Kako sastaviti kinesku kocku od 6 dijelova. Drveni puzzle čvorovi napravljeni od šipki

Datum od: 2013-11-07

Svijet je dizajniran na takav način da stvari u njemu mogu živjeti dulje od ljudi, imati različita imena u različitim vremenima i u različitim zemljama, čak možemo igrati igrice The Simpsons. Igračka koju vidite na slici kod nas je poznata kao "slagalica Admiral Makarov". U drugim zemljama ima i druge nazive, od kojih su najčešći "đavolji križ" i "đavolji čvor".

Ovaj čvor je povezan od 6 kvadratnih šipki. Šipke imaju utore, zahvaljujući kojima je moguće križati šipke u središtu čvora. Jedna od šipki nema žljebove, ona se posljednja umeće u sklop, a kada se rastavlja, prvo se uklanja.

Autor ove zagonetke je nepoznat. Pojavio se prije mnogo stoljeća u Kini. U Lenjingradskom muzeju antropologije i etnografije nazvanom po. Petra Velikog, poznata kao "Kunstkamera", nalazi se drevna kutija od sandalovine iz Indije, u čijih 8 uglova sjecišta šipki okvira tvore 8 slagalica. U srednjem vijeku pomorci i trgovci, ratnici i diplomati zabavljali su se takvim zagonetkama i istovremeno ih nosili po svijetu. Admiral Makarov, koji je dva puta posjetio Kinu prije svog posljednjeg putovanja i smrti u Port Arthuru, donio je igračku u Sankt Peterburg, gdje je postala moderna u svjetovnim salonima. Zagonetka je također prodrla u dubinu Rusije drugim cestama. Poznato je da je đavolji zamotuljak u selo Olsufjevo, Brjanska oblast, donio vojnik koji se vraćao iz rusko-turskog rata.

Danas možete kupiti slagalicu u trgovini, ali je ugodnije napraviti je sami. Najprikladnija veličina šipki za domaću konstrukciju: 6x2x2 cm.

Raznolikost prokletih čvorova

Prije početka našeg stoljeća, tijekom nekoliko stotina godina postojanja igračke, u Kini, Mongoliji i Indiji izumljeno je više od stotinu varijanti slagalice, koje su se razlikovale po konfiguraciji izreza u šipkama. Ali dvije opcije ostaju najpopularnije. Onaj prikazan na slici 1 prilično je jednostavan za riješiti; samo ga napravite. Ovo je dizajn korišten u drevnoj indijskoj kutiji. Prečke na slici 2 koriste se za izradu slagalice pod nazivom "Đavolji čvor". Kao što možete pretpostaviti, ime je dobio zbog težine rješavanja.

Riža. 1 Najjednostavnija verzija zagonetke "đavolji čvor".

U Europi, gdje je od kraja prošlog stoljeća "Đavolji čvor" postao nadaleko poznat, entuzijasti su počeli izmišljati i izrađivati ​​setove šipki s različitim konfiguracijama izreza. Jedan od najuspješnijih setova omogućuje vam da dobijete 159 zagonetki i sastoji se od 20 traka od 18 vrsta. Iako se svi čvorovi izvana ne mogu razlikovati, iznutra su potpuno drugačije raspoređeni.

Riža. 2 "Zagonetka admirala Makarova"

Na slagalici “Đavolji čvor” radio je i bugarski umjetnik, profesor Petr Chukhovski, autor mnogih bizarnih i lijepih drvenih čvorova od različitog broja šipki. Razvio je skup konfiguracija šipki i istražio sve moguće kombinacije od 6 šipki za jedan njihov jednostavan podskup.

Najustrajniji od svih u takvim traganjima bio je nizozemski profesor matematike Van de Boer, koji je vlastitim rukama izradio set od nekoliko stotina šipki i sastavio tablice sastavljanja 2906 varijanti čvorova.

Bilo je to 60-ih godina prošlog stoljeća, a 1978. američki matematičar Bill Cutler napisao je računalni program i iscrpnom pretragom utvrdio da postoji 119 979 varijanti slagalice od 6 dijelova, koje se međusobno razlikuju po kombinacijama izbočina i udubljenja u šipke, kao i šipke za postavljanje, pod uvjetom da unutar sklopa nema šupljina.

Iznenađujuće velik broj za tako malu igračku! Stoga je za rješavanje problema bilo potrebno računalo.

