Izračunajte na najracionalniji način. Racionalne metode proračuna

Trenutačna razina razvoja alata za automatizaciju računala stvorila je iluziju kod mnogih da uopće nije potrebno razvijati računalne vještine. To je utjecalo na pripremljenost školaraca. U nedostatku kalkulatora, čak i jednostavni računalni zadaci mnogima postaju problem.

Istodobno, ispitni zadaci i materijali za Jedinstveni državni ispit sadrže mnoge zadatke, čije rješavanje zahtijeva sposobnost ispitanika da racionalno organiziraju izračune.

U ovom ćemo članku pogledati neke metode za optimizaciju izračuna i njihovu primjenu na konkurentske probleme.

Najčešće su metode optimizacije izračuna povezane s primjenom osnovnih zakona izvođenja aritmetičkih operacija.

Na primjer:

125 · 24 = 125 · 8 · 3 = 1000 · 3 = 3000; ili

98 · 16(100 – 2) · 16 = 100 · 16 – 2 · 16 = 1600 – 32 = 1568 itd.

Drugi smjer - korištenje formula za skraćeno množenje.

96 · 104 = (100 – 4) · (100 + 4) = 100 2 – 4 2 = 10000 – 16 = 9984; ili

115 2 = (100 + 15) 2 = 10000 + 2 15 100 + 225 = 10525.

Sljedeći primjer je zanimljiv za proračune.

Izračunati:

(197 · 203 + 298 · 302 + 13) / (1999 · 2001 + 2993 · 3007 + 50) =
= ((200 – 3) · (200 + 3) + (300 – 2) · (300 + 2) + 13) / ((2000 – 1) · (2000 + 1) + (3000 – 7) · (3000 + 7) + 50) =
= (200 2 – 3 2 + 300 2 – 2 2 + 13) / (2000 2 – 1 2 + 3000 2 – 7 2 – 50) =
= 130000 / 13000000 = 0,01

Ovo su gotovo standardni načini optimizacije izračuna. Ponekad se nude i egzotičniji. Kao primjer, razmotrite metodu množenja dvoznamenkastih brojeva čiji zbroj jedinica daje 10.

54 26 = 50 30 + 4 (26 – 50) = 1500 – 96 =1404 ili

43 87 = 40 90 + 3 (87 – 40) = 3600 + 141 = 3741.

Shema množenja može se razumjeti sa slike.

Odakle dolazi ova shema množenja?

Naši brojevi prema uvjetu imaju oblik: M = 10m + n, K = 10k + (10 – n). Sastavimo komad:

M K = (10m + n)(10k + (10 – n)) =
= 100mk + 100m – 10mn + 10nk + 10n – n 2 =
= m(k + 1) 100 + n(10k + 10 – n) =
= (10m) · (10 · (k + 1)) + n · (K – 10m) i metoda je opravdana.

Postoji mnogo pametnih načina za pretvaranje prilično složenih izračuna u mentalne probleme. Ali ne možete misliti da svi moraju zapamtiti ove i hrpu drugih pametnih načina za pojednostavljivanje izračuna. Važno je samo naučiti neke osnovne. Analiza drugih ima smisla samo za razvijanje vještina korištenja osnovnih metoda. Upravo njihova kreativna uporaba omogućuje brzo i ispravno rješavanje računskih problema.

Ponekad je prilikom rješavanja računskih primjera zgodno prijeći s transformacije izraza s brojevima na transformaciju polinoma. Razmotrite sljedeći primjer.

Izračunajte na najracionalniji način:

3 1/117 4 1/110 -1 110/117 5 118/119 - 5/119

Riješenje.

Neka je a = 1/117 i b = 1/119. Tada je 3 1 / 117 = 3 + a, 4 1 / 119 = 4 + b, 1 116 / 117 = 2 – a, 5 118 / 119 = 6 – b.

Dakle, navedeni izraz se može napisati kao (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b.

Nakon izvođenja jednostavnih transformacija polinoma, dobivamo 10a ili 10 / 117.

Ovdje smo dobili da vrijednost našeg izraza ne ovisi o b. To znači da smo izračunali ne samo vrijednost ovog izraza, već i bilo kojeg drugog dobivenog iz (3 + a) · (4 + b) – (2 – a) · (6 – b) – 5b zamjenom vrijednosti od a i b. Ako je, na primjer, a = 5 / 329, tada će odgovor biti 50 / 329 , što god b.

Pogledajmo još jedan primjer čije je rješavanje pomoću kalkulatora gotovo nemoguće, a odgovor je vrlo jednostavan ako poznajete pristup rješavanju primjera ove vrste

Izračunati

1 / 6 · 7 1024 – (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) · ( 7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1)

Riješenje.

Transformirajmo stanje

1 / 6 7 1024 - 1 / 6 (7 512 + 1) (7 256 + 1) (7 128 + 1) (7 64 +1) (7 32 + 1) (7 16 + 1) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 + 1) · (7 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 2 + 1) · (7 2 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 4 + 1) · (7 4 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 + 1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 8 + 1) · (7 8 – 1) =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 256 +1) · (7 128 + 1) · (7 64 + 1) · (7 32 + 1) · (7 16 + 1) ) · (7 16 – 1) = … =

1/6 · 7 1024 - 1/6 (7 512 + 1) · (7 512 – 1) = 1/6 · 7 1024 - 1/6 · (7 1024 – 1) = 1/6

Pogledajmo jedan primjer koji je već postao udžbenik u ispitnom materijalu za tečaj osnovne škole.

Izračunajte iznos:

1/2 + 1 / (2 3) + 1 / (3 4) + 1 / (4 5) + … + 1 / (120 121) =

= (1 – 1/2) + (1/2 – 1/3) + (1/3 – 1/4) + (1/4 – 1/5) + … + (1/120 – 1/121) =

= 1 – 1/121 = 120/121.

Odnosno, ovaj problem je riješen zamjenom svakog razlomka s razlikom od dva razlomka. Pokazalo se da su zbroj parovi suprotnih brojeva za sve osim za prvi i zadnji.

Ali ovaj se primjer može generalizirati. Razmotrimo iznos:

k/(n (n + k)) + k/((n + k) (n + 2k)) + k/((n + 2k) (n + 3k)) + … + k/(( n+(m) – 1)k) (n + mk))

Za njega vrijedi isto razmišljanje kao u prethodnom primjeru. Doista:

1/n – 1/(n + k) = k/(n · (n + k));

1/((n + k) – 1/(n + 2k) = k/((n + k) (n + 2k)), itd.

Zatim ćemo konstruirati odgovor prema istoj shemi: 1/n – 1/(n + mk) = mk/(n (n + mk))

I više o "dugim" iznosima.

Iznos

X = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/1024

može se izračunati kao zbroj 11 članova geometrijske progresije s nazivnikom 1/2 i prvim članom 1. Ali isti zbroj može izračunati učenik 5. razreda koji nema pojma o progresijama. Da bismo to učinili, dovoljno je uspješno odabrati broj koji ćemo dodati zbroju X. Ovaj broj ovdje će biti 1/1024.

Idemo izračunati

X + 1/1024 = 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + (1/1024 + 1 /1024) =
= 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/512 + 1/512 =
=1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + 1/64 + 1/128 + 1/256 + 1/256 = … = 1 + 1/2 + 1/2 = 2.

Sada je očito da je X = 2 – 1/1024 = 1 1023 / 1024 .

Druga metoda nije ništa manje obećavajuća. Pomoću njega možete izračunati iznos:

S = 9 + 99 + 999 + 9999 + … + 99 999 999 999.

