Matematički modeli najjednostavnijih sustava čekanja. Funkcije p0(t) i p1(t) određuju prijelazni proces u jednokanalnom QS-u i opisuju proces eksponencijalnog približavanja QS-a njegovom graničnom stanju s karakterističnom vremenskom konstantom d

23. listopada 2013. u 14:22

Squeak: Modeliranje sustava čekanja

• Programiranje,
• OOP,
• Paralelno programiranje

Na Habréu ima vrlo malo informacija o takvom programskom jeziku kao što je Squeak. Pokušat ću govoriti o tome u kontekstu modeliranja sustava čekanja. Pokazat ću vam kako napisati jednostavnu klasu, objasniti njenu strukturu i koristiti je u programu koji će služiti zahtjevima kroz nekoliko kanala.

Nekoliko riječi o Squeaku

Squeak je otvorena, višeplatformska implementacija programskog jezika Smalltalk-80 s dinamičkim tipkanjem i skupljanjem smeća. Sučelje je prilično specifično, ali prilično zgodno za otklanjanje pogrešaka i analizu. Squeak u potpunosti zadovoljava koncept OOP-a. Sve se sastoji od objekata, čak i strukture if-then-else, for, while implementiran uz njihovu pomoć. Cijela se sintaksa svodi na slanje poruke objektu u obliku:

<объект> <сообщение>

Bilo koja metoda uvijek vraća objekt i može mu se poslati nova poruka.
Squeak se često koristi za modeliranje procesa, ali se može koristiti i kao alat za izradu multimedijskih aplikacija i raznih obrazovnih platformi.

Sustavi čekanja

Sustavi čekanja (QS) sadrže jedan ili više kanala koji obrađuju zahtjeve koji dolaze iz više izvora. Vrijeme servisiranja svakog zahtjeva može biti fiksno ili proizvoljno, kao i razmaci između njihovog zaprimanja. To može biti telefonska centrala, praonica rublja, blagajnice u trgovini, daktilografski ured itd. To izgleda otprilike ovako:

QS uključuje nekoliko izvora koji ulaze u zajednički red čekanja i šalju se na servis kako se kanali obrade oslobode. Ovisno o specifičnostima stvarnih sustava, model može sadržavati različiti broj izvora aplikacija i servisnih kanala te imati različita ograničenja na duljinu čekanja i s time povezanu mogućnost gubitka aplikacija (odbijanja).

Pri modeliranju QS-a obično se rješavaju problemi procjene prosječne i maksimalne duljine čekanja, učestalosti kvarova usluge, prosječnog opterećenja kanala i određivanja njihovog broja. Ovisno o zadatku, model uključuje programske blokove za prikupljanje, akumulaciju i obradu potrebnih statističkih podataka o ponašanju procesa. Najčešće korišteni modeli toka događaja u QS analizi su regularni i Poissonov. Redovne karakterizira isto vrijeme između pojavljivanja događaja, a Poissonove karakteriziraju slučajna.

Malo matematike

Za Poissonov tok, broj događaja x, unutar intervala duljine τ (tau), uz točku t, raspoređeno prema Poissonovom zakonu:
Gdje a(t, τ)- prosječan broj događaja koji se događaju tijekom vremenskog intervala τ .
Prosječan broj događaja koji se događaju u jedinici vremena je λ(t). Dakle, prosječan broj događaja u vremenskom intervalu τ , uz trenutak vremena t, bit će jednako:

Vrijeme T između dva događaja λ(t) = const = λ raspoređeni prema zakonu:
Gustoća distribucije slučajne varijable T ima oblik:
Za dobivanje pseudoslučajnih Poissonovih nizova vremenskih intervala t i riješi jednadžbu:
Gdje r i- slučajni broj ravnomjerno raspoređen u intervalu.
U našem slučaju to daje izraz:

Generiranjem nasumičnog broja mogu se napisati cijeli tomovi. Ovdje, za generiranje cijelih brojeva ravnomjerno raspoređenih u intervalu, koristimo sljedeći algoritam:
Gdje R i- drugi slučajni cijeli broj;
R- neki veliki prosti broj (na primjer 2311);
Q- cijeli broj - gornja granica intervala, na primjer, 2 21 = 2097152;
rem- operacija dobivanja ostatka od dijeljenja cijelih brojeva.

Početna vrijednost R0 obično se postavlja proizvoljno, na primjer, pomoću očitanja mjerača vremena:
Ukupno vrijeme Sekundi
Da bismo dobili brojeve ravnomjerno raspoređene u intervalu, koristimo jezični operator:

Rand klasa

Da bismo dobili slučajne brojeve ravnomjerno raspoređene u intervalu, kreiramo klasu - generator realnih brojeva:

Float varijablaWordSubclass: #Rand "naziv klase" instanceVariableNames: "" "varijable instance" classVariableNames: "R" "varijable klase" poolDictionaries: "" "opći rječnici" kategorija: "Uzorak" "naziv kategorije"
Metode:

"Inicijalizacija" init R:= Time totalSeconds.next "Sljedeći pseudoslučajni broj" next R:= (R * 2311 + 1) rem: 2097152. ^(R/2097152) asFloat
Za postavljanje početnog stanja senzora pošaljite poruku Rand init.
Za primanje sljedećeg slučajnog broja koji šaljemo rand next.

