Kalkulator jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije točke. Opća jednadžba pravca na ravnini

Definicija. Bilo koja ravna crta na ravnini može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

Štoviše, konstante A i B nisu u isto vrijeme jednake nuli. Ova jednadžba prvog reda zove se opća jednadžba pravca. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A ≠0, B ≠ 0 – pravac prolazi kroz ishodište

A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0) - ravna linija paralelna s osi Ox

B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0) – pravac paralelan s osi Oy

B = C = 0, A ≠0 – pravac se poklapa s osi Oy

A = C = 0, B ≠0 – pravac se poklapa s osi Ox

Jednadžba ravne crte može se prikazati u različitim oblicima ovisno o bilo kojem danom početnom uvjetu.

Jednadžba pravca iz točke i normalnog vektora

Definicija. U kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu vektor s komponentama (A, B) okomit je na ravnu liniju zadanu jednadžbom Ax + By + C = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi točkom A(1, 2) okomito na (3, -1).

Riješenje. Uz A = 3 i B = -1, sastavimo jednadžbu pravca: 3x – y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C, u dobiveni izraz zamijenimo koordinate zadane točke A. Dobivamo: 3 – 2 + C = 0, dakle, C = -1 . Ukupno: tražena jednadžba: 3x – y – 1 = 0.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke

Neka su u prostoru zadane dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je jednadžba pravca koji prolazi kroz te točke:

Ako je bilo koji od nazivnika jednak nuli, odgovarajući brojnik treba biti jednak nuli. Na ravnini se jednadžba gore napisanog pravca pojednostavljuje:

ako je x 1 ≠ x 2 i x = x 1, ako je x 1 = x 2.

Razlomak = k zove se nagib ravno.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke A(1, 2) i B(3, 4).

Riješenje. Primjenom gore napisane formule dobivamo:

Jednadžba pravca iz točke i kosine

Ako je ukupni Ax + Bu + C = 0, vodi do oblika:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednadžba naziva jednadžba pravca s nagibomk.

Jednadžba pravca iz točke i vektora smjera

Analogno s točkom razmatrajući jednadžbu pravca kroz normalni vektor, možete unijeti definiciju pravca kroz točku i usmjeravajućeg vektora pravca.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2), čije komponente zadovoljavaju uvjet A α 1 + B α 2 = 0 naziva se usmjeravajući vektor pravca.

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca s vektorom smjera (1, -1) koji prolazi točkom A(1, 2).

Riješenje. Jednadžbu željenog pravca tražit ćemo u obliku: Ax + By + C = 0. Sukladno definiciji koeficijenti moraju zadovoljavati uvjete:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednadžba pravca ima oblik: Ax + Ay + C = 0, odnosno x + y + C / A = 0. za x = 1, y = 2 dobivamo C/ A = -3, tj. potrebna jednadžba:

Jednadžba pravca u segmentima

Ako je u općoj jednadžbi ravne linije Ah + Vu + S = 0 S≠0, tada, dijeljenjem s –S, dobivamo: ili

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent A je koordinata točke presjeka pravca s osi Ox, i b– koordinata sjecišta pravca s osi Oy.

Primjer. Dana je opća jednadžba pravca x – y + 1 = 0. Odredite jednadžbu tog pravca u segmentima.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna jednadžba pravca

Ako se obje strane jednadžbe Ax + By + C = 0 pomnože s brojem koji se zove faktor normalizacije, onda dobivamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

normalna jednadžba pravca. Predznak ± faktora normalizacije mora biti odabran tako da μ * C< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Primjer. Dana je opća jednadžba pravca 12x – 5y – 65 = 0. Potrebno je napisati različite vrste jednadžbi za taj pravac.

jednadžba ove linije u segmentima:

jednadžba ove linije s nagibom: (podijeli s 5)

; cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba imati na umu da se svaka ravna linija ne može prikazati jednadžbom u segmentima, na primjer, ravne linije paralelne s osi ili prolaze kroz ishodište koordinata.

Primjer. Pravac odsijeca jednake pozitivne segmente na koordinatnim osima. Napišite jednadžbu pravca ako je površina trokuta kojeg čine ti segmenti 8 cm2.

Riješenje. Jednadžba pravca ima oblik: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Primjer. Napišite jednadžbu za ravnu liniju koja prolazi kroz točku A(-2, -3) i ishodište.

Riješenje. Jednadžba ravne linije je: , gdje je x 1 = y 1 = 0; x 2 = -2; y 2 = -3.

Kut između ravnih pravaca u ravnini

Definicija. Ako su zadane dvije linije y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, tada će šiljasti kut između ovih linija biti definiran kao

.

Dva pravca su paralelna ako je k 1 = k 2. Dva su pravca okomita ako je k 1 = -1/ k 2.

Teorema. Pravci Ax + Bу + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti A 1 = λA, B 1 = λB proporcionalni. Ako je također C 1 = λC, tada se pravci podudaraju. Koordinate točke presjeka dviju pravaca nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi tih pravaca.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac

Definicija. Ravnica koja prolazi kroz točku M 1 (x 1, y 1) i okomita na ravnu liniju y = kx + b predstavljena je jednadžbom:

Udaljenost od točke do linije

Teorema. Ako je dana točka M(x 0, y 0), tada se udaljenost do pravca Ax + Bu + C = 0 određuje kao

.

Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) osnovica okomice spuštene iz točke M na zadanu ravnicu. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:

(1)

Koordinate x 1 i y 1 mogu se pronaći rješavanjem sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi zadanom točkom M 0 okomito na zadani pravac. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:

Teorem je dokazan.

Primjer. Odredite kut između pravaca: y = -3 x + 7; y = 2 x + 1.

k 1 = -3; k2 = 2; tgφ = ; φ= π /4.

