Jednadžba višestruke regresije u prirodnom i standardiziranom obliku. Standardizirani regresijski koeficijenti
Koeficijenti regresijske jednadžbe, kao i svi apsolutni pokazatelji, ne mogu se koristiti u komparativnoj analizi ako su mjerne jedinice odgovarajućih varijabli različite. Na primjer, ako g – obiteljski troškovi za hranu, x 1 – veličina obitelji i x 2 je ukupni prihod obitelji, a definiramo odnos kao = a + b 1 x 1 + b 2 x 2 i b 2 > b 1 , onda to ne znači da x 2 jače djeluje na g , kako x 1 , jer b 2 je promjena obiteljskih troškova kada se prihod promijeni za 1 rublju, i b 1 – promjena troškova kada se veličina obitelji promijeni za 1 osobu.
Usporedivost koeficijenata regresijske jednadžbe postiže se razmatranjem standardizirane regresijske jednadžbe:
y 0 = 1 x 1 0 + 2 x 2 0 + … + m x m 0 + e,
gdje je y 0 i x 0 k – standardizirane vrijednosti varijabli g I x k :
S y i S – standardne devijacije varijabli g I x k ,
k (k=) – -koeficijenti regresijske jednadžbe (ali ne i parametri regresijske jednadžbe, za razliku od prethodnih oznaka). -koeficijenti pokazuju za koji će se dio svoje standardne devijacije (S y) promijeniti zavisna varijabla g , ako je nezavisna varijabla x k promijenit će se za vrijednost svoje standardne devijacije (S). Procjene parametara regresijske jednadžbe u apsolutnom iznosu (b k) i β-koeficijenti povezani su relacijom:
koeficijenti regresijske jednadžbe na standardiziranoj skali daju realan prikaz utjecaja nezavisnih varijabli na modelirani pokazatelj. Ako vrijednost -koeficijenta za bilo koju varijablu premašuje vrijednost odgovarajućeg -koeficijenta za drugu varijablu, tada se utjecaj prve varijable na promjenu pokazatelja uspješnosti treba smatrati značajnijim. Treba imati na umu da standardizirana regresijska jednadžba, zbog centriranja varijabli, po konstrukciji nema slobodan član.
Za jednostavnu regresiju, -koeficijent se podudara s koeficijentom korelacije para, što omogućuje da se koeficijentu korelacije para da smisleno značenje.
Pri analizi utjecaja pokazatelja uključenih u regresijsku jednadžbu na modelirano obilježje, uz -koeficijente koriste se i koeficijenti elastičnosti. Na primjer, prosječni pokazatelj elastičnosti izračunava se formulom
i pokazuje za koliko će se postotaka u prosjeku promijeniti zavisna varijabla ako se prosječna vrijednost odgovarajuće nezavisne varijable promijeni za jedan posto (ako su sve ostale stvari jednake).
2.2.9. Diskretne varijable u regresijskoj analizi
Tipično, varijable u regresijskim modelima imaju kontinuirane raspone varijacija. Međutim, teorija ne nameće nikakva ograničenja na prirodu takvih varijabli. Vrlo često postoji potreba da se u regresijskoj analizi uzme u obzir utjecaj kvalitativnih karakteristika i njihova ovisnost o različitim čimbenicima. U tom slučaju postaje nužno uvesti diskretne varijable u regresijski model. Diskretne varijable mogu biti neovisne ili ovisne. Razmotrimo ove slučajeve odvojeno. Razmotrimo najprije slučaj diskretnih nezavisnih varijabli.
Dummy varijable u regresijskoj analizi
Da bi se kvalitativne značajke uključile u regresiju kao nezavisne varijable, one moraju biti digitalizirane. Jedna metoda za njihovo kvantificiranje je korištenje lažnih varijabli. Naziv nije sasvim prikladan - nisu izmišljeni, ali za te je svrhe prikladnije koristiti varijable koje imaju samo dvije vrijednosti - nula ili jedan. Tako su nazvani fiktivnima. Tipično, kvalitativna varijabla može poprimiti nekoliko razina vrijednosti. Na primjer, spol – muški, ženski; kvalifikacija – visoka, srednja, niska; sezonalnost - I, II, III i IV kvartal, itd. Postoji pravilo prema kojem je za digitalizaciju takvih varijabli potrebno unijeti broj lažnih varijabli, jedan manji od broja razina modeliranog pokazatelja. To je potrebno kako takve varijable ne bi ispale linearno ovisne.
U našim primjerima: spol je jedna varijabla, jednaka 1 za muškarce i 0 za žene. Kvalifikacija ima tri razine, što znači da su potrebne dvije lažne varijable: na primjer, z 1 = 1 za visoku razinu, 0 za ostale; z 2 = 1 za prosječnu razinu, 0 za ostale. Treća slična varijabla se ne može uvesti, jer bi u tom slučaju ispale linearno ovisne (z 1 + z 2 + z 3 = 1), determinanta matrice (X T X) bi se pretvorila u nulu i ne bi bila moguće pronaći inverznu matricu (X T X) -1 bilo bi moguće. Kao što je poznato, procjene parametara regresijske jednadžbe određuju se iz relacije: T X) -1 X T Y).
Koeficijenti na dummy varijablama pokazuju koliko se vrijednost zavisne varijable razlikuje na analiziranoj razini u odnosu na razinu koja nedostaje. Na primjer, kada bi se visina plaće modelirala ovisno o nekoliko karakteristika i razini vještina, tada bi koeficijent za z 1 pokazao koliko se plaća stručnjaka s visokom razinom kvalifikacije razlikuje od plaće stručnjaka s niskom razinom kvalifikacije, sve ostale stvari su jednake, a koeficijent za z 2 – slično značenje za stručnjake s prosječnom razinom kvalifikacija. U slučaju sezonalnosti trebale bi se unijeti tri dummy varijable (ako se razmatraju tromjesečni podaci) i koeficijenti na njima bi pokazali koliko se vrijednost zavisne varijable razlikuje za odgovarajuće tromjesečje od razine zavisne varijable za tromjesečje koji nije upisan prilikom njihove digitalizacije.