Program za obradu zahtjeva

Dakle, kao jednostavan primjer, učinimo sljedeće. Pretpostavimo da trebamo modelirati servisiranje redovitog protoka zahtjeva iz jednog izvora sa slučajnim vremenskim intervalom između zahtjeva. Postoje dva kanala različitih performansi, što vam omogućuje servisiranje zahtjeva u 2 odnosno 7 vremenskih jedinica. Potrebno je registrirati broj zahtjeva koje je svaki kanal opslužio u intervalu od 100 vremenskih jedinica.

Kod za Squeak

"Deklariranje privremenih varijabli" | proc1 proc2 t1 t2 s1 s2 sysPrioritetni red nastavak r | "Početne postavke varijable" Rand init. SysTime:= 0. s1:= 0. s2:= 0. t1:= -1. t2:= -1. nastaviti:= istina. sysPriority:= Prioritet aktivnog procesa procesora. Red "Trenutni prioritet":= Semafor novi. "Model čekanja zahtjeva" "Stvaranje procesa - model kanala 1" (Proces forContext: [ proc1:= Procesor activeProcess. whileTrue: "Ciklus usluge" [ čekanje čekanja. "Čekanje zahtjeva" t1:= SysTime + 2. "Sljedeća aktivacija vrijeme" s1:= s1 + 1. proc1 obustaviti. "Obustaviti proces dok čekate kraj usluge" ] proc1:= nula. "Ukloniti referencu na proces 1" ] prioritet: (sysPriority + 1)) nastaviti. "Novi prioritet je veći od pozadine" "Stvaranje procesa - model kanala 2" (Process forContext: [ proc2:= Processor activeProcess.. whileTrue: [ queue wait. t2:= SysTime + 7. s2:= s2 + 1 .proc2 obustaviti.] .proc2:= nula.] prioritet: (sysPriority + 1)) nastaviti. "Nastavak opisa glavnog procesa i izvornog modela" whileTrue: [ r:= (i sljedeće * 10) zaokruženo. (r = 0) ifTrue: . ((SysTime rem: r) = 0) ifTrue: . "Pošalji zahtjev" "Prebacivanje procesa usluge" (t1 = SysTime) ifTrue: . (t2 = SysTime) ifTrue: . SysTime:= SysTime + 1. "Vrijeme modela otkucava" ]. "Prikaži status brojača naloga" PopUpMenu obavještava: "proc1: ",(s1 printString),", proc2: ",(s2 printString). nastaviti:= netočno.

Kada se pokrene, vidimo da je proces 1 uspio obraditi 31 zahtjev, a proces 2 samo 11:

Klasifikacija, osnovni pojmovi, elementi modela, proračun osnovnih karakteristika.

Pri rješavanju problema racionalne organizacije trgovine, potrošačkih usluga, skladištenja i dr. Vrlo je korisno interpretirati aktivnosti proizvodne strukture kao sustavi čekanja, tj. sustav u kojem s jedne strane stalno postoje zahtjevi za obavljanje nekog posla, as druge strane se tim zahtjevima stalno udovoljava.

Svaki QS uključuje četiri elementa: dolazni tok, red čekanja, poslužitelj, odlazni tok.

Zahtjev(naručitelj, prijava) u QS je svaki pojedinačni zahtjev za obavljanje bilo kojeg posla.

Servis- to je obavljanje posla radi zadovoljenja primljenog zahtjeva. Objekt koji obavlja servisiranje zahtjeva naziva se servisni uređaj (uređaj) ili servisni kanal.

Vrijeme usluge je razdoblje tijekom kojeg je zahtjev za uslugom zadovoljen, tj. razdoblje od početka službe do njenog završetka. Razdoblje od trenutka ulaska zahtjeva u sustav do početka usluge naziva se vrijeme čekanja usluge. Vrijeme čekanja na uslugu, zajedno s vremenom usluge, čini vrijeme zadržavanja zahtjeva u sustavu.

SMO-ovi se klasificiraju prema različitim kriterijima.

1. Na temelju broja servisnih kanala QS-ovi se dijele na jednokanalne i višekanalne.

2. Ovisno o uvjetima čekanja i zahtjevu za početak servisiranja, razlikuje se QS s gubicima (kvarovima) i QS s čekanjem.

U QS sa zahtjevima za gubitke, zaprimljeni u trenutku kada su svi uređaji zauzeti servisom, odbijaju se, izgubljeni su za ovaj sustav i nemaju nikakvog utjecaja na daljnji proces servisiranja. Klasičan primjer neispravnog sustava je telefonska centrala - zahtjev za povezivanje se odbija ako je pozvani pretplatnik zauzet.

Za sustav s kvarovima, glavna karakteristika operativne učinkovitosti je vjerojatnost kvara ili prosječni udio aplikacija koje ostaju neobrađene.

U QS s očekivanjem zahtjeva, koji dolazi u vrijeme kada su svi uređaji zauzeti servisiranjem, ne napušta sustav, već ulazi u red i čeka dok se jedan od kanala ne oslobodi. Kada sljedeći uređaj postane dostupan, jedan od zahtjeva u redu čekanja odmah se prihvaća za uslugu.

Za QS s čekanjem, glavne karakteristike su matematička očekivanja duljine reda i vremena čekanja.

Primjer sustava čekanja je proces popravljanja televizora u radionici.

Postoje sustavi koji leže između ove dvije skupine ( mješoviti SMO). Karakterizira ih prisutnost nekih međuuvjeta: ograničenja mogu biti ograničenja vremena čekanja za početak usluge, duljine reda itd.

