V. Varijacijski nizovi, prosječne vrijednosti, varijabilnost svojstva

Varijacijski nizovi je niz numeričkih vrijednosti karakteristike.

Glavne karakteristike varijacijskog niza: v – varijanta, p – učestalost njenog pojavljivanja.

Vrste serija varijacija:

prema učestalosti pojavljivanja opcija: jednostavne - opcija se pojavljuje jednom, ponderirane - opcija se pojavljuje dva ili više puta;

prema položaju opcija: rangirane - opcije su poredane silaznim i uzlaznim redoslijedom, nerangirane - opcije su napisane bez određenog redoslijeda;

kombiniranjem opcije u grupe: grupirane - opcije se kombiniraju u grupe, negrupirane - opcije se ne kombiniraju u grupe;

po veličini opcije: kontinuirane - opcije su izražene kao cijeli broj i razlomački broj, diskretne - opcije su izražene kao cijeli broj, složene - opcije su predstavljene relativnom ili prosječnom vrijednošću.

Niz varijacija se sastavlja i formalizira u svrhu izračuna prosječnih vrijednosti.

Obrazac za snimanje serije varijacija:

8. Prosječne vrijednosti, vrste, metode izračuna, primjena u zdravstvu

Prosječne vrijednosti– kumulativna generalizirajuća karakteristika kvantitativnih karakteristika. Primjena prosjeka:

1. Okarakterizirati organizaciju rada zdravstvenih ustanova i ocijeniti njihovu djelatnost:

a) u ambulanti: pokazatelji opterećenosti liječnika, prosječan broj posjeta, prosječan broj stanovnika na području;

b) u bolnici: prosječan broj dana otvorenosti kreveta godišnje; prosječno trajanje boravka u bolnici;

c) u centru za higijenu, epidemiologiju i javno zdravstvo: prosječna površina (ili kubični kapacitet) po osobi, prosječni prehrambeni standardi (bjelančevine, masti, ugljikohidrati, vitamini, mineralne soli, kalorije), sanitarne norme i standardi i dr.;

2. Karakterizirati tjelesni razvoj (glavne antropometrijske karakteristike, morfološke i funkcionalne);

3. Odrediti medicinske i fiziološke parametre organizma u normalnim i patološkim stanjima u kliničkim i eksperimentalnim studijama.

4. U posebnim znanstvenim istraživanjima.

Razlika između prosječnih vrijednosti i pokazatelja:

1. Koeficijenti karakteriziraju alternativnu karakteristiku koja se pojavljuje samo u određenom dijelu statističke populacije, a koja se može ili ne mora pojaviti.

Prosječne vrijednosti pokrivaju karakteristike koje su zajedničke svim članovima tima, ali u različitim stupnjevima (težina, visina, dani liječenja u bolnici).

2. Koeficijenti se koriste za mjerenje kvalitativnih karakteristika. Prosječne vrijednosti – za različite kvantitativne karakteristike.

Vrste prosjeka:

aritmetička sredina, njezine karakteristike su standardna devijacija i srednja pogreška

način i medijan. Moda (Mo)– odgovara vrijednosti obilježja koje se javlja češće od ostalih u određenoj populaciji. Medijan (ja)– vrijednost karakteristike koja zauzima srednju vrijednost u određenoj populaciji. Dijeli niz na 2 jednaka dijela prema broju promatranja. Aritmetička sredina (M)– za razliku od moda i medijana, temelji se na svim promatranjima, stoga je važna karakteristika za cjelokupnu distribuciju.

druge vrste prosjeka koji se koriste u posebnim studijama: srednji kvadratni, kubni, harmonijski, geometrijski, progresivni.

Aritmetička sredina karakterizira prosječnu razinu statističke populacije.

Za jednostavnu seriju, gdje

∑v – opcija iznosa,

n – broj opažanja.

za ponderirani niz, gdje

∑vr – zbroj umnožaka svake opcije i učestalosti njezina pojavljivanja

n – broj opažanja.

Standardna devijacija aritmetička sredina ili sigma (σ) karakterizira različitost obilježja

- za jednostavnu seriju

Σd 2 – zbroj kvadrata razlike između aritmetičke sredine i svake opcije (d = │M-V│)

n – broj opažanja

- za vaganu seriju

∑d 2 p – zbroj umnožaka kvadrata razlike aritmetičke sredine i svake opcije i učestalosti njenog pojavljivanja,

n – broj opažanja.