Također se uvode lažne varijable za modeliranje strukturnih promjena u dinamici proučavanih pokazatelja pri analizi vremenskih serija.
Primjer 4. Standardizirana regresijska jednadžba i lažne varijable
Razmotrimo primjer korištenja standardiziranih koeficijenata i lažnih varijabli na primjeru analize tržišta dvosobnih stanova na temelju jednadžbe višestruke regresije sa sljedećim skupom varijabli:
PRICE – cijena;
TOTSP – ukupna površina;
LIVSP – stambeni prostor;
KITSP – kuhinjski dio;
DIST – udaljenost od centra grada;
PJEŠAČITI – jednako 1 ako možete pješačiti do stanice metroa i jednako 0 ako trebate koristiti javni prijevoz;
OPEKA – jednaka 1 ako je kuća zidana i jednaka 0 ako je ploča;
KAT – jednak 1 ako stan nije na prvom ili zadnjem katu i jednak 0 u protivnom;
TEL – jednak 1 ako u stanu postoji telefon i jednak 1 ako nema;
BAL – jednako je 1 ako postoji balkon i jednako je 0 ako nema balkona.
Izračuni su provedeni pomoću programa STATISTICA (Slika 2.23). Prisutnost -koeficijenata omogućuje vam da varijable poredate prema stupnju njihovog utjecaja na zavisnu varijablu. Provedimo kratku analizu rezultata proračuna.
Na temelju Fisherove statistike zaključujemo o značaju regresijske jednadžbe (p-razina< 0,05). Обработана информация о 6 286 квартирах (n–m–1 = 6 276, а m = 9). Все коэффициенты уравнения регрессии (кроме при переменной BAL) значимы (р-величины для них < 0,05), а наличие или отсутствие балкона в этом случае существенно не сказывается на цене квартиры.
Slika 2.24 – Izvješće o tržištu stanova temeljeno na STATISTICA PPP
Koeficijent višestruke determinacije iznosi 52%, dakle, varijable uključene u regresiju određuju promjenu cijene za 52%, a preostalih 48% promjene cijene stana ovisi o neuračunatim faktorima. Uključujući slučajne fluktuacije cijena.
Svaki od koeficijenata za varijablu pokazuje koliko će se promijeniti cijena stana (pod ostalim uvjetima) ako se ta varijabla promijeni za jedan. Tako, na primjer, kada se ukupna površina promijeni za 1 sq. m, cijena stana će se promijeniti u prosjeku za 0,791 USD, a ako se stan preseli 1 km od centra grada, cijena stana će se u prosjeku smanjiti za 0,596 USD. itd. Dummy varijable (posljednjih 5) pokazuju koliko će se promijeniti prosječna cijena stana ako prijeđete s jedne razine ove varijable na drugu. Tako, na primjer, ako je kuća zidana, stan u njoj u prosjeku košta 3.104 USD. Odnosno, skuplji od istog u panel kući, a prisutnost telefona u stanu podiže njegovu cijenu u prosjeku za 1493 USD. e., itd.
Na temelju -koeficijenata mogu se izvući sljedeći zaključci. Najveći -koeficijent, jednak 0,514, je koeficijent za varijablu “ukupna površina”, stoga se, prije svega, cijena stana formira pod utjecajem njegove ukupne površine. Sljedeći faktor po utjecaju na promjenu cijene stana je udaljenost od centra grada, zatim materijal od kojeg je kuća izgrađena, zatim površina kuhinje itd.
Stranica 1
Standardizirani regresijski koeficijenti pokazuju koliko će se sigmi promijeniti prosječni rezultat ako se odgovarajući faktor x promijeni za jednu sigmu uz nepromijenjenu prosječnu razinu ostalih faktora. Zbog činjenice da su sve varijable navedene kao centrirane i normalizirane, standardizirani koeficijenti religije D međusobno su usporedivi. Uspoređujući ih međusobno, možete rangirati faktore prema snazi njihovog utjecaja na rezultat. To je glavna prednost standardiziranih koeficijenata vjeroispovijesti, za razliku od koeficijenata čiste vjere koji su neusporedivi.
Konzistentnost parcijalnih korelacijskih i standardiziranih koeficijenata regresije najjasnije je vidljiva iz usporedbe njihovih formula u dvofaktorskoj analizi.
Konzistentnost koeficijenata parcijalne korelacije i standardizirane regresije najjasnije je vidljiva iz usporedbe njihovih formula u bivarijatnoj analizi.
Za određivanje vrijednosti procjena at standardiziranih regresijskih koeficijenata a (najčešće se koriste sljedeće metode za rješavanje sustava normalnih jednadžbi: metoda determinanti, metoda kvadratnog korijena i matrična metoda. U novije vrijeme matrična metoda ima naširoko se koristi za rješavanje problema regresijske analize. Ovdje ćemo razmotriti rješavanje sustava normalnih jednadžbi jednadžbi metodom determinanti.
Drugim riječima, u dvofaktorskoj analizi, parcijalni koeficijenti korelacije su standardizirani regresijski koeficijenti pomnoženi kvadratnim korijenom omjera udjela rezidualnih varijanci fiksnog faktora prema faktoru i prema rezultatu.
Postoji još jedna mogućnost procjene uloge obilježja grupiranja i njihova značaja za klasifikaciju: na temelju standardiziranih koeficijenata regresije ili koeficijenata zasebnog određivanja (vidi pogl.
Kao što se vidi iz tablice. 18, komponente proučavanog sastava raspoređene su prema apsolutnoj vrijednosti regresijskih koeficijenata (b5) s njihovom kvadratnom greškom (5br) u nizu od ugljičnog monoksida i organskih kiselina do aldehida i uljnih para. Pri izračunu standardiziranih regresijskih koeficijenata (p) pokazalo se da, uzimajući u obzir raspon fluktuacija koncentracije, u formiranju toksičnosti smjese uglavnom prednjače ketoni i ugljikov monoksid, dok su organske kiseline na trećem mjestu. .
Uvjetni čisti koeficijenti regresije bf su imenovani brojevi izraženi u različitim mjernim jedinicama i stoga nisu međusobno usporedivi. Za njihovo pretvaranje u usporedive relativne pokazatelje koristi se ista transformacija kao za dobivanje koeficijenta parne korelacije. Dobivena vrijednost naziva se standardizirani regresijski koeficijent ili koeficijent.
Koeficijenti uvjetne čiste regresije A; su imenovani brojevi izraženi u različitim mjernim jedinicama i stoga su međusobno neusporedivi. Za njihovo pretvaranje u usporedive relativne pokazatelje koristi se ista transformacija kao za dobivanje koeficijenta parne korelacije. Dobivena vrijednost naziva se standardizirani regresijski koeficijent ili koeficijent.
U procesu razvoja standarda broja zaposlenih, prikupljaju se početni podaci o broju zaposlenih u platnom spisku i vrijednosti faktora za odabrana osnovna poduzeća. Zatim se odabiru značajni faktori za svaku funkciju na temelju korelacijske analize, na temelju vrijednosti korelacijskih koeficijenata. Odabiru se čimbenici s najvećom vrijednošću parnog koeficijenta korelacije s funkcijom i standardiziranim regresijskim koeficijentom.
Rezultati gornjih izračuna omogućuju sređivanje regresijskih koeficijenata koji odgovaraju ispitivanoj smjesi u opadajućem redoslijedu i na taj način kvantificiraju stupanj njihove opasnosti. Međutim, tako dobiveni regresijski koeficijent ne uzima u obzir raspon mogućih fluktuacija svake komponente u smjesi. Kao rezultat toga, produkti razgradnje koji imaju visoke koeficijente regresije, ali fluktuiraju u malom rasponu koncentracija, mogu imati manji utjecaj na ukupni toksični učinak od sastojaka s relativno malim b, čiji sadržaj u smjesi varira u širem rasponu. Stoga se čini uputnim provesti dodatnu operaciju - izračunavanje tzv. standardiziranih regresijskih koeficijenata p (J.
Stranice: 1
Vježbajte.
- Za zadani skup podataka izgradite model linearne višestruke regresije. Ocijenite točnost i primjerenost konstruirane regresijske jednadžbe.
- Dajte ekonomsku interpretaciju parametara modela.
- Izračunajte standardizirane koeficijente modela i napišite regresijsku jednadžbu u standardiziranom obliku. Je li točno da cijena dobra ima veći utjecaj na obujam ponude dobra nego plaće zaposlenika?
- Za dobiveni model (u prirodnom obliku) provjerite jesu li reziduali homoskedastični primjenom Goldfeld-Quandt testa.
- Testirajte dobiveni model za autokorelaciju reziduala pomoću Durbin-Watsonovog testa.
- Provjeriti je li pretpostavka o homogenosti izvornih podataka u regresijskom smislu primjerena. Je li moguće kombinirati dva uzorka (za prvih 8 i preostalih 8 opažanja) u jedan i uzeti u obzir jedan regresijski model Y na X?
1. Procjena regresijske jednadžbe. Odredimo vektor procjena koeficijenata regresije pomoću usluge Multiple Regression Equation. Prema metodi najmanjih kvadrata vektor s dobiven iz izraza: s = (X T X) -1 X T Y
Matrica X
| 1 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 193.45 | 920 |
| 1 | 160.09 | 686 |
| 1 | 157.99 | 405 |
| 1 | 123.83 | 683 |
| 1 | 152.02 | 530 |
| 1 | 130.53 | 525 |
| 1 | 137.38 | 418 |
| 1 | 137.58 | 425 |
| 1 | 118.78 | 161 |
| 1 | 142.9 | 242 |
| 1 | 99.49 | 226 |
| 1 | 116.17 | 162 |
| 1 | 185.66 | 70 |
Matrica Y
| 4.07 |
| 4 |
| 2.98 |
| 2.2 |
| 2.83 |
| 3 |
| 2.35 |
| 2.04 |
| 1.97 |
| 1.02 |
| 1.44 |
| 1.22 |
| 1.11 |
| 0.82 |
Matrica X T
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Množenje matrica, (X T X)
Nađite inverznu matricu (X T X) -1
| 2.25 | -0.0161 | 0.00037 |
| -0.0161 | 0.000132 | -7,0E-6 |
| 0.00037 | -7,0E-6 | 1.0E-6 |
Vektor procjena koeficijenata regresije jednak je
| Y(X) = |
| * |
| = |
|
Regresijska jednadžba (procjena regresijske jednadžbe)
Y = 0,18 + 0,00297X 1 + 0,00347X 2
2. Matrica uparenih korelacijskih koeficijenata R. Broj opažanja n = 14. Broj nezavisnih varijabli u modelu je 2, a broj regresora koji uzimaju u obzir jedinični vektor jednak je broju nepoznatih koeficijenata. Uzimajući u obzir predznak Y, dimenzija matrice postaje jednaka 4. Matrica nezavisnih varijabli X ima dimenziju (14 x 4).
