Što je čvor međusobno prostih brojeva? Najveći zajednički djelitelj

Prirodni brojevi a i b nazivaju se međusobno prosti, ako je njihov najveći zajednički djelitelj 1 (NOD(a; b) = 1). Drugim riječima, ako brojevi a i b nemaju zajedničkih faktora osim 1, tada su međusobno prosti.

Primjeri parova međusobno prostih brojeva: 2 i 5, 13 i 16, 35 i 88 itd. Možete navesti nekoliko međusobno prostih brojeva, na primjer, brojevi 7, 9, 16 su međusobno prosti.

Često se međusobno prosti brojevi označavaju na sljedeći način: (a, b) = 1. Na primjer, (23, 30) = 1. Ova oznaka je, takoreći, skraćena oznaka za najveći zajednički djelitelj dvaju brojeva (NOT(23 , 30) = 1), i kaže da je njihov najveći zajednički djelitelj 1.

Dva susjedna prirodna broja uvijek će biti relativno prosti. Na primjer, 15 i 16 su par relativno prostih brojeva, baš kao i 16 i 17. To je lako razumjeti ako uzmete u obzir "pravilo" da ako su dva prirodna broja a i b djeljiva istim prirodnim brojem većim od 1 ( n > 1), onda i njihova razlika mora biti djeljiva s ovim brojem n (ovdje mislimo da su a, b i njihova razlika djeljivi cijelim brojem, tj. da su višekratnici broja n). Ali ako su a i b dva susjedna broja (neka a< b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Iz definicije međusobno prostih brojeva i prostih brojeva također slijedi da različiti prosti brojevi uvijek su međusobno prosti. Uostalom, djelitelji bilo kojeg prostog broja su samo on sam i 1.

Svojstva međusobno prostih brojeva

• Najmanji zajednički višekratnik (LCM) para međusobno prostih brojeva jednak je njihovom umnošku. Na primjer, (3, 8) = 1 (ovo znači međusobno prosti), stoga je njihov LCM 3 × 8 = 24 (LCM (3, 8) = 24). Doista, nećete pronaći manji broj od 24 koji je višekratnik i 3 i 8.
• Ako su brojevi a i b međusobno prosti i broj c je višekratnik i a i b, tada će i ovaj broj biti višekratnik umnoška ab. Ovo se može napisati ovako: ako c a i c b, onda c ab. Na primjer, (3, 10) = 1, broj 60 je višekratnik i 3 i 10, a također je i višekratnik 30 (3 × 10).
• Ako su brojevi a i b međusobno prosti i broj c je višekratnik b (c b ), tada će umnožak ac također biti višekratnik b (ac b ). Na primjer, (2, 17) = 1, neka je c = 34. Broj 34 je višekratnik b = 17, tada je ac = 2 × 34 = 68. Provjeravamo: 68 ÷ 17 = 4, tj. djeljiv je s cjelina, što znači da je 68 višekratnik 17.

Obično postoji više svojstava nego što je ovdje navedeno. Osim toga, svojstva međusobno prostih brojeva formulirana su na različite načine. Također može biti potrebno dokazati ta svojstva (u ovom slučaju se ne daje nikakav dokaz).

Najveći zajednički djelitelj međusobno prostih brojeva uvijek je jedan.

Primjeri čvorova relativno prostih brojeva.

GCD brojeva 11 i 7

Brojevi 11 i 7 su prosti i istovremeno prosti.

Brojevi 11 i 7 nemaju drugih zajedničkih djelitelja osim 1.

gcd(11, 7) = 1

GCD brojeva 11 i 15

Brojevi 11 i 15 su relativno prosti. U ovom slučaju, 11 je prost broj, a 15 je složeni broj.

Djelitelji broja 11 su 1 i 11.

Djelitelji broja 15 su 1, 3, 5, 15.

Kao što vidite, jedini zajednički faktor brojeva 11 i 15 je broj 1. Jedinica je, dakle, GCD brojeva 11 i 15:

gcd(11, 15) = 1

GCD brojeva 10 i 21

Brojevi 10 i 21 su relativno prosti. U ovom slučaju, i broj 10 i broj 21 su složeni.

Čimbenici broja 10 su 1, 2, 5, 10.

Činitelji broja 21 su 1, 3, 7, 21.

Kao što vidite, jedini zajednički faktor brojeva 10 i 21 je broj 1. Jedinica je, dakle, GCD brojeva 10 i 21:

GCD(21, 10) = 1

GCD brojeva 16 i 23

Brojevi 16 i 23 su prosti. U ovom slučaju, 23 je prost broj, a 16 je složeni broj.

Zadatak: Pronađite GCD i LCM brojeva na najprikladniji način:

a) 12 i 40; b) 9 i 40; c) 12. i 72.

Za zadatak se daje 5 minuta.

Kako je najprikladnije riješiti svaku vježbu?

Analiza slajdom.

a) Pogodnije je rješavati rastavljanjem na proste faktore

12 = 2·2·3; 40 = 2 2 2 5

GCD(12;40)=2·2=4; LCM(12;40) = 2 2 2 3 5 = 120

b) Imaju li brojevi 9 i 40 zajedničke faktore? (postoji, 1.)

Kako se zovu ovi brojevi? ? (međusobno prime.)

Koliki je gcd ovih brojeva? ? (GCD(9,40) = 1)

Koliki je LCM ovih brojeva? ? (NOC(9;40) = 9·40=360.)

c) Što možete reći o brojevima 12 i 72 ? (72 podijeljeno s 12) Koje pravilo znamo? (ako je jedan broj djeljiv s drugim, tada je GCD = najmanji broj, a LCM = najveći)

gcd(12;72) = 12; LCM(12;72) = 72

Podatke koje ste dobili provjerite standardom koji leži na stolu nastavnika.

FO: Ocjenjuju se prema kriterijima napisanim na standardnom listu. Označavanjem kućice pored kriterija.

7 kvačica – visoka razina

6-4 krpelja - prosječna razina

1-3 krpelja – niska razina

Fizmunutka

Brzo su ustali, nasmiješili se,

Vukli su se sve više i više.

Pa, ispravi ramena,

Podignite, spustite.

Skreni desno, skreni lijevo,

Dotaknite ruke s koljenima.

Sjeli su, ustali, sjeli, ustali,

I trčali su na mjestu.

Pitanje učitelja: Gdje već koristimo svoje znanje o GCD i LCA brojeva?

Prilikom rješavanja problema.

Ispred njih na učiteljevom stolu nalazi se "Zadatak kamilice" koji se sastoji od 21 latice.

Crvena latica – zadaci razine C.

Žuta latica – zadaci B razine.

Zelena latica – zadaci razine A.

	Maša je u trgovini kupila jaja za Medvjeda. Na putu do šume shvatila je da je broj jaja djeljiv sa 2,3,5,10 i 15. Koliko je jaja kupila Maša?
	Buketi su sakupljeni od 210 bordo, 126 bijelih i 294 crvene ruže, pri čemu je svaki buket sadržavao jednak broj ruža iste boje. Koji je najveći broj buketa napravljen od ovih ruža i koliko je ruža svake boje u jednom buketu?
	List kartona ima oblik pravokutnika, čija je duljina 48 cm, a širina 40 cm.Ovaj list mora biti izrezan na jednake kvadrate bez otpada. Koji se najveći kvadrati mogu dobiti iz ovog radnog lista i koliko?
	Koliko vojnika maršira mimohodom ako marširaju u formaciji od 12 ljudi u stroju i prestroje se u kolonu od 18 ljudi u redu?
	U lučkom gradu započinju tri izleta turističkim brodom, od kojih prvi traje 15 dana, drugi 20 i treći 12 dana. Vrativši se u luku, brodovi su istoga dana ponovno krenuli. Danas su brodovi isplovili iz luke na sve tri rute. Za koliko dana će prvi put ponovno zajedno jedriti?Koliko će putovanja obaviti svaki brod?
	Kamin u sobi mora biti popločan u obliku kvadrata. Koliko je crijepova potrebno za kamin dimenzija 195 ͯ 156 cm i koje su najveće veličine crijepova?
	Volodjin korak je 75 cm, a Katjin korak 60 cm.Na kojoj najmanjoj udaljenosti će oboje napraviti cijeli broj koraka?
	Za novogodišnje darove kupili smo 180 jabuka, 90 naranči i 900 bombona. Sva su djeca dobila iste darove. Koji je najveći broj istovjetnih darova napravljenih od ovog voća i slatkiša?
	Okućnica veličine 54 ͯ 48 m oko perimetra mora biti ograđena; za to je potrebno postaviti betonske stupove u pravilnim razmacima. Koliko je stupova potrebno donijeti za gradilište i na kojoj će maksimalnoj udaljenosti jedan od drugog biti postavljeni stupovi?
	Pronađite: LOC(360,252).
	Za novogodišnje darove nabavili smo 78 čokoladica, 156 medenjaka, 52 pakiranja keksa, 104 naranče i 130 jabuka. Koji je najveći broj identičnih darova koji se može sakupiti?
	Potrebno je izraditi kutiju s kvadratnim dnom za odlaganje kutija dimenzija 16 ͯ 20 cm. Kolika mora biti najkraća stranica kvadratnog dna da bi kutije stale kraj do kraja u kutiju?
	Izračunajte GCD(720,216), LCM(720,216).
	Koliki je omjer LCM (308.264) prema GCD (308.264)?
	Za postavljanje jelke kupili smo orahe, slatkiše i medenjake - ukupno 760 komada. Uzeli su 80 oraha više nego slatkiša, a 120 medenjaka manje nego oraha. Koji se najveći broj istovjetnih darova za djecu može napraviti od ove zalihe?
	Pronađite LOC(84,160,96),
	Pronađite kvocijent dijeljenja LCM(24, 2004) s GCD istih brojeva.
	Odredi najmanji prirodni broj koji je višekratnik broja 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.
	Pronađite GCD (56, 72).
	Na stolu su knjige čiji je broj manji od 100. Koliko ima knjiga ako se zna da se mogu vezati u pakete od 3, 4 i 5 komada?
	U dućan je stiglo manje od 600, ali više od 500 tanjura. Kad su ih počeli slagati na desetke, od punog broja desetica nedostajale su 3 ploče, a kada su ih počeli slagati na desetke (po 12 ploča), ostalo je 7 ploča. Koliko ste tanjura donijeli u trgovinu?

FO: Pretežni broj crvenih latica označava visoku razinu apsorpcije, žute - prosječnu razinu apsorpcije i zelene - nisku razinu apsorpcije.