Karakteristike performansi mogu se primijeniti na vjerojatnost kvara u sustavima s gubicima (ili karakteristikama latencije) i sustavima koji čekaju.

3. Prema disciplini održavanja QS sustavi se dijele na sustave s prioritetom u održavanju i sustave bez prioriteta u održavanju.

Zahtjevi se mogu servisirati redoslijedom kojim su primljeni, nasumično ili na temelju utvrđenih prioriteta.

4. SMO mogu biti jednofazni i višefazni.

U jednofazni sustavima, zahtjevi se opslužuju kanalima jedne vrste (na primjer, radnici iste profesije) bez njihovog prijenosa s jednog kanala na drugi, u višefazni sustavima takvi prijenosi su mogući.

5. Prema lokaciji izvora zahtjeva QS sustavi se dijele na otvorene (kada je izvor zahtjeva izvan sustava) i zatvorene (kada je izvor u samom sustavu).

DO zatvoreno To uključuje sustave u kojima je dolazni tok zahtjeva ograničen. Na primjer, predradnik čiji je zadatak postaviti strojeve u radionici mora ih povremeno servisirati. Svaki prilagođeni stroj postaje potencijalni izvor zahtjeva za prilagodbom u budućnosti. U takvim sustavima ukupan broj cirkulacijskih zahtjeva je konačan i najčešće konstantan.

Ako izvor opskrbe ima beskonačan broj zahtjeva, tada se sustavi pozivaju otvoren. Primjeri takvih sustava uključuju trgovine, urede za prodaju karata na željezničkim postajama, lukama itd. Za ove sustave dolazni protok zahtjeva može se smatrati neograničenim.

Metode i modeli za istraživanje QS-a mogu se podijeliti na analitičke i statističke (simulacijsko modeliranje procesa čekanja).

Analitičkim metodama moguće je dobiti karakteristike sustava kao neke funkcije parametara njegova funkcioniranja. Zahvaljujući tome, postaje moguće provesti kvalitativnu analizu utjecaja pojedinih čimbenika na učinkovitost QS-a.

Nažalost, samo prilično ograničen raspon problema u teoriji čekanja može se riješiti analitički. Unatoč stalnom razvoju analitičkih metoda, u mnogim je stvarnim slučajevima analitičko rješenje ili nemoguće dobiti, ili se rezultirajuće ovisnosti ispostavljaju toliko složenima da njihova analiza sama po sebi postaje težak zadatak. Stoga, da bi se mogle koristiti analitičke metode rješenja, potrebno je pribjeći različitim pojednostavljujućim pretpostavkama, što je donekle kompenzirano mogućnošću korištenja kvalitativne analize konačnih ovisnosti (u ovom slučaju, naravno, to je potrebno da donesene pretpostavke ne iskrive stvarnu sliku procesa).

Trenutno su teoretski najrazvijenije i najpogodnije u praktičnim primjenama metode za rješavanje problema čekanja u redu kod kojih je tok zahtjeva najjednostavniji ( Poisson).

Za najjednostavniji tok, učestalost dolaska zahtjeva u sustav podliježe Poissonovom zakonu, odnosno vjerojatnost dolaska u vremenu t jednakom k zahtjevima dana je formulom:

gdje je λ parametar protoka (vidi dolje).

Najjednostavnije strujanje ima tri glavna svojstva: obično, stacionarno i bez naknadnog učinka.

Običnost protok znači praktičnu nemogućnost istovremenog dolaska dva ili više zahtjeva. Na primjer, vrlo je mala vjerojatnost da će iz grupe strojeva koje servisira tim servisera više strojeva pokvariti u isto vrijeme.

Stacionarni nazvao teći, za koje se matematičko očekivanje broja zahtjeva koji ulaze u sustav po jedinici vremena (označeno s λ) ne mijenja tijekom vremena. Dakle, vjerojatnost ulaska određenog broja zahtjeva u sustav tijekom zadanog vremenskog razdoblja Δt ovisi o njegovoj vrijednosti, a ne ovisi o početku njegovog brojanja na vremenskoj osi.

Nema naknadnog učinka znači da broj zahtjeva primljenih u sustav prije vremena t ne određuje koliko će zahtjeva ući u sustav tijekom vremena t + Δt.

Na primjer, ako se u određenom trenutku na tkalačkom stanu dogodi prekid niti, a tkalac ga popravi, onda to ne određuje hoće li se u sljedećem trenutku na tom tkalačkom stanu dogoditi novi prekid ili ne, a još manje. utjecati na vjerojatnost loma na drugim tkalačkim stanovima.

Važna karakteristika QS-a je vrijeme koje je potrebno za servisiranje zahtjeva u sustavu. Vrijeme usluge je u pravilu slučajna varijabla i stoga se može opisati zakonom raspodjele. Najviše se koristi u teoriji, a posebno u praktičnim primjenama, eksponencijalni zakon. Za ovaj zakon, funkcija distribucije vjerojatnosti ima oblik:

F(t) = 1 – e -μt,

oni. vjerojatnost da vrijeme usluge ne prijeđe određenu vrijednost t određena je formulom (1 – e -μt), gdje je μ parametar eksponencijalnog zakona vremena usluge za zahtjeve u sustavu - recipročna vrijednost prosječne usluge vrijeme, tj. .

