovano sullo stesso livello e hanno la stessa forma, la faccia è simmetrica. La simmetria facciale è molto importante non solo dal punto di vista estetico. La violazione improvvisa di esso è un importante segno diagnostico in una serie di gravi malattie neurologiche.

È più facile giudicare le proporzioni del corpo dai suoi volumi: il volume del torace, della vita e dei fianchi.

In un uomo proporzionalmente piegato, predomina il volume del torace. Geometricamente, l'ideale di una figura maschile è un triangolo isoscele capovolto.

In una figura femminile proporzionale, i volumi del torace e dei fianchi sono approssimativamente uguali tra loro. E la vita dovrebbe essere 1/3 in meno di questi due volumi. Basti ricordare il noto standard: 90 cm -60 cm -90 cm. Tuttavia, il rapporto tra 120 cm-80 cm-120 cm non è meno proporzionale. L'espressione geometrica dell'ideale è la forma di una clessidra.

Visivamente le proporzioni desiderate si ottengono con l'abbigliamento, la biancheria intima del corsetto, alcuni esercizi fisici. Tuttavia, ci sono aree problematiche che sono abbastanza difficili da correggere, ad esempio i famigerati "calzoni" - la parte superiore delle superfici laterali delle cosce. È qui che la liposuzione può aiutare.

La simmetria del corpo viene valutata anche da formazioni accoppiate. Clavicole, capezzoli, scapole, spine iliache antero-superiori, pliche glutee dovrebbero essere allo stesso livello.

Vale la pena sapere che una violazione visibile della simmetria del corpo è sempre motivo di un esame approfondito del sistema muscolo-scheletrico.

In generale, quando valuti il ​​\u200b\u200btuo aspetto in base a qualsiasi parametro, che si tratti di proporzionalità, simmetria o qualcos'altro, non è necessario essere eccessivamente schizzinosi.

Alcune caratteristiche, imperfezioni, sproporzioni: questo è ciò che ci distingue gli uni dagli altri e quindi ci rende unici.

Non capiremo ancora se esiste davvero una persona assolutamente simmetrica. Tutti, ovviamente, avranno un neo, una ciocca di capelli o qualche altro dettaglio che rompe la simmetria esterna. L'occhio sinistro non è mai esattamente uguale al destro e gli angoli della bocca sono ad altezze diverse, almeno nella maggior parte delle persone. Tuttavia, queste sono solo piccole incongruenze. Nessuno dubiterà che esteriormente una persona sia costruita simmetricamente: la mano sinistra corrisponde sempre alla mano destra ed entrambe le mani sono esattamente le stesse! Fermare. Vale la pena fermarsi qui. Se le nostre mani fossero davvero esattamente le stesse, potremmo cambiarle in qualsiasi momento. Sarebbe possibile, diciamo, mediante trapianto, trapiantare la mano sinistra nella mano destra, o, più semplicemente, il guanto sinistro si adatterebbe poi alla mano destra, ma in realtà non è così.

Beh, certo, tutti sanno che la somiglianza tra le nostre mani, orecchie, occhi e altre parti del corpo è la stessa che c'è tra un oggetto e il suo riflesso in uno specchio. Il libro davanti a te è dedicato alle questioni della simmetria e della riflessione speculare.

Molti artisti hanno prestato molta attenzione alla simmetria e alle proporzioni del corpo umano, almeno fino a quando non sono stati guidati dal desiderio di seguire la natura il più fedelmente possibile nelle loro opere. Sono noti i canoni delle prodorce compilati da Albrecht Dürer e Leonardo da Vinci. Secondo questi canoni, il corpo umano non è solo simmetrico, ma anche proporzionale. Leonardo ha scoperto che il corpo si inserisce in un cerchio e in un quadrato. Dürer cercava una singola misura che fosse in un certo rapporto con la lunghezza del busto o della gamba (considerava la lunghezza del braccio al gomito come tale misura).

Nelle moderne scuole di pittura, la dimensione verticale della testa viene spesso presa come singola misura. Con una certa ipotesi, possiamo presumere che la lunghezza del corpo superi di otto volte la dimensione della testa. A prima vista, questo sembra strano. Ma non dobbiamo dimenticare che la maggior parte delle persone alte si distingue per un cranio allungato e, al contrario, è raro trovare un uomo basso e grasso con una testa allungata.

La dimensione della testa è proporzionale non solo alla lunghezza del corpo, ma anche alle dimensioni di altre parti del corpo. Tutte le persone sono costruite su questo principio, motivo per cui generalmente siamo simili tra loro. (Torneremo alla somiglianza o alla somiglianza tra poche pagine.) Tuttavia, le nostre proporzioni concordano solo approssimativamente, e quindi le persone sono solo simili, ma non uguali. Comunque, siamo tutti simmetrici! Inoltre, alcuni artisti nelle loro opere sottolineano particolarmente questa simmetria.

LA SIMMETRIA PERFETTA È NOIA

E anche nei vestiti una persona, di regola, cerca di mantenere l'impressione di simmetria: la manica destra corrisponde alla sinistra, la gamba destra corrisponde alla sinistra.

I bottoni sulla giacca e sulla camicia si trovano esattamente al centro, e se si allontanano da esso, allora a distanze simmetriche. Solo raramente una donna ha il coraggio di indossare un abito veramente asimmetrico (vedremo più avanti quanto scostamento dalla simmetria sia accettabile).

Ma sullo sfondo di questa simmetria generale in piccoli dettagli, permettiamo deliberatamente l'asimmetria, ad esempio pettinandoci i capelli in una parte laterale - a sinistra oa destra. O, diciamo, mettendo una tasca asimmetrica sul petto della tuta, spesso sottolineata da un fazzoletto. O mettere un anello all'anulare di una sola mano. Ordini e distintivi sono indossati solo su un lato del petto (più spesso a sinistra).

La perfetta simmetria completa sembrerebbe insopportabilmente noiosa. Sono piccole deviazioni da esso che danno caratteristiche caratteristiche e individuali. Il famoso autoritratto di Albrecht Dürer a prima vista sembra assolutamente simmetrico. Ma, guardando più da vicino, noterai un piccolo dettaglio asimmetrico che dona vivacità e vitalità all'immagine: una ciocca di capelli vicino alla scriminatura.

E allo stesso tempo, a volte una persona cerca di enfatizzare, rafforzare la differenza tra sinistra e destra. Nel Medioevo, gli uomini un tempo sfoggiavano pantaloni con gambe di diversi colori (ad esempio, uno rosso e l'altro nero o bianco). E in questi giorni, i jeans con toppe luminose o macchie di colore erano popolari. Ma tale moda è sempre di breve durata. Rimangono a lungo solo discrete e modeste deviazioni dalla simmetria.

COS'E' UNA SIMILARIETA'?

Spesso diciamo che alcune due persone sono simili tra loro. I bambini di solito assomigliano ai loro genitori (almeno secondo le loro nonne). Simile, ma non lo stesso!

Proviamo a capire cosa si intende per somiglianza o somiglianza in matematica. In figure simili, i segmenti corrispondenti sono proporzionali tra loro. Nel nostro caso, possiamo formulare questa situazione come segue: nasi simili hanno la stessa forma, ma possono differire per dimensioni. In questo caso, ogni singola sezione del naso (ad esempio il dorso del naso) dovrebbe essere proporzionale a tutte le altre.

Questa legge di somiglianza a volte è irta di insidie. Ad esempio, in un compito come questo:

L'altezza della torre A è di 10 m Ad una certa distanza X da essa c'è una torre B di sei metri. Se tracciamo linee rette dal piede e dalla sommità della torre A attraverso la sommità della torre B, allora si incontreranno , rispettivamente, con il piede e la sommità della torre C, che ha un'altezza di 15 m. Qual è la distanza dalla torre A alla torre B?

Sembrerebbe che per la soluzione sia sufficiente prendere in mano un compasso e un righello. Ma poi si scopre che ci sarà un numero infinito di risposte. In altre parole, non può esserci una risposta univoca alla domanda sul valore di X.

In questo libro incontrerai spesso problemi che richiedono una riflessione. Questo ha un certo significato pedagogico. Tali problemi, anche se non hanno soluzione, come quello proposto sopra, riguardano qualche problema che si trova ai limiti della nostra conoscenza. Per la maggior parte, questi sono gli stessi limiti davanti ai quali il famoso "buon senso" cede, e solo il pensiero logico strettamente matematico, unito alla conoscenza delle scienze naturali, può portare alla decisione corretta.

Torniamo all'uomo: confrontando gli esseri viventi, la somiglianza si avverte chiaramente se le loro proporzioni coincidono. Pertanto, bambini e adulti possono essere simili. Sebbene la massa e le dimensioni di qualsiasi parte del corpo, sia essa il naso o la bocca, siano diverse, le proporzioni di individui simili sono le stesse.

Un esempio lampante di somiglianza è la stima visiva della distanza con l'aiuto del pollice. In questo modo militari e marinai stimano la distanza tra due punti a terra o in mare, confrontandola con la larghezza di un dito o di un pugno. Nel caso più semplice, chiudono un occhio e guardano con un occhio aperto il dito di una mano tesa, usandolo come uno spettacolo.

Quando si mira con il pollice di una mano tesa (una volta con l'occhio sinistro e una volta con il destro), il dito "rimbalza" di circa 6 °

Se apri l'occhio precedentemente chiuso (e chiudi il secondo), il dito si sposterà di lato di una distanza visibile. In gradi, questa distanza è di 6°. E inoltre, l'entità di questo "salto" (entro il margine di errore) è la stessa per tutte le persone! Quindi, la compagnia del fianco destro, un ragazzo alto due metri, e la più piccola - quella del fianco sinistro, alta solo sessanta metri, confrontando questi "salti" del dito, riceveranno lo stesso valore.

La ragione di questo fenomeno risiede in ultima analisi nella somiglianza delle persone e, naturalmente, nelle leggi dell'ottica, a cui obbedisce la nostra visione.

La "regola del pugno" è nota anche - nel senso più diretto del termine - per una stima approssimativa dell'ampiezza dell'angolo. Se guardiamo con un occhio il pugno della mano tesa (questa volta con lo stesso occhio), la larghezza del pugno sarà di 10 ° e la distanza tra le due ossa delle falangi di 3 °. Il pugno e il pollice sporgenti di lato saranno di 15°. Combinando queste misurazioni, puoi misurare approssimativamente tutti gli angoli sul terreno.

E infine, un'altra misura angolare del nostro corpo, che può essere utile per i compiti. L'angolo tra il pollice e il mignolo del palmo aperto è di 90°. Sembra improbabile, ma puoi controllare immediatamente tutto da solo appoggiando le dita tese del palmo contro l'angolo del nostro libro. Posiziona il mignolo rigorosamente parallelo a un bordo e muovi la mano lungo di esso fino a quando anche il pollice si trova sul bordo inferiore. Convinto?

Certo, qui l'errore a volte risulta essere relativamente grande, poiché, a seconda dell'età e dello sviluppo della mano, il pollice può essere messo da parte a distanze diverse. Ma per il primo test, che consente di decidere se l'angolo misurato devia in modo significativo da una linea retta, questo metodo è abbastanza adatto.

LINELAND E PIANI

Gli immaginativi hanno notato da tempo che le leggi di congruenza, così rigorose per due dimensioni, richiedono spesso l'uso di una terza dimensione quando vengono applicate nella pratica.

