Metoda varijacije proizvoljnih konstanti. ODA

Razmotrimo sada linearnu nehomogenu jednadžbu
. (2)
Neka je y 1 ,y 2 ,.., y n temeljni sustav rješenja i neka je opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe L(y)=0. Slično kao u slučaju jednadžbi prvog reda, tražit ćemo rješenje jednadžbe (2) u obliku
. (3)
Uvjerimo se da rješenje u ovom obliku postoji. Da bismo to učinili, zamijenimo funkciju u jednadžbu. Da bismo ovu funkciju zamijenili u jednadžbi, nalazimo njezine derivacije. Prva derivacija je jednaka
. (4)
Pri računanju druge derivacije s desne strane (4) pojavit će se četiri člana, pri računanju treće derivacije osam članova i tako dalje. Stoga je, radi lakšeg daljnjeg izračuna, prvi član u (4) postavljen jednak nuli. Uzimajući ovo u obzir, drugi izvod je jednak
. (5)
Iz istih razloga kao i prije, u (5) također smo postavili prvi član jednak nuli. Konačno, n-ti izvod je
. (6)
Zamjenom dobivenih vrijednosti izvedenica u izvornu jednadžbu, imamo
. (7)
Drugi član u (7) jednak je nuli, jer su funkcije y j , j=1,2,..,n, rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe L(y)=0. Kombinirajući s prethodnim, dobivamo sustav algebarskih jednadžbi za pronalaženje funkcija C" j (x)
(8)
Determinanta ovog sustava je Wronskijeva determinanta temeljnog sustava rješenja y 1 ,y 2 ,..,y n odgovarajuće homogene jednadžbe L(y)=0 i stoga nije jednaka nuli. Posljedično, postoji jedinstveno rješenje sustava (8). Pronašavši ga, dobivamo funkcije C" j (x), j=1,2,…,n, i, prema tome, C j (x), j=1,2,…,n Zamjenjujući ove vrijednosti u (3), dobivamo rješenje linearne nehomogene jednadžbe.
Prikazana metoda naziva se metoda varijacije proizvoljne konstante ili Lagrangeova metoda.

Maksimalni stupanj derivacije 2 3 4 5 6

Primjer br. 1. Nađimo opće rješenje jednadžbe y"" + 4y" + 3y = 9e -3 x. Promotrimo odgovarajuću homogenu jednadžbu y"" + 4y" + 3y = 0. Korijeni njezine karakteristične jednadžbe r 2 + 4r + 3 = 0 jednaki su -1 i -3. Stoga temeljni sustav rješenja homogene jednadžbe čine funkcije y 1 = e - x i y 2 = e -3 x. Rješenje nehomogene jednadžbe tražimo u obliku y = C 1 (x)e - x + C 2 (x)e -3 x. Da bismo pronašli derivacije C" 1 , C" 2 sastavljamo sustav jednadžbi (8)

rješavajući koje, nalazimo , Integrirajući dobivene funkcije, imamo
Napokon dobivamo

Primjer br. 2. Riješite linearne diferencijalne jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima koristeći metodu variranja proizvoljnih konstanti:

y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Riješenje:
Ova diferencijalna jednadžba odnosi se na linearne diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima.
Rješenje jednadžbe ćemo tražiti u obliku y = e rx. Da bismo to učinili, sastavljamo karakterističnu jednadžbu linearne homogene diferencijalne jednadžbe s konstantnim koeficijentima:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2 - 4 1 8 = 4

Korijeni karakteristične jednadžbe: r 1 = 4, r 2 = 2
Prema tome, temeljni sustav rješenja sastoji se od funkcija:
y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
Opće rješenje homogene jednadžbe ima oblik:

Traženje određenog rješenja metodom variranja proizvoljne konstante.
Da bismo pronašli derivacije od C" i sastavljamo sustav jednadžbi:

