Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Relativni položaj linija

Neka nam je zadana neka ravna linija definirana linearnom jednadžbom i točka definirana svojim koordinatama (x0, y0) koja ne leži na ovoj liniji. Potrebno je pronaći točku koja bi bila simetrična danoj točki oko dane ravne crte, odnosno koincidirala bi s njom ako je ravnina mentalno savijena na pola duž te ravne crte.

upute

1. Jasno je da obje točke - zadana i željena - moraju ležati na istom pravcu, a taj pravac mora biti okomit na zadani. Dakle, prvi dio problema je otkriti jednadžbu pravca koji bi bio okomit na neki zadani pravac i istovremeno prolazio kroz zadanu točku.

2. Ravna linija se može odrediti na dva načina. Kanonska jednadžba pravca izgleda ovako: Ax + By + C = 0, gdje su A, B i C konstante. Ravnu liniju možete odrediti i pomoću linearne funkcije: y = kx + b, gdje je k kutni eksponent, b pomak. Ove su dvije metode međusobno zamjenjive i možete prelaziti s jedne na drugu. Ako je Ax + By + C = 0, tada je y = – (Ax + C)/B. Drugim riječima, u linearnoj funkciji y = kx + b, kutni eksponent k = -A/B, a pomak b = -C/B. Za zadatak koji je pri ruci ugodnije je zaključivati ​​na temelju kanonske jednadžbe ravne linije.

3. Ako su dvije linije okomite jedna na drugu, a jednadžba prve linije je Ax + By + C = 0, tada bi jednadžba druge linije trebala izgledati kao Bx – Ay + D = 0, gdje je D konstanta. Da bi se detektirala određena vrijednost D, potrebno je dodatno znati kroz koju točku prolazi okomica. U ovom slučaju to je točka (x0, y0) Prema tome, D mora zadovoljiti jednakost: Bx0 – Ay0 + D = 0, odnosno D = Ay0 – Bx0.

4. Nakon što je okomica otkrivena, potrebno je izračunati koordinate točke njezina sjecišta sa zadanom. Da biste to učinili, morate riješiti sustav linearnih jednadžbi: Ax + By + C = 0, Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0. Njegovo rješenje će dati brojeve (x1, y1), koji služe kao koordinate točka sjecišta linija.

5. Željena točka mora ležati na detektiranoj liniji, a njezina udaljenost od sjecišta mora biti jednaka udaljenosti od sjecišta do točke (x0, y0). Koordinate točke simetrične točki (x0, y0) mogu se tako pronaći rješavanjem sustava jednadžbi: Bx – Ay + Ay0 – Bx0 = 0,?((x1 – x0)^2 + (y1 – y0) ^2 = ?((x – x1)^2 + (y – y1)^2).

6. Ali možete to učiniti lakše. Ako su točke (x0, y0) i (x, y) na jednakoj udaljenosti od točke (x1, y1), a sve tri točke leže na istoj pravoj liniji, tada je: x – x1 = x1 – x0,y – y1 = y1 – y0. Prema tome, x = 2×1 – x0, y = 2y1 – y0. Zamjenom ovih vrijednosti u drugu jednadžbu prvog sustava i pojednostavljivanjem izraza, lako je osigurati da njegova desna strana postane ista kao lijeva. Osim toga, prvu jednadžbu nema smisla dalje razmatrati, jer je poznato da je točke (x0, y0) i (x1, y1) zadovoljavaju, a točka (x, y) očito leži na istom pravcu .

Formulacija problema. Odredite koordinate točke simetrične točki u odnosu na ravninu.

Plan rješenja.

1. Nađite jednadžbu pravca koji je okomit na zadanu ravninu i prolazi točkom . Kako je pravac okomit na datu ravninu, tada se normalni vektor ravnine može uzeti kao njen vektor smjera, tj.

.

Stoga će jednadžba pravca biti

.

2. Pronađite točku sjecište prave linije i ravnine (vidi problem 13).

3. Točka je središte segmenta gdje je točka je točka simetrična točki , Zato

Problem 14. Nađi točku simetričnu točki u odnosu na ravninu.

Jednadžba ravne linije koja prolazi kroz točku okomitu na danu ravninu bit će:

.

Nađimo točku presjeka pravca i ravnine.

Gdje – sjecište pravca i ravnine sredina je segmenta, dakle

Oni. .

Homogene ravninske koordinate. Afine transformacije u ravnini.

Neka M x I na

M(x, naMae (x, na, 1) u prostoru (slika 8).

Mae (x, na

Mae (x, na hu.

(hx, hy, h), h  0,

Komentar

h(Na primjer, h

Zapravo, s obzirom h

Komentar

Primjer 1.

b) do kuta (slika 9).

