Osnovne formule planimetrije. Kako pronaći područje geometrijskih oblika

Područja geometrijskih figura su numeričke vrijednosti koje karakteriziraju njihovu veličinu u dvodimenzionalnom prostoru. Ova se vrijednost može mjeriti u sistemskim i izvansistemskim jedinicama. Tako je, na primjer, nesistemska jedinica površine stoti dio, hektar. To je slučaj ako je površina koja se mjeri komad zemlje. Sistemska jedinica za površinu je kvadrat duljine. U SI sustavu jedinica za ravnu površinu je kvadratni metar. U GHS-u je jedinica za površinu izražena kao kvadratni centimetar.

Geometrija i formule površine neraskidivo su povezane. Ta veza leži u činjenici da se izračunavanje površina ravnih figura temelji upravo na njihovoj primjeni. Za mnoge figure izvedeno je nekoliko opcija iz kojih se izračunavaju njihove kvadratne dimenzije. Na temelju podataka iz postavke problema možemo odrediti najjednostavnije moguće rješenje. To će olakšati izračun i smanjiti vjerojatnost pogrešaka u izračunu na minimum. Da biste to učinili, razmotrite glavna područja figura u geometriji.

Formule za pronalaženje površine bilo kojeg trokuta prikazane su u nekoliko opcija:

1) Površina trokuta izračunava se iz osnovice a i visine h. Podnožjem se smatra strana figure na koju se spušta visina. Tada je površina trokuta:

2) Površina pravokutnog trokuta izračunava se na isti način ako se hipotenuza smatra bazom. Ako uzmemo nogu kao bazu, tada će površina pravokutnog trokuta biti jednaka proizvodu prepolovljenih nogu.

Formule za izračunavanje površine bilo kojeg trokuta tu ne završavaju. Drugi izraz sadrži stranice a,b i sinusoidnu funkciju kuta γ između a i b. Vrijednost sinusa nalazi se u tablicama. Možete ga saznati i pomoću kalkulatora. Tada je površina trokuta:

Koristeći ovu jednakost, također možete osigurati da je površina pravokutnog trokuta određena kroz duljine kateta. Jer kut γ je pravi kut, tako da se površina pravokutnog trokuta izračunava bez množenja s funkcijom sinus.

3) Razmotrimo poseban slučaj - pravilan trokut, čija je stranica a poznata prema uvjetu ili se njezina duljina može pronaći prilikom rješavanja. Ništa se više ne zna o liku u geometrijskom problemu. Kako onda pronaći područje pod ovim uvjetom? U ovom slučaju primjenjuje se formula za područje pravilnog trokuta:

Pravokutnik

Kako pronaći površinu pravokutnika i koristiti dimenzije stranica koje imaju zajednički vrh? Izraz za izračunavanje je:

Ako trebate koristiti duljine dijagonala za izračunavanje površine pravokutnika, tada će vam trebati funkcija sinusa kuta formiranog kada se sijeku. Ova formula za površinu pravokutnika je:

Kvadrat

Površina kvadrata određena je drugom potencijom duljine stranice:

Dokaz proizlazi iz definicije da je kvadrat pravokutnik. Sve stranice koje tvore kvadrat imaju iste dimenzije. Stoga se izračunavanje površine takvog pravokutnika svodi na množenje jednog s drugim, odnosno na drugu snagu strane. A formula za izračunavanje površine kvadrata poprimit će željeni oblik.

Područje kvadrata može se pronaći na drugi način, na primjer, ako koristite dijagonalu:

Kako izračunati površinu figure koju čini dio ravnine omeđen krugom? Za izračun površine, formule su:

Paralelogram

Za paralelogram formula sadrži linearne dimenzije stranice, visinu i matematičku operaciju - množenje. Ako je visina nepoznata, kako onda pronaći područje paralelograma? Postoji još jedan način izračuna. Bit će potrebna određena vrijednost koja će se uzeti trigonometrijskom funkcijom kuta koji čine susjedne stranice, kao i njihova duljina.

Formule za površinu paralelograma su:

Romb

Kako pronaći područje četverokuta koji se zove romb? Površina romba se određuje jednostavnom matematikom s dijagonalama. Dokaz se temelji na činjenici da se dijagonalni segmenti u d1 i d2 sijeku pod pravim kutom. Tablica sinusa pokazuje da je za pravi kut ova funkcija jednaka jedinici. Stoga se površina romba izračunava na sljedeći način:

Područje romba može se pronaći i na drugi način. To također nije teško dokazati, s obzirom da su mu stranice iste duljine. Zatim zamijenite njihov umnožak sličnim izrazom za paralelogram. Uostalom, poseban slučaj ove figure je romb. Ovdje je γ unutarnji kut romba. Površina romba određena je na sljedeći način:

Trapez

Kako pronaći površinu trapeza kroz baze (a i b), ako problem ukazuje na njihove duljine? Ovdje, bez poznate vrijednosti duljine visine h, neće biti moguće izračunati površinu takvog trapeza. Jer ova vrijednost sadrži izraz za izračun:

Kvadratna dimenzija pravokutnog trapeza također se može izračunati na isti način. Uzima se u obzir da se u pravokutnom trapezu kombiniraju pojmovi visine i strane. Stoga, za pravokutni trapez, trebate odrediti duljinu bočne stranice umjesto visine.

Cilindar i paralelopiped

Razmotrimo što je potrebno za izračunavanje površine cijelog cilindra. Područje ove figure je par krugova koji se nazivaju baze i bočna površina. Krugovi koji tvore krugove imaju radijuse dužine jednake r. Za površinu cilindra provodi se sljedeći izračun:

Kako pronaći područje paralelopipeda koji se sastoji od tri para lica? Njegove mjere odgovaraju određenom paru. Suprotna lica imaju iste parametre. Prvo pronađite S(1), S(2), S(3) - kvadratne dimenzije nejednakih stranica. Tada je površina paralelopipeda:

Prsten

Dvije kružnice sa zajedničkim središtem čine prsten. Oni također ograničavaju područje prstena. U ovom slučaju obje formule za izračun uzimaju u obzir dimenzije svakog kruga. Prvi od njih, izračunavajući površinu prstena, sadrži veći R i manji r radijus. Češće se nazivaju vanjski i unutarnji. U drugom izrazu, površina prstena izračunata je kroz veći D i manji d promjer. Dakle, površina prstena na temelju poznatih polumjera izračunava se na sljedeći način:

Područje prstena, koristeći duljine promjera, određuje se na sljedeći način:

Poligon

Kako pronaći površinu poligona čiji oblik nije pravilan? Ne postoji opća formula za područje takvih figura. Ali ako je prikazano na koordinatnoj ravnini, na primjer, to bi mogao biti karirani papir, kako onda pronaći površinu u ovom slučaju? Ovdje koriste metodu koja ne zahtijeva približno mjerenje figure. Oni čine ovo: ako pronađu točke koje padaju u kut ćelije ili imaju cijele koordinate, tada se samo one uzimaju u obzir. Da biste saznali koje je područje, upotrijebite formulu koju je dokazao Peake. Potrebno je zbrojiti broj točaka koje se nalaze unutar izlomljene linije s polovicom točaka koje leže na njoj, a oduzeti jednu, tj. izračunava se na sljedeći način:

gdje je B, G - broj točaka smještenih unutar i na cijeloj izlomljenoj liniji, redom.

Sve formule za površinu ravnih figura

Površina jednakokračnog trapeza

1. Formula za područje jednakokračnog trapeza pomoću stranica i kutova

a - donja baza

b - gornja baza

c - jednake strane

α - kut na donjoj bazi

Formula za površinu jednakokračnog trapeza kroz strane, (S):

Formula za površinu jednakokračnog trapeza pomoću stranica i kutova, (S):

2. Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu polumjera upisane kružnice

R - polumjer upisane kružnice

D - promjer upisane kružnice

O - središte upisane kružnice

H - visina trapeza

α, β - kutovi trapeza

Formula za površinu jednakokračnog trapeza u smislu polumjera upisane kružnice, (S):

FAIR, za upisanu kružnicu u jednakokračan trapez:

3. Formula za područje jednakokračnog trapeza kroz dijagonale i kut između njih

d- dijagonala trapeza

α,β- kutovi između dijagonala

Formula za površinu jednakokračnog trapeza kroz dijagonale i kut između njih, (S):

4. Formula za područje jednakokračnog trapeza kroz srednju liniju, bočnu stranu i kut na bazi

c- strana

m - srednja linija trapeza

α, β - kutovi na bazi

Formula za površinu jednakokračnog trapeza koristeći srednju liniju, bočnu stranu i osnovni kut,

(S):

5. Formula za površinu jednakokračnog trapeza pomoću baza i visine

a - donja baza

b - gornja baza

h - visina trapeza

Formula za površinu jednakokračnog trapeza koristeći baze i visinu, (S):

Površina trokuta temeljena na stranici i dva kuta, formula.

a, b, c - stranice trokuta

α, β, γ - suprotni kutovi

Površina trokuta kroz stranicu i dva kuta (S):

Formula za površinu pravilnog poligona

a - strana poligona

n - broj strana

Površina pravilnog poligona, (S):

Formula (Heron) za površinu trokuta kroz poluperimetar (S):

Površina jednakostraničnog trokuta je:

Formule za izračunavanje površine jednakostraničnog trokuta.

a - stranica trokuta

h – visina

Kako izračunati površinu jednakokračnog trokuta?

b - baza trokuta

a - jednake strane

h – visina

3. Formula za površinu trapeza s četiri strane

a - donja baza

b - gornja baza

c, d - strane

Polumjer opisane kružnice trapeza po stranicama i dijagonalama

a - bočne stranice trapeza

c - donja baza

b - gornja baza

d - dijagonala

h - visina

Formula radijusa kruga trapeza, (R)

pronađite polumjer opisanog kruga jednakokračnog trokuta pomoću stranica

Znajući stranice jednakokračnog trokuta, možete koristiti formulu za pronalaženje polumjera opisane kružnice oko tog trokuta.

a, b - stranice trokuta

Polumjer kruga jednakokračnog trokuta (R):

Polumjer upisane kružnice u šesterokut

a - stranica šesterokuta

Polumjer šesterokuta upisane kružnice (r):

Polumjer upisane kružnice u romb

r - polumjer upisane kružnice

a - strana romba

D, d - dijagonale

h - visina romba

Polumjer upisane kružnice jednakostraničnog trapeza

c - donja baza

b - gornja baza

a - strane

h - visina

Polumjer upisane kružnice u pravokutni trokut

a, b - noge trokuta

c - hipotenuza

Polumjer upisane kružnice u jednakokračni trokut

a, b - stranice trokuta

Dokažite da je površina upisanog četverokuta

\/(r - a)(r - b) (r - s) (r - d),

gdje je p poluopseg, a a, b, c i d stranice četverokuta.

Dokažite da je površina četverokuta upisanog u krug jednaka

1/2 (ab + cb) · sin α, gdje su a, b, c i d stranice četverokuta, a α kut između stranica a i b.

S = √[ a ƀ c d] sin ½ (α + β). - Pročitajte više na FB.ru:

Površina proizvoljnog četverokuta (slika 1.13) može se izraziti kroz njegove stranice a, b, c i zbroj para suprotnih kutova:

gdje je p poluopseg četverokuta.

Površina četverokuta upisanog u krug () (Sl. 1.14, a) izračunava se pomoću Brahmaguptine formule

i opisano (Sl. 1.14, b) () - prema formuli

Ako je četverokut upisan i opisan u isto vrijeme (sl. 1.14, c), tada formula postaje vrlo jednostavna:

Pickova formula

Za procjenu površine poligona na kariranom papiru dovoljno je izbrojati koliko ćelija taj poligon pokriva (površinu ćelije uzimamo kao jednu). Točnije, ako je S površina poligona, to je broj ćelija koje se u cijelosti nalaze unutar poligona, te je broj ćelija koje imaju barem jednu zajedničku točku s unutrašnjosti poligona.

U nastavku ćemo razmotriti samo one poligone čiji svi vrhovi leže u čvorovima kariranog papira - one gdje se sijeku linije mreže. Ispada da se za takve poligone može odrediti sljedeća formula:

gdje je površina, r je broj čvorova koji leže strogo unutar poligona.

Ova se formula naziva "Pick formula" - po matematičaru koji ju je otkrio 1899.

Što je površina?

Površina je karakteristika zatvorenog geometrijskog lika (kruga, kvadrata, trokuta i sl.), koja pokazuje njegovu veličinu. Površina se mjeri u kvadratnim centimetrima, metrima itd. Označava se slovom S(kvadrat).

Kako pronaći površinu trokuta?

S= a h

Gdje a– duljina baze, h– visina trokuta povučena na osnovicu.

Štoviše, baza ne mora biti na dnu. I to će poslužiti.

Ako trokut tupi, tada se visina spušta na nastavak baze:

Ako trokut pravokutan, tada su baza i visina njegove noge:

2. Još jedna formula, koja nije ništa manje korisna, ali koja se iz nekog razloga uvijek zaboravlja:

S= a b sinα

Gdje a I b- dvije stranice trokuta, grijehα je sinus kuta između ovih stranica.

Glavni uvjet je da je kut uzet između dvije poznate strane.

3. Formula za površinu na tri strane (Heronova formula):

S=

Gdje a, b I S su stranice trokuta, i R - poluperimetar str = (a+b+c)/2.

4. Formula za površinu trokuta u smislu polumjera opisane kružnice:

S=

Gdje a, b I S su stranice trokuta, i R – polumjer opisane kružnice.

5. Formula za površinu trokuta u smislu polumjera upisane kružnice:

S= p · r

Gdje R - poluopseg trokuta, i r – polumjer upisane kružnice.

Kako pronaći površinu pravokutnika?

1. Područje pravokutnika nalazi se vrlo jednostavno:

S=a b

Bez trikova.

Kako pronaći površinu kvadrata?

1. Budući da je kvadrat pravokutnik sa svim stranicama jednakim, na njega se primjenjuje ista formula:

S=a · a = a 2

2. Također, površina kvadrata može se pronaći kroz njegovu dijagonalu:

S= d 2

Kako pronaći površinu paralelograma?

1. Površina paralelograma nalazi se formulom:

S=a h

To je zbog činjenice da ako iz njega izrežete pravokutni trokut s desne strane i stavite ga s lijeve strane, dobit ćete pravokutnik:

2. Također, područje paralelograma može se pronaći kroz kut između dvije strane:

S=a · b · sinα

Kako pronaći područje romba?

Romb je u biti paralelogram sa svim jednakim stranicama. Stoga se na njega primjenjuju iste formule površine.

1. Površina romba kroz visinu:

S=a h

Za rješavanje geometrijskih problema morate znati formule - poput površine trokuta ili površine paralelograma - kao i jednostavne tehnike koje ćemo obraditi.

Prvo, naučimo formule za površine figura. Posebno smo ih prikupili u prigodnoj tablici. Ispiši, nauči i primijeni!

Naravno, nisu sve geometrijske formule u našoj tablici. Na primjer, za rješavanje problema iz geometrije i stereometrije u drugom dijelu profila Jedinstveni državni ispit iz matematike koriste se druge formule za područje trokuta. Svakako ćemo vam reći o njima.

Ali što ako ne trebate pronaći područje trapeza ili trokuta, već područje neke složene figure? Postoje univerzalni načini! Pokazat ćemo ih na primjerima iz FIPI banke zadataka.

1. Kako pronaći područje nestandardne figure? Na primjer, proizvoljni četverokut? Jednostavna tehnika - podijelimo ovu figuru na one o kojima sve znamo i pronađemo joj površinu - kao zbroj površina tih figura.

Podijelite ovaj četverokut vodoravnom crtom na dva trokuta sa zajedničkom bazom jednakom . Visine tih trokuta jednake su i . Tada je površina četverokuta jednaka zbroju površina dvaju trokuta: .

Odgovor: .

2. U nekim slučajevima, područje figure može se prikazati kao razlika nekih područja.

Nije tako lako izračunati čemu su jednake osnovica i visina tog trokuta! Ali možemo reći da je njegova površina jednaka razlici površina kvadrata sa stranicom i tri pravokutna trokuta. Vidite li ih na slici? Dobivamo: .

Odgovor: .

3. Ponekad u zadatku trebate pronaći područje ne cijele figure, već njenog dijela. Obično govorimo o površini sektora - dijela kruga. Nađite površinu sektora kruga polumjera čija je duljina luka jednaka .

Na ovoj slici vidimo dio kruga. Površina cijelog kruga jednaka je . Ostaje saznati koji je dio kruga prikazan. Budući da je duljina cijele kružnice jednaka (od ), a duljina luka danog sektora jednaka je , Dakle, duljina luka je nekoliko puta manja od duljine cijele kružnice. Kut pod kojim ovaj luk počiva također je faktor manji od punog kruga (tj. stupnjeva). To znači da će područje sektora biti nekoliko puta manje od područja cijelog kruga.