C" 1 (4e 4x) + C" 2 (2e 2x) = 4/(2+e -2x)
Izrazimo C" 1 iz prve jednadžbe:
C" 1 = -c 2 e -2x
i zamijeniti ga u drugi. Kao rezultat dobivamo:
C" 1 = 2/(e 2x +2e 4x)
C" 2 = -2e 2x /(e 2x +2e 4x)
Dobivene funkcije C" i integriramo:
C 1 = 2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1
C 2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2

Jer , tada dobivene izraze zapisujemo u obliku:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Dakle, opće rješenje diferencijalne jednadžbe ima oblik:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
ili
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x

Nađimo određeno rješenje pod uvjetom:
y(0) =1 + 3ln3
y’(0) = 10ln3

Zamjenom x = 0 u pronađenu jednadžbu dobivamo:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Nalazimo prvu derivaciju dobivenog općeg rješenja:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Zamjenom x = 0 dobivamo:
y’(0) = 2(2C 1 + C 2 +4 ln(3)+ ln(3)-2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3

Dobivamo sustav od dvije jednadžbe:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln(3) -4 = 10ln3
ili
C*1+C*2=2
4C 1 + 2C 2 = 4
ili
C*1+C*2=2
2C 1 + C 2 = 2
Gdje:
C 1 = 0, C * 2 = 2
Privatno rješenje bit će napisano kao:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x

Predavanje 44. Linearne nehomogene jednadžbe drugog reda. Metoda varijacije proizvoljnih konstanti. Linearne nehomogene jednadžbe drugog reda s konstantnim koeficijentima. (posebna desna strana).

Društvene transformacije. Država i crkva.

Socijalna politika boljševika bila je uvelike diktirana njihovim klasnim pristupom. Dekretom od 10. studenog 1917. uništen je klasni sustav, ukinuti su predrevolucionarni činovi, naslovi i nagrade. Utvrđen je izbor sudaca; provedena je sekularizacija građanskih država. Uspostavljeno je besplatno školstvo i medicinska skrb (dekret od 31. listopada 1918.). Žene su dobile jednaka prava s muškarcima (dekreti od 16. i 18. prosinca 1917.). Dekretom o ženidbi uveden je institut građanskog braka.

Dekretom Vijeća narodnih komesara od 20. siječnja 1918. crkva je odvojena od države i od školstva. Većina crkvene imovine je konfiscirana. Patrijarh moskovski i cijele Rusije Tihon (izabran 5. studenog 1917.) 19. siječnja 1918. anatemizirao je sovjetsku vlast i pozvao na borbu protiv boljševika.

Razmotrimo linearnu nehomogenu jednadžbu drugog reda

Struktura općeg rješenja takve jednadžbe određena je sljedećim teoremom:

Teorem 1. Opće rješenje nehomogene jednadžbe (1) predstavlja se kao zbroj nekog posebnog rješenja te jednadžbe i općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe

(2)

Dokaz. Potrebno je dokazati da iznos

je opće rješenje jednadžbe (1). Dokažimo najprije da je funkcija (3) rješenje jednadžbe (1).

Zamjenom zbroja u jednadžbu (1) umjesto na, imat će

Budući da postoji rješenje jednadžbe (2), izraz u prvim zagradama identički je jednak nuli. Budući da postoji rješenje jednadžbe (1), izraz u drugim zagradama jednak je f(x). Dakle, jednakost (4) je identitet. Dakle, prvi dio teorema je dokazan.

Dokažimo drugu tvrdnju: izraz (3) je Općenito rješenje jednadžbe (1). Moramo dokazati da se proizvoljne konstante uključene u ovaj izraz mogu odabrati tako da su početni uvjeti zadovoljeni:

(5)

kakvi god brojevi bili x 0, y 0 i (ako samo x 0 preuzet je s područja gdje funkcionira a 1, a 2 I f(x) stalan).

Uočivši da se može prikazati u obliku . Tada ćemo na temelju uvjeta (5) imati

Riješimo ovaj sustav i odredimo C 1 I C 2. Prepišimo sustav u obliku:

(6)

Imajte na umu da je determinanta ovog sustava Wronskijeva determinanta za funkcije u 1 I u 2 u točki x=x 0. Budući da su te funkcije linearno neovisne po uvjetu, Wronskijeva determinanta nije jednaka nuli; stoga sustav (6) ima definitivno rješenje C 1 I C 2, tj. postoje takva značenja C 1 I C 2, pod kojom formula (3) određuje rješenje jednadžbe (1) koje zadovoljava zadane početne uvjete. Q.E.D.

Prijeđimo na opću metodu pronalaženja parcijalnih rješenja nehomogene jednadžbe.

Napišimo opće rješenje homogene jednadžbe (2)

. (7)

Pojedinačno rješenje nehomogene jednadžbe (1) tražit ćemo u obliku (7), uzimajući u obzir C 1 I C 2 poput nekih još nepoznatih funkcija iz X.

Razlikujmo jednakost (7):

Odaberimo funkcije koje tražite C 1 I C 2 tako da jednakost vrijedi

. (8)

Ako uzmemo u obzir ovaj dodatni uvjet, tada će prva derivacija imati oblik

.

Razlikujući sada ovaj izraz, nalazimo:

Zamjenom u jednadžbu (1) dobivamo

Izrazi u prve dvije zagrade postaju nula, jer y 1 I y 2– rješenja homogene jednadžbe. Stoga posljednja jednakost poprima oblik

. (9)

Dakle, funkcija (7) će biti rješenje nehomogene jednadžbe (1) ako su funkcije C 1 I C 2 zadovoljavaju jednadžbe (8) i (9). Kreirajmo sustav jednadžbi iz jednadžbi (8) i (9).

Budući da je determinanta ovog sustava Wronskijeva determinanta za linearno nezavisna rješenja y 1 I y 2 jednadžba (2), onda nije jednaka nuli. Dakle, rješavajući sustav, naći ćemo obje određene funkcije od x.

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti koristi se za rješavanje nehomogenih diferencijalnih jednadžbi. Ova je lekcija namijenjena onim studentima koji su već više ili manje upućeni u temu. Ako se tek počinjete upoznavati s daljinskim upravljanjem, tj. Ako ste čajnik, preporučujem da počnete s prvom lekcijom: Diferencijalne jednadžbe prvog reda. Primjeri rješenja. A ako već završavate, odbacite moguću predrasudu da je metoda teška. Jer je jednostavno.

U kojim slučajevima se koristi metoda varijacije proizvoljnih konstanti?

1) Za rješavanje se može koristiti metoda varijacije proizvoljne konstante linearna nehomogena DE 1. reda. Kako je jednadžba prvog reda, onda je i konstanta jedan.

2) Za rješavanje nekih koristi se metoda varijacije proizvoljnih konstanti linearne nehomogene jednadžbe drugog reda. Ovdje se razlikuju dvije konstante.

Logično je pretpostaviti da će se lekcija sastojati od dva odlomka... Tako sam napisao ovu rečenicu i oko 10 minuta sam bolno razmišljao koje bih još pametne gluposti mogao dodati za glatki prijelaz na praktične primjere. Ali iz nekog razloga nemam nikakvih misli nakon praznika, iako se čini da nisam ništa zloupotrijebio. Stoga, prijeđimo odmah na prvi odlomak.

Metoda varijacije proizvoljne konstante
za linearnu nehomogenu jednadžbu prvog reda

Prije razmatranja metode varijacije proizvoljne konstante, preporučljivo je upoznati se s člankom Linearne diferencijalne jednadžbe prvog reda. U toj smo lekciji vježbali prvo rješenje nehomogen DE 1. reda. Ovo prvo rješenje, podsjećam, zove se način zamjene ili Bernoullijeva metoda(ne smije se brkati s Bernoullijeva jednadžba!!!)

Sada ćemo pogledati drugo rješenje– metoda varijacije proizvoljne konstante. Navest ću samo tri primjera, a uzet ću ih iz gore navedene lekcije. Zašto tako malo? Jer zapravo će rješenje na drugi način biti vrlo slično rješenju na prvi način. Osim toga, prema mojim zapažanjima, metoda varijacije proizvoljnih konstanti koristi se rjeđe od metode zamjene.

Primjer 1

(Razlika od primjera br. 2 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)

Riješenje: Ova jednadžba je linearno nehomogena i ima poznati oblik:

U prvoj fazi potrebno je riješiti jednostavniju jednadžbu:
Odnosno, glupo resetiramo desnu stranu i umjesto toga pišemo nulu.
Jednadžba nazvat ću pomoćna jednadžba.

U ovom primjeru trebate riješiti sljedeću pomoćnu jednadžbu:

Prije nas odvojiva jednadžba, čije vam rješenje (nadam se) više nije teško:

Tako:
– opće rješenje pomoćne jednadžbe.

Na drugom koraku mi ćemo zamijeniti neka konstanta zasad nepoznata funkcija koja ovisi o "x":

Otuda i naziv metode - mijenjamo konstantu. Alternativno, konstanta bi mogla biti neka funkcija koju sada moramo pronaći.

U izvornik nehomogena jednadžba napravimo zamjenu:

Zamijenimo i u jednadžbu :

Kontrolna točka – poništavaju se dva člana s lijeve strane. Ako se to ne dogodi, trebate potražiti gornju pogrešku.

Kao rezultat zamjene, dobivena je jednadžba sa separabilnim varijablama. Odvajamo varijable i integriramo.

Kakav blagoslov, eksponenti također poništavaju:

Dodajemo "normalnu" konstantu pronađenoj funkciji:

U završnoj fazi sjećamo se naše zamjene:

Funkcija je upravo pronađena!

Dakle, opće rješenje je:

Odgovor: zajednička odluka:

Ako ispišete dva rješenja, lako ćete uočiti da smo u oba slučaja našli iste integrale. Jedina razlika je u algoritmu rješenja.

Sada za nešto kompliciranije, komentirat ću i drugi primjer:

Primjer 2

Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe
(Razlika od primjera br. 8 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)

Riješenje: Svedimo jednadžbu na oblik :

Ponovno postavimo desnu stranu i riješimo pomoćnu jednadžbu:

Opće rješenje pomoćne jednadžbe:

U nehomogenoj jednadžbi vršimo zamjenu:

Prema pravilu razlikovanja proizvoda:

Zamijenimo i u izvornu nehomogenu jednadžbu:

Dva člana s lijeve strane se poništavaju, što znači da smo na pravom putu:

Integrirajmo po dijelovima. Ukusno slovo iz formule integracije po dijelovima već je uključeno u rješenje, pa koristimo, na primjer, slova "a" i "be":

Sada se prisjetimo zamjene:

Odgovor: zajednička odluka:

I jedan primjer za samostalno rješenje:

Primjer 3

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara zadanom početnom uvjetu.

,
(Razlika od primjera br. 4 lekcije Linearne nehomogene diferencijalne jednadžbe 1. reda)
Riješenje:
Ovaj DE je linearno nehomogen. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti. Riješimo pomoćnu jednadžbu:

Odvajamo varijable i integriramo:

Uobičajena odluka:
U nehomogenoj jednadžbi vršimo zamjenu:

Izvršimo zamjenu:

Dakle, opće rješenje je:

Nađimo određeno rješenje koje odgovara zadanom početnom uvjetu:

Odgovor: privatno rješenje:

Rješenje na kraju lekcije može poslužiti kao primjer za izradu zadatka.

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti
za linearnu nehomogenu jednadžbu drugog reda
s konstantnim koeficijentima

Često sam čuo mišljenje da metoda variranja proizvoljnih konstanti za jednadžbu drugog reda nije laka stvar. Ali pretpostavljam sljedeće: najvjerojatnije se mnogima metoda čini teškom jer se ne pojavljuje tako često. Ali u stvarnosti nema posebnih poteškoća - tijek odluke je jasan, transparentan i razumljiv. I lijep.

Za svladavanje metode poželjno je znati rješavati nehomogene jednadžbe drugog reda odabirom pojedinog rješenja na temelju oblika desne strane. Ova se metoda detaljno raspravlja u članku. Nehomogene DE 2. reda. Podsjećamo da linearna nehomogena jednadžba drugog reda s konstantnim koeficijentima ima oblik:

Metoda odabira, o kojoj je bilo riječi u gornjoj lekciji, funkcionira samo u ograničenom broju slučajeva kada desna strana sadrži polinome, eksponencijale, sinuse i kosinuse. Ali što učiniti kada je s desne strane, na primjer, razlomak, logaritam, tangens? U takvoj situaciji u pomoć dolazi metoda varijacije konstanti.

Primjer 4

Pronađite opće rješenje diferencijalne jednadžbe drugog reda

Riješenje: Na desnoj strani ove jednadžbe nalazi se razlomak, pa odmah možemo reći da metoda odabira pojedinog rješenja ne funkcionira. Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.

Nema znakova grmljavinskog nevremena, početak rješenja je sasvim običan:

Naći ćemo zajednička odluka prikladno homogena jednadžbe:

Sastavimo i riješimo karakterističnu jednadžbu:


– dobivaju se konjugirani kompleksni korijeni, pa je opće rješenje:

Obratite pozornost na zapis općeg rješenja - ako postoje zagrade, otvorite ih.

Sada radimo gotovo isti trik kao i za jednadžbu prvog reda: mijenjamo konstante, zamjenjujući ih nepoznatim funkcijama. To je, opće rješenje nehomogenih tražit ćemo jednadžbe u obliku:

Gdje - zasad nepoznate funkcije.

Izgleda kao odlagalište kućnog otpada, ali sad ćemo sve srediti.

Nepoznanice su derivacije funkcija. Naš cilj je pronaći derivacije, a pronađene derivacije moraju zadovoljiti i prvu i drugu jednadžbu sustava.

Odakle dolaze "Grci"? Donosi ih roda. Gledamo ranije dobiveno opće rješenje i pišemo:

Pronađimo izvedenice:

Lijevi dijelovi su obrađeni. Što je desno?

je desna strana izvorne jednadžbe, u ovom slučaju:

Koeficijent je koeficijent druge derivacije:

U praksi gotovo uvijek, a ni naš primjer nije iznimka.

Sve je jasno, sada možete stvoriti sustav:

Sustav je obično riješen prema Cramerovim formulama pomoću standardnog algoritma. Jedina je razlika što umjesto brojeva imamo funkcije.

Pronađimo glavnu odrednicu sustava:

Ako ste zaboravili kako se otkriva odrednica dva po dva, pogledajte lekciju Kako izračunati determinantu? Link vodi na ploču srama =)

Dakle: to znači da sustav ima jedinstveno rješenje.

Pronalaženje derivata:

Ali to nije sve, zasad smo pronašli samo izvedenicu.
Sama funkcija se vraća integracijom:

Pogledajmo drugu funkciju:

Ovdje dodajemo "normalnu" konstantu

U završnoj fazi rješenja sjećamo se u kojem obliku smo tražili opće rješenje nehomogene jednadžbe? U takvim:

Funkcije koje trebate upravo su pronađene!

Ostaje samo izvršiti zamjenu i zapisati odgovor:

Odgovor: zajednička odluka:

U principu, odgovor je mogao proširiti zagrade.

Potpuna provjera odgovora provodi se prema standardnoj shemi o kojoj se raspravljalo u lekciji. Nehomogene DE 2. reda. Ali provjera neće biti laka, jer je potrebno pronaći prilično teške derivate i izvršiti glomaznu zamjenu. Ovo je neugodna značajka kada rješavate takve difuzore.

Primjer 5

Riješite diferencijalnu jednadžbu mijenjanjem proizvoljnih konstanti

Ovo je primjer koji trebate sami riješiti. Zapravo, na desnoj strani također postoji razlomak. Sjetimo se trigonometrijske formule; usput, trebat će je primijeniti tijekom rješenja.

Metoda varijacije proizvoljnih konstanti je najuniverzalnija metoda. Može riješiti bilo koju jednadžbu koja se može riješiti metoda odabira pojedinog rješenja na temelju oblika desne strane. Postavlja se pitanje zašto i tamo ne koristiti metodu varijacije proizvoljnih konstanti? Odgovor je očigledan: izbor određenog rješenja, o čemu je bilo riječi u razredu Nehomogene jednadžbe drugog reda, značajno ubrzava rješavanje i skraćuje snimanje - nema frke s determinantama i integralima.

Pogledajmo dva primjera s Cauchyjev problem.

Primjer 6

Pronađite određeno rješenje diferencijalne jednadžbe koje odgovara zadanim početnim uvjetima

,

Riješenje: Opet su razlomak i eksponent na zanimljivom mjestu.
Koristimo metodu varijacije proizvoljnih konstanti.

Naći ćemo zajednička odluka prikladno homogena jednadžbe:



– dobivaju se različiti realni korijeni, pa je opće rješenje:

Opće rješenje nehomogenih tražimo jednadžbe u obliku: , gdje je – zasad nepoznate funkcije.

Kreirajmo sustav:

U ovom slučaju:
,
Pronalaženje derivata:
,

Tako:

Riješimo sustav pomoću Cramerovih formula:
, što znači da sustav ima jedinstveno rješenje.

Vraćamo funkciju integracijom:

Ovdje se koristi metoda podvođenja funkcije pod diferencijalni predznak.

Integracijom vraćamo drugu funkciju:

Ovaj integral je riješen metoda zamjene varijable:

Iz same zamjene izražavamo:

Tako:

Ovaj integral se može pronaći metoda potpune kvadratne ekstrakcije, ali u primjerima s difuzorima radije širim frakciju metoda neodređenih koeficijenata:

Pronađene obje funkcije:

Kao rezultat, opće rješenje nehomogene jednadžbe je:

Pronađimo partikularno rješenje koje zadovoljava početne uvjete .

Tehnički, potraga za rješenjem provodi se na standardni način, o čemu je bilo riječi u članku Nehomogene diferencijalne jednadžbe drugog reda.

Čekaj, sad ćemo naći izvod pronađenog općeg rješenja:

Ovo je takva sramota. Nije potrebno pojednostaviti ga, lakše je odmah stvoriti sustav jednadžbi. Prema početnim uvjetima :

Zamijenimo pronađene vrijednosti konstanti na opće rješenje:

U odgovoru se logaritmi mogu malo zgurati.

Odgovor: privatno rješenje:

Kao što vidite, poteškoće mogu nastati u integralima i izvedenicama, ali ne iu samom algoritmu metode varijacije proizvoljnih konstanti. Nisam vas ja zastrašio, sve je to zbirka Kuznjecova!

Za opuštanje, posljednji, jednostavniji primjer za samostalno rješavanje:

Primjer 7

Riješite Cauchyjev problem

,

Primjer je jednostavan, ali kreativan, kada stvarate sustav, pažljivo ga pogledajte prije nego što odlučite ;-),




Kao rezultat, opće rješenje je:

Nađimo određeno rješenje koje odgovara početnim uvjetima .



Zamijenimo pronađene vrijednosti konstanti u opće rješenje:

Odgovor: privatno rješenje:

Prijeđimo na razmatranje linearnih nehomogenih diferencijalnih jednadžbi oblika

Gdje - tražena funkcija argumenta , i funkcije



su zadani i kontinuirani na određenom intervalu
.

Uvedimo u razmatranje linearnu homogenu jednadžbu, čija se lijeva strana podudara s lijevom stranom nehomogene jednadžbe (2.31),

Poziva se jednadžba oblika (2.32). homogena jednadžba koja odgovara nehomogenoj jednadžbi (2.31).

O strukturi općeg rješenja nehomogene linearne jednadžbe (2.31) vrijedi sljedeći teorem.

Teorem 2.6. Opće rješenje linearne nehomogene jednadžbe (2.31) u području

je zbroj bilo kojeg njezinog posebnog rješenja i općeg rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe (2.32) u domeni (2.33), tj.