Stupanj raznolikosti može se procijeniti prema veličini koeficijenta varijacije
. Više od 20% je jaka raznolikost, 10-20% je srednja raznolikost, manje od 10% je slaba raznolikost.

Ako aritmetičkoj srednjoj vrijednosti dodamo i oduzmemo jednu sigmu (M ± 1σ), tada će uz normalnu raspodjelu najmanje 68,3% svih varijanti (opažanja) biti unutar ovih granica, što se smatra normom za pojavu koja se proučava. . Ako je k 2 ± 2σ, tada će 95,5% svih opažanja biti unutar ovih granica, a ako je k M ± 3σ, tada će 99,7% svih opažanja biti unutar ovih granica. Dakle, standardna devijacija je standardna devijacija koja nam omogućuje predviđanje vjerojatnosti pojave takve vrijednosti karakteristike koja se proučava koja je unutar navedenih granica.

Prosječna pogreška aritmetičke sredine ili pristranosti reprezentativnosti. Za jednostavan, ponderirani niz i pravilo trenutaka:

.

Za izračunavanje prosječnih vrijednosti potrebno je: homogenost materijala, dovoljan broj promatranja. Ako je broj opažanja manji od 30, u formulama za izračun σ i m koristi se n-1.

Pri procjeni dobivenog rezultata veličinom prosječne pogreške koristi se koeficijent pouzdanosti koji omogućuje određivanje vjerojatnosti točnog odgovora, odnosno ukazuje da rezultirajuća vrijednost pogreške uzorkovanja neće biti veća od stvarna pogreška nastala kao rezultat kontinuiranog promatranja. Posljedično, s povećanjem vjerojatnosti pouzdanosti, širina intervala pouzdanosti raste, što zauzvrat povećava pouzdanost prosudbe i prihvatljivost dobivenog rezultata.

Varijacijski niz - niz u kojem se uspoređuju (po stupnju povećanja ili smanjenja) opcije i odgovarajuće frekvencije

​Opcije su pojedinačni kvantitativni izrazi neke karakteristike. Označava se latiničnim slovom V . Klasično razumijevanje pojma "varijanta" pretpostavlja da se svaka jedinstvena vrijednost karakteristike naziva varijantom, ne uzimajući u obzir broj ponavljanja.

Na primjer, u nizu varijacija pokazatelja sistoličkog krvnog tlaka izmjerenih kod deset pacijenata:

110, 120, 120, 130, 130, 130, 140, 140, 160, 170;

Postoji samo 6 dostupnih vrijednosti:

110, 120, 130, 140, 160, 170.

Učestalost je broj koji pokazuje koliko se puta opcija ponavlja. Označava se latiničnim slovom P . Zbroj svih frekvencija (koji je, naravno, jednak broju svih proučavanih) označava se kao n.

U našem primjeru, frekvencije će imati sljedeće vrijednosti:
• za opciju 110 učestalost P = 1 (vrijednost 110 javlja se kod jednog pacijenta),
• za opciju 120 učestalost P = 2 (vrijednost 120 javlja se kod dva pacijenta),
• za opciju 130 učestalost P = 3 (vrijednost 130 javlja se kod tri pacijenta),
• za opciju 140 učestalost P = 2 (vrijednost 140 javlja se kod dva pacijenta),
• za opciju 160 učestalost P = 1 (vrijednost 160 javlja se kod jednog pacijenta),
• za opciju 170 učestalost P = 1 (vrijednost 170 javlja se kod jednog pacijenta),

Vrste serija varijacija:

1. jednostavan- ovo je serija u kojoj se svaka opcija pojavljuje samo jednom (sve frekvencije su jednake 1);
2. suspendiran- niz u kojem se jedna ili više opcija pojavljuju više puta.

Niz varijacija koristi se za opisivanje velikih nizova brojeva; u tom su obliku inicijalno prikazani prikupljeni podaci većine medicinskih studija. Za karakterizaciju niza varijacija izračunavaju se posebni pokazatelji koji uključuju prosječne vrijednosti, pokazatelje varijabilnosti (tzv. disperzija) i pokazatelje reprezentativnosti podataka uzorka.

Indikatori serije varijacija

1) Aritmetička sredina je opći pokazatelj koji karakterizira veličinu svojstva koje se proučava. Aritmetička sredina se označava kao M , najčešći je tip prosjeka. Aritmetička sredina izračunava se kao omjer zbroja vrijednosti indikatora svih jedinica promatranja prema broju svih ispitanih subjekata. Metoda za izračunavanje aritmetičke sredine razlikuje se za jednostavne i ponderirane varijacijske serije.

Formula za izračun jednostavni aritmetički prosjek:

Formula za izračun ponderirani aritmetički prosjek:

M = Σ(V * P)/ n

​ 2) Mod je još jedna prosječna vrijednost niza varijacija, koja odgovara opciji koja se najčešće ponavlja. Ili, drugim riječima, ovo je opcija koja odgovara najvišoj frekvenciji. Označava se kao Mo . Način se izračunava samo za ponderirane serije, budući da se u jednostavnim serijama nijedna od opcija ne ponavlja i sve su frekvencije jednake jedinici.

Na primjer, u nizu varijacija vrijednosti otkucaja srca:

80, 84, 84, 86, 86, 86, 90, 94;

vrijednost moda je 86, budući da se ova opcija pojavljuje 3 puta, stoga je njena frekvencija najveća.

​

3) Medijan - vrijednost opcije koja dijeli niz varijacija na pola: s obje njegove strane nalazi se jednak broj opcija. Medijan se, kao i aritmetička sredina i modus, odnosi na prosječne vrijednosti. Označava se kao Mi

4) Standardna devijacija (sinonimi: standardna devijacija, sigma devijacija, sigma) - mjera varijabilnosti niza varijacija. To je integralni pokazatelj koji objedinjuje sve slučajeve odstupanja od prosjeka. Zapravo, odgovara na pitanje koliko se i koliko često varijante šire od aritmetičke sredine. Označava se grčkim slovom σ ("sigma").

Ako je veličina populacije veća od 30 jedinica, standardna devijacija izračunava se pomoću sljedeće formule:

Za male populacije - 30 jedinica promatranja ili manje - standardna devijacija se izračunava pomoću druge formule:

Metoda grupiranja također vam omogućuje mjerenje varijacija(varijabilnost, fluktuacija) znakova. Kada je broj jedinica u populaciji relativno mali, varijacija se mjeri na temelju rangiranog broja jedinica koje čine populaciju. Serija se zove rangiran, ako su jedinice poredane uzlaznim (silaznim) redoslijedom obilježja.

Međutim, rangirane serije su prilično indikativne kada je potrebna komparativna karakteristika varijacije. Osim toga, u mnogim slučajevima imamo posla sa statističkim populacijama koje se sastoje od velikog broja jedinica, koje je praktički teško predstaviti u obliku određene serije. U tom smislu, radi početnog općeg upoznavanja sa statističkim podacima, a posebno radi lakšeg proučavanja varijacija karakteristika, pojave i procesi koji se proučavaju obično se spajaju u skupine, a rezultati grupiranja prikazuju se u obliku skupnih tablica.

Ako grupna tablica ima samo dva stupca - grupe prema odabranom svojstvu (opcije) i broj grupa (učestalost ili učestalost), naziva se blizu distribucije.

Raspon distribucije - najjednostavniji tip strukturnog grupiranja na temelju jedne karakteristike, prikazan u grupnoj tablici s dva stupca koji sadrže varijante i učestalosti obilježja. U mnogim slučajevima, s takvim strukturnim grupiranjem, t.j. Sastavljanjem serija distribucije počinje proučavanje polazne statističke građe.

Strukturno grupiranje u obliku niza distribucije može se pretvoriti u pravo strukturno grupiranje ako su odabrane skupine karakterizirane ne samo učestalostima, već i drugim statističkim pokazateljima. Glavna svrha serija distribucije je proučavanje varijacija karakteristika. Teorija serija distribucije detaljno je razvijena matematičkom statistikom.

Distribucijske serije dijele se na atributivni(grupiranje prema atributskim karakteristikama, npr. podjela stanovništva prema spolu, nacionalnosti, bračnom statusu itd.) i varijacijski(grupiranje po kvantitativnim obilježjima).

Varijacijski nizovi je skupna tablica koja sadrži dva stupca: grupiranje jedinica prema jednom kvantitativnom svojstvu i broj jedinica u svakoj skupini. Intervali u varijacijskom nizu obično su jednaki i zatvoreni. Niz varijacija je sljedeće grupiranje ruskog stanovništva prema prosječnom novčanom dohotku po glavi stanovnika (Tablica 3.10).

Tablica 3.10

Raspodjela stanovništva Rusije prema prosječnom dohotku po glavi stanovnika u razdoblju 2004.-2009.

Skupine stanovništva prema prosječnom novčanom dohotku po stanovniku, rub./mjesec	Stanovništvo u skupini, % od ukupnog broja
8 000,1-10 000,0
10 000,1-15 000,0
15 000,1-25 000,0
Preko 25.000,00
Cijelo stanovništvo

Varijacijski nizovi se pak dijele na diskretne i intervalne. Diskretna serije varijacija kombiniraju varijante diskretnih karakteristika koje variraju unutar uskih granica. Primjer diskretne serije varijacija je distribucija ruskih obitelji prema broju djece koju imaju.

Interval serije varijacija kombiniraju varijante ili kontinuiranih karakteristika ili diskretnih karakteristika koje variraju u širokom rasponu. Interval je niz varijacija distribucije ruskog stanovništva prema prosječnom novčanom dohotku po glavi stanovnika.

Diskretni varijacijski nizovi se ne koriste često u praksi. U međuvremenu, njihovo sastavljanje nije teško, budući da je sastav skupina određen specifičnim varijantama koje proučavane karakteristike grupiranja zapravo posjeduju.

Nizovi intervalnih varijacija su rašireniji. Prilikom njihovog sastavljanja postavlja se teško pitanje o broju grupa, kao io veličini intervala koje treba uspostaviti.

Načela za rješavanje ovog pitanja navedena su u poglavlju o metodologiji za izradu statističkih grupa (vidi paragraf 3.3).

Nizovi varijacija su sredstvo sažimanja ili sažimanja različitih informacija u kompaktni oblik; iz njih se može donijeti prilično jasan sud o prirodi varijacije i proučavati razlike u karakteristikama pojava uključenih u skup koji se proučava. Ali najvažnije značenje varijacijskih nizova je to što se na njihovoj osnovi izračunavaju posebne generalizirajuće karakteristike varijacije (vidi Poglavlje 7).

Varijacijski nazivaju se serije distribucije konstruirane na kvantitativnoj osnovi. Vrijednosti kvantitativnih obilježja u pojedinim jedinicama populacije nisu konstantne i međusobno se više ili manje razlikuju.

Varijacija- fluktuacija, promjenjivost vrijednosti obilježja među jedinicama populacije. Pojedinačne numeričke vrijednosti karakteristike koje se nalaze u populaciji koja se proučava nazivaju se opcije vrijednosti. Nedovoljnost prosječne vrijednosti za potpunu karakterizaciju populacije prisiljava nas da dopunimo prosječne vrijednosti pokazateljima koji nam omogućuju procjenu tipičnosti tih prosjeka mjerenjem varijabilnosti (varijacije) karakteristike koja se proučava.

Prisutnost varijacije posljedica je utjecaja velikog broja čimbenika na formiranje razine svojstva. Ti čimbenici djeluju nejednakom snagom i u različitim smjerovima. Indeksi varijacije koriste se za opisivanje mjere varijabilnosti svojstva.

Ciljevi statističkog proučavanja varijacije:

• 1) proučavanje prirode i stupnja varijacije karakteristika u pojedinim jedinicama populacije;
• 2) utvrđivanje uloge pojedinih čimbenika ili njihovih skupina u varijaciji pojedinih obilježja stanovništva.

U statistici se koriste posebne metode proučavanja varijacije koje se temelje na korištenju sustava pokazatelja, S kojim se mjeri varijacija.

Istraživanje varijacija je važno. Mjerenje varijacija je neophodno kada se provodi promatranje uzorka, analiza korelacije i varijance itd. Ermolaev O.Yu. Matematička statistika za psihologe: Udžbenik [Tekst] / O.Yu. Ermolaev. - M.: Izdavačka kuća Flint Moskovskog psihološkog i socijalnog instituta, 2012. - 335 str.

Po stupnju varijacije može se suditi o homogenosti populacije, stabilnosti pojedinačnih vrijednosti karakteristika i tipičnosti prosjeka. Na njihovoj osnovi razvijaju se pokazatelji bliskosti odnosa između obilježja i pokazatelji za ocjenu točnosti promatranja uzorka.

Pravi se razlika između varijacije u prostoru i varijacije u vremenu.

Varijacija u prostoru shvaćena je kao fluktuacija vrijednosti atributa među populacijskim jedinicama koje predstavljaju pojedinačne teritorije. Vremenska varijacija odnosi se na promjene u vrijednostima karakteristike tijekom različitih vremenskih razdoblja.

Za proučavanje varijacija u distribucijskim redovima, sve varijante vrijednosti atributa raspoređene su uzlaznim ili silaznim redoslijedom. Taj se proces naziva rangiranje serije.

Najjednostavniji znakovi varijacije su minimum i maksimum- najmanja i najveća vrijednost atributa u agregatu. Broj ponavljanja pojedinih varijanti vrijednosti obilježja naziva se frekvencija ponavljanja (fi). Prikladno je frekvencije zamijeniti frekvencijama - wi. Učestalost je relativni pokazatelj učestalosti, koji se može izraziti u dijelovima jedinice ili postotku i omogućuje vam usporedbu nizova varijacija s različitim brojem opažanja. Izraženo formulom:

gdje su Xmax, Xmin maksimalne i minimalne vrijednosti karakteristike u agregatu; n - broj grupa.

Za mjerenje varijacije neke karakteristike koriste se različiti apsolutni i relativni pokazatelji. Apsolutni pokazatelji varijacije uključuju raspon varijacije, prosječnu linearnu devijaciju, disperziju i standardnu ​​devijaciju. Relativni pokazatelji oscilacije uključuju koeficijent oscilacije, relativno linearno odstupanje i koeficijent varijacije.

Primjer pronalaženja niza varijacija

Vježbajte. Za ovaj uzorak:

• a) Pronađite niz varijacija;
• b) Konstruirati funkciju distribucije;

br.=42. Ogledni elementi:

1 5 1 8 1 3 9 4 7 3 7 8 7 3 2 3 5 3 8 3 5 2 8 3 7 9 5 8 8 1 2 2 5 1 6 1 7 6 7 7 6 2

Riješenje.

• a) konstrukcija niza rangiranih varijacija:
  • 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 4 5 5 5 5 5 6 6 6 7 7 7 7 7 7 7 8 8 8 8 8 8 9 9
• b) konstrukcija diskretnog varijacijskog niza.

Izračunajmo broj grupa u nizu varijacija pomoću Sturgessove formule:

Uzmimo da je broj grupa jednak 7.

Znajući broj grupa, izračunavamo veličinu intervala:

Radi praktičnosti konstruiranja tablice, uzet ćemo broj grupa jednak 8, interval će biti 1.

Riža. 1 Obujam prodaje robe po trgovini za određeno vremensko razdoblje

(definicija varijacijske serije; komponente varijacijske serije; tri oblika varijacijske serije; izvedivost konstruiranja intervalne serije; zaključci koji se mogu izvući iz konstruirane serije)

Varijacijski niz je slijed svih elemenata uzorka poredanih u neopadajućem redoslijedu. Ponavljaju se identični elementi

Varijacijski nizovi su nizovi izgrađeni na kvantitativnoj osnovi.

Varijacijski niz distribucije sastoji se od dva elementa: opcije i frekvencije:

Varijante su numeričke vrijednosti kvantitativnog obilježja u nizu varijacijske distribucije. Mogu biti pozitivne i negativne, apsolutne i relativne. Dakle, kod grupiranja poduzeća prema rezultatima gospodarske aktivnosti pozitivne opcije su dobit, a negativne brojke gubitak.

Učestalosti su brojevi pojedinačnih varijanti ili svake skupine niza varijacija, tj. Ovo su brojevi koji pokazuju koliko se često određene opcije pojavljuju u seriji distribucije. Zbroj svih frekvencija naziva se volumen populacije i određen je brojem elemenata cijele populacije.

Frekvencije su frekvencije izražene kao relativne vrijednosti (frakcije jedinica ili postoci). Zbroj frekvencija je jednak jedan ili 100%. Zamjena frekvencija s frekvencijama omogućuje usporedbu nizova varijacija s različitim brojem opažanja.

Postoje tri oblika varijacijskih serija: rangirane serije, diskretne serije i intervalne serije.

Rangirani niz je distribucija pojedinačnih jedinica populacije u uzlaznom ili silaznom redoslijedu karakteristike koja se proučava. Rangiranje vam omogućuje jednostavno dijeljenje kvantitativnih podataka u skupine, odmah otkrivanje najmanjih i najvećih vrijednosti karakteristike te isticanje vrijednosti koje se najčešće ponavljaju.

Drugi oblici serija varijacija su skupne tablice sastavljene prema prirodi varijacije u vrijednostima karakteristike koja se proučava. Prema prirodi varijacije razlikuju se diskretna (diskontinuirana) i kontinuirana obilježja.

Diskretni niz je varijacijski niz čija se konstrukcija temelji na karakteristikama s diskontinuiranom promjenom (diskretne karakteristike). Potonji uključuju tarifnu kategoriju, broj djece u obitelji, broj zaposlenih u poduzeću itd. Ove značajke mogu uzeti samo konačan broj specifičnih vrijednosti.

Niz diskretnih varijacija predstavlja tablicu koja se sastoji od dva stupca. Prvi stupac označava određenu vrijednost atributa, a drugi stupac označava broj jedinica u populaciji s određenom vrijednošću atributa.

Ako se karakteristika kontinuirano mijenja (iznos prihoda, radni staž, trošak dugotrajne imovine poduzeća itd., koji može poprimiti bilo koje vrijednosti unutar određenih granica), tada je za ovu karakteristiku potrebno izgraditi serija intervalnih varijacija.

Grupna tablica ovdje također ima dva stupca. Prvi označava vrijednost atributa u intervalu "od - do" (opcije), drugi označava broj jedinica uključenih u interval (učestalost).

Frekvencija (učestalost ponavljanja) - broj ponavljanja određene varijante vrijednosti atributa, označava se fi, a zbroj frekvencija jednak volumenu populacije koja se proučava

Gdje je k broj opcija za vrijednosti atributa

Vrlo često je tablica dopunjena stupcem u kojem se izračunavaju akumulirane frekvencije S koje pokazuju koliko jedinica u populaciji ima karakterističnu vrijednost koja nije veća od te vrijednosti.

Diskretni varijacijski niz distribucije je niz u kojem su grupe sastavljene prema karakteristici koja se diskretno mijenja i poprima samo cjelobrojne vrijednosti.

Intervalni varijacijski niz distribucije je niz u kojem obilježje grupiranja koje čini osnovu grupiranja može poprimiti bilo koje vrijednosti, uključujući frakcijske, u određenom intervalu.

Niz intervalnih varijacija je uređen skup intervala variranja vrijednosti slučajne varijable s odgovarajućim učestalostima ili učestalostima pojavljivanja vrijednosti u svakom od njih.

Preporučljivo je konstruirati niz intervalne distribucije, prije svega, s kontinuiranom varijacijom karakteristike, a također i ako se diskretna varijacija manifestira u širokom rasponu, tj. broj varijanti diskretne karakteristike je prilično velik.

Već iz ovog niza može se izvući nekoliko zaključaka. Na primjer, srednji element niza varijacija (medijan) može biti procjena najvjerojatnijeg rezultata mjerenja. Prvi i zadnji element niza varijacija (tj. minimalni i maksimalni element uzorka) pokazuju širenje elemenata uzorka. Ponekad, ako se prvi ili zadnji element jako razlikuju od ostatka uzorka, oni su isključeni iz rezultata mjerenja, s obzirom da su te vrijednosti dobivene kao rezultat neke vrste grubog kvara, na primjer, tehnologije.