Tablica integralne Laplaceove funkcije. Izračun Laplaceove funkcije u programu Microsoft Excel

Laplaceova funkcija je neelementarna funkcija i često se koristi u teoriji diferencijalnih jednadžbi i teoriji vjerojatnosti, te u statistici. Laplaceova funkcija zahtijeva određeni skup znanja i obuke jer vam omogućuje rješavanje različitih problema u području primijenjenih i teorijskih primjena.

Laplaceova funkcija se često koristi za rješavanje diferencijalnih jednadžbi i često se naziva integralom vjerojatnosti. Pogledajmo kako se ova funkcija može koristiti u Excelu i kako funkcionira.

Integral vjerojatnosti ili Laplaceova funkcija u Excelu odgovara operatoru "NORMSDIST", koji ima sintaksu: "=NORMSDIST(z). U novijim verzijama programa operator ima i naziv "NORM.ST.DIST." i blago modificiranu sintaksu “=NORM.ST.DIST(z; integral).

Argument "Z" odgovoran je za brojčanu vrijednost distribucije. Argument "Integral" - vraća dvije vrijednosti - "1" - funkcija integralne distribucije, "0" - funkcija distribucije težine.

Teorija se razumije. Prijeđimo na praksu. Razmislite o korištenju Laplaceove funkcije u Excelu.

1. Napišite vrijednost u ćeliju, umetnite funkciju u sljedeću.

2. Napišimo ručno funkciju "=NORM.ST.DIST(B4;1).

3. Ili upotrijebite čarobnjaka za umetanje funkcija - idite na kategoriju "Statični" i odaberite "Potpuni abecedni popis".

4. U prikazanom prozoru argumenata funkcije pokažite na početne vrijednosti. Naša izvorna ćelija bit će odgovorna za varijablu "Z" i umetnite "1" u "Integral". Naša funkcija će vratiti funkciju kumulativne distribucije.

5. Dobivamo gotovo rješenje standardne normalne integralne razdiobe za ovu funkciju "NORM.ST.DIST". Ali to nije sve, cilj nam je bio pronaći Laplaceovu funkciju ili integral vjerojatnosti, pa napravimo još nekoliko koraka.

6. Laplaceova funkcija podrazumijeva da se od vrijednosti dobivene funkcije mora oduzeti "0,5". Funkciji dodajemo potrebnu operaciju. Pritisnite "Enter" i dobijte konačno rješenje. Željena vrijednost je točna i brzo pronađena.

Excel jednostavno izračunava ovu funkciju za bilo koju vrijednost ćelije, raspon ćelija ili reference ćelije. Funkcija NORM.ST.DIST je standardni operator za pronalaženje integrala vjerojatnosti ili, kako se još naziva, Laplaceova funkcija.

Bayesova formula

Događaji B 1 , B 2 ,…, B n su nekompatibilni i čine potpunu skupinu, tj. R(V 1)+ R(V 2)+…+ R(V n)=1. I neka se događaj A može dogoditi samo kada se pojavi jedan od događaja B 1 , B 2 ,…, B n. Tada se vjerojatnost događaja A nalazi pomoću formule ukupne vjerojatnosti.

Neka se događaj A već dogodio. Tada se vjerojatnosti hipoteza B 1 , B 2 ,…, B n mogu precijeniti pomoću Bayesove formule:

Bernoullijeva formula

Neka se napravi n neovisnih pokusa, u svakom od kojih se događaj A može ili ne mora dogoditi. Vjerojatnost pojave (ne pojave) događaja A je ista i jednaka p (q=1-p).

Vjerojatnost da će se u n neovisnih pokusa događaj A dogoditi točno k puta (prema slici, kojim redoslijedom) nalazi se Bernoullijevom formulom:

Vjerojatnost da će se događaj dogoditi u n neovisnih pokušaja:

A). Manje od puta P n (0)+P n (1)+…+P n (k-1).

b). Više od k puta P n (k+1)+P n (k+2)+…+P n (n).

V). najmanje k puta P n (k)+P n (k+1)+…+P n (n).

G). ne više od k puta P n (0)+P n (1)+…+P n (k).

Lokalni i integralni Laplaceov teorem.

Ove teoreme koristimo kada je n dovoljno velik.