Matrica sastavljena od Y i X
| 1 | 4.07 | 182.94 | 1018 |
| 1 | 4 | 193.45 | 920 |
| 1 | 2.98 | 160.09 | 686 |
| 1 | 2.2 | 157.99 | 405 |
| 1 | 2.83 | 123.83 | 683 |
| 1 | 3 | 152.02 | 530 |
| 1 | 2.35 | 130.53 | 525 |
| 1 | 2.04 | 137.38 | 418 |
| 1 | 1.97 | 137.58 | 425 |
| 1 | 1.02 | 118.78 | 161 |
| 1 | 1.44 | 142.9 | 242 |
| 1 | 1.22 | 99.49 | 226 |
| 1 | 1.11 | 116.17 | 162 |
| 1 | 0.82 | 185.66 | 70 |
Transponirana matrica.
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 4.07 | 4 | 2.98 | 2.2 | 2.83 | 3 | 2.35 | 2.04 | 1.97 | 1.02 | 1.44 | 1.22 | 1.11 | 0.82 |
| 182.94 | 193.45 | 160.09 | 157.99 | 123.83 | 152.02 | 130.53 | 137.38 | 137.58 | 118.78 | 142.9 | 99.49 | 116.17 | 185.66 |
| 1018 | 920 | 686 | 405 | 683 | 530 | 525 | 418 | 425 | 161 | 242 | 226 | 162 | 70 |
Matrica A T A.
| 14 | 31.05 | 2038.81 | 6471 |
| 31.05 | 83.37 | 4737.04 | 18230.79 |
| 2038.81 | 4737.04 | 307155.61 | 995591.55 |
| 6471 | 18230.79 | 995591.55 | 4062413 |
Dobivena matrica ima sljedeću korespondenciju:
| ∑n | ∑y | ∑x 1 | ∑x 2 |
| ∑y | ∑y 2 | ∑x 1 god | ∑x 2 god |
| ∑x 1 | ∑yx 1 | ∑x 1 2 | ∑x 2 x 1 |
| ∑x 2 | ∑yx 2 | ∑x 1 x 2 | ∑x 2 2 |
Nađimo koeficijente korelacije para.
| Značajke x i y | ∑(xi) | ∑(yi) | ∑(x i y i ) | |||
| Za y i x 1 | 2038.81 | 145.629 | 31.05 | 2.218 | 4737.044 | 338.36 |
| Za y i x 2 | 6471 | 462.214 | 31.05 | 2.218 | 18230.79 | 1302.199 |
| Za x 1 i x 2 | 6471 | 462.214 | 2038.81 | 145.629 | 995591.55 | 71113.682 |
| Značajke x i y | ||||
| Za y i x 1 | 731.797 | 1.036 | 27.052 | 1.018 |
| Za y i x 2 | 76530.311 | 1.036 | 276.641 | 1.018 |
| Za x 1 i x 2 | 76530.311 | 731.797 | 276.641 | 27.052 |
Matrica parnih korelacijskih koeficijenata R:
| - | g | x 1 | x 2 |
| g | 1 | 0.558 | 0.984 |
| x 1 | 0.558 | 1 | 0.508 |
| x 2 | 0.984 | 0.508 | 1 |
Za odabir najznačajnijih čimbenika x i, uzimaju se u obzir sljedeći uvjeti:
- veza između rezultantne karakteristike i faktora jedan mora biti veća od međufaktorske veze;
- odnos između faktora ne smije biti veći od 0,7. Ako matrica ima koeficijent interfaktorske korelacije r xjxi > 0,7, tada postoji multikolinearnost u ovom modelu višestruke regresije.;
- uz visoku međufaktorsku povezanost obilježja odabiru se čimbenici s nižim koeficijentom korelacije između njih.
U našem slučaju, svi parni koeficijenti korelacije |r| Regresijski model na standardnoj ljestvici Regresijski model na standardnoj ljestvici pretpostavlja da se sve vrijednosti karakteristika koje se proučavaju pretvaraju u standarde (standardizirane vrijednosti) pomoću formula:
gdje je x ji vrijednost varijable x ji u i-tom promatranju.
Stoga se podrijetlo svake standardizirane varijable kombinira s njezinom srednjom vrijednošću, a njezino standardno odstupanje uzima se kao jedinica promjene S.
Ako je odnos između varijabli na prirodnoj ljestvici linearan, tada promjena podrijetla i mjerne jedinice neće narušiti ovo svojstvo, tako da će standardizirane varijable također biti povezane linearnim odnosom:
t y = ∑β j t xj
Za procjenu β-koeficijenata koristimo OLS. U tom će slučaju sustav normalnih jednadžbi imati oblik:
r x1y =β 1 +r x1x2 β 2 + ... + r x1xm β m
r x2y =r x2x1 β 1 + β 2 + ... + r x2xm β m
...
r xmy =r xmx1 β 1 + r xmx2 β 2 + ... + β m
Za naše podatke (uzimamo ih iz matrice koeficijenata korelacije parova):
0,558 = β 1 + 0,508 β 2
0,984 = 0,508β 1 + β 2
Ovaj sustav linearnih jednadžbi rješavamo Gaussovom metodom: β 1 = 0,0789; β2 = 0,944;
Standardizirani oblik regresijske jednadžbe je:
y 0 = 0,0789x 1 + 0,944x 2
β-koeficijenti dobiveni iz ovog sustava omogućuju određivanje vrijednosti koeficijenata u regresiji na prirodnoj skali pomoću formula:
Standardizirani parcijalni regresijski koeficijenti. Standardizirani parcijalni regresijski koeficijenti - β-koeficijenti (β j) pokazuju za koji će se dio njegove standardne devijacije S(y) promijeniti rezultat g s promjenom odgovarajućeg faktora x j za vrijednost njegove standardne devijacije (S xj) uz stalni utjecaj ostalih faktora (uključenih u jednadžbu).
Po maksimalnom β j može se prosuditi koji faktor ima jači utjecaj na rezultat Y.
Koeficijenti elastičnosti i β-koeficijenti mogu dovesti do suprotnih zaključaka. Razlozi za to su: a) varijacija jednog faktora je vrlo velika; b) višesmjerni utjecaj faktora na rezultat.
Koeficijent β j također se može tumačiti kao pokazatelj izravnog (neposrednog) utjecaja j-ti faktor (x j) na rezultat (y). U višestrukoj regresiji j Faktor th ima ne samo izravan, već i neizravan (indirektan) učinak na rezultat (tj. utjecaj preko drugih čimbenika modela).
Neizravni utjecaj mjeri se vrijednošću: ∑β i r xj,xi , gdje je m broj faktora u modelu. Potpuni utjecaj jth faktor na rezultat jednak zbroju izravnih i neizravnih utjecaja mjeri koeficijent korelacije linearnog para ovog faktora i rezultata - r xj,y.
Tako se za naš primjer izravni utjecaj faktora x 1 na rezultat Y u regresijskoj jednadžbi mjeri β j i iznosi 0,0789; neizravni (posredovani) utjecaj ovog čimbenika na rezultat definiran je kao:
r x1x2 β 2 = 0,508 * 0,944 = 0,4796
U ekonometriji se često koristi drugačiji pristup za određivanje parametara višestruke regresije (2.13) s isključenim koeficijentom:
Podijelimo obje strane jednadžbe sa standardnom devijacijom objašnjene varijable S Y i predstaviti ga u obliku:
Podijelimo i pomnožimo svaki izraz sa standardnom devijacijom odgovarajuće faktorske varijable da bismo dobili standardizirane (centrirane i normalizirane) varijable:
gdje su nove varijable označene kao
.
Sve standardizirane varijable imaju srednju vrijednost nula i istu varijancu jedinicu.
Regresijska jednadžba u standardiziranom obliku je:
Gdje 
- standardizirani koeficijenti regresije.
Standardizirani regresijski koeficijenti 
razlikuju od koeficijenata 
obični, prirodni oblik utoliko što njihova vrijednost ne ovisi o mjerilu mjerenja objašnjenih i eksplanatornih varijabli modela. Osim toga, između njih postoji jednostavan odnos:
, (3.2)
što daje drugi način za izračunavanje koeficijenata 
poznatim vrijednostima 
, prikladnije u slučaju, na primjer, dvofaktorskog regresijskog modela.
5.2. Normalni sustav jednadžbi najmanjih kvadrata u standardiziranom
varijable
Ispada da za izračun standardiziranih koeficijenata regresije trebate znati samo parne koeficijente linearne korelacije. Da pokažemo kako se to radi, isključimo nepoznanicu iz normalnog sustava jednadžbi najmanjih kvadrata 
pomoću prve jednadžbe. Množenje prve jednadžbe s ( 
) i zbrajajući član po član s drugom jednadžbom, dobivamo:
Zamjena izraza u zagradama oznakama za varijancu i kovarijancu
Napišimo drugu jednadžbu u obliku pogodnom za daljnje pojednostavljenje:
Podijelimo obje strane ove jednadžbe sa standardnim odstupanjem varijabli S Y I ` S x 1 , te podijelite svaki izraz i pomnožite sa standardnom devijacijom varijable koja odgovara broju izraza:
Uvođenje karakteristika linearnog statističkog odnosa:
i standardizirani koeficijenti regresije
,
dobivamo:
Nakon sličnih transformacija svih ostalih jednadžbi, normalni sustav linearnih jednadžbi najmanjih kvadrata (2.12) poprima sljedeći, jednostavniji oblik:
(3.3)
5.3. Standardizirane regresijske opcije
Standardizirani regresijski koeficijenti u posebnom slučaju modela s dva faktora određuju se iz sljedećeg sustava jednadžbi:
(3.4)
Rješavanjem ovog sustava jednadžbi nalazimo:
, (3.5)
. (3.6)
Zamjenom pronađenih vrijednosti koeficijenata korelacije para u jednadžbe (3.4) i (3.5), dobivamo 
I 
. Tada je pomoću formula (3.2) lako izračunati procjene koeficijenata 
I 
, a zatim po potrebi izračunati procjenu 
prema formuli 
6. Mogućnosti ekonomske analize temeljene na višefaktorskom modelu
6.1. Standardizirani regresijski koeficijenti
Standardizirani regresijski koeficijenti pokazuju koliko standardnih devijacija 
promijenit će se prosječna objašnjena varijabla Y, ako je odgovarajuća eksplanatorna varijabla x ja
promijenit će se po iznosu 
jednu od svojih standardnih devijacija uz zadržavanje nepromijenjene prosječne razine svih ostalih faktora.
Zbog činjenice da su u standardiziranoj regresiji sve varijable navedene kao centrirane i normalizirane slučajne varijable, koeficijenti 
međusobno usporedivi. Uspoređujući ih međusobno, možete rangirati faktore koji im odgovaraju x ja snagom utjecaja na objašnjenu varijablu Y. To je glavna prednost standardiziranih koeficijenata regresije od koeficijenata 
regresije u naturalnom obliku, koje su neusporedive.
Ova značajka standardiziranih regresijskih koeficijenata omogućuje korištenje pri eliminaciji najmanje značajnih čimbenika x ja s vrijednostima njihovih procjena uzorka blizu nule 
. Odluka o njihovom isključivanju iz jednadžbe modela linearne regresije donosi se nakon testiranja statističke hipoteze da je njegova prosječna vrijednost jednaka nuli.
Beta koeficijent jednak 0,074 (tablica 3.2.1) pokazuje da ako se realne plaće promijene za vrijednost njihove standardne devijacije (σh1), tada će se koeficijent prirodnog priraštaja stanovništva promijeniti u prosjeku za 0,074 σu. Beta koeficijent od 0,02 pokazuje da ako se gruba stopa brakova promijeni za vrijednost svoje standardne devijacije (za σh2), tada će se stopa prirodnog priraštaja stanovništva promijeniti u prosjeku za 0,02 σu. Slično tome, promjena u broju zločina na 1000 ljudi za vrijednost njegove standardne devijacije (za σh3) dovest će do promjene rezultirajuće karakteristike za prosječno 0,366 σu, a promjena u unosu kvadratnih metara stambenog prostora prostora po osobi godišnje za vrijednost svoje standardne devijacije (po σh4) dovodi do promjene efektivne karakteristike u prosjeku za 1,32σu.
Koeficijent elastičnosti pokazuje za koliko se postotaka prosječno mijenja y s promjenom atributa faktora za 1%. Iz analize vremenskih serija poznato je da je vrijednost povećanja efektivnog obilježja od 1% negativna, jer u svim jedinicama populacije postoji prirodni pad populacije. Stoga rast zapravo znači smanjenje gubitka. To znači da negativni koeficijenti elastičnosti u ovom slučaju odražavaju činjenicu da će se povećanjem svake od karakteristika faktora za 1% koeficijent prirodnog gubitka smanjiti za odgovarajući broj postotaka. S povećanjem realnih plaća za 1% stopa prirodnog pada smanjit će se za 0,219%, a s povećanjem ukupne stope bračnosti za 1% smanjit će se za 0,156%. Porast broja kaznenih djela na 1000 stanovnika za 1% karakterizira smanjenje prirodnog pada stanovništva za 0,564. Naravno, to ne znači da porast kriminala može popraviti demografsku situaciju. Dobiveni rezultati pokazuju da što više ljudi ostaje na 1000 stanovnika, to se više zločina događa na tisuću. Povećanje unosa m2. stambenog prostora po osobi godišnje za 1% dovodi do smanjenja prirodnog gubitka za 0,482%
Analiza koeficijenata elastičnosti i beta koeficijenata pokazuje da najveći utjecaj na stopu prirodnog priraštaja stanovništva ima faktor puštanja u pogon m2 stambenog prostora po stanovniku, budući da on odgovara najvećoj vrijednosti beta koeficijenta (1,32). Međutim, to ne znači da su najveće mogućnosti za promjenu stope prirodnog priraštaja stanovništva povezane s promjenama ovog od razmatranih čimbenika. Dobiveni rezultat odražava činjenicu da potražnja na stambenom tržištu odgovara ponudi, odnosno što je veći prirodni prirast stanovništva, to je veća potreba te populacije za stanovanjem i što se više gradi.
Drugi najveći beta koeficijent (0,366) odgovara broju zločina na 1000 ljudi. Naravno, to ne znači da se porastom kriminala može popraviti demografska situacija. Dobiveni rezultati pokazuju da što više ljudi ostaje na 1000 stanovnika, to se više zločina događa na tisuću.
Najveći od ostalih pokazatelja, beta koeficijent (0,074), odgovara pokazatelju realnih plaća. Najveće mogućnosti za promjenu stope prirodnog priraštaja stanovništva povezane su s promjenama ovog od razmatranih čimbenika. Pokazatelj ukupne stope brakova je u tom pogledu inferioran u odnosu na realne plaće zbog činjenice da je prirodni pad stanovništva u Rusiji posljedica, prije svega, visoke stope smrtnosti stanovništva, čija se stopa rasta može smanjiti nego materijalnom sigurnošću nego povećanjem broja brakova.
3.3 Kombinirano grupiranje regija prema realnim plaćama i ukupnoj stopi brakova
Kombinirano ili višedimenzionalno grupiranje je grupiranje temeljeno na dva ili više obilježja. Vrijednost ovog grupiranja leži u činjenici da pokazuje ne samo utjecaj svakog faktora na rezultat, već i utjecaj njihove kombinacije.
Utvrdimo utjecaj vrijednosti realnih plaća i opće bračnosti na stopu nataliteta na 1000 stanovnika.
Identificirajmo tipične skupine prema željenim karakteristikama. Da bismo to učinili, konstruirat ćemo i analizirati rangirane i intervalne serije prema atributu faktora (vrijednost plaće), odrediti broj grupa i veličinu intervala; zatim ćemo unutar svake grupe konstruirati rangiranu i intervalnu seriju na temelju drugog kriterija (stopa brakova) te postaviti broj grupa i interval. Postupak izvođenja ovog rada prikazan je u poglavlju 2, stoga, izostavljajući proračune, donosimo rezultate. Za vrijednost realnih plaća identificirane su 3 tipične skupine, za ukupnu stopu braka - 2 skupine.
Izradit ćemo izgled kombinirane tablice u kojoj ćemo predvidjeti podjelu stanovništva na skupine i podskupine, te stupce za evidentiranje broja regija i nataliteta na 1000 stanovnika stanovništva. Za odabrane skupine i podskupine izračunavamo stope nataliteta (tablica 3.3.1.)
Tablica 3.3.1
Utjecaj realnih plaća i ukupne bračnosti na natalitet.
Analizirajmo dobivene podatke o ovisnosti nataliteta o realnim plaćama i stopi bračnosti. Budući da se proučava jedna karakteristika - stopa fertiliteta, podatke o njoj upisat ćemo u tablicu šahovske kombinacije sljedećeg oblika (tablica 3.3.2.)
Kombinirano grupiranje omogućuje procjenu stupnja utjecaja na natalitet svakog čimbenika zasebno i njihovu interakciju.
Tablica 3.3.2
Ovisnost nataliteta o realnim plaćama i stupnju braka
Proučimo najprije učinak na natalitet vrijednosti realnih nadnica pri fiksnoj vrijednosti još jednog grupirajućeg obilježja - stope braka. Dakle, uz stopu braka od 13,2 do 25,625, prosječna stopa nataliteta raste kako plaće rastu s 9,04 u 1. skupini na 9,16 u 2. skupini i 9,56 u 3. skupini; porast nataliteta od plaća u 3. skupini u odnosu na 1. iznosi: 9,56-9,04 = 0,52 ljudi na 1000 stanovnika. Uz stopu braka od 25,625-38,05, povećanje od iste plaće je jednako: 10,27-9,49 = 0,78 ljudi na 1000 stanovnika. Povećanje od interakcije faktora je jednako: 0,78-0,52 = 0,26 ljudi na 1000 stanovnika. Iz toga proizlazi sasvim prirodan zaključak: povećanje blagostanja motivira, odnosno omogućuje, s povjerenjem u budućnost, da se ostvari želja osobe da se vjenča i osnuje obitelj s djecom. Ovo pokazuje interakciju faktora.
Na isti način ćemo procijeniti utjecaj na stopu fertiliteta stope braka pri fiksnoj razini plaće. Da bismo to učinili, usporedimo natalitet za skupine "a" i "b" unutar svake skupine prema vrijednosti realnih plaća. Povećanje stope nataliteta s povećanjem stope braka na 25,625-38,05 na 1000 stanovnika u usporedbi sa skupinom "a" je: u 1. skupini s plaćom od 5707,9 - 6808,7 rubalja. mjesečno - 9,49-9,04 = 0,45 ljudi na 1000 stanovnika, u 2. skupini - 10,01-9,16 = 0,85 ljudi na 1000 stanovnika iu 3. - 10,27- 9,56=0,71 ljudi na 1000 stanovnika. Kao što vidite, odluka o rađanju djeteta ovisi o bračnom statusu, tj. postoji međudjelovanje faktora, što daje povećanje od 0,26 ljudi na 1000 stanovnika.
Zajedničkim povećanjem oba faktora stopa nataliteta raste s 9,04 u podskupini 1 “a” na 10,27 osoba na 1000 stanovnika u podskupini 3 “b”.
Predstavnici Ekonomske komisije UN-a za Europu nedavno su objavili da je dob za prvi brak u europskim zemljama povećana za pet godina. Mladići i djevojke radije se žene nakon 30. Rusi se ne usuđuju vjenčati prije 24-26 godina. Također, zajednički Europi i Rusiji je trend smanjenja broja brakova. Mladi sve više preferiraju karijeru i osobnu slobodu. Domaći stručnjaci u tim procesima vide znakove duboke krize tradicionalne obitelji. Po njihovom mišljenju, ona doslovno živi svoje posljednje dane. Sociolozi kažu da privatni život sada prolazi kroz razdoblje restrukturiranja. Obitelj u uobičajenom smislu te riječi, koja živi prema shemi "mama-otac-djeca", postupno postaje stvar prošlosti. U privatnom životu Rusi sve više eksperimentiraju, izmišljaju sve nove i nove oblike obitelji koji bi odgovarali potrebama vremena. "Sada osoba češće mijenja posao, profesiju, interese, mjesto stanovanja", rekao je Anatolij Višnevski, direktor Centra za demografiju i humanu ekologiju za Novye Izvestia. "Također često mijenja supružnike, što se prije 20 godina smatralo neprihvatljivim. .”
Sociolozi napominju da je jedan od razloga porasta razvoda u Rusiji nizak životni standard stanovništva. "Prema statistikama, u Rusiji ima otprilike 10-15% više razvoda nego u Europi", rekao je gospodin Gontmakher (znanstveni direktor Centra za društvena istraživanja i inovacije) za NI. – Ali različiti su razlozi za razvod kod nas i kod njih. Naš primat diktira uglavnom činjenica da ekonomski problemi sve više utječu na živote Rusa. Supružnici se češće svađaju ako imaju skučene životne uvjete. Mladi ne uspijevaju uvijek živjeti samostalno. Osim toga, u regijama mnogi muškarci piju, ne rade i ne mogu osigurati svoju obitelj. To je također razlog za razvod.”
Zaključak
U ovom radu provedena je statistička i ekonomska analiza utjecaja životnog standarda stanovništva na procese prirodnog priraštaja.
Analiza dinamike pokazala je da je u posljednjih 10 godina došlo do rasta realnih plaća i troškova života. Općenito, tijekom ovih 10 godina efektivni atribut - koeficijent prirodnog prirasta - je stacionaran. Stabilnost novonastalih procesa promjena odabranih obilježja je takva da je predviđanje moguće samo za vrijednost realnih plaća i stopu mortaliteta. Prema izgrađenom paraboličnom trendu, do 2010. godine prognozirana vrijednost prosječne realne plaće bit će 17.473,5 rubalja, a stopa smrtnosti smanjit će se na 12,75 ljudi na 1000.
Analitičko grupiranje pokazalo je izravnu povezanost pokazatelja: s povećanjem plaća poboljšavaju se pokazatelji prirodnog priraštaja.
Međutim, obitelj od dvoje radnika s prosječnom plaćom može osigurati minimalnu razinu potrošnje za 2 djece - u najnižoj tipičnoj skupini, 3 djece - u srednjoj i najvišoj tipičnoj skupini. S obzirom da dvoje djece u budućnosti “zamjenjuju” živote svojih roditelja, blagi porast stanovništva moguć je samo u srednjim i najvišim tipičnim skupinama, i to pod uvjetom niske stope mortaliteta u odnosu na stopu nataliteta. Potencijal nataliteta, koji dolazi s plaćama u Rusiji, nizak je za poboljšanje demografske situacije u zemlji. To upravo otkriva potrebu za uvedenim nacionalnim demografskim projektom u Rusiji. Povećanje plaća povoljnije utječe na stopu mortaliteta nego na stopu nataliteta.
