Jednadžba x2 y2. Rješavanje jednadžbi s dvije varijable

1. Sustavi linearnih jednadžbi s parametrom

Sustavi linearnih jednadžbi s parametrom rješavaju se istim osnovnim metodama kao i konvencionalni sustavi jednadžbi: metodom supstitucije, metodom zbrajanja jednadžbi i grafičkom metodom. Poznavanje grafičke interpretacije linearnih sustava olakšava odgovor na pitanje o broju korijena i njihovom postojanju.

Primjer 1

Pronađite sve vrijednosti za parametar a za koje sustav jednadžbi nema rješenja.

(x + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x + y = 2.

Riješenje.

Pogledajmo nekoliko načina za rješavanje ovog problema.

1 način. Koristimo svojstvo: sustav nema rješenja ako je omjer koeficijenata ispred x jednak omjeru koeficijenata ispred y, ali nije jednak omjeru slobodnih članova (a/a 1 = b/ b 1 ≠ c/c 1). Zatim imamo:

1/1 \u003d (a 2 - 3) / 1 ≠ a / 2 ili sustav

(i 2 - 3 = 1,
(a ≠ 2.

Iz prve jednadžbe a 2 \u003d 4, dakle, uzimajući u obzir uvjet da je a ≠ 2, dobivamo odgovor.

Odgovor: a = -2.

2 način. Rješavamo metodom zamjene.

(2 - y + (a 2 - 3) y \u003d a,
(x = 2 - y,

((a 2 - 3) y - y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Nakon što izbacimo zajednički faktor y iz zagrada u prvoj jednadžbi, dobivamo:

((a 2 - 4) y \u003d a - 2,
(x = 2 - y.

Sustav nema rješenja ako prva jednadžba nema rješenja, tj

(i 2 - 4 = 0,
(a - 2 ≠ 0.

Očito je da je a = ±2, ali uzimajući u obzir drugi uvjet, dan je samo odgovor s minusom.

Odgovor: a = -2.

Primjer 2

Nađite sve vrijednosti za parametar a za koje sustav jednadžbi ima beskonačan broj rješenja.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Riješenje.

Po svojstvu, ako je omjer koeficijenata na x i y isti i jednak je omjeru slobodnih članova sustava, tada on ima beskonačan skup rješenja (tj. a / a 1 \u003d b / b 1 \u003d c / c 1). Stoga je 8/a = a/2 = 2/1. Rješavajući svaku od dobivenih jednadžbi, nalazimo da je = 4 odgovor u ovom primjeru.

Odgovor: a = 4.

2. Sustavi racionalnih jednadžbi s parametrom

Primjer 3

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Riješenje.

Pomnožite prvu jednadžbu sustava s 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Oduzmite drugu jednadžbu od prve, dobit ćemo 5|x| = 4 – a. Ova jednadžba će imati jedinstveno rješenje za a = 4. U drugim slučajevima, ova će jednadžba imati dva rješenja (za a< 4) или ни одного (при а > 4).

Odgovor: a = 4.

Primjer 4

Pronađite sve vrijednosti parametra a za koje sustav jednadžbi ima jedinstveno rješenje.

(x + y = a,
(y - x 2 \u003d 1.

Riješenje.

Ovaj sustav ćemo riješiti grafičkom metodom. Dakle, graf druge jednadžbe sustava je parabola, podignuta duž osi Oy za jedan jedinični segment. Prva jednadžba definira skup pravaca paralelnih s pravcem y = -x (slika 1). Slika jasno pokazuje da sustav ima rješenje ako je ravna linija y \u003d -x + a tangenta na parabolu u točki s koordinatama (-0,5; 1,25). Zamjenom ovih koordinata u jednadžbu ravne linije umjesto x i y, nalazimo vrijednost parametra a:

1,25 = 0,5 + a;

Odgovor: a = 0,75.

Primjer 5

Metodom supstitucije utvrdite pri kojoj vrijednosti parametra a sustav ima jedinstveno rješenje.

(ax - y \u003d a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Riješenje.

Izrazite y iz prve jednadžbe i zamijenite ga u drugu:

(y \u003d ah - a - 1,
(x + (a + 2) (x - a - 1) = 2.

Drugu jednadžbu dovodimo u oblik kx = b, koji će imati jedinstveno rješenje za k ≠ 0. Imamo:

sjekira + a 2 x - a 2 - a + 2 ax - 2a - 2 \u003d 2;

a 2 x + 3ax \u003d 2 + a 2 + 3a + 2.

Kvadratni trinom a 2 + 3a + 2 može se prikazati kao umnožak zagrada

(a + 2)(a + 1), a na lijevoj strani x izvadimo iz zagrade:

(a 2 + 3a) x \u003d 2 + (a + 2) (a + 1).

Očito, a 2 + 3a ne smije biti jednako nuli, dakle,

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, što znači a ≠ 0 i ≠ -3.