Quando una tavola è apparecchiata per un grande ricevimento, i tovaglioli sono solitamente piegati a triangolo. Ma vale la pena raccogliere questi triangoli in una pila, uno sopra l'altro, poiché si scopre che questi triangoli sono di due tipi: alcuni si "incastrano" immediatamente l'uno nell'altro, mentre altri devono essere girati "a destra" . Un problema simile si presenta nello stampaggio di piccole parti, quando qualcuno cerca di impilare i prodotti finiti.

È comune per poeti e scrittori fantasticare su situazioni più o meno probabili. Quindi, ci sono opere in cui la vita è rappresentata in uno spazio bidimensionale (dove non puoi girare il "tovagliolo" in alcun modo).

Alcuni autori vanno ancora oltre e cercano di immaginare la vita in uno spazio unidimensionale, nella Terra della Linea - Lineland. Lineland è abitata solo da sottili bastoncini di legno, che nel caso più semplice non differiscono l'uno dall'altro. Tuttavia, vale la pena dargli la testa (mi vengono subito in mente le partite!), E hanno subito due possibilità.

Oppure tutte le partite girano la testa in una direzione, quindi la loro combinazione non causa difficoltà. Oppure alcuni fiammiferi giacciono con la testa a sinistra e altri giacciono con la testa a destra. Il matematico linelandiano non ha un modo pratico per tradurre i fiammiferi "sinistra" in quelli "destra". Ma un matematico della Terra dell'aereo - Flatlandia, che ha una dimensione in più, troverà subito una soluzione semplice: trasformerà il fiammifero nell'aereo.

Tuttavia, secondo alcuni scrittori, anche la vita in Flatlandia non è così facile. Immagina che gli abitanti di questo paese siano piccoli rettangoli con un occhio (e hanno un solo occhio) in uno degli angoli. Può, ovviamente, vedere solo un tale rettangolo su un piano, e non riesce mai a guardare questo piano dall'alto. Quindi nessun abitante di Flatlandia potrà mai immaginare che aspetto abbia veramente: per questo è già necessaria una vista dallo spazio tridimensionale. Le case dei Flatlander sarebbero state più o meno le stesse dei disegni dei bambini. Con la differenza che le porte sarebbero di lato e si aprirebbero solo sullo stesso piano. Ma i cardini delle porte dovrebbero essere realizzati fuori dall'aereo, sopra o sotto di esso. Inoltre, sarebbe necessario un complesso sistema di puntelli per evitare che il muro della casa crollasse quando i suoi abitanti volessero aprire la porta. E due abitanti di Flatlandia sarebbero in grado di guardarsi l'un l'altro solo se uno di loro riuscisse a stare a testa in giù.

La situazione sarebbe ancora più complicata se Flatlandia fosse abitata da due popoli. Diciamo Flatlanders mancini e destrimani. Ci vuole molta immaginazione per dipingere tutte le possibili conseguenze di una situazione del genere, soprattutto considerando che siamo abituati a pensare in tre dimensioni!

Poiché sia ​​Lineland che Flatland sono stati presentati agli scrittori in una luce umoristica, non sorprende che la letteratura su questo argomento sia nata in Inghilterra.

Nel 1880 L'educatore inglese Edwin Ebony Abbott ha scritto un libro su Flatlandia e i suoi abitanti ( Abbott EE Flatlandia. In: Abbott EE Flatlandia. Burger D. Sferlandia. -M.: Mir, 1976). Flatlander Abbott, caduto in sogno a Lineland, cerca invano di convincere gli abitanti del luogo dell'esistenza dell'aereo.

Nel corso dell'azione, uno dei Flatlander riesce a conoscere lo spazio tridimensionale, per il quale è riconosciuto come "il più pazzo dei matti".

Più di vent'anni dopo, nel 1907, CG Hinton pubblicò The Incident in Flatland. In esso, due popoli della Flatlandia sono in guerra. Poiché tutti i Flatlander sono rivolti nella stessa direzione, uno del Popolo è sempre irrimediabilmente perso: non può voltarsi e contrattaccare nella giusta direzione: un odiato nemico è costantemente seduto sul suo collo. Ma alla fine vince il bene. Qualche testa astuta si accorge che Flatlandia si trova su una palla e, quindi, è possibile, correndogli attorno, andare oltre le linee nemiche.

L'autore del romanzo costruisce la sua storia sul tacito presupposto che i Flatlander possano muoversi solo lungo determinate direzioni generali, escluse le deviazioni laterali, ed è impossibile per loro ribaltare il nemico sopra le loro teste.

Come puoi vedere, le teorie più sofisticate sono state avanzate sulla vita nello spazio bidimensionale, ma non hanno mai trovato applicazione. Bisogna pensare che sia questi libri che i loro autori sarebbero stati a lungo dimenticati se Lineland e Flatland non fossero stati così necessari per spiegare la teoria della riflessione speculare e se i compilatori di problemi di intelligenza rapida non avessero dovuto rivolgersi più e più volte a Flatlandia per estrarre idee dalla sua bidimensionalità (a proposito, non molto tempo fa in Ungheria è stato creato un cartone animato sul viaggio dello scolaro Adoljar in Flatlandia).

Tra le altre cose, i Flatlander trasportano merci facendo rotolare le piattaforme in cerchio. Ogni volta che un carico supera il cerchio, l'addetto al trasporto locale fa rotolare il cerchio in avanti e lo posiziona davanti alla piattaforma.

Ci sono molti problemi interessanti qui. Ma a noi interessa solo una cosa: se l'asse della ruota si muove a una velocità di 10 m al minuto, a quale velocità si muove il carico?

Sappiamo della nostra macchina terrena che nessuna ruota (più precisamente, nessun asse della ruota) può muoversi più velocemente dell'intera macchina. Ma in un'auto da pianura, la ruota non è rigidamente collegata al carico. Pensandoci, non è difficile capire che il carico qui è coinvolto in due movimenti.

