Jednadžba pravca u četiri oblika. Opća jednadžba pravca

Kanonske jednadžbe pravca u prostoru su jednadžbe koje definiraju pravac koji prolazi kroz danu točku kolinearno na vektor smjera.

Neka su zadani točka i vektor smjera. Proizvoljna točka leži na pravcu l samo ako su vektori i kolinearni, tj. zadovoljavaju uvjet:

.

Gornje jednadžbe su kanonske jednadžbe ravne linije.

Brojke m , n I str su projekcije vektora pravca na koordinatne osi. Budući da vektor nije nula, tada su svi brojevi m , n I str ne može biti nula u isto vrijeme. Ali jedan ili dva od njih mogu ispasti nula. U analitičkoj geometriji, na primjer, dopuštene su sljedeće oznake:

,

što znači da projekcije vektora na os Joj I Oz jednaki su nuli. Stoga su i vektor i pravac definirani kanonskim jednadžbama okomiti na osi Joj I Oz, odnosno aviona yOz .

Primjer 1 Napiši jednadžbe za pravac u prostoru okomit na ravninu i prolazi kroz točku presjeka ove ravnine s osi Oz .

Riješenje. Nađimo točku presjeka ove ravnine s osi Oz. Budući da svaka točka koja leži na osi Oz, ima koordinate , tada, uz pretpostavku u danoj jednadžbi ravnine x = y = 0, dobivamo 4 z- 8 = 0 ili z= 2. Prema tome, sjecišna točka ove ravnine s osi Oz ima koordinate (0; 0; 2) . Budući da je tražena linija okomita na ravninu, ona je paralelna sa svojim normalnim vektorom. Prema tome, vektor usmjeravanja pravca može biti vektor normale dana ravnina.

Zapišimo sada tražene jednadžbe pravca koji prolazi kroz točku A= (0; 0; 2) u smjeru vektora:

Jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke

Ravnu liniju mogu definirati dvije točke koje leže na njoj I U tom slučaju vektor usmjeravanja pravca može biti vektor . Tada kanoničke jednadžbe pravca poprimaju oblik

.

Gornje jednadžbe određuju pravac koji prolazi kroz dvije zadane točke.

Primjer 2 Napiši jednadžbu pravca u prostoru koji prolazi kroz točke i .

Riješenje. Zapišimo tražene jednadžbe ravne linije u obliku koji je dat gore u teorijskoj referenci:

.

Od , Tada je željena linija okomita na os Joj .

Ravna kao linija presjeka ravnina

Pravac u prostoru može se definirati kao linija presjeka dviju neparalelnih ravnina, tj. kao skup točaka koje zadovoljavaju sustav dviju linearnih jednadžbi.

Jednadžbe sustava nazivaju se i opće jednadžbe pravca u prostoru.

Primjer 3 Sastaviti kanonske jednadžbe pravca u prostoru zadanom općim jednadžbama

Riješenje. Da biste napisali kanonske jednadžbe pravca ili, što je isto, jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke, morate pronaći koordinate bilo koje dvije točke na pravcu. One mogu biti točke presjeka ravne crte s bilo koje dvije koordinatne ravnine, na primjer yOz I xOz .

Sjecište pravca s ravninom yOz ima apscisu x= 0 . Stoga, pod pretpostavkom u ovom sustavu jednadžbi x= 0, dobivamo sustav s dvije varijable:

Njezina odluka g = 2 , z= 6 zajedno s x= 0 definira točku A(0; 2; 6) željena linija. Pretpostavljajući tada u zadanom sustavu jednadžbi g= 0, dobivamo sustav

Njezina odluka x = -2 , z= 0 zajedno s g= 0 definira točku B(-2; 0; 0) presjek pravca s ravninom xOz .

Sada pišemo jednadžbe pravca koji prolazi kroz točke A(0; 2; 6) i B (-2; 0; 0) :

,

ili nakon dijeljenja nazivnika s -2:

,

Pravac koji prolazi točkom K(x 0; y 0) i paralelan je s pravcem y = kx + a nalazi se po formuli:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Gdje je k nagib ravne linije.

Alternativna formula:
Pravac koji prolazi kroz točku M 1 (x 1 ; y 1) i paralelan je s pravcem Ax+By+C=0 predstavljen je jednadžbom

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Napišite jednadžbu pravca koji prolazi točkom K( ;) paralelna s pravcem y = x+ .

Primjer br. 1. Sastavite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku M 0 (-2,1) i istovremeno:
a) paralelna s pravcem 2x+3y -7 = 0;
b) okomito na pravac 2x+3y -7 = 0.
Riješenje . Zamislimo jednadžbu s nagibom u obliku y = kx + a. Da biste to učinili, pomaknite sve vrijednosti osim y na desnu stranu: 3y = -2x + 7 . Zatim podijelite desnu stranu s faktorom 3. Dobivamo: y = -2/3x + 7/3
Nađimo jednadžbu NK koja prolazi točkom K(-2;1), paralelno s ravnom linijom y = -2 / 3 x + 7 / 3
Zamjenom x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 dobivamo:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
ili
y = -2 / 3 x - 1 / 3 ili 3y + 2x +1 = 0

Primjer br. 2. Napišite jednadžbu pravca paralelnog s pravcem 2x + 5y = 0 koji zajedno s koordinatnim osima tvori trokut čija je površina 5.
Riješenje . Budući da su linije paralelne, jednadžba željene linije je 2x + 5y + C = 0. Površina pravokutnog trokuta, gdje su a i b njegove noge. Nađimo sjecišne točke željene linije s koordinatnim osima:
;
.
Dakle, A(-C/2,0), B(0,-C/5). Zamijenimo ga u formulu za površinu: . Dobivamo dva rješenja: 2x + 5y + 10 = 0 i 2x + 5y – 10 = 0.

Primjer br. 3. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz točku (-2; 5) i paralelnog pravca 5x-7y-4=0 .
Riješenje. Ova se ravna crta može prikazati jednadžbom y = 5 / 7 x – 4 / 7 (ovdje a = 5 / 7). Jednadžba željenog pravca je y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), tj. 7(y-5)=5(x+2) ili 5x-7y+45=0 .

Primjer br. 4. Rješavajući primjer 3 (A=5, B=-7) pomoću formule (2), nalazimo 5(x+2)-7(y-5)=0.

Primjer br. 5. Napišite jednadžbu pravca koji prolazi točkom (-2;5) i paralelnog pravca 7x+10=0.
Riješenje. Ovdje A=7, B=0. Formula (2) daje 7(x+2)=0, tj. x+2=0. Formula (1) nije primjenjiva jer se ova jednadžba ne može riješiti s obzirom na y (ova ravna linija je paralelna s osi y).

Neka pravac prolazi kroz točke M 1 (x 1; y 1) i M 2 (x 2; y 2). Jednadžba ravne linije koja prolazi kroz točku M 1 ima oblik y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

Gdje k - još nepoznati koeficijent.

Budući da pravac prolazi kroz točku M 2 (x 2 y 2), tada koordinate ove točke moraju zadovoljiti jednadžbu (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1).

Odavde nalazimo Zamjena pronađene vrijednosti k u jednadžbu (10.6), dobivamo jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke M 1 i M 2:

Pretpostavlja se da je u ovoj jednadžbi x 1 ≠ x 2, y 1 ≠ y 2

Ako je x 1 \u003d x 2, tada je ravna linija koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y I) i M 2 (x 2, y 2) paralelna s osi y. Njegova jednadžba je x = x 1 .

Ako je y 2 \u003d y I, tada se jednadžba ravne linije može napisati kao y \u003d y 1, ravna linija M 1 M 2 je paralelna s x-osi.

Jednadžba pravca u segmentima

Neka pravac siječe os Ox u točki M 1 (a; 0), a os Oy u točki M 2 (0; b). Jednadžba će imati oblik:
oni.
. Ova se jednadžba zove jednadžba pravca u segmentima, jer brojevi a i b označavaju koje segmente pravac odsijeca na koordinatnim osima.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani vektor

Nađimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz zadanu točku Mo (x O; y o) okomito na zadani vektor n = (A; B).

Uzmimo proizvoljnu točku M(x; y) na ravnoj liniji i razmotrimo vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (vidi sliku 1). Budući da su vektori n i M o M okomiti, njihov je skalarni produkt jednak nuli: tj.

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Jednadžba (10.8) naziva se jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku okomito na zadani vektor .

Vektor n= (A; B), okomit na pravac, nazivamo normalom vektor normale ove linije .

Jednadžba (10.8) može se prepisati kao Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

gdje su A i B koordinate vektora normale, C = -Ax o - Vu o je slobodni član. Jednadžba (10.9) je opća jednadžba pravca(vidi sliku 2).

sl.1 sl.2

Kanonske jednadžbe pravca

,

Gdje
- koordinate točke kroz koju pravac prolazi, i
- vektor smjera.

Krivulje drugog reda Krug

Kružnica je skup svih točaka ravnine jednako udaljenih od dane točke, koja se naziva središtem.

Kanonska jednadžba kruga radijusa R usredotočen na točku
:

Konkretno, ako se središte udjela podudara s ishodištem koordinata, tada će jednadžba izgledati ovako:

Elipsa

Elipsa je skup točaka na ravnini, zbroj udaljenosti od svake od njih do dvije zadane točke I , koji se nazivaju žarišta, konstantna je veličina
, veća od udaljenosti između žarišta
.

Kanonska jednadžba elipse čiji fokusi leže na Ox osi, a ishodište koordinata u sredini između fokusa ima oblik
G de a duljina velike poluosi; b – duljina male poluosi (slika 2).

Jednadžba pravca na ravnini.

Kao što je poznato, svaka točka na ravnini određena je dvjema koordinatama u nekom koordinatnom sustavu. Koordinatni sustavi mogu biti različiti ovisno o izboru baze i ishodišta.

Definicija. Jednadžba linije naziva se relacija y = f(x) između koordinata točaka koje čine ovaj pravac.

Imajte na umu da se jednadžba pravca može izraziti parametrički, to jest, svaka koordinata svake točke izražena je kroz neki neovisni parametar t.

Tipičan primjer je putanja pokretne točke. U ovom slučaju ulogu parametra igra vrijeme.

Jednadžba pravca na ravnini.

Definicija. Bilo koja ravna crta na ravnini može se odrediti jednadžbom prvog reda

Ax + Wu + C = 0,

Štoviše, konstante A i B nisu u isto vrijeme jednake nuli, tj. A 2 + B 2  0. Ova jednadžba prvog reda zove se opća jednadžba pravca.

Ovisno o vrijednostima konstanti A, B i C, mogući su sljedeći posebni slučajevi:

C = 0, A  0, B  0 – pravac prolazi kroz ishodište

A = 0, B  0, C  0 (By + C = 0) - ravna linija paralelna s osi Ox

B = 0, A  0, C  0 (Ax + C = 0) – pravac paralelan s osi Oy

B = C = 0, A  0 – pravac se poklapa s osi Oy

A = C = 0, B  0 – pravac se poklapa s osi Ox

Jednadžba ravne crte može se prikazati u različitim oblicima ovisno o bilo kojem danom početnom uvjetu.

Jednadžba pravca iz točke i normalnog vektora.

Definicija. U kartezijevom pravokutnom koordinatnom sustavu vektor s komponentama (A, B) okomit je na ravnu liniju zadanu jednadžbom Ax + By + C = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi točkom A(1, 2) okomito na vektor (3, -1).

Uz A = 3 i B = -1, sastavimo jednadžbu ravne linije: 3x – y + C = 0. Da bismo pronašli koeficijent C, zamijenimo koordinate zadane točke A u dobiveni izraz.

Dobivamo: 3 – 2 + C = 0, dakle C = -1.

Ukupno: tražena jednadžba: 3x – y – 1 = 0.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke.

Neka su u prostoru zadane dvije točke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada je jednadžba pravca koji prolazi kroz te točke:

Ako je bilo koji od nazivnika nula, odgovarajući brojnik treba postaviti na nulu.

Na ravnini je gore napisana jednadžba ravne linije pojednostavljena:

ako je x 1  x 2 i x \u003d x 1, ako je x 1 \u003d x 2.

Frakcija
=k se zove faktor nagiba ravno.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca koji prolazi točkama A(1, 2) i B(3, 4).

Primjenom gornje formule dobivamo:

Jednadžba pravca s točkom i kosom.

Ako opća jednadžba ravne linije Ax + Vy + C = 0 dovede do oblika:

i odrediti
, tada se rezultirajuća jednadžba naziva jednadžba pravca s nagibomk.

Jednadžba pravca u točki i usmjeravajućeg vektora.

Analogno s točkom razmatrajući jednadžbu pravca kroz normalni vektor, možete unijeti definiciju pravca kroz točku i usmjeravajućeg vektora pravca.

Definicija. Svaki vektor različit od nule ( 1,  2), čije komponente zadovoljavaju uvjet A 1 + B 2 = 0 naziva se vektor usmjeravanja pravca.

Ax + Wu + C = 0.

Primjer. Nađite jednadžbu pravca s vektorom smjera (1, -1) i prolazi kroz točku A(1, 2).

Jednadžbu željenog pravca tražit ćemo u obliku: Ax + By + C = 0. Sukladno definiciji koeficijenti moraju zadovoljavati uvjete:

1A + (-1)B = 0, tj. A = B.

Tada jednadžba pravca ima oblik: Ax + Ay + C = 0, odnosno x + y + C/A = 0.

pri x = 1, y = 2 dobivamo S/A = -3, tj. željena jednadžba:

Jednadžba pravca u segmentima.

Ako je u općoj jednadžbi ravne linije Ah + Wu + C = 0 C 0, tada, dijeljenjem s –C, dobivamo:
ili

, Gdje

Geometrijsko značenje koeficijenata je da koeficijent A je koordinata točke presjeka pravca s osi x, i b- koordinata sjecišta pravca s osi Oy.

Primjer. Dana je opća jednadžba pravca x – y + 1 = 0. Odredite jednadžbu tog pravca u segmentima.

C = 1,
, a = -1,b = 1.

Normalna jednadžba pravca.

Ako su obje strane jednadžbe Ax + Wy + C = 0 podijeljene s brojem
, koji se zove faktor normalizacije, onda dobivamo

xcos + ysin - p = 0 –

normalna jednadžba ravne linije.

Predznak  normalizirajućeg faktora mora biti odabran tako da S< 0.

p je duljina okomice spuštene iz ishodišta na ravnu crtu, a  je kut koji ta okomica čini s pozitivnim smjerom osi Ox.

Primjer. Dana je opća jednadžba pravca 12x – 5y – 65 = 0. Potrebno je napisati različite vrste jednadžbi za taj pravac.

jednadžba ove linije u segmentima:

jednadžba ove linije s nagibom: (podijeli s 5)

normalna jednadžba pravca:

; cos = 12/13; sin = -5/13; p=5.

Treba imati na umu da se svaka ravna linija ne može prikazati jednadžbom u segmentima, na primjer, ravne linije paralelne s osi ili prolaze kroz ishodište koordinata.

Primjer. Pravac odsijeca jednake pozitivne segmente na koordinatnim osima. Napišite jednadžbu pravca ako je površina trokuta kojeg čine ti segmenti 8 cm2.

Jednadžba ravne linije je:
, a = b = 1; ab/2 = 8; a = 4; -4.

a = -4 nije prikladan prema uvjetima problema.

Ukupno:
ili x + y - 4 = 0.

Primjer. Napišite jednadžbu za ravnu liniju koja prolazi kroz točku A(-2, -3) i ishodište.

Jednadžba ravne linije je:
, gdje je x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Kut između ravnih linija u ravnini.

Definicija. Ako su zadane dvije linije y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , tada će šiljasti kut između ovih linija biti definiran kao

.

Dva pravca su paralelna ako je k 1 = k 2.

Dva su pravca okomita ako je k 1 = -1/k 2 .

Teorema. Ravne linije Ax + Vy + C = 0 i A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 su paralelni kada su koeficijenti A proporcionalni 1 =  A, B 1 =  B. Ako također C 1 =  C, tada se linije podudaraju.

Koordinate točke presjeka dviju pravaca nalaze se kao rješenje sustava jednadžbi tih pravaca.

Jednadžba pravca koji prolazi kroz zadanu točku

okomito na ovu liniju.

Definicija. Pravac koji prolazi kroz točku M 1 (x 1, y 1) i okomit na pravac y \u003d kx + b predstavljen je jednadžbom:

Udaljenost od točke do pravca.

Teorema. Ako je točka M(x 0 , g 0 ), tada je udaljenost do pravca Ah + Vu + S =0 definirana kao

.

Dokaz. Neka je točka M 1 (x 1, y 1) osnovica okomice spuštene iz točke M na zadani pravac. Tada je udaljenost između točaka M i M 1:

Koordinate x 1 i y 1 mogu se pronaći rješavanjem sustava jednadžbi:

Druga jednadžba sustava je jednadžba pravca koji prolazi zadanom točkom M 0 okomito na zadani pravac.

Ako prvu jednadžbu sustava transformiramo u oblik:

A(x – x 0) + B(y – y 0) + Ax 0 + By 0 + C = 0,

tada rješavanjem dobivamo:

Zamjenom ovih izraza u jednadžbu (1), nalazimo:

.

Teorem je dokazan.

Primjer. Odredite kut između pravaca: y = -3x + 7; y = 2x + 1.

k 1 \u003d -3; k 2 = 2tg =
;  = /4.

Primjer. Pokažite da su pravci 3x – 5y + 7 = 0 i 10x + 6y – 3 = 0 okomiti.

Nalazimo: k 1 = 3/5, k 2 = -5/3, k 1 k 2 = -1, dakle, linije su okomite.

Primjer. Zadani su vrhovi trokuta A(0; 1), B(6; 5), C(12; -1). Nađite jednadžbu visine povučene iz vrha C.

Nalazimo jednadžbu stranice AB:
; 4x = 6y - 6;

2x - 3y + 3 = 0;

Tražena jednadžba visine ima oblik: Ax + By + C = 0 ili y = kx + b.

k = . Tada je y =
. Jer visina prolazi kroz točku C, tada njezine koordinate zadovoljavaju ovu jednadžbu:
odakle je b = 17. Ukupno:
.

Odgovor: 3x + 2y - 34 = 0.

Analitička geometrija u prostoru.

Jednadžba pravca u prostoru.

Jednadžba pravca u prostoru zadana točka i

vektor smjera.

Uzmimo proizvoljan pravac i vektor (m, n, p), paralelno sa zadanom pravcem. Vektor nazvao vektor vodiča ravno.

Na pravoj liniji uzmimo dvije proizvoljne točke M 0 (x 0 , y 0 , z 0) i M (x, y, z).

z

M1

Označimo radijus vektore tih točaka kao I , to je očito - =
.

Jer vektori
I su kolinearni, onda je odnos istinit
= t, gdje je t neki parametar.

Ukupno možemo napisati: = + t.

Jer ovu jednadžbu zadovoljavaju koordinate bilo koje točke na liniji, tada je rezultirajuća jednadžba parametarska jednadžba pravca.

Ova vektorska jednadžba može se prikazati u koordinatnom obliku:

Transformacijom ovog sustava i izjednačavanjem vrijednosti parametra t dobivamo kanonske jednadžbe pravca u prostoru:

.

Definicija. Kosinus smjera direktni su kosinusi smjera vektora , koji se može izračunati pomoću formula:

;

.

Odavde dobivamo: m: n: p = cos : cos : cos.

Brojevi m, n, p nazivaju se faktori nagiba ravno. Jer je vektor različit od nule, tada m, n i p ne mogu biti jednaki nuli u isto vrijeme, ali jedan ili dva od ovih brojeva mogu biti jednaki nuli. U tom slučaju, u jednadžbi pravca, odgovarajuće brojnike treba postaviti na nulu.

Jednadžba pravca u prostoru

kroz dvije točke.

Ako na pravoj liniji u prostoru označimo dvije proizvoljne točke M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), tada koordinate tih točaka moraju zadovoljavati jednadžbu ravnice dobiveno gore:

.

Osim toga, za točku M 1 možemo napisati:

.

Rješavajući ove jednadžbe zajedno, dobivamo:

.

Ovo je jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije točke u prostoru.

Opće jednadžbe pravca u prostoru.

Jednadžba pravca može se smatrati jednadžbom presjecišta dviju ravnina.

Kao što je gore objašnjeno, ravnina u vektorskom obliku može se odrediti jednadžbom:

+ D = 0, gdje je

- ravninska normala; - polumjer je vektor proizvoljne točke na ravnini.

Ovaj članak otkriva izvođenje jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke u pravokutnom koordinatnom sustavu smještenom na ravnini. Izvodimo jednadžbu pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke u pravokutnom koordinatnom sustavu. Vizualno ćemo prikazati i riješiti nekoliko primjera vezanih uz pređeno gradivo.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Prije dobivanja jednadžbe pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke potrebno je obratiti pozornost na neke činjenice. Postoji aksiom koji kaže da je kroz dvije nepoklapajuće točke na ravnini moguće povući ravnu liniju i to samo jednu. Drugim riječima, dvije zadane točke ravnine određene su pravcem koji prolazi kroz te točke.

Ako je ravnina dana pravokutnim koordinatnim sustavom Oxy, tada će svaka ravna linija prikazana u njoj odgovarati jednadžbi ravne linije na ravnini. Postoji i veza s vektorom usmjerivača pravca.Ti podaci dovoljni su da se sastavi jednadžba pravca koji prolazi kroz dvije zadane točke.

Pogledajmo primjer rješavanja sličnog problema. Potrebno je formulirati jednadžbu pravca a koji prolazi kroz dvije neusklađene točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) koje se nalaze u Kartezijevom koordinatnom sustavu.

U kanonskoj jednadžbi ravne linije na ravnini, koja ima oblik x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y , pravokutni koordinatni sustav O x y određen je ravnom linijom koja se s njim siječe u točki s koordinatama M 1 (x 1, y 1) s vektorom vodičem a → = (a x , a y) .

Potrebno je sastaviti kanonsku jednadžbu pravca a, koji će prolaziti kroz dvije točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) .

Ravnica a ima vektor smjera M 1 M 2 → s koordinatama (x 2 - x 1, y 2 - y 1), budući da siječe točke M 1 i M 2. Dobili smo potrebne podatke za transformaciju kanonske jednadžbe s koordinatama vektora pravca M 1 M 2 → = (x 2 - x 1, y 2 - y 1) i koordinatama točaka M 1 koje leže na njima. (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2) . Dobivamo jednadžbu oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 = y - y 2 y 2 - y 1.

Razmotrite sliku u nastavku.

Nakon izračuna, zapisujemo parametarske jednadžbe pravca na ravnini koji prolazi kroz dvije točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1) i M 2 (x 2, y 2). Dobivamo jednadžbu oblika x = x 1 + (x 2 - x 1) · λ y = y 1 + (y 2 - y 1) · λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) · λ y = y 2 + (y 2 - y 1) λ.

Pogledajmo pobliže rješavanje nekoliko primjera.

Primjer 1

Napišite jednadžbu pravca koji prolazi kroz 2 zadane točke s koordinatama M 1 - 5, 2 3, M 2 1, - 1 6.

Riješenje

Kanonska jednadžba za pravac koji se siječe u dvije točke s koordinatama x 1, y 1 i x 2, y 2 ima oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1. Prema uvjetu zadatka, imamo da je x 1 = - 5, y 1 = 2 3, x 2 = 1, y 2 = - 1 6. Potrebno je zamijeniti numeričke vrijednosti u jednadžbi x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 . Odavde dobivamo da kanonička jednadžba ima oblik x - (- 5) 1 - (- 5) = y - 2 3 - 1 6 - 2 3 ⇔ x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6.

Odgovor: x + 5 6 = y - 2 3 - 5 6 .

Ako trebate riješiti problem s drugom vrstom jednadžbe, tada prvo možete prijeći na kanoničku, budući da je od nje lakše doći do bilo koje druge.

Primjer 2

Sastavite opću jednadžbu pravca koji prolazi kroz točke s koordinatama M 1 (1, 1) i M 2 (4, 2) u O x y koordinatnom sustavu.

Riješenje

Prvo morate napisati kanoničku jednadžbu zadanog pravca koji prolazi kroz zadane dvije točke. Dobivamo jednadžbu oblika x - 1 4 - 1 = y - 1 2 - 1 ⇔ x - 1 3 = y - 1 1 .

Dovedemo kanoničku jednadžbu u željeni oblik, tada dobivamo:

x - 1 3 = y - 1 1 ⇔ 1 x - 1 = 3 y - 1 ⇔ x - 3 y + 2 = 0

Odgovor: x - 3 y + 2 = 0 .

O primjerima takvih zadataka govorilo se u školskim udžbenicima na satu algebre. Školski zadaci razlikovali su se po tome što je bila poznata jednadžba pravca s kutnim koeficijentom oblika y = k x + b. Ako trebate pronaći vrijednost nagiba k i broja b za koje jednadžba y = k x + b definira liniju u O x y sustavu koja prolazi kroz točke M 1 (x 1, y 1) i M 2 ( x 2, y 2) , gdje je x 1 ≠ x 2 . Kada je x 1 = x 2 , tada kutni koeficijent poprima vrijednost beskonačnosti, a pravac M 1 M 2 definiran je općom nepotpunom jednadžbom oblika x - x 1 = 0 .

Jer točkice M 1 I M 2 nalaze se na ravnoj liniji, tada njihove koordinate zadovoljavaju jednadžbu y 1 = k x 1 + b i y 2 = k x 2 + b. Potrebno je riješiti sustav jednadžbi y 1 = k x 1 + b y 2 = k x 2 + b u odnosu na k i b.

Da bismo to učinili, nalazimo k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 1 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili k \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 b \u003d y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2 .

S ovim vrijednostima k i b, jednadžba pravca koji prolazi kroz date dvije točke postaje y = y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 1 ili y \u003d y 2 - y 1 x 2 - x 1 x + y 2 - y 2 - y 1 x 2 - x 1 x 2.

Pamćenje tako velikog broja formula odjednom neće uspjeti. Za to je potrebno povećati broj ponavljanja u rješavanju zadataka.

Primjer 3

Napišite jednadžbu pravca s kutnim koeficijentom koji prolazi kroz točke s koordinatama M 2 (2, 1) i y = k x + b.

Riješenje

Za rješavanje problema koristimo formulu s kutnim koeficijentom oblika y = k x + b. Koeficijenti k i b moraju imati takvu vrijednost da ova jednadžba odgovara ravnoj liniji koja prolazi kroz dvije točke s koordinatama M 1 (- 7, - 5) i M 2 (2, 1).

Bodovi M 1 I M 2 nalaze se na ravnoj liniji, tada njihove koordinate moraju činiti jednadžbu y = k x + b pravom jednakošću. Iz ovoga dobivamo da je - 5 = k · (- 7) + b i 1 = k · 2 + b. Spojimo jednadžbu u sustav - 5 = k · - 7 + b 1 = k · 2 + b i riješimo.

Nakon zamjene dobivamo to

5 = k - 7 + b 1 = k 2 + b ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k + b = 1 ⇔ b = - 5 + 7 k 2 k - 5 + 7 k = 1 ⇔ ⇔ b = - 5 + 7 k k = 2 3 ⇔ b = - 5 + 7 2 3 k = 2 3 ⇔ b = - 1 3 k = 2 3

Sada su vrijednosti k = 2 3 i b = - 1 3 zamijenjene u jednadžbu y = k x + b . Pronalazimo da će tražena jednadžba koja prolazi kroz zadane točke biti jednadžba oblika y = 2 3 x - 1 3 .

Ovakav način rješavanja predodređuje utrošak velikog vremena. Postoji način na koji se zadatak rješava doslovno u dva koraka.

Napišimo kanonsku jednadžbu pravca koji prolazi kroz M 2 (2, 1) i M 1 (- 7, - 5) u obliku x - (- 7) 2 - (- 7) = y - (- 5 ) 1 - (- 5) ⇔ x + 7 9 = y + 5 6 .

Sada prijeđimo na jednadžbu nagiba. Dobivamo da je: x + 7 9 = y + 5 6 ⇔ 6 (x + 7) = 9 (y + 5) ⇔ y = 2 3 x - 1 3 .

Odgovor: y = 2 3 x - 1 3 .

Ako u trodimenzionalnom prostoru postoji pravokutni koordinatni sustav O x y z s dvije zadane nepoklapajuće točke s koordinatama M 1 (x 1, y 1, z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), ravna linija M koja prolazi kroz njih 1 M 2 , potrebno je dobiti jednadžbu ove linije.

Imamo da su kanonske jednadžbe oblika x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z i parametarske jednadžbe x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ sposobni postaviti pravac u O x y z koordinatnom sustavu koji prolazi kroz točke s koordinatama (x 1, y 1, z 1) s vektorom koji usmjerava a → = (a x, a y, a z) .

Ravno M 1 M 2 ima vektor smjera oblika M 1 M 2 → = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1) , gdje pravac prolazi točkom M 1 (x 1 , y 1 , z 1) i M 2 (x 2, y 2, z 2), stoga kanonska jednadžba može biti oblika x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 ili x - x 2 x 2 - x 1 \u003d y - y 2 y 2 - y 1 \u003d z - z 2 z 2 - z 1, zauzvrat, parametarski x \u003d x 1 + (x 2 - x 1) λ y \u003d y 1 + (y 2 - y 1) λ z = z 1 + (z 2 - z 1) λ ili x = x 2 + (x 2 - x 1) λ y = y 2 + (y 2 - y 1) · λ z = z 2 + (z 2 - z 1) · λ .

Razmotrimo sliku koja prikazuje 2 zadane točke u prostoru i jednadžbu pravca.

Primjer 4

Napišite jednadžbu pravca definiranog u pravokutnom koordinatnom sustavu O x y z trodimenzionalnog prostora, koji prolazi kroz zadane dvije točke s koordinatama M 1 (2, - 3, 0) i M 2 (1, - 3, - 5). ) .

Riješenje

Potrebno je pronaći kanoničku jednadžbu. Budući da govorimo o trodimenzionalnom prostoru, to znači da kada pravac prolazi kroz zadane točke, željena kanonska jednadžba će poprimiti oblik x - x 1 x 2 - x 1 = y - y 1 y 2 - y 1 = z - z 1 z 2 - z 1 .

Po uvjetu imamo da je x 1 = 2, y 1 = - 3, z 1 = 0, x 2 = 1, y 2 = - 3, z 2 = - 5. Slijedi da će se potrebne jednadžbe napisati na sljedeći način:

x - 2 1 - 2 = y - (- 3) - 3 - (- 3) = z - 0 - 5 - 0 ⇔ x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5

Odgovor: x - 2 - 1 = y + 3 0 = z - 5.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter