Nalaženje inverzne matrice u smislu jedinične jedinice. viša matematika

Slično inverzima u mnogim svojstvima.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ Kako pronaći inverznu matricu - bezbotvy

✪ Inverzna matrica (2 načina pronalaženja)

✪ Inverzna matrica #1

✪ 2015-01-28. Inverzna matrica 3x3

✪ 2015-01-27. Inverzna matrica 2x2

titlovi

Svojstva inverzne matrice

• det A − 1 = 1 det A (\displaystyle \det A^(-1)=(\frac (1)(\det A))), Gdje det (\displaystyle \ \det ) označava odrednicu.
• (A B) − 1 = B − 1 A − 1 (\displaystyle \ (AB)^(-1)=B^(-1)A^(-1)) za dvije kvadratne invertibilne matrice A (\displaystyle A) I B (\displaystyle B).
• (A T) − 1 = (A − 1) T (\displaystyle \ (A^(T))^(-1)=(A^(-1))^(T)), Gdje (. . .) T (\displaystyle (...)^(T)) označava transponiranu matricu.
• (k A) − 1 = k − 1 A − 1 (\displaystyle \ (kA)^(-1)=k^(-1)A^(-1)) za bilo koji koeficijent k ≠ 0 (\displaystyle k\not =0).
• E − 1 = E (\displaystyle \ E^(-1)=E).
• Ako je potrebno riješiti sustav linearnih jednadžbi , (b je vektor različit od nule) gdje je x (\displaystyle x) je željeni vektor, a ako A − 1 (\displaystyle A^(-1)) postoji, dakle x = A − 1 b (\displaystyle x=A^(-1)b). U suprotnom, ili je dimenzija prostora rješenja veća od nule ili ih uopće nema.

Načini pronalaženja inverzne matrice

Ako je matrica invertibilna, tada da biste pronašli inverz matrice, možete koristiti jednu od sljedećih metoda:

Egzaktne (izravne) metode

Gauss-Jordanova metoda

Uzmimo dvije matrice: sebe A i samac E. Donesimo matricu A na matricu identiteta Gauss-Jordan metodom primjenom transformacija u redovima (također možete primijeniti transformacije u stupcima, ali ne u kombinaciji). Nakon primjene svake operacije na prvu matricu, primijenite istu operaciju na drugu. Kada se završi redukcija prve matrice na oblik identiteta, druga matrica će biti jednaka A -1.

Kada se koristi Gaussova metoda, prva matrica će se pomnožiti slijeva jednom od elementarnih matrica Λ i (\displaystyle \Lambda _(i))(transvekcijska ili dijagonalna matrica s onima na glavnoj dijagonali, osim jedne pozicije):

Λ 1 ⋅ ⋯ ⋅ Λ n ⋅ A = Λ A = E ⇒ Λ = A − 1 (\displaystyle \Lambda _(1)\cdot \dots \cdot \Lambda _(n)\cdot A=\Lambda A=E \Desna strelica \Lambda =A^(-1)). Λ m = [ 1 … 0 − a 1 m / a m m 0 … 0 … 0 … 1 − a m − 1 m / a m m 0 … 0 0 … 0 1 / a m m 0 … 0 0 … 0 − a m + 1 m / a m m 1 … 0 … 0 … 0 − a n m / a m m 0 … 1 ] (\displaystyle \Lambda _(m)=(\begin(bmatrix)1&\dots &0&-a_(1m)/a_(mm)&0&\dots &0\\ &&&\točke &&&\\0&\točke &1&-a_(m-1m)/a_(mm)&0&\točke &0\\0&\točke &0&1/a_(mm)&0&\točke &0\\0&\točke &0&-a_( m+1m)/a_(mm)&1&\točke &0\\&&&\točke &&&\\0&\točke &0&-a_(nm)/a_(mm)&0&\točke &1\end(bmatrica))).

Druga matrica nakon primjene svih operacija bit će jednaka Λ (\displaystyle \Lambda ), odnosno bit će željeni. Složenost algoritma - O(n 3) (\displaystyle O(n^(3))).

Korištenje matrice algebarskih sabiranja

Matrica Inverzna matrica A (\displaystyle A), predstaviti u obliku

A − 1 = adj (A) det (A) (\displaystyle (A)^(-1)=(((\mbox(adj))(A)) \preko (\det(A))))

Gdje adj (A) (\displaystyle (\mbox(adj))(A))- priložena matrica ;

Složenost algoritma ovisi o složenosti algoritma za izračunavanje determinante O det i jednaka je O(n²) O det .