Primjer. Pokažite da su pravci 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomiti.

Riješenje. Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1* k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1). Nađite jednadžbu visine povučene iz vrha C.

Riješenje. Nalazimo jednadžbu stranice AB: ; 4 x = 6 y – 6;

2 x – 3 y + 3 = 0;

Tražena jednadžba visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b. k = . Tada je y = . Jer visina prolazi kroz točku C, tada njezine koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu: odakle je b = 17. Ukupno: .

Odgovor: 3 x + 2 y – 34 = 0.

Lekcija iz serije "Geometrijski algoritmi"

Pozdrav dragi čitatelju!

Danas ćemo početi učiti algoritme vezane uz geometriju. Činjenica je da postoji dosta olimpijskih zadataka iz informatike vezanih uz računsku geometriju, a rješavanje takvih zadataka često izaziva poteškoće.

Tijekom nekoliko lekcija razmotrit ćemo niz elementarnih podzadataka na kojima se temelji rješavanje većine problema računalne geometrije.

U ovoj lekciji izradit ćemo program za pronalaženje jednadžbe pravca, prolazeći kroz dano dva boda. Za rješavanje geometrijskih problema potrebno nam je određeno znanje računalne geometrije. Dio lekcije posvetit ćemo njihovom upoznavanju.

Uvidi iz računalne geometrije

Računalna geometrija je grana računalne znanosti koja proučava algoritme za rješavanje geometrijskih problema.

Početni podaci za takve probleme mogu biti skup točaka na ravnini, skup segmenata, poligon (određen, na primjer, popisom njegovih vrhova u smjeru kazaljke na satu), itd.

Rezultat može biti ili odgovor na neko pitanje (primjerice pripada li točka segmentu, sijeku li se dva segmenta, ...), ili neki geometrijski objekt (npr. najmanji konveksni mnogokut koji spaja zadane točke, površina poligon, itd.).

Probleme računalne geometrije razmatrat ćemo samo na ravnini i samo u Kartezijevom koordinatnom sustavu.

Vektori i koordinate

Za primjenu metoda računalne geometrije potrebno je geometrijske slike prevesti na jezik brojeva. Pretpostavit ćemo da je ravnini zadan Kartezijev koordinatni sustav, u kojem se smjer rotacije u smjeru suprotnom od kazaljke na satu naziva pozitivnim.

Sada geometrijski objekti dobivaju analitički izraz. Dakle, da odredite točku, dovoljno je naznačiti njene koordinate: par brojeva (x; y). Segment se može specificirati specificiranjem koordinata njegovih krajeva; ravna crta može se specificirati specificiranjem koordinata para njegovih točaka.

Ali naš glavni alat za rješavanje problema bit će vektori. Dopustite mi stoga da podsjetim na neke podatke o njima.

Segment linije AB, koji ima točku A smatra se početkom (točka primjene), a točka U– kraj, naziva se vektor AB i označava se ili ili podebljanim malim slovom, na primjer A .

Za označavanje duljine vektora (odnosno duljine odgovarajućeg segmenta) koristit ćemo simbol modula (na primjer, ).

Proizvoljni vektor će imati koordinate jednake razlici između odgovarajućih koordinata njegovog kraja i početka:

,

ovdje su točke A I B imaju koordinate odnosno.

Za izračune ćemo koristiti koncept orijentirani kut, odnosno kut koji uzima u obzir relativni položaj vektora.

Orijentirani kut između vektora a I b pozitivan ako je rotacija iz vektora a vektorirati b izvodi se u pozitivnom smjeru (suprotno od kazaljke na satu), a negativno u drugom slučaju. Pogledajte sl. 1a, sl. 1b. Također se kaže da par vektora a I b pozitivno (negativno) orijentiran.

Dakle, vrijednost usmjerenog kuta ovisi o redoslijedu kojim su vektori navedeni i može poprimiti vrijednosti u intervalu.

Mnogi problemi u računskoj geometriji koriste koncept vektorskih (kosih ili pseudoskalarnih) proizvoda vektora.

Vektorski umnožak vektora a i b umnožak je duljina ovih vektora i sinusa kuta između njih:

.

Umnožak vektora u koordinatama:

Izraz s desne strane je determinanta drugog reda:

Za razliku od definicije dane u analitičkoj geometriji, to je skalar.

Predznak vektorskog produkta određuje položaj vektora jedan u odnosu na drugi:

a I b pozitivno orijentiran.

Ako je vrijednost , tada je par vektora a I b negativno orijentiran.

Umnožak vektora različitih od nule je nula ako i samo ako su kolinearni ( ). To znači da leže na istom pravcu ili na paralelnim pravcima.

Pogledajmo nekoliko jednostavnih problema koji su nužni pri rješavanju složenijih.

Odredimo jednadžbu pravca iz koordinata dviju točaka.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije različite točke određene njihovim koordinatama.

Neka su na pravoj liniji zadane dvije točke koje se ne podudaraju: s koordinatama (x1; y1) i s koordinatama (x2; y2). Prema tome, vektor s početkom u točki i krajem u točki ima koordinate (x2-x1, y2-y1). Ako je P(x, y) proizvoljna točka na našem pravcu, tada su koordinate vektora jednake (x-x1, y – y1).

Koristeći vektorski produkt, uvjet kolinearnosti vektora i može se napisati na sljedeći način:

Oni. (x-x1)(y2-y1)-(y-y1)(x2-x1)=0

(y2-y1)x + (x1-x2)y + x1(y1-y2) + y1(x2-x1) = 0

Zadnju jednadžbu prepisujemo na sljedeći način:

ax + by + c = 0, (1)

c = x1(y1-y2) + y1(x2-x1)

Dakle, pravac se može odrediti jednadžbom oblika (1).