Lokalni Laplaceov teorem

Vjerojatnost da će se u n neovisnih ispitivanja događaj dogoditi točno `k" puta je približno jednaka:

Tablica funkcija za pozitivne vrijednosti (x) dana je u Gmurmanovoj problemskoj knjizi u Dodatku 1, str. 324-325.

Budući da je čak (), onda za negativne vrijednosti \u200b\u200b(x) koristimo istu tablicu.

Laplaceov integralni teorem.

Vjerojatnost da će se u n neovisnih ispitivanja događaj dogoditi najmanje `k" puta je približno jednaka:

Laplaceova funkcija

Tablica funkcija za pozitivne vrijednosti dana je u Gmurmanovoj problemskoj knjizi u Dodatku 2, str. 326-327. Za vrijednosti veće od 5 postavljamo F(h)=0,5.

Budući da je Laplaceova funkcija neparna F(-x)=-F(x), tada za negativne vrijednosti (x) koristimo istu tablicu, samo uzimamo vrijednosti funkcije s znakom minus.

Zakon distribucije vjerojatnosti za diskretnu slučajnu varijablu

Binomni zakon distribucije.

Diskretna- slučajna varijabla, čije su moguće vrijednosti zasebni izolirani brojevi, koje ova varijabla uzima s određenim vjerojatnostima. Drugim riječima, moguće vrijednosti diskretne slučajne varijable mogu se numerirati.

Broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable može biti konačan ili beskonačan.

Diskretne slučajne varijable označene su velikim slovima X, a njihove moguće vrijednosti - malim slovima x1, x2, x3 ...

Na primjer.

X je broj bodova bačenih na kocki; X ima šest mogućih vrijednosti: x1=1, x2=1, x3=3, x4=4, x5=5, x6=6 s vjerojatnostima p1=1/6, p2=1/6, p3=1/6 .. p6 =1/6.

Zakon raspodjele diskretne slučajne varijable navedite popis njegovih mogućih vrijednosti i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti.

Zakon distribucije se može dati:

1. u obliku tablice.

2. Analitički – u obliku formule.

3. grafički. U ovom slučaju, točke M1(h1,r1), M2(h2,r2), … Mn(hn,rn) su konstruirane u XOP pravokutnom koordinatnom sustavu. Te su točke povezane ravnim linijama. Dobiveni oblik naziva se distribucijski poligon.

Da bismo napisali zakon distribucije diskretne slučajne varijable (x), potrebno je navesti sve njezine moguće vrijednosti i pronaći vjerojatnosti koje im odgovaraju.

Ako se vjerojatnosti koje im odgovaraju pronađu Bernoullijevom formulom, tada se takav zakon raspodjele naziva binomnim.

Primjer br. 168, 167, 171, 123, 173, 174, 175.

Numeričke vrijednosti diskretnih slučajnih varijabli.

Matematičko očekivanje, varijanca i standardna devijacija.

Srednju vrijednost diskretne slučajne varijable karakterizira matematičko očekivanje.

matematičko očekivanje Diskretna slučajna varijabla je zbroj proizvoda svih mogućih vrijednosti i njihovih vjerojatnosti. Oni. ako je zadan zakon raspodjele, onda matematičko očekivanje

Ako je broj mogućih vrijednosti diskretne slučajne varijable beskonačan, tada

Štoviše, niz s desne strane jednakosti apsolutno konvergira, a zbroj svih vjerojatnosti pi jednak je jedan.

Svojstva matematičkog očekivanja.

1. M(S)=S, S=konz.

2. M(Cx)=CM(x)

3. M(h1+h2+…+hn)=M(h1)+M(h2)+…+M(hn)

4. M(h1*h2*…*hn)=M(h1)*M(h2)*…*M(hn).

5. Za binomni zakon distribucije, matematičko očekivanje nalazi se formulom:

Karakteristika disperzije mogućih vrijednosti slučajne varijable oko matematičkog očekivanja je varijanca i standardna devijacija.

disperzija diskretna slučajna varijabla (x) naziva se matematičko očekivanje kvadrata odstupanja. D(x)=M(x-M(x)) 2 .

Disperzija se prikladno izračunava formulom: D (x) \u003d M (x 2) - (M (x)) 2.

