Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x. Diskretna slučajna varijabla i njena funkcija distribucije

Diskretno slučajno Varijable su slučajne varijable koje uzimaju samo vrijednosti koje su međusobno udaljene i koje se mogu unaprijed navesti.
Zakon raspodjele
Zakon distribucije slučajne varijable je odnos koji uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i njihovih odgovarajućih vjerojatnosti.
Niz distribucije diskretne slučajne varijable je popis njegovih mogućih vrijednosti i odgovarajućih vjerojatnosti.
Funkcija distribucije diskretne slučajne varijable je funkcija:
,
određivanje za svaku vrijednost argumenta x vjerojatnosti da će slučajna varijabla X poprimiti vrijednost manju od ovog x.

Očekivanje diskretne slučajne varijable
,
gdje je vrijednost diskretne slučajne varijable; - vjerojatnost da slučajna varijabla prihvati X vrijednosti.
Ako slučajna varijabla ima prebrojiv skup mogućih vrijednosti, tada:
.
Matematičko očekivanje broja pojavljivanja događaja u n neovisnih pokusa:
,

Disperzija i standardna devijacija diskretne slučajne varijable
Disperzija diskretne slučajne varijable:
ili .
Varijanca broja pojavljivanja događaja u n neovisnih ispitivanja
,
gdje je p vjerojatnost da će se događaj dogoditi.
Standardna devijacija diskretne slučajne varijable:
.

Primjer 1
Napravite zakon distribucije vjerojatnosti za diskretnu slučajnu varijablu (DRV) X – broj k pojavljivanja barem jedne “šestice” u n = 8 bacanja para kocki. Konstruirajte poligon distribucije. Odredite numeričke karakteristike distribucije (način distribucije, matematičko očekivanje M(X), disperzija D(X), standardna devijacija s(X)). Riješenje: Uvodimo oznaku: događaj A – “prilikom bacanja para kocki pojavila se šestica barem jednom.” Da bismo pronašli vjerojatnost P(A) = p događaja A, prikladnije je prvo pronaći vjerojatnost P(Ā) = q suprotnog događaja Ā - “prilikom bacanja para kocki šestica se nikada nije pojavila.”
Budući da je vjerojatnost da se "šestica" ne pojavi pri bacanju jedne kocke 5/6, tada prema teoremu množenja vjerojatnosti
P(Ā) = q = = .
Odnosno,
P(A) = p = 1 – P(Ā) = .
Testovi u zadatku slijede Bernoullijevu shemu, pa se d.s.v. veličina x- broj k pojava najmanje jedne šestice pri bacanju dviju kockica pokorava se binomnom zakonu distribucije vjerojatnosti:

gdje je = broj kombinacija od n Po k.

Izračuni provedeni za ovaj problem mogu se prikladno prikazati u obliku tablice:
Distribucija vjerojatnosti d.s.v. x º k (n = 8; str = ; q = )

k
Pn(k)

Poligon (poligon) distribucije vjerojatnosti diskretne slučajne varijable x prikazano na slici:

Riža. Poligon distribucije vjerojatnosti d.s.v. x=k.
Okomita linija prikazuje matematičko očekivanje distribucije M(x).

Nađimo numeričke karakteristike distribucije vjerojatnosti d.s.v. x. Način distribucije je 2 (ovdje P 8(2) = 0,2932 maksimalno). Matematičko očekivanje po definiciji je jednako:
M(x) = = 2,4444,
Gdje xk = k– vrijednost koju preuzima d.s.v. x. Varijanca D(x) raspodjelu nalazimo pomoću formule:
D(x) = = 4,8097.
Standardna devijacija (RMS):
s( x) = = 2,1931.

Primjer2
Diskretna slučajna varijabla x dano zakonom raspodjele

Pronađite funkciju distribucije F(x) i nacrtajte je.

Riješenje. Ako je , tada (treće svojstvo).
Ako tada. Stvarno, x može uzeti vrijednost 1 s vjerojatnošću 0,3.
Ako tada. Doista, ako zadovoljava nejednakost
, tada je jednaka vjerojatnosti događaja koji se može dogoditi kada xće imati vrijednost 1 (vjerojatnost ovog događaja je 0,3) ili vrijednost 4 (vjerojatnost ovog događaja je 0,1). Budući da su ova dva događaja nekompatibilna, tada je prema teoremu zbrajanja vjerojatnost događaja jednaka zbroju vjerojatnosti 0,3 + 0,1 = 0,4. Ako tada. Doista, događaj je izvjestan, stoga je njegova vjerojatnost jednaka jedinici. Dakle, funkcija distribucije može se analitički napisati na sljedeći način:

Grafik ove funkcije:
Nađimo vjerojatnosti koje odgovaraju tim vrijednostima. Po uvjetu, vjerojatnosti kvara uređaja su jednake: tada su jednake vjerojatnosti da će uređaji raditi tijekom jamstvenog roka:




Zakon distribucije ima oblik:

Definicija 2.3. Slučajna varijabla, označena s X, naziva se diskretnom ako poprima konačan ili prebrojiv skup vrijednosti, tj. set – konačan ili prebrojiv skup.

Razmotrimo primjere diskretnih slučajnih varijabli.

1. Dva novčića se bacaju jednom. Broj amblema u ovom eksperimentu je slučajna varijabla x. Njegove moguće vrijednosti su 0,1,2, tj. – konačan skup.

2. Bilježi se broj poziva hitne pomoći u određenom vremenskom razdoblju. Slučajna vrijednost x– broj poziva. Njegove moguće vrijednosti su 0, 1, 2, 3, ..., tj. =(0,1,2,3,...) je prebrojiv skup.

3. U grupi ima 25 učenika. Određenog dana bilježi se broj učenika koji su došli na nastavu – slučajna varijabla x. Njegove moguće vrijednosti: 0, 1, 2, 3, ...,25 tj. =(0, 1, 2, 3, ..., 25).

Iako svih 25 ljudi u primjeru 3 ne može izostati s nastave, slučajna varijabla x može uzeti ovu vrijednost. To znači da vrijednosti slučajne varijable imaju različite vjerojatnosti.

Razmotrimo matematički model diskretne slučajne varijable.

Neka se izvede slučajni eksperiment koji odgovara konačnom ili prebrojivom prostoru elementarnih događaja. Razmotrimo preslikavanje ovog prostora na skup realnih brojeva, tj. dodijelimo svakom elementarnom događaju određeni realni broj , . Skup brojeva može biti konačan ili prebrojiv, tj. ili

Sustav podskupova, koji uključuje bilo koji podskup, uključujući i onaj s jednom točkom, tvori -algebru numeričkog skupa ( – konačan ili prebrojiv).

Budući da je svaki elementarni događaj povezan s određenim vjerojatnostima p i(u slučaju konačnog svega), i , tada se svakoj vrijednosti slučajne varijable može pridružiti određena vjerojatnost p i, tako da .

Neka x je proizvoljan realan broj. Označimo R X (x) vjerojatnost da slučajna varijabla x uzeo vrijednost jednaku x, tj. P X (x)=P(X=x). Zatim funkcija R X (x) može uzeti pozitivne vrijednosti samo za te vrijednosti x, koji pripadaju konačnom ili prebrojivom skupu , a za sve ostale vrijednosti vjerojatnost ove vrijednosti P X (x) = 0.

Dakle, definirali smo skup vrijednosti, -algebru kao sustav bilo kojih podskupova i za svaki događaj ( X = x) usporedio je vjerojatnost za bilo koji, tj. konstruirao prostor vjerojatnosti.

Na primjer, prostor elementarnih događaja eksperimenta koji se sastoji od dva puta bacanja simetričnog novčića sastoji se od četiri elementarna događaja: , gdje

Kad je novčić bačen dvaput, pojavila su se dva repa; kad je novčić dvaput bačen, pala su dva grba;

Pri prvom bacanju novčića pojavio se hash, a pri drugom grb;

Pri prvom bacanju novčića iskrsnuo je grb, a pri drugom oznaka hash-a.

Neka je slučajna varijabla x– broj ispadanja rešetke. Definiran je na i skupu njegovih vrijednosti . Svi mogući podskupovi, uključujući one s jednom točkom, tvore algebru, tj. =(Ø, (1), (2), (0,1), (0,2), (1,2), (0,1,2)).

Vjerojatnost događaja ( X=x i}, і = 1,2,3, definiramo kao vjerojatnost pojave događaja koji je njegov prototip:

Dakle, na elementarne događaje ( X = xi) postavite numeričku funkciju R X, Dakle .

Definicija 2.4. Zakon distribucije diskretne slučajne varijable je skup parova brojeva (x i, r i), gdje su x i moguće vrijednosti slučajne varijable, a r i su vjerojatnosti s kojima ona uzima te vrijednosti, i .

Najjednostavniji oblik određivanja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tablica koja navodi moguće vrijednosti slučajne varijable i odgovarajuće vjerojatnosti:

			…		…
			…		…

Takva se tablica naziva serija distribucije. Kako bi niz distribucije dobio vizualniji izgled, prikazan je grafički: na osi Oh točkice x i te iz njih povući okomice duljina p i. Rezultirajuće točke se spajaju i dobiva se poligon, koji je jedan od oblika zakona raspodjele (sl. 2.1).

Stoga, da biste odredili diskretnu slučajnu varijablu, morate odrediti njezine vrijednosti i odgovarajuće vjerojatnosti.

Primjer 2.2. Otvor za gotovinu na aparatu se aktivira svaki put kada se ubaci novčić s vjerojatnošću R. Nakon što se aktivira, novčići ne padaju. Neka x– broj kovanica koji se moraju umetnuti prije nego što se otvori otvor za gotovinu na aparatu. Konstruirajte niz distribucije diskretne slučajne varijable x.

Riješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable x: x 1 = 1, x 2 = 2,..., x k = k, ... Nađimo vjerojatnosti ovih vrijednosti: str 1– vjerojatnost da će primatelj novca proraditi kada se prvi put spusti, i p 1 = p; p 2 – vjerojatnost da će biti napravljena dva pokušaja. Da biste to učinili, potrebno je da: 1) primatelj novca ne radi u prvom pokušaju; 2) u drugom pokušaju je uspjelo. Vjerojatnost ovog događaja je (1–r)r. Također i tako dalje, . Raspon distribucije x poprimit će oblik

	1	2	3	…	Do	…
	R	qp	q 2 str		q r -1 str

Imajte na umu da su vjerojatnosti r k tvore geometrijsku progresiju s nazivnikom: 1–p=q, q<1, stoga se ova distribucija vjerojatnosti naziva geometrijski.

Nadalje pretpostavimo da je matematički model konstruiran eksperiment opisan diskretnom slučajnom varijablom x, te razmislite o izračunavanju vjerojatnosti pojavljivanja proizvoljnih događaja.

Neka proizvoljni događaj sadrži konačan ili prebrojiv skup vrijednosti x i: A= {x 1, x 2,..., x i, ...) .Događaj A može se prikazati kao unija nekompatibilnih događaja oblika: . Zatim, koristeći Kolmogorovljev aksiom 3 , dobivamo

budući da smo vjerojatnosti pojavljivanja događaja odredili jednakima vjerojatnostima događanja događaja koji su njihovi prototipovi. To znači da vjerojatnost bilo kojeg događaja , , može se izračunati pomoću formule, budući da se ovaj događaj može prikazati u obliku unije događaja, gdje .

Zatim funkcija distribucije F(x) = R(–<Х<х) nalazi se formulom. Slijedi da funkcija distribucije diskretne slučajne varijable x je diskontinuirana i skokovito raste, tj. to je stepenasta funkcija (sl. 2.2):

Ako je skup konačan, onda je broj članova u formuli konačan, ali ako je prebrojiv, onda je i broj članova prebrojiv.

Primjer 2.3. Tehnički uređaj sastoji se od dva elementa koji djeluju neovisno jedan o drugom. Vjerojatnost kvara prvog elementa tijekom vremena T je 0,2, a vjerojatnost kvara drugog elementa je 0,1. Slučajna vrijednost x– broj neuspjelih elemenata tijekom vremena T. Naći funkciju distribucije slučajne varijable i nacrtati njen graf.

Riješenje. Prostor elementarnih događaja eksperimenta koji se sastoji od proučavanja pouzdanosti dvaju elemenata tehničkog uređaja određen je s četiri elementarna događaja , , , : – oba su elementa u funkciji; – prvi element radi, drugi je neispravan; – prvi element je neispravan, drugi radi; – oba elementa su neispravna. Svaki od elementarnih događaja može se izraziti kroz elementarne događaje prostora I , gdje je – prvi element operativni; – prvi element nije uspio; – drugi element radi; – drugi element nije uspio. Zatim, a budući da elementi tehničkog uređaja rade neovisno jedan o drugome, tada

8. Kolika je vjerojatnost da vrijednosti diskretne slučajne varijable pripadaju intervalu?

x; značenje F(5); vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti vrijednosti iz segmenta. Konstruirajte poligon distribucije.

1. Poznata je funkcija distribucije F(x) diskretne slučajne varijable x:

Postaviti zakon raspodjele slučajne varijable x u obliku tablice.

1. Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x:

x	–28	–20	–12	–4
str	0,22	0,44	0,17	0,1	0,07

1. Vjerojatnost da trgovina ima certifikate kvalitete za cijeli asortiman proizvoda je 0,7. Komisija je provjerila dostupnost certifikata u četiri trgovine na tom području. Izraditi zakon o raspodjeli, izračunati matematičko očekivanje i disperziju broja prodavaonica u kojima nisu pronađeni certifikati kvalitete prilikom kontrole.

1. Za određivanje prosječnog vremena gorenja električnih žarulja u seriji od 350 identičnih kutija, iz svake kutije uzeta je za ispitivanje po jedna električna žarulja. Odozdo procijenite vjerojatnost da se prosječno trajanje gorenja odabranih električnih žarulja razlikuje od prosječnog trajanja gorenja cijele serije u apsolutnoj vrijednosti za manje od 7 sati, ako je poznato da standardna devijacija trajanja gorenja električnih žarulja u svaka kutija je manje od 9 sati.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,002. Odredite vjerojatnost da će se među 500 veza dogoditi sljedeće:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu, mod i medijan slučajne varijable x.

1. Automatska mašina izrađuje valjke. Smatra se da je njihov promjer normalno distribuirana slučajna varijabla sa srednjom vrijednošću od 10 mm. Kolika je standardna devijacija ako je s vjerojatnošću od 0,99 promjer u rasponu od 9,7 mm do 10,3 mm.

Uzorak A: 6 9 7 6 4 4

Uzorak B: 55 72 54 53 64 53 59 48

42 46 50 63 71 56 54 59

54 44 50 43 51 52 60 43

50 70 68 59 53 58 62 49

59 51 52 47 57 71 60 46

55 58 72 47 60 65 63 63

58 56 55 51 64 54 54 63

56 44 73 41 68 54 48 52

52 50 55 49 71 67 58 46

50 51 72 63 64 48 47 55

Opcija 17.

1. Među 35 dijelova, 7 je nestandardnih. Nađite vjerojatnost da će dva nasumce uzeta dijela biti standardna.

1. Bacaju se tri kocke. Odredite vjerojatnost da je zbroj bodova na ispuštenim stranama višekratnik broja 9.

1. Riječ "AVANTURA" sastoji se od kartica na kojima je napisano jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da slova izvađena redoslijedom pojavljivanja tvore riječ: a) AVANTURA; b) ZATVORENIK.

1. Urna sadrži 6 crnih i 5 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:
1. 2 bijele kuglice;
2. manje od 2 bijele kuglice;
3. barem jednu crnu kuglu.

1. A u jednom testu jednaka je 0,4. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:
1. događaj A pojavljuje se 3 puta u nizu od 7 neovisnih ispitivanja;
2. događaj A pojavit će se ne manje od 220 i ne više od 235 puta u nizu od 400 suđenja.

1. Tvornica je u bazu poslala 5000 proizvoda dobre kvalitete. Vjerojatnost oštećenja svakog proizvoda u transportu je 0,002. Nađite vjerojatnost da tijekom putovanja neće biti oštećeno više od 3 proizvoda.

1. Prva urna sadrži 4 bijele i 9 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 3 crne kuglice. Iz prve urne su nasumično izvučene 3 kuglice, a iz druge 4. Odredite vjerojatnost da su sve izvučene kuglice iste boje.

1. Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijancu.

1. U kutiji je 10 olovaka. Nasumično su izvučene 4 olovke. Slučajna vrijednost x– broj plavih olovaka među odabranima. Nađite zakon njegove raspodjele, početni i središnji moment 2. i 3. reda.

1. Odjel tehničkog nadzora provjerava neispravnost 475 proizvoda. Vjerojatnost da je proizvod neispravan je 0,05. Odredite, s vjerojatnošću 0,95, granice unutar kojih će se nalaziti broj neispravnih proizvoda među testiranim.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,003. Odredite vjerojatnost da će se među 1000 veza dogoditi sljedeće:
1. najmanje 4 neispravna spoja;
2. više od dva pogrešna povezivanja.

1. Slučajna varijabla određena je funkcijom gustoće distribucije:

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x. Konstruirajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu, modus i medijan slučajne varijable X.

1. Slučajna varijabla određena je funkcijom distribucije:

1. Po uzorku A riješiti sljedeće probleme:
1. stvoriti niz varijacija;

· prosjek uzorka;

· varijanca uzorka;

Mod i medijan;

Uzorak A: 0 0 2 2 1 4

1. izračunajte numeričke karakteristike niza varijacija:

· prosjek uzorka;

· varijanca uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak B: 166 154 168 169 178 182 169 159

161 150 149 173 173 156 164 169

157 148 169 149 157 171 154 152

164 157 177 155 167 169 175 166

167 150 156 162 170 167 161 158

168 164 170 172 173 157 157 162

156 150 154 163 143 170 170 168

151 174 155 163 166 173 162 182

166 163 170 173 159 149 172 176

Opcija 18.

1. Među 10 srećki 2 su dobitne. Odredite vjerojatnost da će od pet nasumično uzetih listića jedna biti dobitna.

1. Bacaju se tri kocke. Odredite vjerojatnost da je zbroj bačenih bodova veći od 15.

1. Riječ “PERIMETAR” sastoji se od kartica na kojima je napisano jedno slovo. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da izvađena slova tvore riječ: a) OPSEG; b) METAR.

1. Urna sadrži 5 crnih i 7 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:
1. 4 bijele kuglice;
2. manje od 2 bijele kuglice;
3. barem jednu crnu kuglu.

1. Vjerojatnost događanja događaja A u jednom pokusu jednak je 0,55. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:
1. događaj A pojavit će se 3 puta u nizu od 5 izazova;
2. događaj A pojavit će se ne manje od 130 i ne više od 200 puta u nizu od 300 suđenja.

1. Vjerojatnost da se konzerva razbije je 0,0005. Odredite vjerojatnost da će među 2000 limenki dvije imati curenje.

1. Prva urna sadrži 4 bijele i 8 crnih kuglica, a druga urna sadrži 7 bijelih i 4 crne kuglice. Dvije se kuglice nasumično izvlače iz prve urne, a tri kuglice se nasumično izvlače iz druge urne. Odredite vjerojatnost da su sve izvučene kuglice iste boje.

1. Među dijelovima koji stižu na montažu, 0,1% je neispravno s prvog stroja, 0,2% s drugog, 0,25% s trećeg i 0,5% s četvrtog stroja. Omjeri produktivnosti stroja su 4:3:2:1. Nasumično uzet dio pokazao se standardnim. Nađite vjerojatnost da je dio izrađen na prvom stroju.

1. Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x:

Izračunajte njegovo matematičko očekivanje i varijancu.

1. Električar ima tri žarulje od kojih svaka ima kvar s vjerojatnošću 0,1 Žarulje se zavrnu u grlo i pusti se struja. Kada se struja uključi, neispravna žarulja odmah pregori i zamijeni se drugom. Odredite zakon raspodjele, matematičko očekivanje i disperziju broja ispitanih žarulja.

1. Vjerojatnost pogađanja mete je 0,3 za svaki od 900 neovisnih hitaca. Pomoću Čebiševljeve nejednakosti procijenite vjerojatnost da će meta biti pogođena najmanje 240 puta, a najviše 300 puta.

1. Na telefonskoj centrali dolazi do neispravne veze s vjerojatnošću 0,002. Odredite vjerojatnost da će se među 800 veza dogoditi sljedeće:
1. najmanje tri neispravna spoja;
2. više od četiri pogrešna povezivanja.

1. Slučajna varijabla određena je funkcijom gustoće distribucije:

Nađite funkciju distribucije slučajne varijable X. Nacrtajte grafove funkcija i . Izračunajte matematičko očekivanje, varijancu, mod i medijan slučajne varijable X.

1. Slučajna varijabla određena je funkcijom distribucije:

1. Po uzorku A riješiti sljedeće probleme:
1. stvoriti niz varijacija;
2. izračunati relativne i akumulirane frekvencije;
3. sastaviti empirijsku funkciju distribucije i nacrtati je;
4. izračunajte numeričke karakteristike niza varijacija:

· prosjek uzorka;

· varijanca uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak A: 4 7 6 3 3 4

1. Koristeći uzorak B, riješite sljedeće probleme:
1. stvoriti grupiranu seriju varijacija;
2. izgraditi histogram i frekvencijski poligon;
3. izračunajte numeričke karakteristike niza varijacija:

· prosjek uzorka;

· varijanca uzorka;

standardna devijacija uzorka;

· mod i medijan;

Uzorak B: 152 161 141 155 171 160 150 157

154 164 138 172 155 152 177 160

168 157 115 128 154 149 150 141

172 154 144 177 151 128 150 147

143 164 156 145 156 170 171 142

148 153 152 170 142 153 162 128

150 146 155 154 163 142 171 138

128 158 140 160 144 150 162 151

163 157 177 127 141 160 160 142

159 147 142 122 155 144 170 177

Opcija 19.

1. Na gradilištu radi 16 žena i 5 muškaraca. 3 osobe su odabrane nasumično pomoću njihovih osobnih brojeva. Nađite vjerojatnost da će svi odabrani ljudi biti muškarci.

2. Bacaju se četiri novčića. Nađite vjerojatnost da će samo dva novčića imati "grb".

3. Riječ “PSIHOLOGIJA” sastoji se od kartica od kojih svaka ima jedno slovo napisano na sebi. Karte se miješaju i vade jedna po jedna bez vraćanja. Odredite vjerojatnost da izvađena slova tvore riječ: a) PSIHOLOGIJA; b) OSOBLJE.

4. Urna sadrži 6 crnih i 7 bijelih kuglica. Nasumično se izvlači 5 kuglica. Odredite vjerojatnost da među njima ima:

a. 3 bijele kuglice;

b. manje od 3 bijele kuglice;

c. barem jednu bijelu kuglu.

5. Vjerojatnost događanja događaja A u jednom pokusu jednak je 0,5. Odredite vjerojatnosti sljedećih događaja:

a. događaj A pojavljuje se 3 puta u nizu od 5 neovisnih ispitivanja;

b. događaj A pojavit će se najmanje 30 i ne više od 40 puta u seriji od 50 suđenja.

6. Postoji 100 strojeva iste snage, koji rade neovisno jedan o drugom u istom režimu, pri čemu im je pogon uključen 0,8 radnih sati. Kolika je vjerojatnost da će u bilo kojem trenutku biti uključeno od 70 do 86 strojeva?

7. Prva urna sadrži 4 bijele i 7 crnih kuglica, a druga urna sadrži 8 bijelih i 3 crne kuglice. Iz prve urne nasumično se izvlače 4 kuglice, a iz druge 1 kuglica. Odredite vjerojatnost da među izvučenim kuglicama budu samo 4 crne kuglice.

8. Autosalon dnevno prima automobile tri marke u količinama: “Moskvich” – 40%; "Oka" - 20%; "Volga" - 40% svih uvezenih automobila. Među automobilima Moskvich, 0,5% ima protuprovalni uređaj, Oka – 0,01%, Volga – 0,1%. Nađite vjerojatnost da automobil odveden na pregled ima protuprovalni uređaj.

9. Na segmentu se slučajno biraju brojevi i . Odredite vjerojatnost da ti brojevi zadovoljavaju nejednadžbe.

10. Zadan je zakon raspodjele slučajne varijable x:

x
str	0,1	0,2	0,3	0,4

Pronađite funkciju distribucije slučajne varijable x; značenje F(2); vjerojatnost da slučajna varijabla xće uzeti vrijednosti iz intervala. Konstruirajte poligon distribucije.

ZAKON DISTRIBUCIJE I KARAKTERISTIKE

SLUČAJNE VARIJABLE

Slučajne varijable, njihova klasifikacija i metode opisa.

Slučajna veličina je veličina koja kao rezultat pokusa može poprimiti jednu ili drugu vrijednost, ali nije unaprijed poznato koju. Za slučajnu varijablu, dakle, možete specificirati samo vrijednosti, od kojih će jednu sigurno uzeti kao rezultat eksperimenta. U nastavku ćemo ove vrijednosti zvati moguće vrijednosti slučajne varijable. Budući da slučajna varijabla kvantitativno karakterizira slučajni rezultat eksperimenta, može se smatrati kvantitativnom karakteristikom slučajnog događaja.

Slučajne varijable obično se označavaju velikim slovima latinične abecede, na primjer, X..Y..Z, a njihove moguće vrijednosti odgovarajućim malim slovima.

Postoje tri vrste slučajnih varijabli:

Diskretna; Stalan; Mješoviti.

Diskretna je slučajna varijabla čiji broj mogućih vrijednosti čini prebrojiv skup. Zauzvrat, skup čiji se elementi mogu numerirati nazivamo prebrojivim. Riječ "diskretan" dolazi od latinske riječi discretus, što znači "diskontinuiran, koji se sastoji od odvojenih dijelova".

Primjer 1. Diskretna slučajna varijabla je broj neispravnih dijelova X u seriji od n proizvoda. Doista, moguće vrijednosti ove slučajne varijable su niz cijelih brojeva od 0 do n.

Primjer 2. Diskretna slučajna varijabla je broj hitaca prije prvog pogotka u metu. Ovdje, kao u primjeru 1, moguće vrijednosti mogu biti numerirane, iako je u graničnom slučaju moguća vrijednost beskonačno velik broj.

Stalan je slučajna varijabla čije moguće vrijednosti kontinuirano ispunjavaju određeni interval numeričke osi, koji se ponekad naziva i interval postojanja ove slučajne varijable. Dakle, na bilo kojem konačnom intervalu postojanja, broj mogućih vrijednosti kontinuirane slučajne varijable je beskonačno velik.

Primjer 3. Kontinuirana slučajna varijabla je mjesečna potrošnja električne energije poduzeća.

Primjer 4. Kontinuirana slučajna varijabla je pogreška u mjerenju visine pomoću visinomjera. Neka je iz principa rada visinomjera poznato da se pogreška nalazi u rasponu od 0 do 2 m. Dakle, interval postojanja ove slučajne varijable je interval od 0 do 2 m.

Zakon raspodjele slučajnih varijabli.

Slučajna varijabla se smatra potpuno određenom ako su njene moguće vrijednosti naznačene na numeričkoj osi i ako je uspostavljen zakon distribucije.

Zakon raspodjele slučajne varijable je relacija koja uspostavlja vezu između mogućih vrijednosti slučajne varijable i odgovarajućih vjerojatnosti.

Kaže se da je slučajna varijabla raspodijeljena prema danom zakonu ili podložna danom zakonu distribucije. Brojne vjerojatnosti, funkcija distribucije, gustoća vjerojatnosti i karakteristična funkcija koriste se kao zakoni distribucije.

Zakon raspodjele daje potpuni vjerojatni opis slučajne varijable. Prema zakonu raspodjele, prije eksperimenta se može prosuditi koje će se moguće vrijednosti slučajne varijable pojavljivati ​​češće, a koje rjeđe.

Za diskretnu slučajnu varijablu zakon raspodjele može se zadati u obliku tablice, analitički (u obliku formule) i grafički.

Najjednostavniji oblik zadavanja zakona distribucije diskretne slučajne varijable je tablica (matrica) koja u rastućem redoslijedu navodi sve moguće vrijednosti slučajne varijable i njihove odgovarajuće vjerojatnosti, tj.

Takva se tablica naziva serija distribucije diskretne slučajne varijable. 1

Događaji X 1, X 2,..., X n, koji se sastoje u činjenici da će kao rezultat testa slučajna varijabla X poprimiti vrijednosti x 1, x 2,... x n, redom, su nekonzistentne i jedine moguće (budući da su u tablici navedene sve moguće vrijednosti slučajne varijable), tj. čine kompletnu grupu. Stoga je zbroj njihovih vjerojatnosti jednak 1. Dakle, za bilo koju diskretnu slučajnu varijablu

(Ova jedinica je nekako raspoređena među vrijednostima slučajne varijable, otuda i izraz "distribucija").

Niz distribucije može se grafički prikazati ako se vrijednosti slučajne varijable nanesu na apscisnu os, a njihove odgovarajuće vjerojatnosti na ordinatnu os. Spoj dobivenih točaka čini isprekidanu liniju koja se naziva poligon ili poligon distribucije vjerojatnosti (slika 1).

Primjer Lutrija uključuje: automobil u vrijednosti od 5.000 den. kom., 4 televizora po 250 den. jedinica, 5 video rekordera u vrijednosti od 200 den. jedinice Za 7 dana prodano je ukupno 1000 ulaznica. jedinice Napravite zakon o raspodjeli neto dobitka koji je dobio sudionik lutrije koji je kupio jedan listić.

Riješenje. Moguće vrijednosti slučajne varijable X - neto dobitak po listiću - jednake su 0-7 = -7 novca. jedinice (ako listić nije dobio), 200-7 = 193, 250-7 = 243, 5000-7 = 4993 den. jedinice (ako listić sadrži dobitke od videorekordera, televizora ili automobila). Uzimajući u obzir da je od 1000 listića broj ne-dobitnih 990, a naznačeni dobici su 5, 4 i 1 redom, te korištenjem klasične definicije vjerojatnosti dobivamo.

Na ovoj stranici prikupili smo primjere obrazovnih rješenja problemi o diskretnim slučajnim varijablama. Ovo je prilično opsežan odjeljak: proučavaju se različiti zakoni distribucije (binomni, geometrijski, hipergeometrijski, Poisson i drugi), svojstva i numeričke karakteristike; za svaku seriju distribucije mogu se izgraditi grafički prikazi: poligon (poligon) vjerojatnosti, funkcija distribucije.

U nastavku ćete pronaći primjere odluka o diskretnim slučajnim varijablama, u kojima morate primijeniti znanje iz prethodnih odjeljaka teorije vjerojatnosti da biste sastavili zakon distribucije, a zatim izračunali matematičko očekivanje, disperziju, standardnu ​​devijaciju, konstruirali funkciju distribucije, odgovorili pitanja o DSV-u itd. P.

Primjeri popularnih zakona distribucije vjerojatnosti:

Kalkulatori za DSV karakteristike

• Izračun matematičkog očekivanja, disperzije i standardne devijacije DSV-a.

Riješeni problemi u vezi s DSV-om

Distribucije bliske geometrijskim

Zadatak 1. Na putanji vozila postavljena su 4 semafora od kojih svaki zabranjuje daljnje kretanje vozila s vjerojatnošću 0,5. Pronađite niz distribucije broja semafora koje je automobil prošao prije prve stanice. Kolika su matematičko očekivanje i varijanca ove slučajne varijable?

Zadatak 2. Lovac na divljač puca do prvog pogotka, ali ne uspije ispaliti više od četiri hica. Nacrtajte zakon raspodjele broja promašaja ako je vjerojatnost pogotka mete jednim hicem 0,7. Pronađite varijancu ove slučajne varijable.

Zadatak 3. Strijelac koji ima 3 patrone gađa metu do prvog pogotka. Vjerojatnosti pogotka za prvi, drugi i treći hitac su 0,6, 0,5, 0,4, redom. S.V. $\xi$ - broj preostalih patrona. Sastaviti niz distribucije slučajne varijable, pronaći matematičko očekivanje, varijancu, standardnu ​​devijaciju slučajne varijable, konstruirati funkciju distribucije slučajne varijable, pronaći $P(|\xi-m| \le \sigma$.

Zadatak 4. Kutija sadrži 7 standardnih i 3 neispravna dijela. Dijelove vade redom dok se ne pojavi standardni, bez vraćanja natrag. $\xi$ je broj pronađenih neispravnih dijelova.
Napravite zakon distribucije za diskretnu slučajnu varijablu $\xi$, izračunajte njeno matematičko očekivanje, varijancu, standardnu ​​devijaciju, nacrtajte poligon distribucije i graf funkcije distribucije.

Zadaci s nezavisnim događajima

Zadatak 5. Na popravni ispit iz teorije vjerojatnosti izašla su 3 studenta. Vjerojatnost da će prva osoba položiti ispit je 0,8, druga 0,7, a treća 0,9. Naći niz distribucije slučajne varijable $\xi$ broja studenata koji su položili ispit, nacrtati funkciju distribucije, pronaći $M(\xi), D(\xi)$.

Zadatak 6. Vjerojatnost pogotka mete jednim hicem je 0,8 i smanjuje se sa svakim hicem za 0,1. Nacrtajte zakon raspodjele broja pogodaka u metu ako se ispale tri hica. Pronađite očekivanu vrijednost, varijancu i S.K.O. ovu slučajnu varijablu. Nacrtajte graf funkcije distribucije.

Zadatak 7. U metu se ispaljuju 4 hica. Vjerojatnost pogotka se povećava na sljedeći način: 0,2, 0,4, 0,6, 0,7. Pronađite zakon raspodjele slučajne varijable $X$ - broja pogodaka. Odredite vjerojatnost da je $X \ge 1$.

Zadatak 8. Bacaju se dva simetrična novčića i broji se broj grbova na obje gornje strane novčića. Uzimamo u obzir diskretnu slučajnu varijablu $X$ - broj grbova na oba novčića. Zapišite zakon distribucije slučajne varijable $X$, pronađite njezino matematičko očekivanje.

Ostali problemi i zakonitosti distribucije DSV

Zadatak 9. Dva košarkaša šutiraju po tri puta u koš. Vjerojatnost pogotka za prvog košarkaša je 0,6, za drugog – 0,7. Neka je $X$ razlika između broja uspješnih udaraca prvog i drugog košarkaša. Nađite niz distribucije, način i funkciju distribucije slučajne varijable $X$. Konstruirajte poligon distribucije i graf funkcije distribucije. Izračunajte očekivanu vrijednost, varijancu i standardnu ​​devijaciju. Odredite vjerojatnost događaja $(-2 \lt X \le 1)$.

Problem 10. Broj nerezidentnih brodova koji dnevno stižu radi utovara u određenu luku je slučajna varijabla $X$, dana na sljedeći način:
0 1 2 3 4 5
0,1 0,2 0,4 0,1 0,1 0,1
A) pobrinite se da je navedena serija distribucije,
B) pronaći funkciju distribucije slučajne varijable $X$,
C) ako u određenom danu dođe više od tri broda, luka preuzima odgovornost za troškove zbog potrebe angažiranja dodatnih vozača i utovarivača. Koja je vjerojatnost da će luka imati dodatne troškove?
D) Pronađite matematičko očekivanje, varijancu i standardnu ​​devijaciju slučajne varijable $X$.

Problem 11. Bacaju se 4 kocke. Nađite matematičko očekivanje zbroja točaka koje će se pojaviti na svim stranama.

Problem 12. Njih dvoje naizmjence bacaju novčić sve dok se prvi put ne pojavi grb. Igrač koji je dobio grb dobiva 1 rubalj od drugog igrača. Pronađite matematičko očekivanje pobjede za svakog igrača.