Razmotrimo analitičke modele QS-a s očekivanjem(najčešći QS, u kojem se zahtjevi primljeni kada su sve servisne jedinice zauzete stavljaju u red čekanja i servisiraju dok se servisne jedinice oslobađaju).

Zadaci s redovima čekanja tipični su u proizvodnim okruženjima, na primjer, pri organizaciji radova podešavanja i popravka, tijekom održavanja na više strojeva itd.

Opća formulacija problema je sljedeća.

Sustav se sastoji od n kanala za posluživanje. Svaki od njih može ispuniti samo jedan zahtjev u isto vrijeme. Sustav prima jednostavan (Poissonov) tok zahtjeva s parametrom λ. Ako u trenutku dolaska sljedećeg zahtjeva u sustavu već postoji najmanje n zahtjeva za servisiranje (tj. svi kanali su zauzeti), tada taj zahtjev postaje u redu čekanja i čeka da servisiranje počne.

Vrijeme usluge svakog zahtjeva t about je slučajna varijabla koja se pokorava eksponencijalnom zakonu distribucije s parametrom μ.

Kao što je gore navedeno, QS s očekivanjem može se podijeliti u dvije velike skupine: zatvorene i otvorene.

Osobitosti funkcioniranja svake od ove dvije vrste sustava nameću svoju nijansu korištenom matematičkom aparatu. Proračun radnih karakteristika različitih tipova QS-a može se provesti na temelju proračuna vjerojatnosti stanja QS-a (Erlangove formule).

Budući da je sustav zatvoren, u postavku problema treba dodati uvjet: protok dolaznih zahtjeva je ograničen, tj. u uslužnom sustavu ne može biti više od m zahtjeva u isto vrijeme (m je broj objekata koji se servisiraju).

Kao glavne kriterije koji karakteriziraju kvalitetu funkcioniranja sustava koji se razmatra, odabrat ćemo: 1) omjer prosječne duljine čekanja na najveći broj zahtjeva koji se istovremeno nalaze u uslužnom sustavu - stopa zastoja servisiranog objekta; 2) omjer prosječnog broja neaktivnih uslužnih kanala prema njihovom ukupnom broju - omjer mirovanja opslužnog kanala.

Razmotrimo izračun potrebnih probabilističkih karakteristika (indikatora performansi) zatvorenog QS-a.

1. Vjerojatnost da u sustavu postoji k zahtjeva, pod uvjetom da njihov broj ne premašuje broj servisnih uređaja n:

P k = α k P 0 , (1 ≤ k ≤ n),

Gdje

λ je učestalost (intenzitet) zahtjeva koji ulaze u sustav iz jednog izvora;

Prosječno trajanje servisiranja jednog zahtjeva;

m je najveći mogući broj zahtjeva koji se nalaze u sustavu za posluživanje u isto vrijeme;

n - broj servisnih uređaja;

P 0 je vjerojatnost da su svi servisni uređaji slobodni.

2. Vjerojatnost da u sustavu postoji k zahtjeva, pod uvjetom da je njihov broj veći od broja servisnih uređaja:

P k = α k P 0 , (n ≤ k ≤ m),

Gdje

3. Iz uvjeta se utvrđuje vjerojatnost da su svi servisni uređaji slobodni

stoga,

4. Prosječan broj zahtjeva koji čekaju na početak usluge (prosječna duljina čekanja):

5. Zahtjev za stopu čekanja na uslugu:

6. Vjerojatnost da su svi servisni uređaji zauzeti:

7. Prosječan broj zahtjeva u sustavu posluživanja (servirana i čekajuća usluga):

8. Stopa potpunog prekida rada zahtjeva za održavanje i čekanja na održavanje:

9. Prosječno vrijeme zastoja zahtjeva u redu za uslugu:

10. Prosječan broj besplatnih servisnih uređaja:

11. Omjer zastoja servisnih uređaja:

12. Vjerojatnost da je broj zahtjeva koji čekaju na uslugu veći od određenog broja B (vjerojatnost da postoji više od B zahtjeva u redu za uslugu):

U mnogim područjima ekonomije, financija, proizvodnje i svakodnevnog života važnu ulogu imaju sustavi koji implementiraju opetovano izvršavanje sličnih zadataka. Takvi sustavi nazivaju se sustavi čekanja ( SMO ). Primjeri QS-a su: banke raznih vrsta, osiguravajuće organizacije, porezne inspekcije, revizorske službe, različiti komunikacijski sustavi, kompleksi za utovar i istovar, benzinske postaje, razna poduzeća i uslužne organizacije.

3.1.1 Opće informacije o sustavima čekanja

Svaki QS je dizajniran za servisiranje (ispunjavanje) određenog tijeka aplikacija (zahtjeva) koji pristižu na ulaz sustava, uglavnom ne redovno, već u nasumično vrijeme. Usluga aplikacija također ne traje stalno, unaprijed određeno vrijeme, već slučajno, što ovisi o mnogim slučajnim, ponekad nama nepoznatim, razlozima. Nakon servisiranja zahtjeva, kanal se oslobađa i spreman je za primanje sljedećeg zahtjeva. Nasumična priroda tijeka aplikacija i vremena njihovog servisiranja dovodi do neravnomjernog opterećenja QS-a. U nekim vremenskim intervalima zahtjevi se mogu akumulirati na ulazu QS-a, što dovodi do preopterećenja QS-a, u nekim drugim vremenskim intervalima, kada na ulazu QS-a ima slobodnih kanala (servisnih uređaja), neće ih biti zahtjeva, što dovodi do podopterećenja QS-a, tj. do praznog hoda svojih kanala. Aplikacije koje se nakupe na ulazu QS-a ili se “pridružuju” redu čekanja ili iz nekog razloga ne mogu nastaviti ostati u redu čekanja, ostavljaju QS neposluženim.

