Kut između vektora u formuli prostora. Točkasti umnožak vektora

Duljina vektora, kut između vektora - ovi pojmovi su prirodno primjenjivi i intuitivni kada se vektor definira kao segment određenog smjera. U nastavku ćemo naučiti kako odrediti kut između vektora u trodimenzionalnom prostoru, njegov kosinus i razmotriti teoriju koristeći primjere.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Kako bismo razmotrili koncept kuta između vektora, okrenimo se grafičkoj ilustraciji: definirajmo dva vektora a → i b → na ravnini ili u trodimenzionalnom prostoru, koji nisu nula. Postavimo i proizvoljnu točku O i iz nje nacrtamo vektore O A → = b → i O B → = b →

Definicija 1

Kut između vektora a → i b → je kut između zraka O A i O B.

Dobiveni kut označit ćemo na sljedeći način: a → , b → ^

Očito, kut može poprimiti vrijednosti od 0 do π ili od 0 do 180 stupnjeva.

a → , b → ^ = 0 kada su vektori susmjerni i a → , b → ^ = π kada su vektori suprotno usmjereni.

Definicija 2

Vektori se nazivaju okomito, ako je kut između njih 90 stupnjeva ili π 2 radijana.

Ako je barem jedan od vektora nula, tada kut a → , b → ^ nije definiran.

Kosinus kuta između dva vektora, a time i sam kut, obično se može odrediti pomoću skalarnog umnoška vektora ili pomoću teorema o kosinusu za trokut konstruiran od dva dana vektora.

Prema definiciji, skalarni produkt je a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Ako su zadani vektori a → i b → različiti od nule, tada desnu i lijevu stranu jednakosti možemo podijeliti s umnoškom duljina tih vektora, čime dobivamo formulu za pronalaženje kosinusa kuta između ne- nulti vektori:

cos a → , b → ^ = a → , b → a → b →

Ova formula se koristi kada izvorni podaci uključuju duljine vektora i njihov skalarni produkt.

Primjer 1

Početni podaci: vektori a → i b →. Duljine su im 3 odnosno 6, a skalarni umnožak im je -9. Potrebno je izračunati kosinus kuta između vektora i pronaći sam kut.

Riješenje

Početni podaci dovoljni su za primjenu gore dobivene formule, tada cos a → , b → ^ = - 9 3 6 = - 1 2 ,

Odredimo sada kut između vektora: a → , b → ^ = a r c cos (- 1 2) = 3 π 4

Odgovor: cos a → , b → ^ = - 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4

Češće se javljaju problemi gdje su vektori određeni koordinatama u pravokutnom koordinatnom sustavu. Za takve slučajeve potrebno je izvesti istu formulu, ali u koordinatnom obliku.

Duljina vektora je definirana kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata, a skalarni umnožak vektora jednak je zbroju umnožaka odgovarajućih koordinata. Tada formula za određivanje kosinusa kuta između vektora na ravnini a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) izgleda ovako:

cos a → , b → ^ = a x b x + a y b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

A formula za pronalaženje kosinusa kuta između vektora u trodimenzionalnom prostoru a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) izgledat će ovako: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Primjer 2

Početni podaci: vektori a → = (2, 0, - 1), b → = (1, 2, 3) u pravokutnom koordinatnom sustavu. Potrebno je odrediti kut između njih.

Riješenje

1. Da bismo riješili problem, možemo odmah primijeniti formulu:

cos a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 1 2 + 2 2 + 3 2 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos (- 1 70) = - a r c cos 1 70

1. Također možete odrediti kut pomoću formule:

cos a → , b → ^ = (a → , b →) a → b → ,

ali prvo izračunajte duljine vektora i skalarni umnožak po koordinatama: a → = 2 2 + 0 2 + (- 1) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 1 + 0 2 + (- 1) 3 = - 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = - 1 5 14 = - 1 70 ⇒ a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Odgovor: a → , b → ^ = - a r c cos 1 70

Česti su i zadaci kada su koordinate triju točaka zadane u pravokutnom koordinatnom sustavu i potrebno je odrediti neki kut. A zatim, da bi se odredio kut između vektora sa zadanim koordinatama točaka, potrebno je izračunati koordinate vektora kao razliku između odgovarajućih točaka početka i kraja vektora.