1. korak.

2. korak. Rotirajte za kut 

matrica odgovarajuće transformacije.

3. korak. Prijenos na vektor A(a, b)

matrica odgovarajuće transformacije.

Primjer 3

 duž x-osi i

1. korak.

matrica odgovarajuće transformacije.

2. korak.

3. korak.

konačno ćemo ga dobiti

Komentar

[R], [D], [M], [T],

Neka M- proizvoljna točka ravnine s koordinatama x I na, izračunato u odnosu na zadani pravocrtni koordinatni sustav. Homogene koordinate te točke su bilo koje trojke istovremeno različitih brojeva x 1, x 2, x 3, povezanih sa zadanim brojevima x i y sljedećim relacijama:

Kod rješavanja problema računalne grafike homogene koordinate se obično unose na sljedeći način: do proizvoljne točke M(x, na) ravnini je pridružena točka Mae (x, na, 1) u prostoru (slika 8).

Imajte na umu da proizvoljna točka na liniji koja povezuje ishodište, točku 0(0, 0, 0), s točkom Mae (x, na, 1), može se dati trostrukim brojevima oblika (hx, hy, h).

Vektor s koordinatama hx, hy je vektor smjera pravca koji spaja točke 0 (0, 0, 0) i Mae (x, na, 1). Ova linija siječe ravninu z = 1 u točki (x, y, 1), koja jedinstveno definira točku (x, y) koordinatne ravnine hu.

Dakle, između proizvoljne točke s koordinatama (x, y) i skupa trojki brojeva oblika

(hx, hy, h), h  0,

uspostavljena je korespondencija (jedan na jedan) koja nam omogućuje da brojeve hx, hy, h smatramo novim koordinatama ove točke.

Komentar

Široko korištene u projektivnoj geometriji, homogene koordinate omogućuju učinkovito opisivanje takozvanih nepravih elemenata (u biti onih u kojima se projektivna ravnina razlikuje od poznate Euklidske ravnine). Više detalja o novim mogućnostima koje pružaju uvedene homogene koordinate raspravlja se u četvrtom odjeljku ovog poglavlja.

U projektivnoj geometriji za homogene koordinate prihvaćena je sljedeća oznaka:

x:y:1 ili, općenitije, x1:x2:x3

(zapamtite da je ovdje apsolutno potrebno da se brojevi x 1, x 2, x 3 ne pretvore u nulu u isto vrijeme).

Korištenje homogenih koordinata pokazuje se zgodnim čak i pri rješavanju najjednostavnijih problema.

Razmotrite, na primjer, pitanja koja se odnose na promjene u mjerilu. Ako uređaj za prikaz radi samo s cijelim brojevima (ili ako trebate raditi samo s cijelim brojevima), tada za proizvoljnu vrijednost h(Na primjer, h= 1) točka s homogenim koordinatama

nemoguće zamisliti. Međutim, uz razuman izbor h, moguće je osigurati da su koordinate te točke cijeli brojevi. Konkretno, za h = 10 za primjer koji razmatramo imamo

Razmotrimo još jedan slučaj. Kako biste spriječili da rezultati transformacije dovedu do aritmetičkog prekoračenja, za točku s koordinatama (80000 40000 1000) možete uzeti, na primjer, h=0,001. Kao rezultat dobivamo (80 40 1).

Navedeni primjeri pokazuju korisnost korištenja homogenih koordinata pri izvođenju izračuna. Međutim, glavna svrha uvođenja homogenih koordinata u računalnu grafiku je njihova nedvojbena pogodnost u primjeni na geometrijske transformacije.

Korištenjem trojki homogenih koordinata i matrica trećeg reda može se opisati svaka afina transformacija ravnine.

Zapravo, s obzirom h= 1, usporedite dva unosa: označena simbolom * i sljedeću matricu:

Lako je vidjeti da nakon množenja izraza na desnoj strani zadnje relacije dobivamo obje formule (*) i točnu brojčanu jednakost 1=1.

Komentar

Ponekad se u literaturi koristi druga oznaka - stupna oznaka:

Ova notacija je ekvivalentna gornjoj notaciji red po red (i dobiva se iz nje transponiranjem).

Elementi proizvoljne matrice afine transformacije nemaju eksplicitno geometrijsko značenje. Dakle, da bi se provelo ovo ili ono preslikavanje, odnosno da bi se pronašli elementi odgovarajuće matrice prema zadanom geometrijskom opisu, potrebne su posebne tehnike. Tipično, konstrukcija ove matrice, u skladu sa složenošću problema koji se razmatra i gore opisanim posebnim slučajevima, podijeljena je u nekoliko faza.