Konstrukcija korelacijsko-regresijskog modela otkrila je da se istovremeni utjecaj čimbeničkih karakteristika (plaće, stope braka, stope kriminala i puštanje u rad) na produktivni (prirodni prirast) promatra uz prosječnu snagu povezanosti. Variranje stope prirodnog priraštaja stanovništva za 44,9% karakterizirano je utjecajem odabranih čimbenika, a 55,1% drugim neuračunatim i slučajnim razlozima. Najveće mogućnosti promjene stope prirodnog priraštaja stanovništva povezane su s promjenama vrijednosti realnih plaća.
Kombinirana skupina potvrdila je da povećanje blagostanja motivira, odnosno omogućuje, s povjerenjem u budućnost, da se ostvari želja osobe da se vjenča i osnuje obitelj s djecom.
I na kraju, treba procijeniti učinkovitost rješavanja demografskog problema u našoj zemlji. Općenito, dokazan je pozitivan i učinkovit utjecaj materijalnih poticaja na proces prirodnog kretanja stanovništva. Druga stvar je da postoji kompleks socio-psiholoških problema (alkoholizam, nasilje, suicid) koji neumitno smanjuju našu populaciju. Njihov glavni razlog je odnos osobe prema sebi i drugima. Ali te probleme ne može riješiti sama država, u problemu izumiranja mora si pomoći civilno društvo, formirajući moralne vrijednosti usmjerene na stvaranje prosperitetne obitelji.
A država može i treba učiniti sve da poboljša razinu i kvalitetu života u zemlji. Ne može se reći da naša država zanemaruje te obveze. Čini sve što je moguće, traži i pokušava različite načine izlaska iz demografske krize.
Popis korištene literature
1) Borisov E.F. Ekonomska teorija: udžbenik - 2. izd., revidirano. i dodatni – M.: TK Welby, Izdavačka kuća Prospekt, 2005. – 544 str.
2) Belousova S. analiza razine siromaštva.// Economist.-2006, br. 10.-p.67
3) Davydova L. A. Teorija statistike. Tutorial. Moskva. avenija. 2005. 155 str.;
4)Demografija: Udžbenik/Pod opć. izd. NA. Volgina. M.: Izdavačka kuća RAGS, 2003. – 384 str.
5) Efimova E. P. Socijalna statistika. Moskva. Financije i statistika. 2003. 559 str.;
6)Efimova E.P., Rjabcev V.M. Opća teorija statistike. Edukativno izdanje. Moskva. Financije i statistika. 1991. 304 str.;
7) Zinchenko A.P. Radionica iz opće teorije statistike i statistike poljoprivrede. Moskva. Financije i statistika. 1988. 328 str.;
8) Kadomtseva S. Socijalna politika i stanovništvo.// Economist.-2006, br. 7.-p.49
9) Kozyrev V.M. Osnove suvremene ekonomije: Udžbenik. -2. izdanje, revidirano. i dodatni –M.: Financije i statistika, 2001.-432 str.
10) Konygina N. Brintseva G. Demograf Anatoly Vishnevsky o tome što Rusa tjera da bira između djece i udobnosti // Rossiyskaya Gazeta. - 2006., 7. studenog - br. 249 - str. 7
11) Nazarova N.G. Tečaj socijalne statistike. Moskva. Finstatinform. 2000. 770 str.;
13) Osnove demografije: Udžbenik / N.V. Zvereva, I.N. Veselkova, V.V. Elizarov.-M.: Viša. Shk., 2004.-374 str.: ilustr.
14) Obraćanje predsjednika Ruske Federacije Federalnoj skupštini Ruske Federacije od 26. travnja 2007.
15) Raisberg B.A., Lozovsky L.Sh., Starodubtseva E.B. Moderni ekonomski rječnik. –4. izd., revidirano. i dodatni -M.:INFRA-M, 2005.-480 str.
16)Rudakova R.P., Bukin L.L., Gavrilov V.I. Radionica o statistici. -SPb.: Peter, 2007.-288 str.
17) Web stranica Savezne službe za statistiku www.gks.ru
18) Shaikin D.N. Prospektivna procjena stanovništva Rusije u srednjem roku. // Pitanja statistike. - 2007., br. 4 - str. 47.
SUSTAV INDIKATORA (KLJUČ ZA ČIPOVE)
1-prosječna mjesečna nominalna plaća u 2006. (u rubljima)
2-indeksi potrošačkih cijena svih vrsta roba i usluga uz naplatu u 2006. u postotku u odnosu na prosinac prošle godine
3 - prosječna mjesečna realna plaća u 2006. (u rubljima)
4 – broj stanovnika početkom 2006. godine
5 – broj stanovnika krajem 2006. godine
6 – prosječan godišnji broj stanovnika 2006. godine
7 – broj rođenih u 2006. godini, ljudi
8 – broj umrlih u 2006. godini, ljudi
9 – natalitet u 2006. godini na 1000 stanovnika
10 – stopa mortaliteta u 2006. godini na 1000 stanovnika
11 – stopa prirodnog priraštaja u 2006. godini na 1000 stanovnika
12 – troškovi života za 2006. (u rubljima)
13 – broj počinjenih zločina na 1000 ljudi
14 – puštanje u rad m² stambenog prostora po osobi godišnje
15 – ukupna stopa brakova na 1000 stanovnika
Prilog 1
Stol
Realne plaće, rub.
Dodatak 2
Troškovi života, rub.
Dodatak 3