Primjer 3

Početni podaci: na ravnini u pravokutnom koordinatnom sustavu zadane su točke A (2, - 1), B (3, 2), C (7, - 2). Potrebno je odrediti kosinus kuta između vektora A C → i B C →.

Riješenje

Nađimo koordinate vektora iz koordinata zadanih točaka A C → = (7 - 2, - 2 - (- 1)) = (5, - 1) B C → = (7 - 3, - 2 - 2) = (4, - 4)

Sada koristimo formulu za određivanje kosinusa kuta između vektora na ravnini u koordinatama: cos A C → , B C → ^ = (A C → , B C →) A C → · B C → = 5 · 4 + (- 1) · (- 4) 5 2 + (- 1) 2 4 2 + (- 4) 2 = 24 26 32 = 3 13

Odgovor: cos A C → , B C → ^ = 3 13

Kut između vektora može se odrediti pomoću kosinusnog teorema. Odvojimo vektore O A → = a → i O B → = b → iz točke O, tada će prema teoremu kosinusa u trokutu O A B vrijediti jednakost:

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) ,

što je ekvivalentno:

b → - a → 2 = a → + b → - 2 a → b → cos (a → , b →) ^

i odavde izvodimo formulu za kosinus kuta:

cos (a → , b →) ^ = 1 2 a → 2 + b → 2 - b → - a → 2 a → b →

Za primjenu dobivene formule potrebne su nam duljine vektora koje se lako mogu odrediti iz njihovih koordinata.

Iako se ova metoda odvija, formula se ipak češće koristi:

cos (a → , b →) ^ = a → , b → a → b →

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Skalarni produkt vektora (u daljnjem tekstu SP). Dragi prijatelji! Ispit iz matematike uključuje skupinu zadataka o rješavanju vektora. Već smo razmotrili neke probleme. Možete ih vidjeti u kategoriji "Vektori". Općenito, teorija vektora nije komplicirana, glavna stvar je dosljedno je proučavati. Izračuni i operacije s vektorima u školskom tečaju matematike su jednostavni, formule nisu komplicirane. Pogledaj. U ovom ćemo članku analizirati probleme na SP vektora (uključeni u Jedinstveni državni ispit). Sada “uronjenje” u teoriju:

H Da biste pronašli koordinate vektora, trebate oduzeti koordinate njegovog krajaodgovarajuće koordinate njegovog ishodišta

I dalje:

* Duljina vektora (modul) određena je na sljedeći način:

Ove formule se moraju zapamtiti!!!

Pokažimo kut između vektora:

Jasno je da može varirati od 0 do 180 0(ili u radijanima od 0 do Pi).

Možemo izvući neke zaključke o predznaku skalarnog produkta. Duljine vektora imaju pozitivnu vrijednost, to je očito. To znači da predznak skalarnog umnoška ovisi o vrijednosti kosinusa kuta između vektora.

Mogući slučajevi:

1. Ako je kut između vektora oštar (od 0 0 do 90 0), tada će kosinus kuta imati pozitivnu vrijednost.

2. Ako je kut između vektora tup (od 90 0 do 180 0), tada će kosinus kuta imati negativnu vrijednost.

*Na nula stupnjeva, odnosno kada vektori imaju isti smjer, kosinus je jednak jedan i, prema tome, rezultat će biti pozitivan.

Na 180o, tj. kada vektori imaju suprotne smjerove, kosinus je jednak minus jedan,te će sukladno tome rezultat biti negativan.

Sada ono VAŽNO!