Innanzitutto, si muove insieme all'asse di rotazione della ruota (è lo stesso di un'auto). Inoltre, il carico continua a rotolare lungo la circonferenza della ruota, e allo stesso tempo a una velocità pari anche alla velocità di rotazione dell'asse. Pertanto, in generale, il carico rotola al doppio della velocità della ruota. Certo, il carico deve muoversi più velocemente, se non altro perché le ruote vengono sempre lasciate indietro e devono essere costantemente spostate in avanti.

Alcuni lettori penseranno: "Il problema è davvero interessante, ma allora?"

Tuttavia, il principio del trasporto in pianura trova il suo posto nella nostra tecnologia. Così, il progettista, progettando una porta in una piccola stanza (ad esempio vicino a un piccolo ascensore), è costretto ad abbandonare i cardini. Divide la porta in due metà (se, ovviamente, pensa a un trucco del genere!), Che corrono parallele l'una all'altra. Una metà della porta è fissata saldamente all'asse del rullo e la seconda si sposta lungo la circonferenza di questo rullo. Mentre una metà si sposta per metà della larghezza della porta, l'altra ha il tempo di percorrere l'intera larghezza della porta (al doppio della velocità).

Non disprezziamo Flatlandia e le fantasie dello scrittore. Supponiamo che i Flatlander vivano davvero sulla superficie del globo. Questa superficie è così grande che gli abitanti potrebbero non notare la sua curvatura. Naturalmente, pensano di vivere su un piano, poiché non possono immaginare una sfera: dopotutto, la terza dimensione, in linea di principio, non è loro familiare. Pertanto, i professori di Flatlandia sviluppano la matematica di Flatlandia, che viene insegnata nelle scuole. I bambini memorizzano, ad esempio, una definizione del genere: due linee parallele si intersecano a una distanza finita. Oppure: la somma degli angoli di un triangolo è maggiore di 180°. Noi, persone dello spazio tridimensionale, sappiamo che una superficie sferica è uno spazio bidimensionale non euclideo che non si adatta alla solita geometria euclidea.

Guardando il globo, vediamo che due meridiani, paralleli all'equatore, si intersecano al polo. Guardando il globo, ci si può anche convincere che due meridiani formano un angolo di 90° con l'equatore. Nel punto di intersezione al polo, sorge un altro angolo. E comunque la somma di tutti e tre gli angoli è maggiore di 180°. Ma i poveri Flatlanders, ovviamente, non possono nemmeno immaginare tutto questo. Sono sicuri di vivere su un aereo.

Un matematico scettico, Carl Friedrich Gauss (1777-1855), si chiese seriamente se noi umani fossimo nella stessa posizione degli abitanti di Flatlandia. Forse, pensò Gauss, anche noi viviamo in un mondo non euclideo, ma semplicemente non ce ne accorgiamo. Se così fosse lo spazio sarebbe curvo (cosa che non potremmo certo immaginare) e un triangolo sufficientemente grande avrebbe una somma degli angoli diversa da 180°. Gauss misurò il triangolo tra Brocken, Inselberg e High Hagen, ma non trovò alcuna deviazione significativa da 180°. Questo, ovviamente, non poteva servire come prova indiscutibile, dal momento che il triangolo potrebbe essere ancora troppo piccolo.

Tuttavia, non si può semplicemente confrontare lo spazio non euclideo in questione con lo spazio nella teoria della relatività. Noi abitanti di Flatlandia e Gauss stiamo parlando di un problema puramente geometrico, spaziale e se certi assiomi sono veri (ad esempio, sull'intersezione di due linee parallele all'infinito). Gli aderenti alla teoria della relatività introducono il tempo come quarta coordinata spaziale.

SULLA CONGRUENZA

Due figure piane sono congruenti se tutti i loro angoli e segmenti di linea tra i punti corrispondenti sono uguali.

A scuola studiamo teoremi sulla congruenza dei triangoli. È stato stabilito, ad esempio, che le aree dei triangoli sono uguali se hanno un lato e due angoli adiacenti coincidono. Ciò significa che sebbene tu possa usare un lato e due angoli adiacenti ad esso per costruire triangoli, i triangoli devono combaciare con tutte le loro parti.

Nel discorso colloquiale (che usiamo in questo libro), possiamo dire che i piani congruenti si sovrappongono esattamente l'uno all'altro o, al contrario, se una figura piana si sovrappone esattamente a un'altra, allora sono congruenti. Lo stesso vale per i corpi tridimensionali: se possono essere combinati, allora sono congruenti.

Guarda i triangoli mostrati nell'immagine. Sono tutte congruenti. Ovviamente entrambi i triangoli posti a sinistra risulteranno allineati se vengono semplicemente spostati. Ed ecco il triangolo posto a destra, sebbene sia congruente con i due di sinistra, ma non possiamo combinarlo con essi solo spostandoci nel piano. Non importa come lo ruotiamo nel piano, non si adatterà mai a nessuno dei triangoli di sinistra. Per ottenere ciò, devi sollevare il triangolo sopra l'aereo, ruotarlo nello spazio e rimetterlo sull'aereo. Ma se confrontiamo la disposizione reciproca dei triangoli combinati mediante spostamento e inversione, vedremo che in entrambi i casi i loro lati diversi coincidono. Quando viene tagliata, la superficie inferiore di un triangolo di carta si sovrappone alla superficie superiore del secondo triangolo. L'orientamento spaziale della superficie del foglio di carta non è cambiato. In questo caso si parla di congruenza identica. Se, quando vengono ruotate nello spazio, entrambe le superfici superiori della carta vengono combinate, le figure piatte vengono chiamate congruenti allo specchio.

Le figure piane sono chiamate congruenti, che percepiamo come uguali e che possono essere combinate tra loro spostandosi su un piano o ruotando nello spazio.

CONGRUENZA DEI TRIANGOLI

congruenza - la proprietà delle figure piane geometriche di coincidere tra loro per dimensioni e forma.

Le forme che possono essere combinate tra loro mediante rotazione e (o) spostamento sono identicamente congruenti.

Congruenti allo specchio sono figure, per la cui combinazione è necessaria un'ulteriore operazione di riflessione speculare.

Ci sono quattro segni di congruenza dei triangoli. I triangoli sono congruenti se:

1) tre lati di un triangolo sono uguali a tre lati di un altro (S, S, S);

2) due lati e l'angolo interno di un triangolo racchiuso tra loro sono uguali a due lati e l'angolo interno di un altro triangolo racchiuso tra loro (S, W, S);

3) due lati e l'angolo interno opposto al maggiore di essi in un triangolo sono uguali a due lati e l'angolo opposto al maggiore nell'altro triangolo (S, S, W);

4) il lato ed entrambi gli angoli interni ad esso adiacenti di un triangolo sono uguali al lato ed entrambi gli angoli interni ad esso adiacenti di un altro triangolo (W, S, W).

SOMIGLIANZA

La coincidenza di figure piane nella forma, ma non nelle dimensioni, si chiama somiglianza.

Ogni angolo di una delle figure corrisponde a un angolo uguale di una figura simile.

In figure simili, i segmenti corrispondenti sono proporzionali.

Spostando, ruotando e (o) specchiando, due figure simili possono essere portate nella posizione di omotetia. In questa posizione, i lati corrispondenti di entrambe le figure sono paralleli tra loro.

SIMMETRIA ASSIALE

Sia diviso un piano da una retta s in due semipiani. Se ora ruotiamo un semipiano attorno alla linea 5 di 180°, allora tutti i punti di questo semipiano coincideranno con i punti dell'altro semipiano.

La retta s si chiama asse di simmetria.

Poiché i punti sul semipiano invertito si trovano in una posizione speculare rispetto alla loro posizione originale, questo capovolgimento è anche chiamato immagine speculare. Se le linee che indicano alcune direzioni di rotazione vengono applicate a un semipiano, dopo la riflessione speculare questa direzione cambierà nell'opposto. Pertanto, una singola operazione di mirroring produce figure congruenti allo specchio. Due di queste operazioni portano a figure identicamente congruenti. Corrispondono a uno spostamento o rotazione.

SIMMETRIA RADIALE

Le figure radialmente simmetriche possono essere allineate tra loro ruotando attorno al punto S. Questo punto è chiamato centro di simmetria.

Durante la rotazione, i punti corrispondenti delle figure vengono combinati. Il senso di rotazione non cambia. La figura così riflessa è identicamente congruente.

Le successive operazioni di rotazione non pregiudicheranno in alcun modo l'identità delle figure. Con un angolo di rotazione di 180° si parla di simmetria centrale.

TRUCCO DEI DADI

Gli insegnanti dicono che giocare con i blocchi sviluppa l'immaginazione spaziale. E ora i genitori acquistano scatole per la loro prole con cubi luminosi incollati con frammenti di immagini di fiabe popolari. Mettendo questi cubi nel modo giusto, vedrai Cappuccetto Rosso con un lupo grigio o Biancaneve con sette nani.

In effetti, questo tipo di cubi e puzzle sviluppa l'immaginazione spaziale non solo nei bambini, ma in tutti, dai piccoli ai grandi. A volte dobbiamo piegare un cubo da varie forme di tronchi.

A un esame più attento di questi singoli elementi, si scopre che almeno due di essi hanno la stessa forma e dimensione, ma si relazionano tra loro come un guanto destro e sinistro. I creatori di enigmi di questo tipo ovviamente sperano che i giocatori non colgano immediatamente questa distinzione. Se ricordiamo quante volte abbiamo confuso guanto destro e sinistro, dovremo ammettere che tali speranze non sono infondate.

È quasi impossibile combinare questi elementi. Va notato che, usando qui (o da qualche parte sotto) l'espressione "praticamente possibile", intendiamo l'attuazione pratica di tale compito.

Ma esistono anche metodi matematici o fisici che consentono di combinare elementi almeno teoricamente o secondo segni esterni: questo sarà oggetto di ulteriori considerazioni. E poiché qui è stata discussa la combinazione di un elemento con un altro, è necessario notare in particolare una circostanza importante. In Flatlandia sarebbe possibile combinare figure piatte estraendole dall'aereo e ruotandole nello spazio. In Lineland, allo stesso modo, basterebbe solo una dimensione in più: una rotazione nel piano, ei segmenti diventerebbero compatibili.

Ma le costruzioni spaziali possiamo ruotare solo nello spazio! E poiché la quarta dimensione, nonostante tutto il ragionamento di Gauss, ci è chiusa, è persino difficile immaginare come praticamente (!) i nostri "mattoni" possano essere posizionati in un luogo diverso dallo spazio tridimensionale in modo che siano allineati con ciascuno altro!

Nella vita di tutti i giorni, molto spesso dobbiamo risolvere tali enigmi (sottolineo: risolvere praticamente e non giocare!), Ad esempio, quando si imballano vari oggetti. Oppure, ad esempio, immagina i radiatori per il riscaldamento centralizzato. Per alcuni di loro la valvola di regolazione è a sinistra, per altri a destra. Come collegare più radiatori in una batteria?

Frigoriferi, fornelli e altri articoli per la casa sono solitamente realizzati con maniglie, chiavi, rubinetti destri e sinistri. La fantastica possibilità di trasformare tali oggetti nella quarta dimensione farebbe molto piacere a tutti coloro che si occupano del loro trasporto e installazione.

GUARDA IL DIZIONARIO!

All'inizio del libro abbiamo definito l'uomo un essere simmetrico. In futuro, il termine "simmetria" non fu più utilizzato. Tuttavia, probabilmente avrai già notato che in tutti i casi in cui segmenti di linea, figure piatte o corpi spaziali erano simili, ma senza azioni aggiuntive era impossibile, "praticamente" impossibile combinarli, abbiamo incontrato il fenomeno della simmetria. Questi elementi combaciavano tra loro, come un dipinto e la sua immagine speculare. Come la mano sinistra e destra. Se ci prendiamo la briga di esaminare il Dizionario delle parole straniere, scopriremo che simmetria significa "proporzionalità, piena corrispondenza nella disposizione delle parti del tutto rispetto alla linea mediana, al centro ... una tale disposizione di punti rispetto a un punto (centro di simmetria), una retta (asse di simmetria) o un piano (piano di simmetria), in cui ogni due punti corrispondenti giacciono sulla stessa retta passante per il centro di simmetria, sulla stessa perpendicolare all'asse o piano di simmetria, sono alla stessa distanza da loro ... "( Dizionario delle parole straniere: Ed. 7°, rivisto. -M.; Lingua russa 1980, p. 465)

E non è tutto, come spesso accade con le parole straniere, ci sono molti significati per la parola "simmetria". Questo è il vantaggio di tali espressioni, che possono essere utilizzate quando non si vuole dare una definizione univoca, o semplicemente non si conosce una netta differenza tra due oggetti.

Usiamo il termine "proporzionale" in relazione a una persona, un'immagine o qualsiasi oggetto, quando piccole incoerenze non ci permettono di usare la parola "simmetrico".

Dato che stiamo frugando nei libri di consultazione, diamo un'occhiata al Dizionario enciclopedico ( Dizionario enciclopedico sovietico - M .: Enciclopedia sovietica, 1980, p. 1219-1220). Troviamo qui sei articoli che iniziano con la parola "simmetria". Inoltre, questa parola si trova in molti altri articoli.

In matematica, la parola "simmetria" ha almeno sette significati (tra cui polinomi simmetrici, matrici simmetriche). Ci sono relazioni simmetriche nella logica. La simmetria gioca un ruolo importante nella cristallografia (leggerai qualcosa a riguardo più avanti in questo libro). Il concetto di simmetria in biologia è interpretato in modo interessante. Descrive sei diversi tipi di simmetria. Apprendiamo, ad esempio, che i ctenofori sono asimmetrici, mentre i fiori di bocca di leone sono bilateralmente simmetrici. Scopriremo che la simmetria esiste nella musica e nella coreografia (nella danza). Dipende qui dall'alternanza dei cicli. Si scopre che molte canzoni e danze popolari sono costruite simmetricamente.

Quindi, dobbiamo essere d'accordo sul tipo di simmetria di cui parleremo. Indipendentemente dalla natura degli oggetti in esame, l'interesse principale per noi sarà la simmetria speculare: la simmetria di sinistra e destra. Vedremo che questa apparente limitazione ci porterà lontano nel mondo della scienza e della tecnologia e ci permetterà di testare di volta in volta le capacità del nostro cervello (poiché è programmato per la simmetria).

GIOCO DI PUNTI E LINEE

Non abbiamo ancora lasciato Lineland e Flatland. E c'è una ragione speciale per questo. Anche se non ci sono abitanti lì, le linee rette e gli aerei stessi sono abbastanza reali!

Pensiamo alla situazione con simmetria su una linea retta. Con l'aiuto di due partite, possiamo molto semplicemente immaginare due possibili casi. (Abbiamo già considerato alcuni aspetti di questa situazione in precedenza.) I fiammiferi possono trovarsi con la testa in una direzione. Quindi si incastrano facilmente. O teste (o punte) l'una all'altra. In questo caso, c'è un punto sulla linea in cui lo specchio può essere posizionato in modo tale che il fiammifero sembri coincidere con il suo riflesso. In altre parole, c'è un centro di simmetria sulla linea. Dovremo immaginare che lo specchio stia in un punto e rifletta un semisegmento. Nel ragionamento matematico, questo è del tutto possibile.

Le figure piane sono "riflesse" negli assi di simmetria

Quando costruiamo su un piano, il nostro specchio può rimanere ancora un punto, oppure può essere una linea retta. Probabilmente è più corretto dirlo in ordine inverso: una linea retta o un punto serviranno da specchio. Dopotutto, se da qualche parte c'è una linea retta, su di essa è possibile un centro di simmetria.

I riflessi speculari delle metà dei piani hanno lo stesso aspetto dei piani reali: ruotando il piano attorno a una linea retta - uno specchio - può essere combinato con un riflesso, da cui è nata l'espressione "asse di simmetria".

Un cerchio ha un numero infinito di assi di simmetria. "Foglia di trifoglio" - solo uno

Quindi, ora sappiamo cosa sono il centro di simmetria e l'asse di simmetria, e anche che un oggetto (prendi questa parola neutra) è simmetrico se una metà è in relazione con l'altra, come un'immagine e la sua immagine speculare.

Un cerchio ha un numero infinito di assi di simmetria e tutti passano per un centro di simmetria comune. Altre figure hanno un numero finito di assi di simmetria, ma comunque tutti gli assi (due o più di essi) passano per il centro di simmetria. Ciò significa che possiamo ruotare la forma di un certo angolo (massimo 180°) e si troverà di nuovo esattamente nello stesso punto in cui si trovava prima della rotazione.

Continuiamo il nostro ragionamento sulla simmetria speculare. È facile stabilire che ogni figura piana simmetrica può essere combinata con se stessa con l'aiuto di uno specchio. È sorprendente che anche figure così complesse come una stella a cinque punte o un pentagono equilatero siano simmetriche. Come risulta dal numero di assi, si distinguono proprio per la loro elevata simmetria. E viceversa: non è così facile capire perché una figura così apparentemente regolare, come un parallelogramma obliquo, non sia simmetrica. In un primo momento sembra che un asse di simmetria possa correre parallelo a uno dei suoi lati. Ma vale la pena provare mentalmente a usarlo, poiché sei subito convinto che non sia così. Asimmetrico e a spirale.