Slika 3.1 prikazuje QS dijagram.

Glavni elementi (značajke) sustava čekanja su:

Servisna jedinica (blok),

Tijek prijava

Red tijekom čekanja na uslugu (disciplina čekanja u redu).

Servisna jedinica dizajniran za izvođenje radnji prema zahtjevima onih koji ulaze u sustav aplikacije.

Riža. 3.1 Dijagram sustava čekanja

Druga komponenta sustava čekanja je ulaz tijek aplikacija. Prijave se unose u sustav nasumično. Obično se pretpostavlja da se ulazni tok pridržava nekog vjerojatnosnog zakona za vrijeme trajanja intervala između dva uzastopno pristigla zahtjeva, a pretpostavlja se da zakon distribucije ostaje nepromijenjen neko prilično dugo vrijeme. Izvor aplikacija je neograničen.

Treća komponenta je disciplina čekanja. Ova karakteristika opisuje redoslijed servisnih zahtjeva koji stižu na ulaz sustava. Budući da je servisni blok u pravilu ograničenog kapaciteta, a aplikacije neredovito stižu, povremeno se stvara red aplikacija koje čekaju na servis, a ponekad servisni sustav miruje čekajući aplikacije.

Glavna značajka procesa čekanja je slučajnost. U ovom slučaju postoje dvije strane u interakciji: servirana i servirana. Slučajno ponašanje barem jedne od strana dovodi do slučajne prirode procesa usluge kao cjeline. Izvori slučajnosti u interakciji ove dvije strane su slučajni događaji dvije vrste.

1. Izgled prijave (zahtjeva) za uslugu. Razlog nasumičnosti ovog događaja često je masovna potreba za uslugom.

2. Završetak servisiranja sljedeće aplikacije. Razlozi slučajnosti ovog događaja su kako slučajnost početka usluge tako i slučajno trajanje same usluge.

Ovi slučajni događaji čine sustav od dva toka u QS-u: ulazni tok aplikacija za uslugu i izlazni tok servisiranih aplikacija.

Rezultat interakcije ovih tokova slučajnih događaja je broj aplikacija trenutno u QS-u, koji se obično naziva stanje sustava.

Svaki QS, ovisno o svojim parametrima prirode tijeka aplikacija, broju uslužnih kanala i njihovoj produktivnosti te pravilima organizacije rada, ima određenu radnu učinkovitost (propusnost) koja mu omogućuje da se uspješno nosi s protokom aplikacije.

Posebno područje primijenjene matematike teorija maseodržavanje (TMO)– bavi se analizom procesa u sustavima čekanja. Predmet proučavanja teorije čekanja je QS.

Cilj teorije čekanja je razviti preporuke za racionalnu konstrukciju QS-a, racionalnu organizaciju njihova rada i reguliranje protoka zahtjeva kako bi se osigurala visoka učinkovitost funkcioniranja QS-a. Za postizanje ovog cilja postavljeni su zadaci teorije čekanja koji se sastoje u utvrđivanju ovisnosti učinkovitosti funkcioniranja QS-a o njegovoj organizaciji.

Problemi teorije čekanja su optimizacijske prirode iu konačnici su usmjereni na određivanje verzije sustava koja će osigurati minimum ukupnih troškova od čekanja na uslugu, gubitka vremena i resursa za uslugu, te zastoja servisne jedinice. Poznavanje takvih karakteristika daje upravitelju informacije za razvijanje ciljanog utjecaja na te karakteristike za upravljanje učinkovitošću procesa čekanja.

Sljedeće tri glavne skupine (obično prosječnih) pokazatelja obično se odabiru kao karakteristike učinkovitosti QS sustava:

Pokazatelji učinkovitosti korištenja QS-a:

Apsolutni kapacitet QS-a je prosječan broj zahtjeva koje QS može poslužiti u jedinici vremena.

Relativni kapacitet QS-a je omjer prosječnog broja aplikacija koje je QS opslužio po jedinici vremena i prosječnog broja primljenih aplikacija tijekom istog vremena.

Prosječno trajanje radnog staža CMO-a.

Stopa korištenja QS-a prosječni je udio vremena tijekom kojeg je QS zauzet servisiranjem zahtjeva itd.

Pokazatelji kvalitete za servisne zahtjeve:

Prosječno vrijeme čekanja aplikacije u redu čekanja.

Prosječno vrijeme boravka aplikacije u CMO-u.

Vjerojatnost da zahtjev bude odbijen bez čekanja.

Vjerojatnost da će primljeni zahtjev biti odmah prihvaćen za uslugu.

Zakon raspodjele vremena koje aplikacija ostaje u redu čekanja.

Zakon raspodjele vremena boravka aplikacije u QS-u.

Prosječan broj prijava u redu.

Prosječan broj prijava u CMO-u itd.

Pokazatelji učinkovitosti para "SMO - potrošač", gdje se pod "potrošač" podrazumijeva cijeli skup aplikacija ili neke od njih

Operacije ili učinkovitost sustava čekanja su kako slijedi.

Za QS s kvarovima:

Za SMO s neograničenim čekanjem i apsolutna i relativna propusnost gube smisao, jer će svaki dolazni zahtjev prije ili kasnije biti servisiran. Za takav QS važni pokazatelji su:

Za Mješoviti tip QS koriste se obje skupine pokazatelja: i relativni i apsolutna propusnost i karakteristike očekivanja.

Ovisno o namjeni operacije čekanja, bilo koji od zadanih indikatora (ili skup indikatora) može se odabrati kao kriterij učinkovitosti.

Analitički model QS je skup jednadžbi ili formula koje omogućuju određivanje vjerojatnosti stanja sustava tijekom njegovog rada i izračunavanje pokazatelja performansi na temelju poznatih karakteristika dolaznog protoka i uslužnih kanala.

Ne postoji opći analitički model za proizvoljan QS. Analitički modeli razvijeni su za ograničeni broj posebnih slučajeva QS-a. Analitički modeli koji više ili manje točno odražavaju stvarne sustave obično su složeni i teško ih je vizualizirati.

Analitičko modeliranje QS-a uvelike je olakšano ako su procesi koji se odvijaju u QS-u Markovljevi (tokovi zahtjeva su jednostavni, vremena usluge raspoređena su eksponencijalno). Pritom se svi procesi u QS-u mogu opisati običnim diferencijalnim jednadžbama, au graničnom slučaju, za stacionarna stanja, linearnim algebarskim jednadžbama te se njihovim rješavanjem mogu odrediti odabrani pokazatelji učinkovitosti.

Pogledajmo primjere nekih QS-ova.

2.5.1. Višekanalni QS s kvarovima

Primjer 2.5. Tri prometna inspektora provjeravaju putne listove vozača kamiona. Ako je barem jedan inspektor slobodan, kamion koji prolazi se zaustavlja. Ako su svi inspektori zauzeti, kamion prolazi bez zaustavljanja. Protok kamiona je jednostavan, vrijeme provjere je slučajno s eksponencijalnom distribucijom.

Ova se situacija može modelirati trokanalnim QS-om s kvarovima (bez čekanja). Sustav je otvorenog tipa, s homogenim zahtjevima, jednofazni, s apsolutno pouzdanim kanalima.

Opis stanja:

Svi inspektori su besplatni;

Jedan inspektor ima posla;

Dva inspektora su zauzeta;

Tri inspektora su zauzeta.

Grafikon stanja sustava prikazan je na sl. 2.11.

Riža. 2.11.

Na grafikonu: - intenzitet protoka kamiona; - intenzitet provjere dokumenata od strane jednog prometnog inspektora.

Simulacija se provodi kako bi se odredio dio vozila koji neće biti testiran.

Riješenje

Traženi dio vjerojatnosti je vjerojatnost zaposlenja sva tri inspektora. Budući da grafikon stanja predstavlja tipičnu shemu "smrti i reprodukcije", pronaći ćemo pomoću ovisnosti (2.2).

Može se okarakterizirati propusni kapacitet ovog prometnog inspektorata relativna propusnost:

Primjer 2.6. Za primanje i obradu dojava izvidničke skupine u obavještajnom odjelu zdruga određena je skupina od tri časnika. Očekivani intenzitet protoka dojava je 15 dojava na sat. Prosječno vrijeme obrade jedne prijave od strane jednog službenika je . Svaki časnik može primati izvješća od bilo koje izvidničke grupe. Otpušteni službenik obrađuje posljednju od primljenih prijava. Dolazna izvješća moraju biti obrađena s vjerojatnošću od najmanje 95%.

Utvrdite je li dodijeljeni tim od tri časnika dovoljan za izvršenje dodijeljene zadaće.

Riješenje

Skupina službenika djeluje kao CMO s kvarovima, koji se sastoji od tri kanala.

Tijek izvješća s intenzitetom može se smatrati najjednostavnijim, budući da je skup nekoliko izviđačkih skupina. Intenzitet usluge . Zakon raspodjele je nepoznat, ali je nevažan, jer je pokazano da za sustave s kvarovima može biti proizvoljan.

Opis stanja i grafikon stanja QS-a bit će slični onima danima u primjeru 2.5.

Budući da je grafikon stanja shema "smrti i reprodukcije", za njega postoje gotovi izrazi za ograničavajuće vjerojatnosti stanja:

Stav se zove s obzirom na intenzitet protoka prijava. Njegovo fizičko značenje je sljedeće: vrijednost predstavlja prosječan broj zahtjeva koji stižu u QS tijekom prosječnog vremena servisiranja jednog zahtjeva.

U primjeru .

U razmatranom QS-u kvar nastaje kada su sva tri kanala zauzeta, tj. Zatim:

Jer vjerojatnost neuspjeha u obradi izvješća je više od 34% (), tada je potrebno povećati osoblje grupe. Udvostručimo sastav grupe, odnosno CMO će sada imati šest kanala i izračunajmo:

Tako će samo grupa od šest službenika s 95% vjerojatnosti moći obraditi pristigla izvješća.

2.5.2. Višekanalni QS s čekanjem

Primjer 2.7. Na dionici riječnog prijelaza nalazi se 15 sličnih prijelaznih objekata. Protok opreme koja dolazi na prijelaz je prosječno 1 jedinica/min, prosječno vrijeme prelaska jedne jedinice opreme je 10 minuta (uključujući povratak vozila na prijelazu).

Procijenite glavne karakteristike prijelaza, uključujući vjerojatnost neposrednog prelaska odmah po dolasku jedinice opreme.

Riješenje

Apsolutna propusnost, odnosno sve što se približi prijelazu praktički se odmah prelazi.

Prosječan broj operativnih prijelaza:

Stope iskorištenosti i zastoja trajekta:

Također je razvijen program za rješavanje primjera. Pretpostavlja se da su vremenski intervali za dolazak opreme na prijelaz i vrijeme prelaska raspoređeni prema eksponencijalnom zakonu.

Stope iskorištenja križanja nakon 50 vožnji gotovo su iste: .

UVOD

POGLAVLJE I. FORMULACIJA PROBLEMA USLUGE ČEKOVA ČEKOVA

1.1 Opći koncept teorije čekanja

1.2 Modeliranje sustava čekanja

1.3 QS grafikoni stanja

1.4 Slučajni procesi

poglavlje II. JEDNADŽBE KOJE OPISUJU SUSTAVE ČEKOVA ČEKOVA

2.1 Kolmogorovljeve jednadžbe

2.2 Procesi “rađanja – smrti”

2.3 Ekonomska i matematička formulacija problema čekanja

poglavlje III. MODELI SUSTAVA ČEKOVA ČEKOVA

3.1 Jednokanalni QS s uskraćivanjem usluge

3.2 Višekanalni QS s uskraćivanjem usluge

3.3 Model višefaznog sustava turističkih usluga

3.4 Jednokanalni QS s ograničenom duljinom čekanja

3.5 Jednokanalni QS s neograničenim redom

3.6 Višekanalni QS s ograničenom duljinom čekanja

3.7 Višekanalni QS s neograničenim redom

3.8 Analiza sustava čekanja u supermarketu

ZAKLJUČAK

Uvod

Trenutno se pojavila velika količina literature koja je izravno posvećena teoriji čekanja, razvoju njezinih matematičkih aspekata, kao i različitim područjima njezine primjene - vojsci, medicini, prometu, trgovini, zrakoplovstvu itd.

Teorija čekanja temelji se na teoriji vjerojatnosti i matematičkoj statistici. Početni razvoj teorije čekanja vezuje se uz ime danskog znanstvenika A.K. Erlang (1878.-1929.), svojim radovima na području projektiranja i rada telefonskih centrala.

Teorija čekanja je polje primijenjene matematike koje se bavi analizom procesa u proizvodnim, uslužnim i sustavima upravljanja u kojima se homogeni događaji ponavljaju mnogo puta, na primjer, u poduzećima za pružanje usluga potrošačima; u sustavima za primanje, obradu i prijenos informacija; automatske proizvodne linije itd. Veliki doprinos razvoju ove teorije dali su ruski matematičari A.Ya. Khinchin, B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, E.S. Wentzel i sur.

Predmet teorije čekanja je utvrditi ovisnosti između prirode toka zahtjeva, broja uslužnih kanala, performansi pojedinog kanala i učinkovite usluge kako bi se pronašli najbolji načini za upravljanje tim procesima. Problemi teorije čekanja su optimizacijske prirode i u konačnici uključuju ekonomski aspekt određivanja opcije sustava koja će osigurati minimum ukupnih troškova od čekanja na uslugu, gubitka vremena i resursa za uslugu, te zastoja uslužnih kanala.

U komercijalnim djelatnostima primjena teorije čekanja još nije našla željenu distribuciju.

To je uglavnom zbog poteškoća u postavljanju zadataka, potrebe za dubokim razumijevanjem sadržaja komercijalnih aktivnosti, kao i pouzdanih i točnih alata koji omogućuju izračunavanje različitih opcija za posljedice odluka menadžmenta u komercijalnim aktivnostima.

Poglavlje ja . Postavljanje zadataka čekanja

1.1 Opći koncept teorije čekanja

Priroda masovnih usluga, u raznim područjima, vrlo je suptilna i složena. Komercijalna djelatnost povezana je s obavljanjem mnogih operacija u fazama kretanja, na primjer, masa robe iz sfere proizvodnje u sferu potrošnje. Takvi poslovi su utovar robe, prijevoz, istovar, skladištenje, prerada, pakiranje i prodaja. Uz takve osnovne operacije, proces kretanja robe prati veliki broj prethodnih, pripremnih, pratećih, usporednih i naknadnih operacija s platnim dokumentima, kontejnerima, novcem, automobilima, klijentima itd.

Navedene fragmente trgovačke djelatnosti karakterizira masovni dolazak robe, novca i posjetitelja u nasumičnim terminima, zatim njihovo sekvencijalno servisiranje (zadovoljavanje zahtjeva, zahtjeva, prijava) izvođenjem odgovarajućih operacija čije je vrijeme izvršenja također nasumično. Sve to stvara neravnomjernost u radu, dovodi do podopterećenja, zastoja i preopterećenja u komercijalnom poslovanju. Redovi zadaju mnogo problema, primjerice, posjetiteljima u kafićima, kantinama, restoranima ili vozačima automobila na robnim skladištima koji čekaju na istovar, utovar ili papirologiju. S tim u vezi, nameću se zadaci analize postojećih opcija za obavljanje cjelokupnog skupa operacija, na primjer, prodajni prostor supermarketa, restorana ili u radionicama za proizvodnju vlastitih proizvoda u svrhu procjene njihovog rada, identificiranja slabih karika. te rezerve za konačno razvijanje preporuka usmjerenih na povećanje učinkovitosti komercijalnih aktivnosti.