Pod 90 o, odnosno kada su vektori okomiti jedan na drugi, kosinus je jednak nuli, pa je stoga SP jednak nuli. Ova činjenica (posljedica, zaključak) koristi se u rješavanju mnogih problema u kojima je riječ o međusobnom položaju vektora, pa tako iu zadacima koji se nalaze u otvorenoj banci matematičkih zadataka.

Formulirajmo tvrdnju: skalarni produkt je jednak nuli ako i samo ako ti vektori leže na okomitim pravcima.

Dakle, formule za SP vektore:

Ako su poznate koordinate vektora ili koordinate točaka njihovih početaka i krajeva, uvijek možemo pronaći kut između vektora:

Razmotrimo zadatke:

27724 Nađite skalarni produkt vektora a i b.

Skalarni produkt vektora možemo pronaći pomoću jedne od dvije formule:

Kut između vektora je nepoznat, ali možemo lako pronaći koordinate vektora i zatim koristiti prvu formulu. Budući da se ishodišta oba vektora podudaraju s ishodištima koordinata, koordinate tih vektora jednake su koordinatama njihovih krajeva, tj.

Kako pronaći koordinate vektora opisano je u.

Računamo:

Odgovor: 40

Nađimo koordinate vektora i upotrijebimo formulu:

Za pronalaženje koordinata vektora potrebno je od koordinata kraja vektora oduzeti odgovarajuće koordinate njegovog početka, što znači

Izračunavamo skalarni produkt:

Odgovor: 40

Odredite kut između vektora a i b. Odgovorite u stupnjevima.

Neka koordinate vektora imaju oblik:

Za pronalaženje kuta između vektora koristimo formulu za skalarni produkt vektora:

Kosinus kuta između vektora:

Stoga:

Koordinate ovih vektora su jednake:

Zamijenimo ih u formulu:

Kut između vektora je 45 stupnjeva.

Odgovor: 45

Kut između dva vektora, :

Ako je kut između dva vektora oštar, tada je njihov skalarni produkt pozitivan; ako je kut između vektora tup, tada je skalarni produkt tih vektora negativan. Skalarni produkt dva vektora različita od nule jednak je nuli ako i samo ako su ti vektori ortogonalni.

Vježbajte. Odredite kut između vektora i

Riješenje. Kosinus željenog kuta

16. Izračunavanje kuta između pravaca, pravca i ravnine

Kut između pravca i ravnine, koji siječe ovaj pravac, a ne okomit na njega, je kut između pravca i njegove projekcije na ovu ravninu.

Određivanje kuta između pravca i ravnine omogućuje nam da zaključimo da je kut između pravca i ravnine kut između dva pravca koji se sijeku: samog pravca i njegove projekcije na ravninu. Stoga je kut između pravca i ravnine šiljasti kut.

Kut između okomitog pravca i ravnine smatra se jednakim , a kut između paralelnog pravca i ravnine ili uopće nije određen ili se smatra jednakim .

§ 69. Izračunavanje kuta između ravnih linija.

Zadatak izračunavanja kuta između dviju ravnih crta u prostoru rješava se na isti način kao i na ravnini (§ 32). Označimo s φ veličinu kuta između pravaca l 1 i l 2, a kroz ψ - veličinu kuta između vektora smjera A I b ove ravne linije.

Onda ako

ψ 90° (sl. 206.6), tada je φ = 180° - ψ. Očito, u oba slučaja vrijedi jednakost cos φ = |cos ψ|. Po formuli (1) § 20 imamo

stoga,

Neka su pravci zadani svojim kanonskim jednadžbama

Zatim se pomoću formule određuje kut φ između pravaca

Ako je jedna od linija (ili obje) dana nekanonskim jednadžbama, tada za izračun kuta morate pronaći koordinate vektora smjera tih linija, a zatim koristiti formulu (1).