Stranamente, una figura dall'aspetto così "simmetrico", come un parallelogramma, non solo non ha assi di simmetria, ma anche simmetria speculare in generale.

Mentre le figure simmetriche corrispondono pienamente al loro riflesso, quelle non simmetriche ne sono diverse: da una spirale che si attorciglia da destra a sinistra, una spirale che si attorciglia da sinistra a destra risulterà in uno specchio. Questa proprietà è spesso utilizzata nei giochi di massa e nelle competizioni organizzate dalla televisione. I giocatori sono invitati, guardandosi allo specchio, a disegnare una sorta di figura asimmetrica, come una spirale. E poi disegna ancora una volta la spirale "esattamente la stessa", ma senza specchio. Il confronto di entrambi i disegni mostra che le spirali si sono rivelate diverse: una gira da sinistra a destra, l'altra da destra a sinistra.

Ma quello che qui sembra uno scherzo, nella vita pratica causa molte difficoltà non solo ai bambini, ma anche agli adulti. Spesso i bambini scrivono alcune lettere "al rovescio". La loro N latina sembra E, invece di S e Z, ottengono S e Z. Se osserviamo attentamente le lettere dell'alfabeto latino (e queste sono, in effetti, anche figure piatte!), Vedremo simmetriche e asimmetriche quelli tra loro. Lettere come N, S, Z non hanno asse di simmetria (né F, G, J, L, P, Q e R). Ma N, S e Z sono particolarmente facili da scrivere "al contrario" ( Hanno un centro di simmetria. - Circa. ed). Il resto delle lettere maiuscole ha almeno un asse di simmetria. Le lettere A, M, T, U, V, W e Y possono essere divise a metà dall'asse longitudinale di simmetria. Le lettere B, C, D, E, I, K - l'asse trasversale di simmetria. Le lettere H, O e X hanno due assi di simmetria reciprocamente perpendicolari.

Se si posizionano le lettere davanti allo specchio, parallele alla linea, si noterà che quelle con asse di simmetria orizzontale si leggono anche nello specchio. Ma quelli in cui l'asse si trova verticalmente o è completamente assente diventano "illeggibili".

La domanda sul perché le lettere con un asse longitudinale si comportino in modo diverso rispetto a uno trasversale è piuttosto interessante. Forse ci penserai. La ragione di questo fenomeno sarà discussa in seguito.

Ci sono bambini che scrivono con la mano sinistra e ottengono tutte le lettere in una forma speculare e riflessa. I diari di Leonardo da Vinci sono scritti in caratteri speculari. Probabilmente non c'è una buona ragione per cui dovremmo scrivere lettere in questo modo. È improbabile che un font mirror sia più difficile da padroneggiare del nostro solito.

Non semplificherebbe l'ortografia e alcune parole, come OTTO, non cambierebbero affatto. Ci sono lingue in cui l'iscrizione dei segni si basa sulla presenza di simmetria. Quindi, nella scrittura cinese, il geroglifico significa esattamente il vero mezzo.

In architettura, gli assi di simmetria sono usati come mezzo per esprimere l'intento architettonico. In ingegneria, gli assi di simmetria sono indicati più chiaramente dove è richiesta la deviazione da zero, come sul volante di un camion o sul volante di una nave.

IL NOSTRO MONDO ALLO SPECCHIO

Da Lineland abbiamo estratto il concetto di centro di simmetria e da Flatlandia - sull'asse di simmetria. Nel mondo tridimensionale dei corpi spaziali, dove viviamo, ci sono rispettivamente piani di simmetria. Uno "specchio" ha sempre una dimensione in meno rispetto al mondo che riflette. Quando si guardano corpi rotondi, è subito chiaro che hanno piani di simmetria, ma quanto esattamente non è sempre facile da decidere.

Mettiamo una palla davanti allo specchio e iniziamo a ruotarla lentamente: l'immagine nello specchio non differirà in alcun modo dall'originale, ovviamente, se la palla non ha caratteristiche distintive sulla sua superficie. La pallina da ping pong rivela innumerevoli piani di simmetria. Prendi un coltello, taglia metà della palla e mettila davanti allo specchio. Il riflesso dello specchio completerà di nuovo questa metà per un'intera palla.

Ma se prendiamo un globo e consideriamo la sua simmetria, tenendo conto dei contorni geografici segnati su di esso, allora non troveremo un solo piano di simmetria.

In Flatlandia, la figura con innumerevoli assi di simmetria era il cerchio. Pertanto, non dovremmo sorprenderci che nello spazio proprietà simili siano inerenti alla palla. Ma se il cerchio è l'unico nel suo genere, allora nel mondo tridimensionale ci sono un numero di corpi che hanno un numero infinito di piani di simmetria: un cilindro rettilineo con un cerchio alla base, un cono con un cerchio circolare o base emisferica, una palla o un segmento di una palla. Oppure prendiamo esempi dalla vita: una sigaretta, un sigaro, un bicchiere, una libbra di gelato a forma di cono, un pezzo di filo, una pipa.

Se diamo un'occhiata più da vicino a questi corpi, noteremo che tutti in un modo o nell'altro sono costituiti da un cerchio, attraverso un numero infinito di assi di simmetria di cui passa un numero infinito di piani di simmetria. La maggior parte di questi corpi (sono chiamati corpi di rivoluzione) hanno anche, ovviamente, un centro di simmetria (il centro di un cerchio) attraverso il quale passa almeno un asse di simmetria.