Korištenje LU/LUP dekompozicije

Matrična jednadžba A X = I n (\displaystyle AX=I_(n)) za inverznu matricu X (\displaystyle X) može se promatrati kao zbirka n (\displaystyle n) sustavi oblika A x = b (\displaystyle Ax=b). Označiti ja (\displaystyle i)-ti stupac matrice X (\displaystyle X) kroz X i (\displaystyle X_(i)); Zatim A X i = e i (\displaystyle AX_(i)=e_(i)), i = 1 , … , n (\displaystyle i=1,\ldots ,n),jer ja (\displaystyle i)-ti stupac matrice Ja n (\displaystyle I_(n)) je jedinični vektor e i (\displaystyle e_(i)). drugim riječima, pronalaženje inverzne matrice svodi se na rješavanje n jednadžbi s istom matricom i različitim desnim stranama. Nakon izvođenja LUP ekspanzije (vrijeme O(n³)) za rješavanje svake od n jednadžbi potrebno je O(n²) vremena, tako da ovaj dio posla također traje O(n³) vremena.

Ako je matrica A nesingularna, tada možemo izračunati LUP dekompoziciju za nju PA = L U (\displaystyle PA=LU). Neka P A = B (\displaystyle PA=B), B − 1 = D (\displaystyle B^(-1)=D). Zatim, iz svojstava inverzne matrice, možemo napisati: D = U − 1 L − 1 (\displaystyle D=U^(-1)L^(-1)). Ako ovu jednakost pomnožimo s U i L, tada možemo dobiti dvije jednakosti oblika U D = L − 1 (\displaystyle UD=L^(-1)) I D L = U − 1 (\displaystyle DL=U^(-1)). Prva od ovih jednakosti je sustav od n² linearnih jednadžbi za n (n + 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n+1))(2))) kojima su poznate desne strane (iz svojstava trokutastih matrica). Drugi je također sustav n² linearnih jednadžbi za n (n − 1) 2 (\displaystyle (\frac (n(n-1))(2))) od kojih su poznate desne strane (također iz svojstava trokutastih matrica). Zajedno tvore sustav od n² jednakosti. Pomoću ovih jednakosti možemo rekurzivno odrediti svih n² elemenata matrice D. Tada iz jednakosti (PA) −1 = A −1 P −1 = B −1 = D. dobivamo jednakost A − 1 = D P (\displaystyle A^(-1)=DP).

U slučaju korištenja LU dekompozicije, nije potrebna permutacija stupaca matrice D, ali rješenje može divergirati čak i ako je matrica A nesingularna.

Složenost algoritma je O(n³).

Iterativne metode

Schultzove metode

( Ψ k = E − A U k , U k + 1 = U k ∑ i = 0 n Ψ k i (\displaystyle (\begin(cases)\Psi _(k)=E-AU_(k),\\U_( k+1)=U_(k)\zbroj _(i=0)^(n)\Psi _(k)^(i)\kraj(slučajevi)))

Procjena pogreške

Izbor početne aproksimacije

Problem odabira početne aproksimacije u procesima iterativne inverzije matrica koji se ovdje razmatraju ne dopušta nam da ih tretiramo kao neovisne univerzalne metode koje se natječu s metodama izravne inverzije koje se temelje, na primjer, na LU dekompoziciji matrica. Postoje neke preporuke za odabir U 0 (\displaystyle U_(0)), osiguranje ispunjenja uvjeta ρ (Ψ 0) < 1 {\displaystyle \rho (\Psi _{0})<1} (spektralni radijus matrice je manji od jedinice), što je neophodno i dovoljno za konvergenciju procesa. Međutim, u ovom slučaju, prvo je potrebno znati odozgo procjenu za spektar invertibilne matrice A ili matrice A A T (\displaystyle AA^(T))(naime, ako je A simetrična pozitivno određena matrica i ρ (A) ≤ β (\displaystyle \rho (A)\leq \beta ), onda možete uzeti U 0 = α E (\displaystyle U_(0)=(\alpha )E), Gdje ; ako je A proizvoljna nesingularna matrica i ρ (A A T) ≤ β (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq \beta ), onda pretpostavimo U 0 = α A T (\displaystyle U_(0)=(\alpha )A^(T)), gdje također α ∈ (0 , 2 β) (\displaystyle \alpha \in \lijevo(0,(\frac (2)(\beta ))\desno)); Naravno, situacija se može pojednostaviti i, koristeći činjenicu da ρ (A A T) ≤ k A A T k (\displaystyle \rho (AA^(T))\leq (\mathcal (k))AA^(T)(\mathcal (k))), staviti U 0 = A T ‖ A A T ‖ (\displaystyle U_(0)=(\frac (A^(T))(\|AA^(T)\|)))). Drugo, uz takvu specifikaciju početne matrice, nema jamstva da ‖ Ψ 0 ‖ (\displaystyle \|\Psi _(0)\|) bit će mali (možda čak ‖ Ψ 0 ‖ > 1 (\displaystyle \|\Psi _(0)\|>1)), a visoka stopa konvergencije neće biti odmah vidljiva.

