Zašto su potrebni izračuni intervala pouzdanosti? Interval pouzdanosti za matematičko očekivanje

Cilj– naučiti studente algoritmima za izračunavanje intervala pouzdanosti statističkih parametara.

Pri statističkoj obradi podataka, izračunata aritmetička sredina, koeficijent varijacije, koeficijent korelacije, kriteriji razlike i druge bodovne statistike trebaju dobiti kvantitativne granice pouzdanosti, koje ukazuju na moguća kolebanja pokazatelja u manjim i većim smjerovima unutar intervala pouzdanosti.

Primjer 3.1 . Raspodjela kalcija u krvnom serumu majmuna, kako je prethodno utvrđeno, karakterizirana je sljedećim pokazateljima uzorka: = 11,94 mg%; = 0,127 mg%; n= 100. Potrebno je odrediti interval pouzdanosti za opći prosjek ( ) s vjerojatnošću povjerenja P = 0,95.

Opći prosjek se s određenom vjerojatnošću nalazi u intervalu:

, Gdje – aritmetička sredina uzorka; t– test učenika; – greška aritmetičke sredine.

Pomoću tablice "Studentove vrijednosti t-testa" nalazimo vrijednost s vjerojatnošću pouzdanosti od 0,95 i brojem stupnjeva slobode k= 100-1 = 99. Jednako je 1,982. Zajedno s vrijednostima aritmetičke sredine i statističke pogreške zamijenimo je u formulu:

odnosno 11.69
12,19

Dakle, s vjerojatnošću od 95%, može se ustvrditi da je opći prosjek ove normalne raspodjele između 11,69 i 12,19 mg%.

Primjer 3.2 . Odredite granice intervala pouzdanosti od 95% za opću varijancu ( ) raspodjela kalcija u krvi majmuna, ako se zna da
= 1,60, pri n = 100.

Za rješavanje problema možete koristiti sljedeću formulu:

Gdje – statistička pogreška disperzije.

Pogrešku varijance uzorkovanja nalazimo pomoću formule:
. Jednako je 0,11. Značenje t- kriterij s vjerojatnošću pouzdanosti 0,95 i brojem stupnjeva slobode k= 100–1 = 99 poznato je iz prethodnog primjera.

Iskoristimo formulu i dobijemo:

odnosno 1.38
1,82

Točnije, interval pouzdanosti opće varijance može se konstruirati korištenjem (hi-kvadrat) - Pearsonov test. Kritične točke za ovaj kriterij dane su u posebnoj tablici. Pri korištenju kriterija Za konstruiranje intervala pouzdanosti koristi se dvostrana razina značajnosti. Za donju granicu, razina značajnosti izračunava se pomoću formule
, za vrh –
. Na primjer, za razinu povjerenja = 0,99= 0,010,= 0,990. Sukladno tome, prema tablici raspodjele kritičnih vrijednosti , s izračunatim razinama pouzdanosti i brojem stupnjeva slobode k= 100 – 1= 99, pronađite vrijednosti
I
. Dobivamo
jednako 135,80, i
jednako 70,06.

Da biste pronašli granice pouzdanosti za opću varijancu pomoću Poslužimo se formulama: za donju granicu
, za gornju granicu
. Zamijenimo pronađene vrijednosti za podatke problema u formule:
= 1,17;
= 2,26. Dakle, s vjerojatnošću povjerenja P= 0,99 ili 99% opće varijance ležat će u rasponu od 1,17 do uključivo 2,26 mg%.

Primjer 3.3 . Među 1000 sjemenki pšenice iz serije primljene u elevator, 120 sjemenki je zaraženo ergotom. Potrebno je odrediti vjerojatne granice općeg udjela zaraženog sjemena u određenoj partiji pšenice.

Preporučljivo je odrediti granice pouzdanosti za opći udio za sve njegove moguće vrijednosti pomoću formule:

,

Gdje n – broj promatranja; m– apsolutna veličina jedne od grupa; t– normalizirano odstupanje.

Uzorak udjela zaraženog sjemena je
ili 12%. S povjerenjem vjerojatnost R= 95% normaliziranog odstupanja ( t-Kolokvij učenika na k =
)t = 1,960.

Zamjenjujemo dostupne podatke u formulu:

Stoga su granice intervala pouzdanosti jednake = 0,122–0,041 = 0,081, ili 8,1%; = 0,122 + 0,041 = 0,163, odnosno 16,3%.

Dakle, s vjerojatnošću od 95% može se reći da je opći udio zaraženog sjemena između 8,1 i 16,3%.

Primjer 3.4 . Koeficijent varijacije koji karakterizira varijaciju kalcija (mg%) u krvnom serumu majmuna iznosio je 10,6%. Veličina uzorka n= 100. Potrebno je odrediti granice 95% intervala pouzdanosti za opći parametar Cv.

Granice intervala pouzdanosti za opći koeficijent varijacije Cv određuju se sljedećim formulama:

I
, Gdje K međuvrijednost izračunata formulom
.

Znajući to s pouzdanom vjerojatnošću R= 95% normalizirano odstupanje (Studentov test na k =
)t = 1,960, prvo izračunajmo vrijednost DO:

.

ili 9,3%

ili 12,3%

Dakle, opći koeficijent varijacije s razinom pouzdanosti od 95% leži u rasponu od 9,3 do 12,3%. Kod ponovljenih uzoraka koeficijent varijacije neće prijeći 12,3% i neće biti ispod 9,3% u 95 slučajeva od 100.

Pitanja za samokontrolu:

Problemi za samostalno rješavanje.

1. Prosječni postotak masti u mlijeku tijekom laktacije krava Kholmogorskog križanja bio je sljedeći: 3,4; 3,6; 3.2; 3.1; 2,9; 3.7; 3.2; 3,6; 4,0; 3.4; 4.1; 3,8; 3.4; 4,0; 3.3; 3.7; 3,5; 3,6; 3.4; 3.8. Odredite intervale pouzdanosti za opću srednju vrijednost na razini pouzdanosti od 95% (20 bodova).

2. Na 400 hibridnih biljaka raži prvi su se cvjetovi pojavili u prosjeku 70,5 dana nakon sjetve. Standardna devijacija bila je 6,9 ​​dana. Odredite pogrešku srednje vrijednosti i intervala pouzdanosti za opću sredinu i varijancu na razini značajnosti W= 0,05 i W= 0,01 (25 bodova).

3. Proučavanjem duljine listova 502 primjerka vrtnih jagoda dobiveni su sljedeći podaci: = 7,86 cm; σ = 1,32 cm, =± 0,06 cm Odredite intervale pouzdanosti za aritmetičku populacijsku sredinu s razinama značajnosti od 0,01; 0,02; 0,05. (25 bodova).

4. U istraživanju na 150 odraslih muškaraca, prosječna visina bila je 167 cm, i σ = 6 cm.Koje su granice opće srednje vrijednosti i opće varijance s vjerojatnošću pouzdanosti od 0,99 i 0,95? (25 bodova).

5. Distribuciju kalcija u krvnom serumu majmuna karakteriziraju sljedeći selektivni pokazatelji: = 11,94 mg%, σ = 1,27, n = 100. Konstruirajte 95% interval pouzdanosti za opću srednju vrijednost ove distribucije. Izračunajte koeficijent varijacije (25 bodova).

6. Proučavan je sadržaj ukupnog dušika u krvnoj plazmi albino štakora u dobi od 37 i 180 dana. Rezultati su izraženi u gramima na 100 cm 3 plazme. U dobi od 37 dana 9 štakora imalo je: 0,98; 0,83; 0,99; 0,86; 0,90; 0,81; 0,94; 0,92; 0,87. U dobi od 180 dana 8 štakora imalo je: 1,20; 1.18; 1.33; 1.21; 1.20; 1.07; 1.13; 1.12. Postavite intervale pouzdanosti za razliku na razini pouzdanosti od 0,95 (50 bodova).

7. Odredite granice 95% intervala pouzdanosti za opću varijancu distribucije kalcija (mg%) u krvnom serumu majmuna, ako je za ovu distribuciju veličina uzorka n = 100, statistička pogreška varijance uzorka s σ 2 = 1,60 (40 bodova).

8. Odrediti granice 95% intervala pouzdanosti za opću varijancu raspodjele 40 klasova pšenice po duljini (σ 2 = 40,87 mm 2). (25 bodova).

9. Pušenje se smatra glavnim faktorom predispozicije za opstruktivne plućne bolesti. Pasivno pušenje ne smatra se takvim faktorom. Znanstvenici su sumnjali u neškodljivost pasivnog pušenja i ispitivali prohodnost dišnih putova nepušača, pasivnih i aktivnih pušača. Da bismo okarakterizirali stanje dišnog trakta, uzeli smo jedan od pokazatelja funkcije vanjskog disanja - maksimalnu volumetrijsku brzinu protoka sredinom izdisaja. Smanjenje ovog pokazatelja znak je opstrukcije dišnih putova. Podaci ankete prikazani su u tablici.

	Broj pregledanih osoba	Maksimalna brzina protoka srednjeg izdisaja, l/s
			Standardna devijacija
Nepušači
raditi u nepušačkom prostoru
rad u zadimljenoj prostoriji
Pušenje
popušiti mali broj cigareta
prosječan broj pušača cigareta
pušiti veliki broj cigareta

Koristeći podatke tablice, pronađite intervale pouzdanosti od 95% za ukupnu srednju vrijednost i ukupnu varijancu za svaku grupu. Koje su razlike između grupa? Rezultate prikazati grafički (25 bodova).

10. Odredite granice 95% i 99% intervala pouzdanosti za opću varijancu broja prasadi u 64 prašenja, ako je statistička pogreška varijance uzorka s σ 2 = 8,25 (30 bodova).

11. Poznato je da je prosječna težina kunića 2,1 kg. Odredite granice intervala pouzdanosti od 95% i 99% za opću srednju vrijednost i varijancu na n= 30, σ = 0,56 kg (25 bodova).

12. Zrnatost klipa izmjerena je za 100 klasova ( x), duljina uha ( Y) i masa zrna u klasu ( Z). Pronađite intervale pouzdanosti za opću srednju vrijednost i varijancu na P 1 = 0,95, P 2 = 0,99, P 3 = 0,999 ako = 19, = 6,766 cm, = 0,554 g; σ x 2 = 29.153, σ y 2 = 2. 111, σ z 2 = 0. 064. (25 bodova).

13. U 100 nasumično odabranih klasova ozime pšenice izbrojan je broj klasića. Populacija uzorka karakterizirana je sljedećim pokazateljima: = 15 klasića i σ = 2,28 kom. Odredite s kojom točnošću je dobiven prosječni rezultat ( ) i konstruirajte interval pouzdanosti za opću srednju vrijednost i varijancu na razinama značajnosti od 95% i 99% (30 bodova).

14. Broj rebara na fosilnim ljušturama mekušaca Ortamboniti kaligrama:

Poznato je da n = 19, σ = 4,25. Odrediti granice intervala pouzdanosti za opću sredinu i opću varijancu na razini značajnosti W = 0,01 (25 bodova).

15. Za određivanje prinosa mlijeka na farmi komercijalnih mliječnih krava dnevno je određivana produktivnost 15 krava. Prema podacima za godinu svaka je krava u prosjeku dnevno dala sljedeću količinu mlijeka (l): 22; 19; 25; 20; 27; 17; trideset; 21; 18; 24; 26; 23; 25; 20; 24. Konstruirajte intervale pouzdanosti za opću varijancu i aritmetičku sredinu. Možemo li očekivati ​​prosječnu godišnju mliječnost po kravi od 10.000 litara? (50 bodova).

16. Za određivanje prosječnog prinosa pšenice za poljoprivredno poduzeće obavljena je košnja na pokusnim plohama od 1, 3, 2, 5, 2, 6, 1, 3, 2, 11 i 2 hektara. Produktivnost (c/ha) s parcela bila je 39,4; 38; 35,8; 40; 35; 42.7; 39.3; 41.6; 33; 42; 29 odnosno. Konstruirajte intervale pouzdanosti za opću varijancu i aritmetičku sredinu. Možemo li očekivati ​​da će prosječni poljoprivredni prinos biti 42 c/ha? (50 bodova).

Interval pouzdanosti za matematičko očekivanje - ovo je interval izračunat iz podataka koji s poznatom vjerojatnošću sadrži matematičko očekivanje opće populacije. Prirodna procjena matematičkog očekivanja je aritmetička sredina njegovih promatranih vrijednosti. Stoga ćemo tijekom cijele lekcije koristiti pojmove "prosjek" i "prosječna vrijednost". U problemima izračuna intervala pouzdanosti, odgovor koji se najčešće traži je nešto poput "Interval pouzdanosti prosječnog broja [vrijednosti u određenom problemu] je od [manje vrijednosti] do [veće vrijednosti]." Pomoću intervala pouzdanosti možete procijeniti ne samo prosječne vrijednosti, već i udio određene karakteristike opće populacije. U lekciji se govori o prosječnim vrijednostima, disperziji, standardnoj devijaciji i pogrešci preko kojih ćemo doći do novih definicija i formula. Obilježja uzorka i populacije .

Točkaste i intervalne procjene srednje vrijednosti

Ako se prosječna vrijednost populacije procjenjuje brojem (točkom), tada se kao procjena nepoznate prosječne vrijednosti populacije uzima određeni prosjek koji se izračunava iz uzorka opažanja. U ovom slučaju vrijednost uzorkačke sredine – slučajne varijable – ne podudara se sa srednjom vrijednošću opće populacije. Stoga, kada označavate srednju vrijednost uzorka, morate istovremeno navesti pogrešku uzorkovanja. Mjera greške uzorkovanja je standardna greška, koja se izražava u istim jedinicama kao i srednja vrijednost. Stoga se često koristi sljedeća oznaka: .

Ako procjenu prosjeka treba povezati s određenom vjerojatnošću, tada se parametar od interesa u populaciji mora procijeniti ne jednim brojem, već intervalom. Interval povjerenja je interval u kojem se s određenom vjerojatnošću P nalazi se vrijednost procijenjenog pokazatelja populacije. Interval pouzdanosti u kojem je to vjerojatno P = 1 - α pronađena je slučajna varijabla, izračunata na sljedeći način:

,

α = 1 - P, koji se može naći u dodatku gotovo svake knjige o statistici.

U praksi srednja vrijednost populacije i varijanca nisu poznati, pa se varijanca populacije zamjenjuje varijancom uzorka, a srednja vrijednost populacije sredinom uzorka. Stoga se interval pouzdanosti u većini slučajeva izračunava na sljedeći način:

.

Formula intervala pouzdanosti može se koristiti za procjenu srednje vrijednosti populacije ako

• poznata je standardna devijacija populacije;
• ili je standardna devijacija populacije nepoznata, ali je veličina uzorka veća od 30.

Srednja vrijednost uzorka je nepristrana procjena srednje vrijednosti populacije. S druge strane, varijanca uzorka nije nepristrana procjena varijance populacije. Za dobivanje nepristrane procjene varijance populacije u formuli varijance uzorka, veličina uzorka n treba zamijeniti sa n-1.

Primjer 1. Od 100 nasumično odabranih kafića u određenom gradu prikupljen je podatak da je prosječan broj zaposlenih u njima 10,5 sa standardnom devijacijom od 4,6. Odredite 95% interval pouzdanosti za broj zaposlenih u kafiću.

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,05 .

Tako se 95%-tni interval pouzdanosti za prosječan broj zaposlenih u kafiću kretao od 9,6 do 11,4.

Primjer 2. Za slučajni uzorak iz populacije od 64 opažanja, izračunate su sljedeće ukupne vrijednosti:

zbroj vrijednosti u promatranjima,

zbroj kvadrata odstupanja vrijednosti od srednje vrijednosti .

Izračunajte interval pouzdanosti od 95% za matematičko očekivanje.

Izračunajmo standardnu ​​devijaciju:

,

Izračunajmo prosječnu vrijednost:

.

Zamjenjujemo vrijednosti u izraz za interval pouzdanosti:

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,05 .

Dobivamo:

Stoga je 95%-tni interval pouzdanosti za matematičko očekivanje ovog uzorka bio u rasponu od 7,484 do 11,266.

Primjer 3. Za slučajni uzorak populacije od 100 opažanja, izračunata sredina je 15,2, a standardna devijacija je 3,2. Izračunajte 95% interval pouzdanosti za očekivanu vrijednost, zatim 99% interval pouzdanosti. Ako snaga uzorka i njezina varijacija ostanu nepromijenjeni, a koeficijent pouzdanosti raste, hoće li se interval pouzdanosti suziti ili proširiti?

Zamjenjujemo ove vrijednosti u izraz za interval pouzdanosti:

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,05 .

Dobivamo:

.

Stoga je 95%-tni interval pouzdanosti za srednju vrijednost ovog uzorka bio u rasponu od 14,57 do 15,82.

Ponovno zamijenimo ove vrijednosti u izrazu za interval pouzdanosti:

gdje je kritična vrijednost standardne normalne distribucije za razinu značajnosti α = 0,01 .

Dobivamo:

.

Stoga je 99% interval pouzdanosti za srednju vrijednost ovog uzorka bio u rasponu od 14,37 do 16,02.

Kao što vidimo, kako se koeficijent pouzdanosti povećava, kritična vrijednost standardne normalne distribucije također raste, i, posljedično, početna i završna točka intervala nalaze se dalje od srednje vrijednosti, a time se povećava interval pouzdanosti za matematičko očekivanje .

Točkaste i intervalne procjene specifične težine

Udio nekog atributa uzorka može se interpretirati kao procjena udjela str istih karakteristika u općoj populaciji. Ako ovu vrijednost treba povezati s vjerojatnošću, tada treba izračunati interval pouzdanosti specifične težine str karakterističan u populaciji s vjerojatnošću P = 1 - α :

.

Primjer 4. U nekom gradu postoje dva kandidata A I B kandidiraju se za gradonačelnika. Nasumično je anketirano 200 stanovnika grada, od kojih je 46% odgovorilo da bi glasalo za kandidata A, 26% - za kandidata B a 28% ne zna za koga će glasati. Odredite interval pouzdanosti od 95% za udio stanovnika grada koji podržavaju kandidata A.

Iz ovog članka ćete naučiti:

Što se dogodilo interval pouzdanosti?

Koja je poanta 3 sigma pravila?

Kako to znanje možete primijeniti u praksi?

U današnje vrijeme, zbog preobilja informacija vezanih uz veliki asortiman proizvoda, smjerove prodaje, zaposlenike, područja djelovanja i dr. može biti teško istaknuti glavnu stvar, na što prije svega vrijedi obratiti pozornost i uložiti napore u upravljanje. Definicija interval pouzdanosti i analiza stvarnih vrijednosti koje izlaze izvan svojih granica – tehnika koja pomoći će vam da istaknete situacije, utjecaj na promjenjive trendove. Moći ćete razviti pozitivne čimbenike i smanjiti utjecaj negativnih. Ovu tehnologiju koriste mnoge poznate svjetske tvrtke.

Postoje tzv. upozorenja", koji obavijestiti menadžere da je sljedeća vrijednost u određenom smjeru otišao dalje interval pouzdanosti. Što to znači? Ovo je signal da se dogodio neki neobičan događaj koji bi mogao promijeniti postojeći trend u tom smjeru. Ovo je signal za to da to shvatim u situaciji i razumjeti što je na to utjecalo.

Na primjer, razmotrite nekoliko situacija. Izračunali smo predviđanje prodaje s ograničenjima predviđanja za 100 stavki proizvoda za 2011. po mjesecima i stvarnu prodaju u ožujku:

1. Za “Suncokretovo ulje” probili su gornju granicu prognoze i nisu upali u interval pouzdanosti.
2. Za “Suhi kvasac” premašili smo donju granicu prognoze.
3. “Zobena kaša” probila je gornju granicu.

Za ostale proizvode, stvarna prodaja bila je unutar zadanih granica predviđanja. Oni. njihova je prodaja bila unutar očekivanja. Dakle, identificirali smo 3 proizvoda koji su prešli granice i počeli shvaćati što je na njih utjecalo da odu izvan granica:

1. Za suncokretovo ulje ušli smo u novu distribucijsku mrežu, čime smo dobili dodatni obujam prodaje, što je dovelo do toga da smo izašli iz gornje granice. Za ovaj proizvod vrijedi ponovno izračunati prognozu do kraja godine, uzimajući u obzir prognozu prodaje za ovu mrežu.
2. Za “Suhi kvasac” auto je zapeo na carini, pa je došlo do manjka u roku od 5 dana, što je utjecalo na pad prodaje i prekoračenje donje granice. Možda bi bilo vrijedno otkriti što je uzrok i pokušati ne ponoviti ovu situaciju.
3. Za zobenu kašu pokrenut je događaj za unapređenje prodaje, što je značajno povećalo prodaju i dovelo do toga da je tvrtka premašila prognozu.

Identificirali smo 3 faktora koji su utjecali na izlazak iz okvira prognoze. U životu ih može biti mnogo više.Da bi se povećala točnost predviđanja i planiranja, čimbenici koji dovode do činjenice da stvarna prodaja može premašiti prognozu, vrijedi istaknuti i odvojeno graditi prognoze i planove za njih. A zatim razmotrite njihov utjecaj na glavnu prognozu prodaje. Također možete redovito procjenjivati ​​utjecaj ovih čimbenika i promijeniti situaciju na bolje. smanjenjem utjecaja negativnih i povećanjem utjecaja pozitivnih čimbenika.

S intervalom pouzdanosti možemo:

1. Odaberite upute, na koje vrijedi obratiti pozornost, jer događaji su se dogodili u ovim smjerovima koji mogu utjecati promjena trenda.
2. Identificirajte faktore, koji stvarno utječu na promjenu situacije.
3. Prihvatiti informirana odluka(na primjer, o kupnji, planiranju itd.).

Sada pogledajmo što je interval pouzdanosti i kako ga izračunati u Excelu koristeći primjer.

Što je interval pouzdanosti?

Interval pouzdanosti je granica prognoze (gornja i donja), unutar koje s danom vjerojatnošću (sigma) pojavit će se stvarne vrijednosti.

Oni. Izračunavamo prognozu - to je naša glavna smjernica, ali razumijemo da stvarne vrijednosti vjerojatno neće biti 100% jednake našoj prognozi. I postavlja se pitanje, u kojim granicama stvarne vrijednosti mogu pasti, ako se trenutni trend nastavi? A ovo pitanje će nam pomoći da odgovorimo izračun intervala pouzdanosti, tj. - gornja i donja granica prognoze.

Što je dana sigma vjerojatnosti?

Pri proračunu interval pouzdanosti možemo postavljena vjerojatnost hitovi stvarne vrijednosti unutar zadanih granica prognoze. Kako to učiniti? Da bismo to učinili, postavljamo vrijednost sigme i, ako je sigma jednaka:

3 sigma- tada će vjerojatnost da će sljedeća stvarna vrijednost pasti u interval pouzdanosti biti 99,7%, ili 300 naprema 1, ili postoji 0,3% vjerojatnost odlaska izvan granica.

2 sigme- tada je vjerojatnost da će sljedeća vrijednost pasti unutar granica ≈ 95,5%, tj. izgledi su oko 20 prema 1, odnosno postoji 4,5% šanse da pretjerate.

1 sigma- tada je vjerojatnost ≈ 68,3%, tj. izgledi su otprilike 2 prema 1, odnosno postoji 31,7% šanse da će sljedeća vrijednost pasti izvan intervala pouzdanosti.

Formulirali smo pravilo 3 sigme,koji to kaže vjerojatnost pogotka drugu slučajnu vrijednost u interval povjerenja sa zadanom vrijednošću tri sigma je 99,7%.

Veliki ruski matematičar Chebyshev dokazao je teorem da postoji 10% vjerojatnosti odlaska izvan granica prognoze sa zadanom vrijednošću od tri sigme. Oni. vjerojatnost pada unutar intervala pouzdanosti od 3 sigme bit će najmanje 90%, dok je pokušaj izračunavanja prognoze i njezinih granica "na oko" prepun mnogo značajnijih pogrešaka.

Kako sami izračunati interval pouzdanosti u Excelu?

Pogledajmo izračun intervala pouzdanosti u Excelu (tj. gornje i donje granice prognoze) koristeći primjer. Imamo vremensku seriju - prodaja po mjesecima za 5 godina. Vidi priloženu datoteku.

Za izračun granica predviđanja izračunavamo:

1. Predviđanje prodaje().
2. Sigma - standardna devijacija modeli prognoze iz stvarnih vrijednosti.
3. Tri sigme.
4. Interval pouzdanosti.

1. Predviđanje prodaje.

=(RC[-14] (podaci vremenske serije)- RC[-1] (vrijednost modela))^2(na kvadrat)

3. Za svaki mjesec zbrojimo vrijednosti odstupanja od faze 8 Sum((Xi-Ximod)^2), tj. Zbrojimo siječanj, veljaču... za svaku godinu.

Da biste to učinili, upotrijebite formulu =SUMIF()

SUMIF(niz s brojevima razdoblja unutar ciklusa (za mjesece od 1 do 12); poveznica na broj razdoblja u ciklusu; poveznica na polje s kvadratima razlike između izvornih podataka i vrijednosti razdoblja)

4. Izračunajte standardnu ​​devijaciju za svako razdoblje u ciklusu od 1 do 12 (faza 10 u priloženoj datoteci).

Da bismo to učinili, izvlačimo korijen iz vrijednosti izračunate u fazi 9 i dijelimo s brojem perioda u ovom ciklusu minus 1 = SQRT((Zbroj(Xi-Ximod)^2/(n-1))

Upotrijebimo formule u Excelu =ROOT(R8 (veza na (Sum(Xi-Ximod)^2)/(COUNTIF($O$8:$O$67 (veza na niz s brojevima ciklusa); O8 (veza na određeni broj ciklusa koji brojimo u nizu))-1))

Korištenje Excel formule = COUNTIF brojimo broj n

Nakon što smo izračunali standardnu ​​devijaciju stvarnih podataka iz modela prognoze, dobili smo sigma vrijednost za svaki mjesec - faza 10 u priloženoj datoteci.

3. Izračunajmo 3 sigme.

U fazi 11 postavljamo broj sigmi - u našem primjeru "3" (faza 11 u priloženoj datoteci):

Također prikladno za vježbanje sigma vrijednosti:

1,64 sigma - 10% šanse za prekoračenje granice (1 šansa od 10);

1,96 sigma - 5% šanse za prekoračenje ograničenja (1 šansa od 20);

2,6 sigma - 1% šanse za prekoračenje ograničenja (1 šansa od 100).

5) Izračunavanje tri sigme, za to množimo vrijednosti "sigma" za svaki mjesec s "3".

3. Odredite interval pouzdanosti.

1. Gornja granica prognoze- predviđanje prodaje uzimajući u obzir rast i sezonalnost + (plus) 3 sigma;
2. Donja granica prognoze- predviđanje prodaje uzimajući u obzir rast i sezonalnost – (minus) 3 sigma;

Radi praktičnosti izračuna intervala pouzdanosti za dugo razdoblje (pogledajte priloženu datoteku), koristit ćemo Excel formulu =Y8+VLOOKUP(W8,$U$8:$V$19,2,0), Gdje

Y8- predviđanje prodaje;

W8- broj mjeseca za koji ćemo uzeti 3-sigma vrijednost;

Oni. Gornja granica prognoze= “predviđanje prodaje” + “3 sigma” (u primjeru, VLOOKUP(broj mjeseca; tablica s 3 sigma vrijednostima; stupac iz kojeg izvlačimo sigma vrijednost jednaku broju mjeseca u odgovarajućem retku; 0)).

Donja granica prognoze= “predviđanje prodaje” minus “3 sigma”.

Dakle, izračunali smo interval pouzdanosti u Excelu.

Sada imamo prognozu i raspon s granicama unutar kojih će stvarne vrijednosti pasti s danom sigma vjerojatnošću.

U ovom smo članku pogledali što su sigma i pravilo tri sigme, kako odrediti interval pouzdanosti i zašto ovu tehniku ​​možete koristiti u praksi.

Želimo vam točne prognoze i uspjeh!

Kako Forecast4AC PRO vam može pomoćipri izračunavanju intervala pouzdanosti?:

Forecast4AC PRO automatski će izračunati gornju ili donju granicu prognoze za više od 1000 vremenskih serija istovremeno;

Sposobnost analize granica prognoze u usporedbi s prognozom, trendom i stvarnom prodajom na grafikonu jednim pritiskom na tipku;

U programu Forcast4AC PRO moguće je postaviti sigma vrijednost od 1 do 3.

Pridruži nam se!

Preuzmite besplatne aplikacije za predviđanje i poslovnu analizu:

• Novo Forecast Lite- automatski izračun prognoze V Excel.
• 4analitika - ABC-XYZ analiza i analiza emisija Excel.
• Qlik Sense Radna površina i QlikViewPersonal Edition - BI sustavi za analizu i vizualizaciju podataka.

Testirajte mogućnosti plaćenih rješenja:

• Novo Forecast PRO- predviđanje u Excelu za velike skupove podataka.

Interval pouzdanosti– granične vrijednosti statističke veličine koje će se, uz zadanu vjerojatnost pouzdanosti γ, nalaziti u tom intervalu pri uzorkovanju većeg volumena. Označava se kao P(θ - ε. U praksi, vjerojatnost pouzdanosti γ bira se između vrijednosti prilično blizu jedinici: γ = 0,9, γ = 0,95, γ = 0,99.

Svrha usluge. Pomoću ove usluge možete odrediti:

• interval pouzdanosti za opću sredinu, interval pouzdanosti za varijancu;
• interval pouzdanosti za standardnu ​​devijaciju, interval pouzdanosti za opći udio;

Dobiveno rješenje sprema se u Word datoteku (vidi primjer). Ispod je video uputa za popunjavanje početnih podataka.

Primjer br. 1. Na kolektivnoj farmi, od ukupnog stada od 1000 ovaca, 100 ovaca je podvrgnuto selektivnoj kontrolnoj striži. Kao rezultat, utvrđen je prosječan ostrig vune od 4,2 kg po ovci. Odredite s vjerojatnošću od 0,99 srednju kvadratnu pogrešku uzorka pri određivanju prosječnog striženja vune po ovci i granice unutar kojih se nalazi vrijednost striženja ako je varijanca 2,5. Uzorak se ne ponavlja.
Primjer br. 2. Iz serije uvezenih proizvoda na postaji Moskovske sjeverne carine uzeto je 20 uzoraka proizvoda "A" slučajnim ponovljenim uzorkovanjem. Kao rezultat ispitivanja utvrđen je prosječni sadržaj vlage proizvoda „A“ u uzorku, koji se pokazao jednakim 6% sa standardnom devijacijom od 1%.
S vjerojatnošću 0,683 odredite granice prosječnog sadržaja vlage proizvoda u cijeloj seriji uvezenih proizvoda.
Primjer br. 3. Istraživanje 36 studenata pokazalo je da je prosječan broj udžbenika koje su pročitali tijekom akademske godine jednak 6. Uz pretpostavku da broj udžbenika koje student pročita po semestru ima normalan zakon raspodjele sa standardnom devijacijom jednakom 6, pronađite : A) s pouzdanošću od 0,99 intervalne procjene za matematičko očekivanje ove slučajne varijable; B) s kojom vjerojatnošću možemo reći da će prosječan broj udžbenika koje student pročita po semestru, izračunat iz ovog uzorka, odstupati od matematičkog očekivanja u apsolutnoj vrijednosti za najviše 2.

Klasifikacija intervala povjerenja

Prema vrsti parametra koji se procjenjuje:

Prema vrsti uzorka:

1. Interval pouzdanosti za beskonačan uzorak;
2. Interval pouzdanosti za konačni uzorak;

Uzorak se naziva ponovno uzorkovanje, ako se odabrani objekt vrati u populaciju prije odabira sljedećeg. Uzorak se naziva neponavljajući, ako se odabrani objekt ne vrati u populaciju. U praksi obično imamo posla s uzorcima koji se ne ponavljaju.

Izračun prosječne pogreške uzorkovanja za slučajno uzorkovanje

Razlika između vrijednosti pokazatelja dobivenih iz uzorka i odgovarajućih parametara opće populacije naziva se pogreška reprezentativnosti.
Oznake glavnih parametara opće i uzorkovane populacije.

Formule prosječne pogreške uzorkovanja
ponovni odabir		ponoviti odabir
za prosjek	za udio	za prosjek	za udio

Odnos između granice pogreške uzorkovanja (Δ) zajamčene s određenom vjerojatnošću R(t), a prosječna greška uzorkovanja ima oblik: ili Δ = t·μ, gdje t– koeficijent pouzdanosti, određen ovisno o razini vjerojatnosti P(t) prema tablici Laplaceove integralne funkcije.

Formule za izračunavanje veličine uzorka korištenjem metode isključivo slučajnog uzorkovanja

Jedna od metoda rješavanja statističkih problema je izračunavanje intervala pouzdanosti. Koristi se kao poželjna alternativa točkastoj procjeni kada je veličina uzorka mala. Treba napomenuti da je sam proces izračunavanja intervala pouzdanosti prilično složen. Ali alati programa Excel omogućuju vam da ga donekle pojednostavite. Pogledajmo kako se to radi u praksi.

Ova metoda se koristi za intervalnu procjenu različitih statističkih veličina. Glavni zadatak ovog izračuna je riješiti se nesigurnosti bodovne procjene.

U Excelu postoje dvije glavne opcije za izvođenje izračuna pomoću ove metode: kada je varijanca poznata i kada je nepoznata. U prvom slučaju funkcija se koristi za izračune POVJERENJE.NORMA, a u drugom - POVJERENIK.STUDENT.

Metoda 1: Funkcija NORMALNO POVJERENJE

Operater POVJERENJE.NORMA, koja pripada statističkoj skupini funkcija, prvi put se pojavila u Excelu 2010. Ranije verzije ovog programa koriste njegov analog POVJERENJE. Svrha ovog operatora je izračunati normalno raspodijeljeni interval pouzdanosti za srednju vrijednost populacije.

Sintaksa mu je sljedeća:

CONFIDENCE.NORM(alpha;standard_off;veličina)

"Alfa"— argument koji pokazuje razinu značajnosti koja se koristi za izračun razine pouzdanosti. Razina pouzdanosti jednaka je sljedećem izrazu:

(1-"Alfa")*100

"Standardna devijacija"- Ovo je svađa čija je suština jasna iz naziva. Ovo je standardna devijacija predloženog uzorka.

"Veličina"— argument koji definira veličinu uzorka.

Svi argumenti ovom operatoru su obavezni.

Funkcija POVJERENJE ima potpuno iste argumente i mogućnosti kao i prethodni. Njegova sintaksa je:

POVJERENJE(alfa, standardno_isključeno, veličina)

Kao što vidite, razlike su samo u nazivu operatera. Zbog kompatibilnosti ova je funkcija u programu Excel 2010 i novijim verzijama ostavljena u posebnoj kategoriji "Kompatibilnost". U verzijama Excela 2007 i starijim, prisutan je u glavnoj skupini statističkih operatora.

Granica intervala pouzdanosti određena je pomoću sljedeće formule:

X+(-)NORMA POVJERENJA

Gdje x je prosječna vrijednost uzorka, koja se nalazi u sredini odabranog raspona.

Sada pogledajmo kako izračunati interval pouzdanosti na konkretnom primjeru. Provedeno je 12 testova koji su rezultirali različitim rezultatima navedenim u tablici. Ovo je naša ukupnost. Standardna devijacija je 8. Moramo izračunati interval pouzdanosti na razini pouzdanosti od 97%.

1. Odaberite ćeliju u kojoj će biti prikazan rezultat obrade podataka. Kliknite na gumb "Umetni funkciju".



2. Pojavljuje se Čarobnjak za funkcije. Idi na kategoriju "Statistički" i označite ime "POVJERENJE.NORMA". Nakon toga kliknite na gumb "U REDU".



3. Otvara se prozor s argumentima. Njegova polja prirodno odgovaraju imenima argumenata.
   Postavite kursor u prvo polje - "Alfa". Ovdje treba naznačiti razinu značaja. Kao što se sjećamo, naša razina povjerenja je 97%. Istovremeno smo rekli da se izračunava na ovaj način:

   (1-razina povjerenja)/100

   Odnosno, zamjenom vrijednosti dobivamo:

   Jednostavnim izračunom saznajemo da argument "Alfa" jednaki 0,03 . Unesite ovu vrijednost u polje.

   Kao što je poznato, prema uvjetu standardna devijacija je jednaka 8 . Stoga se na terenu "Standardna devijacija" samo zapiši ovaj broj.

   U polju "Veličina" potrebno je unijeti broj izvedenih testnih elemenata. Kako se sjećamo, njihov 12 . Ali kako bismo automatizirali formulu i ne uređivali je svaki put kada provodimo novi test, postavimo ovu vrijednost ne običnim brojem, već pomoću operatora ČEK. Dakle, postavimo kursor u polje "Veličina", a zatim kliknite na trokut koji se nalazi lijevo od trake formule.

   Pojavljuje se popis nedavno korištenih funkcija. Ako operater ČEK koju ste nedavno koristili, trebala bi biti na ovom popisu. U ovom slučaju samo trebate kliknuti na njegovo ime. U suprotnom, ako ga ne pronađete, prijeđite na stvar "Ostale funkcije...".



4. Pojavljuje se jedan već poznati Čarobnjak za funkcije. Vratimo se opet grupi "Statistički". Tamo ističemo ime "ČEK". Kliknite na gumb "U REDU".



5. Pojavljuje se prozor s argumentima za gornju izjavu. Ova je funkcija dizajnirana za izračunavanje broja ćelija u određenom rasponu koje sadrže numeričke vrijednosti. Sintaksa mu je sljedeća:

   COUNT(vrijednost1,vrijednost2,…)

   Grupa argumenata "Vrijednosti" je referenca na raspon u kojem želite izračunati broj ćelija ispunjenih numeričkim podacima. Ukupno može biti do 255 takvih argumenata, ali u našem slučaju potreban nam je samo jedan.

   Postavite kursor u polje "Vrijednost1" i držeći lijevu tipku miša odaberite na listu raspon koji sadrži našu zbirku. Tada će njegova adresa biti prikazana u polju. Kliknite na gumb "U REDU".



6. Nakon toga aplikacija će izvršiti izračun i prikazati rezultat u ćeliji u kojoj se nalazi. U našem konkretnom slučaju formula je izgledala ovako:

   NORMA POVJERANJA(0,03;8;BROJ(B2:B13))

   Ukupni rezultat izračuna bio je 5,011609 .



7. Ali to nije sve. Kao što se sjećamo, granica intervala pouzdanosti izračunava se zbrajanjem i oduzimanjem rezultata izračuna od srednje vrijednosti uzorka POVJERENJE.NORMA. Na taj se način izračunavaju desna, odnosno lijeva granica intervala pouzdanosti. Sama sredina uzorka može se izračunati pomoću operatora PROSJEČAN.

   Ovaj je operator dizajniran za izračunavanje aritmetičke sredine odabranog raspona brojeva. Ima sljedeću prilično jednostavnu sintaksu:

   PROSJEČNO(broj1,broj2,…)

   Argument "Broj" može biti ili jedna brojčana vrijednost ili referenca na ćelije ili čak cijele raspone koji ih sadrže.

   Dakle, odaberite ćeliju u kojoj će biti prikazan izračun prosječne vrijednosti i kliknite na gumb "Umetni funkciju".



8. Otvara se Čarobnjak za funkcije. Da se vratim na kategoriju "Statistički" i odaberite ime s popisa "PROSJEČNO". Kao i uvijek, kliknite na gumb "U REDU".



9. Otvara se prozor s argumentima. Postavite kursor u polje "Broj 1" i držeći lijevu tipku miša odaberite cijeli raspon vrijednosti. Nakon što su koordinate prikazane u polju, kliknite na gumb "U REDU".



10. Nakon toga PROSJEČAN prikazuje rezultat izračuna u elementu lista.



11. Izračunavamo desnu granicu intervala pouzdanosti. Da biste to učinili, odaberite zasebnu ćeliju i stavite znak «=» te zbrojiti sadržaj elemenata lista u kojima se nalaze rezultati proračuna funkcija PROSJEČAN I POVJERENJE.NORMA. Za izračun pritisnite gumb Unesi. U našem slučaju dobili smo sljedeću formulu:

    Rezultat izračuna: 6,953276



12. Na isti način izračunavamo lijevu granicu intervala pouzdanosti, samo ovaj put iz rezultata izračuna PROSJEČAN oduzmite rezultat izračuna operatora POVJERENJE.NORMA. Rezultirajuća formula za naš primjer je sljedećeg tipa:

    Rezultat izračuna: -3,06994



13. Pokušali smo detaljno opisati sve korake za izračun intervala pouzdanosti, pa smo svaku formulu detaljno opisali. Ali možete kombinirati sve radnje u jednoj formuli. Izračun desne granice intervala pouzdanosti može se napisati na sljedeći način:

    PROSJEK(B2:B13)+POVJERENJE.NORMA(0,03;8;BROJ(B2:B13))



14. Sličan izračun za lijevu granicu izgledao bi ovako:

    PROSJEK(B2:B13)-POVJERENJE.NORMA(0,03;8;BROJ(B2:B13))

Metoda 2: Funkcija TRUST.STUDENT

Osim toga, Excel ima još jednu funkciju koja je povezana s izračunavanjem intervala pouzdanosti - POVJERENIK.STUDENT. Pojavio se samo u programu Excel 2010. Ovaj operator izračunava interval pouzdanosti populacije pomoću Studentove distribucije. Vrlo je prikladno koristiti kada su varijanca i, sukladno tome, standardna devijacija nepoznate. Sintaksa operatora je:

CONFIDENCE.STUDENT(alpha,standard_off,size)

Kao što vidite, nazivi operatera su u ovom slučaju ostali nepromijenjeni.

Pogledajmo kako izračunati granice intervala pouzdanosti s nepoznatom standardnom devijacijom na primjeru iste populacije koju smo razmatrali u prethodnoj metodi. Uzmimo razinu povjerenja kao prošli put na 97%.

1. Odaberite ćeliju u kojoj će se izvršiti izračun. Kliknite na gumb "Umetni funkciju".



2. U otvorenom Čarobnjak za funkcije idi na kategoriju "Statistički". Odaberite ime "STUDENT OD POVJERANJA". Kliknite na gumb "U REDU".



3. Pokreće se prozor s argumentima za navedeni operator.

   U polju "Alfa", s obzirom da je razina pouzdanosti 97%, zapisujemo broj 0,03 . Drugi put se nećemo zadržavati na načelima izračuna ovog parametra.

   Nakon toga postavite kursor u polje "Standardna devijacija". Ovog puta nam je ovaj pokazatelj nepoznat i treba ga izračunati. To se radi pomoću posebne funkcije - STDEV.V. Da biste otvorili prozor ovog operatora, kliknite na trokut lijevo od trake formule. Ako na popisu koji se otvori ne pronađemo željeni naziv, tada idemo na stavku "Ostale funkcije...".



4. Počinje Čarobnjak za funkcije. Prelazak na kategoriju "Statistički" i označite ime u njemu "STDEV.B". Zatim kliknite na gumb "U REDU".



5. Otvara se prozor s argumentima. Zadatak operatera STDEV.V je odrediti standardnu ​​devijaciju uzorka. Njegova sintaksa izgleda ovako:

   STANDARDNO ODSTUPANJE.B(broj1;broj2;…)

   Nije teško pogoditi da argument "Broj" je adresa elementa odabira. Ako je odabir smješten u jedno polje, tada možete koristiti samo jedan argument za pružanje veze na ovaj raspon.

   Postavite kursor u polje "Broj 1" i kao i uvijek držeći lijevu tipku miša odaberite kolekciju. Nakon što su koordinate u polju, nemojte žuriti s pritiskom na gumb "U REDU", budući da će rezultat biti netočan. Prvo se moramo vratiti u prozor s argumentima operatora POVJERENIK.STUDENT za dodavanje posljednjeg argumenta. Da biste to učinili, kliknite na odgovarajući naziv u traci formule.



6. Ponovno se otvara prozor s argumentima za već poznatu funkciju. Postavite kursor u polje "Veličina". Ponovno kliknite na trokut koji nam je već poznat da biste otišli na odabir operatora. Kao što razumijete, trebamo ime "ČEK". Budući da smo ovu funkciju koristili u izračunima u prethodnoj metodi, ona je prisutna na ovom popisu, pa samo kliknite na nju. Ako ga ne pronađete, slijedite algoritam opisan u prvoj metodi.



7. Jednom u prozoru argumenata ČEK, postavite kursor u polje "Broj 1" i s pritisnutom tipkom miša odaberite zbirku. Zatim kliknite na gumb "U REDU".



8. Nakon toga program izvodi izračun i prikazuje vrijednost intervala pouzdanosti.



9. Kako bismo odredili granice, ponovno ćemo morati izračunati srednju vrijednost uzorka. Ali, s obzirom da je algoritam izračuna pomoću formule PROSJEČAN isto kao u prethodnoj metodi, pa čak i rezultat se nije promijenio, nećemo se na ovome detaljnije zadržavati drugi put.



10. Zbrajanje rezultata izračuna PROSJEČAN I POVJERENIK.STUDENT, dobivamo pravu granicu intervala pouzdanosti.



11. Oduzimanje od rezultata izračuna operatora PROSJEČAN rezultat izračuna POVJERENIK.STUDENT, imamo lijevu granicu intervala pouzdanosti.



12. Ako je izračun napisan u jednoj formuli, tada će izračun desne granice u našem slučaju izgledati ovako:

    PROSJEK(B2:B13)+POVJERENJE.STUDENT(0,03,STDEV.B(B2:B13),BROJ(B2:B13))



13. Prema tome, formula za izračun lijeve granice izgledat će ovako:

    PROSJEK(B2:B13)-POVJERENJE.STUDENT(0,03,STDEV.B(B2:B13),BROJ(B2:B13))

Kao što vidite, Excel alati znatno olakšavaju izračunavanje intervala pouzdanosti i njegovih granica. U tu svrhu koriste se zasebni operatori za uzorke čija je varijanca poznata i nepoznata.