Ben visibile, ad esempio, è l'asse del cono gelato. Va dal centro del cerchio (sporgendo dal gelato!) All'estremità affilata del cono funky. Percepiamo l'insieme degli elementi di simmetria di un corpo come una sorta di misura di simmetria. La palla, senza dubbio, in termini di simmetria è un'incarnazione insuperabile di perfezione, un ideale. Gli antichi greci lo percepivano come il corpo più perfetto e il cerchio, ovviamente, come la figura piatta più perfetta.

In generale, queste idee sono abbastanza accettabili fino ad oggi. Inoltre, i filosofi greci hanno concluso che l'universo, ovviamente, deve essere costruito sul modello di un ideale matematico. Questa conclusione ha portato a errori, le cui conseguenze descriveremo più avanti. È chiaro che gli antichi greci non avevano ancora le cialde di gelato! Altrimenti, un oggetto così prosaico, avendo un numero innumerevole di piani di simmetria, potrebbe violare il loro sistema armonioso.

Se per confronto consideriamo un cubo, vedremo che ha nove piani di simmetria. Tre di loro tagliano in due le sue facce e sei passano attraverso i vertici. Rispetto alla palla, questo, ovviamente, non è sufficiente.

Ma ci sono corpi che occupano una posizione intermedia tra una palla e un cubo in termini di numero di piani? Senza dubbio, sì. Basta ricordare che il cerchio, in sostanza, sembra consistere di poligoni. L'abbiamo affrontato a scuola per calcolare il pi greco. Se erigiamo una piramide n-gonale su ogni n-gon, allora possiamo disegnare n piani di simmetria attraverso di essa.

Si potrebbe inventare un sigaro a 32 facce che abbia la simmetria appropriata!

Ma se tuttavia percepiamo il cubo come un oggetto più simmetrico rispetto alla famigerata libbra di gelato, ciò è dovuto alla struttura della superficie. Una sfera ha una sola superficie. Il cubo ne ha sei, in base al numero di facce, e ogni faccia è rappresentata da un quadrato. Funtik con gelato è composto da due superfici: un cerchio e un guscio a forma di cono.

Per più di due millenni (probabilmente per percezione diretta) sono stati tradizionalmente preferiti corpi geometrici "proporzionali". Il filosofo greco Platone (427-347 aC) scoprì che solo cinque corpi volumetrici possono essere costruiti da figure piane regolari congruenti.

Da quattro triangoli regolari (equilateri) si ottiene un tetraedro (tetraedro). Da otto triangoli regolari, puoi costruire un ottaedro (ottaedro) e, infine, da venti triangoli regolari: un icosaedro. E solo da quattro, otto o venti triangoli identici puoi ottenere un corpo geometrico tridimensionale. Dai quadrati, puoi creare solo una figura tridimensionale: un esaedro (esaedro) e dai pentagoni equilateri: un dodecaedro (dodecaedro).

E cosa nel nostro mondo tridimensionale è completamente privo di simmetria speculare?

Se in Flatlandia era una spirale piatta, allora nel nostro mondo sarà sicuramente una scala a chiocciola o un trapano a spirale. Inoltre, ci sono migliaia di cose e oggetti asimmetrici nella vita e nella tecnologia che ci circonda. Di norma, la vite ha una filettatura destrorsa. Ma a volte c'è anche la sinistra. Quindi, per maggiore sicurezza, le bombole di propano sono dotate di una filettatura sinistrorsa in modo che non vi si possa avvitare un riduttore di valvola progettato, ad esempio, per una bombola con un altro gas. Nella vita di tutti i giorni, questo significa che in campeggio, prima di cucinare su un fornello da campeggio, dovresti sempre provare da che parte si svita la bottiglia.

Tra la sfera e il cubo, da un lato, e la scala a chiocciola, dall'altro, ci sono ancora molti gradi di simmetria. Dal cubo si possono togliere gradualmente i piani di simmetria, gli assi e il centro, fino a raggiungere uno stato di completa asimmetria.

Quasi alla fine di questa fila di simmetria ci troviamo, noi umani, con un solo piano di simmetria che divide il nostro corpo nelle metà sinistra e destra. Il grado di simmetria che abbiamo è lo stesso, ad esempio, di quello del feldspato ordinario (un minerale che insieme a mica e quarzo forma gneiss o granito).

CINQUE PLATONI

Per i poliedri regolari valgono le seguenti affermazioni:

1. In qualsiasi poliedro (incluso uno regolare), la somma di tutti gli angoli tra i bordi che convergono in un vertice è sempre minore di 360°.

2. Dal teorema di Eulero per i politopi convessi

dove e è il numero di vertici, ƒ è il numero di facce e k è il numero di spigoli.

Le facce dei poliedri regolari possono essere solo i seguenti poligoni regolari:

3, 4 o 5 triangoli equilateri di 60°. Sei di questi triangoli danno già 60° X 6 = 360° e, quindi, non possono limitare l'angolo poliedrico.

Tre quadrati (90° X 3 = 270°), 3 pentagoni regolari (108° X 3 = 324°), 3 esagoni regolari (120° X 3 = 360°) limitano l'angolo poliedrico.

Dal teorema di Eulero e dalla forma delle facce risulta che ci sono solo 5 poliedri regolari:

Tabella di cinque poliedri regolari

Forme del viso	Numero				Solidi Platonici
	facce in un vertice	picchi	facce	costolette
Triangoli equilateri	3	4	4	6	Tetraedro
Stesso	4	6	8	12	Ottaedro
Stesso	5	12	20	30	icosaedro
piazze	3	8	6	12	Esaedro (cubo)
Pentagoni corretti	3	20	12	20	Pentagono dodecaedro

(Qualsiasi faccia del Pentagono-dodecaedro è una figura pentagonale, in cui quattro lati sono uguali tra loro, ma diversi dal quinto. - Circa. traduzione)