A legegyszerűbb feladatok egy síkban lévő egyenessel. A vonalak kölcsönös elrendezése

Legyen adott egy lineáris egyenlet által adott egyenes és a koordinátáival (x0, y0) adott pont, amely nem ezen az egyenesen fekszik. Olyan pontot kell találni, amely egy adott egyeneshez képest szimmetrikus lenne egy adott pontra, azaz egybeesne vele, ha a síkot ezen az egyenes mentén gondolatilag kettéhajlítjuk.

Utasítás

1. Nyilvánvaló, hogy mindkét pontnak - adott és kívánt - ugyanazon az egyenesen kell lennie, és ennek az egyenesnek merőlegesnek kell lennie az adottra. A feladat első része tehát annak az egyenesnek az egyenletének megtalálása, amely merőleges lenne valamely adott egyenesre, és egyúttal átmenne egy adott ponton.

2. Egy egyenes kétféleképpen határozható meg. Az egyenes kanonikus egyenlete így néz ki: Ax + By + C = 0, ahol A, B és C állandók. Egy egyenes vonal is meghatározható egy lineáris függvénnyel: y \u003d kx + b, ahol k a szögkitevő, b az eltolás Ez a két módszer felcserélhető, és megengedhető, hogy egyikről a másikra mozogjunk. Ha Ax + By + C = 0, akkor y = – (Ax + C)/B. Más szóval, egy y = kx + b lineáris függvényben a k szögkitevő -A/B, a b eltolás pedig -C/B. Az adott feladatnál kényelmesebb az egyenes kanonikus egyenlete alapján okoskodni.

3. Ha két egyenes merőleges egymásra, és az első egyenes egyenlete Ax + By + C = 0, akkor a 2. egyenes egyenlete Bx - Ay + D = 0, ahol D állandó. Ahhoz, hogy megtaláljuk a D bizonyos értékét, azt is tudni kell, hogy a merőleges egyenes melyik ponton halad át. Ebben az esetben ez a pont (x0, y0), tehát D-nek teljesítenie kell a Bx0 – Ay0 + D = 0 egyenlőséget, azaz D = Ay0 – Bx0.

4. Később, a merőleges egyenes megtalálása után ki kell számítani annak a pontnak a koordinátáit, ahol metszéspontja az adott. Ehhez meg kell oldani egy lineáris egyenletrendszert: Ax + By + C = 0, Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0. Megoldása megadja azokat a számokat (x1, y1), amelyek a koordinátaként szolgálnak vonalak metszéspontja.

5. A kívánt pontnak az észlelt egyenesen kell lennie, és a metszésponttól való távolságának meg kell egyeznie a metszéspont és a pont távolságával (x0, y0). Az (x0, y0) pontra szimmetrikus pont koordinátáit tehát az egyenletrendszer megoldásával találhatjuk meg: Bx - Ay + Ay0 - Bx0 = 0,?((x1 - x0)^2 + (y1 - y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. De könnyítsük meg. Ha az (x0, y0) és (x, y) pontok egyenlő távolságra vannak az (x1, y1) ponttól, és mindhárom pont ugyanazon az egyenesen fekszik, akkor: x - x1 = x1 - x0,y - y1 = y1 - y0. Következésképpen x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Ha ezeket az értékeket behelyettesítjük az első rendszer második egyenletébe, és leegyszerűsítjük a kifejezéseket, könnyen megbizonyosodhatunk arról, hogy a jobb oldala megegyezik a bal oldalával. Ráadásul nincs értelme az első egyenletet közelebbről megvizsgálni, mert ismert, hogy az (x0, y0) és (x1, y1) pontok kielégítik azt, és az (x, y) pont biztosan ugyanazon az egyenesen fekszik. .

A probléma megfogalmazása. Keresse meg egy pontra szimmetrikus pont koordinátáit a síkhoz képest.

Megoldási terv.

1. Megtaláljuk egy adott síkra merőleges és egy ponton átmenő egyenes egyenletét . Mivel az egyenes merőleges az adott síkra, így irányvektoraként a sík normálvektorát vehetjük fel, azaz.

.

Ezért az egyenes egyenlete a következő lesz

.

2. Keressen egy pontot vonal metszéspontja és síkok (lásd 13. feladat).

3. Pont a szakasz felezőpontja, ahol a pont egy pontra szimmetrikus pont , ezért

14. feladat. Keress egy pontot, amely szimmetrikus egy pontra a síkhoz képest.

Egy adott síkra merőleges ponton áthaladó egyenes egyenlete a következő lesz:

.

Keresse meg az egyenes és a sík metszéspontját!

Ahol - az egyenes és a sík metszéspontja a szakasz felezőpontja, ezért

Azok. .

Homogén sík koordináták. Affin transzformációk a síkon.

Hadd M xés nál nél

M(x, nál nélNekem (x, nál nél, 1) térben (8. ábra).

Nekem (x, nál nél

Nekem (x, nál nél HU.

(hx, hy, h), h  0,

Megjegyzés

h(például, h

Valóban, figyelembe véve h

Megjegyzés

1. példa

b) a sarkon (9. ábra).

1. lépés.

2. lépés. Szögelforgatás 

a megfelelő transzformáció mátrixa.

3. lépés.Átvitel az A(a, b)

a megfelelő transzformáció mátrixa.

3. példa

 az x tengely mentén és

1. lépés.

a megfelelő transzformáció mátrixa.

2. lépés.

