A vektorok közötti szög a térképletben. Vektorok pontszorzata

A vektor hossza, a vektorok közötti szög – ezek a fogalmak természetesen alkalmazhatók és intuitívak, amikor egy vektort egy bizonyos irányú szegmensként határozunk meg. Az alábbiakban megtanuljuk, hogyan határozzuk meg a vektorok közötti szöget a háromdimenziós térben, annak koszinuszát, és példákon keresztül megvizsgáljuk az elméletet.

Yandex.RTB R-A-339285-1

A vektorok közötti szög fogalmának átgondolásához térjünk át egy grafikus szemléltetésre: definiáljunk két olyan a → és b → vektort egy síkon vagy háromdimenziós térben, amelyek nullától eltérőek. Állítsunk be egy tetszőleges O pontot is, és ábrázoljuk belőle az O A → = b → és az O B → = b → vektorokat

1. definíció

Szög az a → és b vektorok között → az O A és O B sugarak közötti szög.

A kapott szöget a következőképpen jelöljük: a → , b → ^

Nyilvánvaló, hogy a szög értéke 0 és π vagy 0 és 180 fok között lehet.

a → , b → ^ = 0, ha a vektorok egyirányúak, és a → , b → ^ = π, ha a vektorok ellentétes irányúak.

2. definíció

A vektorokat ún merőleges, ha a köztük lévő szög 90 fok vagy π 2 radián.

Ha legalább az egyik vektor nulla, akkor az a → , b → ^ szög nincs definiálva.

A két vektor közötti szög koszinusza, és így maga a szög is általában meghatározható a vektorok skaláris szorzatával, vagy a koszinusztétel segítségével két adott vektorból szerkesztett háromszögre.

A definíció szerint a skaláris szorzat a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Ha az adott a → és b → vektorok nullától eltérőek, akkor az egyenlőség jobb és bal oldalát eloszthatjuk ezen vektorok hosszának szorzatával, így kapunk egy képletet a nem közötti szög koszinuszának meghatározására. nulla vektorok:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →

Ezt a képletet akkor használjuk, ha a forrásadatok tartalmazzák a vektorok hosszát és skalárszorzatát.

1. példa

Kiindulási adatok: a → és b → vektorok. Hosszuk 3, illetve 6, skalárszorzatuk pedig -9. Ki kell számítani a vektorok közötti szög koszinuszát, és meg kell találni magát a szöget.

Megoldás

A kiindulási adatok elegendőek a fent kapott képlet alkalmazásához, akkor cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Most határozzuk meg a vektorok közötti szöget: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Válasz: cos a → , b → ^ = - 1 2, a → , b → ^ = 3 π 4

Gyakrabban adódnak problémák, amikor a vektorok koordinátákkal vannak megadva egy téglalap alakú koordinátarendszerben. Ilyen esetekben ugyanazt a képletet kell levezetni, de koordináta formában.

Egy vektor hosszát a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökeként határozzuk meg, a vektorok skaláris szorzata pedig egyenlő a megfelelő koordináták szorzatának összegével. Ekkor az a → = (a x, a y), b → = (b x, b y) síkon a vektorok közötti szög koszinuszának megkeresésére szolgáló képlet így néz ki:

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Az a → = (a x, a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) háromdimenziós térben lévő vektorok szögének koszinuszának meghatározására szolgáló képlet pedig így fog kinézni: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

2. példa

Kiindulási adatok: a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) vektorok téglalap alakú koordinátarendszerben. Meg kell határozni a köztük lévő szöget.

Megoldás

1. A probléma megoldásához azonnal alkalmazhatjuk a következő képletet:

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70

1. A szöget a képlet segítségével is meghatározhatja:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

de előbb számold ki a vektorok hosszát és a skaláris szorzatot koordinátákkal: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 170

Válasz: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Szintén gyakoriak azok a feladatok, amikor három pont koordinátái téglalap alakú koordinátarendszerben vannak megadva, és meg kell határozni valamilyen szöget. Ezután a vektorok közötti szög meghatározásához adott pontkoordinátákkal ki kell számítani a vektorok koordinátáit a vektor kezdetének és végének megfelelő pontjai közötti különbségként.

3. példa

Kiinduló adatok: az A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2) pontok a síkon téglalap alakú koordinátarendszerben vannak megadva. Meg kell határozni az A C → és B C → vektorok közötti szög koszinuszát.

Megoldás

Keressük meg a vektorok koordinátáit az adott pontok koordinátáiból A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, - 4)

Most a képlet segítségével határozzuk meg a vektorok közötti szög koszinuszát egy síkon koordinátákban: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Válasz: cos A C → , B C → ^ = 3 13

A vektorok közötti szög a koszinusztétel segítségével határozható meg. Tegyük félre az O pontból az O A → = a → és az O B → = b → vektorokat, akkor az O A B háromszögben a koszinusztétel szerint igaz lesz az egyenlőség:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,

ami egyenértékű:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

és innen származtatjuk a szög koszinuszának képletét:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

A kapott képlet alkalmazásához szükségünk van a vektorok hosszára, amely koordinátáikból könnyen meghatározható.

Bár ez a módszer megtörténik, a képletet még mindig gyakrabban használják:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

Ha hibát észlel a szövegben, jelölje ki, és nyomja meg a Ctrl+Enter billentyűkombinációt

A vektorok skaláris szorzata (a továbbiakban SP). Kedves barátaim! A matematika vizsga egy vektoros megoldási feladatcsoportot tartalmaz. Néhány problémát már megvizsgáltunk. A „Vektorok” kategóriában láthatja őket. Általában véve a vektorok elmélete nem bonyolult, a lényeg az, hogy következetesen tanulmányozzuk. A számítások és a vektorokkal végzett műveletek az iskolai matematika tanfolyamon egyszerűek, a képletek nem bonyolultak. Vessünk egy pillantást. Ebben a cikkben a vektorok SP-vel kapcsolatos problémákat elemezzük (amelyek szerepelnek az Egységes Államvizsgában). Most „merülés” az elméletben:

H Egy vektor koordinátáinak meghatározásához ki kell vonni a vektor végének koordinátáitorigójának megfelelő koordinátáit

És tovább:

*A vektorhossz (modulus) a következőképpen kerül meghatározásra:

Ezeket a képleteket emlékezni kell!!!

Mutassuk meg a vektorok közötti szöget:

Nyilvánvaló, hogy 0 és 180 0 között változhat(vagy radiánban 0-tól Pi-ig).

A skalárszorzat előjelére vonatkozóan levonhatunk néhány következtetést. A vektorok hosszának pozitív értéke van, ez nyilvánvaló. Ez azt jelenti, hogy a skaláris szorzat előjele a vektorok közötti szög koszinuszának értékétől függ.

Lehetséges esetek:

1. Ha a vektorok közötti szög hegyes (0 0 és 90 0 között), akkor a szög koszinusza pozitív értékű lesz.

2. Ha a vektorok közötti szög tompaszögű (90 0 és 180 0 között), akkor a szög koszinusza negatív értékű lesz.

*Nulla fokon, azaz ha a vektorok iránya azonos, a koszinusz egyenlő eggyel, és ennek megfelelően az eredmény pozitív lesz.

180 o-nál, vagyis amikor a vektorok ellentétes irányúak, a koszinusz egyenlő mínusz eggyel,és ennek megfelelően az eredmény negatív lesz.

Most a FONTOS PONT!

90 o-nál, azaz amikor a vektorok merőlegesek egymásra, a koszinusz egyenlő nullával, és ezért az SP egyenlő nullával. Ezt a tényt (következményt, következtetést) számos olyan probléma megoldásában használják fel, ahol a vektorok relatív helyzetéről beszélünk, beleértve a matematikai feladatok nyitott bankjában szereplő feladatokat is.

Fogalmazzuk meg az állítást: a skaláris szorzat akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha ezek a vektorok merőleges egyeneseken fekszenek.

Tehát az SP vektorok képletei:

Ha ismertek a vektorok koordinátái vagy a kezdeti és végpontjuk koordinátái, akkor mindig megtaláljuk a vektorok közötti szöget:

Nézzük a feladatokat:

27724 Határozza meg az a és b vektor skaláris szorzatát!

A vektorok skaláris szorzatát két képlet egyikével találhatjuk meg:

A vektorok közötti szög ismeretlen, de könnyen megkereshetjük a vektorok koordinátáit, majd az első képletet használhatjuk. Mivel mindkét vektor origója egybeesik a koordináták origójával, ezeknek a vektoroknak a koordinátái megegyeznek a végük koordinátáival, azaz

A vektor koordinátáinak megtalálása a következő részben található:

Kiszámoljuk:

Válasz: 40

Keressük meg a vektorok koordinátáit, és használjuk a képletet:

Egy vektor koordinátáinak megtalálásához ki kell vonni a vektor végének koordinátáiból a kezdetének megfelelő koordinátáit, ami azt jelenti, hogy

Kiszámoljuk a skalárszorzatot:

Válasz: 40

Határozzuk meg az a és b vektorok közötti szöget! Válaszát fokokban adja meg.

Legyen a vektorok koordinátái a következő formában:

A vektorok közötti szög meghatározásához a vektorok skaláris szorzatának képletét használjuk:

A vektorok közötti szög koszinusza:

Ennélfogva:

Ezen vektorok koordinátái egyenlőek:

Helyettesítsük be őket a képletbe:

A vektorok közötti szög 45 fok.

Válasz: 45

Két vektor közötti szög:

Ha két vektor közötti szög hegyes, akkor a skaláris szorzatuk pozitív; ha a vektorok közötti szög tompaszögű, akkor ezeknek a vektoroknak a skaláris szorzata negatív. Két nullától eltérő vektor skaláris szorzata akkor és csak akkor egyenlő nullával, ha ezek a vektorok ortogonálisak.

Gyakorlat. Keresse meg az és a vektorok közötti szöget

Megoldás. A kívánt szög koszinusza

16. Az egyenesek, az egyenes és a sík közötti szög kiszámítása

Egy egyenes és egy sík közötti szög, amely ezt az egyenest metszi és nem merőleges rá, az egyenes és az erre a síkra való vetülete közötti szög.

Az egyenes és a sík szögének meghatározása arra enged következtetni, hogy az egyenes és a sík közötti szög két egymást metsző egyenes: maga az egyenes és annak a síkra való vetülete közötti szög. Ezért az egyenes és a sík közötti szög hegyesszög.

A merőleges egyenes és a sík közötti szög egyenlőnek tekinthető -vel, a párhuzamos egyenes és a sík közötti szög pedig vagy egyáltalán nincs meghatározva, vagy egyenlőnek tekinthető -vel.

69. § Az egyenesek közötti szög kiszámítása.

Két egyenes térbeli szögszámításának problémája ugyanúgy megoldott, mint egy síkon (32. §). Jelöljük φ-vel az egyenesek közötti szög nagyságát l 1 és l 2, és ψ-n keresztül - az irányvektorok közötti szög nagysága A És b ezeket az egyenes vonalakat.

Aztán ha

ψ 90° (206.6. ábra), akkor φ = 180° - ψ. Nyilvánvaló, hogy mindkét esetben igaz a cos φ = |cos ψ| egyenlőség. Az (1) képlet 20. §-a szerint megvan

ennélfogva,

Adják meg az egyeneseket a kanonikus egyenleteik

Ezután a képlet segítségével meghatározzuk a vonalak közötti φ szöget

Ha az egyik egyenest (vagy mindkettőt) nem kanonikus egyenletek adják meg, akkor a szög kiszámításához meg kell találni ezen egyenesek irányvektorainak koordinátáit, majd az (1) képletet kell használni.

17. Párhuzamos egyenesek, Tételek párhuzamos egyenesekről

Meghatározás. Egy síkban két egyenest hívnak párhuzamos, ha nincsenek közös pontjaik.

A háromdimenziós térben lévő két vonalat ún párhuzamos, ha egy síkban fekszenek és nincs közös pontjuk.

Két vektor közötti szög.

A ponttermék definíciójából:

.

Két vektor ortogonalitásának feltétele:

Két vektor kollinearitásának feltétele:

.

Az 5. definícióból következik - . Valójában a vektor és egy szám szorzatának definíciójából az következik. Ezért a vektorok egyenlőségének szabálya alapján , , -t írunk, amiből következik . De a vektor számmal való szorzásával kapott vektor kollineáris a vektorral.

A vektor vetítése vektorra:

.

4. példa. Adott pontok , , , .

Keresse meg a pontterméket.

Megoldás. a koordinátáikkal meghatározott vektorok skaláris szorzatának képletével találjuk meg. Mert a

, ,

5. példa. Adott pontok , , , .

Projekció keresése.

Megoldás. Mert a

, ,

A vetítési képlet alapján megvan

.

6. példa. Adott pontok , , , .

Keresse meg a vektorok és a szög közötti szöget.

Megoldás. Vegye figyelembe, hogy a vektorok

, ,

nem kollineárisak, mert koordinátáik nem arányosak:

.

Ezek a vektorok sem merőlegesek, mivel skalárszorzatuk .

Keressük

Sarok képletből találjuk:

.

7. példa. Határozza meg, milyen vektoroknál és kollineáris.

Megoldás. Kollinearitás esetén a vektorok megfelelő koordinátái és arányosnak kell lennie, azaz:

.

Ezért és.

8. példa. Határozza meg a vektor értékét! És merőleges.

Megoldás. Vektor és merőlegesek, ha skalárszorzatuk nulla. Ebből a feltételből kapjuk: . Azaz,.

9. példa. megtalálja , Ha , , .

Megoldás. A skaláris szorzat tulajdonságainak köszönhetően a következőkkel rendelkezünk:

10. példa. Keresse meg a és a vektorok közötti szöget, ahol és - egységvektorok és a vektorok közötti szög és egyenlő 120°-kal.

Megoldás. Nekünk van: , ,

Végül nálunk van: .

5 B. vektoros alkotás.

21. meghatározás.vektoros alkotás vektorról vektorra nevezzük vektornak, vagy a következő három feltétellel definiálva:

1) A vektor modulusa egyenlő , ahol a vektorok és a vektorok közötti szög, azaz. .

Ebből következik, hogy a vektorszorzat modulusa numerikusan egyenlő a vektorokra és mindkét oldalra felépített paralelogramma területével.

2) A vektor merőleges az egyes vektorokra és ( ; ), azaz. a vektorokra szerkesztett paralelogramma síkjára merőleges és.

3) A vektort úgy irányítjuk, hogy a végéről nézve a legrövidebb fordulat vektorból vektorba az óramutató járásával ellentétes irányban haladjon (a , vektorok jobb oldali hármast alkotnak).

Hogyan kell kiszámítani a vektorok közötti szögeket?

A geometria tanulmányozása során sok kérdés merül fel a vektorok témájában. A tanuló különösen akkor tapasztal nehézséget, ha meg kell találni a vektorok közötti szögeket.

Alapfogalmak

A vektorok közötti szögek vizsgálata előtt meg kell ismerkedni a vektor definíciójával és a vektorok közötti szög fogalmával.

A vektor egy olyan szegmens, amelynek van egy iránya, vagyis egy olyan szakasz, amelynek eleje és vége meg van határozva.

Egy síkon két közös origóval rendelkező vektor közötti szög a szögek közül a kisebb, amennyivel az egyik vektort el kell mozgatni a közös pont körül, amíg az irányuk egybe nem esik.

Képlet a megoldáshoz

Miután megértette, mi a vektor, és hogyan határozza meg a szögét, kiszámíthatja a vektorok közötti szöget. Ennek megoldási képlete meglehetősen egyszerű, alkalmazásának eredménye a szög koszinuszának értéke lesz. A definíció szerint egyenlő a vektorok skaláris szorzatának és hosszuk szorzatának hányadosával.

A vektorok skaláris szorzatát a faktorvektorok megfelelő koordinátáinak egymással való szorzataként számítjuk ki. Egy vektor hosszát vagy modulusát a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyökeként számítjuk ki.

Miután megkapta a szög koszinuszának értékét, kiszámíthatja magának a szögnek az értékét egy számológép vagy egy trigonometrikus táblázat segítségével.

Példa

Miután rájött, hogyan kell kiszámítani a vektorok közötti szöget, a megfelelő probléma megoldása egyszerű és világos lesz. Példaként érdemes megfontolni a szög értékének meghatározásának egyszerű problémáját.

Először is kényelmesebb lesz kiszámítani a megoldáshoz szükséges vektorhosszak értékét és skaláris szorzatát. A fenti leírást felhasználva a következőket kapjuk:

A kapott értékeket behelyettesítve a képletbe, kiszámítjuk a kívánt szög koszinuszának értékét:

Ez a szám nem tartozik az öt közös koszinusz érték közé, ezért a szög meghatározásához számológépet vagy Bradis trigonometrikus táblázatot kell használnia. De a vektorok közötti szög meghatározása előtt a képlet egyszerűsíthető, hogy megszabaduljunk az extra negatív előjeltől:

A pontosság megőrzése érdekében a végső választ hagyhatjuk úgy, ahogy van, vagy kiszámolhatjuk a szög értékét fokban. A Bradis táblázat szerint ennek értéke hozzávetőlegesen 116 fok és 70 perc lesz, a számológép pedig 116,57 fokos értéket mutat.

Szög számítása n-dimenziós térben

Ha két vektort vizsgálunk a háromdimenziós térben, sokkal nehezebb megérteni, hogy melyik szögről beszélünk, ha nem fekszenek ugyanabban a síkban. Az érzékelés egyszerűsítése érdekében rajzolhat két egymást metsző szegmenst, amelyek a legkisebb szöget alkotják közöttük; ez lesz a kívánt. Annak ellenére, hogy van egy harmadik koordináta a vektorban, a vektorok közötti szögek kiszámításának folyamata nem változik. Számítsd ki a vektorok skaláris szorzatát és modulusát, hányadosuk arc koszinusza lesz a válasz erre a problémára.

A geometriában gyakran vannak problémák a háromnál több dimenziójú terekkel. De számukra hasonlónak tűnik a válasz megtalálásának algoritmusa.

0 és 180 fok közötti különbség

Az egyik gyakori hiba, amikor a vektorok közötti szög kiszámítására szolgáló feladatra választ írunk, az a döntés, hogy a vektorok párhuzamosak, vagyis a kívánt szög 0 vagy 180 fokkal egyenlő. Ez a válasz helytelen.

Miután a megoldás eredményeként megkaptuk a 0 fokos szögértéket, a helyes válasz az lenne, ha a vektorokat társirányúnak jelölnénk ki, vagyis a vektorok azonos irányúak lesznek. Ha 180 fokot kapunk, akkor a vektorok ellentétes irányúak lesznek.

Specifikus vektorok

Miután megtalálta a vektorok közötti szögeket, a fent leírt egyirányú és ellentétes irányúak mellett megtalálhatja az egyik speciális típust.

• Egy síkkal párhuzamos több vektort koplanárisnak nevezünk.
• Az azonos hosszúságú és irányú vektorokat egyenlőnek nevezzük.
• Azokat a vektorokat, amelyek iránytól függetlenül ugyanazon az egyenesen fekszenek, kollineárisnak nevezzük.
• Ha egy vektor hossza nulla, azaz eleje és vége egybeesik, akkor nullának nevezzük, ha pedig egy, akkor egységnek.

Hogyan találjuk meg a vektorok közötti szöget?

segíts kérlek! Ismerem a képletet, de nem tudom kiszámolni ((
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Sándor Titov

A vektorok koordinátái által meghatározott szöget egy szabványos algoritmus segítségével találjuk meg. Először meg kell találni az a és b vektorok skaláris szorzatát: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Behelyettesítjük ezeknek a vektoroknak a koordinátáit, és kiszámítjuk:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Ezután meghatározzuk az egyes vektorok hosszát. Egy vektor hossza vagy modulusa a koordinátái négyzetösszegének négyzetgyöke:
|a| = (x1^2 + y1^2 + z1^2) gyöke = (8^2 + 10^2 + 4^2) = (64 + 100 + 16) gyökere = 180 gyöke = 6 gyöke 5
|b| = (x2^2 + y2^2 + z2^2) gyöke = (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = (25 + 400 + 100) = gyöke 525 = 5 gyöke a 21-ből.
Ezeket a hosszúságokat megszorozzuk. 105-ből 30 gyökeret kapunk.
Végül pedig elosztjuk a vektorok skaláris szorzatát ezen vektorok hosszának szorzatával. -200/(105-ből 30 gyökér) kapunk, ill
- (105 4 gyöke) / 63. Ez a vektorok közötti szög koszinusza. És maga a szög egyenlő ennek a számnak az ív koszinuszával
f = arccos(-4 gyöke 105-ből) / 63.
Ha mindent jól számoltam.

Hogyan számítsuk ki a vektorok közötti szög szinuszát a vektorok koordinátái segítségével

Mihail Tkacsov

Szorozzuk meg ezeket a vektorokat. Skaláris szorzatuk egyenlő ezen vektorok hosszának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzatával.
A szög ismeretlen számunkra, de a koordináták ismertek.
Írjuk le matematikailag így.
Legyenek adottak az a(x1;y1) és b(x2;y2) vektorok
Akkor

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Beszéljünk.
vektorok a*b-skaláris szorzata egyenlő ezen vektorok koordinátáinak megfelelő koordinátáinak szorzatának összegével, azaz egyenlő x1*x2+y1*y2-vel

|a|*|b|-vektorhosszak szorzata egyenlő √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Ez azt jelenti, hogy a vektorok közötti szög koszinusza egyenlő:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Egy szög koszinuszának ismeretében ki tudjuk számítani a szinuszát. Beszéljük meg, hogyan kell ezt megtenni:

Ha egy szög koszinusza pozitív, akkor ez a szög 1 vagy 4 kvadránsban van, ami azt jelenti, hogy a szinusza pozitív vagy negatív. De mivel a vektorok közötti szög kisebb vagy egyenlő, mint 180 fok, akkor a szinusza pozitív. Hasonlóan okoskodunk, ha a koszinusz negatív.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√(((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Ez az)))) sok sikert a kitaláláshoz)))

Dmitrij Leviscsev

Az a tény, hogy lehetetlen közvetlenül szinuszozni, nem igaz.
A képlet mellett:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Van ilyen is:
||=|a|*|b|*sin A
Vagyis a skalárszorzat helyett a vektorszorzat modulját vehetjük fel.

Szakaszok: Matematika

Az óra típusa: új tananyag elsajátítása.

Oktatási feladatok:

– képlet levezetése két vektor közötti szög kiszámítására;

– továbbra is fejleszteni kell a vektorok problémamegoldó alkalmazásának készségeit;

– a matematika iránti érdeklődés további fejlesztése problémamegoldással;

– a tanulási folyamathoz való tudatos attitűd kialakítása, az ismeretek minősége iránti felelősségtudat kialakítása, a feladatok megoldásának, tervezésének folyamata feletti önkontroll gyakorlása.

Osztályok biztosítása:

– „Vektorok a síkban és a térben” táblázat;

– feladatkártyák egyéni kikérdezéshez;

– feladatkártyák tesztmunkához;

- mikroszámológépek.

A tanulónak tudnia kell:

– képlet a vektorok közötti szög kiszámításához.

A tanulónak képesnek kell lennie:

– az elsajátított ismereteket elemző, geometriai és alkalmazott feladatok megoldásában alkalmazni.

A tanulók kognitív tevékenységének motiválása.

A tanár beszámol arról, hogy ma az osztályban a diákok megtanulják kiszámítani a vektorok közötti szöget, és a megszerzett ismereteket a műszaki mechanika és a fizika problémáinak megoldására alkalmazzák. A „Műszaki mechanika” tudományág legtöbb problémáját vektoros módszerrel oldják meg. Így a „Konvergáló erők síkrendszere”, „Két erő eredőjének megkeresése” téma tanulmányozásakor a két vektor közötti szög kiszámításának képletét használják.

A lecke előrehaladása.

I. Szervezési mozzanat.

II. Házi feladat ellenőrzése.

a) Egyéni felmérés kártyákkal.

1. kártya.

1. Írja fel két vektor összeadásának tulajdonságait!

2. Milyen értékben m vektorok és kollineárisak lesznek?

2. kártya.

1. Mit nevezünk egy vektor és egy szám szorzatának?

2. A vektorok és ?

3. kártya.

1. Fogalmazza meg két vektor skaláris szorzatának definícióját!

2. A vektorok hosszának mekkora értékénél és egyenlőek lesznek?

4. kártya.

1. Írjon fel képleteket egy vektor koordinátáinak és egy vektor hosszának kiszámításához?

2. A vektorok és ?

b) Kérdések a frontális felméréshez:

1. Milyen műveleteket lehet végrehajtani a koordinátáik által meghatározott vektorokon?
2. Milyen vektorokat nevezünk kollineárisnak?
3. Feltétele két nem nulla vektor kollinearitása?
4. A vektorok közötti szög meghatározása?
5. Két nem nulla vektor skaláris szorzatának meghatározása?
6. Szükséges és elégséges feltétele, hogy két vektor merőleges legyen?
7. Mi a fizikai jelentése két vektor skaláris szorzatának?
8. Írjon fel két vektor skaláris szorzatának kiszámításához szükséges képleteket a koordinátáik alapján a síkban és a térben.
9. Írjon képleteket egy vektor síkbeli és térbeli hosszának kiszámításához!

III. Új anyagok tanulása.

a) Vezessünk egy képletet a vektorok síkbeli és térbeli szögének kiszámítására. Két nem nulla vektor skaláris szorzatának meghatározása szerint:

kötözősaláta

Ezért ha és , akkor

a nullától eltérő vektorok közötti szög koszinusza, és egyenlő ezen vektorok skaláris szorzatával osztva a hosszuk szorzatával. Ha a vektorokat derékszögű derékszögű koordinátarendszerben adjuk meg egy síkon, akkor a köztük lévő szög koszinuszát a következő képlettel számítjuk ki:

= (x 1; y 1); = (x 2 ; y 2)

cos =

Térben: = (x 1; y 1; z 1); = (x 2 ; y 2 ​​; z 2)

cos =

Problémákat megoldani:

1. feladat: Határozzuk meg az = (1; -2), = (-3; 1) vektorok közötti szöget!

Arccos = 135°

2. feladat: Az ABC háromszögben keresse meg a B szög nagyságát, ha

A (0; 5; 0), B (4; 3; -8), C (-1; -3; -6).

cos = =

3. feladat: Határozza meg a vektorok közötti szöget, és ha A (1; 6),

B (1; 0), C (-2; 3).

cos = = = –

IV. Az ismeretek alkalmazása tipikus problémák megoldásában.

ELEMZŐ SZEREPLŐ FELADATAI.

Határozza meg a vektorok közötti szöget, és ha A (1; -3; -4),

B (-1; 0; 2), C (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Határozzuk meg vektorok skaláris szorzatát, ha , = 30°.

A vektorhosszak milyen értékeinél és egyenlőek lesznek?

Számítsd ki a és a vektorok közötti szöget

Számítsa ki a vektorokkal megszerkesztett paralelogramma területét!

És .

ALKALMAZOTT FELADATOK

Határozzuk meg két 1 és 2 erő eredőjét, ha = 5H; = 7H, a köztük lévő szög = 60°.

° + .

Számítsa ki az erő = (6; 2) által végzett munkát, ha alkalmazási pontja egyenesen haladva az A (-1; 3) pozícióból a B (3; 4) helyzetbe kerül!

Legyen az anyagi pont sebessége és a rá ható erő. Mekkora az erő által kifejlesztett teljesítmény, ha = 5H, = 3,5 m/s;

VI. Összegezve a tanulságot.

VII. Házi feladat:

G.N. Yakovlev, Geometry, 22. §, 3. bekezdés, 191. o

5.22. sz., 5.27. sz., 192. o.