U svakoj fazi se traži matrica koja odgovara jednom ili drugom od gore navedenih slučajeva A, B, C ili D, koji imaju dobro definirana geometrijska svojstva.

Zapišimo odgovarajuće matrice trećeg reda.

A. Matrica rotacije

B. Dilatacijska matrica

B. Refleksijska matrica

D. Matrica prijenosa (prijevod)

Razmotrimo primjere afinih transformacija ravnine.

Primjer 1.

Konstruirajte matricu rotacije oko točke A (a,b) do kuta (slika 9).

1. korak. Prijenos u vektor – A (-a, -b) za poravnavanje središta rotacije s ishodištem koordinata;

matrica odgovarajuće transformacije.

2. korak. Rotirajte za kut 

matrica odgovarajuće transformacije.

3. korak. Prijenos na vektor A(a, b) vratiti središte rotacije u prethodni položaj;

matrica odgovarajuće transformacije.

Pomnožimo matrice istim redoslijedom kako su zapisane:

Kao rezultat, nalazimo da će željena transformacija (u matričnom zapisu) izgledati ovako:

Elemente dobivene matrice (osobito u zadnjem redu) nije tako lako zapamtiti. U isto vrijeme, svaka od tri umnožene matrice može se lako konstruirati iz geometrijskog opisa odgovarajućeg preslikavanja.

Primjer 3

Konstruirajte matricu istezanja s koeficijentima istezanja duž x-osi i duž ordinatne osi sa središtem u točki A(a, b).

1. korak. Prijenos na vektor -A(-a, -b) za poravnavanje središta istezanja s ishodištem koordinata;

matrica odgovarajuće transformacije.

2. korak. Istezanje duž koordinatnih osi s koeficijentima  odnosno ; transformacijska matrica ima oblik

3. korak. Prijenos na vektor A(a, b) za vraćanje središta napetosti u prethodni položaj; matrica odgovarajuće transformacije –

Množenje matrica istim redoslijedom

konačno ćemo ga dobiti

Komentar

Rezoniranje na sličan način, to jest razbijanje predložene transformacije u faze podržane matricama[R], [D], [M], [T], može se konstruirati matrica bilo koje afine transformacije iz njenog geometrijskog opisa.

Pomak se provodi zbrajanjem, a skaliranje i rotacija množenjem.

Transformacija skaliranja (dilatacija) u odnosu na ishodište ima oblik:

ili u obliku matrice:

Gdje Dx,Dg su faktori skaliranja duž osi, i

- matrica skaliranja.

Kada je D > 1 dolazi do ekspanzije, kada je 0<=D<1- сжатие

Rotacijska transformacija u odnosu na ishodište ima oblik:

ili u obliku matrice:

gdje je φ kut rotacije, i

- rotacijska matrica.

Komentar: Stupci i redovi rotacijske matrice su međusobno ortogonalni jedinični vektori. Zapravo, kvadrati duljina vektora reda jednaki su jedan:

cosφ cosφ+sinφ sinφ = 1 i (-sinφ) (-sinφ)+cosφ cosφ = 1,

a skalarni produkt vektora reda je

cosφ (-sinφ) + sinφ cosφ= 0.

Budući da je skalarni produkt vektora A · B = |A| ·| B| ·cosψ, gdje je | A| - duljina vektora A, |B| - duljina vektora B, a ψ je najmanji pozitivni kut između njih, tada iz jednakosti 0 skalarnog umnoška dva vektora reda duljine 1 slijedi da je kut između njih 90 °.

Oh-oh-oh-oh-oh... pa, teško je, kao da sam sebi čita rečenicu =) Ipak, opuštanje će pomoći kasnije, pogotovo jer sam danas kupila odgovarajući pribor. Stoga, prijeđimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Uzajamni položaj dviju ravnih linija

To je slučaj kada publika zborski pjeva. Dvije ravne linije mogu:

1) utakmica;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj točki: .

Pomoć za glupane : Zapamtite matematički znak raskrižja, pojavit će se vrlo često. Oznaka znači da se pravac siječe s pravcem u točki .

Kako odrediti međusobni položaj dviju linija?

Počnimo s prvim slučajem:

Dva se pravca podudaraju ako i samo ako su im odgovarajući koeficijenti proporcionalni, to jest, postoji broj "lambda" takav da su jednakosti zadovoljene

Razmotrimo ravne linije i izradimo tri jednadžbe iz odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednadžbe slijedi da se, dakle, ove linije podudaraju.

Doista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite s –1 (promijenite predznak), i sve koeficijente jednadžbe smanjiti za 2, dobit ćete istu jednadžbu: .

Drugi slučaj, kada su linije paralelne:

Dva pravca su paralelna ako i samo ako su njihovi koeficijenti varijabli proporcionalni: , Ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, sasvim je očito da.

I treći slučaj, kada se linije sijeku:

Dva se pravca sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, to jest, NE POSTOJI takva vrijednost "lambda" da su jednakosti zadovoljene

Dakle, za ravne linije stvorit ćemo sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi , a iz druge jednadžbe: , što znači sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti varijabli nisu proporcionalni.

Zaključak: linije se sijeku

U praktičnim problemima možete koristiti shemu rješenja o kojoj smo upravo govorili. Usput, vrlo podsjeća na algoritam za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo gledali u razredu Pojam linearne (ne)ovisnosti vektora. Osnova vektora. Ali postoji civiliziranije pakiranje:

Primjer 1

Odredi relativni položaj linija:

Riješenje na temelju proučavanja vektora usmjeravanja ravnih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore smjera pravaca: .

, što znači da vektori nisu kolinearni i da se pravci sijeku.

Za svaki slučaj postavit ću kamen sa znakovima na raskršću:

Ostali preskaču kamen i slijede dalje, ravno do Kaščeja Besmrtnog =)

b) Odredite vektore smjera pravaca:

Pravci imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelni ili se podudaraju. Ovdje ne treba računati determinantu.

Očito je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni i .

Utvrdimo je li jednakost istinita:

Tako,

c) Odredite vektore smjera pravaca:

Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, dakle, vektori smjera su kolinearni. Pravci su ili paralelni ili se poklapaju.

Koeficijent proporcionalnosti "lambda" lako je vidjeti izravno iz omjera kolinearnih vektora smjera. Međutim, može se pronaći i preko koeficijenata samih jednadžbi: .

Sada saznajmo je li jednakost istinita. Oba besplatna termina su nula, pa:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednadžbu (općenito je zadovoljava bilo koji broj).

Dakle, linije se podudaraju.

Odgovor:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste čak već naučili) riješiti problem o kojem se govori usmeno doslovno u nekoliko sekundi. S tim u vezi, ne vidim smisla nuditi ništa za neovisno rješenje; bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako konstruirati pravac paralelan zadanom?

Za nepoznavanje ovog najjednostavnijeg zadatka, Slavuj Razbojnik strogo kažnjava.

Primjer 2

Pravac je dan jednadžbom. Napiši jednadžbu za paralelni pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Označimo nepoznatu crtu slovom . Što stanje govori o njoj? Pravac prolazi točkom. A ako su linije paralelne, onda je očito da je vektor smjera ravne linije "tse" također prikladan za konstruiranje ravne linije "de".

Iz jednadžbe izdvajamo vektor smjera:

Odgovor:

Primjer geometrije izgleda jednostavno:

Analitičko ispitivanje sastoji se od sljedećih koraka:

1) Provjeravamo imaju li pravci isti vektor smjera (ako jednadžba pravca nije ispravno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu.

U većini slučajeva, analitička ispitivanja mogu se jednostavno izvesti usmeno. Pogledajte dvije jednadžbe i mnogi od vas će brzo odrediti paralelnost pravaca bez ikakvog crteža.

Primjeri za neovisna rješenja danas će biti kreativni. Jer i dalje ćete se morati natjecati s Baba Yagom, a ona je, znate, ljubiteljica svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem if

Postoji racionalan i ne toliko racionalan način da se to riješi. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili s paralelnim linijama i vratit ćemo im se kasnije. Slučaj podudarnih linija malo je zanimljiv, pa razmotrimo problem koji vam je vrlo poznat iz školskog programa:

Kako pronaći točku sjecišta dviju linija?

Ako je ravno sijeku u točki , tada su njegove koordinate rješenje sustavi linearnih jednadžbi

Kako pronaći točku sjecišta linija? Riješite sustav.

Izvoli geometrijsko značenje sustava dviju linearnih jednadžbi s dvije nepoznanice- to su dvije (najčešće) linije koje se sijeku u ravnini.

Primjer 4

Pronađite točku sjecišta linija

Riješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafička metoda je jednostavno crtanje zadanih linija i pronalaženje sjecišta izravno iz crteža:

Evo naše tvrdnje: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate točke su rješenje sustava. U biti, gledali smo grafičko rješenje sustavi linearnih jednadžbi s dvije jednadžbe, dvije nepoznanice.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje vidljivi nedostaci. Ne, nije poanta da sedmaši tako odluče, poanta je da će trebati vremena da se napravi ispravan i TOČAN crtež. Osim toga, neke ravne linije nije lako konstruirati, a sama točka sjecišta može se nalaziti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista bilježnice.

Stoga je točku sjecišta svrsishodnije tražiti analitičkom metodom. Riješimo sustav:

Za rješavanje sustava korištena je metoda počlanog zbrajanja jednadžbi. Da biste razvili relevantne vještine, uzmite lekciju Kako riješiti sustav jednadžbi?

Odgovor:

Provjera je trivijalna - koordinate sjecišta moraju zadovoljiti svaku jednadžbu sustava.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravaca ako se sijeku.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Pogodno je podijeliti zadatak u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Zapišite jednadžbu pravca.
2) Zapišite jednadžbu pravca.
3) Odredi relativni položaj pravaca.
4) Ako se pravci sijeku, pronađite točku sjecišta.

Razvoj akcijskog algoritma tipičan je za mnoge geometrijske probleme i ja ću se više puta usredotočiti na to.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije:

Čak ni par cipela nije bio izlizan prije nego što smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od točke do pravca.
Kut između ravnih linija

Počnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu naučili smo kako izgraditi ravnu liniju paralelnu s ovom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stupnjeva:

Kako konstruirati pravac okomit na zadani?

Primjer 6

Pravac je dan jednadžbom. Napišite jednadžbu okomitu na pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Po uvjetu je poznato da . Bilo bi lijepo pronaći smjerni vektor pravca. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednadžbe “uklonimo” vektor normale: , koji će biti vektor usmjeravanja pravca.

Sastavimo jednadžbu ravne linije koristeći točku i vektor smjera:

Odgovor:

Proširimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narančasto nebo, narančasto more, narančasta deva.

Analitička provjera rješenja:

1) Iz jednadžbi izvadimo vektore smjera i uz pomoć skalarni produkt vektora dolazimo do zaključka da su pravci doista okomiti: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, čak je i lakše.

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu .

Test je, opet, lako izvesti usmeno.

Primjer 7

Odredite sjecište okomitih pravaca ako je jednadžba poznata i točka.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Postoji nekoliko radnji u problemu, pa je prikladno formulirati rješenje točku po točku.

Naše uzbudljivo putovanje se nastavlja:

Udaljenost od točke do linije

Pred nama je ravni pojas rijeke i naš zadatak je doći do njega najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalniji put će biti kretanje po okomici. To jest, udaljenost od točke do crte je duljina okomitog segmenta.

Udaljenost se u geometriji tradicionalno označava grčkim slovom “rho”, na primjer: – udaljenost od točke “em” do pravca “de”.

Udaljenost od točke do linije izražen formulom

Primjer 8

Nađi udaljenost od točke do pravca

Riješenje: sve što trebate učiniti je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i izvršiti izračune:

Odgovor:

Napravimo crtež:

Pronađena udaljenost od točke do pravca jednaka je duljini crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu od 1 jedinice. = 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrimo još jedan zadatak na temelju istog crteža:

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na ravnu crtu . Predlažem da sami izvedete korake, ali ja ću prikazati algoritam rješenja s međurezultatima:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku sjecišta pravaca: .

Obje radnje se detaljno razmatraju u ovoj lekciji.

3) Točka je središte odsječka. Koordinate sredine i jednog od krajeva znamo. Po formule za koordinate središta segmenta pronašli smo .

Bilo bi dobro provjeriti je li i udaljenost 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u izračunima, ali mikrokalkulator je velika pomoć u tornju, omogućujući vam izračunavanje običnih razlomaka. Savjetovao sam vas mnogo puta i preporučit ću vas opet.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte?

Primjer 9

Nađi udaljenost između dvije paralelne crte

Ovo je još jedan primjer za koji sami odlučujete. Dat ću vam mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina da se to riješi. Ispitivanje na kraju lekcije, ali bolje je da pokušate sami pogoditi, mislim da je vaša genijalnost dobro razvijena.

Kut između dviju ravnih linija

Svaki kutak je zastoj:


U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANI kut, iz čega automatski proizlazi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentiran kutak "malina".

Ako su pravci okomiti, tada se bilo koji od 4 kuta može uzeti kao kut između njih.

Kako se razlikuju kutovi? Orijentacija. Prvo, smjer u kojem se kut "pomiče" je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut se piše sa znakom minus, na primjer ako .

Zašto sam ti ovo rekao? Čini se da se možemo snaći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da formule pomoću kojih ćemo pronaći kutove vrlo lako mogu rezultirati negativnim rezultatom, što vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut s predznakom minus nije ništa gori i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu, za negativni kut, strijelicom (u smjeru kazaljke na satu) označite njegovu orijentaciju.

Kako pronaći kut između dviju ravnih linija? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite kut između pravaca

Riješenje I Prva metoda

Razmotrimo dvije ravne linije definirane jednadžbama u općem obliku:

Ako je ravno nije okomito, To orijentiran Kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratimo pozornost na nazivnik - to je točno skalarni proizvod usmjerujući vektori ravnih linija:

Ako je , tada nazivnik formule postaje nula, a vektori će biti ortogonalni, a pravci će biti okomiti. Zato je napravljena rezerva o neokomitosti ravnih linija u formulaciji.

Na temelju gore navedenog, prikladno je formalizirati rješenje u dva koraka:

1) Izračunajmo skalarni produkt vektora smjera pravaca:
, što znači da linije nisu okomite.

2) Pronađite kut između ravnih linija pomoću formule:

Koristeći inverznu funkciju, lako je pronaći sam kut. U ovom slučaju koristimo neparnost arktangensa (vidi. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovor:

U vašem odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, minus, ništa strašno. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što je kut ispao negativne orijentacije, jer je u tvrdnji problema prvi broj ravna crta i upravo je s njom počelo “odvrtanje” kuta.

Ako stvarno želite dobiti pozitivan kut, trebate zamijeniti linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednadžbe , te uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s izravnim .

Pravac u prostoru uvijek se može definirati kao linija presjeka dviju neparalelnih ravnina. Ako je jednadžba jedne ravnine jednadžba druge ravnine, onda je jednadžba pravca dana kao

Ovdje nekolinearni
. Ove se jednadžbe nazivaju opće jednadžbe ravno u prostoru.

Kanonske jednadžbe pravca

Svaki vektor različit od nule koji leži na određenom pravcu ili je paralelan s njim naziva se vektor smjera tog pravca.

Ako je poanta poznata
pravac i njegov vektor smjera
, tada kanonske jednadžbe pravca imaju oblik:

. (9)

Parametarske jednadžbe pravca

Neka su zadane kanoničke jednadžbe pravca

.

Odavde dobivamo parametarske jednadžbe pravca:

(10)

Ove jednadžbe su korisne za pronalaženje sjecišta pravca i ravnine.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke
I
ima oblik:

.

Kut između ravnih linija

Kut između ravnih linija

I

jednak kutu između njihovih vektora smjera. Stoga se može izračunati pomoću formule (4):

Uvjet za paralelne pravce:

.

Uvjeti da su ravnine okomite:

Udaljenost točke od pravca

P recimo da je poenta dana
i ravno

.

Iz kanonskih jednadžbi pravca znamo točku
, koji pripada pravoj i njegov vektor smjera
. Zatim udaljenost točke
od pravca jednaka je visini paralelograma izgrađenog na vektorima I
. Stoga,

.

Uvjet za sjecište linija

Dva neparalelna pravca

,

sijeku ako i samo ako

.

Uzajamni položaj pravca i ravnine.

Neka je dana pravac
i avion. Kutak između njih može se pronaći formulom

.

Problem 73. Napiši kanonske jednadžbe pravca

(11)

Riješenje. Da bi se zapisale kanonske jednadžbe pravca (9), potrebno je poznavati bilo koju točku koja pripada pravcu i vektor smjera pravca.

Nađimo vektor , paralelno s ovom linijom. Budući da mora biti okomit na normalne vektore tih ravnina, tj.

,
, To

.

Iz općih jednadžbi pravca imamo da
,
. Zatim

.

Od točke
bilo koje točke na liniji, tada njezine koordinate moraju zadovoljavati jednadžbe pravca, a jedna od njih može biti navedena, na primjer,
, nalazimo druge dvije koordinate iz sustava (11):

Odavde,
.

Dakle, kanonske jednadžbe tražene linije imaju oblik:

ili
.

Problem 74.

I
.

Riješenje. Iz kanonskih jednadžbi prvog pravca poznate su koordinate točke
koji pripadaju pravoj, te koordinate vektora pravca
. Iz kanonskih jednadžbi drugog pravca poznate su i koordinate točke
i koordinate vektora pravca
.

Udaljenost između paralelnih pravaca jednaka je udaljenosti točke
od druge ravne linije. Ova udaljenost izračunava se formulom

.

Nađimo koordinate vektora
.

Izračunajmo vektorski produkt
:

.

Problem 75. Pronađite točku simetrična točka
relativno ravno

.

Riješenje. Napišimo jednadžbu ravnine koja je okomita na zadani pravac i prolazi točkom . Kao njegov normalni vektor možete uzeti vektor usmjeravanja ravne linije. Zatim
. Stoga,

Nađimo točku
točka presjeka ovog pravca i ravnine P. Da bismo to učinili, napišemo parametarske jednadžbe pravca pomoću jednadžbi (10), dobivamo

Stoga,
.