Zadatak 1. Zadane su koordinate dviju točaka. Pronađite njegov prikaz u obliku ax + by + c = 0.

U ovoj lekciji smo naučili neke informacije o računskoj geometriji. Rješavali smo zadatak pronalaska jednadžbe pravca iz koordinata dviju točaka.

U sljedećoj lekciji izradit ćemo program za pronalaženje sjecišta dviju linija zadanih našim jednadžbama.

Svojstva pravca u euklidskoj geometriji.

Kroz bilo koju točku može se povući beskonačan broj ravnih linija.

Kroz bilo koje dvije točke koje se ne podudaraju može se povući jedna ravna crta.

Dvije divergentne linije u ravnini se sijeku u jednoj točki ili se

paralelno (slijedi iz prethodnog).

U trodimenzionalnom prostoru postoje tri opcije za relativni položaj dviju linija:

• linije se sijeku;

• linije su paralelne;

• ravne linije se sijeku.

Ravno crta— algebarska krivulja prvog reda: ravna crta u Kartezijevom koordinatnom sustavu

dana je na ravnini jednadžbom prvog stupnja (linearna jednadžba).

Opća jednadžba pravca.

Definicija. Bilo koja ravna crta na ravnini može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

i konstantan A, B nisu u isto vrijeme jednaki nuli. Ova jednadžba prvog reda zove se Općenito

jednadžba ravne linije. Ovisno o vrijednostima konstanti A, B I S Mogući su sljedeći posebni slučajevi:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- ravna linija prolazi kroz ishodište

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- ravna linija paralelna s osi Oh

. B = 0, A ≠ 0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- ravna linija paralelna s osi OU

. B = C = 0, A ≠0- ravna linija se poklapa s osi OU

. A = C = 0, B ≠0- ravna linija se poklapa s osi Oh

Jednadžba ravne crte može se prikazati u različitim oblicima ovisno o bilo kojoj danosti

početni uvjeti.

Jednadžba pravca iz točke i normalnog vektora.

Definicija. U kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu vektor s komponentama (A, B)

okomito na pravac zadan jednadžbom

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Pronađite jednadžbu pravca koji prolazi točkom A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Riješenje. Uz A = 3 i B = -1, sastavimo jednadžbu ravne linije: 3x - y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C

Zamijenimo u dobiveni izraz koordinate zadane točke A. Dobivamo: 3 - 2 + C = 0, dakle

C = -1. Ukupno: tražena jednadžba: 3x - y - 1 = 0.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke.

Neka su u prostoru zadane dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) I M2 (x 2, y 2, z 2), Zatim jednadžba pravca,

prolazeći kroz ove točke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti na nulu. Na

ravnine, gore napisana jednadžba ravne linije je pojednostavljena:

Ako x 1 ≠ x 2 I x = x 1, Ako x 1 = x 2 .

Frakcija = k nazvao nagib ravno.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke A(1, 2) i B(3, 4).

Riješenje. Primjenom gore napisane formule dobivamo:

Jednadžba pravca pomoću točke i nagiba.

Ako je opća jednadžba pravca Ax + Wu + C = 0 dovesti do:

i odrediti , tada se rezultirajuća jednadžba naziva

jednadžba pravca s nagibom k.

Jednadžba pravca iz točke i vektora smjera.

Analogno s točkom koja razmatra jednadžbu pravca kroz normalni vektor, možete unijeti zadatak

pravac kroz točku i smjerni vektor pravca.

Definicija. Svaki vektor različit od nule (α 1, α 2), čije komponente zadovoljavaju uvjet

Aα 1 + Bα 2 = 0 nazvao vektor usmjeravanja pravca.

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca s vektorom smjera (1, -1) koji prolazi točkom A(1, 2).

Riješenje. Jednadžbu željenog pravca tražit ćemo u obliku: Ax + By + C = 0. Prema definiciji,

koeficijenti moraju zadovoljiti sljedeće uvjete:

1 * A + (-1) * B = 0, tj. A = B.

Tada jednadžba pravca ima oblik: Ax + Ay + C = 0, ili x + y + C / A = 0.

na x = 1, y = 2 dobivamo C/A = -3, tj. potrebna jednadžba:

x + y - 3 = 0

Jednadžba pravca u segmentima.

Ako je u općoj jednadžbi ravne linije Ah + Vu + S = 0 S≠0, tada, dijeljenjem s -S, dobivamo:

ili gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da je koeficijent a koordinata presječne točke

ravno s osi Oh, A b- koordinata sjecišta pravca s osi OU.

Primjer. Dana je opća jednadžba pravca x - y + 1 = 0. Pronađite jednadžbu ovog pravca u segmentima.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normalna jednadžba pravca.

Ako obje strane jednadžbe Ax + Wu + C = 0 podijeliti brojem koji se zove

faktor normalizacije, onda dobivamo

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normalna jednadžba pravca.

Predznak ± normalizirajućeg faktora mora biti odabran tako da μ*C< 0.

R- duljina okomice spuštene iz ishodišta na ravnu crtu,

A φ - kut koji čini ova okomica s pozitivnim smjerom osi Oh.

Primjer. Dana je opća jednadžba pravca 12x - 5y - 65 = 0. Potrebno je napisati različite vrste jednadžbi

ovu ravnu liniju.

Jednadžba ovog pravca u segmentima:

Jednadžba ove linije s nagibom: (podijeli s 5)

Jednadžba pravca:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Treba napomenuti da se svaka ravna linija ne može prikazati jednadžbom u segmentima, na primjer, ravne linije,

paralelno s osi ili prolazeći kroz ishodište.

Kut između ravnih linija u ravnini.