Primjeri

Matrica 2x2

A − 1 = [ a b c d ] − 1 = 1 det (A) [ d − b − c a ] = 1 a d − b c [ d − b − c a ] . (\displaystyle \mathbf (A) ^(-1)=(\begin(bmatrix)a&b\\c&d\\\end(bmatrix))^(-1)=(\frac (1)(\det(\mathbf (A))))(\begin(bmatrix)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\end(bmatrix))=(\frac (1)(ad- bc))(\početak(bmatrica)\,\,\,d&\!\!-b\\-c&\,a\\\kraj(bmatrica)).)

Inverzija matrice 2x2 moguća je samo pod uvjetom da a d − b c = det A ≠ 0 (\displaystyle ad-bc=\det A\neq 0).

Inverzna matrica za zadanu je takva matrica, množenje izvorne kojom se daje matrica identiteta: Obavezan i dovoljan uvjet za postojanje inverzne matrice je nejednakost determinante izvorne (koja zauzvrat implicira da matrica mora biti kvadratna). Ako je determinanta matrice jednaka nuli, onda se ona naziva degeneriranom i takva matrica nema inverza. U višoj matematici, inverzne matrice su važne i koriste se za rješavanje niza problema. Na primjer, na pronalaženje inverzne matrice konstruirana je matrična metoda za rješavanje sustava jednadžbi. Naša servisna stranica dopušta izračunajte inverznu matricu online dvije metode: Gauss-Jordanova metoda i korištenje matrice algebarskih sabiranja. Prvi podrazumijeva veliki broj elementarnih transformacija unutar matrice, drugi - izračun determinante i algebarske dodatke svim elementima. Za izračunavanje determinante matrice online, možete koristiti našu drugu uslugu - Izračunavanje determinante matrice online

.

Pronađite inverznu matricu na web mjestu

web stranica omogućuje vam da pronađete inverzna matrica online brzo i besplatno. Na stranici izračune radi naš servis i prikazuje rezultat s detaljnim rješenjem za pronalaženje inverzna matrica. Server uvijek daje samo točan i točan odgovor. U zadacima po definiciji inverzna matrica online, potrebno je da odrednica matrice drugačije od nule web stranica izvijestit će o nemogućnosti pronalaženja inverzne matrice zbog činjenice da je determinanta izvorne matrice jednaka nuli. Zadatak pronalaženja inverzna matrica nalazi se u mnogim granama matematike, kao jedan od najosnovnijih pojmova algebre i matematički alat u primijenjenim problemima. Neovisna definicija inverzne matrice zahtijeva znatan trud, puno vremena, kalkulacije i veliku pažnju kako se ne bi napravio lapsus ili mala pogreška u izračunima. Stoga, naša usluga pronalaženje inverzne matrice online uvelike će vam olakšati zadatak i postat će nezaobilazan alat za rješavanje matematičkih problema. Čak i ako ti pronaći inverznu matricu sami, preporučujemo da provjerite svoje rješenje na našem poslužitelju. Unesite svoju originalnu matricu na našu internetsku stranicu Izračunaj inverznu matricu i provjerite svoj odgovor. Naš sustav nikada ne griješi i pronalazi inverzna matrica dana dimenzija u modusu na liniji odmah! Na stranici web stranica dopušteni su unosi znakova u elemente matrice, u ovom slučaju inverzna matrica online bit će predstavljen u općem simboličkom obliku.

Definicija 1: Matrica se naziva degeneriranom ako je njena determinanta nula.

Definicija 2: Matrica se naziva nesingularnom ako njena determinanta nije jednaka nuli.

Matrica "A" se zove inverzna matrica, ako je zadovoljen uvjet A*A-1 = A-1 *A = E (matrica identiteta).

Kvadratna matrica je invertibilna samo ako je nesingularna.

Shema za izračunavanje inverzne matrice:

1) Izračunajte determinantu matrice "A" ako ∆ A = 0, tada inverzna matrica ne postoji.

2) Nađite sve algebarske komplemente matrice "A".

3) Sastavite matricu algebarskih sabiranja (Aij )

4) Transponirati matricu algebarskih komplemenata (Aij )T

5) Pomnožite transponiranu matricu recipročnom vrijednošću determinante te matrice.

6) Pokrenite provjeru:

Na prvi pogled može se činiti da je teško, ali zapravo je sve vrlo jednostavno. Sva rješenja temelje se na jednostavnim aritmetičkim operacijama, glavna stvar pri rješavanju je ne zbuniti se sa znakovima "-" i "+" i ne izgubiti ih.

A sada riješimo zajedno s vama praktični zadatak računajući inverznu matricu.

Zadatak: pronađite inverznu matricu "A", prikazanu na slici ispod:

Sve rješavamo točno onako kako je naznačeno u planu za izračun inverzne matrice.

1. Prvo što treba učiniti je pronaći determinantu matrice "A":

Obrazloženje:

Pojednostavili smo našu determinantu korištenjem njenih glavnih funkcija. Prvo smo u 2. i 3. red dodali elemente prvog reda, pomnožene s jednim brojem.

Drugo, promijenili smo 2. i 3. stupac determinante, a prema njezinim svojstvima promijenili smo i znak ispred nje.

Treće, izbacili smo zajednički faktor (-1) drugog reda, čime smo ponovno promijenili predznak i on je postao pozitivan. Također smo pojednostavili liniju 3 na isti način kao na samom početku primjera.

Imamo trokutastu determinantu u kojoj su elementi ispod dijagonale jednaki nuli, a po svojstvu 7 ona je jednaka umnošku elemenata dijagonale. Kao rezultat toga, dobili smo ∆ A = 26, dakle inverzna matrica postoji.

A11 = 1*(3+1) = 4

A12 \u003d -1 * (9 + 2) \u003d -11

A13 = 1*1 = 1

A21 = -1*(-6) = 6

A22 = 1*(3-0) = 3

A23 = -1*(1+4) = -5

A31 = 1*2 = 2

A32 = -1*(-1) = -1

A33 = 1+(1+6) = 7

3. Sljedeći korak je sastavljanje matrice iz rezultirajućih dodavanja:

5. Ovu matricu pomnožimo s recipročnom vrijednošću determinante, odnosno s 1/26:

6. Pa, sada samo trebamo provjeriti:

Tijekom provjere dobili smo matricu identiteta, dakle, odluka je donesena apsolutno ispravno.

2 način za izračunavanje inverzne matrice.

1. Elementarna transformacija matrica

2. Inverzna matrica kroz elementarni pretvarač.

Elementarna matrična transformacija uključuje:

1. Množenje niza brojem koji nije nula.

2. Dodavanje bilo kojem retku drugog retka, pomnoženog brojem.

3. Zamjena redaka matrice.

4. Primjenom lanca elementarnih transformacija dobivamo drugu matricu.

A -1 = ?

1. (A|E) ~ (E|A -1 )

2. A -1*A=E

Pogledajmo to na praktičnom primjeru sa stvarnim brojevima.

Vježba: Nađi inverznu matricu.

Riješenje:

Provjerimo:

Malo pojašnjenje rješenja:

Prvo smo zamijenili retke 1 i 2 matrice, a zatim smo prvi red pomnožili s (-1).

Nakon toga je prvi redak pomnožen s (-2) i dodan u drugi redak matrice. Zatim smo drugi red pomnožili s 1/4.

Završna faza transformacije bila je množenje drugog reda s 2 i zbrajanje iz prvog. Kao rezultat, imamo matricu identiteta s lijeve strane, dakle, inverzna matrica je matrica s desne strane.

Nakon provjere uvjerili smo se u ispravnost odluke.

Kao što vidite, izračunavanje inverzne matrice je vrlo jednostavno.

U zaključku ovog predavanja želio bih posvetiti nešto vremena i svojstvima takve matrice.

Matrična algebra - Inverzna matrica

inverzna matrica

inverzna matrica Naziva se matrica koja, kada se pomnoži i desno i lijevo s danom matricom, daje matricu identiteta.
Označimo matricu inverznu matrici A kroz , tada prema definiciji dobivamo:

Gdje E je matrica identiteta.
kvadratna matrica nazvao neposeban (nedegeneriran) ako mu determinanta nije jednaka nuli. Inače se zove poseban (degenerirati) ili jednina.

Postoji teorem: svaka nesingularna matrica ima inverznu matricu.

Operacija pronalaženja inverzne matrice se zove apel matrice. Razmotrimo algoritam inverzije matrice. Neka je dana nesingularna matrica n-ti red:

gdje je Δ = det A ≠ 0.

Algebarski element komplementa matrice n-ti red A determinanta matrice ( n–1)-ti red dobiven brisanjem ja-th line i j-ti stupac matrice A:

Stvorimo tzv u prilogu matrica:

gdje su algebarski komplementi odgovarajućih elemenata matrice A.
Imajte na umu da su algebarski komplementi elemenata retka matrice A nalaze se u odgovarajućim stupcima matrice à , odnosno matrica se transponira istovremeno.
Dijeljenje svih elemenata matrice à na Δ - vrijednost determinante matrice A, kao rezultat dobivamo inverznu matricu:

Napominjemo niz posebnih svojstava inverzne matrice:
1) za zadanu matricu A svoju inverznu matricu je jedini;
2) ako postoji inverzna matrica , onda desno obrnuto I lijevi revers matrice se podudaraju s njim;
3) posebna (degenerirana) kvadratna matrica nema inverznu matricu.

Glavna svojstva inverzne matrice:
1) determinanta inverzne matrice i determinanta izvorne matrice su recipročne vrijednosti;
2) inverzna matrica proizvoda kvadratnih matrica jednaka je proizvodu inverznih matrica faktora, uzetih obrnutim redoslijedom:

3) transponirana inverzna matrica jednaka je inverznoj matrici iz zadane transponirane matrice:

PRIMJER Izračunaj matricu inverznu zadanoj.

Matrica A -1 naziva se inverzna matrica u odnosu na matricu A, ako je A * A -1 \u003d E, gdje je E matrica identiteta n-tog reda. Inverzna matrica može postojati samo za kvadratne matrice.

Dodjela usluge. Koristeći ovu uslugu na mreži, možete pronaći algebarske adicije, transponiranu matricu A T, unijsku matricu i inverznu matricu. Rješenje se provodi izravno na stranici (online) i besplatno je. Rezultati izračuna se prikazuju u izvješću u Word formatu iu Excel formatu (odnosno moguće je provjeriti rješenje). pogledajte primjer dizajna.

Uputa. Da biste dobili rješenje, morate odrediti dimenziju matrice. Zatim u novom dijaloškom okviru ispunite matricu A .

Dimenzija matrice 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Vidi također Inverzna matrica po Jordan-Gauss metodi

Algoritam za pronalaženje inverzne matrice

1. Nalaženje transponirane matrice A T .
2. Definicija algebarskih adicija. Svaki element matrice zamijenite njegovim algebarskim komplementom.
3. Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih dodavanja: svaki element rezultirajuće matrice podijeljen je determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.

Sljedeći algoritam inverzne matrice sličan prethodnom, osim nekoliko koraka: prvo se izračunavaju algebarski komplementi, a zatim se odredi unijska matrica C.

1. Odredite je li matrica kvadratna. Ako nije, onda za to ne postoji inverzna matrica.
2. Izračunavanje determinante matrice A . Ako nije jednaka nuli, nastavljamo rješavanje, u suprotnom, inverzna matrica ne postoji.
3. Definicija algebarskih adicija.
4. Popunjavanje unijske (međusobne, adjungirane) matrice C .
5. Sastavljanje inverzne matrice iz algebarskih sabiranja: svaki element adjungirane matrice C podijeli se s determinantom izvorne matrice. Rezultirajuća matrica je inverzna izvornoj matrici.
6. Napravite provjeru: pomnožite izvornu i dobivenu matricu. Rezultat bi trebala biti matrica identiteta.

Primjer #1. Matricu pišemo u obliku: