Zašto ne možete podijeliti s nulom? Školski tečaj matematike: zašto ne možete dijeliti s nulom u školi.

"Ne možete dijeliti s nulom!" - većina školaraca uči ovo pravilo napamet, bez postavljanja pitanja. Sva djeca znaju što je “Ne možeš” i što će se dogoditi ako kao odgovor na to pitaš: “Zašto?” Ali zapravo je vrlo zanimljivo i važno znati zašto ne možeš.

Stvar je u tome što su četiri aritmetičke operacije - zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje - zapravo nejednake. Matematičari priznaju samo dva od njih kao valjana - zbrajanje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključena su u samu definiciju pojma broja. Sve druge radnje izgrađene su na ovaj ili onaj način od ovo dvoje.

Na primjer, pogledat ćemo oduzimanje. Što znači 5 - 3? Učenik će na to odgovoriti jednostavno: treba uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri i vidjeti koliko ih je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju potpuno drugačije. Nema oduzimanja, ima samo zbrajanja. Prema tome, zapis 5 - 3 označava broj koji će, kada se zbroji s brojem 3, dati broj 5. To jest, 5 - 3 je jednostavno skraćeni zapis jednadžbe: x 3 = 5. Nema oduzimanja u ova jednadžba. Postoji samo zadatak - pronaći odgovarajući broj.

Isto je i s množenjem i dijeljenjem. Zapis 8:4 može se shvatiti kao rezultat dijeljenja osam predmeta na četiri jednake hrpe. Ali u stvarnosti, to je samo skraćeni oblik jednadžbe 4 * x = 8.

Tu postaje jasno zašto je nemoguće (ili bolje rečeno nemoguće) dijeliti s nulom. Snimanje 5: 0 je skraćenica za 0 * x = 5. To jest, ovaj zadatak je pronaći broj koji će, kada se pomnoži s 0, dati 5. Ali znamo da kada se pomnoži s 0, uvijek dobijemo 0. Ovo je inherentno svojstvo nule, strogo govoreći, dio njegove definicije.

Ne postoji takav broj koji će pomnožen s 0 dati nešto drugo osim nule. Odnosno, naš problem nema rješenja. (Da, to se događa; nema svaki problem rješenje.) To znači da unos 5:0 ne odgovara nijednom određenom broju i jednostavno ne znači ništa, pa samim time nema ni značenja. Besmislenost ovog unosa ukratko je izražena time da se ne može dijeliti s nulom.

Najpažljiviji čitatelji na ovom mjestu sigurno će se zapitati: je li moguće podijeliti nulu s nulom? Zapravo, jednadžba 0 * x = 0 može se sigurno riješiti. Na primjer, možemo uzeti x = 0, i tada dobivamo 0 * 0 = 0. Dakle, 0: 0=0? Ali nemojmo žuriti. Pokušajmo uzeti x = 1. Dobit ćemo 0 * 1 = 0. zar ne? Znači 0:0 = 1? Ali na ovaj način možete uzeti bilo koji broj i dobiti 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, itd.

Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga odabrati bilo koji od njih. Odnosno, ne možemo reći kojem broju odgovara unos 0 : 0. A ako je tako, onda smo prisiljeni priznati da ni ovaj unos nema smisla. Ispada da se ni nula ne može podijeliti s nulom. (U matematičkoj analizi postoje slučajevi kada se, zahvaljujući dodatnim uvjetima problema, može dati prednost jednom od mogućih rješenja jednadžbe 0 * x = 0; u takvim slučajevima matematičari govore o "Otkrivanju nesigurnosti", no u aritmetici se takvi slučajevi ne događaju.To je osobitost Postoje operacije dijeljenja, točnije, operacija množenja i njoj pridruženi broj imaju nulu.

Pa, oni najpedantniji, pročitavši dovde, mogu se zapitati: zašto se događa da ne možete podijeliti s nulom, ali možete oduzeti nulu? U neku ruku, tu počinje prava matematika. Na njega možete odgovoriti samo ako se upoznate s formalnim matematičkim definicijama numeričkih skupova i operacija nad njima. Nije tako teško, ali iz nekog razloga to se ne uči u školi. Ali na predavanjima iz matematike na fakultetu, prije svega će vas naučiti upravo to.

Ne možeš dijeliti s nulom!" - Većina školaraca ovo pravilo nauči napamet, bez pitanja. Sva djeca znaju što je "ne možeš" i što će se dogoditi ako kao odgovor na to pitaš: "Zašto?" No zapravo je vrlo zanimljivo i važno znati zašto to nije moguće.
Stvar je u tome što su četiri aritmetičke operacije - zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje - zapravo nejednake. Matematičari priznaju samo dva od njih kao valjana - zbrajanje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključena su u samu definiciju pojma broja. Sve druge radnje izgrađene su na ovaj ili onaj način od ovo dvoje.

Razmotrimo, na primjer, oduzimanje. Što znači 5 – 3? Učenik će na to odgovoriti jednostavno: treba uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri i vidjeti koliko ih je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju potpuno drugačije. Nema oduzimanja, ima samo zbrajanja. Dakle, zapis 5 – 3 označava broj koji će, kada se zbroji s brojem 3, dati broj 5. Odnosno, 5 – 3 je jednostavno skraćeni zapis jednadžbe: x + 3 = 5. Nema oduzimanja u ovoj jednadžbi. Postoji samo zadatak - pronaći odgovarajući broj.

Isto je i s množenjem i dijeljenjem. Zapis 8:4 može se shvatiti kao rezultat dijeljenja osam predmeta na četiri jednake hrpe. Ali to je zapravo samo skraćeni oblik jednadžbe 4 x = 8.

Tu postaje jasno zašto je nemoguće (ili bolje rečeno nemoguće) dijeliti s nulom. Snimanje 5: 0 je skraćenica za 0 x = 5. To jest, ovaj zadatak je pronaći broj koji će, kada se pomnoži s 0, dati 5. Ali znamo da kada se pomnoži s 0, rezultat je uvijek 0. Ovo je inherentno svojstvo nule, strogo govoreći, dio njegove definicije.

Ne postoji takav broj koji će pomnožen s 0 dati nešto drugo osim nule. Odnosno, naš problem nema rješenja. (Da, to se događa; nema svaki problem rješenje.) To znači da unos 5:0 ne odgovara nijednom određenom broju, te jednostavno ne znači ništa pa stoga nema nikakvog značenja. Besmislenost ovog unosa ukratko je izražena time da se ne može dijeliti s nulom.

Najpažljiviji čitatelji na ovom mjestu sigurno će se zapitati: je li moguće podijeliti nulu s nulom? Doista, jednadžba 0 x = 0 može se sigurno riješiti. Na primjer, možemo uzeti x = 0, i tada dobivamo 0 · 0 = 0. Dakle, 0: 0=0? Ali nemojmo žuriti. Pokušajmo uzeti x = 1. Dobit ćemo 0 · 1 = 0. Točno? Znači 0:0 = 1? Ali na ovaj način možete uzeti bilo koji broj i dobiti 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, itd.
Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga odabrati bilo koji od njih. Odnosno, ne možemo reći kojem broju odgovara unos 0:0, a ako je tako, onda smo prisiljeni priznati da ni taj unos nema smisla. Ispada da se ni nula ne može podijeliti s nulom. (U matematičkoj analizi postoje slučajevi kada se zbog dodatnih uvjeta problema može dati prednost jednom od mogućih rješenja jednadžbe 0 x = 0; u takvim slučajevima matematičari govore o „otkrivanju nesigurnosti“, ali takva padeži se ne pojavljuju u aritmetici.)
To je osobitost operacije dijeljenja. Točnije, operacija množenja i s njom povezan broj imaju nulu.

Pa, oni najpedantniji, pročitavši dovde, mogu se zapitati: zašto se događa da ne možete podijeliti s nulom, ali možete oduzeti nulu? U neku ruku, tu počinje prava matematika. Na njega možete odgovoriti samo ako se upoznate s formalnim matematičkim definicijama numeričkih skupova i operacija nad njima. Nije tako teško, ali iz nekog razloga to se ne uči u školi. Ali na predavanjima iz matematike na sveučilištu, to je ono što će vas prije svega naučiti.

Dijeljenje s 0 postavlja mnoga pitanja kod onih koji su studirali matematiku i imali dodira s njom tek u fazi školskog obrazovanja. U trenutku kada dijete počinje učiti operacije množenja i općenito dijeljenja dolazi do dijeljenja s nulom. U ovom trenutku učiteljica najčešće kaže da se ne može dijeliti s nulom i... to je to.

Objašnjenja su u ovoj fazi gotova. To je nemoguće, čak i ako puknete

Učenik je suočen s dilemom - vjerovati učiteljima na riječ i jednostavno napisati da nema odgovora u primjeru gdje dolazi do takve operacije ili pokušati razumjeti tu problematiku. Ali većina roditelja, koji su davno završili školu i sigurno bacili u smeće svojih mozgova sva znanja koja su im tijekom školovanja nabijena (osim onih koja su im barem nekako koristila u životu), također ne mogu stvarno pomoći u ovom pitanju. A rješenje je relativno jednostavno. Dobro je ako učitelj pristupi pitanju zašto ne možete dijeliti s nulom iz kreativne perspektive. Da biste to učinili, bit će dovoljno izvršiti uobičajene operacije s jasnom demonstracijom procesa. O čemu pričamo?

Demonstracija različitih operacija dijeljenja pomoću akcija koje svatko može razumjeti

Možete uzeti nekoliko jabuka, recimo šest, i objasniti da je 6 broj koji treba podijeliti, odnosno prema matematičkim pojmovima koje ste naučili, to je dividenda.

Učitelj stoji kraj ploče, a na stolu ispred njega je 6 jabuka. Zatim pozove dvoje ljudi iz razreda i podijeli im te jabuke na jednake dijelove. Odnosno, dvije osobe u ovom slučaju djeluju kao djelitelj - broj kojim treba podijeliti dividendu. Učitelj daje po tri jabuke svakom učeniku. Odnosno, proces podjele događa se upravo kada je učiteljica predala jabuke učenicima u ruke. A tri jabuke u rukama svakog djeteta količnik su dijeljenja.

Dijeljenje nule brojem - demonstracija nastanka procesa

Pitanje zašto ne možete podijeliti s nulom proizlazi iz suprotne situacije - zašto možete podijeliti nulu s brojem? Sada smo pametni i znamo da se svaki broj može podijeliti s drugim, a podijelit će se s cijelim ili će se pojaviti razlomak, ili čak negativni predznak, korijen ili broj Pi - sve je moguće. Ali postoji misterij s nulom i to je to.

Što se događa kada nulu podijelite s brojem?

Da bismo objasnili da ne možete dijeliti s nulom, prvo pogledajmo što se događa kada se 0 podijeli s određenim brojem. Isti učitelj stoji kraj ploče, a na njegovom stolu nema ničega. Pred njim je praznina, nula. Kada mu učenici priđu i ispruže ruke kako bi primili svoj kvocijent, učitelj mu taj kvocijent podijeli jednostavnim dodirivanjem dlanova. Odnosno, imao je jedno veliko ništa, a ovo ništa je dao dvojici učenika. Dakle, postaje jasno da se dijeljenje nule s bilo kojim brojem odvija, jer se proces prijenosa dogodio. Jedina je razlika što s nultim rezultatom.

Slučaj treći

Treba izvesti sličnu treću situaciju kako bi se pokazalo zašto je nemoguće dijeliti s nulom. Učitelj opet ima istih šest jabuka u rukama ili na stolu ispred sebe kao u prvoj situaciji. Ali mi dijelimo s nulom, pa mu nitko ne dolazi po jabuke.

Odnosno, ona dva studenta koja su se pojavila ranije u prvoj situaciji predstavljala su broj 2. Za predstavljanje broja 0 ispada da se nitko ne bi trebao pojaviti. Kao što se sjećamo, upravo je prijenos jabuka iz ruku učitelja u ruke učenika proces podjele. Ali sada nema studenata, a proces podjele se ne događa nikome. Zbog toga ispada da je dijeljenje s nulom nemoguće. Za djecu na školskoj razini ovo je elementarno objašnjenje.

Jednostavno i lako za objasniti. A onda neka to isto učine i nastavnici instituta

Nakon ulaska u visokoškolsku ustanovu i proučavanja koncepta granice, na primjer, pitanje zašto se ne može dijeliti s nulom uklanja se, jer se ispostavlja da se to može učiniti. Dijeljenje nečega s nulom rezultira beskonačnošću, neizvjesnošću.

Beskonačna dimenzija takvog rezultata još nije u potpunosti utvrđena, a osoba koja nema posebno matematičko obrazovanje ne može razumjeti zašto je to potrebno, koji su ciljevi bili pri rješavanju ove operacije i što to daje općenito . Ali za učenike školske dobi gore opisano objašnjenje sasvim je dovoljno da zadovolji njihovu želju da shvate zašto je još uvijek nemoguće dijeliti s nulom - ne samo izgovorite i suočite djecu s činjenicom, već im dajte zanimljivo i zabavno objašnjenje .

Zašto ne možete dijeliti s nulom? "Ne možete dijeliti s nulom!" - Većina školaraca ovo pravilo nauči napamet, bez pitanja. Sva djeca znaju što je "ne možeš" i što će se dogoditi ako kao odgovor na to pitaš: "Zašto?" No zapravo je vrlo zanimljivo i važno znati zašto to nije moguće. Stvar je u tome što su četiri aritmetičke operacije - zbrajanje, oduzimanje, množenje i dijeljenje - zapravo nejednake. Matematičari priznaju samo dva od njih kao valjana - zbrajanje i množenje. Ove operacije i njihova svojstva uključena su u samu definiciju pojma broja. Sve druge radnje izgrađene su na ovaj ili onaj način od ovo dvoje. Razmotrimo, na primjer, oduzimanje. Što znači 5 – 3? Učenik će na to odgovoriti jednostavno: treba uzeti pet predmeta, oduzeti (ukloniti) tri i vidjeti koliko ih je ostalo. Ali matematičari na ovaj problem gledaju potpuno drugačije. Nema oduzimanja, ima samo zbrajanja. Dakle, zapis 5 – 3 označava broj koji će, kada se zbroji s brojem 3, dati broj 5. Odnosno, 5 – 3 je jednostavno skraćeni zapis jednadžbe: x + 3 = 5. Nema oduzimanja u ovoj jednadžbi. Postoji samo zadatak - pronaći odgovarajući broj.Isto je i s množenjem i dijeljenjem. Zapis 8:4 može se shvatiti kao rezultat dijeljenja osam predmeta na četiri jednake hrpe. Ali to je zapravo samo skraćeni oblik jednadžbe 4 x = 8.Tu postaje jasno zašto je nemoguće (ili bolje rečeno nemoguće) dijeliti s nulom. Snimanje 5: 0 je skraćenica za 0 x = 5. To jest, ovaj zadatak je pronaći broj koji će, kada se pomnoži s 0, dati 5. Ali znamo da kada se pomnoži s 0, rezultat je uvijek 0. Ovo je inherentno svojstvo nule, strogo govoreći, dio njegove definicije.Ne postoji takav broj koji će pomnožen s 0 dati nešto drugo osim nule. Odnosno, naš problem nema rješenja. (Da, to se događa; nema svaki problem rješenje.) To znači da unos 5:0 ne odgovara nijednom određenom broju, te jednostavno ne znači ništa pa stoga nema nikakvog značenja. Besmislenost ovog unosa ukratko je izražena time da se ne može dijeliti s nulom.Najpažljiviji čitatelji na ovom mjestu sigurno će se zapitati: je li moguće podijeliti nulu s nulom? Doista, jednadžba 0 x = 0 može se sigurno riješiti. Na primjer, možemo uzeti x = 0, i tada dobivamo 0 · 0 = 0. Dakle, 0: 0=0? Ali nemojmo žuriti. Pokušajmo uzeti x = 1. Dobit ćemo 0 · 1 = 0. Točno? Znači 0:0 = 1? Ali na ovaj način možete uzeti bilo koji broj i dobiti 0: 0 = 5, 0: 0 = 317, itd.Ali ako je bilo koji broj prikladan, onda nemamo razloga odabrati bilo koji od njih. Odnosno, ne možemo reći kojem broju odgovara unos 0:0, a ako je tako, onda smo prisiljeni priznati da ni taj unos nema smisla. Ispada da se ni nula ne može podijeliti s nulom. (U matematičkoj analizi postoje slučajevi kada se zbog dodatnih uvjeta problema može dati prednost jednom od mogućih rješenja jednadžbe 0 x = 0; u takvim slučajevima matematičari govore o „otkrivanju nesigurnosti“, ali takva padeži se ne pojavljuju u aritmetici.) To je osobitost operacije dijeljenja. Točnije, operacija množenja i s njom povezan broj imaju nulu. Pa, oni najpedantniji, pročitavši dovde, mogu se zapitati: zašto se događa da ne možete podijeliti s nulom, ali možete oduzeti nulu? U neku ruku, tu počinje prava matematika. Na njega možete odgovoriti samo ako se upoznate s formalnim matematičkim definicijama numeričkih skupova i operacija nad njima. Nije tako teško, ali iz nekog razloga to se ne uči u školi. Ali na predavanjima iz matematike na sveučilištu, to je ono što će vas prije svega naučiti.

Svi ili gotovo svi iz školskog programa znaju da je nemoguće napraviti nulu. Istina, to nam je predstavljeno kao aksiom, kažu, nemoguće je i točka. Ali zašto ne i što će se dogoditi ako pokušate? Nije svaki učitelj u školi u stanju odgovoriti na takvo pitanje.

Pa zašto ne možete podijeliti s nulom?

Poznato je da je dijeljenje, kao takvo, jedna od četiri glavne aritmetičke metode manipuliranja brojevima. Ostala tri su oduzimanje, zbrajanje i množenje. Međutim, znanstvenici samo dva od njih smatraju punopravnim, pa je stoga prioritet veći. Oni od nas koji su nakon škole išli studirati na sveučilišta i institute, drugim riječima, na visoko obrazovanje, naučili smo da se u principu može dijeliti s nulom, ali rezultat je beskonačan. Ispada čudno da ako pomnožite s nulom, rezultat postaje ništa, odnosno sama nula, ali ako podijelite s njom, dobivate beskonačnost, što je ljudskom mozgu teško pojmiti, a označeno je posebnom ikonom u oblik osmice koja leži na boku.

Pa zašto ne? Dakle, bilo koji broj podijeljen s nulom može se napisati obrnutim redoslijedom. Drugim riječima, ako bi se kao rezultat takvog dijeljenja teoretski dobio određeni broj, nazovimo ga A, onda da bismo radnju zapisali obrnutim redoslijedom, A mora biti takav da se nakon množenja s nulom dobije broj koji dijeli. Ali dobro je poznato da svaki broj pomnožen s nulom daje zbroj nula, jer se uzima nula puta, to jest ne jednom. Rezultat bilo kojeg izraza može se kombinirati u ovu formulu:

(Bilo koji broj) / 0 = beskonačno.

Zanimljivo je da se matematički pojam "beskonačnost" razlikuje od filozofske verzije. Ova se količina može mjeriti čisto teoretski, dakle, nema granica, ali ima, takoreći, volumen.

Izolirani slučaj

Vrlo poseban slučaj je dijeljenje nule s nulom, jer u ovom slučaju, teoretski, rezultat radnje može biti bilo što. Ali onda postoji beskonačan broj odgovora na ovo pitanje, pa prema tome odgovor zvuči još istinitije: beskonačno.

Apsolutno nema potrebe da školarci objašnjavaju sve te suptilnosti, osim toga, djetetov um ne percipira i ne zamišlja dobro složen pojam "beskonačnost", stoga je mnogo lakše i još učinkovitije uspostaviti zabranu ove radnje. To je slično kao što se djeci prvo zabranjuje, a tek onda, kako odrastaju, objašnjava se priroda svakog konkretnog “ne”.

Znaš li?

• Žirafa se smatra najvišom životinjom na svijetu, njegova visina doseže 5,5 metara. Uglavnom zbog dugog vrata. Unatoč činjenici da je u [...]
• Mnogi će se složiti da žene u ovom položaju postaju posebno praznovjerne, podložnije su od drugih svim vrstama praznovjerja i […]
• Rijetko se može sresti osoba kojoj ružin grm nije lijep. Ali, u isto vrijeme, to je opće poznato. Da su takve biljke prilično nježne [...]
• Svatko tko sa sigurnošću može reći da ne zna da muškarci gledaju porno filmove, lagat će na najgrublji način. Naravno da izgledaju, samo [...]
• Vjerojatno ne postoji internetska stranica ili forum o automobilima na svjetskoj mreži gdje bi se moglo postaviti pitanje o […]
• Vrabac je prilično uobičajena ptica u svijetu male veličine i šarene boje. No, njegova posebnost leži u činjenici da [...]
• Smijeh i suze, odnosno plač, dvije su izravno suprotne emocije. Ono što se zna o njima je da su obje urođene, a ne [...]