Disperzijska svojstva.

1. D(S)=0, S=konz.

2. D (Cx) \u003d C 2 D (x)

3. D(x1+x2+…+xn)=D(x1)+D(x2)+…+D(xn)

4. Disperzija zakona binomne distribucije

Standardna devijacija slučajna varijabla naziva se kvadratni korijen varijance.

primjeri. 191, 193, 194, 209, d/z.

Funkcija integralne distribucije (IDF, DF) vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable (NSV). stalan- veličina koja može poprimiti sve vrijednosti iz nekog konačnog ili beskonačnog intervala. Postoji niz mogućih NSV vrijednosti i ne može se ponovno numerirati.

Na primjer.

Udaljenost koju projektil prijeđe ispaljen je NSV.

FMI se naziva funkcija F(x), koja za svaku vrijednost x određuje vjerojatnost da će NSV X poprimiti vrijednost X<х, т.е. F(x)=Р(X

Često kažu FR umjesto IFR.

Geometrijski, jednakost F(x)=P(X

IF svojstva.

1. Vrijednost IF pripada intervalu , tj. F(x).

2. IF je neopadajuća funkcija, tj. x2 > x1,.

Korolar 1. Vjerojatnost da će NSV X poprimiti vrijednost sadržanu u intervalu (a; c) jednaka je prirastu integralne funkcije na tom intervalu, tj.

Godišnje

Korolar 2. Vjerojatnost da će NSV X poprimiti jednu određenu vrijednost, na primjer, x1=0, jednaka je 0, tj. P(x=x1)=0.

3. Ako sve moguće vrijednosti NSV X pripadaju (a; c), tada je F(x)=0 za x<а, и F(x)=1 при х>V.

Korolar 3. Vrijede sljedeće granične relacije.

Funkcija diferencijalne distribucije (DDF) vjerojatnosti kontinuirane slučajne varijable (NSV) (gustoća vjerojatnosti).

DF f(x) NSV distribucije vjerojatnosti nazvati prvim derivatom IGF-a:

Često se umjesto PDD kaže gustoća vjerojatnosti (PD).

Iz definicije slijedi da se znajući IF F(x) može pronaći DF f(x). No također se provodi i obrnuta transformacija: znajući DF f(x), možemo pronaći IF F(x).

Vjerojatnost da će NSW X uzeti vrijednost koja pripada (a; c) je:

A). Ako je dano IF - posljedica 1.

B). Ako je zadan DF

DF svojstva.

1. DF - nije negativno, tj. .

2. nepravi integral DF unutar (), jednak je 1, tj. .

Korolar 1. Ako sve moguće vrijednosti NSV X pripadaju (a; c), tada.

Primjeri. br. 263, 265, 266, 268, 1111, 272, d/z.

Numeričke karakteristike NSV.

1. Matematičko očekivanje (MO) NSW X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi OX, određeno je formulom:

Ako sve moguće vrijednosti NSV X pripadaju (a; c), tada se MO određuje formulom:

Sva svojstva MO, naznačena za diskretne veličine, također su sačuvana za kontinuirane količine.

2. Disperzija NSW X, čije moguće vrijednosti pripadaju cijeloj osi OX, određena je formulom:

Ako sve moguće vrijednosti NSV X pripadaju (a; c), tada se varijanca određuje formulom:

Sva svojstva disperzije naznačena za diskretne veličine također su sačuvana za kontinuirane količine.

3. Standardna devijacija NSW X određuje se na isti način kao za diskretne veličine:

Primjeri. br. 276, 279, X, d/z.

Operacijski račun (OI).

OI je metoda koja vam omogućuje smanjenje operacija diferencijacije i integracije funkcija na jednostavnije akcije: množenje i dijeljenje argumentom takozvanih slika ovih funkcija.

Korištenje OI olakšava rješavanje mnogih problema. Konkretno, problemi integriranja LDE s konstantnim koeficijentima i sustavi takvih jednadžbi, svodeći ih na linearne algebarske.

originali i slike. Laplaceove transformacije.

f(t)-original; F(p)-slika.

Prijelaz f(t)F(p) naziva se Laplaceova transformacija.

Laplaceova transformacija funkcije f(t) naziva se F(p), koja ovisi o kompleksnoj varijabli i definirana je formulom:

Taj se integral naziva Laplaceov integral. Da bi ovaj nepravi integral konvergirao, dovoljno je pretpostaviti da je f(t) komadno kontinuiran u intervalu i za neke konstante M > 0 te da zadovoljava nejednakost

Poziva se funkcija f(t) s takvim svojstvima izvornik, a prijelaz s izvornika na njegovu sliku naziva se Laplaceova transformacija.

Svojstva Laplaceove transformacije.

Izravno određivanje slika formulom (2) obično je teško i može se uvelike olakšati korištenjem svojstava Laplaceove transformacije.

Neka su F(p) i G(p) slike originala f(t) odnosno g(t). Tada se odvijaju sljedeća svojstva-relacije:

1. S*f(t)S*F(p), S=const - svojstvo homogenosti.

2. f(t)+g(t)F(p)+G(p) - svojstvo aditivnosti.

3. f(t)F(p-) - teorem o pomaku.

prijelaz n-te derivacije originala u sliku (teorem o diferencijaciji izvornika).

Lokalni i integralni Laplaceov teorem

Ovaj je članak prirodan nastavak lekcije o nezavisni testovi gdje smo se upoznali Bernoullijeva formula i razradili tipične primjere na temu. Lokalni i integralni Laplaceov teorem (Moivre-Laplace) rješavaju sličan problem s tom razlikom što su primjenjivi na prilično velik broj neovisnih testova. Riječi “lokalni”, “integralni”, “teoremi” ne treba prešućivati ​​- gradivo se svladava istom lakoćom kojom je Laplace tapšao Napoleonovu kovrčavu glavu. Stoga, bez ikakvih kompleksa i preliminarnih napomena, odmah ćemo razmotriti demo primjer:

Novčić se baca 400 puta. Nađite vjerojatnost da će se glave pojaviti 200 puta.

Po karakterističnim značajkama, ovdje je potrebno primijeniti Bernoullijeva formula . Prisjetimo se značenja ovih slova:

je vjerojatnost da se slučajni događaj dogodi točno jednom u neovisnim ispitivanjima;
– binomni koeficijent;
je vjerojatnost da se događaj dogodi u svakom pokušaju;

Za naš zadatak:
je ukupan broj testova;
- broj bacanja u kojima orao treba ispasti;

Dakle, vjerojatnost da 400 bacanja novčića rezultira s točno 200 glava je: ...Stani, što dalje? Mikrokalkulator (barem moj) nije izdržao 400. stupanj i kapitulirao je pred faktorijeli. I nije mi se dalo brojati kroz proizvod =) Iskoristimo Excel standardna funkcija, koji je uspio obraditi čudovište: .

Skrećem vam pozornost na primljeno točno vrijednost i takvo se rješenje čini idealnim. Na prvi pogled. Evo nekoliko uvjerljivih protuargumenata:

- prvo, softver možda nije pri ruci;
- i drugo, rješenje će izgledati nestandardno (s velikom vjerojatnošću ćete morati ponoviti);

Stoga, dragi čitatelji, u bliskoj budućnosti čekamo:

Lokalni Laplaceov teorem

Ako je vjerojatnost pojavljivanja slučajnog događaja u svakom pokušaju konstantna, tada je vjerojatnost da će se događaj dogoditi točno jednom u pokušajima približno jednaka:
, Gdje .

U isto vrijeme, što je više , to će izračunata vjerojatnost bolje približiti točnu dobivenu vrijednost (barem hipotetski) prema Bernoullijevoj formuli. Preporučeni minimalni broj testova je otprilike 50-100, inače rezultat može biti daleko od istine. Osim toga, lokalni Laplaceov teorem radi to bolje što je vjerojatnost bliža 0,5, i obrnuto - daje značajnu pogrešku za vrijednosti blizu nule ili jedan. Iz tog razloga, još jedan kriterij za učinkovito korištenje formule je ispunjenje nejednakosti () .

Tako, na primjer, ako je , tada je primjena Laplaceovog teorema za 50 pokušaja opravdana. Ali ako je i , tada je aproksimacija (na točnu vrijednost) bit će loše.

O tome zašto i o posebnoj funkciji razgovarat ćemo u razredu o normalna distribucija vjerojatnosti, ali za sada nam treba formalno-računska strana problema. Posebno je važna činjenica paritet ova funkcija: .

Formalizirajmo odnos našim primjerom:

Zadatak 1

Novčić se baca 400 puta. Nađite vjerojatnost da će glave točno sletjeti:

a) 200 puta;
b) 225 puta.

Gdje početi riješenje? Najprije zapišimo poznate veličine tako da nam budu pred očima:

je ukupan broj neovisnih testova;
je vjerojatnost dobivanja glava u svakom bacanju;
je vjerojatnost dobivanja repova.

a) Nađimo vjerojatnost da će u nizu od 400 bacanja glave ispasti točno jednom. Zbog velikog broja testova koristimo lokalni Laplaceov teorem: , Gdje .

U prvom koraku izračunavamo traženu vrijednost argumenta:

Zatim nalazimo odgovarajuću vrijednost funkcije: . To se može učiniti na nekoliko načina. Prije svega, naravno, pojavljuju se izravni izračuni:

Zaokruživanje se obično provodi na 4 decimalna mjesta.

Nedostatak izravnog izračuna je taj što svaki mikrokalkulator ne probavlja eksponent, osim toga izračuni nisu baš ugodni i oduzimaju vrijeme. Zašto tako patiti? Koristiti terver kalkulator (točka 4) i odmah ostvarite vrijednost!

Osim toga, postoji tablica vrijednosti funkcije, koji je dostupan u gotovo svakoj knjizi o teoriji vjerojatnosti, posebno u udžbeniku V.E. Gmurman. Preuzmite, tko još nije preuzeo - općenito ima puno korisnih stvari ;-) I svakako naučite kako koristiti tablicu (odmah!)- odgovarajuća računalna tehnologija možda nije uvijek pri ruci!

U završnoj fazi primjenjujemo formulu :
je vjerojatnost da će u 400 bacanja novčića glave ispasti točno 200 puta.

Kao što vidite, dobiveni rezultat vrlo je blizu točne vrijednosti izračunate iz Bernoullijeva formula.

b) Odredite vjerojatnost da će se glave pojaviti točno jednom u nizu od 400 pokušaja. Koristimo lokalni Laplaceov teorem. Jedan, dva, tri - i gotovi ste:

je željena vjerojatnost.

Odgovor:

Sljedeći primjer, kao što su mnogi naslutili, posvećen je rađanju - a to je na vama da odlučite sami :)

Zadatak 2

Vjerojatnost da dobijete dječaka je 0,52. Odredite vjerojatnost da će među 100 novorođenčadi biti točno: a) 40 dječaka, b) 50 dječaka, c) 30 djevojčica.

Zaokružite rezultate na 4 decimalna mjesta.

... Izraz "neovisni testovi" ovdje zvuči zanimljivo =) Usput, pravi statistička vjerojatnost stopa rađanja dječaka u mnogim regijama svijeta kreće se od 0,51 do 0,52.

Primjer zadatka na kraju lekcije.

Svi su primijetili da su brojke prilično male, a to ne bi trebalo zavarati - na kraju krajeva, govorimo o vjerojatnostima pojedinačnih, lokalni vrijednosti (otuda naziv teorema). A takvih je vrijednosti mnogo i, slikovito rečeno, vjerojatnost bi "trebala biti dovoljna za sve". Doista, mnogo događaja praktički nemoguće.

Dopustite mi da objasnim gore navedeno na primjeru s novčićima: u nizu od četiri stotine pokušaja, glave mogu teoretski pasti od 0 do 400 puta, a ti događaji tvore puna grupa:

Međutim, većina tih vrijednosti predstavlja oskudnu količinu, pa je, primjerice, vjerojatnost da će glave ispasti 250 puta već jedan prema desetmilijunti dio:. O vrijednostima poput taktično šuti =)

S druge strane, skromne rezultate ne treba podcjenjivati: ako se radi samo o , onda je vjerojatnost da će padati glave, npr. 220 do 250 puta, bit će vrlo uočljivo.

Sada razmislimo: kako izračunati tu vjerojatnost? Ne računajte po adicijski teorem za vjerojatnosti nekompatibilnih događaja iznos:

Mnogo lakše ove vrijednosti ujediniti. A unija nečega, kao što znate, zove se integracija:

Laplaceov integralni teorem

Ako je vjerojatnost pojavljivanja slučajnog događaja u svakom pokušaju konstantna, tada je vjerojatnost činjenica da će u kušnjama događaj doći ni manje ni više puta (od do uključivo), približno je jednako:

U ovom slučaju, broj pokušaja, naravno, također mora biti dovoljno velik i vjerojatnost nije premala/visoka (približno), inače će aproksimacija biti nevažna ili loša.

Funkcija se zove Laplaceova funkcija, a njegove vrijednosti ponovno su sažete u standardnu ​​tablicu ( pronađite i naučite kako raditi s njim!!). Mikrokalkulator tu neće pomoći jer se integral ne može uvlačiti. Ali u Excelu postoji odgovarajuća funkcionalnost - korištenje točka 5 izgled dizajna.

U praksi, najčešće vrijednosti su:
- Zapiši to u svoju bilježnicu.
Polazeći od , možemo pretpostaviti da , ili, ako je napisano strože:

Osim toga, Laplaceova funkcija neparan: , a ovo se svojstvo aktivno iskorištava u zadacima koji su nas već čekali:

Zadatak 3

Vjerojatnost da strijelac pogodi metu je 0,7. Nađite vjerojatnost da će sa 100 hitaca meta biti pogođena od 65 do 80 puta.

Uzeo sam najrealniji primjer, inače sam ovdje našao nekoliko zadataka u kojima strijelac puca na tisuće =)

Riješenje: u ovom problemu o kojem govorimo ponovljena neovisna ispitivanja, a njihov broj je prilično velik. Prema uvjetu, potrebno je pronaći vjerojatnost da će cilj biti pogođen najmanje 65, ali ne više od 80 puta, što znači da je potrebno koristiti Laplaceov integralni teorem: , gdje je

Radi praktičnosti, prepisujemo izvorne podatke u stupac:
- ukupni broj udaraca;
- minimalni broj pogodaka;
- najveći broj pogodaka;
- vjerojatnost pogotka mete svakim hicem;
- vjerojatnost promašaja kod svakog hica.

Stoga će Laplaceov teorem dati dobru aproksimaciju.

Izračunajmo vrijednosti argumenata:

Skrećem vam pozornost da djelo ne mora biti potpuno izvučeno iz korijena (kako autori zadataka vole “podešavati” brojke)- bez imalo sumnje izvlačimo korijen i zaokružujemo rezultat; Ostavljao sam 4 decimale. No dobivene vrijednosti obično se zaokružuju na 2 decimalna mjesta - odakle potječe ova tradicija tablice vrijednosti funkcija, gdje su argumenti prikazani u ovom obliku.

Koristite gornju tablicu ili terver dizajn izgleda (točka 5).
Kao pisani komentar savjetujem vam da stavite sljedeći izraz: nalazimo vrijednosti funkcije prema odgovarajućoj tablici:

- vjerojatnost da će sa 100 hitaca meta biti pogođena od 65 do 80 puta.

Obavezno koristite neparnost funkcije! Za svaki slučaj, napisat ću detaljno:

Činjenica je da tablica vrijednosti funkcije sadrži samo pozitivni "x", a mi radimo (barem prema legendi) sa stolom!

Odgovor:

Rezultat se najčešće zaokružuje na 4 decimale. (opet prema formatu tablice).

Za samostalno rješenje:

Zadatak 4

U zgradi ima 2500 lampi, vjerojatnost da će svaka od njih biti upaljena navečer je 0,5. Odredite vjerojatnost da će navečer biti upaljeno najmanje 1250, a najviše 1275 svjetiljki.

Približan uzorak završetka na kraju lekcije.

Treba napomenuti da se zadaci koji se razmatraju vrlo često nalaze u "bezličnom" obliku, na primjer:

Izvodi se neki eksperiment u kojem se slučajni događaj može dogoditi s vjerojatnošću od 0,5. Eksperiment se ponavlja pod nepromijenjenim uvjetima 2500 puta. Odredite vjerojatnost da će se u 2500 pokusa događaj dogoditi od 1250 do 1275 puta

I slične formulacije kroz krov. Zbog šablonske prirode zadataka, često pokušavaju prikriti stanje - ovo je "jedina prilika" da se nekako diverzificira i zakomplicira rješenje:

Zadatak 5

Institut ima 1000 studenata. Blagovaonica ima 105 sjedećih mjesta. Svaki učenik ide u kantinu za vrijeme velikog odmora s vjerojatnošću 0,1. Kolika je vjerojatnost da na tipičan školski dan:

a) blagovaonica će biti popunjena najviše dvije trećine;
b) nema dovoljno mjesta za sve.

Skrećem vam pozornost na bitnu klauzulu "REDOVITIM školskim danom" - ona osigurava relativnu nepromjenjivost situacije. Nakon praznika, znatno manje studenata može doći u institut, a gladna delegacija će se spustiti na "Dan otvorenih vrata" =) To jest, na "neobičan" dan, vjerojatnosti će se znatno razlikovati.

Riješenje: koristimo Laplaceov integralni teorem, gdje

U ovom zadatku:
– ukupan broj studenata u zavodu;
- vjerojatnost da će učenik otići u kantinu na velikom odmoru;
je vjerojatnost suprotnog događaja.

a) Izračunajte koliko sjedala čine dvije trećine ukupnog broja: sjedala

Nađimo vjerojatnost da tipičnog školskog dana kantina neće biti ispunjena više od dvije trećine. Što to znači? To znači da će na veliki odmor doći od 0 do 70 ljudi. To što neće doći nitko ili će doći samo nekoliko studenata – ima događanja praktički nemoguće, međutim, da bi se primijenio Laplaceov integralni teorem, te se vjerojatnosti ipak trebaju uzeti u obzir. Tako:

Izračunajmo odgovarajuće argumente:

Kao rezultat:

- vjerojatnost da će tipičnog školskog dana kantina biti popunjena najviše dvije trećine.

Podsjetnik : kada se Laplaceova funkcija smatra jednakom .

Crush, međutim =)

b) Događaj "Nema dovoljno mjesta za sve" sastoji se u tome da će za vrijeme velikog odmora u blagovaonicu doći od 106 do 1000 ljudi (što je najvažnije, dobro zatvori =)). Jasno je da je posjećenost nevjerojatna, ali svejedno: .

Brojanje argumenata:

Dakle, vjerojatnost da neće biti dovoljno mjesta za sve:

Odgovor:

Sada se usredotočimo na jedno važna nijansa metoda: kada provodimo proračune na poseban segment, onda je sve "bez oblaka" - odlučite prema razmatranom predlošku. Međutim, ako se uzme u obzir kompletna grupa događaja treba pokazati određena točnost. Dopustite mi da objasnim ovo na primjeru upravo analiziranog problema. U stavku “be” pronašli smo vjerojatnost da neće biti dovoljno mjesta za sve. Nadalje, prema istoj shemi, izračunavamo:
- vjerojatnost da će biti dovoljno mjesta.

Jer ovi događaji suprotan, tada zbroj vjerojatnosti mora biti jednak jedan:

Što je bilo? – ovdje se čini da je sve logično. Stvar je u tome što je Laplaceova funkcija stalan, ali nismo uzeli u obzir interval od 105 do 106. Ovdje je nestao komad 0,0338. Zato po istoj standardnoj formuli treba izračunati:

Pa, ili još lakše:

Postavlja se pitanje: što ako smo PRVI pronašli? Tada će biti druga verzija rješenja:

Ali kako to može biti?! – na dva načina se dobivaju različiti odgovori! Jednostavno je: Laplaceov integralni teorem je metoda približan izračunima, te su stoga oba puta prihvatljiva.

Za točnije izračune koristite Bernoullijeva formula i, na primjer, funkcija excel BINOMDIST. Kao rezultat njegovu primjenu dobivamo:

I izražavam svoju zahvalnost jednom od posjetitelja stranice koji je skrenuo pozornost na ovu suptilnost - ispala je iz mog vidnog polja, jer se proučavanje cijele skupine događaja rijetko nalazi u praksi. Oni koji žele mogu se upoznati sa