Osim toga, nameću se i drugi zadaci vezani uz kreiranje, organizaciju i planiranje nove ekonomične, racionalne mogućnosti za obavljanje mnogih poslova unutar trgovačkog salona, ​​slastičarne, svih razina usluge u restoranu, kavani, kantini, planskoj službi, računovodstvu, kadrovska služba itd.

Zadaci organiziranja masovnih usluga javljaju se u gotovo svim sferama ljudske djelatnosti, na primjer, prodavači koji poslužuju kupce u trgovinama, poslužuju posjetitelje u ugostiteljskim objektima, služe kupcima u poduzećima za potrošačke usluge, pružaju telefonske razgovore na telefonskoj centrali, pružaju medicinsku skrb pacijenti u klinici itd. . U svim navedenim primjerima postoji potreba za zadovoljenjem potreba većeg broja potrošača.

Navedeni problemi mogu se uspješno riješiti pomoću metoda i modela teorije čekanja (QST) posebno kreiranih za ove potrebe. Ova teorija objašnjava da je potrebno služiti nekome ili nečemu, što je definirano pojmom “uslužni zahtjev (zahtjev)”, a servisne operacije obavlja netko ili nešto što se zove servisni kanali (čvorovi). Ulogu zahtjeva u trgovačkim aktivnostima imaju roba, posjetitelji, novac, revizori, dokumenti, a ulogu uslužnih kanala imaju prodavači, administratori, kuhari, slastičari, konobari, blagajnici, trgovački stručnjaci, utovarivači, trgovačka oprema itd. Važno je napomenuti da je u jednoj izvedbi, na primjer, kuhar u procesu pripreme jela uslužni kanal, au drugoj on djeluje kao zahtjev za uslugu, na primjer voditelju proizvodnje da primi robu.

Prijave, zbog velikog broja računa za servisiranje, formiraju tijekove koji se nazivaju dolaznim prije obavljanja servisnih operacija, a nakon eventualnog čekanja na početak servisiranja, tj. vrijeme mirovanja u obliku čekanja servis teče u kanalima, a zatim se formira odlazni tok zahtjeva. Općenito, kombinacija elemenata dolaznog tijeka zahtjeva, reda čekanja, servisnih kanala i odlaznog tijeka zahtjeva čini najjednostavniji jednokanalni sustav čekanja – QS.

Sustav se shvaća kao skup međusobno povezanih sustava. svrhovito međusobno djelujući dijelovi (elementi). Primjeri takvih jednostavnih QS-ova u komercijalnim djelatnostima su mjesta za prijem i obradu robe, naplatni centri za kupce u trgovinama, kafići, kantine, radna mjesta za ekonomiste, računovođe, trgovce, kuhare itd.

Servisni postupak se smatra završenim kada servisni zahtjev napusti sustav. Trajanje vremenskog intervala potrebnog za provedbu servisne procedure uglavnom ovisi o prirodi zahtjeva za servisom, stanju samog servisnog sustava i servisnom kanalu.

Doista, duljina boravka kupca u supermarketu ovisi, s jedne strane, o osobnim kvalitetama kupca, njegovim zahtjevima, asortimanu robe koju će kupiti, as druge strane, o obliku organizacije usluživanja i uslužnog osoblja, što može značajno utjecati na boravak kupca u samoposluzi i na intenzitet usluge. Na primjer, ovladavanje "slijepom" metodom rada na blagajni od strane blagajnika-kontrolora omogućilo je povećanje propusnosti platnih čvorova za 1,3 puta i uštedu vremena potrošeno na obračune s kupcima na svakoj blagajni za više od 1,5 sata dnevno. Uvođenje jedinstvenog naplatnog centra u supermarketu daje opipljive prednosti kupcu. Tako, ako je kod tradicionalnog oblika plaćanja vrijeme opsluživanja jednog kupca bilo prosječno 1,5 minuta, onda je kod uvođenja jedinstvene naplatne jedinice ono iznosilo 67 sekundi. Od toga se 44 sekunde troše na kupnju u odjeljku, a 23 sekunde izravno na plaćanja za kupnju. Ako kupac obavi više kupnji u različitim odjeljcima, tada se gubitak vremena smanjuje pri kupnji dvije kupovine za 1,4 puta, tri za 1,9, pet za 2,9 puta.

Pod servisiranjem zahtjeva podrazumijevamo proces zadovoljenja potrebe. Usluge su raznolike po prirodi. Međutim, u svim primjerima primljeni zahtjevi zahtijevaju servisiranje od strane nekog uređaja. U nekim slučajevima uslugu obavlja jedna osoba (uslugu kupcu jedan prodavač, u nekima grupa ljudi (uslugu pacijentu vrši liječnička komisija u poliklinici), au nekim slučajevima tehničkim uređajima (prodaja gazirane vode, sendviča na automatima) Skup sredstava koje zahtijeva usluga naziva se servisni kanal.

Ako su servisni kanali sposobni zadovoljiti identične zahtjeve, tada se servisni kanali nazivaju homogenim. Skup homogenih uslužnih kanala naziva se uslužni sustav.

Sustav čekanja prima veliki broj zahtjeva u nasumično odabrano vrijeme, čije je trajanje usluge također slučajna varijabla. Sekvencijalni dolazak aplikacija u uslužni sustav naziva se dolazni tok aplikacija, a slijed aplikacija koje napuštaju uslužni sustav naziva se odlazni tok.