3. lépés.

végre kapni

Megjegyzés

[R], [D], [M], [T],

Hadd M- a sík tetszőleges pontja koordinátákkal xés nál nél adott egyenes koordináta-rendszerhez képest számítva. Ennek a pontnak a homogén koordinátái az egyidejűleg nem nulla x 1, x 2, x 3 számok tetszőleges hármasai, amelyek az adott x és y számokhoz a következő összefüggések alapján vannak társítva:

A számítógépes grafikai feladatok megoldása során a homogén koordinátákat általában a következőképpen vezetik be: tetszőleges pont M(x, nál nél) a síkhoz pontot rendelnek Nekem (x, nál nél, 1) térben (8. ábra).

Vegye figyelembe, hogy az origót, a 0(0, 0, 0) pontot összekötő egyenes tetszőleges pontja a ponttal Nekem (x, nál nél, 1) megadható a (hx, hy, h) alakú számhármasával.

A hx, hy koordinátájú vektor a 0 (0, 0, 0) és a pontokat összekötő egyenes irányvektora. Nekem (x, nál nél, egy). Ez az egyenes az (x, y, 1) pontban metszi a z = 1 síkot, amely egyértelműen meghatározza a koordinátasík (x, y) pontját. HU.

Így egy tetszőleges (x, y) koordinátájú pont és egy alakzatú számhármas halmaz között

(hx, hy, h), h  0,

létrejön egy (egy az egyhez) megfeleltetés, amely lehetővé teszi, hogy a hx, hy, h számokat e pont új koordinátáinak tekintsük.

Megjegyzés

A projektív geometriában széles körben használt homogén koordináták lehetővé teszik az úgynevezett nem megfelelő elemek (lényegében azok, amelyekben a projektív sík eltér a számunkra ismert euklideszi síktól) hatékony leírását. A bevezetett homogén koordináták által biztosított új jellemzőkről a fejezet negyedik részében olvashat bővebben.

A projektív geometriában homogén koordináták esetén a következő jelölést fogadjuk el:

x: y: 1, vagy általánosabban x 1: x 2: x 3

(emlékezzünk rá, hogy itt feltétlenül szükséges, hogy az x 1, x 2, x 3 számok egyszerre ne tűnjenek el).

A homogén koordináták használata a legegyszerűbb feladatok megoldásánál is kényelmesnek bizonyul.

Fontolja meg például a méretezéssel kapcsolatos problémákat. Ha a megjelenítő eszköz csak egész számokkal működik (vagy ha csak egész számokkal kell dolgozni), akkor tetszőleges érték esetén h(például, h= 1) homogén koordinátákkal rendelkező pont

elképzelhetetlen. A h ésszerű megválasztásával azonban biztosítható, hogy ennek a pontnak a koordinátái egész számok legyenek. A vizsgált példában különösen h = 10 esetén van

Nézzünk egy másik esetet. Annak érdekében, hogy a transzformáció eredménye ne vezessen aritmetikai túlcsorduláshoz, egy koordinátájú ponthoz (80000 40000 1000) vegyünk például h=0,001-et. Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy (80 40 1).

A megadott példák bemutatják a homogén koordináták alkalmazásának hasznosságát a számításokban. A homogén koordináták számítógépes grafikában történő bevezetésének fő célja azonban a geometriai transzformációk alkalmazásának kétségtelenül kényelmessége.

A homogén koordináták hármasai és harmadrendű mátrixok segítségével a sík bármely affin transzformációja leírható.

Valóban, figyelembe véve h= 1, hasonlítson össze két bejegyzést: *-gal jelölt és a következő mátrix:

Könnyen belátható, hogy az utolsó reláció jobb oldalán lévő kifejezések megszorzása után mindkét képletet (*) és a helyes numerikus egyenlőséget 1=1 kapjuk.

Megjegyzés

A szakirodalomban néha más jelölést használnak - oszlopok szerinti jelölést:

Ez a jelölés ekvivalens a fenti vonalas jelöléssel (és abból származik átültetés).

Egy affin transzformáció tetszőleges mátrixának elemei nem hordoznak kifejezett geometriai jelentést. Ezért egy adott leképezés megvalósításához, vagyis a megfelelő mátrix elemeinek egy adott geometriai leírás szerinti megtalálásához speciális technikákra van szükség. Ennek a mátrixnak a felépítése általában a vizsgált probléma összetettségének és a fent leírt konkrét eseteknek megfelelően több szakaszra oszlik.

Minden szakaszban egy mátrixot keresünk, amely megfelel a fenti A, B, C vagy D esetek egyikének, amelyek jól meghatározott geometriai tulajdonságokkal rendelkeznek.

Írjuk ki a megfelelő harmadrendű mátrixokat.

A. Forgatási mátrix, (forgatás)

B. Dilatációs mátrix

B. Reflexiós mátrix

D. Átviteli mátrix (fordítás)

Tekintsünk példákat a sík affin transzformációira.

1. példa

Építsünk egy forgási mátrixot az A pont körül (a,b) a sarkon (9. ábra).

1. lépés. Vigyen át az - A (-a, -b) vektorba, hogy a forgásközéppontot az origóhoz igazítsa;

a megfelelő transzformáció mátrixa.

2. lépés. Szögelforgatás 

a megfelelő transzformáció mátrixa.

3. lépés.Átvitel az A(a, b) a forgásközéppont visszaállítása az előző helyzetébe;

a megfelelő transzformáció mátrixa.

A mátrixokat ugyanabban a sorrendben szorozzuk meg, ahogy kiírtuk:

Ennek eredményeként azt kapjuk, hogy a kívánt transzformáció (mátrix jelöléssel) így fog kinézni:

A kapott mátrix elemeit (főleg az utolsó sorban) nem könnyű megjegyezni. Ugyanakkor a három szorzott mátrix mindegyike könnyen összeállítható a megfelelő leképezés geometriai leírásából.