17. Paralelni pravci, Teoreme o paralelnim pravcima

Definicija. Dva pravca u ravnini nazivaju se paralelno, ako nemaju dodirnih točaka.

Dvije linije u trodimenzionalnom prostoru nazivaju se paralelno, ako leže u istoj ravnini i nemaju zajedničkih točaka.

Kut između dva vektora.

Iz definicije točkastog produkta:

.

Uvjet ortogonalnosti dvaju vektora:

Uvjet kolinearnosti dvaju vektora:

.

Iz definicije 5 slijedi - . Doista, iz definicije umnoška vektora i broja slijedi. Stoga, na temelju pravila jednakosti vektora, pišemo , , , što implicira . Ali vektor dobiven množenjem vektora s brojem kolinearan je vektoru.

Projekcija vektora na vektor:

.

Primjer 4. S obzirom na bodove , , , .

Pronađite točkasti umnožak.

Riješenje. nalazimo pomoću formule za skalarni umnožak vektora zadanih njihovim koordinatama. Jer

, ,

Primjer 5. S obzirom na bodove , , , .

Pronađite projekciju.

Riješenje. Jer

, ,

Na temelju projekcijske formule imamo

.

Primjer 6. S obzirom na bodove , , , .

Pronađite kut između vektora i .

Riješenje. Imajte na umu da vektori

, ,

nisu kolinearni jer im koordinate nisu proporcionalne:

.

Ovi vektori također nisu okomiti, jer je njihov skalarni produkt .

Nađimo

Kutak nalazimo iz formule:

.

Primjer 7. Odredite na kojim vektorima i kolinearni.

Riješenje. U slučaju kolinearnosti, odgovarajuće koordinate vektora i mora biti proporcionalan, tj.

.

Stoga i.

Primjer 8. Odredite pri kojoj vrijednosti vektora I okomito.

Riješenje. Vektor a okomiti su ako je njihov skalarni produkt nula. Iz ovog uvjeta dobivamo: . To je, .

Primjer 9. Pronaći , Ako , , .

Riješenje. Zbog svojstava skalarnog produkta imamo:

Primjer 10. Pronađite kut između vektora i , gdje je i - jedinične vektore i kut između vektora i jednak je 120°.

Riješenje. Imamo: , ,

Konačno imamo: .

5 B. Vektorsko umjetničko djelo.

Definicija 21.Vektorsko umjetničko djelo vektor po vektor naziva se vektor, ili definiran sa sljedeća tri uvjeta:

1) Modul vektora je jednak , gdje je kut između vektora i , tj. .

Slijedi da je modul vektorskog proizvoda numerički jednak površini paralelograma konstruiranog na vektorima i obje strane.

2) Vektor je okomit na svaki od vektora i ( ; ), tj. okomito na ravninu paralelograma konstruiranog na vektorima i .

3) Vektor je usmjeren tako da bi, gledano s njegovog kraja, najkraći okret od vektora do vektora bio u smjeru suprotnom od kazaljke na satu (vektori , , tvore desnu trojku).

Kako izračunati kutove između vektora?

Kada proučavate geometriju, postavljaju se mnoga pitanja na temu vektora. Posebne poteškoće učenik ima kada treba pronaći kutove između vektora.

Osnovni pojmovi

Prije nego što pogledate kutove između vektora, morate se upoznati s definicijom vektora i konceptom kuta između vektora.

Vektor je segment koji ima pravac, odnosno segment za koji su definirani njegov početak i kraj.

Kut između dva vektora na ravnini koji imaju zajedničko ishodište je manji od kutova za koliko se jedan od vektora treba pomaknuti oko zajedničke točke dok im se smjerovi ne poklope.

Formula za rješenje

Nakon što shvatite što je vektor i kako se određuje njegov kut, možete izračunati kut između vektora. Formula rješenja za to je prilično jednostavna, a rezultat njegove primjene bit će vrijednost kosinusa kuta. Prema definiciji, jednak je kvocijentu skalarnog umnoška vektora i umnoška njihovih duljina.

Skalarni umnožak vektora izračunava se kao zbroj odgovarajućih koordinata faktor vektora međusobno pomnoženih. Duljina vektora ili njegov modul izračunava se kao kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata.

Nakon što ste dobili vrijednost kosinusa kuta, možete izračunati vrijednost samog kuta pomoću kalkulatora ili pomoću trigonometrijske tablice.

Primjer

Nakon što shvatite kako izračunati kut između vektora, rješavanje odgovarajućeg problema postat će jednostavno i jasno. Kao primjer, vrijedi razmotriti jednostavan problem pronalaženja vrijednosti kuta.

Prije svega, bit će prikladnije izračunati vrijednosti vektorskih duljina i njihov skalarni proizvod koji su potrebni za rješenje. Koristeći gornji opis, dobivamo:

Zamjenom dobivenih vrijednosti u formulu izračunavamo vrijednost kosinusa željenog kuta:

Ovaj broj nije jedna od pet uobičajenih vrijednosti kosinusa, tako da ćete za dobivanje kuta morati koristiti kalkulator ili Bradisovu trigonometrijsku tablicu. Ali prije dobivanja kuta između vektora, formula se može pojednostaviti kako bi se uklonio dodatni negativni predznak:

Kako biste održali točnost, konačni odgovor možete ostaviti kakav jest ili možete izračunati vrijednost kuta u stupnjevima. Prema Bradisovoj tablici njegova će vrijednost biti otprilike 116 stupnjeva i 70 minuta, a kalkulator će pokazati vrijednost od 116,57 stupnjeva.

Izračunavanje kuta u n-dimenzionalnom prostoru

Kada se razmatraju dva vektora u trodimenzionalnom prostoru, mnogo je teže razumjeti o kojem kutu govorimo ako ne leže u istoj ravnini. Da biste pojednostavili percepciju, možete nacrtati dva segmenta koji se presijecaju i koji čine najmanji kut između njih, to će biti željeni. Unatoč prisutnosti treće koordinate u vektoru, proces izračunavanja kutova između vektora neće se promijeniti. Izračunajte skalarni produkt i module vektora, ark kosinus njihovog kvocijenta će biti odgovor na ovaj problem.

U geometriji često postoje problemi s prostorima koji imaju više od tri dimenzije. Ali za njih algoritam za pronalaženje odgovora izgleda slično.

Razlika između 0 i 180 stupnjeva

Jedna od čestih pogrešaka pri pisanju odgovora na zadatak za izračunavanje kuta između vektora je odluka da se napiše da su vektori paralelni, odnosno da je željeni kut jednak 0 ili 180 stupnjeva. Ovaj odgovor nije točan.

Dobivši vrijednost kuta od 0 stupnjeva kao rezultat rješenja, točan odgovor bi bio označiti vektore kao susmjerne, odnosno vektori će imati isti smjer. Ako se dobije 180 stupnjeva, vektori će biti suprotno usmjereni.

Specifični vektori

Nakon što ste pronašli kutove između vektora, možete pronaći jednu od posebnih vrsta, osim gore opisanih istosmjernih i suprotnosmjernih.

• Nekoliko vektora paralelnih s jednom ravninom nazivamo komplanarima.
• Vektori koji su jednaki po duljini i smjeru nazivaju se jednakima.
• Vektori koji leže na istoj ravnoj liniji, bez obzira na smjer, nazivaju se kolinearima.
• Ako je duljina vektora nula, odnosno početak i kraj mu se poklapaju, tada se on naziva nula, a ako je jedinica jedinica.

Kako pronaći kut između vektora?

pomozi mi molim te! Znam formulu, ali ne mogu izračunati ((
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Aleksandar Titov

Kut između vektora specificiranih njihovim koordinatama nalazi se pomoću standardnog algoritma. Najprije trebate pronaći skalarni produkt vektora a i b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Ovdje ćemo zamijeniti koordinate ovih vektora i izračunati:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Zatim određujemo duljine svakog od vektora. Duljina ili modul vektora je kvadratni korijen zbroja kvadrata njegovih koordinata:
|a| = korijen iz (x1^2 + y1^2 + z1^2) = korijen iz (8^2 + 10^2 + 4^2) = korijen iz (64 + 100 + 16) = korijen iz 180 = 6 korijena iz 5
|b| = korijen iz (x2^2 + y2^2 + z2^2) = korijen iz (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = korijen iz (25 + 400 + 100) = korijen od 525 = 5 korijena od 21.
Množimo te duljine. Dobivamo 30 korijena od 105.
I na kraju, dijelimo skalarni umnožak vektora s umnoškom duljina tih vektora. Dobivamo -200/(30 korijena od 105) ili
- (4 korijena od 105) / 63. Ovo je kosinus kuta između vektora. A sam kut je jednak arkosinusu ovog broja
f = arccos (-4 korijena od 105) / 63.
Ako sam sve dobro prebrojao.

Kako izračunati sinus kuta između vektora koristeći koordinate vektora

Mihail Tkačev

Pomnožimo ove vektore. Njihov skalarni umnožak jednak je umnošku duljina tih vektora i kosinusa kuta između njih.
Kut nam je nepoznat, ali su koordinate poznate.
Zapišimo to matematički ovako.
Neka su zadani vektori a(x1;y1) i b(x2;y2).
Zatim

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Razgovarajmo.
a*b-skalarni umnožak vektora jednak je zbroju umnožaka odgovarajućih koordinata koordinata tih vektora, tj. jednak x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produkt duljina vektora jednak je √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

To znači da je kosinus kuta između vektora jednak:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Znajući kosinus kuta, možemo izračunati njegov sinus. Razmotrimo kako to učiniti:

Ako je kosinus kuta pozitivan, tada taj kut leži u 1 ili 4 kvadranta, što znači da je njegov sinus pozitivan ili negativan. Ali budući da je kut između vektora manji ili jednak 180 stupnjeva, tada je njegov sinus pozitivan. Slično razmišljamo ako je kosinus negativan.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

To je to)))) sretno u pronalaženju toga)))

Dmitrij Leviščev

Činjenica da je nemoguće izravno sinusirati nije istina.
Osim formule:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Postoji i ovaj:
||=|a|*|b|*sin A
To jest, umjesto skalarnog proizvoda, možete uzeti modul vektorskog proizvoda.

Odjeljci: Matematika

Vrsta lekcije: učenje novog gradiva.

Odgojni zadaci:

– izvesti formulu za izračunavanje kuta između dva vektora;

– nastaviti razvijati vještine primjene vektora za rješavanje problema;

– nastaviti razvijati interes za matematiku kroz rješavanje zadataka;

– njegovati svjestan odnos prema procesu učenja, usaditi osjećaj odgovornosti za kvalitetu znanja, vježbati samokontrolu nad procesom rješavanja i osmišljavanja vježbi.

Pružanje nastave:

– tablica “Vektori u ravnini i prostoru”;

– kartice sa zadacima za individualno ispitivanje;

– kartice sa zadacima za probni rad;

- mikrokalkulatori.

Učenik mora znati:

– formula za izračunavanje kuta između vektora.

Student mora biti sposoban:

– primijeniti stečena znanja za rješavanje analitičkih, geometrijskih i primijenjenih problema.

Motivacija kognitivne aktivnosti učenika.

Nastavnik navodi da će danas na nastavi učenici naučiti izračunati kut između vektora i primijeniti stečeno znanje na rješavanje zadataka tehničke mehanike i fizike. Većina zadataka iz discipline “Tehnička mehanika” rješava se vektorskom metodom. Tako se pri proučavanju teme "Ravninski sustav konvergentnih sila", "Pronalaženje rezultante dviju sila" koristi formula za izračunavanje kuta između dva vektora.

Napredak lekcije.

I. Organizacijski trenutak.

II. Provjera domaće zadaće.

a) Individualno istraživanje pomoću kartica.

kartica 1.

1. Napiši svojstva zbrajanja dvaju vektora.

2. U kojoj vrijednosti m vektori i hoće li biti kolinearni?

kartica 2.

1. Kako se naziva umnožak vektora i broja?

2. Jesu li vektori i ?

kartica 3.

1. Formulirajte definiciju skalarnog produkta dvaju vektora.

2. Pri kojoj vrijednosti duljine vektora i hoće li biti jednaki?

kartica 4.

1. Zapišite formule za izračunavanje koordinata vektora i duljine vektora?

2. Jesu li vektori i ?

b) Pitanja za frontalni upitnik:

1. Koje radnje se mogu izvesti na vektorima s obzirom na njihove koordinate?
2. Koji vektori se nazivaju kolinearnim?
3. Uvjet kolinearnosti dva vektora različita od nule?
4. Određivanje kuta između vektora?
5. Definicija skalarnog umnoška dva vektora različita od nule?
6. Potreban i dovoljan uvjet da dva vektora budu okomita?
7. Koje je fizičko značenje skalarnog produkta dvaju vektora?
8. Napiši formule za izračunavanje skalarnog umnoška dvaju vektora preko njihovih koordinata u ravnini i prostoru.
9. Napiši formule za izračunavanje duljine vektora u ravnini i prostoru.

III. Učenje novog gradiva.

a) Izvedimo formulu za izračunavanje kuta između vektora u ravnini i prostoru. Prema definiciji skalarnog produkta dva vektora različita od nule:

cos

Stoga, ako i , onda

kosinus kuta između vektora različitih od nule i jednak je skalarnom umnošku tih vektora podijeljenom umnošku njihovih duljina. Ako su vektori navedeni u pravokutnom kartezijskom koordinatnom sustavu na ravnini, tada se kosinus kuta između njih izračunava formulom:

= (x 1 ; y 1); = (x 2 ; y 2)

cos =

U prostoru: = (x 1; y 1; z 1); = (x 2; y 2 ​​​​; z 2)

cos =

Riješiti probleme:

Zadatak 1: Odredite kut između vektora = (1; -2), = (-3; 1).

Arccos = 135°

Zadatak 2: U trokutu ABC odredite veličinu kuta B ako

A (0; 5; 0), B (4; 3; -8), C (-1; -3; -6).

cos = =

Zadatak 3: Nađite kut između vektora i ako je A (1; 6),

B (1; 0), C (-2; 3).

cos = = = –

IV. Primjena znanja u rješavanju tipičnih problema.

ZADACI ANALITIČKOG KARAKTERA.

Odredite kut između vektora i ako je A (1; -3; -4),

B (-1; 0; 2), C (2; -4; -6), D (1; 1; 1).

Nađite skalarni produkt vektora ako je , = 30°.

Pri kojim vrijednostima vektorskih duljina i hoće li biti jednaki?

Izračunajte kut između vektora i

Izračunajte površinu paralelograma konstruiranog pomoću vektora

I .

PRIMIJENJENI ZADACI

Nađi rezultantu dviju sila 1 i 2, ako je = 5H; = 7H, kut između njih = 60°.

° + .

Izračunajte rad koji izvrši sila = (6; 2), ako se njezina točka djelovanja, gibajući se pravocrtno, pomakne iz položaja A (-1; 3) u položaj B (3; 4).

Neka je brzina materijalne točke i neka je sila koja na nju djeluje. Kolika je snaga koju razvija sila ako je = 5H, = 3,5 m/s;

VI. Sažimanje lekcije.

VII. Domaća zadaća:

G.N. Yakovlev, Geometrija, §22, paragraf 191

5.22, 5.27, 192.