Ovdje je “sretan” broj 11. Dodajte ga S i ravnomjerno rasporedite na svih 11 članova. Svaki od njih će tada dobiti 1. Tada imamo:

S + 11 = 9 + 1 + 99 + 1 + 999 + 1 + 9999 + 1 + … + 99 999 999 999 + 1 =
= 10 + 100 + 1000 + 10000 + ... + 100 000 000 000 = 111 111 111 110;

Stoga je S = 111 111 111 110 – 11 = 111 111 111 099.

1 + 11 + 111 + 1111 + ... + 1 111 111 111?

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

U dalekoj prošlosti, kada brojevni sustav još nije bio izmišljen, ljudi su sve brojali na prste. Pojavom aritmetike i osnova matematike postalo je mnogo lakše i praktičnije pratiti robu, proizvode i kućanske potrepštine. No, kako izgleda moderni računski sustav: na koje se vrste dijele postojeći brojevi i što znači “racionalni oblik brojeva”? Hajdemo shvatiti.

Koliko vrsta brojeva postoji u matematici?

Sam koncept "broja" označava određenu jedinicu bilo kojeg objekta koja karakterizira njegove kvantitativne, usporedne ili redne pokazatelje. Da biste ispravno izračunali broj određenih stvari ili izvršili određene matematičke operacije s brojevima (zbrajanje, množenje itd.), trebali biste se prije svega upoznati s varijantama tih istih brojeva.

Dakle, postojeći brojevi mogu se podijeliti u sljedeće kategorije:

1. Prirodni brojevi su oni brojevi kojima brojimo predmete (najmanji prirodni broj je 1, logično je da je niz prirodnih brojeva beskonačan, tj. ne postoji najveći prirodni broj). Skup prirodnih brojeva obično se označava slovom N.
2. Cijeli brojevi. Ovaj skup uključuje sve, dok su mu dodane i negativne vrijednosti, uključujući broj "nula". Oznaka skupa cijelih brojeva piše se latiničnim slovom Z.
3. Racionalni brojevi su oni koje mentalno možemo pretvoriti u razlomak, čiji će brojnik pripadati skupu cijelih brojeva, a nazivnik skupu prirodnih brojeva. U nastavku ćemo detaljnije pogledati što znači "racionalan broj" i dati neke primjere.
4. - skup koji uključuje sve racionalne i Ovaj skup se označava slovom R.
5. Kompleksni brojevi sadrže dio realnog broja i dio varijabilnog broja. Koriste se u rješavanju raznih kubičnih jednadžbi, koje zauzvrat mogu imati negativan izraz u formulama (i 2 = -1).

Što znači "racionalno": pogledajmo primjere

Ako se oni brojevi koje možemo predstaviti kao obični razlomak smatramo racionalnima, tada se ispostavlja da su svi pozitivni i negativni cijeli brojevi također uključeni u skup racionalnih brojeva. Uostalom, svaki cijeli broj, na primjer 3 ili 15, može se prikazati kao razlomak, gdje je nazivnik jedan.

Razlomci: -9/3; 7/5, 6/55 su primjeri racionalnih brojeva.

Što znači "racionalno izražavanje"?

Samo naprijed. Već smo raspravljali o tome što znači racionalni oblik brojeva. Zamislimo sada matematički izraz koji se sastoji od zbroja, razlike, umnoška ili kvocijenta različitih brojeva i varijabli. Evo primjera: razlomak u kojem je brojnik zbroj dvaju ili više cijelih brojeva, a nazivnik sadrži i cijeli broj i neku varijablu. Upravo se takvo izražavanje naziva racionalnim. Na temelju pravila "ne možete dijeliti s nulom", možete pretpostaviti da vrijednost ove varijable ne može biti takva da vrijednost nazivnika postane nula. Stoga, kada rješavate racionalni izraz, prvo morate odrediti raspon varijable. Na primjer, ako nazivnik ima sljedeći izraz: x+5-2, tada ispada da "x" ne može biti jednako -3. Dapače, u ovom slučaju cijeli izraz se pretvara u nulu, pa je prilikom rješavanja potrebno isključiti cijeli broj -3 za ovu varijablu.

Kako ispravno riješiti racionalne jednadžbe?

Racionalni izrazi mogu sadržavati prilično velik broj brojeva i čak 2 varijable, pa ponekad njihovo rješavanje postaje teško. Kako bi se olakšalo rješenje takvog izraza, preporuča se izvršiti određene operacije na racionalan način. Dakle, što znači “racionalno” i koja pravila treba primijeniti pri donošenju odluke?

1. Prvi tip, kada je dovoljno samo pojednostaviti izraz. Da biste to učinili, možete pribjeći operaciji smanjivanja brojnika i nazivnika na nesvodljivu vrijednost. Na primjer, ako brojnik sadrži izraz 18x, a nazivnik 9x, tada smanjenjem oba eksponenta za 9x jednostavno dobivamo cijeli broj jednak 2.
2. Druga metoda je praktična kada u brojniku imamo monom, a u nazivniku polinom. Pogledajmo primjer: u brojniku imamo 5x, au nazivniku - 5x + 20x 2. U ovom slučaju najbolje je varijablu u nazivniku izvaditi iz zagrade, dobivamo sljedeći oblik nazivnika: 5x(1+4x). Sada možete koristiti prvo pravilo i pojednostaviti izraz poništavanjem 5x u brojniku i nazivniku. Kao rezultat, dobivamo razlomak oblika 1/1+4x.

Koje operacije možete izvoditi s racionalnim brojevima?

Skup racionalnih brojeva ima niz vlastitih karakteristika. Mnogi od njih su vrlo slični karakteristikama prisutnim u cijelim i prirodnim brojevima, zbog činjenice da su potonji uvijek uključeni u skup racionalnih brojeva. Evo nekoliko svojstava racionalnih brojeva, znajući koje možete lako riješiti bilo koji racionalni izraz.

1. Svojstvo komutativnosti omogućuje zbrajanje dvaju ili više brojeva, bez obzira na njihov redoslijed. Jednostavno rečeno, promjena mjesta članova ne mijenja zbroj.
2. Svojstvo raspodjele omogućuje rješavanje problema pomoću zakona o raspodjeli.
3. I na kraju, operacije zbrajanja i oduzimanja.

Čak i školarci znaju što znači “racionalni oblik brojeva” i kako rješavati probleme temeljene na takvim izrazima, tako da obrazovana odrasla osoba jednostavno mora zapamtiti barem osnove skupa racionalnih brojeva.

U ovom ćemo članku početi istraživati racionalni brojevi. Ovdje ćemo dati definicije racionalnih brojeva, dati potrebna objašnjenja i dati primjere racionalnih brojeva. Nakon ovoga ćemo se usredotočiti na to kako odrediti je li dati broj racionalan ili ne.

Navigacija po stranici.

Definicija i primjeri racionalnih brojeva

U ovom dijelu ćemo dati nekoliko definicija racionalnih brojeva. Unatoč razlikama u formulaciji, sve ove definicije imaju isto značenje: racionalni brojevi ujedinjuju cijele brojeve i razlomke, kao što cijeli brojevi ujedinjuju prirodne brojeve, njihove suprotnosti i broj nula. Drugim riječima, racionalni brojevi generaliziraju cijele i razlomljene brojeve.

Počnimo s definicije racionalnih brojeva, što se najprirodnije percipira.

Iz navedene definicije proizlazi da je racionalan broj:

• Svaki prirodni broj n. Doista, možete predstaviti bilo koji prirodni broj kao običan razlomak, na primjer, 3=3/1.
• Bilo koji cijeli broj, posebno broj nula. Zapravo, bilo koji cijeli broj može se napisati kao pozitivan razlomak, negativan razlomak ili nula. Na primjer, 26=26/1, .
• Bilo koji obični razlomak (pozitivan ili negativan). To izravno potvrđuje navedena definicija racionalnih brojeva.
• Svaki mješoviti broj. Doista, uvijek možete predstaviti mješoviti broj kao nepravi razlomak. Na primjer, i.
• Bilo koji konačni decimalni razlomak ili beskonačni periodični razlomak. To je tako zbog činjenice da se navedeni decimalni razlomci pretvaraju u obične razlomke. Na primjer, i 0,(3)=1/3.

Također je jasno da bilo koji beskonačni neperiodični decimalni razlomak NIJE racionalan broj, jer se ne može predstaviti kao običan razlomak.

Sada možemo lako dati primjeri racionalnih brojeva. Brojevi 4, 903, 100, 321 su racionalni brojevi jer su prirodni brojevi. Cijeli brojevi 58, −72, 0, −833,333,333 također su primjeri racionalnih brojeva. Obični razlomci 4/9, 99/3 također su primjeri racionalnih brojeva. Racionalni brojevi su također brojevi.

Iz navedenih primjera jasno je da postoje i pozitivni i negativni racionalni brojevi, a racionalni broj nula nije ni pozitivan ni negativan.

Gornja definicija racionalnih brojeva može se formulirati u sažetijem obliku.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao razlomak z/n, gdje je z cijeli broj, a n prirodan broj.

Dokažimo da je ova definicija racionalnih brojeva ekvivalentna prethodnoj definiciji. Znamo da crtu razlomka možemo smatrati znakom dijeljenja, zatim iz svojstava dijeljenja cijelih brojeva i pravila dijeljenja cijelih brojeva slijedi valjanost sljedećih jednakosti i. Dakle, to je dokaz.

Navedimo primjere racionalnih brojeva na temelju ove definicije. Brojevi −5, 0, 3 i su racionalni brojevi jer se mogu napisati kao razlomci s cjelobrojnim brojnikom i prirodnim nazivnikom oblika i.

Definicija racionalnih brojeva može se dati u sljedećoj formulaciji.

Definicija.

Racionalni brojevi su brojevi koji se mogu napisati kao konačni ili beskonačni periodični decimalni razlomak.

Ova je definicija također ekvivalentna prvoj definiciji, budući da svaki obični razlomak odgovara konačnom ili periodičnom decimalnom razlomku i obrnuto, a svaki cijeli broj može se pridružiti decimalnom razlomku s nulama iza decimalne točke.

Na primjer, brojevi 5, 0, −13 primjeri su racionalnih brojeva jer se mogu napisati kao sljedeći decimalni razlomci 5,0, 0,0, −13,0, 0,8 i −7 (18).

Završimo teoriju ove točke sa sljedećim izjavama:

• cijeli brojevi i razlomci (pozitivni i negativni) čine skup racionalnih brojeva;
• svaki racionalni broj može se prikazati kao razlomak s cijelim brojnikom i prirodnim nazivnikom, a svaki takav razlomak predstavlja određeni racionalni broj;
• svaki racionalni broj može se prikazati kao konačni ili beskonačni periodični decimalni razlomak, a svaki takav razlomak predstavlja racionalni broj.

Je li ovaj broj racionalan?

U prethodnom odlomku saznali smo da je svaki prirodni broj, svaki cijeli broj, svaki obični razlomak, svaki mješoviti broj, svaki konačni decimalni razlomak, kao i svaki periodični decimalni razlomak racionalan broj. Ovo znanje nam omogućuje da “prepoznamo” racionalne brojeve iz skupa napisanih brojeva.

Ali što ako je broj dan u obliku some , ili kao , itd., kako odgovoriti na pitanje je li taj broj racionalan? U mnogim slučajevima vrlo je teško odgovoriti. Naznačimo neke smjerove razmišljanja.

Ako je broj zadan kao numerički izraz koji sadrži samo racionalne brojeve i aritmetičke znakove (+, −, · i:), tada je vrijednost tog izraza racionalan broj. To slijedi iz načina definiranja operacija s racionalnim brojevima. Na primjer, nakon izvođenja svih operacija u izrazu, dobivamo racionalni broj 18.

Ponekad, nakon što se izrazi pojednostave i uslože, postaje moguće odrediti je li dati broj racionalan.

Idemo dalje. Broj 2 je racionalan broj, jer je svaki prirodni broj racionalan. Što je s brojem? Je li to racionalno? Ispada da ne, to nije racionalan broj, to je iracionalan broj (dokaz ove činjenice kontradikcijom je dan u udžbeniku algebre za 8. razred, navedenom dolje u popisu literature). Također je dokazano da je kvadratni korijen prirodnog broja racionalan broj samo u onim slučajevima kada se ispod korijena nalazi broj koji je potpuni kvadrat nekog prirodnog broja. Na primjer, i su racionalni brojevi, budući da su 81 = 9 2 i 1 024 = 32 2, a brojevi i nisu racionalni, budući da brojevi 7 i 199 nisu potpuni kvadrati prirodnih brojeva.

Je li broj racionalan ili nije? U ovom slučaju lako je primijetiti da je, dakle, ovaj broj racionalan. Je li broj racionalan? Dokazano je da je k-ti korijen cijelog broja racionalan broj samo ako je broj ispod znaka korijena k-ta potencija nekog cijelog broja. Dakle, to nije racionalan broj, jer ne postoji cijeli broj čija je peta potencija 121.

Metoda kontradikcije omogućuje dokazivanje da logaritmi nekih brojeva iz nekog razloga nisu racionalni brojevi. Na primjer, dokažimo da - nije racionalan broj.

Pretpostavimo suprotno, to jest, recimo da je to racionalan broj i da se može napisati kao obični razlomak m/n. Zatim dajemo sljedeće jednakosti: . Posljednja jednakost je nemoguća, jer na lijevoj strani postoji neparan broj 5 n, a na desnoj strani je parni broj 2 m. Stoga je naša pretpostavka netočna, dakle nije racionalan broj.

Zaključno, vrijedi posebno napomenuti da se pri određivanju racionalnosti ili iracionalnosti brojeva treba suzdržati od donošenja naglih zaključaka.

Na primjer, ne biste trebali odmah tvrditi da je umnožak iracionalnih brojeva π i e iracionalan broj; to je "naizgled očito", ali nije dokazano. Ovo postavlja pitanje: "Zašto bi proizvod bio racionalan broj?" A zašto ne, jer možete dati primjer iracionalnih brojeva, čiji umnožak daje racionalan broj: .

Također je nepoznato jesu li brojevi i mnogi drugi brojevi racionalni ili ne. Na primjer, postoje iracionalni brojevi čija je iracionalna snaga racionalan broj. Za ilustraciju predstavljamo stupanj oblika , baza tog stupnja i eksponent nisu racionalni brojevi, već , a 3 je racionalan broj.

Bibliografija.

• Matematika. 6. razred: obrazovni. za opće obrazovanje ustanove / [N. Ya.Vilenkin i drugi]. - 22. izdanje, rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 str.: ilustr. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Algebra: udžbenik za 8. razred. opće obrazovanje institucije / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; uredio S. A. Teljakovski. - 16. izd. - M.: Obrazovanje, 2008. - 271 str. : ilustr. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola): Proc. dodatak.- M.; viši škola, 1984.-351 str., ilustr.

Kožinova Anastazija

OPĆINSKI NETIPIČNI PRORAČUN

OPĆA OBRAZOVNA USTANOVA

"LICEJ br. 76"

U ČEMU JE TAJNA RACIONALNOG RAČUNOVODSTVA?

Izvedena:

Učenica 5.B razreda

Kožinova Anastazija

Nadglednik:

Profesor matematike

Ščiklina Tatjana

Nikolajevna

Novokuznjeck 2013

Uvod………………………………………………………… 3

Glavni dio………………………………………………………….......... 5-13

Zaključak i zaključci………………………………………………………….. 13-14

Reference……………………………………………………………..... 15

Prijave………………………………………………………. 16-31 (prikaz, ostalo).

ja. Uvod

Problem: pronalaženje vrijednosti numeričkih izraza

Cilj rada: pretraživanje, proučavanje postojećih metoda i tehnika racionalnog računovodstva, njihova primjena u praksi.

Zadaci:

1. Provesti mini istraživanje u obliku ankete među paralelnim razredima.

2. Analizirati temu istraživanja: literatura dostupna u školskoj knjižnici, informacije u udžbeniku matematike za 5. razred, na internetu.

3. Odaberite najučinkovitije metode i sredstva racionalnog računovodstva.

4. Klasificirati postojeće tehnike za brzo usmeno i pismeno brojanje.

5. Napravite podsjetnike koji sadrže racionalne tehnike brojanja za korištenje u paralelama 5. razreda.

Predmet proučavanja: racionalni račun.

Predmet proučavanja: metode racionalnog brojanja.

Kako bih osigurala učinkovitost istraživačkog rada, koristila sam sljedeće metode: analiza informacija dobivenih iz različitih izvora, sinteza, generalizacija; sociološko istraživanje u obliku upitnika. Upitnik sam izradio u skladu sa svrhom i ciljevima istraživanja, dobi ispitanika, a prikazan je u glavnom dijelu rada.

Tijekom istraživačkog rada razmatrana su pitanja vezana uz metode i tehnike racionalnog proračuna te su dane preporuke za otklanjanje problema s računalnim vještinama i formiranje računalne kulture.

II. Glavni dio

Formiranje računalne kulture učenika

5–6 razreda.

Očigledno je da je tehnika racionalnog računanja neophodan element računalne kulture u životu svakog čovjeka, prvenstveno zbog svog praktičnog značaja, a učenicima je potrebna u gotovo svakom satu.

Računalna kultura je temelj studija matematike i drugih akademskih disciplina, jer osim što računanje aktivira pamćenje i pažnju, pomaže racionalnoj organizaciji aktivnosti i značajno utječe na razvoj čovjeka.

U svakodnevnom životu, u učionicama, kada je svaka minuta dragocjena, vrlo je važno brzo i racionalno provoditi usmeno i pismeno računanje, bez pogrešaka i bez korištenja dodatnih računalnih alata.

Mi, školarci, s ovim problemom susrećemo se posvuda: u učionici, kod kuće, u trgovini itd. Osim toga, nakon 9. i 11. razreda morat ćemo polagati ispite u obliku IGA i Jedinstvenog državnog ispita, gdje uporaba mikrokalkulatora nije dopuštena. Stoga problem razvijanja računalne kulture kod svake osobe, čiji je element ovladavanje tehnikama racionalnog računanja, postaje iznimno važan.

Posebno je potrebno ovladati tehnikama racionalnog brojanja

u proučavanju takvih predmeta kao što su matematika, povijest, tehnologija, informatika itd., odnosno racionalno računanje pomaže u svladavanju srodnih predmeta, boljem snalaženju u materijalu koji se proučava, u životnim situacijama. Dakle, što čekamo? Idemo u svijet tajni racionalnih tehnika brojanja!!!

Kakve probleme učenici imaju pri izvođenju računa?

Vršnjaci mojih godina često imaju problema s obavljanjem raznih zadataka u kojima moraju brzo i zgodno izračunati . Zašto???

Evo nekoliko nagađanja:

1. Učenik nije dobro razumio proučavanu temu

2. Učenik ne ponavlja gradivo.

3. Učenik ima loše računalne vještine.

4. Student ne želi učiti ovu temu

5. Učenik vjeruje da mu neće biti od koristi.

Sve ove pretpostavke preuzeo sam iz svog iskustva i iskustva svojih kolega i vršnjaka. Međutim, u računalnim vježbama vještine racionalnog brojanja igraju važnu ulogu, pa sam proučavao, primijenio i želim vas upoznati s nekim tehnikama racionalnog brojanja.

Racionalne metode usmenog i pismenog računanja.

U radu i svakodnevnom životu stalno se javlja potreba za raznim vrstama izračuna. Korištenje najjednostavnijih metoda mentalnog brojanja smanjuje umor, razvija pažnju i pamćenje. Korištenje racionalnih metoda izračuna potrebno je za povećanje rada, točnosti i brzine izračuna. Brzina i točnost proračuna može se postići samo racionalnom uporabom metoda i sredstava mehanizacije izračuna, kao i pravilnom uporabom metoda mentalnog izračuna.

ja. Tehnike pojednostavljenog zbrajanja brojeva

Postoje četiri poznate metode zbrajanja koje mogu ubrzati izračune.

Metoda sekvencijalnog zbrajanja po bitovima koristi se u mentalnim izračunima, jer pojednostavljuje i ubrzava zbrajanje pojmova. Kada koristite ovu metodu, zbrajanje počinje od najviših znamenki: odgovarajuće znamenke drugog pribrojnika dodaju se prvom pribrojniku.

Primjer. Nađimo zbroj brojeva 5287 i 3564 koristeći metodu uzastopnog zbrajanja po bitovima.

Riješenje. Izračun ćemo izvršiti sljedećim redoslijedom:

5 287 + 3 000 = 8 287;

8 287 + 500 = 8 787;

8 787 + 60 = 8 847;

8 847 + 4 = 8 851.

Odgovor: 8 851. (kombinativno-komutativni zakon)

Drugi način sekvencijalnog zbrajanja po bitovima sastoji se u tome da se najveća znamenka drugog člana dodaje najvišoj znamenki prvog člana, zatim se sljedeća znamenka drugog člana dodaje sljedećoj znamenki prvog člana itd.

Razmotrimo ovo rješenje koristeći navedeni primjer, dobivamo:

5 000 + 3 000 = 8 000;

200 + 500 = 700;

Odgovor: 8851.

Metoda okruglog broja . Broj koji ima jednu značajnu znamenku i završava s jednom ili više nula naziva se okruglim brojem. Ova metoda se koristi kada se od dva ili više pojmova mogu odabrati oni koji se mogu dopuniti tako da se dobije okrugli broj. Razlika između okruglog broja i broja navedenog u uvjetu izračuna naziva se komplement. Na primjer, 1000 - 978 = 22. U ovom slučaju, broj 22 je aritmetički zbroj 978 na 1000.

Za izvođenje zbrajanja metodom okruglih brojeva potrebno je zaokružiti jedan ili više članova bliskih okruglim brojevima, izvršiti zbrajanje okruglih brojeva i od rezultirajućeg zbroja oduzeti aritmetička zbrajanja.

Primjer. Nađimo zbroj brojeva 1 238 i 193 metodom okruglog broja.

Riješenje. Zaokružimo broj 193 na 200 i zbrojimo na sljedeći način: 1 238 + 193 = (1 238 + 200) - 7 = 1 431. (zakon kombinacije)

Metoda grupiranja pojmova . Ova metoda se koristi u slučaju kada pojmovi, kada su grupirani zajedno, daju okrugle brojeve, koji se zatim zbrajaju.

Primjer. Nađimo zbroj brojeva 74, 32, 67, 48, 33 i 26.

Riješenje. Zbrojimo brojeve grupirane na sljedeći način: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

(kombinativno-komutativno pravo)

ili, kada grupiranje brojeva rezultira jednakim zbrojevima:

Primjer:1+2+3+4+5+…+97+98+99+100= (1+100)+(2+99)+(3+98)+…=101x50=5050

(kombinativno-komutativno pravo)

II. Tehnike pojednostavljenog oduzimanja brojeva

Metoda sekvencijalnog pobitnog oduzimanja. Ova metoda uzastopno oduzima svaku znamenku oduzetu od umanjenika. Koristi se kada se brojevi ne mogu zaokružiti.

Primjer. Nađimo razliku između brojeva 721 i 398.

Riješenje. Izvedimo korake za pronalaženje razlike zadanih brojeva u sljedećem nizu:

Zamislimo broj 398 kao zbroj: 300 + 90 + 8 = 398;

Izvršimo oduzimanje po bitovima:

721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Metoda okruglog broja . Ova metoda se koristi kada je subtrahend blizu okruglog broja. Da biste izračunali, potrebno je od umanjenika oduzeti oduzetak, uzet kao okrugli broj, a dobivenoj razlici dodati aritmetički dodatak.

Primjer. Izračunajmo razliku brojeva 235 i 197 metodom okruglog broja.

Riješenje. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Tehnike pojednostavljenog množenja brojeva

Pomnožite s jedan nakon čega slijede nule. Pri množenju broja brojem koji uključuje jedinicu iza koje slijede nule (10; 100; 1000 itd.), s desne strane se dodaje onoliko nula koliko ima faktora iza jedinice.

Primjer. Nađimo umnožak brojeva 568 i 100.

Riješenje. 568 x 100 = 56 800.

Metoda sekvencijalnog množenja po bitovima . Ova se metoda koristi pri množenju broja bilo kojim jednoznamenkastim brojem. Ako trebate pomnožiti dvoznamenkasti (tro-, četveroznamenkasti, itd.) broj s jednoznamenkastim brojem, onda se prvo jednoznamenkasti faktor množi s deseticama drugog faktora, zatim s njegovim jedinicama i rezultirajući proizvodi se zbrajaju.

Primjer. Nađimo umnožak brojeva 39 i 7.

Riješenje. 39 x 7 = (30+9) x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273. (distribucijski zakon množenja u odnosu na zbrajanje)

Metoda okruglog broja . Ova metoda se koristi samo kada je jedan od faktora blizu okruglog broja. Množenik se množi okruglim brojem, zatim aritmetičkim zbrajanjem i na kraju se od prvog umnoška oduzima drugi.

Primjer. Nađimo umnožak brojeva 174 i 69.

174 x 69 =174 x (70-1) =174 x 70 - 174 x 1 = 12 180 - 174 = 12 006. (distribucijski zakon množenja u odnosu na oduzimanje)

Metoda za rastavljanje jednog od faktora. U ovoj se metodi jedan od faktora najprije rastavlja na dijelove (sabira), zatim se drugi faktor množi sa svakim dijelom prvog faktora, a dobiveni umnošci se zbrajaju.

Primjer. Nađimo umnožak brojeva 13 i 325.

Rastavimo broj 13 na članove: 13 = 10 + 3. Svaki od dobivenih članova pomnožimo s 325: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975. Dobivene umnoške zbrajamo: 3 250 + 975 = 4 225

Ovladavanje vještinama racionalnog mentalnog proračuna učinit će vaš rad učinkovitijim. To je moguće samo uz dobro vladanje svim navedenim aritmetičkim operacijama. Korištenje racionalnih tehnika brojanja ubrzava izračune i osigurava potrebnu točnost. Ali ne samo da treba znati računati, nego treba znati i tablicu množenja, zakone računskih operacija, klase i redove.

Postoje sustavi mentalnog brojanja koji vam omogućuju brzo i racionalno usmeno brojanje. Pogledat ćemo neke od najčešće korištenih tehnika.

1. Množenje dvocifrenog broja s 11.

Proučavali smo ovu metodu, ali je nismo u potpunosti proučili Tajna ove metode je u tome što se može smatrati zakonima aritmetičkih operacija.

Primjeri:

23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (distribucijski zakon množenja u odnosu na zbrajanje)

23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (zakon distribucije i metoda okruglog broja)

Proučavali smo ovu metodu, ali drugu nismo poznavali Tajna množenja dvoznamenkastih brojeva s 11.

Promatrajući rezultate dobivene množenjem dvoznamenkastih brojeva s 11, primijetio sam da postoji praktičniji način da dobijem odgovor : kod množenja dvoznamenkastog broja s 11, znamenke tog broja se razmaknu i zbroj tih znamenki nalazi se u sredini.

a) 23 11=253, jer je 2+3=5;

b) 45 11=495, jer je 4+5=9;

c) 57 11=627, jer 5+7=12, dvojka je stavljena u sredinu, a jedinica je dodana mjestu stotica;

d) 78 11=858, budući da je 7+8=15, onda će broj desetica biti jednak 5, a broj stotina će se povećati za jedan i bit će jednak 8.

Pronašao sam potvrdu ove metode na internetu.

2) Umnožak dvoznamenkastih brojeva koji imaju isti broj desetica i zbroja njihovih jedinica je 10, tj. 23 27; 34 36; 52 58 itd.

Pravilo: znamenka desetica se množi sa sljedećom znamenkom u prirodnom nizu, rezultat se zapisuje i dodaje mu se umnožak jedinica.

a) 23 27=621. Kako si dobio 621? Broj 2 pomnožimo s 3 (nakon “dvojke” slijedi “tri”), dobije se 6, a uz njega dodamo umnožak jedinica: 3 7 = 21, ispadne 621.

b) 34 36 = 1224, pošto je 3 4 = 12, broju 12 pridružujemo 24, to je umnožak jedinica ovih brojeva: 4 6.

c) 52 58 = 3016, jer pomnožimo znamenku desetica 5 sa 6, to će biti 30, pripisujemo umnošku 2 i 8, tj. 16.

d) 61 69=4209. Jasno je da smo 6 pomnožili sa 7 i dobili smo 42. Odakle dolazi nula? Jedinice smo pomnožili i dobili smo: 1 9 = 9, ali rezultat mora biti dvoznamenkasti, pa uzimamo 09.

3) Dijeljenje troznamenkastih brojeva koji se sastoje od istih znamenki brojem 37. Rezultat je jednak zbroju tih istih znamenki troznamenkastog broja (ili broju koji je jednak trostrukoj znamenki troznamenkastog broja).

Primjeri: a) 222:37=6. Ovo je zbroj 2+2+2=6; b) 333:37=9, jer je 3+3+3=9.

c) 777:37=21, tj. 7+7+7=21.

d) 888:37=24, jer je 8+8+8=24.

Također uzimamo u obzir da je 888:24=37.

III. Zaključak

Da bih otkrio glavnu tajnu u temi mog rada, morao sam naporno raditi - pretraživati, analizirati informacije, anketirati kolege iz razreda, ponavljati ranije poznate metode i pronaći mnoge nepoznate metode racionalnog izračuna, i konačno razumjeti koja je njegova tajna? I shvatio sam da je glavna stvar znati i moći primijeniti poznate, pronaći nove racionalne metode brojanja, tablicu množenja, sastav brojeva (klase i redovi), zakone aritmetičkih operacija. Osim,

tražiti nove načine:

- Tehnike pojednostavljenog zbrajanja brojeva: (metoda sekvencijalnog bitnog zbrajanja; metoda okruglog broja; metoda rastavljanja jednog od faktora na članove);

-Tehnike pojednostavljenog oduzimanja brojeva(metoda sekvencijalnog pobitnog oduzimanja; metoda okruglog broja);

-Tehnike pojednostavljenog množenja brojeva(množenje s jedinicom nakon čega slijede nule; metoda sekvencijalnog bitnog množenja; metoda okruglog broja; metoda rastavljanja jednog od faktora ;

- Tajne brzog mentalnog brojanja(množenje dvoznamenkastog broja s 11: kod množenja dvoznamenkastog broja s 11, znamenke tog broja se razmaknu i zbroj tih znamenki nalazi se u sredini; umnožak dvoznamenkastih brojeva koji imaju isti broj desetica, a zbroj jedinica je 10; Dijeljenje troznamenkastih brojeva koji se sastoje od istih znamenki, na broj 37. Vjerojatno ima još mnogo takvih načina, pa ću ovu temu nastaviti raditi i sljedeći godina.

IV. Bibliografija

1. Savin A. P. Matematičke minijature / A. P. Savin. – M.: Dječja književnost, 1991

2. Zubareva I.I., Matematika, 5. razred: udžbenik za učenike općeobrazovnih ustanova / I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich. – M.: Mnemosyne, 2011

4. http:/ / www. xreferat.ru

5. http:/ / www. biografia.ru

6. http:/ / www. Matematika-ponavljanje. ru

V. Prijave

Mini studija (anketa u obliku upitnika)

Kako bih utvrdila znanje učenika o racionalnom brojanju, provela sam anketu u obliku upitnika na sljedeća pitanja:

* Znate li što su racionalne tehnike brojanja?

* Ako da, odakle, a ako ne, zašto?

* Koliko načina racionalnog brojanja poznajete?

* Imate li poteškoća u mentalnom računanju?

* Kako učite matematiku? a) do "5"; b) na "4"; c) na "3"

*Što najviše voliš u matematici?

a) primjeri; b) zadaci; c) razlomci

* Što mislite, gdje mentalna aritmetika može biti korisna, osim u matematici? *Sjećate li se zakona računskih operacija, i ako da, kojih?

Nakon provedene ankete uvidio sam da moji kolege nedovoljno poznaju zakonitosti računskih operacija, većina ih ima problema s racionalnim računanjem, mnogi učenici računaju sporo i s greškama, a svi žele naučiti brojati brzo, pravilno i na prikladan način. Stoga je tema mog istraživačkog rada izuzetno važna za sve studente i ne samo.

1. Zanimljive usmene i pismene metode računanja koje smo proučavali na satovima matematike na primjerima iz udžbenika “Matematika, 5. razred”:

Ovo su neki od njih:

brzo pomnožiti broj s 5, dovoljno je primijetiti da je 5=10:2.

Na primjer, 43x5=(43x10):2=430:2=215;

48x5=(48:2)x10=24x10=240.

Za množenje broja sa 50 , možete ga pomnožiti sa 100 i podijeliti sa 2.

Na primjer: 122x50=(122x100):2=12200:2=6100

Za množenje broja sa 25 , možete ga pomnožiti sa 100 i podijeliti sa 4,

Na primjer, 32x25=(32 x 100):4=3200:4=800

Za množenje broja sa 125 , možete ga pomnožiti s 1000 i podijeliti s 8,

Na primjer: 192x125=(192x1000):8=192000:8=24000

Podijeliti okrugli broj s dvije nule na kraju s 25 , možete ga podijeliti sa 100 i pomnožiti sa 4.

Na primjer: 2400:25=(2400:100) x 4=24 x 4=96

Podijeliti okrugli broj sa 50 , može se podijeliti sa 100 i pomnožiti sa 2

Na primjer: 4500:50=(4500:100) x 2 =45 x 2 =90

Ali ne samo da morate znati računati, već morate znati i tablicu množenja, zakone aritmetičkih operacija, sastav brojeva (klase i znamenke) i imati vještine za njihovu upotrebu.

Zakoni aritmetičkih operacija.

a + b = b + a

Komutativni zakon zbrajanja

(a + b) + c = a + (b + c)

Kombinacijski zakon zbrajanja

a · b = b · a

Komutativni zakon množenja

(a · b) · c = a · (b · c)

Kombinacijski zakon množenja

(a = b) · c = a · c = b · c

Distributivni zakon množenja (u odnosu na zbrajanje)

Tablica množenja.

Što je množenje?

Ovo je pametan dodatak.

Uostalom, pametnije je množiti puta,

Zatim sve zbrojite sat vremena.

Tablica množenja

Svima nam je to potrebno u životu.

I ne zove se uzalud

MNOŽILA SE!

Čin i klase

Kako bi bilo zgodno čitati, ali i pamtiti brojeve s velikim vrijednostima, treba ih podijeliti u takozvane "razrede": počevši s desne strane, broj se dijeli razmakom na tri znamenke "prve klase", zatim na drugu odabrane su tri znamenke, "druga klasa" itd. Ovisno o značenju broja, zadnji razred može završiti s tri, dvije ili jednom znamenkom.

Na primjer, broj 35461298 napisan je na sljedeći način:

Ovaj broj je podijeljen u klase:

482 – prva klasa (klasa jedinica)

630 – druga klasa (klasa tisuća)

35 – treća klasa (milijunska klasa)

Pražnjenje

Svaka od znamenki uključenih u klasu naziva se svojom znamenkom, koja se također broji s desne strane.

Na primjer, broj 35,630,482 može se raščlaniti na klase i rangove:

482 – prvi razred

2 – prva znamenka (znamenka jedinica)

8 – druga znamenka (mjesto desetica)

4 – treća znamenka (stotica)

630 – drugi razred

0 – prva znamenka (tisućica)

3 – druga znamenka (desetcitisućica)

6 – treća znamenka (znamenka stotina tisuća)

35 – treći razred

5 – prva znamenka (milijunska znamenka)

3 – druga znamenka (desetke milijuna znamenki)

Broj 35.630.482 glasi:

Trideset pet milijuna šest stotina trideset tisuća četiri stotine osamdeset dva.

Problemi s racionalnim brojanjem i kako ih riješiti

Racionalne metode pamćenja.

Kao rezultat ankete i zapažanja na satu, primijetio sam da neki učenici loše rješavaju razne probleme i vježbe jer nisu upoznati s tehnikama racionalnog računanja.

1. Jedna od tehnika je dovesti gradivo koje se proučava u sustav koji je pogodan za pamćenje i pohranjivanje u memoriju.

2. Da bi se zapamćeno gradivo memorisalo u neki sustav, potrebno je poraditi na njegovom sadržaju.

3. Zatim možete početi asimilirati svaki pojedinačni dio teksta, ponovno ga čitajući i pokušavajući odmah reproducirati (ponoviti u sebi ili naglas) ono što ste pročitali.

4. Ponavljanje gradiva je od velike važnosti za pamćenje. O tome kaže narodna poslovica: “Ponavljanje je majka učenja.” Ali mora se ponavljati mudro i ispravno.

Rad na ponavljanju mora se oživjeti korištenjem ilustracija ili primjera koji prije nisu postojali ili su već zaboravljeni.

Na temelju navedenog možemo ukratko formulirati sljedeće preporuke za uspješno svladavanje obrazovnog materijala:

1. Postavite zadatak, brzo i čvrsto zapamtite obrazovni materijal dugo vremena.

2. Usredotočite se na ono što treba naučiti.

3. Dobro razumjeti materijal za učenje.

4. Napravite plan za napamet naučeni tekst ističući u njemu glavne misli i rastavite tekst na dijelove.

5. Ako je gradivo veliko, sekvencijalno savladavajte jedan dio za drugim, a zatim sve prezentirajte kao cjelinu.

6. Nakon čitanja gradiva potrebno ga je reproducirati (ispričati što ste pročitali).

7. Ponavljajte gradivo prije nego što se zaboravi.

8. Ponavljanje rasporedite na duži vremenski period.

9. Prilikom pamćenja koristite različite vrste pamćenja (prvenstveno semantičko) i neke individualne karakteristike svog pamćenja (vizualno, slušno ili motoričko).

10. Teško gradivo treba ponoviti prije spavanja, a zatim ujutro, “za svježe pamćenje”.

11. Stečeno znanje pokušati primijeniti u praksi. To je najbolji način da ih sačuvate u pamćenju (ne kaže se bez razloga: „Prava majka učenja nije ponavljanje, već primjena“).

12. Moramo steći više znanja, naučiti nešto novo.

Sada ste naučili kako brzo i ispravno zapamtiti gradivo koje ste učili.

Zanimljiva tehnika množenja nekih brojeva s 9 u kombinaciji sa zbrajanjem uzastopnih prirodnih brojeva od 2 do 10

12345x9+6=111111

123456x9+7=1111111

1234567x9+8=11111111

12345678x9+9=111111111

123456789x9+10=1111111111

Zanimljiva igra "Pogodi broj"

Jeste li igrali igricu "Pogodi broj"? Ovo je vrlo jednostavna igra. Recimo, ja zamislim prirodni broj manji od 100, napišem ga na papir (da ne postoji mogućnost varanja), a vi ga pokušajte pogoditi postavljajući pitanja na koja se može odgovoriti samo s "da" ili "ne". Onda ti pogodiš broj, a ja ga pokušam pogoditi. Pobjeđuje onaj tko točno pogodi u manje pitanja.

Koliko će ti pitanja biti potrebno da pogodiš moj broj? Ne znam? Obvezujem se pogoditi vaš broj postavljajući samo sedam pitanja. Kako? Evo kako, na primjer. Neka pogodite broj. Pitam: "Je li manje od 64?" - "Da". - "Manje od 32?" - "Da". - "Manje od 16?" - "Da". - "Manje od 8?" - "Ne". - "Manje od 12?" - "Ne". - "Manje od 14?" - "Da". - "Manje od 13?" - "Ne". - “Planiran je broj 13.”

To je jasno? Podijelim skup mogućih brojeva na pola, zatim preostalu polovicu ponovno na pola, i tako dalje, dok ostatak ne sadrži jedan broj.

Ako vam se igra svidjela ili, naprotiv, želite više, otiđite u knjižnicu i uzmite knjigu “A. P. Savin (Matematičke minijature). U ovoj ćete knjizi pronaći puno zanimljivih i uzbudljivih stvari. Slika knjige:

Hvala svima na pažnji

I želim ti uspjeh!!!

Preuzimanje datoteka:

Pregled:

Kako biste koristili preglede prezentacije, stvorite Google račun i prijavite se na njega: https://accounts.google.com

Naslovi slajdova:

U čemu je tajna racionalnog brojanja?

Svrha rada: traženje informacija, proučavanje postojećih metoda i tehnika racionalnog računovodstva, njihova primjena u praksi.

zadaci: 1. Provesti mini istraživanje u obliku ankete među paralelnim razredima. 2. Analizirati na temu istraživanja: literaturu dostupnu u školskoj knjižnici, podatke u udžbeniku matematike za 5. razred, kao i na internetu. 3. Odaberite najučinkovitije metode i sredstva racionalnog brojanja. 4. Klasificirati postojeće tehnike za brzo usmeno i pismeno brojanje. 5. Napravite dopise koji sadrže racionalne tehnike brojanja za korištenje u paralelama 5. razreda.

Kao što sam već rekao, tema racionalnog izračuna je relevantna ne samo za učenike, već i za svaku osobu, da bih se u to uvjerio, proveo sam anketu među učenicima 5. razreda. Pitanja i odgovori iz ankete predstavljeni su vam u prilogu.

Što je racionalno brojanje? Racionalan račun je prikladan račun (riječ racionalan znači prikladan, ispravan)

Zašto učenici imaju poteškoća???

Evo nekih pretpostavki: Učenik: 1. slabo je razumio temu koju je proučavao; 2. ne ponavlja gradivo; 3. ima loše računalne vještine; 4 . vjeruje da mu neće trebati.

Racionalne metode usmenog i pismenog računanja. U radu i svakodnevnom životu stalno se javlja potreba za raznim vrstama izračuna. Korištenje najjednostavnijih metoda mentalnog brojanja smanjuje umor, razvija pažnju i pamćenje.

Postoje četiri poznate metode zbrajanja koje mogu ubrzati izračune. I. Tehnike pojednostavljenog zbrajanja brojeva

Metoda sekvencijalnog zbrajanja po bitovima koristi se u mentalnim izračunima, jer pojednostavljuje i ubrzava zbrajanje članova. Kada koristite ovu metodu, zbrajanje počinje od najviših znamenki: odgovarajuće znamenke drugog pribrojnika dodaju se prvom pribrojniku. Primjer. Nađimo zbroj brojeva 5287 i 3564 koristeći ovu metodu. Riješenje. Izračun ćemo izvršiti sljedećim redoslijedom: 5,287 + 3,000 = 8,287; 8,287 + 500 = 8,787; 8,787 + 60 = 8,847; 8847 + 4 = 8851. Odgovor: 8.851.

Drugi način uzastopnog bitnog zbrajanja je da se najveća znamenka drugog pribrojnika doda najvišoj znamenki prvog pribrojnika, zatim se sljedeća znamenka drugog pribrojnika doda sljedećoj znamenki prvog pribrojnika, itd. Razmotrimo ovo rješenje koristeći navedeni primjer, dobivamo: 5 000 + 3 000 = 8 000; 200 + 500 = 700; 80 + 60 = 140; 7 + 4 = 11 Odgovor: 8851.

Metoda okruglog broja. Broj koji završava s jednom ili više nula naziva se okruglim brojem. Ova metoda se koristi kada se od dva ili više pojmova mogu odabrati oni koji se mogu dopuniti tako da se dobije okrugli broj. Razlika između okruglog broja i broja navedenog u uvjetu izračuna naziva se komplement. Na primjer, 1000 - 978 = 22. U ovom slučaju broj 22 je aritmetički zbroj broja 978 s 1000. Za izvođenje zbrajanja metodom okruglih brojeva potrebno je zaokružiti jedan ili više članova bliskih okruglim brojevima, izvršiti zbrajanje okruglih brojeva i od rezultirajućeg zbroja oduzeti aritmetička zbrajanja. Primjer. Nađimo zbroj brojeva 1 238 i 193 metodom okruglog broja. Riješenje. Zaokružimo broj 193 na 200 i zbrajamo na sljedeći način: 1,238 + 193 = (1,238 + 200) - 7 = 1,431.

Metoda grupiranja pojmova. Ova metoda se koristi u slučaju kada pojmovi, kada su grupirani zajedno, daju okrugle brojeve, koji se zatim zbrajaju. Primjer. Odredi zbroj brojeva 74, 32, 67, 48, 33 i 26. Rješenje. Zbrojimo brojeve grupirane na sljedeći način: (74 + 26) + (32 + 48) + (67 + 33) = 280.

Metoda dodavanja koja se temelji na grupiranju pojmova. Primjer: 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…….+97+98+99+100=(1+100)+(2+99)+(3+98)= 101x50=5050.

II. Tehnike pojednostavljenog oduzimanja brojeva

Metoda sekvencijalnog pobitnog oduzimanja. Ova metoda uzastopno oduzima svaku znamenku oduzetu od umanjenika. Koristi se kada se brojevi ne mogu zaokružiti. Primjer. Nađimo razliku između brojeva 721 i 398. Provedimo korake za pronalaženje razlike zadanih brojeva u sljedećem nizu: zamislimo broj 398 kao zbroj: 300 + 90 + 8 = 398; Izvršimo oduzimanje po bitovima: 721 - 300 = 421; 421 - 90 = 331; 331 - 8 = 323.

Metoda okruglog broja. Ova metoda se koristi kada je subtrahend blizu okruglog broja. Da biste izračunali, potrebno je od umanjenika oduzeti oduzetak, uzet kao okrugli broj, a dobivenoj razlici dodati aritmetički dodatak. Primjer. Izračunajmo razliku brojeva 235 i 197 metodom okruglog broja. Riješenje. 235 - 197 = 235 - 200 + 3 = 38.

III. Tehnike pojednostavljenog množenja brojeva

Pomnožite s jedan nakon čega slijede nule. Pri množenju broja brojem koji uključuje jedinicu iza koje slijede nule (10; 100; 1000 itd.), s desne strane se dodaje onoliko nula koliko ima faktora iza jedinice. Primjer. Nađimo umnožak brojeva 568 i 100. Rješenje. 568 x 100 = 56 800.

Metoda sekvencijalnog množenja po bitovima. Ova se metoda koristi pri množenju broja bilo kojim jednoznamenkastim brojem. Ako trebate pomnožiti dvoznamenkasti (tro-, četveroznamenkasti, itd.) broj s jednoznamenkastim brojem, onda se prvo jedan od faktora množi s deseticama drugog faktora, zatim s njegovim jedinicama i rezultirajući proizvodi se zbrajaju. Primjer. Nađimo umnožak brojeva 39 i 7. Riješenje. 39 x 7 = (30 x 7) + (9 x 7) = 210 + 63 = 273.

Metoda okruglog broja. Ova metoda se koristi samo kada je jedan od faktora blizu okruglog broja. Množenik se množi okruglim brojem, zatim aritmetičkim zbrajanjem i na kraju se od prvog umnoška oduzima drugi. Primjer. Nađimo umnožak brojeva 174 i 69. Riješenje. 174 x 69 = (174 x 70) - (174 x 1) = 12 180 - 174 = 12 006.

Metoda za rastavljanje jednog od faktora. U ovoj se metodi jedan od faktora najprije rastavlja na dijelove (sabira), zatim se drugi faktor množi sa svakim dijelom prvog faktora, a dobiveni umnošci se zbrajaju. Primjer. Nađimo umnožak brojeva 13 i 325. Riješenje. Rastavimo broj na članove: 13 = 10 + 3. Svaki od dobivenih članova pomnožimo s 325: 10 x 325 = 3,250; 3 x 325 = 975 Zbrajamo dobivene umnoške: 3,250 + 975 = 4,225.

Tajne brzog mentalnog računanja. Postoje sustavi mentalnog brojanja koji vam omogućuju brzo i racionalno usmeno brojanje. Pogledat ćemo neke od najčešće korištenih tehnika.

Množenje dvocifrenog broja s 11.

Primjeri: 23x11= 23x(10+1) = 23x10+23x1=253 (distribucijski zakon množenja u odnosu na zbrajanje) 23x11=(20+3)x 11= 20x11+3x11=253 (distributivni zakon i metoda okruglog broja) Proučavali smo ovu metodu, ali nismo znali drugu tajnu množenja dvoznamenkastih brojeva s 11.

Promatrajući rezultate dobivene množenjem dvoznamenkastih brojeva s 11, primijetio sam da se odgovor može dobiti na praktičniji način: kada se dvoznamenkasti broj množi s 11, znamenke tog broja se razmaknu i zbroj ovih znamenke se stavljaju u sredinu. Primjeri. a) 23 11=253, jer je 2+3=5; b) 45 11=495, jer je 4+5=9; c) 57 11=627, jer 5+7=12, dvojka je stavljena u sredinu, a jedinica je dodana mjestu stotica; Pronašao sam potvrdu ove metode na internetu.

2) Umnožak dvoznamenkastih brojeva koji imaju isti broj desetica, a zbroj jedinica je 10, tj. 23 27; 34 36; 52 58 itd. Pravilo: znamenka desetica množi se sljedećom znamenkom u prirodnom nizu, rezultat se zapisuje i dodaje mu se umnožak jedinica. Primjeri. a) 23 27=621. Kako si dobio 621? Broj 2 pomnožimo s 3 (nakon “dvojke” slijedi “tri”), dobije se 6, a uz njega dodamo umnožak jedinica: 3 7 = 21, ispadne 621. b) 34 36 = 1224, pošto je 3 4 = 12, broju 12 pridružujemo 24, to je umnožak jedinica ovih brojeva: 4 6.

3) Dijeljenje troznamenkastih brojeva koji se sastoje od istih znamenki brojem 37. Rezultat je jednak zbroju tih istih znamenaka troznamenkastog broja (ili broju jednakom troznamenkastom troznamenkastom broju). Primjeri. a) 222:37=6. Ovo je zbroj 2+2+2=6. b) 333:37=9, jer je 3+3+3=9. c) 777:37=21, tj. 7+7+7=21. d) 888:37=24, jer je 8+8+8=24. Također uzimamo u obzir da je 888:24=37.

Ovladavanje vještinama racionalnog mentalnog proračuna učinit će vaš rad učinkovitijim. To je moguće samo uz dobro vladanje svim navedenim aritmetičkim operacijama. Korištenje racionalnih tehnika brojanja ubrzava izračune i osigurava potrebnu točnost.

Zaključak Kako bih otkrio glavnu tajnu u temi mog rada, morao sam naporno raditi - pretraživati, analizirati informacije, anketirati kolege iz razreda, ponavljati ranije poznate metode i pronaći mnoge nepoznate metode racionalnog izračuna, i konačno shvatiti u čemu je njegova tajna? I shvatio sam da je glavna stvar znati i moći primijeniti poznate, pronaći nove racionalne metode brojanja, znati tablicu množenja, sastav brojeva (klase i redovi), zakone aritmetičkih operacija. Osim toga, potražite nove načine:

Tehnike pojednostavljenog zbrajanja brojeva: (metoda uzastopnog bitnog zbrajanja; metoda zaokruženog broja; metoda rastavljanja jednog od faktora na članove); - Tehnike pojednostavljenog oduzimanja brojeva (metoda sekvencijalnog pobitnog oduzimanja; metoda okruglog broja); - Tehnike pojednostavljenog množenja brojeva (množenje s jedinicom pa nulama; metoda sekvencijalnog bitnog množenja; metoda okruglog broja; metoda rastavljanja jednog od faktora; - Tajne brzog mentalnog računanja (množenje dvoznamenkastog broja s 11: pri množenju dvoznamenkastog broja s 11, znamenke tog broja se razmaknu i u sredinu stavljaju zbroj tih znamenki; umnožak dvoznamenkastih brojeva koji imaju isti broj desetica i zbroj jedinica je 10; Dijeljenje troznamenkastih brojeva koji se sastoje od istih znamenki s brojem 37. Vjerojatno ima još puno takvih metoda, pa ću ovu temu nastaviti raditi i sljedeće godine.

Na kraju bih svoj govor završio ovim riječima:

Hvala svima na pažnji, želim vam uspjeh!!!