Kako računalo rješava zagonetke?

Naravno, ne kao osoba, ali ni na neki magičan način. Računalo rješava zagonetke (i druge probleme) prema programu; programe pišu programeri. Pišu kako im se prohtije, ali tako da ih računalo razumije. Kako računalo manipulira drvenim blokovima?

Pretpostavit ćemo da imamo skup od 369 šipki, koje se međusobno razlikuju po konfiguraciji izbočina (taj je skup prvi odredio Van de Boer). Opisi ovih šipki moraju se unijeti u računalo. Najmanji izrez (ili izbočina) u bloku je kocka s rubom jednakim 0,5 debljine bloka. Nazovimo to jediničnom kockom. Cijeli blok sadrži 24 takve kocke (slika 1). U računalu se za svaki blok kreira “mali” niz od 6x2x2=24 broja. Blok s izrezima određen je nizom 0 i 1 u "malom" nizu: 0 odgovara izrezanoj kocki, 1 cijeloj. Svaki od "malih" nizova ima svoj broj (od 1 do 369). Svakom od njih može se dodijeliti broj od 1 do 6, koji odgovara položaju bloka unutar slagalice.

Prijeđimo sada na zagonetku. Zamislimo da stane u kocku dimenzija 8x8x8. U računalu ova kocka odgovara "velikom" nizu koji se sastoji od 8x8x8 = 512 ćelija s brojevima. Postavljanje određenog bloka unutar kocke znači ispunjavanje odgovarajućih ćelija “velikog” niza brojevima jednakim broju zadanog bloka.

Uspoređujući 6 "malih" nizova i glavni, čini se da računalo (tj. program) zbraja 6 traka. Na temelju rezultata zbrajanja brojeva utvrđuje koliko je i kakvih “praznih”, “ispunjenih” i “prelijevih” ćelija formirano u glavnom nizu. "Prazne" ćelije odgovaraju praznom prostoru unutar slagalice, "ispunjene" ćelije odgovaraju izbočinama u prečkama, a "natrpane" ćelije odgovaraju pokušaju spajanja dvije pojedinačne kocke, što je, naravno, zabranjeno. Takva se usporedba provodi mnogo puta, ne samo s različitim šipkama, već i uzimajući u obzir njihove okrete, mjesta koja zauzimaju u "križu" itd.

Kao rezultat toga odabiru se one opcije koje nemaju prazne ili prenapunjene ćelije. Za rješavanje ovog problema bio bi dovoljan "veliki" niz od 6x6x6 ćelija. Međutim, pokazalo se da postoje kombinacije šipki koje potpuno ispunjavaju unutarnji volumen slagalice, ali ih je nemoguće rastaviti. Stoga program mora moći provjeriti sklop na mogućnost rastavljanja. U tu svrhu, Cutler je uzeo niz 8x8x8, iako njegove dimenzije možda neće biti dovoljne za testiranje svih slučajeva.

Ispunjen je informacijama o određenoj verziji slagalice. Unutar niza program pokušava “pomaknuti” trake, odnosno pomaknuti dijelove trake dimenzija 2x2x6 ćelija u “velikom” nizu. Kretanje se događa za 1 ćeliju u svakom od 6 smjerova, paralelno s osima slagalice. Rezultati onih 6 pokušaja u kojima se ne formiraju "prepunjene" ćelije pamte se kao početne pozicije za sljedećih šest pokušaja. Kao rezultat toga, stablo svih mogućih pokreta se gradi sve dok jedan blok potpuno ne napusti glavni niz ili, nakon svih pokušaja, ostanu "prepunjene" ćelije, što odgovara opciji koja se ne može rastaviti.

Tako je na računalu dobiveno 119 979 varijanti "Đavoljeg čvora", uključujući ne 108, kako su vjerovali stari, već 6402 varijante, koje imaju 1 cijeli blok bez rezova.

Superčvor

Napomenimo da je Cutler odbio proučavati opći problem - kada čvor sadrži i unutarnje praznine. U ovom slučaju, broj čvorova od 6 stupaca uvelike se povećava i iscrpna pretraga potrebna za pronalaženje izvedivih rješenja postaje nerealna čak i za moderno računalo. Ali kao što ćemo sada vidjeti, najzanimljivije i najteže zagonetke sadržane su upravo u općem slučaju - rastavljanje zagonetke tada može biti daleko od trivijalnog.

Zbog prisutnosti šupljina, postaje moguće pomicati nekoliko šipki uzastopce prije nego što se jedna potpuno odvoji. Blok koji se kreće otkvači neke šipke, omogućuje pomicanje sljedećeg bloka i istovremeno zahvaća druge šipke.

Što više manipulacija trebate učiniti prilikom rastavljanja, to je verzija slagalice zanimljivija i teža. Žljebovi u šipkama raspoređeni su tako pametno da pronalaženje rješenja nalikuje lutanju kroz mračni labirint, u kojem stalno nailazite na zidove ili slijepe ulice. Ova vrsta čvora nedvojbeno zaslužuje novo ime; nazvat ćemo ga "superčvor". Mjera složenosti superčvora je broj pomicanja pojedinačnih šipki koje je potrebno napraviti prije nego što se prvi element odvoji od slagalice.

Ne znamo tko je smislio prvi superčvor. Najpoznatija (i najteža za rješavanje) dva su superčvora: “Billov trn” težine 5, izumitelja W. Cutlera, i “Duboisov superčvor” težine 7. Do sada se vjerovalo da stupanj težine 7 teško da bi se moglo nadmašiti. Međutim, prvi autor ovog članka uspio je unaprijediti "Duboisov čvor" i povećati složenost na 9, a potom, koristeći neke nove ideje, dobiti superčvorove složenosti 10, 11 i 12. Ali brojka 13 ostaje nepremostiva. Možda je broj 12 najveća poteškoća superčvora?

Supernode rješenje

Dati crteže tako teških zagonetki kao što su superčvorovi i ne otkriti njihove tajne bilo bi previše okrutno čak i za stručnjake zagonetke. Dat ćemo rješenje superčvorova u kompaktnom, algebarskom obliku.

Prije rastavljanja uzimamo slagalicu i usmjeravamo je tako da brojevi dijelova odgovaraju slici 1. Redoslijed rastavljanja zapisan je kombinacijom brojeva i slova. Brojevi označavaju brojeve šipki, slova označavaju smjer kretanja u skladu s koordinatnim sustavom prikazanim na slikama 3 i 4. Crta iznad slova označava kretanje u negativnom smjeru koordinatne osi. Jedan korak je pomicanje bloka za 1/2 njegove širine. Kada se blok pomakne dva koraka odjednom, njegovo se kretanje piše u zagradama s eksponentom 2. Ako se više dijelova koji su međusobno povezani pomakne odjednom, tada se njihovi brojevi nalaze u zagradama, na primjer (1, 3, 6) x . Odvajanje bloka od slagalice označeno je okomitom strelicom.

Navedimo sada primjere najboljih superčvorova.

W. Cutlerova zagonetka ("Billov trn")

Sastoji se od dijelova 1, 2, 3, 4, 5, 6, prikazanih na slici 3. Tu je dan i algoritam za njegovo rješavanje. Zanimljivo je da časopis Scientific American (1985., br. 10) daje drugu verziju ove zagonetke i izvještava da "Billov trn" ima jedinstveno rješenje. Razlika između opcija je u samo jednom bloku: dijelovi 2 i 2 B na slici 3.

Riža. 3 "Billov trn", razvijen pomoću računala.

Zbog činjenice da dio 2 B sadrži manje rezova od dijela 2, nije ga moguće umetnuti u „Billov trn” pomoću algoritma prikazanog na slici 3. Ostaje za pretpostaviti da se slagalica iz Scientific Americana sklapa na neki drugi način.

Ako je to slučaj i mi ga sastavimo, onda nakon toga možemo zamijeniti dio 2 B s dijelom 2, budući da potonji zauzima manje volumena od 2 B. Kao rezultat, dobit ćemo drugo rješenje zagonetke. Ali "Billov trn" ima jedinstveno rješenje, a iz naše kontradiktornosti može se izvući samo jedan zaključak: u drugoj verziji došlo je do pogreške u crtežu.

Slična pogreška učinjena je u drugoj publikaciji (J. Slocum, J. Botermans “Puzzles old and new”, 1986), ali u drugom bloku (detalj 6 C na slici 3). Kako je bilo onim čitateljima koji su pokušali, a možda još uvijek pokušavaju, riješiti te zagonetke?