Odgovor: a ≠ 0; ≠ -3.

Primjer 6

Metodom grafičkog rješenja odredite pri kojoj vrijednosti parametra a sustav ima jedinstveno rješenje.

(x 2 + y 2 = 9,
(y - |x| = a.

Riješenje.

Na temelju uvjeta gradimo kružnicu sa središtem u ishodištu koordinata i polumjerom od 3 jedinična segmenta, upravo ta kružnica postavlja prvu jednadžbu sustava

x 2 + y 2 = 9. Druga jednadžba sustava (y = |x| + a) je izlomljena linija. Pomoću slika 2 razmatramo sve moguće slučajeve njegovog položaja u odnosu na krug. Lako je vidjeti da je a = 3.

Odgovor: a = 3.

Imate li kakvih pitanja? Ne znate kako riješiti sustave jednadžbi?
Za pomoć mentora - prijavite se.
Prvi sat je besplatan!

stranica, uz potpuno ili djelomično kopiranje materijala, potrebna je veza na izvor.

Uputa

Metoda supstitucije Izrazite jednu varijablu i zamijenite je u drugu jednadžbu. Možete izraziti bilo koju varijablu koju želite. Na primjer, izrazite "y" iz druge jednadžbe:
x-y=2 => y=x-2 Zatim sve uključite u prvu jednadžbu:
2x+(x-2)=10 Pomakni sve bez x na desnu stranu i broji:
2x+x=10+2
3x=12 Zatim, za "x, obje strane jednadžbe podijelite s 3:
x=4. Dakle, pronašli ste "x. Pronađite "na. Da biste to učinili, zamijenite "x" u jednadžbu iz koje ste izrazili "y:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Provjerite. Da biste to učinili, zamijenite dobivene vrijednosti u jednadžbe:
2*4+2=10
4-2=2
Nepoznato ispravno pronađeno!

Kako zbrajati ili oduzimati jednadžbe Riješite se svake varijable odjednom. U našem slučaju, to je lakše učiniti s "y.
Budući da u jednadžbi “y ima predznak” + , a u drugoj “-”, tada možete izvršiti operaciju zbrajanja, tj. Dodamo lijevu stranu lijevoj, a desnu stranu desnoj:
2x+y+(x-y)=10+2 Pretvori:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4 Zamijenite "x" u bilo koju jednadžbu i pronađite "y:
2*4+y=10
8+y=10
y=10-8
y=2 Prvom metodom možete provjeriti jesu li korijeni ispravno pronađeni.

Ako nema jasno definiranih varijabli, onda je potrebno malo transformirati jednadžbe.
U prvoj jednadžbi imamo "2x", au drugoj samo "x". Da bi se x smanjio pri zbrajanju ili oduzimanju, pomnožite drugu jednadžbu s 2:
x-y=2
2x-2y=4 Zatim oduzmite drugu jednadžbu od prve jednadžbe:
2x+y-(2x-2y)=10-4
2x+y-2x+2y=6
3y=6
pronađite y \u003d 2 "x izražavanjem iz bilo koje jednadžbe, tj.
x=4

Povezani Videi

Prilikom rješavanja diferencijalnih jednadžbi, argument x (ili vrijeme t u fizičkim problemima) nije uvijek eksplicitno dostupan. Ipak, ovo je pojednostavljeni specijalni slučaj postavljanja diferencijalne jednadžbe, koji često pomaže pojednostaviti traženje njenog integrala.

Uputa

Razmotrimo fizički problem koji vodi do diferencijalne jednadžbe kojoj nedostaje argument t. Ovo je problem vibracija mase m, obješenih na nit duljine r, koja se nalazi u vertikalnoj ravnini. Jednadžba gibanja njihala je potrebna ako je početno njihalo mirovalo i odstupalo od ravnotežnog stanja za kut α. Sile treba zanemariti (vidi sliku 1a).

Riješenje. Matematičko njihalo je materijalna točka obješena na bestežinsku i nerastezljivu nit u točki O. Na točku djeluju dvije sile: gravitacija G \u003d mg i napetost niti N. Obje ove sile leže u vertikalnoj ravnini. Stoga, za rješavanje problema, možete primijeniti jednadžbu rotacijskog gibanja točke oko vodoravne osi koja prolazi kroz točku O. Jednadžba za rotacijsko gibanje tijela ima oblik prikazan na sl. 1b. U ovom slučaju I je moment tromosti materijalne točke; j je kut zakretanja niti zajedno s točkom, računajući od okomite osi suprotno od kazaljke na satu; M je moment sila koje djeluju na materijalnu točku.

Izračunajte ove količine. I=mr^2, M=M(G)+M(N). Ali M(N)=0, budući da linija djelovanja sile prolazi točkom O. M(G)=-mgrsinj. Znak "-" znači da je moment sile usmjeren u smjeru suprotnom od gibanja. Zamijenite moment tromosti i moment sile u jednadžbu gibanja i dobit ćete jednadžbu prikazanu na sl. 1s. Smanjenjem mase nastaje relacija (vidi sl. 1d). Ovdje nema t argumenta.

Rješavanje jednadžbi u cijelim brojevima jedan je od najstarijih matematičkih problema. Već početkom 2. tisućljeća pr. e. Babilonci su znali rješavati sustave takvih jednadžbi s dvije varijable. Ovo područje matematike doseglo je najveći procvat u staroj Grčkoj. Glavni izvor za nas je Diofantova "Aritmetika", koja sadrži razne vrste jednadžbi. U njemu Diofant (prema svom imenu i nazivu jednadžbi - Diofantove jednadžbe) predviđa niz metoda za proučavanje jednadžbi 2. i 3. stupnja, koje su se razvile tek u 19. stoljeću.

Najjednostavnije Diofantove jednadžbe ax + y = 1 (jednadžba s dvije varijable, prvi stupanj) x2 + y2 = z2 (jednadžba s tri varijable, drugi stupanj)

Najpotpunije su proučavane algebarske jednadžbe, čije je rješavanje bilo jedan od najvažnijih problema u algebri u 16. i 17. stoljeću.

Do početka 19. stoljeća radovi P. Fermata, L. Eulera, K. Gaussa istraživali su Diofantovu jednadžbu oblika: ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdje su a, b, c , d, e, f su brojevi; x, y su nepoznate varijable.

Ovo je jednadžba 2. stupnja s dvije nepoznanice.

K. Gauss je izgradio opću teoriju kvadratnih oblika, koja je osnova za rješavanje pojedinih vrsta jednadžbi s dvije varijable (Diofantove jednadžbe). Postoji veliki broj specifičnih Diofantovih jednadžbi koje se mogu riješiti elementarnim metodama. /p>

teorijsko gradivo.

U ovom dijelu rada opisat će se osnovni matematički pojmovi, dati definicije pojmova, formulirati teorem o dekompoziciji metodom neodređenih koeficijenata koji su proučavani i razmatrani pri rješavanju jednadžbi s dvije varijable.

Definicija 1: Jednadžba oblika ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0, gdje su a, b, c, d, e, f brojevi; x, y nepoznate varijable nazivamo jednadžbom drugog stupnja s dvije varijable.

U školskom tečaju matematike proučava se kvadratna jednadžba ax2 + inx + c \u003d 0, gdje je a, b, c broja x varijabla, s jednom varijablom. Postoji mnogo načina za rješavanje takve jednadžbe:

1. Traženje korijena pomoću diskriminante;

2. Traženje korijena za paran koeficijent u (prema D1 =);

3. Nalaženje korijena po Vietinom teoremu;

4. Traženje korijena odabirom punog kvadrata binoma.

Rješavanje jednadžbe znači pronaći sve njezine korijene ili dokazati da ih nema.

Definicija 2: Korijen jednadžbe je broj koji, kada se zamijeni u jednadžbu, tvori pravu jednakost.

Definicija 3: Rješenje jednadžbe s dvije varijable naziva se par brojeva (x, y), kada se oni zamijene u jednadžbu, pretvara se u pravu jednakost.

Proces traženja rješenja jednadžbe vrlo često se obično sastoji u zamjeni jednadžbe ekvivalentnom jednadžbom, ali jednostavnijim rješenjem. Takve se jednadžbe nazivaju ekvivalentne.

Definicija 4: Za dvije jednadžbe kaže se da su ekvivalentne ako je svako rješenje jedne jednadžbe rješenje druge jednadžbe, i obrnuto, a obje se jednadžbe razmatraju u istom području.

Za rješavanje jednadžbi s dvije varijable koristi se teorem o proširenju jednadžbe na zbroj potpunih kvadrata (metodom neodređenih koeficijenata).

Za jednadžbu drugog reda ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f = 0 (1) postoji dekompozicija a(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h (2)

Formulirajmo uvjete pod kojima se odvija proširenje (2) za jednadžbu (1) dviju varijabli.

Teorem: Ako koeficijenti a, c, c jednadžbe (1) zadovoljavaju uvjete a0 i 4av - c20, tada je proširenje (2) određeno na jedinstven način.

Drugim riječima, jednadžba (1) s dvije varijable može se metodom neodređenih koeficijenata svesti na oblik (2), ako su zadovoljeni uvjeti iz teorema.

Pogledajmo na primjeru kako se provodi metoda neodređenih koeficijenata.

METODA #1. Riješite jednadžbu metodom neodređenih koeficijenata

2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

1. Provjerimo ispunjenje uvjeta teorema, a=2, b=1, c=2, pa je a=2,4av - c2= 4∙2∙1- 22= 40.

2. Uvjeti teorema su zadovoljeni i mogu se proširiti formulom (2).

3. 2 x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 2(x + py + q)2 + r(y + s)2 + h, na temelju uvjeta teorema, oba dijela identiteta su ekvivalentna. Pojednostavite desnu stranu identiteta.

4. 2(x + py + q)2 + r(y +s)2 +h =

2(x2 + p2y2 + q2 + 2pxy + 2pqy + 2qx) + r(y2 + 2sy + s2) + h =

2x2+ 2p2y2 + 2q2 + 4pxy + 4pqy + 4qx + ry2 + 2rsy + rs2 + h =

X2(2) + y2(2p2 + r) + xy(4p) + x(4q) + y(4pq + 2rs) + (2q2 + rs2 + h).

5. Izjednačite koeficijente za iste varijable s njihovim potencijama.

x2 2 = 2 y21 = 2p2 + r) xy2 = 4p x2 = 4q y0 = 4pq + 2rs x01 = 2q2 + rs2 + h

6. Nabavite sustav jednadžbi, riješite ga i pronađite vrijednosti koeficijenata.

7. Zamijenite koeficijente u (2), tada će jednadžba poprimiti oblik

2 x2 + y2 + 2xy + 2x +1 = 2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 +0

Dakle, izvorna jednadžba je ekvivalentna jednadžbi

2(x + 0,5y + 0,5)2 + 0,5(y -1)2 = 0 (3), ova jednadžba je ekvivalentna sustavu dviju linearnih jednadžbi.

Odgovor: (-1; 1).

Ako obratite pozornost na vrstu dekompozicije (3), onda možete vidjeti da je ona po obliku identična odabiru punog kvadrata iz kvadratne jednadžbe s jednom varijablom: ax2 + inx + c = a(x +)2 +.

Primijenimo ovaj trik na rješavanje jednadžbe s dvije varijable. Rješimo uz pomoć odabira punog kvadrata kvadratnu jednadžbu s dvije varijable već riješene pomoću teorema.

METODA #2: Riješite jednadžbu 2x2 + y2 + 2xy + 2x +1= 0.

Rješenje: 1. Predstavljamo 2x2 kao zbroj dva člana x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0.

2. Grupiramo članove na takav način da ih možemo sažeti prema formuli punog kvadrata.

(x2 + y2 + 2xy) + (x2 + 2x + 1) = 0.

3. Odaberite pune kvadratiće iz izraza u zagradama.

(x + y)2 + (x + 1)2 = 0.

4. Ova jednadžba je ekvivalentna sustavu linearnih jednadžbi.

Odgovor: (-1;1).

Usporedimo li rezultate, vidimo da jednadžba riješena metodom br. 1 teoremom i metodom neodređenih koeficijenata i jednadžba riješena metodom br. 2 odabirom punog kvadrata imaju iste korijene.

Zaključak: Kvadratna jednadžba s dvije varijable može se proširiti u zbroj kvadrata na dva načina:

➢ Prva metoda je metoda neodređenih koeficijenata koja se temelji na teoremu i proširenju (2).

➢ Drugi način je uz pomoć identičnih transformacija, koje omogućuju odabir uzastopno kompletnih kvadrata.

Naravno, pri rješavanju zadataka poželjnija je druga metoda, jer ne zahtijeva pamćenje ekspanzije (2) i uvjeta.

Ova se metoda također može primijeniti na kvadratne jednadžbe s tri varijable. Odabir punog kvadrata u takvim jednadžbama je zahtjevniji. Sljedeće godine ću raditi ovu vrstu transformacije.

Zanimljivo je primijetiti da se funkcija oblika f(x, y)= ax2 + bxy + cy2 + dx + ey + f naziva kvadratnom funkcijom dviju varijabli. Kvadratne funkcije igraju važnu ulogu u raznim granama matematike:

U matematičkom programiranju (kvadratno programiranje)

U linearnoj algebri i geometriji (kvadratni oblici)

U teoriji diferencijalnih jednadžbi (svođenje linearne jednadžbe drugog reda na kanonski oblik).

Pri rješavanju ovih različitih problema treba, zapravo, primijeniti postupak izdvajanja punog kvadrata iz kvadratne jednadžbe (jedna, dvije ili više varijabli).

Pravci čije su jednadžbe opisane kvadratnom jednadžbom dviju varijabli nazivaju se krivuljama drugog reda.

Ova kružnica, elipsa, hiperbola.

Pri crtanju ovih krivulja također se koristi metoda sukcesivnog odabira punog kvadrata.

Razmotrimo kako funkcionira metoda uzastopnog odabira punog kvadrata na konkretnim primjerima.

Praktični dio.

Rješavanje jednadžbi metodom sukcesivnog odabira punog kvadrata.

1. 2x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0; x2 + x2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0;

(x + 1)2 + (x + y)2 = 0;

Odgovor: (-1; 1).

2. x2 + 5y2 + 2xy + 4y + 1 = 0; x2 + 4y2 + y2 + 2xy + 4y + 1 = 0;

(x + y)2 + (2y + 1)2 = 0;

Odgovor: (0,5; - 0,5).

3. 3x2 + 4y2 - 6xy - 2y + 1 = 0;

3x2 + 3y2 + y2 - 6xy - 2y +1 = 0;

3x2 + 3y2 - 6xy + y2 -2y +1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2) + y2 - 2y + 1 = 0;

3(x2 - 2xy + y2)+(y2 - 2y + 1)=0;

3(x-y)2 + (y-1)2 = 0;

Odgovor: (-1; 1).

Riješite jednadžbe:

1. 2x2 + 3y2 - 4xy + 6y +9 = 0

(dovedite u oblik: 2(x-y)2 + (y +3)2 = 0)

Odgovor: (-3; -3)

2. - 3x2 - 2y2 - 6xy -2y + 1=0

(dovedite u oblik: -3 (x + y) 2 + (y -1) 2 \u003d 0)

Odgovor: (-1; 1)

3. x2 + 3y2 + 2xy + 28y +98 = 0

(dovedite u oblik: (x + y) 2 + 2 (y + 7) 2 \u003d 0)

Odgovor: (7; -7)

Zaključak.

U ovom znanstvenom radu proučavane su jednadžbe s dvije varijable drugog stupnja, razmatrane su metode za njihovo rješavanje. Zadatak je dovršen, formulirana je i opisana kraća metoda rješenja koja se temelji na odabiru punog kvadrata i zamjeni jednadžbe ekvivalentnim sustavom jednadžbi, čime se pojednostavljuje postupak traženja korijena jednadžbe s dvije varijable.

Važna točka rada je da se tehnika koja se razmatra koristi u rješavanju različitih matematičkih problema povezanih s kvadratnom funkcijom, konstrukcijom krivulja drugog reda i pronalaženjem najveće (najmanje) vrijednosti izraza.

Dakle, tehnika proširenja jednadžbe drugog reda s dvije varijable u zbroj kvadrata ima najbrojnije primjene u matematici.

Neodređene jednadžbe u prirodnim brojevima.

Državna obrazovna ustanova "Rechitsa District Lyceum"

Priredio: .

Nadglednik: .

Uvod

1. Rješavanje jednadžbi metodom faktoringa…………4

2. Rješavanje jednadžbi s dvije varijable (diskriminantna metoda)……………………………………………………………………….11

3. Metoda rezidua .............................................. ...................................13

4. Metoda "beskonačnog spuštanja" .............................................. .... ..............15

5. Metoda uzorkovanja……………………………………………………………...16

Zaključak................................................. ............................................18

Uvod

Ja sam Slava, studiram u Rechitsa District Lyceum, učenik 10. razreda.

Sve počinje s idejom! Zamolili su me da riješim jednadžbu s tri nepoznanice 29x + 30y + 31 z =366. Sada ovu jednadžbu doživljavam kao zadatak - šalu, ali prvi put sam razbio glavu. Za mene je ta jednadžba postala nekako nedefinirana, kako je riješiti, na koji način.

Pod, ispod neodređene jednadžbe moramo razumjeti da su to jednadžbe koje sadrže više od jedne nepoznanice. Obično ljudi koji rješavaju te jednadžbe traže rješenja u cijelim brojevima.

Rješavanje neodređenih jednadžbi vrlo je uzbudljiva i informativna aktivnost koja pridonosi razvoju domišljatosti, zapažanja, pažljivosti učenika, kao i razvoju pamćenja i orijentacije, sposobnosti logičkog razmišljanja, analize, usporedbe i generaliziranja. Još nisam pronašao opću tehniku, ali sada ću vam reći o nekim metodama za rješavanje takvih jednadžbi u prirodnim brojevima.

Ova tema nije u potpunosti obrađena u postojećim udžbenicima matematike, a zadaci se nude na olimpijadama i na centraliziranom testiranju. To me toliko zainteresiralo i fasciniralo da sam pri rješavanju raznih jednadžbi i zadataka skupio cijelu zbirku vlastitih rješenja koje smo s učiteljicom podijelili prema načinima i metodama rješavanja. Dakle, koja je svrha mog rada?

Moj cilj analizirati rješenja jednadžbi s više varijabli na skupu prirodnih brojeva.

Za početak ćemo razmotriti praktične probleme, a zatim ćemo prijeći na rješavanje jednadžbi.

Kolika je duljina stranica pravokutnika ako mu je opseg brojčano jednak površini?

P=2(x+y),

S = xy, x€ N i y€ N

P=S

2x+2y=xy font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> +font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> =font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Odgovor: (4:4); (3:6); (6:3).

Pronađite načine da platite 47 rubalja, ako se za to mogu koristiti samo novčanice od tri i pet rubalja.

Riješenje

5x+3y=47

x=1, y=14

x=1 – 3K, y= 14+5K, K€ Z

Prirodne vrijednosti x i y odgovaraju K= 0, -1, -2;

(1:14) (4:9) (7:4)

Šaljivi zadatak

Dokažite da postoji rješenje jednadžbe 29x+30y+31 z=336 u prirodnim brojevima.

Dokaz

Prijestupna godina ima 366 dana, a jedan mjesec ima 29 dana, četiri mjeseca imaju 30 dana,

7 mjeseci - 31 dan.

Rješenje je tri (1:4:7). To znači da postoji rješenje jednadžbe u prirodnim brojevima.

1. Rješavanje jednadžbi rastavljanjem na faktore

1) Riješite jednadžbu x2-y2=91 u prirodnim brojevima

Riješenje

(x-y)(x+y)=91

Rješenje 8 sustava

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=1

x+y=91

(46:45)

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-y=91

x+y=1

(46: -45)

x-y=13

x+y=7

(10: -3)

x-y = 7

x+y=13

(10:3)

x-y = -1

x+y= -91

(-46: 45)

x-y = -91

x+y= -1

(-46: -45)

x-y = -13

x+y= -7

(-10:3)

x-y veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>= -7

x+y= -13

(-10: -3)

Odgovor: ( 46:45):(10:3).

2) Riješite jednadžbu x3 + 91 \u003d y3 u prirodnim brojevima

Riješenje

(y-x)(y2+xy+x2)=91

91=1*91=91*1=13*7=7*13= (-1)*(-91)=(-7)*(-13)

Rješenje 8 sustava

y-x=1

y2+xy+x2=91

(5:6)(-6: -5)

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-x= 91

y2+xy+x2= 1

y-x=13

y2+xy+x2=7

nema rješenja u cijelim brojevima

y-x=7

y2+xy+x2=91

(-3: 4)(-4: 3)

Preostala 4 sustava nemaju rješenja u cijelim brojevima. Uvjet je zadovoljen jednim rješenjem.

Odgovor: (5:6).

3) Riješi jednadžbu xy=x+y u prirodnim brojevima

Riješenje

xy-x-y+1=1

x(y-1)-(y-1)=1

(y-1)(x-1)=1

1= 1*1=(-1)*(-1)

Rješenje 2 sustavi

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1= -1

x-1= -1

(0:0)

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-1=1

x-1=1

(2:2)

Odgovor: (2:2).

4) Riješite jednadžbu 2x2+5xy-12y2=28 prirodnim brojevima

Riješenje

2x2-3xy+8xy-12y2=28

(2x-3y)(x+4y)=28

x;y - prirodni brojevi; (x+4y)€ N

(x+4y)≥5

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>2x-3y=1

x+4y=28

(8:5)

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:"times new roman>2x-3y=4

x + 4y = 7

2x-3y=2

x+4y=14

nema rješenja u prirodnim brojevima

Odgovor: (8:5).

5) riješiti jednadžbu 2xy=x2+2y u prirodnim brojevima

Riješenje

x2-2xy+2y=0

(x2-2xy+y2)-y2+2y-1+1=0

(x-y)2-(y-1)2= -1

(x-y-y+1)(x-y+y-1)= -1

(x-2y+1)(x-1)= -1

x-2y+1=-1

x-1= 1

(2:2)

x-2y+1=1

x-1= -1

nema rješenja u prirodnim brojevima

Odgovor: (2:2).

6) riješiti jednadžbu xnaz-3 xy-2 xz+ yz+6 x-3 g-2 z= -4 u prirodnim brojevima

Riješenje

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +4=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2 z +6-2=0

xy(z -3)-2 x (z -3)+ y (z -3)-2(z -3)=2

(z-3)(xy-2x+y-2)=2

(z-3)(x(y-2)+(y-2))=2

(z-3)(x+1)(y-2)=2

Rješenje 6 sustava

z -3= 1

x+1=1

y-2=2

(0 : 4 : 4 )

z-3= -1

x+1=-1

y-2= 2

(- 2: 4 : 2 )

EN-US" style="font-size: 14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>z-3= 1

x+1=2

y-2=1

(1 : 3 : 4 )

z-3=2

x+1=1

y-2=1

(0 :3: 5 )

z-3= -1

x +1 = 2

y-2=-1

(1:1:2)

z-3=2

x +1= -1

y -2= -1

(-2:1:5)

Odgovor: (1:3:4).

Razmotrite jednu složeniju jednadžbu za mene.

7) Riješite jednadžbu x2-4xy-5y2=1996 prirodnim brojevima

Riješenje

(x2-4xy+4y2)-9y2=1996

(x-2y)2-9y2=1996

(x-5y)(x+5y)=1996

1996=1*1996= -1*(-1996)=2*998= (-2)*(-998)=4*499= -4*(-499)

x € N, y € N; (x+y) € N; (x+y)>1

x-5y=1

x+y=1996

nema rješenja

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=499

x+y=4

nema rješenja

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x-5y=4

x+y=499

nema rješenja

x-5y=2

x+y=998

(832:166)

x-5y=988

x+y=2

nema rješenja

Odgovor: x=832, y=166.

Zaključimo:pri rješavanju jednadžbi faktoringom koriste se formule skraćenog množenja, metoda grupiranja, metoda punog kvadrata .

2. Rješavanje jednadžbi s dvije varijable (diskriminantna metoda)

1) Riješite jednadžbu 5x2 + 5y2 + 8xy + 2y-2x + 2 \u003d 0 u prirodnim brojevima

Riješenje

5x2+(8y-2)x+5y2+2y+2=0

D \u003d (8y - 2) 2 - 4 * 5 * (5y2 + 2y + 2) \u003d 4 ((4y - 1) 2 -5 * (5y2 + 2y + 2))

x1.2= font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>

D=0, font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>=0

y=-1, x=1

Odgovor: nema rješenja.

2) Riješite jednadžbu 3(x2+xy+y2)=x+8y u prirodnim brojevima

Riješenje

3(x2+xy+y2)=x+8y

3x2+3(y-1)x+3y2-8y=0

D \u003d (3y-1) 2-4 * 3 (3y2-8y) \u003d 9y2-6y + 1-36y2 + 96y \u003d -27y2 + 90y + 1

D≥0, -27y2+90y+1≥0

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>≤y≤font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>y€ N , y=1, 2, 3. Prolazeći kroz ove vrijednosti, imamo (1:1).

Odgovor: (1:1).

3) Riješite jednadžbu x4-y4-20x2+28y2=107 prirodnim brojevima

Riješenje

Uvodimo zamjenu: x2=a, y2=a;

a2-a2-20a+28a=107

a2-20a+28a-a2=0

a1.2=-10± +96 font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman color:black>a2-20a+28a-a2-96=11

a1,2=10± font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>= 10±(a-14)

a1=a-4, a2=24-a

Jednadžba izgleda ovako:

(a-a+4)(a+a-24)=1

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2-y2+4=1

x2+y2 – 24=11

nema rješenja u prirodnim brojevima;

x2 - y2+4=11

x2+y2 – 24=1

(4:3),(-4:-3),(-4:3), (4: -3)

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>x2 - y2+4= -1

x2 + y2 - 24 = -11

(2:3),(-2: -3),(-2:3),(2: -3)

x2 - y2+4= -11

h2+y2 – 24= -1 nema rješenja u prirodnim i cijelim brojevimaOdgovor: (4:3),(2:3).

3. Rezidualna metoda

Pri rješavanju jednadžbi metodom reziduala vrlo često se koriste sljedeći zadaci:

A) Koje ostatke može dati dijeljenje s 3 i 4?

Vrlo je jednostavno, kada se podijeli s 3 ili 4, točni kvadrati mogu dati dva moguća ostatka: 0 ili 1.

B) Koji ostaci mogu dati točne kocke kada se podijele sa 7 i 9?

Kada se dijele sa 7, mogu dati ostatke: 0, 1, 6; a kod dijeljenja s 9: 0, 1, 8.

1) Riješite jednadžbu x2+y2=4 z-1 u prirodnim brojevima

Riješenje

x2+y2+1=4z

Razmotrite koje ostatke može dati kada se podijeli s 4, lijeva i desna strana ove jednadžbe. Kada se podijeli s 4, točni kvadrati mogu dati samo dva različita ostatka 0 i 1. Tada x2 + y2 + 1 kada se podijeli s 4 daju ostatke 1, 2, 3 i 4 z podijeljeno bez ostatka.

Stoga ova jednadžba nema rješenja.

2) Riješite jednadžbu 1!+2!+3!+ …+x!= y2 u prirodnim brojevima

Riješenje

a) X=1, 1!=1, zatim y2=1, y=±1 (1:1)

b) x=3, 1!+2!+3!= 1+2+6= 9, tj. y2= 9, y=±3 (3:3)

c) x=2, 1!+2!= 1+2= 3, y2=3, tj. y=±font-size:14.0pt;line-height:150%; font-family:"times new roman>d)x=4, 1!+2!+3!+4!= 1+2+6+24=33, x=4 (ništa), y2=33

e) x≥5, 5!+6!+…+x!, zamislite 10 n , n € N

1!+2!+3! +5!+…+x!=33+10n

Broj koji završava s 3 znači da ne može biti kvadrat cijelog broja. Stoga x≥5 nema rješenja u prirodnim brojevima.

Odgovor:(3:3) i (1:1).

3) Dokažite da u prirodnim brojevima nema rješenja

x2-y3=7

z 2 – 2u2=1

Dokaz

Pretpostavimo da je sustav rješiv z 2 \u003d 2y2 + 1, z2 - neparan broj

z=2m+1

y2+2m2+2m , y2 je paran broj, y = 2 n , n € N

x2=8n3 +7, tj x2 je neparan broj i x neparan, x = 2 r+1, n € N

Zamjena x I na u prvu jednadžbu,

2(r 2 + r -2n 3 )=3

Nije moguće jer je lijeva strana jednadžbe djeljiva s dva, a desna nije djeljiva, što znači da naša pretpostavka nije točna, odnosno sustav nema rješenja u prirodnim brojevima.

4. Metoda beskonačnog spuštanja

Rješavamo prema sljedećoj shemi:

Pretpostavimo da jednadžba ima rješenje, gradimo određeni beskonačni proces, dok bi, prema samom smislu problema, taj proces trebao završiti na parnom koraku.

1)Dokažite da je jednadžba 8x4+4y4+2 z4 = t4 nema rješenja u prirodnim brojevima

Dokaz

Pretpostavimo da jednadžba ima rješenje u cijelim brojevima, onda to slijedi

t4 je paran broj, tada je t također paran

t=2t1 , t1 € Z

8x4 + 4y4 + 2 z 4 \u003d 16t14

4x4 + 2y4 + z 4 \u003d 8t14

z 4 \u003d 8t14 - 4x4 - 2y4

z 4 je paran, tada je z =2 z 1 , z 1 € Z

Zamjena

4x4 + 2y4 + 16 z 4 \u003d 8t14

y4 \u003d 4t14 - 2x4 - 8 z 1 4

x je paran, tj. x=2x, x1€ Z, dakle

16x14 – 2 t 1 4 – 4 z 1 4 +8 y 1 4 =0

8x14+4y14+2 z 1 4 = t 1 4

Tako x, y, z , t – parni brojevi, zatim x1, y1, z1,t1 - čak. Zatim x, y, z, t i x1, y1, z 1, t 1 su djeljivi sa 2, tj, font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman position:relative>font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman> ifont-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>,font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:"times new roman>.

Dakle, pokazalo se da broj zadovoljava jednadžbu; su višekratnici broja 2, i koliko god ih puta podijelili s 2, uvijek ćemo dobiti brojeve koji su višekratnici broja 2. Jedini broj koji zadovoljava ovaj uvjet je nula. Ali nula ne pripada skupu prirodnih brojeva.

5. Metoda uzorka

1) Pronađite rješenja jednadžbe font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>+font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>Rješenje

font-size:14.0pt;line-height: 150%;font-family:" times new roman>=font-size:14.0pt;line-height:150%;font-family:" times new roman>p(x+y)=xy

xy=px+py

xy-px-ru=0

xy-px-ru+p2=p2

x(y-r)-p(y-r)=p2

(y-p)(x-p)=p2

p2= ±p= ±1= ±p2

Rješenje 6 sustava

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-r=r

x-p = p

y=2p, x=2p

y-r = - r

x-p = - str

y=0, x=0

y-r=1

x-p=1

y=1+p, x=1+p

y-r= -1

xp= -1

y=p-1, x=p-1

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p=p2

x-p = p2

y=p2+p, x= p2+p

veličina fonta:14.0pt; line-height:150%;font-family:" times new roman>y-p= - p2

x-p = - p2

y=p-p2, x=p-p2

Odgovor:(2p:2p), ( 1+p:1+p), (p-1:p-1), (p2+p:p2+p), (p-p2:p-p2).

Zaključak

Obično se rješenja neodređenih jednadžbi traže u cijelim brojevima. Jednadžbe u kojima se traže samo cjelobrojna rješenja nazivaju se diofantske.

Analizirao sam rješenja jednadžbi s više od jedne nepoznanice, na skupu prirodnih brojeva. Takve su jednadžbe toliko raznolike da jedva da postoji način, algoritam za njihovo rješavanje. Rješavanje takvih jednadžbi zahtijeva domišljatost i doprinosi stjecanju vještina samostalnog rada u matematici.

Primjere sam rješavao najjednostavnijim metodama. Najjednostavnija tehnika za rješavanje takvih jednadžbi je izraziti jednu varijablu kroz ostale, te dobijemo izraz koji ćemo istražiti kako bismo pronašli te varijable za koje je prirodan (cijeli broj).

Istodobno, pojmovi i činjenice vezane uz djeljivost, kao što su prosti i složeni brojevi, znakovi djeljivosti, relativno prosti brojevi itd.

Posebno se često koristi:

1) Ako je umnožak djeljiv s prostim brojem p, tada je barem jedan njegov faktor djeljiv s p.

2) Ako je umnožak djeljiv nekim brojem S a jedan od faktora je istoprost s brojem S, onda je drugi faktor djeljiv sa S.