Definicija. Ako su zadane dvije crte y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2, zatim oštri kut između ovih linija

definirat će se kao

Dva pravca su paralelna ako k 1 = k 2. Dvije linije su okomite

Ako k 1 = -1/ k 2 .

Teorema.

Direktno Ax + Wu + C = 0 I A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 paralelno kada su koeficijenti proporcionalni

A 1 = λA, B 1 = λB. Ako također S 1 = λS, onda se linije podudaraju. Koordinate točke presjeka dviju linija

nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi ovih pravaca.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani pravac.

Definicija. Pravac koji prolazi točkom M 1 (x 1, y 1) a okomito na pravac y = kx + b

predstavljena jednadžbom:

Udaljenost od točke do pravca.

Teorema. Ako se da bod M(x 0, y 0), zatim udaljenost do pravca Ax + Wu + C = 0 definirano kao:

Dokaz. Neka točka M 1 (x 1, y 1)- osnovica okomice spuštene s točke M za dano

direktno. Zatim udaljenost između točaka M I M 1:

(1)

Koordinate x 1 I u 1 može se pronaći kao rješenje sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku M 0 okomito

dana ravna linija. Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:

Teorem je dokazan.

Ovaj članak otkriva izvođenje jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke u pravokutnom koordinatnom sustavu smještenom na ravnini. Izvedimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke u pravokutnom koordinatnom sustavu. Jasno ćemo prikazati i riješiti nekoliko primjera vezanih uz pređeno gradivo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije dobivanja jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke potrebno je obratiti pozornost na neke činjenice. Postoji aksiom koji kaže da je kroz dvije divergentne točke na ravnini moguće povući ravnu liniju i to samo jednu. Drugim riječima, dvije zadane točke na ravnini određene su ravnom linijom koja prolazi kroz te točke.

Ako je ravnina definirana pravokutnim koordinatnim sustavom Oxy, tada će svaka ravna linija prikazana u njoj odgovarati jednadžbi ravne linije na ravnini. Postoji i veza s vektorom usmjerivača pravca.Ovaj podatak dovoljan je za sastavljanje jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke.

Pogledajmo primjer rješavanja sličnog problema. Potrebno je izraditi jednadžbu za ravnu liniju a koja prolazi kroz dvije divergentne točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2), koje se nalaze u Kartezijevom koordinatnom sustavu.

U kanonskoj jednadžbi pravca na ravnini, koja ima oblik x - x 1 a x = y - y 1 a y, zadan je pravokutni koordinatni sustav O x y s pravcem koji se s njim siječe u točki s koordinatama M 1 (x 1, y 1) s vektorom vodičem a → = (a x , a y) .

Potrebno je izraditi kanoničku jednadžbu pravca a, koji će prolaziti kroz dvije točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2).

Ravnica a ima vektor smjera M 1 M 2 → s koordinatama (x 2 - x 1, y 2 - y 1), budući da siječe točke M 1 i M 2. Dobili smo potrebne podatke za transformaciju kanonske jednadžbe s koordinatama vektora pravca M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i koordinatama točaka M 1 koje leže na njima. (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) . Dobivamo jednadžbu oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Razmotrite sliku u nastavku.

Nakon izračuna, zapisujemo parametarske jednadžbe pravca na ravnini koji prolazi kroz dvije točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Dobivamo jednadžbu oblika x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ .

Pogledajmo pobliže rješavanje nekoliko primjera.

Primjer 1

Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz 2 zadane točke s koordinatama M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Riješenje

Kanonska jednadžba za pravac koji se siječe u dvije točke s koordinatama x 1, y 1 i x 2, y 2 ima oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Prema uvjetima zadatka, imamo da je x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Numeričke vrijednosti potrebno je zamijeniti u jednadžbu x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Odavde dobivamo da kanonička jednadžba ima oblik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odgovor: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Ako trebate riješiti problem s drugom vrstom jednadžbe, tada prvo možete prijeći na kanoničku, budući da je od nje lakše doći do bilo koje druge.

Primjer 2

Sastavite opću jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke s koordinatama M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) u O x y koordinatnom sustavu.

Riješenje

Prvo morate napisati kanoničku jednadžbu zadanog pravca koji prolazi kroz zadane dvije točke. Dobivamo jednadžbu oblika x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Dovedemo kanoničku jednadžbu u željeni oblik, tada dobivamo:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Odgovor: x - 3 y + 2 = 0 .

O primjerima takvih zadataka govorilo se u školskim udžbenicima na satu algebre. Školski zadaci razlikovali su se po tome što je bila poznata jednadžba pravca s kutnim koeficijentom oblika y = k x + b. Ako trebate pronaći vrijednost nagiba k i broja b za koje jednadžba y = k x + b definira liniju u O x y sustavu koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 ( x 2, y 2) , gdje je x 1 ≠ x 2. Kada je x 1 = x 2 , tada kutni koeficijent poprima vrijednost beskonačnosti, a pravac M 1 M 2 definiran je općom nepotpunom jednadžbom oblika x - x 1 = 0 .

Jer bodovi M 1 I M 2 nalaze se na ravnoj liniji, tada njihove koordinate zadovoljavaju jednadžbu y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Potrebno je riješiti sustav jednadžbi y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b za k i b.

Da bismo to učinili, nalazimo k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili k = y 2 - y 1 x 2 - x 1 b = y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

S ovim vrijednostima k i b, jednadžba pravca koji prolazi kroz date dvije točke postaje y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Nemoguće je zapamtiti tako veliki broj formula odjednom. Za to je potrebno povećati broj ponavljanja u rješavanju zadataka.

Primjer 3

Napišite jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom koji prolazi kroz točke s koordinatama M 2 (2, 1) i y = k x + b.

Riješenje

Za rješavanje problema koristimo formulu s kutnim koeficijentom oblika y = k x + b. Koeficijenti k i b moraju imati takvu vrijednost da ova jednadžba odgovara ravnoj liniji koja prolazi kroz dvije točke s koordinatama M 1 (- 7, - 5) i M 2 (2, 1).

Bodovi M 1 I M 2 nalaze se na ravnoj liniji, tada njihove koordinate moraju činiti jednadžbu y = k x + b pravom jednakošću. Iz ovoga dobivamo da je - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Spojimo jednadžbu u sustav - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i riješimo.

Nakon zamjene dobivamo to

5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Sada su vrijednosti k = 2 3 i b = - 1 3 zamijenjene u jednadžbu y = k x + b. Pronalazimo da će tražena jednadžba koja prolazi kroz zadane točke biti jednadžba oblika y = 2 3 x - 1 3 .

Ova metoda rješenja unaprijed određuje gubitak puno vremena. Postoji način na koji se zadatak rješava doslovno u dva koraka.

Napišimo kanonsku jednadžbu pravca koji prolazi kroz M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5) u obliku x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Sada prijeđimo na jednadžbu nagiba. Dobivamo da je: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 · (x + 7) = 9 · (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3.

Odgovor: y = 2 3 x - 1 3 .

Ako u trodimenzionalnom prostoru postoji pravokutni koordinatni sustav O x y z s dvije zadane nepoklapajuće točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), ravna linija M koja prolazi kroz njih 1 M 2 , potrebno je dobiti jednadžbu ove linije.

Imamo da su kanonske jednadžbe oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z i parametarske jednadžbe oblika x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ mogu definirati pravac u koordinatnom sustavu O x y z, koji prolazi kroz točke s koordinatama (x 1, y 1, z 1) s vektorom smjera a → = (a x, a y, a z).

Ravno M 1 M 2 ima vektor smjera oblika M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1), gdje pravac prolazi točkom M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2 , y 2 , z 2), stoga kanonska jednadžba može biti oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1 = z - z 2 z 2 - z 1, zauzvrat parametarski x = x 1 + (x 2 - x 1 ) λ y = y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Razmotrite crtež koji prikazuje 2 zadane točke u prostoru i jednadžbu pravca.

Primjer 4

Napišite jednadžbu pravca definiranog u pravokutnom koordinatnom sustavu O x y z trodimenzionalnog prostora, koji prolazi kroz zadane dvije točke s koordinatama M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5).

Riješenje

Potrebno je pronaći kanoničku jednadžbu. Budući da govorimo o trodimenzionalnom prostoru, to znači da kada pravac prolazi kroz zadane točke, željena kanonska jednadžba će poprimiti oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Po uvjetu imamo da je x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Slijedi da će se potrebne jednadžbe napisati na sljedeći način:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odgovor: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Jednadžba pravca na ravnini.
Vektor smjera je ravan. Normalni vektor

Pravac u ravnini jedan je od najjednostavnijih geometrijskih figura, poznat vam iz osnovne škole, a danas ćemo naučiti kako se s njime nositi metodama analitičke geometrije. Da biste svladali gradivo, morate moći izgraditi ravnu liniju; znati koja jednadžba definira ravnu liniju, posebno ravnu liniju koja prolazi kroz ishodište koordinata i prave paralelne s koordinatnim osima. Ove informacije možete pronaći u priručniku Grafovi i svojstva elementarnih funkcija, Napravio sam ga za Mathana, ali odjeljak o linearnoj funkciji pokazao se vrlo uspješnim i detaljnim. Zato, dragi čajnici, prvo se tamo zagrijte. Osim toga, morate imati osnovna znanja o vektori, inače će razumijevanje gradiva biti nepotpuno.

U ovoj lekciji ćemo pogledati načine na koje možete napraviti jednadžbu ravne crte na ravnini. Preporučujem da ne zanemarite praktične primjere (čak i ako se čini vrlo jednostavnim), jer ću im pružiti elementarne i važne činjenice, tehničke tehnike koje će biti potrebne u budućnosti, uključujući i druge dijelove više matematike.

• Kako napisati jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom?
• Kako?
• Kako pronaći vektor smjera pomoću opće jednadžbe pravca?
• Kako napisati jednadžbu pravca zadane točke i normalnog vektora?

i počinjemo:

Jednadžba pravca s nagibom

Poznati “školski” oblik jednadžbe ravne linije tzv jednadžba pravca s nagibom. Na primjer, ako je ravna crta dana jednadžbom, tada je njezin nagib: . Razmotrimo geometrijsko značenje ovog koeficijenta i kako njegova vrijednost utječe na položaj linije:

U tečaju geometrije je dokazano da nagib pravca je jednak tangens kuta između pozitivnog smjera osii ovaj redak: , a kut se "odvrće" u smjeru suprotnom od kazaljke na satu.

Kako ne bih zatrpao crtež, nacrtao sam kutove samo za dvije ravne linije. Razmotrimo "crvenu" liniju i njen nagib. Prema gore navedenom: (kut "alfa" označen je zelenim lukom). Za "plavu" ravnu liniju s kutnim koeficijentom jednakost je istinita ("beta" kut je označen smeđim lukom). A ako je tangens kuta poznat, onda ga je lako pronaći ako je potrebno i sam kutak pomoću inverzne funkcije – arktangensa. Kako kažu, trigonometrijska tablica ili mikrokalkulator u vašim rukama. Tako, kutni koeficijent karakterizira stupanj nagiba ravne linije prema osi apscise.

Mogući su sljedeći slučajevi:

1) Ako je nagib negativan: tada linija, grubo govoreći, ide odozgo prema dolje. Primjeri su "plave" i "maline" ravne linije na crtežu.

2) Ako je nagib pozitivan: tada linija ide odozdo prema gore. Primjeri - "crne" i "crvene" ravne linije na crtežu.

3) Ako je nagib jednak nuli: , tada jednadžba ima oblik , a odgovarajuća ravna linija je paralelna s osi. Primjer je "žuta" ravna linija.

4) Za skup linija paralelnih s osi (nema primjera na crtežu, osim same osi), kutni koeficijent ne postoji (tangenta od 90 stupnjeva nije definirana).

Što je veći koeficijent nagiba u apsolutnoj vrijednosti, to je pravocrtni grafikon strmiji..

Na primjer, razmotrite dvije ravne linije. Ovdje, dakle, pravac ima strmiji nagib. Dopustite mi da vas podsjetim da vam modul omogućuje ignoriranje znaka koji nas samo zanima apsolutne vrijednosti kutni koeficijenti.

Zauzvrat, ravna linija je strmija od ravnih linija .

Obrnuto: što je manji koeficijent nagiba u apsolutnoj vrijednosti, to je ravna linija ravnija.

Za ravne linije nejednakost je istinita, stoga je ravna linija ravnija. Dječji tobogan, kako ne biste sebi zadali modrice i neravnine.

Zašto je to potrebno?

Produžite svoje muke Poznavanje gornjih činjenica omogućuje vam da odmah vidite svoje pogreške, posebice pogreške pri izradi grafikona - ako se crtež pokaže "očito nešto nije u redu". Preporučljivo je da ti odmah bilo je jasno da je, na primjer, ravna crta vrlo strma i ide odozdo prema gore, a ravna linija je vrlo ravna, pritisnuta uz os i ide odozgo prema dolje.

U geometrijskim problemima često se pojavljuje nekoliko ravnih linija, pa ih je zgodno nekako označiti.

Oznake: ravne crte označene su malim latiničnim slovima: . Popularna opcija je označavanje istim slovom s prirodnim indeksima. Na primjer, pet redaka koje smo upravo pogledali može se označiti sa .

Budući da je svaka ravna linija jednoznačno određena dvjema točkama, može se označiti ovim točkama: itd. Oznaka jasno implicira da točke pripadaju pravcu.

Vrijeme je da se malo zagrijemo:

Kako napisati jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom?

Ako je poznata točka koja pripada određenom pravcu i kutni koeficijent tog pravca, tada se jednadžba tog pravca izražava formulom:

Primjer 1

Napišite jednadžbu pravca s nagibom ako je poznato da točka pripada zadanom pravcu.

Riješenje: Sastavimo jednadžbu pravca pomoću formule . U ovom slučaju:

Odgovor:

Ispitivanje radi se jednostavno. Prvo gledamo dobivenu jednadžbu i uvjeravamo se da je naš nagib na mjestu. Drugo, koordinate točke moraju zadovoljiti ovu jednadžbu. Uključimo ih u jednadžbu:

Dobivena je točna jednakost, što znači da točka zadovoljava dobivenu jednadžbu.

Zaključak: Jednadžba je točna.

Složeniji primjer za samostalno rješavanje:

Primjer 2

Napišite jednadžbu za pravac ako je poznato da je njegov kut nagiba u odnosu na pozitivan smjer osi , a točka pripada tom pravcu.

Ako imate bilo kakvih poteškoća, ponovno pročitajte teoretski materijal. Točnije, praktičnije, mnoge dokaze preskačem.

Odzvonilo je posljednje zvono, završila je dodjela diploma, a pred vratima naše matične škole čeka nas sama analitička geometrija. Šali je kraj... Ili možda tek počinju =)

Nostalgično mašemo perom poznatom i upoznajemo se s općom jednadžbom pravca. Zato što se u analitičkoj geometriji koristi upravo ovo:

Opća jednadžba pravca ima oblik: , gdje su neki brojevi. Istovremeno, koeficijenti istovremeno nisu jednaki nuli, jer jednadžba gubi smisao.

Obucimo se u odijelo i povežimo jednadžbu s koeficijentom nagiba. Prvo, premjestimo sve pojmove na lijevu stranu:

Pojam s "X" mora biti stavljen na prvo mjesto:

U načelu, jednadžba već ima oblik , ali prema pravilima matematičkog bontona, koeficijent prvog člana (u ovom slučaju) mora biti pozitivan. Mijenjanje znakova:

Zapamtite ovu tehničku značajku! Prvi koeficijent (najčešće) činimo pozitivnim!

U analitičkoj geometriji, jednadžba ravne linije će gotovo uvijek biti dana u općem obliku. Pa, ako je potrebno, može se lako svesti na "školski" oblik s kutnim koeficijentom (s izuzetkom ravnih linija paralelnih s osi ordinate).

Zapitajmo se što dovoljno znati konstruirati ravnu liniju? Dva boda. Ali više o ovom incidentu iz djetinjstva, sada pravilo sa strelicama. Svaka ravna linija ima vrlo specifičan nagib, kojem se lako "prilagoditi". vektor.

Vektor koji je paralelan s pravcem naziva se vektor smjera tog pravca. Očito je da svaka ravna linija ima beskonačan broj vektora smjera i svi će oni biti kolinearni (ko-direkcijski ili ne - nije bitno).

Vektor smjera ću označiti na sljedeći način: .

Ali jedan vektor nije dovoljan za konstruiranje ravne linije; vektor je slobodan i nije vezan ni za jednu točku na ravnini. Stoga je dodatno potrebno poznavati neku točku koja pripada pravcu.

Kako napisati jednadžbu ravne crte koristeći točku i vektor smjera?

Ako je poznata određena točka koja pripada liniji i vektor smjera te crte, tada se jednadžba te crte može sastaviti pomoću formule:

Ponekad se zove kanonska jednadžba pravca .

Što učiniti kada jedna od koordinata jednaka nuli, razumjet ćemo u praktičnim primjerima u nastavku. Usput, imajte na umu - oboje odjednom koordinate ne mogu biti jednake nuli, budući da nulti vektor ne specificira određeni smjer.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za ravnu liniju koristeći točku i vektor smjera

Riješenje: Sastavimo jednadžbu pravca pomoću formule. U ovom slučaju:

Koristeći svojstva proporcije rješavamo se razlomaka:

I dovodimo jednadžbu u njen opći oblik:

Odgovor:

U pravilu nema potrebe crtati takve primjere, ali radi razumijevanja:

Na crtežu vidimo početnu točku, izvorni vektor smjera (može se iscrtati iz bilo koje točke na ravnini) i konstruiranu ravnu liniju. Usput, u mnogim je slučajevima najprikladnije konstruirati ravnu liniju pomoću jednadžbe s kutnim koeficijentom. Lako je transformirati našu jednadžbu u oblik i jednostavno odabrati drugu točku za konstruiranje ravne linije.

Kao što je navedeno na početku odlomka, ravna crta ima beskonačno mnogo vektora smjera, a svi su kolinearni. Na primjer, nacrtao sam tri takva vektora: . Koji god vektor smjera odabrali, rezultat će uvijek biti ista jednadžba ravne linije.

Napravimo jednadžbu ravne linije pomoću točke i vektora smjera:

Rješavanje proporcije:

Podijelimo obje strane s –2 i dobijemo poznatu jednadžbu:

Zainteresirani mogu testirati vektore na isti način ili bilo koji drugi kolinearni vektor.

Sada riješimo inverzni problem:

Kako pronaći vektor smjera pomoću opće jednadžbe pravca?

Jako jednostavno:

Ako je pravac zadan općom jednadžbom u pravokutnom koordinatnom sustavu, tada je vektor vektor smjera tog pravca.

Primjeri pronalaženja vektora smjera ravnih linija:

Izjava nam omogućuje da pronađemo samo jedan vektor smjera od beskonačnog broja, ali nam ne treba više. Iako je u nekim slučajevima preporučljivo smanjiti koordinate vektora smjera:

Dakle, jednadžba specificira ravnu liniju koja je paralelna s osi, a koordinate rezultirajućeg vektora smjera prikladno se dijele s –2, čime se dobiva točno osnovni vektor kao vektor smjera. Logično.

Slično, jednadžba zadaje ravnu liniju paralelnu s osi, a dijeljenjem koordinata vektora s 5 dobivamo jedinični vektor kao vektor smjera.

Sada učinimo to provjera primjera 3. Primjer je napredovao, pa vas podsjećam da smo u njemu sastavili jednadžbu ravne linije koristeći točku i vektor smjera

Prvo, pomoću jednadžbe pravca rekonstruiramo njegov vektor smjera: – sve je u redu, dobili smo originalni vektor (u nekim slučajevima rezultat može biti kolinearan originalnom vektoru, a to je obično lako uočiti po proporcionalnosti odgovarajućih koordinata).

Drugo, koordinate točke moraju zadovoljiti jednadžbu. Zamijenimo ih u jednadžbu:

Dobivena je točna jednakost, što nas jako veseli.

Zaključak: Zadatak je točno riješen.

Primjer 4

Napišite jednadžbu za ravnu liniju koristeći točku i vektor smjera

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Rješenje i odgovor su na kraju lekcije. Vrlo je preporučljivo provjeriti pomoću algoritma o kojem smo upravo govorili. Pokušajte uvijek (ako je moguće) provjeriti nacrt. Glupo je raditi greške tamo gdje se mogu 100% izbjeći.

U slučaju da je jedna od koordinata vektora smjera nula, postupite vrlo jednostavno:

Primjer 5

Riješenje: Formula nije prikladna jer je nazivnik na desnoj strani nula. Postoji izlaz! Koristeći svojstva proporcije, prepisujemo formulu u obliku, a ostatak valjamo duž duboke kolotečine:

Odgovor:

Ispitivanje:

1) Obnovite vektor usmjeravanja prave:
– rezultirajući vektor kolinearan je izvornom vektoru smjera.

2) Zamijenite koordinate točke u jednadžbu:

Dobivena je ispravna jednakost

Zaključak: zadatak točno izvršen

Postavlja se pitanje, zašto se gnjaviti s formulom ako postoji univerzalna verzija koja će raditi u svakom slučaju? Postoje dva razloga. Prvo, formula je u obliku razlomka mnogo bolje pamti. I drugo, nedostatak univerzalne formule je taj rizik od zabune značajno se povećava prilikom zamjene koordinata.

Primjer 6

Napišite jednadžbu za ravnu liniju koristeći točku i vektor smjera.

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti.

Vratimo se na sveprisutne dvije točke:

Kako napisati jednadžbu ravne crte koristeći dvije točke?

Ako su poznate dvije točke, tada se jednadžba ravne linije koja prolazi kroz te točke može sastaviti pomoću formule:

Zapravo, ovo je vrsta formule i evo zašto: ako su poznate dvije točke, tada će vektor biti vektor smjera zadane linije. Na lekciji Vektori za lutke razmotrili smo najjednostavniji problem - kako pronaći koordinate vektora iz dvije točke. Prema ovom problemu, koordinate vektora pravca su:

Bilješka : točke se mogu "zamijeniti" i koristiti formula . Takvo će rješenje biti ekvivalentno.

Primjer 7

Napišite jednadžbu pravca koristeći dvije točke .

Riješenje: Koristimo formulu:

Češljanje nazivnika:

I promiješajte špil:

Sada je vrijeme da se riješite frakcijskih brojeva. U ovom slučaju morate obje strane pomnožiti sa 6:

Otvorite zagrade i prisjetite se jednadžbe:

Odgovor:

Ispitivanje je očigledan - koordinate početnih točaka moraju zadovoljiti rezultirajuću jednadžbu:

1) Zamijenite koordinate točke:

Prava jednakost.

2) Zamijenite koordinate točke:

Prava jednakost.

Zaključak: Jednadžba pravca je ispravno napisana.

Ako najmanje jedan bodova ne zadovoljava jednadžbu, potražite pogrešku.

Vrijedno je napomenuti da je grafička provjera u ovom slučaju teška, jer konstruirajte ravnu liniju i vidite pripadaju li joj točke , nije tako jednostavno.

Navest ću još nekoliko tehničkih aspekata rješenja. Možda je u ovom problemu isplativije koristiti formulu ogledala i na istim točkama napravi jednadžbu:

Manje razlomaka. Ako želite, možete provesti rješenje do kraja, rezultat bi trebao biti ista jednadžba.

Druga točka je pogledati konačni odgovor i shvatiti može li se dalje pojednostaviti? Na primjer, ako dobijete jednadžbu , tada je preporučljivo smanjiti je za dva: – jednadžba će definirati istu ravnu liniju. No, to je već tema za razgovor relativni položaj linija.

Dobivši odgovor u primjeru 7 sam za svaki slučaj provjerio jesu li SVI koeficijenti jednadžbe djeljivi s 2, 3 ili 7. Iako se najčešće takva smanjenja rade tijekom rješavanja.

Primjer 8

Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točke .

Ovo je primjer za neovisno rješenje koje će vam omogućiti bolje razumijevanje i uvježbavanje tehnika izračuna.

Slično prethodnom stavku: ako je u formuli jedan od nazivnika (koordinata vektora smjera) postaje nula, tada ga prepisujemo u obliku . Opet, primijetite kako nespretno i zbunjeno izgleda. Ne vidim puno smisla davati praktične primjere, budući da smo već zapravo riješili ovaj problem (vidi br. 5, 6).

Izravni normalni vektor (normalni vektor)

Što je normalno? Jednostavnim riječima, normala je okomica. To jest, normalni vektor pravca je okomit na dani pravac. Očito, svaka ravna linija ih ima beskonačno mnogo (kao i vektora smjera), a svi normalni vektori prave bit će kolinearni (kosmjerni ili ne, nema razlike).

Suočavanje s njima bit će još lakše nego s vektorima vodiča:

Ako je pravac zadan općom jednadžbom u pravokutnom koordinatnom sustavu, tada je vektor normalni vektor tog pravca.

Ako se koordinate vektora pravca moraju pažljivo “izvući” iz jednadžbe, tada se koordinate vektora normale mogu jednostavno “maknuti”.

Vektor normale uvijek je okomit na vektor smjera pravca. Provjerimo ortogonalnost ovih vektora pomoću točkasti proizvod:

Dat ću primjere s istim jednadžbama kao za vektor smjera:

Je li moguće konstruirati jednadžbu pravca zadane jedne točke i normalnog vektora? Osjećam to u utrobi, moguće je. Ako je normalni vektor poznat, tada je smjer same ravne linije jasno definiran - ovo je "kruta struktura" s kutom od 90 stupnjeva.

Kako napisati jednadžbu pravca zadane točke i normalnog vektora?

Ako je poznata određena točka koja pripada pravom i vektor normale tog pravca, tada se jednadžba tog pravca izražava formulom:

Ovdje je sve ispalo bez razlomaka i drugih iznenađenja. Ovo je naš normalni vektor. Volim ga. I postovanje =)

Primjer 9

Napišite jednadžbu pravca zadanog točkom i normalnim vektorom. Nađi vektor smjera pravca.

Riješenje: Koristimo formulu:

Opća jednadžba ravne linije je dobivena, provjerimo:

1) "Uklonite" koordinate vektora normale iz jednadžbe: – da, doista, iz uvjeta je dobiven izvorni vektor (ili treba dobiti kolinearni vektor).

2) Provjerimo da li točka zadovoljava jednadžbu:

Prava jednakost.

Nakon što smo se uvjerili da je jednadžba ispravno sastavljena, pristupit ćemo drugom, lakšem dijelu zadatka. Izvadimo vektor usmjeravanja ravne linije:

Odgovor:

Na crtežu situacija izgleda ovako:

Za potrebe obuke, sličan zadatak za samostalno rješavanje:

Primjer 10

Napišite jednadžbu pravca zadanog točkom i normalnim vektorom. Nađi vektor smjera pravca.

Završni dio lekcije bit će posvećen manje uobičajenim, ali također važnim vrstama jednadžbi pravca u ravnini

Jednadžba pravca u segmentima.
Jednadžba pravca u parametarskom obliku

Jednadžba pravca u segmentima ima oblik , gdje su konstante različite od nule. Neke vrste jednadžbi ne mogu se prikazati u ovom obliku, na primjer, izravna proporcionalnost (budući da je slobodni član jednak nuli i ne postoji način da se jedna dobije na desnoj strani).

Ovo je, slikovito rečeno, "tehnički" tip jednadžbe. Uobičajen zadatak je prikazati opću jednadžbu pravca kao jednadžbu pravca u segmentima. Kako je to zgodno? Jednadžba linije u segmentima omogućuje vam brzo pronalaženje točaka sjecišta linije s koordinatnim osima, što može biti vrlo važno u nekim problemima više matematike.

Nađimo točku sjecišta pravca s osi. Ponovno postavljamo "y" na nulu i jednadžba poprima oblik . Željena točka se dobiva automatski: .

Isto s osi – točka u kojoj pravac siječe ordinatnu os.