Gdje - posebno rješenje jednadžbe (2.31),
je temeljni sustav rješenja homogene jednadžbe (2.32), i
- proizvoljne konstante.

Dokaz ovog teorema naći ćete u.

Koristeći primjer diferencijalne jednadžbe drugog reda, opisat ćemo metodu kojom se može pronaći određeno rješenje linearne nehomogene jednadžbe. Ova metoda se zove Lagrangeova metoda varijacije proizvoljnih konstanti.

Dakle, neka nam je dana nehomogena linearna jednadžba

(2.35)

gdje su koeficijenti
i desna strana
kontinuirano u nekom intervalu
.

Označimo sa
I
temeljni sustav rješenja homogene jednadžbe

(2.36)

Tada njegovo opće rješenje ima oblik

(2.37)

Gdje I - proizvoljne konstante.

Rješenje jednadžbe (2.35) tražit ćemo u istom obliku , kao i opće rješenje odgovarajuće homogene jednadžbe, zamjenjujući proizvoljne konstante nekim diferencijabilnim funkcijama (variramo proizvoljne konstante), oni.

Gdje
I
- neke diferencijabilne funkcije od , koji su još nepoznati i koje ćemo pokušati odrediti kako bi funkcija (2.38) bila rješenje nehomogene jednadžbe (2.35). Diferenciranjem obje strane jednakosti (2.38) dobivamo

Tako da pri računanju derivati ​​drugog reda
I
, to zahtijevamo posvuda u
uvjet je ispunjen

Zatim za imat će

Izračunajmo drugu derivaciju

Zamjena izraza za ,,iz (2.38), (2.40), (2.41) u jednadžbu (2.35), dobivamo

Izrazi u uglatim zagradama svugdje su jednaki nuli
, jer I - parcijalna rješenja jednadžbe (2.36). U ovom slučaju, (2.42) će imati oblik Kombinacijom ovog uvjeta s uvjetom (2.39), dobivamo sustav jednadžbi za određivanje
I

(2.43)

Posljednji sustav je sustav dviju algebarskih linearnih nehomogenih jednadžbi s obzirom na
I
. Odrednica ovog sustava je Wronskijeva determinanta za temeljni sustav rješenja ,i stoga je različit od nule svugdje u
. To znači da sustav (2.43) ima jedinstveno rješenje. Riješivši to na bilo koji način relativno
,
pronaći ćemo

Gdje
I
- poznate funkcije.

Izvođenje integracije i uzimajući u obzir da kao
,
trebali bismo uzeti jedan par funkcija i postaviti integracijske konstante jednake nuli. Dobivamo

Zamjenom izraza (2.44) u relacije (2.38) možemo željeno rješenje nehomogene jednadžbe (2.35) napisati u obliku

Ova se metoda može generalizirati kako bi se pronašlo određeno rješenje linearne nehomogene jednadžbe -ti red.

Primjer 2.6. Riješite jednadžbu
na
ako funkcije

tvore temeljni sustav rješenja odgovarajuće homogene jednadžbe.

Pronađimo posebno rješenje ove jednadžbe. Da bismo to učinili, u skladu s Lagrangeovom metodom, prvo moramo riješiti sustav (2.43), koji u našem slučaju ima oblik
Smanjenje obje strane svake jednadžbe za dobivamo

Oduzimajući član po član prve jednadžbe od druge jednadžbe, nalazimo
a zatim iz prve jednadžbe slijedi
Izvođenje integracije i postavljanje integracijskih konstanti na nulu, imat ćemo

Posebno rješenje ove jednadžbe može se prikazati kao

Opće rješenje ove jednadžbe ima oblik

Gdje I - proizvoljne konstante.

Na kraju, zabilježimo jedno izvanredno svojstvo, koje se često naziva principom superpozicije rješenja, a opisuje ga sljedeći teorem.

Teorem 2.7. Ako između
funkcija
- partikularno rješenje jednadžbe funkcije
posebno rješenje jednadžbe na istom intervalu je funkcija
postoji određeno rješenje jednadžbe