3. példa

Készítsen nyújtási mátrixot nyújtási faktorokkal az x tengely mentén és az y tengely mentén, és az A(a, b) pontban középre állítjuk.

1. lépés.Átvitel a -А(-а, -b) vektorba, hogy a nyújtási centrum illeszkedjen az origóhoz;

a megfelelő transzformáció mátrixa.

2. lépés. Nyújtás a koordinátatengelyek mentén  és  együtthatókkal; a transzformációs mátrixnak van formája

3. lépés. Tegyük át az A(a, b) vektorba, hogy a nyújtási középpontot visszaállítsuk előző helyzetébe; a megfelelő transzformáció mátrixa az

Szorozza meg a mátrixokat ugyanabban a sorrendben

végre kapni

Megjegyzés

Hasonló módon érvelve, vagyis a javasolt transzformációt mátrixokkal alátámasztott szakaszokra bontva[R], [D], [M], [T], bármely affin transzformáció mátrixát megszerkeszthetjük annak geometriai leírásából.

A Shift összeadás, a méretezés és az elforgatás pedig szorzással valósul meg.

Skála transzformáció (tágulás) az eredethez képest a következő formában van:

vagy mátrix formában:

ahol Dx,Dy a méretezési tényezők a tengelyek mentén, és

- skálázó mátrix.

D > 1 esetén kiterjedés történik, 0 esetén<=D<1- сжатие

Forgatás Transform az eredethez képest a következő formában van:

vagy mátrix formában:

ahol φ a forgásszög, és

- forgási mátrix.

Megjegyzés: A forgatási mátrix oszlopai és sorai egymásra merőleges egységvektorok. Valójában a sorvektorok hosszának négyzete egyenlő eggyel:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 és (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

sorvektorok skaláris szorzata pedig az

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Mivel a vektorok skaláris szorzata A · B = |A| ·| B| ·cosψ, ahol | A| - vektor hossza A, |B| - vektor hossza B, és ψ a köztük lévő legkisebb pozitív szög, akkor két 1 hosszúságú sorvektor skaláris szorzatának 0 egyenlőségéből következik, hogy a köztük lévő szög 90° .

Ó-ó-ó-ó-ó... hát ócska, mintha magadban olvasnád a mondatot =) Viszont akkor a lazítás segít, főleg, hogy ma vettem megfelelő kiegészítőket. Ezért folytassuk az első szakaszt, remélem, a cikk végére megőrizöm a vidám hangulatot.

Két egyenes vonal kölcsönös elrendezése

Az az eset, amikor a terem kórusban énekel. Két sor lehet:

1) egyezés;

2) párhuzamos legyen: ;

3) vagy egyetlen pontban metszi egymást: .

Segítség a babáknak : emlékezzen a kereszteződés matematikai jelére, nagyon gyakran előfordul. A bejegyzés azt jelenti, hogy az egyenes a pontban metszi az egyenest.

Hogyan határozható meg két vonal egymáshoz viszonyított helyzete?

Kezdjük az első esettel:

Két egyenes akkor és csak akkor esik egybe, ha a hozzájuk tartozó együtthatók arányosak, vagyis van egy ilyen "lambda" szám, hogy az egyenlőségek

Tekintsünk egyeneseket, és a megfelelő együtthatókból alkossunk három egyenletet: . Minden egyenletből az következik, hogy tehát ezek az egyenesek egybeesnek.

Valóban, ha az egyenlet összes együtthatója szorozzuk meg -1-gyel (az előjelek változása), és az egyenlet összes együtthatójával 2-vel csökkentve ugyanazt az egyenletet kapjuk: .

A második eset, amikor a vonalak párhuzamosak:

Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha a változók együtthatói arányosak: , de.

Példaként vegyünk két egyenest. Ellenőrizzük a változók megfelelő együtthatóinak arányosságát:

Az azonban világos, hogy.

És a harmadik eset, amikor a vonalak metszik egymást:

Két egyenes akkor és csak akkor metszi egymást, ha a változók együtthatói NEM arányosak, vagyis a "lambda"-nak NINCS olyan értéke, hogy az egyenlőségek teljesüljenek

Tehát az egyenesekhez egy rendszert állítunk össze:

Az első egyenletből az következik, hogy , a második egyenletből pedig: , tehát a rendszer inkonzisztens(nincs megoldás). Így a változók együtthatói nem arányosak.

Következtetés: a vonalak metszik egymást

Gyakorlati feladatokban az imént vizsgált megoldási séma használható. Egyébként nagyon hasonlít a vektorok kollinearitás-ellenőrzésére szolgáló algoritmushoz, amelyet a leckében megvizsgáltunk. A vektorok lineáris (nem) függésének fogalma. Vektoros alapon. De van egy civilizáltabb csomag is:

1. példa

Nézze meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét:

Megoldás egyenesek irányítóvektorainak tanulmányozása alapján:

a) Az egyenletekből megtaláljuk az egyenesek irányvektorait: .

, tehát a vektorok nem kollineárisak, és az egyenesek metszik egymást.

Minden esetre teszek egy követ mutatókkal a keresztútra:

A többiek átugranak a kövön, és követik tovább, egyenesen Kascsejhez, a Haláltalanhoz =)

b) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

A vonalak irányvektora megegyezik, ami azt jelenti, hogy párhuzamosak vagy azonosak. Itt a determináns nem szükséges.

Nyilvánvaló, hogy az ismeretlenek együtthatói arányosak, míg .

Nézzük meg, hogy igaz-e az egyenlőség:

Ily módon

c) Keresse meg az egyenesek irányvektorait:

Számítsuk ki a determinánst, amely ezen vektorok koordinátáiból áll:
, ezért az irányvektorok kollineárisak. A vonalak párhuzamosak vagy egybeesnek.

A "lambda" arányossági tényező könnyen látható közvetlenül a kollineáris irányvektorok arányából. Ez azonban maguknak az egyenletek együtthatóinak segítségével is megtalálható: .

Most nézzük meg, hogy az egyenlőség igaz-e. Mindkét ingyenes feltétel nulla, tehát:

A kapott érték kielégíti ezt az egyenletet (általában bármely szám kielégíti).

Így a vonalak egybeesnek.

Válasz:

Hamarosan megtanulja (vagy már megtanulta) szó szerint, pillanatok alatt megoldani a megfontolt problémát. Ebben a tekintetben nem látok okot arra, hogy önálló megoldást ajánljak, jobb, ha még egy fontos téglát rakunk a geometriai alapba:

Hogyan húzzunk egy adott vonallal párhuzamos vonalat?

Ha nem ismeri ezt a legegyszerűbb feladatot, a Rabló Nightingale szigorúan megbünteti.

2. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet a ponton átmenő párhuzamos egyenesre!

Megoldás: Jelölje az ismeretlen sort betűvel. Mit mond erről a feltétel? Az egyenes átmegy a ponton. Ha pedig az egyenesek párhuzamosak, akkor nyilvánvaló, hogy a "ce" egyenes irányítóvektora is alkalmas a "de" egyenes megszerkesztésére.

Kivesszük az irányvektort az egyenletből:

Válasz:

A példa geometriája egyszerűnek tűnik:

Az analitikai ellenőrzés a következő lépésekből áll:

1) Ellenőrizzük, hogy az egyenesek azonos irányvektorral rendelkeznek-e (ha az egyenes egyenlete nincs megfelelően egyszerűsítve, akkor a vektorok kollineárisak lesznek).

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet.

Az analitikus ellenőrzés a legtöbb esetben könnyen elvégezhető szóban. Nézze meg a két egyenletet, és sokan gyorsan rájönnek, hogy a vonalak párhuzamosak rajz nélkül.

A mai önmegoldó példák kreatívak lesznek. Mert még mindig versenyezni kell Baba Yagával, és ő, tudod, mindenféle találós kérdés szerelmese.

3. példa

Írjon egyenletet az if egyenessel párhuzamos ponton átmenő egyenesre

Van racionális és nem túl racionális megoldás is. A legrövidebb út a lecke végén van.

Dolgoztunk egy kicsit párhuzamos vonalakkal, és később visszatérünk rájuk. Az egybeeső vonalak esete kevéssé érdekes, ezért vegyünk egy olyan problémát, amely jól ismert az iskolai tantervből:

Hogyan találjuk meg két egyenes metszéspontját?

Ha egyenes pontban metszi egymást, akkor a koordinátái a megoldás lineáris egyenletrendszerek

Hogyan találjuk meg a vonalak metszéspontját? Oldja meg a rendszert.

Itt van neked két ismeretlennel rendelkező két lineáris egyenletrendszer geometriai jelentése két egymást metsző (leggyakrabban) egyenes egy síkon.

4. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját

Megoldás: A megoldásnak két módja van - grafikus és analitikus.

A grafikus módszer az, hogy egyszerűen megrajzoljuk a megadott vonalakat, és közvetlenül a rajzból megtudjuk a metszéspontot:

Íme a lényeg: . Az ellenőrzéshez be kell cserélni a koordinátáit egy egyenes minden egyenletébe, oda és oda is illeszkedniük kell. Más szóval, egy pont koordinátái a rendszer megoldása. Valójában egy grafikus megoldást vettünk fontolóra lineáris egyenletrendszerek két egyenlettel, két ismeretlennel.

A grafikus módszer természetesen nem rossz, de vannak észrevehető hátrányai. Nem, nem az a lényeg, hogy a hetedikesek döntsenek így, hanem az, hogy egy helyes és PONTOS rajz elkészítése időbe telik. Ráadásul néhány vonalat nem olyan egyszerű megépíteni, és maga a metszéspont is valahol a harmincadik birodalomban lehet a notebook lapon kívül.

Ezért célszerűbb a metszéspontot analitikus módszerrel megkeresni. Oldjuk meg a rendszert:

A rendszer megoldásához az egyenletek termikus összeadás módszerét alkalmaztuk. A megfelelő készségek fejlesztéséhez látogassa meg a leckét Hogyan lehet egyenletrendszert megoldani?

Válasz:

Az ellenőrzés triviális – a metszéspont koordinátáinak ki kell elégíteniük a rendszer minden egyenletét.

5. példa

Keresse meg az egyenesek metszéspontját, ha metszik egymást.

Ez egy „csináld magad” példa. Kényelmes a problémát több szakaszra osztani. Az állapot elemzése azt sugallja, hogy szükséges:
1) Írja fel az egyenes egyenletét!
2) Írja fel az egyenes egyenletét!
3) Állapítsa meg a vonalak egymáshoz viszonyított helyzetét!
4) Ha az egyenesek metszik egymást, akkor keressük meg a metszéspontot.

A cselekvési algoritmus kidolgozása számos geometriai feladatra jellemző, és erre többször is kitérek.

Teljes megoldás és válasz az oktatóprogram végén:

Egy pár cipő még nem kopott el, hiszen a lecke második részéhez érkeztünk:

Merőleges vonalak. Egy pont és egy egyenes távolsága.
Szög a vonalak között

Kezdjük egy tipikus és nagyon fontos feladattal. Az első részben megtanultuk, hogyan kell az adottval párhuzamos egyenest építeni, most pedig 90 fokkal elfordul a csirkecombokon lévő kunyhó:

Hogyan rajzoljunk egy adott vonalra merőleges vonalat?

6. példa

Az egyenest az egyenlet adja meg. Írj egyenletet egy ponton átmenő merőleges egyenesre!

Megoldás: Feltételezve ismert, hogy . Jó lenne megtalálni az egyenes irányvektorát. Mivel a vonalak merőlegesek, a trükk egyszerű:

Az egyenletből „eltávolítjuk” a normálvektort: ​​, amely az egyenes irányítóvektora lesz.

Az egyenes egyenletét egy pontból és egy irányítóvektorból állítjuk össze:

Válasz:

Hajtsa ki a geometriai vázlatot:

Hmmm... Narancssárga ég, narancssárga tenger, narancssárga teve.

Az oldat analitikai ellenőrzése:

1) Vonja ki az irányvektorokat az egyenletekből és a segítségével vektorok pontszorzata arra a következtetésre jutunk, hogy az egyenesek valóban merőlegesek: .

Egyébként használhatsz normál vektorokat is, ez még egyszerűbb.

2) Ellenőrizze, hogy a pont kielégíti-e a kapott egyenletet .

Az ellenőrzést ismét könnyű verbálisan végrehajtani.

7. példa

Ha ismert az egyenlet, keresse meg a merőleges egyenesek metszéspontját! és pont.

Ez egy „csináld magad” példa. A feladatban több művelet is található, így kényelmes a megoldást pontról pontra rendezni.

Izgalmas utunk folytatódik:

Távolság ponttól vonalig

Előttünk a folyó egy egyenes sávja, és az a feladatunk, hogy a legrövidebb úton elérjük. Nincsenek akadályok, és a legoptimálisabb útvonal a merőlegesen való mozgás lesz. Vagyis a pont és az egyenes távolsága a merőleges szakasz hossza.

A távolságot a geometriában hagyományosan a görög "ro" betűvel jelölik, például: - az "em" pont és a "de" egyenes közötti távolság.

Távolság ponttól vonalig képlettel fejezzük ki

8. példa

Keresse meg egy pont és egy egyenes távolságát

Megoldás: mindössze annyit kell tennie, hogy gondosan behelyettesíti a számokat a képletbe, és elvégzi a számításokat:

Válasz:

Végezzük el a rajzot:

A pont és az egyenes közötti távolság pontosan megegyezik a piros szakasz hossza. Ha kockás papírra rajzot készít 1 egységnyi léptékben. \u003d 1 cm (2 cella), akkor a távolság egy közönséges vonalzóval mérhető.

Vegyünk egy másik feladatot ugyanazon rajz szerint:

A feladat annak a pontnak a koordinátáinak megkeresése, amely szimmetrikus a pontra az egyeneshez képest . Javaslom a műveletek önálló végrehajtását, azonban a megoldási algoritmust köztes eredményekkel vázolom:

1) Keress egy egyenest, amely merőleges egy egyenesre!

2) Keresse meg az egyenesek metszéspontját: .

Ebben a leckében mindkét műveletet részletesen tárgyaljuk.

3) A pont a szakasz felezőpontja. Ismerjük a középső és az egyik vég koordinátáit. Által képletek a szakasz közepének koordinátáihoz megtalálja .

Nem lesz felesleges ellenőrizni, hogy a távolság is egyenlő-e 2,2 egység.

A számítások során nehézségek merülhetnek fel, de a toronyban egy mikroszámológép sokat segít, lehetővé téve a közönséges törtek számlálását. Sokszor tanácsoltam és újra fogom ajánlani.

Hogyan lehet megtalálni a távolságot két párhuzamos egyenes között?

9. példa

Keresse meg a távolságot két párhuzamos egyenes között

Ez egy másik példa egy független megoldásra. Egy kis tipp: végtelenül sok megoldás létezik. Az óra végén kikérdezés, de jobb, ha saját maga próbálja kitalálni, azt hiszem, sikerült jól eloszlatnia a találékonyságát.

Szög két vonal között

Bármi legyen is a sarok, akkor a jamb:


A geometriában két egyenes közötti szöget vesszük a KISEBB szögnek, amiből automatikusan következik, hogy nem lehet tompa. Az ábrán a piros ív által jelzett szöget nem a metsző vonalak közötti szögnek tekintjük. És „zöld” szomszédja ill ellentétes orientációjú karmazsin sarok.

Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a 4 szög bármelyike ​​tekinthető köztük lévő szögnek.

Hogyan különböznek a szögek? Orientáció. Először is alapvetően fontos a sarok "görgetésének" iránya. Másodszor, egy negatív orientációjú szöget mínuszjellel írunk, például ha .

Miért mondtam ezt? Úgy tűnik, meg lehet boldogulni a szög szokásos fogalmával. Az a helyzet, hogy azokban a képletekben, amelyekkel a szögeket megtaláljuk, könnyen negatív eredményt kaphatunk, és ez nem érheti meglepetésként. A mínuszjelű szög sem rosszabb, és nagyon sajátos geometriai jelentéssel bír. A negatív szög rajzán feltétlenül jelezni kell a tájolását (óramutató járásával megegyező irányba) nyíllal.

Hogyan lehet megtalálni a szöget két vonal között? Két munkaképlet létezik:

10. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget

Megoldásés 1. módszer

Tekintsünk két egyenest általános formában egyenletekkel:

Ha egyenes nem merőleges, akkor orientált a köztük lévő szög a következő képlettel számítható ki:

Nagyon figyeljünk a nevezőre – pontosan ez skaláris szorzat egyenesek irányvektorai:

Ha , akkor a képlet nevezője eltűnik, és a vektorok merőlegesek lesznek, az egyenesek pedig merőlegesek. Éppen ezért a megfogalmazásban a vonalak nem merőlegessége miatt fenntartással éltek.

A fentiek alapján a megoldás kényelmesen két lépésben formalizálható:

1) Számítsa ki az egyenesek irányítóvektorainak skaláris szorzatát:
tehát a vonalak nem merőlegesek.

2) A vonalak közötti szöget a következő képlettel találjuk meg:

Az inverz függvény segítségével könnyen megtalálhatja magát a szöget. Ebben az esetben az arctangens páratlanságát használjuk (lásd az ábrát). Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai):

Válasz:

A válaszban megadjuk a pontos értéket, valamint a hozzávetőleges értéket (lehetőleg fokban és radiánban is), számológéppel kiszámítva.

Hát mínusz, tehát mínusz, rendben van. Íme egy geometriai ábra:

Nem meglepő, hogy a szög negatív orientációjúnak bizonyult, mert a feladat feltételében az első szám egy egyenes, és a szög „csavarása” pontosan ebből indult ki.

Ha valóban pozitív szöget akarunk elérni, akkor az egyeneseket fel kell cserélni, azaz a második egyenletből kell átvenni az együtthatókat , és vegyük az együtthatókat az első egyenletből. Röviden, egy közvetlenvel kell kezdenie .

Egy térbeli egyenes mindig meghatározható két nem párhuzamos sík metszésvonalaként. Ha az egyik sík egyenlete a második sík egyenlete, akkor az egyenes egyenlete a következő

itt nem kollineáris
. Ezeket az egyenleteket ún általános egyenletek egyenes vonal a térben.

Az egyenes kanonikus egyenletei

Bármely nem nulla vektort, amely egy adott egyenesen vagy azzal párhuzamosan fekszik, ennek az egyenesnek irányító vektorának nevezzük.

Ha a lényeg ismert
vonal és irányvektora
, akkor az egyenes kanonikus egyenletei a következő alakúak:

. (9)

Egy egyenes paraméteres egyenletei

Legyen adott az egyenes kanonikus egyenlete

.

Innen megkapjuk az egyenes paraméteres egyenleteit:

(10)

Ezek az egyenletek hasznosak egy egyenes és egy sík metszéspontjának megtalálásához.

Két ponton átmenő egyenes egyenlete
és
úgy néz ki, mint a:

.

Szög a vonalak között

Szög a vonalak között

és

egyenlő az irányvektoraik közötti szöggel. Ezért a (4) képlettel kiszámítható:

A párhuzamos vonalak állapota:

.

A síkok merőlegességének feltétele:

Egy pont távolsága az egyenestől

P adott pont
és közvetlen

.

Az egyenes kanonikus egyenleteiből a pont ismert
, amely az egyeneshez tartozik, és annak irányvektora
. Aztán a pont távolság
egyenesből egyenlő a vektorokra épített paralelogramma magasságával és
. Következésképpen,

.

Vonalmetszés feltétele

Két nem párhuzamos vonal

,

akkor és csak akkor metszik egymást

.

Egyenes és sík kölcsönös elrendezése.

Legyen az egyenes
és lapos. Sarok közöttük a képlettel lehet megtalálni

.

73. probléma.Írja fel az egyenes kanonikus egyenleteit!

(11)

Megoldás. A (9) egyenes kanonikus egyenleteinek felírásához ismernünk kell bármely, az egyeneshez tartozó pontot és az egyenes irányítóvektorát.

Keressük meg a vektort párhuzamos az adott egyenessel. Mivel e síkok normálvektoraira merőlegesnek kell lennie, azaz.

,
, akkor

.

Az egyenes általános egyenleteiből azt kapjuk
,
. Akkor

.

A lényeg óta
az egyenes bármely pontját, akkor annak koordinátáinak meg kell felelniük az egyenes egyenleteinek, és ezek közül az egyik megadható, pl.
, megtaláljuk a másik két koordinátát a (11) rendszerből:

Innen,
.

Így a kívánt egyenes kanonikus egyenletei a következő alakúak:

vagy
.

74. probléma.

és
.

Megoldás. Az első sor kanonikus egyenleteiből a pont koordinátái ismertek
az egyeneshez tartozó, és az irányvektor koordinátái
. A második egyenes kanonikus egyenleteiből a pont koordinátái is ismertek
és irányvektor koordinátáit
.

A párhuzamos egyenesek távolsága egyenlő egy pont távolságával
a második sorból. Ezt a távolságot a képlet számítja ki

.

Keressük meg a vektor koordinátáit
.

Számítsa ki a vektorszorzatot!
:

.

75. probléma. Találj egy pontot szimmetrikus pont
viszonylag egyenes

.

Megoldás. Felírjuk az adott egyenesre merőleges és a ponton átmenő sík egyenletét . Normál vektorként az irányító vektort egyenesnek vehetjük. Akkor
. Következésképpen,

Találjunk egy pontot
az adott egyenes és a P sík metszéspontja. Ehhez a (10) egyenlet segítségével felírjuk az egyenes parametrikus egyenleteit, megkapjuk

Következésképpen,
.

Hadd
pont szimmetrikus a pontra
erről a sorról. Aztán a lényeg
középpont
. Egy pont koordinátáinak megtalálása a szakasz közepének koordinátáihoz a képleteket használjuk:

,
,
.

Így,
.

76. probléma.Írd fel az egyenletet egy egyenesen átmenő síkra!
és

a) ponton keresztül
;

b) merőleges a síkra.

Megoldás.Írjuk fel ennek az egyenesnek az általános egyenleteit. Ehhez vegyünk két egyenlőséget:

Ez azt jelenti, hogy a kívánt sík egy generátoros síkok ceruzájához tartozik, és az egyenlete a (8) formában írható fel:

a) megtalálni
és attól a feltételtől, hogy a sík áthalad a ponton
, ezért koordinátáinak ki kell elégíteniük a sík egyenletét. Helyettesítsd be a pont koordinátáit!
egy síknyaláb egyenletébe:

Talált érték
behelyettesítjük a (12) egyenletbe. megkapjuk a kívánt sík egyenletét:

b) megtalálni
és attól a feltételtől, hogy a kívánt sík merőleges a síkra. Adott sík normálvektora
, a kívánt sík normálvektora (lásd a síkköteg egyenletét (12).

Két vektor akkor és csak akkor merőleges, ha pontszorzata nulla. Következésképpen,

Cserélje be a talált értéket
síknyaláb (12) egyenletébe. Megkapjuk a kívánt sík egyenletét:

Önálló megoldási feladatok

77. probléma. Hozd a kanonikus formába az egyenesek egyenleteit:

1)
2)

78. probléma.Írja fel egy egyenes paraméteres egyenleteit!
, ha:

1)
,
; 2)
,
.

79. probléma. Írj egyenletet egy ponton átmenő síkra!
merőleges az egyenesre

80. probléma.Írd fel egy ponton átmenő egyenes egyenleteit!
merőleges a síkra.

81. probléma. Keresse meg a vonalak közötti szöget:

1)
és
;

2)
és

82. probléma. Párhuzamos egyenesek bizonyítása:

és
.

83. probléma. Igazolja az egyenesek merőlegességét:

és

84. probléma. Számítsa ki a pont távolságát
egyenesből:

1)
; 2)
.

85. probléma. Számítsa ki a párhuzamos egyenesek távolságát:

és
.

86. probléma. Egyenes egyenletekben
paraméter meghatározása hogy ez az egyenes metszi az egyenest, és megtaláljuk a metszéspontjukat.

87. probléma. Mutasd meg, hogy egyenes
párhuzamos a síkkal
, és az egyenes
ebben a síkban fekszik.

88. probléma. Találj egy pontot szimmetrikus pont a síkhoz képest
, ha:

1)
, ;

2)
, ;.

89. probléma.Írd fel egy pontból leejtett merőleges egyenletét!
közvetlenül
.

90. probléma. Találj egy pontot szimmetrikus pont
viszonylag egyenes
.

A feladat annak a pontnak a koordinátáinak megkeresése, amely szimmetrikus a pontra az egyeneshez képest . Javaslom a műveletek önálló végrehajtását, azonban a megoldási algoritmust köztes eredményekkel vázolom:

1) Keress egy egyenest, amely merőleges egy egyenesre!

2) Keresse meg az egyenesek metszéspontját: .

Ebben a leckében mindkét műveletet részletesen tárgyaljuk.

3) A pont a szakasz felezőpontja. Ismerjük a középső és az egyik vég koordinátáit. Által képletek a szakasz közepének koordinátáihoz megtalálja .

Nem lesz felesleges ellenőrizni, hogy a távolság is egyenlő-e 2,2 egység.

A számítások során nehézségek merülhetnek fel, de a toronyban egy mikroszámológép sokat segít, lehetővé téve a közönséges törtek számlálását. Sokszor tanácsoltam és újra fogom ajánlani.

Hogyan lehet megtalálni a távolságot két párhuzamos egyenes között?

9. példa

Keresse meg a távolságot két párhuzamos egyenes között

Ez egy másik példa egy független megoldásra. Egy kis tipp: végtelenül sok megoldás létezik. Az óra végén kikérdezés, de jobb, ha saját maga próbálja kitalálni, azt hiszem, sikerült jól eloszlatnia a találékonyságát.

Szög két vonal között

Bármi legyen is a sarok, akkor a jamb:


A geometriában két egyenes közötti szöget vesszük a KISEBB szögnek, amiből automatikusan következik, hogy nem lehet tompa. Az ábrán a piros ív által jelzett szöget nem a metsző vonalak közötti szögnek tekintjük. És „zöld” szomszédja ill ellentétes orientációjú karmazsin sarok.

Ha az egyenesek merőlegesek, akkor a 4 szög bármelyike ​​tekinthető köztük lévő szögnek.

Hogyan különböznek a szögek? Orientáció. Először is alapvetően fontos a sarok "görgetésének" iránya. Másodszor, egy negatív orientációjú szöget mínuszjellel írunk, például ha .

Miért mondtam ezt? Úgy tűnik, meg lehet boldogulni a szög szokásos fogalmával. Az a helyzet, hogy azokban a képletekben, amelyekkel a szögeket megtaláljuk, könnyen negatív eredményt kaphatunk, és ez nem érheti meglepetésként. A mínuszjelű szög sem rosszabb, és nagyon sajátos geometriai jelentéssel bír. A negatív szög rajzán feltétlenül jelezni kell a tájolását (óramutató járásával megegyező irányba) nyíllal.

Hogyan lehet megtalálni a szöget két vonal között? Két munkaképlet létezik:

10. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget

Megoldásés 1. módszer

Tekintsünk két egyenest általános formában egyenletekkel:

Ha egyenes nem merőleges, akkor orientált a köztük lévő szög a következő képlettel számítható ki:

Nagyon figyeljünk a nevezőre – pontosan ez skaláris szorzat egyenesek irányvektorai:

Ha , akkor a képlet nevezője eltűnik, és a vektorok merőlegesek lesznek, az egyenesek pedig merőlegesek. Éppen ezért a megfogalmazásban a vonalak nem merőlegessége miatt fenntartással éltek.

A fentiek alapján a megoldás kényelmesen két lépésben formalizálható:

1) Számítsa ki az egyenesek irányítóvektorainak skaláris szorzatát:

2) A vonalak közötti szöget a következő képlettel találjuk meg:

Az inverz függvény segítségével könnyen megtalálhatja magát a szöget. Ebben az esetben az arctangens páratlanságát használjuk (lásd az ábrát). Elemi függvények grafikonjai és tulajdonságai):

Válasz:

A válaszban megadjuk a pontos értéket, valamint a hozzávetőleges értéket (lehetőleg fokban és radiánban is), számológéppel kiszámítva.

Hát mínusz, tehát mínusz, rendben van. Íme egy geometriai ábra:

Nem meglepő, hogy a szög negatív orientációjúnak bizonyult, mert a feladat feltételében az első szám egy egyenes, és a szög „csavarása” pontosan ebből indult ki.

Ha valóban pozitív szöget akarunk elérni, akkor az egyeneseket fel kell cserélni, azaz a második egyenletből kell átvenni az együtthatókat , és vegyük az együtthatókat az első egyenletből. Röviden, egy közvetlenvel kell kezdenie .

Nem titkolom, én magam választom ki az egyeneseket abban a sorrendben, hogy a szög pozitív legyen. Ez szebb, de semmi több.

A megoldás ellenőrzéséhez vegyen egy szögmérőt és mérje meg a szöget.

Második módszer

Ha az egyeneseket meredekségű és egyenletekkel adjuk meg nem merőleges, akkor orientált a köztük lévő szög a következő képlettel határozható meg:

Az egyenesek merőlegességének feltételét az egyenlőség fejezi ki, amelyből egyébként a merőleges egyenesek meredekségi együtthatóinak nagyon hasznos összefüggése következik: , amelyet egyes feladatokban használnak.

A megoldási algoritmus hasonló az előző bekezdéshez. De először írjuk át a sorainkat a kívánt formában:

Így a meredekségi együtthatók:

1) Ellenőrizze, hogy a vonalak merőlegesek-e:
tehát a vonalak nem merőlegesek.

2) A következő képletet használjuk:

Válasz:

A második módszer akkor megfelelő, ha az egyenesek egyenletei kezdetben meredekséggel vannak beállítva. Megjegyzendő, hogy ha legalább egy egyenes párhuzamos az y tengellyel, akkor a képlet egyáltalán nem alkalmazható, mivel az ilyen egyeneseknél a meredekség nincs meghatározva (lásd a cikket Egyenlet egy síkon).

Van egy harmadik megoldás is. Az ötlet az, hogy a leckében tárgyalt képlet segítségével számítsuk ki a vonalak irányvektorai közötti szöget Vektorok pontszorzata:

Itt nem orientált szögről beszélünk, hanem „csak egy szögről”, vagyis az eredmény minden bizonnyal pozitív lesz. A bökkenő az, hogy kaphat tompaszöget (nem azt, amilyenre szüksége van). Ebben az esetben le kell foglalnia, hogy a vonalak közötti szög kisebb legyen, és ki kell vonnia a kapott ív koszinuszát a „pi” radiánokból (180 fok).

Aki akarja, harmadik úton is megoldhatja a problémát. De továbbra is javaslom, hogy ragaszkodjon az első szögorientált megközelítéshez, mert széles körben használják.

11. példa

Keresse meg a vonalak közötti szöget.

Ez egy „csináld magad” példa. Próbáld meg kétféleképpen megoldani.

A mese valahogy kihalt útközben... Mert nincs Kascsej, a Halhatatlan. Ott vagyok én, és nem különösebben gőzölt. Őszintén szólva, azt hittem, a cikk sokkal hosszabb lesz. De mindazonáltal fogok egy nemrégiben vásárolt kalapot szemüveggel, és megyek úszni a szeptemberi tóvízbe. Tökéletesen enyhíti a fáradtságot és a negatív energiákat.

Hamarosan találkozunk!

És ne feledd, a Baba Yaga-t nem törölték =)

Megoldások és válaszok:

3. példa:Megoldás : Keresse meg az egyenes irányvektorát :

A pont segítségével elkészítjük a kívánt egyenes egyenletét és irányvektor . Mivel az egyik irányvektor koordinátája nulla, az egyenlet írd át a következő formában:

Válasz :

5. példa:Megoldás :
1) Egyenes egyenlet tegyen két pontot :

2) Egyenes egyenlet tegyen két pontot :

3) A változók megfelelő együtthatói aránytalanul: , tehát a vonalak metszik egymást.
4) Keressen egy pontot :


jegyzet : itt a rendszer első egyenletét megszorozzuk 5-tel, majd a másodikat tagonként kivonjuk az 1. egyenletből.
Válasz :