Neka
točka simetrična točki
u odnosu na ovu liniju. Zatim točka
središnja točka
. Za pronalaženje koordinata točke Koristimo formule za koordinate sredine segmenta:

,
,
.

Tako,
.

Problem 76. Napiši jednadžbu ravnine koja prolazi kroz pravac
I

a) kroz točku
;

b) okomito na ravninu.

Riješenje. Zapišimo opće jednadžbe ovog pravca. Da biste to učinili, razmotrite dvije jednakosti:

To znači da tražena ravnina pripada skupu ravnina s generatorima i njena se jednadžba može napisati u obliku (8):

a) Pronađimo
I iz uvjeta da ravnina prolazi točkom
, stoga njegove koordinate moraju zadovoljavati jednadžbu ravnine. Zamijenimo koordinate točke
u jednadžbu gomile ravnina:

Pronađena vrijednost
Zamijenimo ga u jednadžbu (12). dobivamo jednadžbu željene ravnine:

b) Pronađimo
I iz uvjeta da je željena ravnina okomita na ravninu. Normalni vektor zadane ravnine
, vektor normale željene ravnine (vidi jednadžbu skupine ravnina (12).

Dva su vektora okomita ako i samo ako je njihov točkasti produkt nula. Stoga,

Zamijenimo pronađenu vrijednost
u jednadžbu hrpe ravnina (12). Dobivamo jednadžbu željene ravnine:

Problemi koje treba samostalno riješiti

Problem 77. Dovesti do kanonskog oblika jednadžbe pravaca:

1)
2)

Problem 78. Napišite parametarske jednadžbe pravca
, ako:

1)
,
; 2)
,
.

Problem 79. Napišite jednadžbu ravnine koja prolazi točkom
okomito na ravnu liniju

Problem 80. Napišite jednadžbe pravca koji prolazi točkom
okomito na ravninu.

Problem 81. Nađi kut između ravnih linija:

1)
I
;

2)
I

Problem 82. Dokažite paralelne pravce:

I
.

Problem 83. Dokažite okomitost pravaca:

I

Problem 84. Izračunajte udaljenost točke
iz ravne linije:

1)
; 2)
.

Problem 85. Izračunaj udaljenost između paralelnih pravaca:

I
.

Problem 86. U jednadžbama pravca
definirati parametar tako da se taj pravac siječe s pravcem i nađi točku njihova sjecišta.

Problem 87. Pokažite da je ravna
paralelno s ravninom
, i ravna linija
leži u ovoj ravnini.

Problem 88. Pronađite točku simetrična točka u odnosu na ravninu
, ako:

1)
, ;

2)
, ;.

Problem 89. Napiši jednadžbu okomice spuštene iz točke
direktno
.

Problem 90. Pronađite točku simetrična točka
relativno ravno
.

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na ravnu crtu . Predlažem da sami izvedete korake, ali ja ću prikazati algoritam rješenja s međurezultatima:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku sjecišta pravaca: .

Obje radnje se detaljno razmatraju u ovoj lekciji.

3) Točka je središte odsječka. Koordinate sredine i jednog od krajeva znamo. Po formule za koordinate središta segmenta pronašli smo .

Bilo bi dobro provjeriti je li i udaljenost 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u izračunima, ali mikrokalkulator je velika pomoć u tornju, omogućujući vam izračunavanje običnih razlomaka. Savjetovao sam vas mnogo puta i preporučit ću vas opet.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte?

Primjer 9

Nađi udaljenost između dvije paralelne crte

Ovo je još jedan primjer za koji sami odlučujete. Dat ću vam mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina da se to riješi. Ispitivanje na kraju lekcije, ali bolje je da pokušate sami pogoditi, mislim da je vaša genijalnost dobro razvijena.

Kut između dviju ravnih linija

Svaki kutak je zastoj:


U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANI kut, iz čega automatski proizlazi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentiran kutak "malina".

Ako su pravci okomiti, tada se bilo koji od 4 kuta može uzeti kao kut između njih.

Kako se razlikuju kutovi? Orijentacija. Prvo, smjer u kojem se kut "pomiče" je fundamentalno važan. Drugo, negativno orijentirani kut se piše sa znakom minus, na primjer ako .

Zašto sam ti ovo rekao? Čini se da se možemo snaći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da formule pomoću kojih ćemo pronaći kutove vrlo lako mogu rezultirati negativnim rezultatom, što vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut s predznakom minus nije ništa gori i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu, za negativni kut, strijelicom (u smjeru kazaljke na satu) označite njegovu orijentaciju.

Kako pronaći kut između dviju ravnih linija? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite kut između pravaca

Riješenje I Prva metoda

Razmotrimo dvije ravne linije definirane jednadžbama u općem obliku:

Ako je ravno nije okomito, To orijentiran Kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratimo pozornost na nazivnik - to je točno skalarni proizvod usmjerujući vektori ravnih linija:

Ako je , tada nazivnik formule postaje nula, a vektori će biti ortogonalni, a pravci će biti okomiti. Zato je napravljena rezerva o neokomitosti ravnih linija u formulaciji.

Na temelju gore navedenog, prikladno je formalizirati rješenje u dva koraka:

1) Izračunajmo skalarni produkt vektora smjera pravaca:

2) Pronađite kut između ravnih linija pomoću formule:

Koristeći inverznu funkciju, lako je pronaći sam kut. U ovom slučaju koristimo neparnost arktangensa (vidi. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovor:

U vašem odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti u stupnjevima i radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, minus, ništa strašno. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće što je kut ispao negativne orijentacije, jer je u tvrdnji problema prvi broj ravna crta i upravo je s njom počelo “odvrtanje” kuta.

Ako stvarno želite dobiti pozitivan kut, trebate zamijeniti linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednadžbe , te uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s izravnim .

Neću to sakriti, sam odabirem ravne linije redoslijedom tako da kut ispadne pozitivan. Ljepše je, ali ništa više.

Kako biste provjerili svoje rješenje, možete uzeti kutomjer i izmjeriti kut.

Druga metoda

Ako su ravne linije zadane jednadžbama s nagibom i nije okomito, To orijentiran Kut između njih može se pronaći pomoću formule:

Uvjet okomitosti pravaca izražava se jednakošću, iz koje, usput rečeno, proizlazi vrlo koristan odnos između kutnih koeficijenata okomitih pravaca: , koji se koristi u nekim zadacima.

Algoritam rješenja sličan je prethodnom paragrafu. Ali prvo, prepišimo naše ravne linije u traženom obliku:

Dakle, nagibi su:

1) Provjerimo jesu li pravci okomiti:
, što znači da linije nisu okomite.

2) Koristite formulu:

Odgovor:

Druga metoda je prikladna za korištenje kada su jednadžbe ravnih linija inicijalno navedene s kutnim koeficijentom. Treba napomenuti da ako je barem jedna ravna linija paralelna s osi ordinate, tada formula uopće nije primjenjiva, jer za takve ravne linije nagib nije definiran (vidi članak Jednadžba pravca na ravnini).

Postoji i treće rješenje. Ideja je izračunati kut između vektora smjera pravaca pomoću formule o kojoj smo govorili u lekciji Točkasti umnožak vektora:

Ovdje više ne govorimo o usmjerenom kutu, već "samo o kutu", odnosno rezultat će sigurno biti pozitivan. Kvaka je u tome što možete završiti s tupim kutom (ne onim koji vam je potreban). U ovom slučaju, morat ćete uzeti u obzir da je kut između ravnih linija manji kut i oduzeti rezultirajući ark kosinus od "pi" radijana (180 stupnjeva).

Oni koji žele mogu riješiti problem na treći način. Ali ipak preporučam da se držite prvog pristupa s usmjerenim kutom, jer je raširen.

Primjer 11

Nađi kut između pravaca.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Pokušajte ga riješiti na dva načina.

Nekako je bajka usput izumrla... Jer nema Kaščeja Besmrtnog. Ima me, i nisam nešto posebno parena. Da budem iskren, mislio sam da će članak biti puno duži. Ali ipak ću uzeti svoj nedavno kupljeni šešir i naočale i otići zaplivati ​​u vodu rujanskog jezera. Savršeno otklanja umor i negativnu energiju.

Vidimo se uskoro!

I zapamtite, Baba Yaga nije otkazana =)

Rješenja i odgovori:

Primjer 3:Riješenje : Nađimo vektor smjera pravca :

Sastavimo jednadžbu željenog pravca pomoću točke i vektor smjera . Budući da je jedna od koordinata vektora smjera nula, jednadžba prepišimo to u obliku:

Odgovor :

Primjer 5:Riješenje :
1) Jednadžba pravca izmislimo dvije točke :

2) Jednadžba pravca izmislimo dvije točke :

3) Odgovarajući koeficijenti za varijable nije proporcionalno: , što znači da se pravci sijeku.
4) Pronađite točku :


Bilješka : ovdje se prva jednadžba sustava množi s 5, zatim se 2. oduzima član po član od 1. jednadžbe.
Odgovor :